专题01 规律探究 (解析版)

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规律探究题中考真题(解析版)

规律探究题中考真题1．【阅读理解】我们知道，，那么结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即；……；第行个圆圈中数的和为，即.这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为.【规律探究】将桑拿教学数阵经两次旋转可得如图所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行的第一个圆圈中的数分别为，2，），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为.由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：.因此，= .【解决问题】根据以上发现，计算的结果为.【答案】1345【详解】试题分析：先利用转化的而思想来探究=；再利用公式解决问题.试题解析：1345=考点：探究问题、解决问题的能力.2．观察以下等式：第1个等式：10101 1212++⨯=，第2个等式：11111 2323++⨯=，第3个等式：12121 3434++⨯=，第4个等式：13131 4545++⨯=，第5个等式：14141 5656++⨯=，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：__________；（2）写出你猜想的第n个等式：___________(用含n的等式表示)，并证明．【答案】（1）1515++=16767；（2）1111++=111n nn n n n--⋅++，证明见解析．【分析】（1）根据观察到的规律写出第6个等式即可；（2）根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证．【详解】（1）观察可知第6个等式为：15151 6767++⨯=，故答案为：15151 6767++⨯=；（2）猜想：1111111n nn n n n--++⨯=++，证明：左边=111111n nn n n n--++⨯++=1(1)1(1)n n n nn n++-+-+=(1)(1)n nn n++=1，右边=1，∴左边=右边，∴原等式成立，∴第n个等式为：1111111n nn n n n--++⨯=++，故答案为1111111n nn n n n--++⨯=++．【点睛】本题考查了规律题，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键．3．观察以下等式:第1个等式:211 =111+，第2个等式:211=326+，第3个等式:211=5315+，第4个等式:211=7428+，第5个等式:211=9545+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明.【答案】（1）211=11666+；（2）21121(21)n n n n=+--，见解析【分析】观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边式子的分母的值从1开始，后一项的值比前一个分母的值大2，分子不变，等式右边分子不变，第一个式子的分母等序增加，第二个分母的值依次为：1,6，15,28,45，根据顺序关系可以记作第n组式子对应的分母为n（2n+1），然后解题即可．【详解】解：（1）第6个等式：211= 11666+（2）211=2n-1n n2n-1+（）证明：∴右边112n-1+12====n n2n-1n2n-12n-1+（）（）左边.∴等式成立．【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．4．观察以下等式：第1个等式：121 12 311⎛⎫⨯+=-⎪⎝⎭第2个等式：321 12 422⎛⎫⨯+=-⎪⎝⎭第3个等式：521 12 533⎛⎫⨯+=-⎪⎝⎭第4个等式：721 12 644⎛⎫⨯+=-⎪⎝⎭第5个等式：921 12 755⎛⎫⨯+=-⎪⎝⎭······按照以上规律．解决下列问题：()1写出第6个等式____________；()2写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明．【答案】（1）112112866⎛⎫⨯+=-⎪⎝⎭；（2）2121122nn n n-⎛⎫⨯+=-⎪+⎝⎭，证明见解析．【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：112112866⎛⎫⨯+=-⎪⎝⎭；（2）2121122nn n n-⎛⎫⨯+=-⎪+⎝⎭，证明：∴左边=2122122111222n n n nn n n n n n--+-⎛⎫⨯+=⨯==-⎪++⎝⎭=右边，∴等式成立．【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．5．某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？【答案】（1）2 ；（2） 24n+；（3）1008块【分析】（1）由图观察即可；（2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；（3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量．【详解】解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；故答案为：2 ；（2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4；所以当地砖有n 块时，等腰直角三角形地砖有（24n +）块；故答案为：24n +；（3）令242021n += 则1008.5n =当1008n =时，242020n +=此时，剩下一块等腰直角三角形地砖∴需要正方形地砖1008块．【点睛】本题为图形规律题，涉及到了一元一次方程、列代数式以及代数式的应用等，考查了学生的观察、发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律等．。

2020中考数学总复习第十一章专题解析专题一探索规律

2020中考数学总复习第十一章专题解析专题一探索规律专题扫描规律探究性问题通常需要我们经历观察、猜想、类比、估计、验证等合情推理的过程.命题领域往往涉及到数列（阵、表）的排列规律、计算程序图类规律、几何图形的数量或位置变化规律以及平面直角坐标系中点的坐标变化规律.......规律探究性问题的题型多以选择题或填空题的形式呈现.解决这类问题的思想方法主要有从特殊到一般的归纳猜想、数形结合思想等.例题解析类型1（1）：数列的排序规律例1 （2019，恩施）观察下列一组数的排列规律：，，，，，，，，，，，，，，，335334111332331174173172171319291525131… 那么，这一组数的第2019个数是 . 解析：这列数的排列规律为：；个数：第1211+，个数：第12122+；个数：第12232+，个数：第12143+，个数：第12253+，个数：第12363+，个数：第12174+ ，个数：第12284+ ，个数：第12394+；个数：第124104+ ...121115+个数：第...125155+个数：第观察这列数的排列规律，可将这列数进行分组：第1个数为第1组，只有1个数；第2、3个数为第2组，有2个数；第4、5、6个数为第3组，共有3个数；第7、8、9、10个数为第4组，共4个数...第n 组共有n 个数：.12...122121+++nn n n ，，，设这组数的第2019个数落在第n 组，则有：，n n ++++≤<-++++...3212019)1(...321).1(212019)1(21+≤<-n n n n 即经过估算得：，例2 （2019，常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，… 根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（） A ．0 B ．1C ．7D ．864=n 2016646321=⨯⨯而.123.12336420196464++∴故填个数，为组中第个数位于第整个数列中的第解析：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…， ∴个位数字每4个数一循环，∵（2019+1）÷4＝505，又1+7+9+3＝20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是0．故选A ．类型1（2）：数阵的布阵规律例3 （2019，黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是．解析：观察数阵可知，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20＝210个数，∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628， ∴第20行第19个数是：628﹣3＝625，类型1（3）：数表的布设规律例4 （2017，恩施）如图1，在66⨯的网格内填入1至6 的数字后，使每行、每列、每个小粗线宫中的数字不重复，则=⨯c a .解析：.2.2,12答案：，=⨯==c a c a 类型1（4）：等式的布列规律例5 （2016，恩施）观察下列等式：)1(21...4321+=+++++n n n ； )2)(1(61)1(21...10631++=++++++n n n n n ；)3)(2)(1(241)2)(1(61...201041+++=+++++++n n n n n n n ；则有：=++++++++)3)(2)(1(241...351551n n n n ．解析：等式右边系数的排列规律为：...432113211211，，，⨯⨯⨯⨯⨯⨯含有字母n 的因式个数逐次多1，答案为：).4)(3)(2)(1(1201++++n n n n n图1类型2：程序图类运算程序规律例6（2019，重庆）按如下图所示的运算程序，能使输出y 值为1的是（）A ．m ＝1，n ＝1B ．m ＝1，n ＝0C ．m ＝1，n ＝2D ．m ＝2，n ＝1解析：当m =1，n =1或2时，都有1312≠=+=≤m y n m ，此时；当时，0,1==n m故选D.类型3：图形变化类的规律探索例7（2016，龙岩）如图2，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图2中共有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为....10321s s s s ，，，，则=++++10321...s s s s .其规律是：直角三角形斜边上的高将原直角三角形分成两个小直角三角形，两个小直角三角形的内切圆面积之和等于原直角三角形内切圆的面积.图2（3），图2（4），...中，所有直角三角形的内切圆面积之和均为π.故答案为π.类型4：平面直角坐标系中点的坐标变化规律探究例8（2016，潍坊）在平面直角坐标系中，直线1:-=x y l 与x 轴交于点1A ，如图3所示依次作正方形O C B A 111、正方形1222C C B A 、...、正方形1-n n n n C C B A ，使得点...321、、、A A A 在直线l 上，点...321、、、C C C 在y 轴正半轴上，则点n B 的坐标是 . 解析：点)1,1(1B ，点)2111(2++，B ，点，)221,211(23++++B ，点，，)22212211(3224++++++B ...，点)2...2212...2211(1222--+++++++++n n n B ，.).122(1--n n n B ，即；此时有1112,≠-=-=>n y n m .11212=-=∴>==n y n m n m ，时，，当Θ，，解得）（，则）中圆的半径为（解析：设图π.1432154321121=∴=⨯⨯=++s r r r.ππ)54(53(5453222221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+s s ，于是和）中两圆的半径分别为（同理可得图跟踪训练1.（2019，十堰）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，若第n 个数为，则n ＝（ B ） A ．50B ．60C ．62D ．712.（2019，武汉）观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a ，用含a 的式子表示这组数的和是（ C ） A ．a a 222-B ．2222--a aC ．a a -22D ．a a +223.（2018，宜昌）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图4中的数字排列规律，则c b a ，，的值分别为（ B ）1561.A ===c b a ，， 20156.B ===c b a ，， 152015.C ===c b a ，，61520.D ===c b a ，，4.（2018，广东）如图5，已知等边△11B OA ，顶点1A 在双曲线)0(3>=x xy 上，点1B 的坐标为（2,0）.过点1B 作121//OA A B 交双曲线于点2A ，过点2A 作1122//B A B A 交x 轴于点2B ，得到第二个等边△221B A B ；过2B 作2132//A B A B 交双曲线于点3A ，过3A 作2233//B A B A 交x 轴于点3B ，得到第三个等边△332B A B ；...，以此类推，则点6B 的坐标为.062），（5. 百子回归图是由 1，2，3，…，100 无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”表示澳门回归祖国日期，最后一行中间两位“23 50”表示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和，每列 10 个数之和，以及两条对角线上10 个数之和均为有理数 n ，则 4n -1的值为 2019 .6．（2018，浙江）已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若aba b ⨯=+21010符合前面式子的规律，则b a += 109 ． 7.如图6所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2020次输出的结果为 3 ．8.如图7，P 1是一块半径为a 的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为a 21的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P 3，P 4，…，P n ，…，（1）把P 1 、P 2、 P 3、 P 4的面积表示出来；（2）请你猜想P n 与P n+1的面积相差多少？；）（的面积图形22222211π83411π21)21(π21π21π21a a a a S P =-=-==；同理，222223π3211)161411(π21)41(π21)21(π21π21a a a a a S =--=--=.π12843)641161411(21224a a S =---=π .2π21221++n n n a P P 的面积多的面积比图形）图形（图6图7。

专题01 规律探索题研究(解析版)

专题一：规律探索题研究【题型导引】题型一：点坐标规律（1）与变换相关的点的规律探寻；（2）与函数相关的点的规律探寻；（3）与其它因素相关的点的规律探寻等。

题型二：数字规律（1）数学文化知识的拓展探寻数字规律；（2）与特殊图形引发的数字规律探寻；（3）与变换过程中的数字规律探寻。

题型三：图形规律（1）与变换相关的图形规律；（2）不同操作形成的规律性图形研究；【典例解析】类型一：点坐标规律例题1：（2019•湖北省鄂州市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝33x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n3B．22n﹣13C．22n﹣23D．22n﹣33【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∵直线y 3与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°，∴B1B2＝3，B2B3＝2 3，…，B n B n+1＝2n3，∴S1＝12×1×3＝32，S2＝12×2×23＝2 3，…，S n＝12×2n﹣1×2n3＝；故选：D．技法归纳：探索点的坐标变化规律时要注意：①逐一求出(或用字母表示出)相应点的坐标，直到探索出点的坐标变化规律为止；②确定起始点找到探寻方向；③抓住问题的关键点等；④探求出统一的表示形式．类型二：数式规律例题2：（2019•四川省达州市•3分）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【解答】解：∵a1＝5，a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝5，…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673，∴a2019＝a3＝，故选：D ．技法归纳：(1)对于不是循环而有规律排列的数或式，根据前后数或式之间的关系，找出其与序列数n 之间的关系，探求其一般表达式；(2)对于循环产生的数或式，先找到其循环周期；(3)对于数阵的规律问题，先求出每行和每列的个数，并观察相邻数据的变化特点，进而得到该行或该列上的数与行列序数的关系．第一步：标序数；第二步：对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，…，n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；第三步：根据找出的规律得出第n 个等式，并进行检验．类型三：图形规律例题3：(2017·绥化中考)如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为．【解析】记原来三角形的面积为S ，第一个小三角形的面积为S 1，第二个小三角形的面积为S 2，…. ∵S 1＝14·S＝122·S，S 2＝14·14S ＝124·S，S 3＝126·S，∴S n ＝122n ·S＝122n ·12·2·2＝122n －1.故答案为122n －1. 技法归纳：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．【变式训练】1. (2018·成都中考)已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2 018＝．【解析】∵S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝1S 2＝－a a ＋1，S 4＝－S 3－1＝a a ＋1－1＝－1a ＋1，S 5＝1S 4＝－(a ＋1)，S 6＝－S 5－1＝(a ＋1)－1＝a ，S 7＝1S 6＝1a ，…，∴S n 的值每6个一循环．∵2 018＝336×6＋2，∴S 2 018＝S 2＝－a ＋1a.故答案为－a ＋1a.2. (2018·安徽中考)观察以下等式：第1个等式：11＋02＋11×02＝1，第2个等式：12＋13＋12×13＝1，第3个等式：13＋24＋13×24＝1，第4个等式：14＋35＋14×35＝1，第5个等式：15＋46＋15×46＝1，…按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：；(2)写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的等式表示)，并证明．【解析】：(1)16＋57＋16×57＝1(2)根据题意，第n 个分式分母分别为n 和n ＋1，分子分别为1和n －1，故答案为1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1n ＋1＝1.证明：1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1n ＋1＝n ＋1＋n （n －1）＋（n －1）n （n ＋1）＝n 2＋n n （n ＋1）＝1，∴等式成立．3. （2019•四川省广安市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt△OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°，再以OA 2为直角边作Rt△OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°，再以OA 3为直角边作Rt△OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°…按此规律进行下去，则点A 2019的坐标为（﹣22017，220173）．【解答】解：由题意得， A 1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，A3的坐标为（﹣2，，A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣），A6的坐标为（16，﹣），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣，∵2019÷6＝336…3，∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为2，故答案为：（﹣22017，2）．4. (2018·滨州中考)观察下列各式：1＋112＋122＝1＋11×2，1＋122＋132＝1＋12×3，1＋132＋142＝1＋13×4，…请利用你所发现的规律，计算1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142＋ (1)192＋1102，其结果为．【解析】1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142 ＋…＋1＋192＋1102 ＝1＋11×2＋1＋12×3＋1＋13×4＋…＋1＋19×10＝1×9＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋19－110＝9＋1－110＝9910. 故答案为9910.5. (2019•湖南益阳•4分)观察下列等式： ①3－22＝(2－1)2，②5－62＝(3－2)2，③7－122＝(4－3)2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【解答】解：写出第6个等式为13－242＝2(76)- 故答案为13－242＝2(76)-6. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）如图，直线l ：y ＝x+1分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线l 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线l 于点A 3，依此规律…，若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积为S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积为S 3…，则S n ＝．【解答】解：直线l ：y ＝x+1，当x ＝0时，y ＝1；当y ＝0时，x ＝﹣∴A（﹣，0）A1（0，1）∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l，∴∠OA1B1＝30°，在Rt△OA1B1中，OB1＝•OA1＝，∴S1＝；同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，∴S2＝＝＝；依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……因此：S n＝故答案为：．7. （2019•山东潍坊•3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）【解答】解：连接OP 1，OP 2，OP 3，l 1、l 2、l 3与x 轴分别交于A 1、A 2、A 3，如图所示：在Rt△OA 1P 1中，OA 1＝1，OP 1＝2， ∴A 1P 1＝2211OP OA -＝2221-＝3，同理：A 2P 2＝2232-＝5，A 3P 3＝2243-＝7，……，∴P 1的坐标为（ 1，3），P 2的坐标为（ 2，5），P 3的坐标为（3，7），……， …按照此规律可得点P n 的坐标是（n ，22(1)n n +-），即（n ，21n +）故答案为：（n ，21n +）．8. （2019•四川省达州市•11分）箭头四角形模型规律如图1，延长CO 交AB 于点D ，则∠BOC ＝∠1+∠B ＝∠A+∠C+∠B ．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“∠BOC ＝∠A+∠B+∠C ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F ＝ 2α ．②如图3，∠ABE 、∠ACE 的2等分线（即角平分线）BF 、CF 交于点F ，已知∠BEC ＝120°，∠BAC ＝50°，则∠BFC ＝ 85° ．③如图4，BO i 、CO i 分别为∠ABO 、∠ACO 的2019等分线（i ＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O 1、O 2、O 3、…、O 2018．已知∠BOC ＝m °，∠BAC ＝n °，则∠BO 1000C ＝（m+n ）度．（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD 中，BC ＝CD ，∠BCD ＝2∠BAD ．O 是四边形ABCD 内一点，且OA ＝OB ＝OD ．求证：四边形OBCD 是菱形．【解答】解：（1）①如图2，在凹四边形ABOC中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，在凹四边形DOEF中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α；②如图3，∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF，∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，∴∠F＝，∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，∴∠F＝85°；③如图3，由题意知∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO，∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO，∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC，则∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，解得：∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，∴∠BO1000C＝m°+n°；故答案为：①2α；②85°；③（m+n）；（2）如图5，连接OC，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA，∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝∠BOD，∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，∴∠BOC ＝∠BOD，∠BCO ＝∠BCD，又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC，又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四边形OBCD是菱形．。

专题01 有理数(专题详解)(解析版)

专题01 有理数专题详解专题01 有理数专题详解 (1)1.1正数和负数 (5)知识框架 (5)一、基础知识点 (5)知识点1 负数的产生 (5)知识点2 相反意义的量的表示方式 (5)知识点3 正数、负数及0的意义 (6)二、典型题型 (7)题型1 平均数与正负数 (7)题型2 用正负数表示误差范围 (8)题型3 正负数规律探究 (8)1.2有理数 (10)1.2.1有理数 (10)知识框架 (10)一、基础知识点 (10)知识点1 有理数及相关概念 (10)知识点2 小数分类补充 (11)知识点3 有理数的分类 (11)知识点4 常用数学概念的含义 (12)二、典型题型 (12)题型1 数集问题 (13)题型2 规律探究 (14)1.2.2数轴 (16)知识框架 (16)一、基础知识点 (16)知识点1 数轴的概念 (16)知识点2 数轴的读数与画法 (16)知识点3 数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合） (17)知识点4 数轴与数的大小 (18)二、典型题型 (18)题型1 利用数轴求两点间距离 (18)题型2 数轴上点的运动 (19)1.2.3相反数 (21)知识框架 (21)一、基础知识点 (21)知识点1 相反数的概念 (21)知识点2 相反数的意义 (21)知识点3 多重符号的化简 (22)二、典型题型 (23)题型1 相反数的性质与求法 (23)题型2 相反数与数轴相结合 (24)1.2.4绝对值 (25)知识框架 (25)一、基础知识点 (25)知识点1 绝对值的意义 (25)知识点2 绝对值的性质 (25)知识点3 绝对值与数的大小 (26)二、典型题型 (27)题型1 由数求绝对值，由绝对值求数 (27)题型2 比较有理数大小的方法 (28)题型3 含有字母的绝对值的化简求值 (29)题型4 绝对值非负性的应用 (30)三、难点题型 (31)题型1 求绝对值的值 (31)题型2 含字母绝对值的化简（复杂） (32)题型3 借助数轴解绝对值问题 (33)1.3有理数的加减法 (35)知识框架 (35)知识点1 有理数的加法 (35)知识点2 有理数的加法运算律 (36)知识点3 运用运算律简化计算 (36)知识点4 有理数减法的意义 (36)知识点5 有理数的加减混合运算 (37)二、典型题型 (38)题型1 有理数加法的应用 (38)题型2 加法运算定律的应用 (38)题型3 有理数减法的应用 (39)题型4 运用作差法比较有理数的大小 (40)三、难点题型 (40)题型1 有理数与数轴、相反数、绝对值等知识的综合 (40)题型2 定义新运算 (41)1.4有理数的乘除法 (42)知识框架 (42)一、基础知识点 (42)知识点1 有理数的乘法法则 (42)知识点2 有理数乘法的运算律 (42)知识点3 倒数的概念 (43)知识点4 有理数的除法法则 (44)知识点5 有理数四则混合运算 (45)知识点6 正负数的表示方法 (46)二、典型题型 (48)题型1 有理数乘除法与绝对值的综合应用 (48)三、难点题型 (49)题型1 ±1赋值问题 (49)题型2 定义新运算 (49)1.5有理数的乘方 (51)知识框架 (51)知识点1 乘方的意义 (51)知识点2 乘方运算法则 (52)知识点3 科学记数法的概念 (53)知识点4 近似数与准确数 (54)知识点5 理解精确度 (55)二、典型题型 (55)题型1 有理数的混合运算 (55)题型2 乘方的简便计算 (56)题型3 确定末位数字 (57)题型4 由近似数估算准确数的取值范围 (58)三、难点题型 (58)题型1 乘方在实际问题中的应用 (58)题型2实际问题中的近似数 (59)1.1正数和负数知识框架一、基础知识点知识点1 负数的产生1）负数：规定一种意义的量为正数，与之意义相反的量规定为负数。

规律探究问题(解析版)

故选：C．
2．(2019湖南省娄底市)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的弧AB多次复制并首尾连接而成．现有一点从为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点的纵坐标为
A． B． C．0D．1
【答案】B
【解析】点运动一个弧AB用时为秒．
【答案】A
【解析】过A1作A1D1⊥x轴于D1，
∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°，
∴△OA1E是等边三角形，
问题拓展：
解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：
则EG＝AG＝，PH＝FH，
∴AE＝5，
在Rt△ABE中，BE＝＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，
∴△ABE∽△QCE，
∴ ＝＝3，
∴QE＝ AE＝，
∴AQ＝AE+QE＝，
【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
【解答】：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
【答案】A
【解析】连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：
在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，
∴A1P1＝＝＝，
同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，
∴P1的坐标为（1，），P2的坐标为（2，），P3的坐标为（3，），……，

专题01 规律探究-备战2022年中考数学母题题源解密(全国通用)(解析版)

专题01 规律探究问题考向1 数字规律探究问题【母题来源】2021年中考江苏镇江卷【母题题文】（2021•镇江）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（）A．A1B．B1C．A2D．B3【答案】B【试题解析】由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，整理得：2n＝260，则n不是整数，故A1的值不可以等于789；A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，整理得：2n＝254，则n不是整数，故A2的值不可以等于789；B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，整理得：2n＝256＝28，则n是整数，故B1的值可以等于789；B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，整理得：2n＝252，则n不是整数，故B3的值不可以等于789；故选：B．【命题意图】考查数字变化类规律，培养学生的抽象思维能力．【命题方向】数字的变化类问题一般以选填形式出现，安排在压轴位置，提高学生的区分度．【得分要点】解数字类规律探究问题的一般步骤:(1)通过观察、对比,找出各部分的特征;(2)猜想、归纳出一般规律并验证;(3)将所求问题代入一般规律.考向2 几何图形类的规律探究问题【母题来源】2021年中考湖南湘西卷【母题题文】古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数a n＝.（用含n的式子表达）【答案】【试题解析】第1个图形表示的三角形数为1，第2个图形表示的三角形数为1+2＝3，第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6，第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10，....．第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+（n﹣1）+n．故答案为：．【命题意图】考查图形变化类的规律，目的是通过数形结合培养学生的抽象思维能力．【命题方向】以选填为主，主要设置在压轴位置，增加学生的区分度.【得分要点】解几何图形类规律探究问题的一般步骤:(1)找到图形之间变与不变的规律;(2)猜想规律与“序号”之间的对应关系,并用关于“序号”的式子表示出来;(3)验证式子,并解答问题.考向3 点的坐标变化的规律探究问题【母题来源】2021年中考湖北卷【母题题文】如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点P1（﹣1，﹣1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2021的坐标为．【答案】（﹣1011，﹣1011）【试题解析】观察图象可知，奇数点在第三象限，∵P1（﹣1，﹣1），P3（﹣2，﹣2），P5（﹣3，﹣3），•••，P2n﹣1（﹣n，﹣n），∴P2021（﹣1011，﹣1011），故答案为：（﹣1011，﹣1011）．【命题意图】考查坐标与图形变化﹣平移，规律型等知识，训练学生探究规律，利用规律解决问题的能力．【命题方向】选填为主，将坐标求取与平移、旋转或对称相结合.【得分要点】解点坐标变化规律探究问题的一般方法:(1)点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时,先求出第一个循环周期内相关点的坐标,然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置,从而求出坐标;(2)点的坐标是成倍递推变化时,先求出前几个点的坐标,然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的倍分关系.1．（2021•广汉市模拟）右边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（）A．131 B．130 C．129 D．128【答案】B【解析】∵每行的最后一个数是这个行的行数m的平方，第m行的数字的个数是2m﹣1，∵442＝1936，所以2021在第45行，∵452＝2025，∴45行最后一个数字是2025，第45行有2×45﹣1＝89个数字，从2025往前数4个数据得到2021，从而得出2021是第85个数据，∴m ＝45，n＝85，∴m+n＝45+85＝130．故选：B．2．（2021•沙坪坝区校级二模）如图所示，将形状、大小完全相同的小圆点“•”按照一定规律摆成下列图形，其中第①个图案中有5个小圆点，第②个图案中有9个小圆点，第③个图案中有13个小圆点，……按此规律排列下去，则第⑥个图案中小圆点的个数为（）A．21 B．25 C．29 D．33【答案】B【解析】∵第①个图案中“●”有：1+4×1＝5个，第②个图案中“●”有：1+4×2＝9个，第③个图案中“●”有：1+4×3＝13个，第④个图案中“●”有：1+4×4＝17个，…∴第⑥个图案中“●”有：1+4×6＝25个，故选：B．3．（2021•房县一模）将正整数按如图所示的位置顺序排列：根据排列规律，则2021应在（）A．A处B．B处C．C处D．D处【答案】D【解析】2021÷4＝505…1，∴2021应在1的位置，也就是在D处．故选：D．4．（2021•涪城区模拟）由6个数组成数列a0，将其中的每个数换成该数在数列a0中出现的次数，可得到一个新的数列a1，例如数列a0：{1，1，3，2，5，2}，则a1：{2，2，1，2，1，2}，当某个数列a0经过变换得到新的数列a1，由a1继续按相同规则变换得到a2，…最终得到数列a n﹣1（n≥2）与数列a n相同，则a n不可能是下列的（）A．{2，4，4，4，2，4} B．{1，3，2，3，2，3}C．{6，6，6，6，6，6} D．{1，1，1，1，1，1}【答案】D【解析】A．a0＝{2，4，4，4，2，4}，a1＝{2，4，4，4，2，4}，……，a n＝{2，4，4，4，2，4}，符合题意；B．a0＝{1，3，2，3，2，3}，a1＝{1，3，2，3，2，3}，……，a n＝{1，3，2，3，2，3}，符合题意；C．a0＝{6，6，6，6，6，6}，a1＝{6，6，6，6，6，6}，……，a n＝{6，6，6，6，6，6}，符合题意；D．a0＝{1，1，1，1，1，1}，a1＝{6，6，6，6，6，6}，……，a n＝{6，6，6，6，6，6}，不符合题意；故选：D．5．（2021•交城县二模）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，若公式∁n m（n＞m），则C125＝（）A．60 B．792 C．812 D．5040【答案】B【解析】∵，∴＝792，故选：B．6．（2021•广东一模）按照图中图形变化的规律，则第2021个图形中黑色正方形的数量是（）A．1010 B．1012 C．3030 D．3032【答案】D【解析】根据图形变化规律可知：第1个图形中黑色正方形的数量为2，第2个图形中黑色正方形的数量为3，第3个图形中黑色正方形的数量为5，第4个图形中黑色正方形的数量为6，...，当n为奇数时，黑色正方形的个数为[3（n+1）﹣1]，当n为偶数时，黑色正方形的个数为（3n），∴第2021个图形中黑色正方形的数量是[3（2021+1）﹣1]，故选：D．7．（2021•武汉模拟）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造一组正方形（如图1）；再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个拼成如图2长方形并记为①，②，③，④若按此规律继续作长方形，则序号为⑦的长方形周长是（）A．110 B．100 C．105 D．90【答案】A【解析】由分析可得：第⑤个的周长为：2×（8+13），第⑥的周长为：2×（13+21），第⑦个的周长为：2×（21+34）＝110，故选：A．8．（2021•鞍山一模）如图，直线OA的解析式为y＝x，点P1坐标为（1，0），过P1作PQ1⊥x轴交OA于Q1，过Q1作P2Q1⊥OA交x轴于P2，过P2作P2Q2⊥x轴交OA于Q2，过Q2作P3Q2⊥OA交x轴于P3，…，按此规律进行下去，则P100的坐标为（）A．（2100﹣1，0）B．（5050，0）C．（299，0）D．（100，0）【答案】C【解析】∵直线OA的解析式为y＝x，∴∠AOP1＝45°，∵PQ1⊥x轴，∴△OP1Q1为等腰直角三角形，∵点P1坐标为（1，0），∴P1Q1＝OP1＝1，∵P2Q1⊥OA，∴∠P1Q1P2＝45°，∴△P1P2Q1为等腰直角三角形，∴P1P2＝P1Q1＝1，∴P2（2，0），同理可得P3（4，0），P4（8，0），……，P n（2n﹣1，0），∴P100（299，0），故选：C．9．（2021•潍城区二模）将从1开始的连续自然数按图表所示规律排列：规定位于第a行，第b列的自然数记为（a，b）．例如，自然数10记为（3，2），自然数14记为（4，3）…按此规律，自然数2021记为（）A．（505，1）B．（505，4）C．（506，1）D．（506，4）【答案】D【解析】由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．∵2021÷4＝505……1，505+1＝506，∴2021在第506行，∵偶数行的数字从左往右是由大到小排列，∴自然数2021记为（506，4）．故选：D．10．（2021•十堰一模）将从1开始的自然数按规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第4列的数是（）A．2025 B．2023 C．2022 D．2021【答案】C【解析】观察数字的变化，发现规律：第n行的第一个数为n2，所以第45行第一个数为452＝2025，再依次减1，到第4列，即452﹣3＝2022．故选：C．11．（2021•陆良县一模）按一定规律排列的单项式a，﹣3a2，5a3，﹣7a4，9a5，…第n个单项式是（）A．（﹣1）n（2n﹣1）a n B．（﹣1）n+1（2n+1）a nC．（﹣1）n（2n+1）a n D．（﹣1）n+1（2n﹣1）a n【答案】D【解析】∵a＝（﹣1）1+1×（2×1﹣1）a，﹣3a2＝（﹣1）2+1×（2×2﹣1）a2，5a3＝（﹣1）3+1×（2×3﹣1）a3，﹣7a4＝（﹣1）4+1×（2×4﹣1）a4，9a5＝（﹣1）5+1×（2×5﹣1）a5，…∴第n个单项式为：（﹣1）n+1（2n﹣1）a n．故选：D．12．（2021•河南模拟）如图，过点A1（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则点B2021的坐标为（）A．（22021，22020）B．（22021，22022）C．（22022，22021）D．（22020，22021）【答案】B【解析】由已知作图规律可知：A1（2，0），A₂（4，0），A3（8，0），A4（16，0），…，An（2n，0），∴对应的B1（2，4），B2（4，8），B3（8，16），B4（16，32），…，B n（2n，2n+1），∴点B2021的坐标为（22021，22022），故选：B．13．（2021•武汉模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成．第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图形有10个正三角形，…依此规律，若第n个图案有2020个三角形，则n＝（）A．670 B．672 C．673 D．676【答案】C【解析】∵第（1）个图案有3+1＝4个三角形，第（2）个图案有3×2+1＝7个三角形，第（3）个图案有3×3+1＝10个三角形，…∴第n个图案有（3n+1）个三角形．根据题意可得：3n+1＝2020，解得：n＝673，故选：C．14．（2021•八步区模拟）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（）A．134 B．136 C．140 D．144【答案】B【解析】由题意得：左上角的数分别为1＝21﹣1，2＝22﹣1，4＝23﹣1，8＝24﹣1，则左上角第n个数为2n﹣1（n为正整数）；左下角的数分别为：2＝2×1，4＝2×2，6＝2×3，8＝2×4，则左下角第n个数为：2n；右上角的数分别为：4＝2×1+2，6＝2×2+2，8＝2×3+2，10＝2×4+2，则右上角第n个数为：2n+2；右下角的数分别为：7＝2×4﹣1，22＝4×6﹣1，44＝6×8﹣4，72＝8×10﹣8，则右下角第n个数为：2n（2n+2）﹣2n﹣1，根据排列规律，得：2n﹣1＝32，解得：n＝6，∴m＝2×6×（2×6+2）﹣32＝168﹣32＝136，故选：B．15．（2021•淅川县一模）如图，矩形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2），若矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第145秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣1，﹣3）C．（﹣2，0）D．（1，﹣3）【答案】C【解析】∵矩形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2），∴D（﹣1，），过点D作DE⊥x轴于E，则OE＝1，DE，∴OD，∴tan∠DOE，∴∠DOE＝60°，∵60°×145÷360°＝24，，∴第145秒时，点D恰好在x轴负半轴上，∴此时点D的坐标为（﹣2，0），故选：C．16．（2021•路北区三模）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）【答案】C【解析】点A第一次关于y轴对称后在第二象限，点A第二次关于x轴对称后在第三象限，点A第三次关于y轴对称后在第四象限，点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2021÷4＝505余1，∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣1，2）．故选：C．17．（2021•焦作模拟）如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（）A．（﹣2 020，）B．（﹣2 019，）C．（﹣2 018，）D．（﹣2 017，）【答案】C【解析】∵△ABC是等边三角形AB＝3﹣1＝2，∴点C到x轴的距离为1+21，横坐标为2，∴C（2，1），第2020次变换后的三角形在x轴上方，点C的纵坐标为1，横坐标为2﹣2020×1＝﹣2018，∴点C的对应点C′的坐标是（﹣2018，1），故选：C．18．（2021•渝中区校级三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（）A．34 B．40 C．49 D．59【答案】C【解析】当n＝1时，第1个图案的圆点的个数是y1＝5+2＝7个．当n＝2时，第2个图案的圆点的个数是y2＝y1+3＝5+2+3＝10个．当n＝3时，第3个图案的圆点的个数是y3＝y2+4＝5+2+3+4＝14个．当n＝4时，第4个图案的圆点的个数是y4＝y3+5＝5+2+3+4+5＝19．..．以此类推，第n个图案的圆点的个数是y n＝5+2+3+4+...+（n+1）个．∴当n＝8时，第8个图案的圆点的个数是个．故选：C．19．（2021•开封二模）如图，将△ABC沿着过BC，AB的中点D，E所在的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，点D到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD，BE的中点D1，E1所在的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，点D1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去，…，经过第n次操作后得到点D n﹣1到AC的距离记为h n．若h1＝1，则h n值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵将△ABC沿着过BC，AB的中点D，E所在的直线折叠，点D到AC的距离为h1，∴点D到AC的距离h1＝1，DE∥AC，DE AC，∴△EBD∽△ABC，△EBD与△ABC的相似比为1：2，∵折叠，∴△EBD≌△EB1D，∴△EB1D∽△ABC，△EB1D与△ABC的相似比为1：2，∵将△BDE沿着过BD，BE的中点D1，E1所在的直线折叠，点D1到AC的距离记为h2，同理：△E1B2D1∽△EB1D，△E1B2D1与△EB1D的相似比为1：2，∴D1到AC的距离h2＝1，同理：h3＝h2h1＝1，h4＝h3h1＝1，..．h n＝1...2，故选：A．20．（2021•北京一模）二维码是一种编码方式，它是用某种特定的几何图形按一定规律在平面（二维方向上）分布，采用黑白相间的图形记录数据符号信息的．某社区为方便管理，仿照二维码编码的方式为居民设计了一个身份识别图案系统：在4×4的正方形网格中，白色正方形表示数字0，黑色正方形表示数字1，将第i行第j列表示的数记为a i，j（其中i，j都是不大于4的正整数），例如，图中，a1，2＝0．对第i行使用公式A i＝a i，1×23+a i，2×22+a i，3×21+a i，4×20进行计算，所得结果A1，A2，A3，A4分别表示居民楼号，单元号，楼层和房间号．例如，图中，A3＝a3，1×23+a3，2×22+a3，3×21+a3，4×20＝1×8+0×4+0×2+1×1＝9，A4＝0×8+0×4+1×2+0×1＝2，说明该居民住在9层，2号房间，即902号．有下面结论：①a2，3＝0；②图中代表的居民居住在11号楼；③A2＝3，其中正确的是（）A．③B．①②C．①③D．①②③【答案】B【解析】①a2，3表示的是将第2行第3列是白色正方形，所以表示的数是0，即a2，3＝0，故①正确；②图中代表的居民的楼号A1＝a1，1×23+a1，2×22+a1，3×21+a1，4×20＝1×23+0×22+1×21+1×20＝1×8+0×4+1×2+1×1＝11，∴图中代表的居民居住在11号楼；故②正确；③A2＝a2，1×23+a2，2×22+a2，3×21+a2，4×20＝0×23+1×22+0×21+0×20＝0×8+1×4+0×2+0×1＝4，故③错误，综上，①②是正确的．故选：B．。

专题01 规律探究问题(精练)-初中中考数学高频考点突破全攻略(原卷板+解析版)

一、选择题（10×3=30分）1. （2017广西百色）观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第11个数是（）A．﹣121 B．﹣100 C．100 D．1212. （2017日照）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．23 B．75 C．77 D．1393.（2016·四川达州·3分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．504. （2017湖北随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）A．84株B．88株C．92株D．121株5.（2017·烟台）用棋子摆出下列一组图形(如图)：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为 ( )A．3n B．6n C．3n＋6 D.3n＋36.将从1开始的自然数，按如图所示的规律排列，在2，3，5，7，10，13，17，…，处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…，次弯，则第33次拐弯处的那个数是（）A．290 B．226 C．272 D．3027.用菱形纸片按规律依次拼成如图3-5-1的图案．第1个图案中有5张菱形纸片；第2个图案中有9张菱形纸片；第3个图案中有13张菱形纸片．按此规律，第6个图案中的菱形纸片的张数为（）图3-5-1A．21 B．23 C．25 D．298. （2017浙江湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13 B．14 C．15 D．169.如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是（）A．4 B．23C．2 D．010. （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为．二、填空题（6×4=24分）.11.（2018湖北荆州）（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是．12.（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为．13. （2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为．14.（2018•贵州遵义•4分）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为．15.（2018广西桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为列行第1列第2列第3列第4列第1行 1 2 3 4第2行8 7 6 5第3行9 10 11 12第4行16 15 14 13 ……………第n行…………16.（2018广西贵港）（3.00分）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点A n的坐标为（）．三、解答题（共46分）.17. （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，求的长．18.（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6= = ﹣；（2）用含n的代数式表示第n个等式：a n= = ﹣；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+a n．19. (2016安徽，18，8分)（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n 的代数式填空：1+3+5+…+（2n ﹣1）+（ 2n+1 ）+（2n ﹣1）+…+5+3+1= ．20. （2018·湖北随州·11分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化例：将0.7化为分数形式由于0.7 =0.777…，设x=0.777…① 则10x=7.777…② ②﹣①得9x=7，解得x=79，于是得0.7 =79．同理可得0.3 =39=13，1.4 =1+0.4 =1+49=139根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）0.5 = ，5.8 = ；（2）将0.23化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）0.315 = ，2.018= ；（注：0.315=0.315315…，2.018=2.01818…）【探索发现】（4）①试比较0.9与1的大小：0.91（填“＞”、“＜”或“=”）②若已知0.285714=27，则3.714285= ．（注：0.285714=0.285714285714…）一、选择题（10×3=30分）1. （2017广西百色）观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第11个数是（）A．﹣121 B．﹣100 C．100 D．121【解答】解：0=﹣（1﹣1）2，1=（2﹣1）2，﹣4=﹣（3﹣1）2，9=（4﹣1）2，﹣16=﹣（5﹣1）2，∴第11个数是﹣（11﹣1）2=﹣100，故选B．2. （2017日照）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．23 B．75 C．77 D．1393.（2016·四川达州·3分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．4. （2017湖北随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）A．84株B．88株C．92株D．121株5.（2017·烟台）用棋子摆出下列一组图形(如图)：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为 ( )A．3n B．6n C．3n＋6 D.3n＋3【解析】∵第1个图需棋子3＋3＝6；第2个图需棋子3×2＋3＝9；第3个图需棋子3×3＋3＝12；…∴第n个图需棋子(3n＋3)个．6.将从1开始的自然数，按如图所示的规律排列，在2，3，5，7，10，13，17，…，处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…，次弯，则第33次拐弯处的那个数是（）A．290 B．226 C．272 D．302【解析】：拐弯处的数与其序数的关系如下表：拐弯的序数0 1 2 3 4拐弯处的数 1 2 3 5 7拐弯的序数 5 6 7 8 …拐弯处的数10 13 17 21 …由此可见相邻两数的差是1，1，2，2，3，3，4，4，...，则第33次拐弯处的数是1+2×（1+2+ (16)+17=290.故选A.学科@网7.用菱形纸片按规律依次拼成如图3-5-1的图案．第1个图案中有5张菱形纸片；第2个图案中有9张菱形纸片；第3个图案中有13张菱形纸片．按此规律，第6个图案中的菱形纸片的张数为（）图3-5-1A．21 B．23 C．25 D．298. （2017浙江湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13 B．14 C．15 D．16【解答】解：如图1，连接AC，CF，则AF=3，∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是14次，故选：B．9.如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是（）A．4 B．23C．2 D．010. （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为．【解答】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…∵P1是⊙O2上的点，∴P1O1=OO1，∵直线l解析式为y=x，∴∠P1OO1=45°，∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，二、填空题（6×4=24分）.11.（2018湖北荆州）（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是．【解答】解：∵第1次输出的结果是25，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是5，第5次输出的结果是5，…，∴第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数），∴第2018次输出的结果是5．故答案为：5．学科@网12.（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为．13. （2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为．14.（2018•贵州遵义•4分）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为．【解答】解：由图可得，第1层三角形的个数为：1，第2层三角形的个数为：3，第3层三角形的个数为：5，第4层三角形的个数为：7，第5层三角形的个数为：9，……第n层的三角形的个数为：2n﹣1，∴当n=2018时，三角形的个数为：2×2018﹣1=4035，故答案为：4035．15.（2018广西桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n 列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为列行第1列第2列第3列第4列第1行 1 2 3 4第2行8 7 6 5第3行9 10 11 12第4行16 15 14 13 ……………第n行…………【分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2018除以4，根据除数与余数确定2018所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可．16.（2018广西贵港）（3.00分）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点A n的坐标为（）．三、解答题（共46分）.17. （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，求的长．【分析】连接P1O1，P2O2，P3O3，易求得P n O n垂直于x轴，可得为圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．学科@网【解答】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…∵P1是⊙O2上的点，∴P1O1=OO1，∵直线l解析式为y=x，∴∠P1OO1=45°，∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，18.（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6= = ﹣；（2）用含n的代数式表示第n个等式：a n= = ﹣；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+a n．【分析】（1）根据已知4个等式可得；（2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．=﹣=．19. (2016安徽，18，8分)（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1 ）+（2n﹣1）+…+5+3+1=．【分析】（1）根据1+3+5+7=16可得出16=42；设第n幅图中球的个数为a n，列出部分a n的值，根据数据的变化找出变化规律“a n﹣1=1+3+5+…+（2n﹣1）=n2”，依此规律即可解决问题；（2）观察（1）可将（2）图中得黑球分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，再结合（1）的规律即可得出结论．（2）观察图形发现：20. （2018·湖北随州·11分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可例：将0.7化为分数形式由于0.7 =0.777…，设x=0.777…① 则10x=7.777…② ②﹣①得9x=7，解得x=79，于是得0.7 =79．同理可得0.3 =39=13， 1.4 =1+0.4 =1+49=139根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）0.5 = ， 5.8 = ；（2）将0.23化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）0.315 = ， 2.018= ；（注：0.315 =0.315315…， 2.018=2.01818…）【探索发现】（4）①试比较0.9与1的大小：0.9 1（填“＞”、“＜”或“=”） ②若已知0.285714=27，则 3.714285= ．（注：0.285714=0.285714285714…）【分析】根据阅读材料可知，每个整数部分为零的无限循环小数都可以写成分式形式，如果循环节有n位，则这个分数的分母为n个9，分子为循环节．学科@网（3）同理0.315=315999=35111，2.0=2+1181099=11155故答案为：35111，11155（4）①0.9=99=1故答案为：0.9=1②3.714285=3+714285999999=3+57=267故答案为：26 7。

中考数学总复习专题一：探索规律问题含真题分类汇编解析

聚焦泰安类型一数式规律(2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a 1，第二个三角数记为a 2，…第n 个三角数记为a n ，计算a 1＋a 2，a 2＋a 3，a 3＋a 4，…，由此推算a 399＋a 400＝．1．(2017·遵义)按一定规律排列的一列数依次为23，1，87，119，1411，1713，…，按此规律，这列数中的第100个数是__________．类型二图形规律这类题目通常是给出一组图形的排列(或通过操作得到一系列的图形)，探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．解决此类问题：先观察图案的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值．(2016·重庆)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )A ．64B ．77C ．80D ．85【分析】观察图形特点，可将图形分为两部分：上面的三角形和下面的正方形，因此小圆圈的个数分别是3＋12，6＋22，10＋32，15＋42，…，据此总结出规律求解即可．3．(2017·随州)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n ＝11时，芍药的数量为( )A ．84株B ．88株C ．92株D ．121株4．(2017·绵阳)如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 19的值为( )A.2021B.6184C.589840D.431760 类型三点的坐标规律这类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．(2017·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝33x －33与x 轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l 于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2 017的横坐标是．【分析】利用直线的表达式及等边三角形的性质计算出A1，A2，A3，A4的横坐标，得出规律，写出A2 017的横坐标即可．5．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2 018的坐标是( )A．(22 017，22 017) B．(22 018，22 018)C．(22 017，22 018) D．(22 018，22 017)6．(2017·安顺)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第n 个等腰直角三角形A n B n －1B n 的顶点B n 的横坐标为_________.参考答案【聚焦泰安】【例1】 ∵a 1＋a 2＝1＋3＝4＝22，a 2＋a 3＝3＋6＝9＝32，a 3＋a 4＝6＋10＝16＝42，…，∴a n ＋a n ＋1＝(n ＋1)2.∴a 399＋a 400＝4002＝160 000.故答案为160 000. 变式训练 1. 299201 2.nn ＋1【例2】通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第①个图形：3＋12＝（1＋2）×22＋12＝4；第③个图形：10＋32＝（1＋4）×42＋32＝19；第④个图形：15＋42＝（1＋5）×52＋42＝31；…所以第n 个图形：（n ＋1）（n ＋2）2＋n 2.当n ＝7时，图中小圆圈的个数为（7＋2）（7＋1）2＋72＝85.故选D .变式训练 3.B 4.C【例3】由直线l ：y ＝33x －33与x 轴交于点B 1，可得B 1(1，0)，D(0，－33)，∴OB 1＝1，∠OB 1D ＝30°.如图，过A 1作A 1A⊥OB 1于A ，则OA ＝12OB 1＝12，由题可得∠A 1B 2B 1＝∠OB 1D ＝30°， ∠B 2A 1B 1＝∠A 1B 1O ＝60°，∴∠A 1B 1B 2＝90°，∴A 1B 2＝2A 1B 1＝2. 过A 2作A 2B⊥A 1B 2于B ，则A 1B ＝12A 1B 2＝1，即A 2的横坐标为12＋1＝32＝22－12.过A 3作A 3C⊥A 2B 3于C ，同理可得，A 2B 3＝2A 2B 2＝4，A 2C ＝12A 2B 3＝2，即A 3的横坐标为12＋1＋2＝72＝23－12.同理可得，A 4的横坐标为12＋1＋2＋4＝152＝24－12，由此可得，A n 的横坐标为2n －12，∴点A 2 017的横坐标为22 017－12.故答案为22 017－12.变式训练 5.A 6.2n ＋1－2。

中考数学《规律探索》专题复习试题含解析

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

中考数学专题复习《规律探究》知识点梳理及典例讲解课件

第3题
A. 9
B. 10
C. 11
1
2
3
D. 12
4
5
6
7
4. （2023·岳阳）观察下列式子：
12－1＝1×0；22－2＝2×1；32－3＝3×2；42－4＝4×3；52－5＝
5×4；…；依此规律可知，第n（n为正整数）个等式为
n2－n＝n（n－1）
.
1
2
3
4
5
6
7
5. （2023·山西）如图所示为一组有规律的图案，这些图案是由若干个

×

+

＝2－

.
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）：

＝2－

解：∵
−
×
+
，并证明.
− + −

左边＝
× ＝
＝2－＝右边，∴
+

等式成立.
+

典例2 （2022·安徽）观察以下等式：
第1个等式：（2×1＋1）2＝（2×2＋1）2－（2×2）2；第2个等式：
解：第 n 个等式：（ 2n ＋ 1 ） 2 ＝ [ （ n ＋ 1 ） ×2n ＋ 1]2 － [ （ n ＋ 1 ）
×2n]2.∵ 左边＝4n2 ＋4n＋1，右边＝[（n＋1）×2n]2 ＋2×（n＋1）
×2n＋12－[（n＋1）×2n]2＝4n2＋4n＋1，∴ 左边＝右边.∴ 等式成立.
的正整数之和1＋2＋3＋…＋n是第n个图案中“
”的个数的2倍.
（+）
解：根据题意，得

走进中考聚焦专题第一讲规律探究

走进中考、聚焦专题第一讲规律探究【中考分析】在中考数学命题中,各省市数学中考试题中基本上每年都十分重视规律探究的考查。

规律探究类试题可分为：图形变化类规律探究、数字变化类规律探究、数形结合变化类规律探究等。

它所涉及到的教材上的代数知识或几何知识并不是考查的重点,而是以此为载体考查考生分析归纳能力；所以学生对问题观察、分析、归纳、解决的能力是解答此类问题的关键,而相关的知识和技能只是基础。

【知识与技能】根据一列数或一组图形的特例进行归纳,猜想,找出一般规律,进而列出通用的代数式称之为规律探究。

规律探究可分为图形变化类规律探究、数字变化类规律探究、数形结合变化类规律探究。

图形变化类规律探究：通常是给定一些结构类似、数量和位置不同的几何图案,这些图案之间有一定的规律,并且还可以由一个通用的代数式来表示。

它的思路有两种:一是通过图形的直观性,从图形中直接寻找规律,常用“拆图法”解决问题；一是数图形,将图形转化为数字规律,再用函数法、观察法解决问题。

数字变化类规律探究：通常是给定一些数字、代数式、等式或不等式,然后猜想其中蕴含的规律。

它考查考生的分析、归纳、抽象、概括能力，考查了由特殊到一般的数学思想。

它的思路：第一步写出数式的基本结构,第二步比较同一等式中不同部分的数量关系或比较不同等式间相同位置的数量关系找出各部分的特征,第三步改写成要求的格式。

数形结合变化类规律探究：通常是数字规律探究和图形规律探究的结合。

它的思路就是二者兼而有之。

【中考例题解析】例题1:（2009年广东中考） 15. 如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n个“广”字中的棋子个数是________【考点】规律型：图形的变化类．【分析】根据已知图形得出每下一个“广”字就增加2个棋子，据此可得答案．【解答】解：∵第1个“广”字的棋子为5+2=7，第2个“广”字的棋子为5+2×2=9，第3个“广”字的棋子为5+2×3=11， …∴第3个“广”字的棋子为5+2×5=15, 第n 个“广”字的棋子为2n+5，所以答案为：15，2n+5．方法指导：考查探究图形的变化规律,找出图形的变化规律是解题的关键题型3 数形结合变化类规律探究题型:数字变化类规律探究例题2：（2015年广东中考）15.观察下列一组数：13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是。

备战中考数学二轮专题归纳提升真题平面直角坐标系规律探究问题(解析版)

专题01 平面直角坐标系规律探究问题【知识点梳理】1、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P （a ，b ）与关于x 轴对称点的坐标为（a ，-b ）点P （a ，b ）与关于y 轴对称点的坐标为（-a ，b ）点P （a ，b ）与关于原点对称点的坐标为（-a ，-b ）口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号 2、点的平移点P （a ，b ）沿x 轴向右（或向左）平移m 个单位后对应点的坐标是(a ±m,b )；点P （a ，b ）沿y 轴向上（或向下）平移n 个单位后对应点的坐标是(a,b ±n ). 口诀：横坐标右加左减，纵坐标上加下减.3、两点间的距离：在x 轴或平行于x 轴的直线上的两点P 1 (x 1,y )，P 2 (x 2,y )间的距离为|x 1−x 2| 在y 轴或平行于y 轴的直线上的两点P 1 (x ,y 1)，P 2 (x ,y 2)间的距离为|y 1−y 2| 任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22)任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2【典例分析】【例1y)经过某种变换后得到点P ′(−y +1,x +2)，我们把点P ′(−y +1,x +2)叫做点P(x,y)的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…、nP 、…，若点p 1的坐标为（2，0），则点P 2022的坐标为_____。

【答案】（1，4）．解析：解：P 1 坐标为（2，0），则P 2坐标为（1，4），P 3坐标为（-3，3），P 4坐标为（-2，-1），P 5坐标为（2，0），∴P n 的坐标为（2，0），（1，4），（-3，3），（-2，-1）循环， ∵2022=4×505+2， ∴P 2022 坐标与P 2点重合，故答案为（1，4）．【练1】在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P′（y -1，-x+1）叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．若点A 1的坐标为（3，2），则A 2023的坐标为________【答案】（-3，0）解析：解：∵A1（3，2），A2（1，-2），A3（-3，0），A4（-1，4），A5（3，2），…，∴点A n的坐标4个一循环．∵2023=505×4+3，∴点A2023的坐标与点A2的坐标相同．∴A2023的坐标为（-3，0），故答案为：（-3，0）．【练2】某同学在平面直角坐标系内设计了一个动点运动的编程．若一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，则点A2022的坐标为（）A．（22021﹣1，22021+1）B．（22022﹣1，22022+1）C．（22022﹣2，22022+2）D．（22021﹣2021，22021+2021）【答案】B【解析】解：∵一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，∴A n（2n﹣1，2n+1），∴A2022的坐标为：（22022﹣1，22022+1），故选：B．【练3】对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定P n（x，y）＝P1（P n﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2022（1，﹣1）＝．【答案】（21011，21011）【解析】解：由题意可得：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝（2，﹣2）P3（1，﹣1）＝（0，4），P4（1，﹣1）＝（4，﹣4）P5（1，﹣1）＝（0，8），P6（1，﹣1）＝（8，﹣8）…当n为奇数时，P n（1，﹣1）＝（0，），当n为偶数时，P n（1，﹣1）＝（2n2，2n2），∴P2022（1，﹣1）应该等于（21011，21011）．故答案是：（21011，21011）．【例2】如图，在平面直角坐标系中，A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…根据这个规律，探究可得点A2022的坐标是（）A．（2022，0）B．（2022，2）C．（2021，﹣2）D．（2022，﹣2）【答案】A【解析】解：观察图形可知，点A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，2022÷4＝505…2，故点A2022坐标是（2022，0）．故选：A．【练1】如图，动点P1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2020，1）C．（2022，0）D．（2022，1）【答案】C【解析】分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位，∴2022=4×505+2．当第505循环结束时，点P位置在（2020，0），在此基础之上运动两次到（2022，0）．故选C．【练2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点P2022的坐标是（）A．（2022，1）B．（2022，2）C．（2022，﹣2）D．（2022，0）【答案】D【解析】解：观察图象，动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；∵2022÷6＝337，∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0，故选：D．【练3】如图，平面直角坐标系中，一个点从原点O出发，按向右→向上→向右→向下的顺序依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移到点A1，第二次移到点A2，第三次移到点A3，…，第n次移到点A n，则点A2022的坐标是_____________.【答案】（1011,1）.【解析】观察图象可知，点A的纵坐标每4个点循环一次，∵2022=505×4+2，∴点A2022的纵坐标与点A2的纵坐标相同，∵A2（1，1），A6（3,1），A10（5,1）……，∴点A2022的坐标是（1011,1）.【例3】如图，在平面直角坐标系上有个点A（-1，O），点A第1次向上跳动一个单位至点A1（-1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2(1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是( )A.(-505, 1011)B.(505, 1010)C.(-506, 1010)D.(506, 1011)【答案】D【解析】解：设第n次跳动至点A n，观察，发现：A（-1，0），A1（-1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（-2，2），A5（-2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（-3，4），A9（-3，5），…，∴A4n（-n-1，2n），A4n+1（-n-1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）．∵2022=505×4+2，∴A2022（505+1，505×2+1），即（506，1011）．故选：D．【练1】如图所示，在平面直角坐标系上有个点P（1,0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1,1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(−1,1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位……依此规律跳动下去，点P第99次跳动至点P99的坐标是_____【答案】（-25，50）【解析】解：由题中规律可得出如下结论：设点Px的横坐标的绝对值是n，则在y轴右侧的点的下标分别是4（n-1）和4n-3，在y轴左侧的点的下标是：4n-2和4n-1；判断P199的坐标，就是看99=4（n-1）和99=4n-3和99=4n-2和99=4n-1这四个式子中哪一个有负整数解，从而判断出点的横坐标.由上可得：点P第99次跳动至点P99的坐标是（-25，50）故答案为：（-25，50）.【练2】如图，在平面直角坐标系上有点A0(1,0)，点A0第一次跳动至点A1(−1,1)，第二次点A1跳动至点A2(2,1)，第三次点A跳动至点A3(−2,2)，第四次点A3跳动至点A4(3,2)，……依2此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是（）A．2023B．2022C．2021D．2020【答案】A【解析】观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2022次跳动至A2022点的坐标是（1012，1011），第2021次跳动至点A2021的坐标是（﹣1011，1011）．∵点A2021与点A2022的纵坐标相等，∴点A2021与点A2022之间的距离=1012﹣（﹣1011）=2023．故选：A．【练3】在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（﹣1，3），第四次从点A3跳动到点A4（﹣1，4），…，按此规律下去，则点A2021的坐标是（）A．（673，2021）B．（674，2021）C．（﹣673，2021）D．（﹣674，2021）【答案】B【解析】解：因为A1（0，1），A2（1，2），A3（﹣1，3），A4（﹣1，4），A5（2，5），A6（﹣2，6），A7（﹣2，7），A8（3，8），…A3n﹣1（n，3n﹣1），A3n（﹣n，3n），A3n+1（﹣n，3n+1）（n为正整数），∵3×674﹣1＝2021，∴n＝674，所以A2021（674，2021），故选：B．【例4】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1）（1，1）,（1，2），（2，2）……根据这个规律，第2022个点的坐标为________【答案】（45，6）【解析】解：观察图形，可知：第1个点的坐标为（1，0），第4个点的坐标为（1，1），第9个点的坐标为（3，0），第16个点的坐标为（1，3），…，∴第（2n-1）2个点的坐标为（2n-1，0）（n为正整数）．∵2025=452，∴第2025个点的坐标为（45，0）．又∵2025-3=2022，∴第2022个点在第2025个点的上方3个单位长度处，∴第2022个点的坐标为（45，3）．故答案为：（45，3）．【练1】如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点A2，再向正西方向走9米到达点A3，再向正南方向走12米到达点A4，再向正东方向走15米到达点A5，以此规律走下去，当种子到达点A10时，它在坐标系中坐标为（）A．（﹣12，﹣12）B．（15，18）C．（15，﹣12）D．（﹣15，18）【答案】B【解析】解：根据题意可知：O A1＝3，A1A2＝6，A2A3＝9，A3A4＝12，A4A5＝15，A5A6＝18，A9A10＝30，∴A1点坐标为（3，0），A2点坐标为（3，6），A3点坐标为（﹣6，6），A4点坐标为（﹣6，﹣6），A5点坐标为（9，﹣6），A6点坐标为（9，12），以此类推，A9点坐标为（15，﹣12），所以A10点横坐标为15，纵坐标为﹣12+30＝18，∴A10点坐标为（15，18），故选：B．【练2】如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点（1，0），然后按照图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（1，0）→（1，1）→（0，1）→（0，2）→…，且每秒移动一个单位，那么第2022秒时，点所在位置的坐标是（）A ．（2，44）B ．（41，44）C ．（44，41）D ．（44，2）【答案】【解析】解：观察可发现，点到（0，2）用4＝22秒，到（3，0）用9＝32秒，到（0，4）用16＝42秒，则可知当点离开x 轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y 轴时的纵坐标为时间的平方，此时时间为奇数的点在x 轴上，时间为偶数的点在y 轴上, ∵2022＝452﹣3＝2025﹣3，∴第2025秒时，动点在（45，0），故第2022秒时，动点在（45，0）向左一个单位，再向上2个单位，即（44，2）的位置．故选：D ．【练3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,1)，(3,0)，(3,−1)…根据这个规律探索可得，第99个点的坐标为( )A.(14,−1)B.(14,0)C.(14,1)D.(14,2)【答案】C【解析】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n 个有n 个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y 轴上方比下方多一个，所以奇数列的坐标为(n,n−12)，(n,n−12−1)，…，(n,1−n 2)；偶数列的坐标为(n,n2)，(n,n2−1)，…，(n,1−n2)， ∵1+2+3+4+……+13=91∴第99个点位于第14列自上而下第7行．−6)，即(14,1)．代入上式得(14,142故选C．【例5】如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2022的坐标为．【答案】（12135，0）【解析】解：∵∠AOB＝90°，点A（3，0），B（0，4），根据勾股定理得AB＝5，根据旋转可知：OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，所以点A1（12，3），A2（15，0）；继续旋转得A3（24，3），A4（27，0）；…发现规律：A2n﹣1（12n，3），A2n（12n+3，0），∵2022＝2n，∴n＝1011，∴点A2022的坐标为（12135，0），故答案为：（12135，0）．【练1】如图，动点P从（0，3）出发沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2022次碰到长方形的边时点P的坐标为．【答案】（0，3【解答过程】解：如图所示：经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2022÷6＝337∴当点P第2022次碰到矩形的边时与P点起点位置重合，∴点P的坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．【练2】如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2019次，依次得到点P1,P2,P3,...,P2022，则点P2022的坐标是（）A.(2022,2)B.(2022,√3)C.(4043,2)D.(4043, √3)【答案】D【解析】解：由题意可知P1是1P的横坐标是3，P3的横坐标是5，P4的横坐标是7…依此类推下去，P n的横坐标是2n-1,∴P2022的横坐标是2×2022-1=4043纵坐标都是√3，故选：D．连续作旋转变换，依【练3】如图，在直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，对OAB次得到Δ1，Δ2，Δ3，Δ4，…，则∆2022的直角顶点的坐标为______.【答案】（8088，0）【解析】解：∵点A（-3，0）、B（0，4），∴AB=√32+42=5由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2022÷3=674，∴∆2022的直角顶点是第674个循环组的最后一个三角形的直角顶点；∵674×12=8088，∴∆2022的直角顶点的坐标为（8088，0）.故答案为（8088，0）.【例6】如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推……则正方形OB2021B2022C2022的顶点B2022的坐标是_____.【答案】（0,-22011）【解析】解：∵正方形OA1B1C1的边长为1，∴OB1=√2∴OB2=2∴B2（0，2），同理可知B3（-2，2），B4（-4，0），B5（-4，-4），B6（0，-8），B7（8，-8），B9（16，16），B10（0，32）．由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的√2倍，∵2022÷8=252⋯⋯6，∴B8n+6（0，-24n+3），∴B2022（0,-22011）．故答案为：（0,-22011）．【练1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA＝1，以点A1为直角顶点，0A1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2022的坐标是_____．【答案】（0,-22011）【解析】解：由等腰直角三角形的性质，可知：A 1（1，1），A 2（0，2），A 3（﹣2，2），A 4（0，﹣4），A 5（﹣4，﹣4），A 6（0，﹣8），A 7（8，﹣8），A 8（16，0），A 9（16，16），A 10（0，32），A 11（﹣32，32），…，∵2022＝252×8+6∴点A 8n+6的坐标为（0，24n+3）（n 为自然数）．∴点A 2022的坐标为（0，24×252+3），即（0,-22011），故答案为：（0,-22011）．【练2】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）.长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点2A ，作正方形A 2B 2C 2C 1……按这样的规律进行下去，第2022个正方形的面积为_____．【答案】5×(32)4042.【解析】解：∵点A 的坐标为（1,0），点D 的坐标为（0,2）∴正方形ABCD 的边长为√5，设其面积为S 1=5，依此类推，接下来的面积依次为S 2,S 3,S 4⋯⋯第2022个正方形的面积为S 2022，又∵三角形相似，∴ OA OD =A 1B AB =A 2B 1A 1B 1=⋯=12. ∴ S 2=5×94，S 3=5×(94)2…… ∴S 2022=5×(94)2022−1=5×(94)2021=5×(32)4042.【练3】如图，在平面直角坐标系xOy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线B n B n+1都在y 轴上，且B n B n+1的长度依次增加1个单位长度，顶点A n都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A1的纵坐标为；用n的代数式表示A n的纵坐标：．【答案】2；【解析】解：作A1D⊥y轴于点D，则B1D＝B1B2÷2＝（3﹣1）÷2＝1，∴A1的纵坐标＝B1D+B1O＝1+12，同理可得A2的纵坐标＝OB2+（B2B3）÷2＝3+（6﹣3）÷2 4.5，∴A n的纵坐标为，故答案为2，．。

人教版中考复习数学练习专题一：规律题探索专题含试卷分析答题技巧

第二部分专题复习专题一规律题探索专题考纲要求探索规律型问题：指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所隐含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．常见的类型有三种：(1)数与式变化规律型；(2)图形变化规律型；(3)猜想论证型．这种类型的解题方法和步骤有三步：(1)通过对几个特例的观察与分析，寻找规律并进行归纳；(2)猜想符合规律的一般性结论；(3)对一般性结论进行【课堂精讲】例1观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是＿＿．数字的变化类，观察已知一组数发现：分子为从1开始的连线奇数，分母为从2开始的连线正整数的平方，写出第n个数即可．解答：解：根据题意得：这一组数的第n个数是．故答案为：．点评：此题考查了数字规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．例2.如图，是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴________根．分析：图形规律，观察图形发现：搭1条金鱼需要火柴8根，搭2条金鱼需要14根，即发现了每多搭1条金鱼，需要多用6根火柴．则搭n条“金鱼”需要火柴8+6（n-1）=6n+2．点评：此题考查了图形规律型：图形的变化类，弄清题中的递增规律是解本题的关键．例3. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是．解答：解：∵直线y=x+1，x=0时，y=1，∴A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），∴A2的纵坐标是：1+1=21，A2的横坐标是：1=21﹣1，∴A3的纵坐标是：2+2=4=22，A3的横坐标是：1+2=3=22﹣1，∴A4的纵坐标是：4+4=8=23，A4的横坐标是：1+2+4=7=23﹣1，即点A4的坐标为（7，8）．据此可以得到A n的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1．即点A n的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．∴点A6的坐标为（25﹣1，25）．∴点B6的坐标是：（26﹣1，25）即（63，32）．故答案为：（63，32）．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．②42－4×2＝22＋4；③52－4×3＝32＋4；…则第n个等式可以表示为__________________2.阅读下列材料：1×2＝13(1×2×3－0×1×2)， 2×3＝13(2×3×4－1×2×3)， 3×4＝13(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝13×3×4×5＝20. 读完以上材料，请你计算下各题：(1)1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11(写出过程)；(2)1×2＋2×3＋3×4＋…＋n ×(n ＋1)＝________；(3)1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝________.3.如下图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n (n 是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是________4.如图，在等腰Rt △OAA 1中，∠OAA 1=90°，OA =1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…则OA 4的长度为．5. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…．若点A （，0），B （0，4），则点B 2014的横坐标为．6.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是．【高效作业本】专题一规律题探究专题1如图，按此规律，第6行最后一个数字是，第行最后一个数是2014．2.观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是（结果需化简）．3.如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由个▲组成．4.观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（）A．31B．46C．51D．66)．A ．38B ．52C ．66D ．746．如右图，物体从点A 出发，按照A →B (第1步)→C (第2步)→D →A →E →F →G →A →B →…的顺序循环运动．则第2011步到达的点处是( )A ．A 点B ．B 点C ．D 点 D ．F 点7.为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S ﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值．【答案】专题一规律题探索专题1.：(n ＋2)2－4n ＝n2＋42. 解析：(1)∵1×2＝13(1×2×3－0×1×2) 2×3＝13(2×3×4－1×2×3) ⋮10×11＝13(10×11×12－9×10×11) ∴以上各式相加得1×2＋2×3＋…＋10×11＝13×10×11×12＝440. (2)13n (n ＋1)(n ＋2)． (3)14×7×8×9×10＝1 260.3. n(n ＋2)解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1，∴AA1=OA=1，OA1=OA=；∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8．故答案为：8．点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题5.解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，∴点B2014的横坐标为：×10=10070．故答案为：10070．点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键．2.解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，（﹣1）2+1，…（﹣1n+1），故答案为：．3.解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；…第n个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1个三角形；故答案为：3n+1．4..解：第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．故选：B．5. D6. C7.解：设M=1+3+32+33+…+32014 ①，①式两边都乘以3，得3M=3+32+33+…+32015 ②．②﹣①得2M=32015﹣1，两边都除以2，得M=，故答案为：．。

热点专题1 规律探究问题(解析版)

热点专题1 规律探究问题考向1 实数的概念与运算1. (2019 山东省济宁市)已知有理数a ≠1，我们把称为a 的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a 1＝﹣2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么a 1＋a 2＋…＋a 100的值是（） A ．﹣7.5B ．7.5C ．5.5D ．﹣5.5【答案】A【解析】∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2＋＋＝﹣，∵100÷3＝33…1，∴a1＋a2＋…＋a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，故选：A．2．(2019 山东省枣庄市)观察下列各式：＝1＋＝1＋（1﹣），＝1＋＝1＋（﹣），＝1＋＝1＋（﹣），…请利用你发现的规律，计算：＋＋＋…＋，其结果为．【答案】2018【解析】＋＋＋…＋＝1＋（1﹣）＋1＋（﹣）＋…＋1＋（﹣）＝2018＋1﹣＋﹣＋﹣＋…＋﹣＝2018，故答案为：2018．3．(2019 山东省滨州市)观察下列一组数：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数a n＝（用含n的式子表示）【答案】【解析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n＋1，观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，∴a n＝＝；故答案为；考向2代数式1．(2019 山东省烟台市)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a＋b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”．(a＋b)0＝1(a ＋b )1＝a ＋b (a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2(a ＋b )3＝a 3＋2a 2b ＋2ab 2＋b 3(a ＋b )4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4(a ＋b )5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5……则(a ＋b )9展开式中所有项的系数和是A ．128B ．256C ．512D ．1024【答案】C【解析】本题考查了阅读理解能力，取a ＝1，b ＝1，则可以计算9()a b 展开式中所有项的系数和是92＝512．，因此本题选C2．(2019 云南省)按一定规律排列的单项式：x 3，﹣x 5，x 7，﹣x 9，x 11，……，第n 个单项式是（） A ．（﹣1）n ﹣1x 2n ﹣1B ．（﹣1）n x 2n ﹣1C ．（﹣1）n ﹣1x 2n ＋1D ．（﹣1）n x 2n ＋1【答案】A【解析】∵x 3＝（﹣1）1﹣1x 2×1＋1，﹣x 5＝（﹣1）2﹣1x 2×2＋1，x7＝（﹣1）3﹣1x2×3＋1，﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4＋1，x11＝（﹣1）5﹣1x2×5＋1，……由上可知，第n个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n＋1，故选：A．考向3图形的运动与点的坐标1．(2019 山东省菏泽市)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是（）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【答案】C【解析】分析根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2019的坐标．A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2019÷4＝504…3，所以A2019的坐标为（504×2＋1，0），则A2019的坐标是（1009，0）．故选：C．2．(2019 湖南省娄底市)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120︒的弧AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从(A A 为坐标原点）出发，以每秒23π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P 的纵坐标为( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】点运动一个弧AB 用时为1202221803ππ⨯÷=秒．如图，作CD AB ⊥于D ，与弧AB 交于点E ．在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒，1602ACD ACB ∠=∠=︒，30CAD ∴∠=︒，112122CD AC ∴==⨯=， 211DE CE CD ∴=-=-=，∴第1秒时点P 运动到点E ，纵坐标为1；第2秒时点P 运动到点B ，纵坐标为0；第3秒时点P 运动到点F ，纵坐标为1-；第4秒时点P 运动到点G ，纵坐标为0；第5秒时点P 运动到点H ，纵坐标为1；⋯，∴点P 的纵坐标以1，0，1-，0四个数为一个周期依次循环，201945043÷=⋯，∴第2019秒时点P的纵坐标为是1-．故选：B．3. (2019 湖南省张家界市)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，0）C．（﹣，﹣）D．（0，﹣1）【答案】A【解析】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．4．(2019 山东省潍坊市)如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n＋1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）【答案】A【解析】连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，∴A1P1＝＝＝，同理：A 2P 2＝＝，A 3P 3＝＝，……，∴P 1的坐标为（ 1，），P 2的坐标为（ 2，），P 3的坐标为（3，），……， …按照此规律可得点P n 的坐标是（n ，），即（n ，）故答案为：（n ，）．考向4 与函数有关的规律1．(2019 山东省淄博市)如图，△11OA B ，△122A A B ，△233A A B ，⋯是分别以1A ，2A ，3A ，⋯为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点11(C x ，1)y ，22(C x ，2)y ，33(C x ，3)y ，⋯均在反比例函数4(0)y x x=>的图象上．则1210y y y ++⋯+的值为( )A ．B ．6C ．D ．【答案】A【解析】过1C 、2C 、3C ⋯分别作x 轴的垂线，垂足分别为1D 、2D 、3D ⋯其斜边的中点1C 在反比例函数4y x=，(2,2)C ∴即12y =， 1112OD D A ∴==，设12A D a =，则22C D a = 此时2(4,)C a a +，代入4y x=得：(4)4a a +=，解得：2a =，即：22y =，同理：3y =4y =⋯⋯121022y y y ∴++⋯+=++=，故选：A ．2．(2019 山东省德州市)如图，点1A 、3A 、5A ⋯在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，点2A 、4A 、6A ⋯⋯在反比例函数(0)k y x x =->的图象上，1212323460OA A A A A A A A α∠=∠=∠=⋯=∠=︒，且12OA =，则(n A n 为正整数）的纵坐标为．（用含n 的式子表示）【答案】A【解析】过A 1作A 1D 1⊥x 轴于D 1，∵OA 1＝2，∠OA 1A 2＝∠α＝60°，∴△OA 1E 是等边三角形，∴A 1（1，），∴k ＝， ∴y ＝和y ＝－，过A 2作A 2D 2⊥x 轴于D 2，∵∠A 2EF ＝∠A 1A 2A 3＝60°，∴△A2EF是等边三角形，设A2（x，－），则A2D2＝，Rt△EA2D2中，∠EA2D2＝30°，∴ED2＝，∵OD2＝2＋＝x，解得：x1＝1－（舍），x2＝1＋，∴EF＝＝＝＝2（－1）＝2－2，A2D2＝＝＝，即A2的纵坐标为－；过A3作A3D3⊥x轴于D3，同理得：△A3FG是等边三角形，设A3（x，），则A3D3＝，Rt△FA3D3中，∠FA3D3＝30°，∴FD3＝，∵OD3＝2＋2－2＋＝x，解得：x1＝（舍），x2＝＋；∴GF＝＝＝2（－）＝2－2，A3D3＝＝＝（－），即A3的纵坐标为（－）；…∴A n（n为正整数）的纵坐标为：（－1）n＋1（）；故答案为：（－1）n＋1（）；3. (2019 山东省东营市)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为．【答案】﹣31009【解析】由题意可得，A1（1，），A2（1，﹣），A3（﹣3，﹣），A4（﹣3，3），A5（9，3），A6（9，﹣9），…，可得A2n＋1的横坐标为（﹣3）n∵2019＝2×1009＋1，∴点A2019的横坐标为：（﹣3）1009＝﹣31009，故答案为：﹣31009．4．(2019 山东省泰安市)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．【答案】2（2n﹣1）【解析】由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1＋C1A2＋C2A3＋C3A4＋…＋C n﹣1A n）＝（1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1），设S＝1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1，则2S＝2＋4＋8＋…＋2n﹣1＋2n，则2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1＝2n﹣1，∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：2（2n﹣1），。

规律探索性问题(含解析)

规律探索性问题第一部分讲解部分一．专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。

这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。

其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。

所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。

二．解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。

三．考点精讲考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。

例1. 有一组数：13,25579,,101726，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．解答：解：21211211⨯-=+； 23221521⨯-=+； 252311031⨯-=+；272411741⨯-=+； 219251265+⨯-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为2211n n -+．点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．例2（2010广东汕头）阅读下列材料：1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)，3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ 31×3×4×5 ＝ 20．读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；(2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n[])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n )2)(1(31++=n n n ；照此方法，同样有公式： )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n [])2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(41+⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n n n )3)(2)(1(41+++=n n n n ．解：（1）∵1×2 ＝ 31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，…10×11 ＝31(10×11×12－9×10×11)， ∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝31×10×11×12＝440．（2）)2)(1(31++n n n ．（3）1260．点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．例3（2010山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：一般地，如果⎩⎨⎧>>dc b a ,那么a +c b +d ．（用“>”或“<”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。

专题01 规律探究问题(精讲)-初中中考数学高频考点突破全攻略(原卷板+解析版)

【课标解读】新课标中明确要求：用代数式表示数量关系及所反映的规律，发展学生的抽象思维能力。

根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。

规律探究问题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表)，让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探究题.【解题策略】解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。

笔者认为：只要善于观察，细心研究，知难而进，就会走出“山穷水尽疑无路”的困惑，收获“柳暗花明又一村”的喜悦。

解答策略：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论. 【考点深剖】★考点一数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

【典例1】（2018山东日照）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）=（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（）A．1 B．4 C．2018 D．42018★考点二图形规律探究由结构类似，多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻，并且还可以由一个通用的代数式来表示。

这种探索图形结构成元素的规律的试题，解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，再用函数法、观察法解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决问题。

【典例2】（2018·湖北随州·3分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4A ．33B ．301C ．386D ．571 ★考点三坐标规律探究“图形与坐标”是“图形与几何”领域的主要内容之一其中有这样一类问题，根据已知点的变化情况，利用猜想、归纳、验证等方法，探究点的坐标变化规律.这类问题要求通过归纳概括，得到猜想和规律，并加以验证，这是提高合情推理能力的重要途径，也是培养创新精神的重要方法.现结合实例，对点的坐标规律探索作一个归类整理.【典例3】（2018东营）（4.00分）如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3，…和B 1，B 2，B 3，…分别在直线y=x+b 和x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…都是等腰直角三角形．如果点A 1（1，1），那么点A 2018的纵坐标是．★考点四函数规律探究函数规律问题解决时要充分利用图形中的线段与坐标的关系，把坐标和图形联系起来，然后利用点的坐标满足函数解析式代入求解。