余弦定理教学案

余弦定理

【教学目标】1. 掌握余弦定理的两种表示形式；

2. 证明余弦定理的向量方法；

3. 运用余弦定理解决解三角形问题．

【重点难点】理解和掌握余弦定理的证明方法；余弦定理的应用. 【教学过程】 一、复习回顾：

正弦定理及其所解决的问题：

二.课题导入

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

三.讲授新课

余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的

夹角的 的积的两倍．

公式表达：

2a = ；2b = ；2c = .

推论：

cos A = ；cos B = ；cos C = .

定理理解：（1）与勾股定理的关系： （2）余弦定理及其推论的基本作用为：

【典型例题】

例1、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3a =，1b =，60C =︒．

（1）求c ； （2）求sin A ．

变式训练1：在ABC ∆

中，若a =5b =，30C =︒，则(c = )

A

B

．C

D

例2、已知△ABC 的三边长为3a =，4b =

，c =ABC 的最大内角．

变式训练2：有一个内角为120︒的三角形的三边长分别是m ，1m +，2m +，则实数m 的

值为( ) A ．1

B ．

3

2

C ．2

D ．

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例3、在△ABC 中，已知3b =

，c =，0

30B =，求边a .

变式训练3：△ABC 中，0

120A =，5c =，7a =，则sin sin B

C

=____________.

A

B

C

b

c

a

例4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝

(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．

变式训练4-1：在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，试判断三角形的形状．

变式训练4-2：在△ABC 中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ⋅=，

确定△ABC 的形状．

例5、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B b

C a c

=-

+. （1）求B 的大小；

（2

）若b =，4a c +=，求a 的值．

变式训练5-1：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c

，tan C =.

（1）求cos C ； （2）若5

2

CB CA ⋅=

，且9a b +=，求c .

变式训练5-2：在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π

3

.

（1）若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； （2）若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．