优选法基础知识PPT课件
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第5章 优选法
5.2 双因素优选法
1.命题：
设某个优选问题同时受到某两个因素的影响，用x，y表示 两个因素的取值，z＝f(x，y)表示目标函数，那么双因素优 选问题的本质是什么？ 迅速找到二元目标函数z＝f(x，y)的最大值或最小值及其对 应的点(x，y).
2.几何意义：
假设函数z＝f(x，y)在某一区域内单峰，其几何意义是 把曲面z＝f(x，y)看作一座山，顶峰只有一个，从几何 上如何理解双因素优选问题的本质？
5.1.3 分数法
菲波那契数列 ：
F0＝1，F1＝1，Fn＝Fn-1＋Fn-2
(n≥2)
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…
分数：
Fn Fn+1
3 5 8 13 21 34 55 89 144 , , , , , , , , 5 8 13 21 34 55 89 144 233
起点
B＜ A A C＞ A
步距：“两头小，中间大”
D＞ C F E＜D
小结
1.如果每作一次试验，根据结果可以 决定下次试验的方向，就可以用对分法 寻找最佳点.相对于0.618法和分数法， 对分法更简单，易操作.
2.盲人爬山法是一种采用小步调调整 策略的优选法，在生产实践和科学试验 中，如果某些因素不允许大幅度调整， 可以用盲人爬山法寻找最佳点.
迅速找到曲面的
z
最高峰.
y
x
把试验范围内z＝f(x，y)取同一值的曲线叫做等高线， 各条等高线在水平面上的投影是一圈套一圈的曲线， 那么双因素优选问题转化为寻找哪圈等高线？
z
y
x
最里边的一圈等高线.
3.双因素优选法的基本思路：
《什么叫优选法》_精品课件人教版1
讨论 本节提出了优选问题、最佳
点、优选法等三个概念，请同学 们讨论一下三者之间的关系.
《什么叫优选法》教用课件人教版1- 精品课 件ppt( 实用版)
《什么叫优选法》教用课件人教版1- 精品课 件ppt( 实用版)
三个概念相互联系，只有了 解了前面的概念才能了解后面的 概念，教科书正是以这种顺序循 序渐进地提出它们的.
选择问题，称为优选问题.
《什么叫优选法》教用课件人教版1- 精品课 件ppt( 实用版)
《什么叫优选法》教用课件人教版1- 精品课 件ppt( 实用版)
2. 什么是最佳点？
解答：在生产和科学试验中，人们为了达
到优质、高产、低消耗等目标，对有关因
素进行的最佳组合，简称最佳点.
《什么叫优选法》教用课件人教版1- 精品课 件ppt( 实用版)
《什么叫优选法》教用课件人教版1- 精品课 件ppt( 实用版)
《什么叫优选法》教用课件人教版1- 精品课 件pp优化方法.它是以数学原理为指 导，用尽可能少的试验次数，迅 速求得最优解的方法.
《什么叫优选法》教用课件人教版1- 精品课 件ppt( 实用版)
3.情感态度与价值观
了解并掌握如何运用优选 法，解决优选问题，并形成对 试验的广义理解.
教学重难点
1.教学重点
（1）了解优选法、优选问题的概念. （2）知道最佳点的查找方法并理解试验一词. （3）学会利用优选法解决优选问题.
2.教学难点
从广义上理解试验一词并学会利用 数学原理，安排合理实验，以最少的试 验次数迅速找到最佳点，从而解决优选 问题.
《什么叫优选法》教用课件人教版1- 精品课 件ppt( 实用版)
3 如何理解试验一词？
解答：试验一词即它可以是物理、化学、
点、优选法等三个概念，请同学 们讨论一下三者之间的关系.
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三个概念相互联系，只有了 解了前面的概念才能了解后面的 概念，教科书正是以这种顺序循 序渐进地提出它们的.
选择问题，称为优选问题.
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2. 什么是最佳点？
解答：在生产和科学试验中，人们为了达
到优质、高产、低消耗等目标，对有关因
素进行的最佳组合，简称最佳点.
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《什么叫优选法》教用课件人教版1- 精品课 件ppt( 实用版)
3.情感态度与价值观
了解并掌握如何运用优选 法，解决优选问题，并形成对 试验的广义理解.
教学重难点
1.教学重点
（1）了解优选法、优选问题的概念. （2）知道最佳点的查找方法并理解试验一词. （3）学会利用优选法解决优选问题.
2.教学难点
从广义上理解试验一词并学会利用 数学原理，安排合理实验，以最少的试 验次数迅速找到最佳点，从而解决优选 问题.
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3 如何理解试验一词？
解答：试验一词即它可以是物理、化学、
优选法课件
什么是优选法？
• 优选法：根据实际中具体问题，利用数学原理， 合理安排试验点，以求迅速找到最佳点的科学 的试验方法。 • 单因素优选法 • 适用范围：单峰函数 • 1、目标函数y=f(x)是定义在某个范围[a,b]内 的单峰函数(或单谷函数) ； • 2、不知道函数y=f(x)具体表达式，或太复杂。 • 好点，坏点。
练习
• 现有10层梯田需要灌溉，需要从山脚用 水泵往上抽水，抽到某一层的水可以灌 溉这层和其以下的所有层。如现有两台 水泵，可以安置在10层梯田中的任一层， 安置后不能移动。 • 如何安置这两台水泵，才能使所有的梯 田被灌溉而且做功最少？你能用合适的 优选法迅速找出其中的最佳点吗？
分数法的最优性
优选法的创新
•优选法的设计是用数学方 法边试边比边安排试验点
分数法
分数法
• 案例1：在配置某种清洗液时，需要加入 某种材料。经验表明，加入量大于130ml 肯定不好。用150ml的锥形量杯计量加入 量，该量杯的量程分为15格，每格代表 10ml。 • 用试验法找出这种材料的最优加入量。
分数法的操作
高考题中的优选法
• 2、设f(x)是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈(0,1)，使得f(x)在 [0, x*]上单调递增，在[x*,1]上单调递减，则称f(x)是在[0,1]上的单 峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间。对任意[0,1]上 的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法。 • （1）证明：对任意的x1,x2∈(0,1)，x1<x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0,x2) 为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x1,1)为含峰区间； • （ 2 ） 对 给 定 的 γ(0<γ<0.5)， 证 明 ： 存 在 x1,x2∈(0,1)， 满 足 x2x1≥2γ，使得由（1）所确定的含峰区间长度不大于0.5+γ； • （3）选取x1,x2∈(0,1)，x1<x2由（1）可确定含峰区间为(0,x2)或 (x1,1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2，类似的 可确定一个新的含峰区间。在第一次确定的含峰区间为(0,x2)的 情况下，试确定x1,x2,x3的值，满足两两差的绝对值不小于0.02， 且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34（区间长度等于区间的右 端点与左端点之差）。
第五章 优选法PPT课件
黑箱法：循序试验法
3
§5－2 单因素优选法
如果在试验时，只考虑一个对目标影响最大 的因素，其它因素尽量保持不变，则称为单因素 问题
一般步骤：
（1）首先应估计包含最优点的试验范围，如 果用a表示下限，b表示上限，试验范围为[a，b]。
（2）然后将试验结果和因素取值的关系写成 数学表达式，不能写出表达式时，就要确定评定 结果好坏的方法。
它们交错地或大于或小于黄金比ф的值。
这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在
哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，哪里
也就会出现斐波那契数，反之亦然。
16
§5－2 单因素优选法
三、分数法
分数法也是适合单峰函数的方法，该方 法要求预先知道试验总数。
为了方便起见，仅讨论目标函数为f(x)的情
况。
4
§5－2 单因素优选法
一、来回调试方法
在区间[a，b]内有一个单峰函数f(x)，我们有 如下的方法找到它的顶峰(并不需要函数f(x)的真 正表达式)。
先取一点x1做实验得y1=f(x1)，再取一点x2 做实验得y2=f(x2)，如果y2＞y1，则丢掉[a，x1]， (如果y1＜y2，则丢掉[x2，b])。在余下的部分中 取一点x3(这点x3也可能取在x1，x2之间)，做实 验得y3=f(x3)，如果y3＜y2，则丢[x3，b]，再在 余下的(x1，x3)中取一点x4，……不断做下去， 不管你怎样盲目地做，总可以找到f(x)的最大值。
差， x2是好点，于是把试验范围（ x1，b） 划去
剩下（a， x1），下一步是在余下的范围内寻找
好点。
9
§5－2 单因素优选法
对 于 第 一 种 情 形 ， x1 的 对 称 点 x3 ， 在 x3安 排 第 三 次 试 验 ， 用 对 称 公 式 计 算 有 ：
第五章 优选法
' ： 另：公式(5-2),(5-2)还可用折纸的办法得到
11
§5－2 单因素优选法
例5－3 炼某种合金钢，需添加某种化学 元素以增加强度，加入范围是1000－ 2000克，求最佳加入量。
小
1000 1100
大
1900 2000
12
§5－2 单因素优选法
第一步 先在试验范围长度的0.618处做第（1）个试验 x1=a+(b-a)×0.618=1000+(2000-1000)×0.618=1618克 第二步 第（2）个试验点由公式（5－2）’计算 x2=大＋小－第一点=2000+1000-1618=1382克
32 图6-3 比例分割法第二批试验点示意图（试验次数为奇数时）
七、（瞎子）爬山法 瞎子在山上某点，想要爬到山顶，怎么办？从 立足处用明杖向前一试，觉得高些，就向前一步， 如果前面不高，向左一试，高就向左一步，不高再 试后面，高就退一步，不高再试右面，高就向右走 一步，四面都不高，就原地不动.总之，高了就走一 步，就这样一步一步地走，就走上了山顶。 这个方法在不易跳跃调整的情况下有用，当然 我们也不必一步一步按东南西北四个方向走，例如 在向北走一步向东走一步后，我们得出z0，z1，z2三 个数据，由此可以看到由z1到z2的陡度是z2-z1，
(5 1) (5 3)
(5 2)
称a为试验范围的小头，b为试验范围的大头，上述公 第一点＝小＋0.618（大－小） (5-1)' 第二点＝大＋小－第一点 (5-2)'
8
§5－2 单因素优选法
a
x2
x1
b
如果用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果，
如果f(x1)比f(x2)好， x1是好点，于是把试验范围
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§5－2 单因素优选法
例5－3 炼某种合金钢，需添加某种化学 元素以增加强度，加入范围是1000－ 2000克，求最佳加入量。
小
1000 1100
大
1900 2000
12
§5－2 单因素优选法
第一步 先在试验范围长度的0.618处做第（1）个试验 x1=a+(b-a)×0.618=1000+(2000-1000)×0.618=1618克 第二步 第（2）个试验点由公式（5－2）’计算 x2=大＋小－第一点=2000+1000-1618=1382克
32 图6-3 比例分割法第二批试验点示意图（试验次数为奇数时）
七、（瞎子）爬山法 瞎子在山上某点，想要爬到山顶，怎么办？从 立足处用明杖向前一试，觉得高些，就向前一步， 如果前面不高，向左一试，高就向左一步，不高再 试后面，高就退一步，不高再试右面，高就向右走 一步，四面都不高，就原地不动.总之，高了就走一 步，就这样一步一步地走，就走上了山顶。 这个方法在不易跳跃调整的情况下有用，当然 我们也不必一步一步按东南西北四个方向走，例如 在向北走一步向东走一步后，我们得出z0，z1，z2三 个数据，由此可以看到由z1到z2的陡度是z2-z1，
(5 1) (5 3)
(5 2)
称a为试验范围的小头，b为试验范围的大头，上述公 第一点＝小＋0.618（大－小） (5-1)' 第二点＝大＋小－第一点 (5-2)'
8
§5－2 单因素优选法
a
x2
x1
b
如果用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果，
如果f(x1)比f(x2)好， x1是好点，于是把试验范围
优选法介绍
Q：单因素法取得
c
a
b
16
5. 翻筋斗法
A
B
C
E
D F′ F G′ G
17
优选法在因素主次判断中的应用：
在因素的试验范围内做两个试验 （可选0.618和0.382两点） 如果这两点的效果差别显著，则为主要因素 如果这两点效果差别不大
在（0.382～0.618）、（0～0.382）和（0.618～1）三 段的中点分别再做一次试验
2 旋升法 （从“好点”出发法）
优选范围： a＜x＜b， c＜y＜d 优选方法：
d P2 P1 P2 P3
c
a
ab 2
b
ab 2
b
15
3 平行线法
两个因素：一个易调整，另一个不易调整时
优选范围： a＜x＜b，
c＜ y＜ d
优选方法： （设：x易调整，y不易调整）
d R P 0.618 0.382
90
A
80 90
B
70
A
80
60
50 30
B
70 30 40 50 60 70 40 50 60 70
先将煤油用量固定在50g/t，用0.618法找出A点较好，在上下对 折，将煤泥浓度固定在70%，用0.618法优选找出B点较好。比 较A和B结果，如果A点比B点要好，则丢掉下半部分。在剩下 范围再上下对折，进一步优选。 14
如果仍然差别不大，则此因素为非主要因素
可将该因素固定在0.382～0.618间的任一点
当对某因素做了五点以上试验后，如果各点效果差别不明 显，则该因素为次要因素
18
6
《优选法》课件1-优质公开课-人教B版选修4-7精品
1.1.3《优选法》
数学人教B版高中选修4-7《优选法与试验设计初步》
通过试验来取得优选问题的解，就有一个如何安排试 验的问题。
比方说，一个优选问题是要在0℃~100 ℃之间选择一个合适的温度，一种办 法是隔5 ℃作一次试验，从0 ℃开始，直到100 ℃ ，共做试验21次。将这些 试验的结果进行比较，选择一个效果最好的试验，这就可选取到一个较合适 的温度，而且可以说此温度与实际上最好的温度相差不超过5 ℃ 。 毎做一次试验是需要耗费人力、物力和时间的，这样每隔5 ℃做一次试 验· 一共要做试验21次。如果所做试验较简单，多做一些试验在人力、物力 和时间上并无多大问题时。这样安排试验也能解决此优选问题，但实际情况 却是希望耗费较少的人力、物力和时间。而能得到优选问题的解决，这就有 一个如何安排试验，可以用最少的试验次数达到最好效果的问愿。
有关最优化的著作出版不少，D.J.Wile,C.S.Beightlei的著作中， 对最优化的基础知识与实用算法作了较全面的介绍和统一处理， 我们这里所讲的优选法是在最优化的问题中，其最优化的目标 往往不能用数学形式表达出来，或即使表达出来但表达形式很 复杂，计算起来很困难的一类最优化问题，如果这一类问题的 目标结果可以通过试验来确定，那么同样可以考虑其最优化问 题，因此，国外有人把优选法称为“试验最优化方法” ，或叫 做“直接最优化方法” 而通过模型计算的最优化方法则称为 “间接最优化法是用尽可能少的试验次数，尽快地找到最优效 果的安排试验的方法，也就是现代科学试验方法.
过去总是夸耀某人花了几十年的功夫，做了几百次、甚至几千次试验得到了 某一科学成果，当然，花儿十年摘试验的精神和毅力是令人钦佩的，可是如 果用优选法去搞几十年的试验就可以得到更多更好的成果。
数学人教B版高中选修4-7《优选法与试验设计初步》
通过试验来取得优选问题的解，就有一个如何安排试 验的问题。
比方说，一个优选问题是要在0℃~100 ℃之间选择一个合适的温度，一种办 法是隔5 ℃作一次试验，从0 ℃开始，直到100 ℃ ，共做试验21次。将这些 试验的结果进行比较，选择一个效果最好的试验，这就可选取到一个较合适 的温度，而且可以说此温度与实际上最好的温度相差不超过5 ℃ 。 毎做一次试验是需要耗费人力、物力和时间的，这样每隔5 ℃做一次试 验· 一共要做试验21次。如果所做试验较简单，多做一些试验在人力、物力 和时间上并无多大问题时。这样安排试验也能解决此优选问题，但实际情况 却是希望耗费较少的人力、物力和时间。而能得到优选问题的解决，这就有 一个如何安排试验，可以用最少的试验次数达到最好效果的问愿。
有关最优化的著作出版不少，D.J.Wile,C.S.Beightlei的著作中， 对最优化的基础知识与实用算法作了较全面的介绍和统一处理， 我们这里所讲的优选法是在最优化的问题中，其最优化的目标 往往不能用数学形式表达出来，或即使表达出来但表达形式很 复杂，计算起来很困难的一类最优化问题，如果这一类问题的 目标结果可以通过试验来确定，那么同样可以考虑其最优化问 题，因此，国外有人把优选法称为“试验最优化方法” ，或叫 做“直接最优化方法” 而通过模型计算的最优化方法则称为 “间接最优化法是用尽可能少的试验次数，尽快地找到最优效 果的安排试验的方法，也就是现代科学试验方法.
过去总是夸耀某人花了几十年的功夫，做了几百次、甚至几千次试验得到了 某一科学成果，当然，花儿十年摘试验的精神和毅力是令人钦佩的，可是如 果用优选法去搞几十年的试验就可以得到更多更好的成果。
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x1 a 0.618(b a)
(51)
x2 a b x1
(5 2)
也可
x2 a 0.382(b a)
(53)
称a为试验范围的小头，b为试验范围的大头，上述公
式可以表示为：
第一点＝小＋0.618（大－小） (5-1)'
第二点＝大. ＋小－第一点
(5-29)9'
§2-8 单因素优选法
a
x2 x1
b
如果用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果，如果f(x1) 比f(x2)好， x1是好点，于是把试验范围（a， x2）划去剩下 （ x2，b），如果f(x1)比f(x2)差， x2是好点，于是把试验范 围 （ x1，b） 划去剩下（a， x1），下一步是在余下的范围 内寻找好点
.
10 10
2.28%=(1.85%+2.7%)/2
1.85%
2.28%
2.7%
乳化仍然良好，乳化时间减少1小时，结果满
意，试验停止。
.
77
§2-6 单因素优选法
二、黄金分割法（0.618法）
对于一般的单峰函数，我们可以采用此法
f(x)
a
b
单峰函数 .
88
§2-7 单因素优选法
0.618法的作法为：第一个试验点x1设在范围 （a，b）的0.618位置上，第二个试验点x2取 成x1的对称点，即：
第二步 第（2）个试验点由公式（5－2）’计算 x2=大＋小－第一点=2000+1000-1618=1382克
第三步 比较（1）与（2）两点上所做试验的效果，现在 假设第（1）点比较好，就去掉第（2）点，即去掉[1000, 1382]那一段范围。留下[1382,2000]
小
1618 中点
1764
大
1382
重复上面的试验，直到找到一个满意的试验
点。 .
55
§2-4 单因素优选法
例5－1 乳化油加碱量的优选（用循序试验法）
高级纱上浆要加些乳化油脂，以增加柔软性，而油脂 乳化需加碱加热。某纺织厂以前乳化油脂加烧碱1％， 需加热处理4小时，但知道多加碱可以缩短乳化时间， 碱过多又会皂化，所以加碱量优选范围为1－4.4％
§2-9 单因素优选法
对 于 第 一 种 情 形 ， x1 的 对 称 点 x3 ， 在 x3安 排 第 三 次 试 验 ， 用 对 称 公 式 计 算 有 ：
x3x2bx1
x 2 x 1 x 3 b
对 于 后 一 种 情 形 ， 第 三 个 试 验 点 x3应 是 好 点 x2 的 对 称 点 ， 也 就 是 ：
第一次加碱1%量（试验点2）.7%：2.7%=4(.14%% +4.4%)/2 有皂化，说明碱加多了，于是划去2.7%以上的范围
.
66
§2-5 单因素优选法
第二次试验加碱量（试验点）： 1.85%=(1%+2.7%)/2
乳化良好 1%
1.85%
2.7%
第三次，为了进一步减少乳化时间，不走考 虑少于1.85%的加碱量，而取
.
12 12
§2-11 单因素优选法
例5－3 炼某种合金钢，需添加某种化 学元素以增加强度100
大
1900 2000
.
13 13
§2-12 单因素优选法
第一步 先在试验范围长度的0.618处做第（1）个试验 x1=a+(b-a)×0.618=1000+(2000-1000)×0.618=1618克
优选法基础
.
00
§1 概述
优选法是尽可能少做试验，尽快地找到 生产和科研的最优方案的方法
优选法的应用在我国从70年代初开始， 首先由我们数学家华罗庚等推广并大量 应用
优选法也叫最优化方法
.
11
§1 概述
优选法基本步骤：
1）选定优化判据（试验指标），确定影响因素，优选数 据是用来判断优选程度的依据。
可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的0.618倍， 随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直到达到 所需精度即可
.
15 15
§2-14 单因素优选法
三、分数法
分数法也是适合单峰函数的方法，该方法要 求预先知道试验总数
f(x)
x3ax1x2 a
x3 x2
x1
.
11 11
§2-10 单因素优选法
如果f(x1)与f(x2 )一样，则应该具体分析，看最优点可能 在哪边，再决定取舍。一般情况下，可以同时划掉(a,x1) 和(x2,b)，仅留中点的(x2, x1)，把x2看成新a, x1看成新b，然 后在范围(x2, x1)内重新安排试验 这个过程重复进行下去，知道找出满意的点，得出比较好 的试验结果；或者留下的试验范围已很小，再做下去，试 验差别不大时也可终止试验 另：公式(5-2),(5-2)'还可用折纸的办法得到
用此法
f(x)
f(x)
a
b
a
b
连续单调
.
间断单调
44
§2-3 单因素优选法
平分法的作法为：总是在试验范围的中 点安排试验，中点公式为：
中点＝ a＋b 2
根据试验结果，如下次试验在高处（取值大
些），就把此试验点（中点）以下的一半范
围划去；如下次试验在低处（取值小些），
就把此试验点（中点）以上的一半范围划去，
(1)
(3)
2000
x3=大＋小－第一点=1383+2000-1618=1764克 .
14 14
§2-13 单因素优选法
第四步 比较在上次留下的好点，即第（1）处和第（3） 处的试验结果，看那个点好，然后就去掉效果差的那个 试验点以外的那部分范围，留下包含好点在内的那部分 范围作为新的试验范围，……如此反复，直到得到较好 的试验结果为止
一般步骤：
（1）首先应估计包含最优点的试验范围
如果用a表示下限，b表示上限，试验范围为[a，b]
（2）然后将试验结果和因素取值的关系写成数学表达 式
不能写出表达式时，就要确定评定结果好坏的方法
方便起见，仅讨论目标函数为f（x）的情况
.
33
§2-2 单因素优选法
一、平分法
如果在试验范围内，目标函数单调，则可以选
2）优化判据与影响因素直接的关系称为目标函数
^
y f ( x1 , x2 ......xN )
^
y ----试验指标
3）优化计算 xi ----第 i个 试 验 条 件
优化(选）试验方法一般分为两类：
分析法：同步试验法
黑箱法：循序试验法 .
22
§2-1 单因素优选法
如果在试验时，只考虑一个对目标影响最大的 因素，其它因素尽量保持不变，则称为单因素 问题