数学形态学的基本运算
开运算名词解释
开运算（Opening Operation）是数学形态学（Mathematical Morphology）中的一种基本操作，用于图像处理和计算机视觉中。
这个操作的目的是通过两个结构元素之间的腐蚀（Erosion）和膨胀（Dilation）来处理二值图像。
具体来说，开运算由以下两个步骤组成：
1. 腐蚀（Erosion）：使用一个结构元素，通过将结构元素在图像上滑动，只有当结构元素完全覆盖图像中的目标区域时，该像素才保留，否则被置为零。
腐蚀操作有助于去除图像中的小细节、噪声或边缘。
2. 膨胀（Dilation）：使用相同的结构元素，同样通过滑动结构元素，如果结构元素覆盖了图像中的目标区域的任何部分，该像素就被置为1。
膨胀操作有助于连接被腐蚀分开的目标区域，填充空洞，并增加目标的大小。
开运算的效果是先进行腐蚀操作，再进行膨胀操作。
这种操作有助于平滑图像、去除小的对象并保留大的对象。
在图像分割、边缘检测和形态学滤波等领域中经常使用开运算来预处理图像。
数学表达式中，如果将图像表示为二值矩阵，开运算可以用下面的形式表示：Opening(A)=Dilation(Erosion(A))
其中，A是输入图像。
开运算的效果在很多情况下都能够提升图像质量，特别是在去除小目标或噪声的应用中常常使用。
数学形态学的基本运算有-Read
第一部分 图像代数—数学形态学
一、 引言 二、 二值形态学 三、 形态学的应用 四、 Biblioteka 用实例——细化第五章图像平滑
1 .引 言
数学形态学 (Mathematical Morphology) 诞生于 1964 年，是由
法国巴黎矿业学院博士生赛拉(J. Serra)和导师马瑟荣，在从事铁
第五章图像平滑 腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。如果结 构元素取3×3的像素块，腐蚀一次将使物体的边界沿周边减少一
个像素。腐蚀可以把小于结构元素的物体(毛刺、 小凸起)去除，
这样选取不同大小的结构元素，就可以在原图像中去掉不同大小 的物体。如果两个物体之间有细小的连通，那么当结构元素足够 大时， 通过腐蚀运算可以将两个物体分开。
学形态学方法利用一个称作结构元素的“探针”收集图像的信息，
第五章图像平滑
基本符号和术语
1. 元素和集合
在数字图像处理的数学形态学运算中，把一幅图像称为一个集合。
对于二值图像而言，将整幅图像看作是由目标和背景组成，目标中所有 的像素组成集合A，背景中所有像素就是集合A的补集， 集合A中元素与目标
中像素是一一对应的。
对于一幅图像，如果点 a在A的区域以内， 那么就说a是A的元素，记为 a∈A，否则，记作a∈A， 如下图（a）所示。
b a A (a) (b) B A
第五章图像平滑
2. 交集、 并集和补集
并集： 两个图像集合A和B的公共点组成的集合称为两个集合的交集， 记为
A∩B，即A∩B={a｜a∈A且a∈B}。
矿核的定量岩石学分析及预测其开采价值的研究中提出“击中/ 击不中变换”， 并在理论层面上第一次引入了形态学的表达式， 建立了颗粒分析方法。他们的工作奠定了这门学科的理论基础。 数学形态学的基本思想是用具有一定形态的结构元素去量
电大一网一2023春季学期数字与图像处理第4次平时作业-100分
博州校本部学习中心《数字与图像处理》2023春季学期数字与图像处理第
4次平时作业-100分
题1：形态学图像处理被广泛应用到图像系统的( )这一步骤中如去噪、使目标更平滑等，是图像处理很重要的处理方法。
A.预处理
B.后处理
C.平滑处理
D.去噪处理
正确答案：A
题2：形态学图像处理的基本思想是了解图像的（）。
A.滤波特征
B.频谱特性
C.结构特征
D.性能特点
正确答案：C
题3：下列算法中属于点处理的是（）。
A.梯度锐化
B.二值化
C.傅立叶变换
D.中值滤波
正确答案：B
题4：下列哪一个不是基于边缘的分割。
（）
A.点检测
B.线检测
C.边缘检测。
数学形态学的基本算法及在图像预处理中应用
作用 ； 先膨胀后腐蚀 的过程 闭运算 ， 有填充物体 具 内细小孔洞 ， 临近物体和平滑边界 的作用 。 连接
１ ２ 灰 度形 态学 ．
由于现实中的图像大多为灰度图像 ， 必须将二 值形态学扩展到灰度形态学 ， 以有效地处理多值 图 像。 灰度形态学的运算对象不是集合 ， 而是 图像 函
输出图像会 比输入 图像亮 （ 或暗） 根据输入图像 中 ；
的一个有效方法 。
２ 数学形态学在图像预处理中应用方面的 技术特点
利用二值或灰度数 学形态学基本 运算 ， 可得到
一
暗（ 或亮 ） 细节 的灰度值 以及它们 的形状 相对 于结 构元素的关系， 它们 在运算 中被消减或被除掉。 灰度形态学 中的开 闭运算都 可 以用来 提取特
＿
点平移到与信号重合 ， 然后计 算信号上每一点处对
维普资讯
３ 期
张艳 玲 ， ： 等 数学形态学 的基本算法及在图像预处理 中应 用
３７ ５
应结构元素的最大值 ； 而灰度腐蚀是将结构元素紧
贴在信号下方 “ 滑动” 其原点刻 画出的轨迹 。 ， 它们 分别记为 ① ｇ ｏ 。 ， ｇ 对灰度图像的膨胀 （ ｆ 或腐蚀 ） 操作有两种效果 ： 如果结构元素 的值都为正 的。 则
度形态学两种。 数学形态 学 中的二值 图像 的形态 变换是一种
除噪声 、 保留原始 图像 中的整体信息 。数学 形态学 １ １ 二值形态学 ．
（ ａ ｅ ａｃｌ ｏ ｈｌ ｙ）是 由 法 国 数 学 家 Ｍ ｔ ｍｔａ ｈ ｉ Ｍ ｒ ｏ ｇ ｐ ｏ
Ｇ Ｍ ｔ ｒ 和 ＪＳｒ 于 １６ ． ａ ｅ ｎ ． ｅ ａ ９４年提出而逐渐发展 的 ｈｏ ｒ
形态学
形态学的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，它着重研究图像的几何结构，由于视觉信息理解都是基于对象几何特性的，因此它更适合视觉信息的处理和分析，这类相互作用由两种基本运算腐蚀和膨胀及它们的组合运算来完成。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。
数学形态学的算法具有天然的并行实现结构。
数学形态学的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开启的闭合，它们在二值图像中的灰度图像中各有特点。
基于这些运算还可以推导和组合成各种数学形态学的实用算法。
我们这里主要讨论二值数学形态学的基本运算和算法。
二值图像包含目标的位置、形状、结构等许多重要特征，是图像分析和目标识别的依据。
二值形态学的运算对象是集合，但实际运算中当涉及两个集合时并不把它们看作是互相对等的，一般设A 为图像集合，B 为结构元素，数学形态学运算是用B 对A 进行操作。
膨胀膨胀的运算符为⊕，A 用B 来膨胀写作B A ⊕，其定义为:}])[(|{∅≠=⊕∧A B A B A x I 上式表明用B 膨胀A 的过程是，先对B 做关于原点的映射，再将其映像平移x ，这里A 与B 映像的交集不为空集。
也可以解释为：}])[(|{A A B A B A x ⊆=⊕∧I 腐蚀腐蚀的运算符为Θ，A 用B 来腐蚀写作B A Θ，其定义为:})(|{A B A B A x ⊆=Θ上式表明用B 腐蚀A 的结果是所有x 的集合，其中B 平移x 后仍在A 中，换句话说，用B 来腐蚀A 得到的集合是B 完全包括在A 中时B 的原点位置的集合。
开启和闭合膨胀和腐蚀并不是互为逆运算，所以它们可以级连结合使用，例如，可以对图像进行腐蚀然后膨胀其结果，或先对图像进行膨胀然后腐蚀其结果。
前一种运算称为开启，后一种称为闭合。
开启的运算符为ο，A用B来开启写作BAο,其定义为B（=）οΘABA⊕B闭合的运算符为•，A用B来开启写作BA•,其定义为B⊕=•）（AΘBAB二值图像是指那些灰度只取两个可能值的图像，这两个灰度值通常取为O 和1。
数学形态学
三：基本概念
集合关系：设 A 和 B 为R2的子集，A 为物体区域， B为某种结构元素，则 B 结构单元对 A 的关系有三类：
a) B 包含于A,
B⊂ A b) B 击中（hit）A, B I A! = Φ c) B 击不中(miss)A， BI A=Φ
A B A B A B
图2 包含、击中和击不中示意图
板,则 A B 由在平移模板的过程 中,所有可以添入 A 内部的模板 的原点组成.
A
A B B
腐蚀类似于收缩
一般,如果坐标 原点在结构元素内部, 则腐蚀后的图像为输 入图像的子集;如果 坐标原点不在结构元 素的内部,则腐蚀后 的图像可能不在输入 图像的内部，但输出 形状不变.
A
A B
B
腐蚀不是输入图像的子图像
THE END
谢谢大家
( f Θg )( x) = max{ y : g x + y << f }
其中 g x 表示在点x处的结构元素，y 表示腐蚀值
g
f
fΘg
t
0.5
t
利用半圆形结构元素的腐蚀
从几何学角度看，求图像被结构元素在点x腐蚀的 结果，就是在空间滑动结构元素，是结构元素的原点与 点x重合，然后从负无穷大向上推结构元素，对结构元 素仍处于图像下方所能达到的最大值是结构元素的原点 做标记，该标记点为该点腐蚀结果。其效果相当于半圆 形结构元素在被腐蚀函数的下面“滑动”时，其圆心画 出的轨迹。但是，这里存在一个限制条件，即结构元素 必须在函数曲线的下面平移。从图中不难看出，半圆形 结构元素从函数的下面对函数产生滤波作用，这与圆盘 从内部对二值图像滤波的情况是相似的。
平移：将一个集合A平移距离x可以表示为A+x，其定义 为：
形态学的原理以及应用场景(含源码)
形态学的原理以及应用场景（含源码）转自：摘要：形态学一般指生物学中研究动物和植物结构的一个分支。
用数学形态学（也称图像代数）表示以形态为基础对图像进行分析的数学工具。
基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
形态学图像处理的基本运算有：•膨胀和腐蚀（膨胀区域填充，腐蚀分割区域）•开运算和闭运算（开运算去除噪点，闭运算填充内部孔洞）•击中与击不中•顶帽变换，黑帽变换形态学的应用：消除噪声、边界提取、区域填充、连通分量提取、凸壳、细化、粗化等；分割出独立的图像元素，或者图像中相邻的元素；求取图像中明显的极大值区域和极小值区域；求取图像梯度在讲各种形态学操作之前，先来看看结构元素：膨胀和腐蚀操作的核心内容是结构元素。
（后面的开闭运算等重要的也是结构元素的设计，一个合适的结构元素的设计可以带来很好的处理效果OpenCV里面的API介绍：Mat kernel = getStructuringElement(int shape,Size ksize，Point anchor）;一，腐蚀和膨胀腐蚀和膨胀是最基本的形态学操作，腐蚀和膨胀都是针对白色部分（高亮部分）而言的。
•膨胀就是使图像中高亮部分扩张，效果图拥有比原图更大的高亮区域（是求局部最大值的操作）•腐蚀是原图中的高亮区域被蚕食，效果图拥有比原图更小的高亮区域（是求局部最小值的操作）膨胀与腐蚀能实现多种多样的功能，主要如下：1、消除噪声2、腐蚀分割(isolate)出独立的图像元素，膨胀在图像中连接(join)相邻的元素。
3、寻找图像中的明显的极大值区域或极小值区域4、求出图像的梯度opencv中膨胀/腐蚀API:(两者相同）void dilate/erode( const Mat& src, //输入图像（任意通道的）opencv实现：Mat src1 = imread("D:/opencv练习图片/腐蚀膨胀.png");图片膨胀：图片[图片上传中...(image-e5cbf7-1637738882548-13)]1️⃣ 腐蚀操作的原理就是求局部最小值的操作，并把这个最小值赋值给参考点指定的像素。
形态学中的腐蚀与膨胀
数学形态学运算——腐蚀、膨胀、开运算、闭运算腐蚀简单说：就是以结构B的原点为基点沿着将要被腐蚀的图像A中的所有点移动，如果此时结构B中的所有点（包括原点）被A包含，那么被B原点沿着的A中的该点就保留，否则，该点就被抛弃。
可以看出，执行完该腐蚀指令后，A中突出部分，以及外围至少减少了结构B的一半(假设B的原点为B的中心)。
膨胀简单说：就是以结构B的原点为基点沿着将要被膨胀前的图像A中的所有点移动，如果此时结构B中至少有一个点（包括原点）被A包含，那么被沿着的A中的该点及周围就被B扩充，扩充范围为B的整个区域。
可以看出，膨胀后，原A沿着边缘外围被扩充了B的一半(假设B的原点为B的中心)。
数学形态学操作可以分为二值形态学和灰度形态学，灰度形态学由二值形态学扩展而来。
数学形态学有2个基本的运算，即腐蚀和膨胀，而腐蚀和膨胀通过结合又形成了开运算和闭运算。
开运算就是先腐蚀再膨胀，闭运算就是先膨胀再腐蚀。
腐蚀粗略的说，腐蚀可以使目标区域范围“变小”，其实质造成图像的边界收缩，可以用来消除小且无意义的目标物。
式子表达为：该式子表示用结构B腐蚀A，需要注意的是B中需要定义一个原点，【而B的移动的过程与卷积核移动的过程一致，同卷积核与图像有重叠之后再计算一样】当B的原点平移到图像A的像元(x,y)时，如果B在（x,y）处，完全被包含在图像A重叠的区域，(也就是B中为1的元素位置上对应的A图像值全部也为1)则将输出图像对应的像元(x,y)赋值为1，否则赋值为0。
我们看一个演示图。
B依顺序在A上移动（和卷积核在图像上移动一样，然后在B的覆盖域上进行形态学运算），当其覆盖A的区域为[1,1;1,1]或者[1,0;1,1]时，（也就是B中‘1’是覆盖区域的子集）对应输出图像的位置才会为1。
膨胀粗略地说，膨胀会使目标区域范围“变大”，将于目标区域接触的背景点合并到该目标物中，使目标边界向外部扩张。
作用就是可以用来填补目标区域中某些空洞以及消除包含在目标区域中的小颗粒噪声。
数学形态学
数字图像处理中的形态学（摘自某文献，因为贴图的数目有限制，后面的公式图片没有能够上，电脑重装后文档已经找不到了，囧）一引言数学形态学是一门建立在集论基础上的学科，是几何形态学分析和描述的有力工具。
数学形态学的历史可回溯到19世纪。
1964年法国的Matheron和Serra在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统。
1982年出版的专著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是数学形态学发展的重要里程碑，表明数学形态学在理论上趋于完备及应用上不断深入。
数学形态学蓬勃发展，由于其并行快速，易于硬件实现，已引起了人们的广泛关注。
目前，数学形态学已在计算机视觉、信号处理与图像分析、模式识别、计算方法与数据处理等方面得到了极为广泛的应用。
数学形态学可以用来解决抑制噪声、特征提取、边缘检测、图像分割、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建、图像压缩等图像处理问题。
该文将主要对数学形态学的基本理论及其在图像处理中的应用进行综述。
二数学形态学的定义和分类数学形态学是以形态结构元素为基础对图像进行分析的数学工具。
它的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特征，并除去不相干的结构。
数学形态学的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开启和闭合。
它们在二值图像中和灰度图像中各有特点。
基于这些基本运算还可以推导和组合成各种数学形态学实用算法。
（1）二值形态学数学形态学中二值图像的形态变换是一种针对集合的处理过程。
其形态算子的实质是表达物体或形状的集合与结构元素间的相互作用，结构元素的形状就决定了这种运算所提取的信号的形状信息。
形态学图像处理是在图像中移动一个结构元素，然后将结构元素与下面的二值图像进行交、并等集合运算。
基本的形态运算是腐蚀和膨胀。
数学形态学图像处理的基本运算实现及分析
数学形态学图像处理的基本运算实现及分析一、基本原理数学形态学是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方法。
它的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像进行分析和识别的目的。
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。
另一方面，数学形态学的算法具有天然的并行实现的结构。
1、基本运算数学形态学的基本运算有四个：膨胀、腐蚀、开启和关。
如用A 表示图像集合，B 表示结构元素，形态学运算就是用B 对A 进行操 作。
A 被B 膨胀，记为A ⊕B ，⊕为膨胀算子，膨胀的定义为A B ⊕ˆ{|[()]}x x B A =≠∅该式表明的膨胀过程是B 首先做关于原点的映射，然后平移x 。
A 被B 的膨胀是B 被所有x 平移后与A 至少有一个非零公共元素。
A 被B 腐蚀，记为A ⊙B ，⊙为腐蚀算子，腐蚀的定义为A B Θˆ{|[()]}x x B A =≠∅也就是说，A 被B 的腐蚀的结果为所有使B 被x 平移后包含于A 的点x 的集合。
换句话说，用B 来腐蚀A 得到的集合是B 完全包括在A 中时B 的原点位置的集合。
膨胀和腐蚀并不互为逆运算，所以它们可以级连结合使用。
例如，利用同一个结构元素B ，先对图像腐蚀然后膨胀其结果，或先对图像膨胀然后瘸蚀其结果，前一种运算称为开运算，后一种运算称为关运算。
它们也是数学形态学中的重要运算。
开启的运算符为o ，A 用B 来开启写作AoB ，其定义为:A o ()B A B B =Θ⊕关的运算符为·，A 用B 来关写作A ·B ，其定义为:A ·()B A B B =⊕Θ开和关两种运算都可以去除比结构元素小的特定图像细节，同时保证不产生全局的几何失真。
开运算可以把比结构元素小的椒盐噪声滤除，切断细长搭接而起到分离作用。
关运算可使比结构元素小的缺口或孔填补上，搭接短的间断而起到连通作用。
【数字图像处理】二值化图像腐蚀运算与膨胀运算
【数字图像处理】⼆值化图像腐蚀运算与膨胀运算形态学基本概念基本思想：⽤⼀定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状，达到分析知识的⽬的。
可⽤于图像处理的各个⽅⾯，包括图像分割、边界检测、特征提取。
结构元素：形态学变换中的基本元素，使为了探测图像的某种结构信息⽽设计的特定形状和尺⼨的图像，称为收集图像结构信息的探针。
结构元素有多种类型：如圆形、⽅形、线型等，可携带知识（形态、⼤⼩、灰度和⾊度信息）来探测、研究图像的结构特点。
形态学运算包括：⼆值化腐蚀和膨胀、⼆值化开闭运算、⾻架抽取、击中击不中变换等。
形态学四个基本算⼦：膨胀，腐蚀、开启和闭合组成，这些基本运算还可以推导和组合成各种数学形态学实⽤算法。
腐蚀运算腐蚀运算思路：定义结构元素(与模板类似)，结构元素在整幅图像中移动，移动到每个像素点上，只有结构元素与图像上对应像素点的像素值全部相等时，保留这个像素点的值。
腐蚀运算作⽤：消除物体边界点，使边界点向内部收缩，可以把⼩于结构元素的物体去除。
选取不同⼤⼩的结构元素，去除不同⼤⼩的物体。
如两个物体间有细⼩的连通，通过腐蚀可以将两个物体分开。
腐蚀运算：腐蚀运算⽰意图：基本⽅法：通常拖到结构元素在X域移动，在每⼀个位置上，当结构元素B在中⼼平移到X图像上的某优点(x,y)。
如果结构元素内的每⼀个像素都与以(x,y)为中⼼的相同邻域中对应像素完全相同，那么就保留(x,y)像素点。
对于不满⾜条件的像素点则全部删除，达到边界向内收缩效果。
腐蚀运算c语⾔实现⽔平腐蚀：不处理左右两边垂直腐蚀：不处理上下两⾏全⽅位腐蚀：不处理四周 int Image[120][180];memset(Image, 0, sizeof(Image));//全⽅位腐蚀运算for (int i = 1; i < Use_ROWS-1; i++){for (int j = 1; j < Use_Line - 1; j++){if (Image_Use[i][j] == 255 &&Image_Use[i][j + 1] == 255 &&Image_Use[i][j - 1] == 255){Image[i][j] = 255;}}}膨胀运算膨胀运算思路：定义结构元素(与模板类似)，结构元素在整幅图像中移动，移动到每个像素点上，如果结构元素与图像上对应像素点的像素值⾄少有⼀个像素相等时，保留这个像素点的值。
数学形态学
第八章数学形态学8.1. 简介数学形态学具有一套完整的理论、方法及算法体系，是一种非线性图像处理和分析方法，是法国和德国的科学家在研究岩石结构时建立的一门学科。
它摒弃了传统的数值建模及分析的观点，从集合的角度来刻画和分析图像。
[1, 2] 它有几个突出的特点:1)形态学图像处理的数学基础和语言是集合论；2)形态学运算由集合运算(如并、交、补等)来定义；3)图像都必须以合理的方式转换为集合进行处理；4)输出图像中每一点的值和输入图像当前点的值以及它的邻点的值有关；它在图像处理中的应用主要是：1)利用形态学的基本运算，对图像进行观察和处理，从而达到改善图像质量的目的；2)描述和定义图像的各种几何参数和特征，如面积，周长，连通度，颗粒度，骨架和方向性；3)定义与实现图像的开闭等运算。
8.2. 一些基本定义(1)元素∈.设有一幅图像X，若点a在X的区域以内，则称a为X的元素，记作a X(2)B包含于X（included in）∈，则称B包含于X，记作设有两幅图像B，X。
对于B中所有的元素i a，都i a X⊂。
B X图 8.1元素的示意图图8.2包含的示意图(3)B击中X（hit）设有两幅图像B ，X 。
若存在这样一个点，它即是B 元素，又是X 的元素，则称B 击中X ，记作B X ↑。
图8.3击中的示意图图8.4击不中的示意图(4) B 不击中X （miss ）设有两幅图像B ，X 。
若不存在任何一个点，它即是B 的元素，又是X 的元素，即B 和X 的交集是空，则称B 不击中X ，记作B X =Φ，其中是集合运算相交的符号，Φ表示空集。
如图8.4所示。
(5) 补集设有一幅图像X ，所有X 区域以外的点构成的集合称为X 的补集，记作c X 。
如果BX =Φ，则B 在X 的补集内，即c B X ⊂。
图8.5补集的示意图图8.6对称集的示意图(6) 对称集设有一幅图像B ，将B 中所有元素的坐标取反，即令(,)x y 变成(,)x y --，所有这些点构成的新的集合称为B 的对称集，记作v B ，如图8.6所示：(7) 结构元素（structure element ）设有两幅图像B ，X 。
利用脉冲耦合神经网络实现数学形态学的基本运算及其应用
０ 引 言
２ ０世 纪 ９ ０年 代对猫 等小 型哺乳 动物视 觉皮层 的研 究促使 了脉 冲耦合 神经 网络 （ Ｃ Ｎ） Ｐ Ｎ 的产 生 和发展 ， Ｅ ｋ ｏｎ及其 同事在研 究猫 的视觉 皮层 时发 现 ， ｃ ｈｒ 由于刺 激输 入 而 引 起 的 同步 震 动 出现 在视 觉 皮层 的不 同 区 域， 而这些 区域具有 相 同 的局 部 特 征 。Ｅ ｋ ｏ 对 这 种 现 象 进 行 仿 真 后 ， 出 了一 种 脉 冲 耦 合 神 经 网络 。 ｃｈ ｍ 提
图１ Ｐ Ｎ Ｃ Ｎ神经元模型
此 图是 Ｔ ｉｄ ｌ ｈＬｎ ｂａ ｄ等应 用于 图像处 理 的 Ｐ Ｎ Ｃ Ｎ模 型 图示 。其具 体模 型为 ：
收稿 日期 ：０ ０一 １— ９ ２ １ Ｏ ０
基金项 目： 国家 自然科学基金资助［０ ７ ０ ５ ４ ８ ３３ ］ 作者简介 ： 武鹤 （９ ６） 男 ， １８ 一 ， 黑龙 江大庆人 ， 硕士研究生 ， 主要从事数字优化仿真技术 的研究。 郭科 （９ ８） 男 ， １５ 一 ， 四川 泸州人 ， 教授 ， 博士 ， 博士生导师 ， 主要从事数学地质 、 间分析及其应用的研究 。 空
出 的结 论 的 基 础 上 进 行 实验 验 证 和 推 广 ， 并将 其 应 用 于 图像 边 缘 检 测 ， 一 步 加 强 了 Ｐ Ｎ 进 Ｃ Ｎ与 数 学 形 态 学 的联 系 。 关 键 词 ：Ｃ Ｎ； 学形 态 学 ； ＰＮ 数 图像 处理 ； 边缘 检 测 中 图 分 类 号 ：Ｐ ８ Ｔ Ｉ３ 文 献标 志码 ： Ａ 文章 编 号 ： ０ １ ９—３０ （０ ０ ０ ０ ０ — ３ ０ ９ ７ ２ １ ）８— ０ １ ０
随后 被引入 图像处理 领域 ， 展示 出 了广 阔 的应 用前 景 。而后 Ｊｈ ｓｎ和 Ｒ ｎ ａ ｎｔ ｏ ｎｏ ａｇ ｎ ａ ｈ等对 Ｅ ｋ ｏｎ提 出的模 型 ｃ ｈｒ
数学形态学的基本运算
第二章数学形态学的基本运算2.1二值腐蚀和膨胀二值图象是指那些灰度只取两个可能值的图象,这两个灰度值通常取为0和1。
习惯上认为取值1的点对应于景物中的点，取值为0的点构成背景.这类图象的集合表示是直接的。
考虑所有1值点的集合(即物体）X，则X与图象是一一对应的。
我们感兴趣的也恰恰是X集合的性质。
如何对集合X进行分析呢？数学形态学认为,所谓分析，即是对集合进行变换以突出所需要的信息。
其采用的是主观“探针”与客观物体相互作用的方法.“探针”也是一个集合，它由我们根据分析的目的来确定。
术语上,这个“探针”称为结构元素。
选取的结构元素大小及形状不同都会影响图象处理的结果.剩下的问题就是如何选取适当的结构元素以及如何利用结构元素对物体集合进行变换.为此，数学形态学定义了两个最基本的运算，称为腐蚀和膨胀即1。
2。
1 。
1二值腐蚀运算腐蚀是表示用某种“探针”（即某种形状的基元或结构元素)对一个图象进行探测，以便找出图象内部可以放下该基元的区域。
它是一种消除边界点，使边界向内部收缩的过程。
可以用来消除小且无意义的物体。
腐蚀的实现同样是基于填充结构元素的概念.利用结构元素填充的过程，取决于一个基本的欧氏空间概念—平移。
我们用记号A二表示一个集合A沿矢量x平移了一段距离。
即:集合A被B腐蚀，表示为AΘB，其定义为：其中A称为输入图象，B称为结构元素。
AΘB由将B平移x仍包含在A内的所有点x组成。
如果将B看作模板，那么,AΘB则由在将模板平移的过程中，所有可以填入A内部的模板的原点组成。
根据原点与结构元素的位置关系，腐蚀后的图象大概可以分为两类:（1)如果原点在结构元素的内部,则腐蚀后的图象为输入图象的子集，如图2.1所示。
(2）如果原点在结构元素的外部，那么,腐蚀后的图象则可能不在输入图象的内部，如图2.2所示。
图2。
1腐蚀类似于收缩腐蚀除了用填充形式表示外，还有一个更重要的表达形式:这里，腐蚀可以通过将输入图象平移—b(b属于结构元素），并计算所有平移的交集而得到.2 1.2二值膨胀运算膨胀是腐蚀运算的对偶运算,可以通过对补集的腐蚀来定义。
开运算与闭运算填空题
开运算与闭运算填空题
开运算和闭运算是数学形态学中的两个基本操作，用于图像处理和分析。
它们分别是图像的腐蚀和膨胀操作的组合。
下面是填空题的解答：
1. 开运算：
开运算是先进行腐蚀操作，再进行膨胀操作。
它的作用是______________。
通过开运算，可以__________________。
2. 闭运算：
闭运算是先进行膨胀操作，再进行腐蚀操作。
它的作用是______________。
通过闭运算，可以__________________。
1. 开运算：
开运算是先进行腐蚀操作，再进行膨胀操作。
它的作用是去除小的干扰物体，平滑边界，并保持主要物体的形状和大小不变。
通过开运算，可以消除图像中的噪声、细小的斑点和细节，使图像
更加清晰和平滑。
2. 闭运算：
闭运算是先进行膨胀操作，再进行腐蚀操作。
它的作用是填充物体内部的小孔，连接相邻物体，并保持主要物体的形状和大小不变。
通过闭运算，可以填补图像中的空洞、连接断裂的物体，使图像更加完整和连续。
总结，开运算和闭运算是形态学图像处理中常用的操作，它们可以分别用于去除小的干扰物体和填补物体内部的小孔。
通过这两种操作的组合使用，可以对图像进行精细的处理和分析，提取出感兴趣的目标物体，并去除不必要的噪声和细节。
数学知识梳理形的运算与应用
数学知识梳理形的运算与应用在数学中，形的运算与应用是一个重要而基础的概念。
通过对形的运算与应用的梳理，我们可以更好地理解和应用数学知识。
在本文中，我们将对形的运算与应用进行探讨和总结。
一、形的基本运算形的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
在进行形的运算时，我们需要考虑形的属性和性质。
加法是指将两个或多个形进行组合，并得到它们的总和。
例如，如果我们有两个正方形，一个边长为3厘米，另一个边长为4厘米，那么它们的总和就是7厘米。
减法是指从一个形中减去另一个形，并得到它们的差。
例如，如果我们有一个长方形，长为6厘米，宽为3厘米，再从中减去一个正方形，边长为2厘米，那么它们的差就是4厘米。
乘法是指将一个形重复若干次，并得到它们的积。
例如，如果我们有一个正方形，边长为5厘米，将它乘以3，那么得到的积就是15厘米。
除法是指将一个形分成若干等分，并得到每个等分的数量。
例如，如果我们有一个圆形，半径为8厘米，将它分成4等分，那么每个等分的数量就是2。
二、形的运算法则在进行形的运算时，我们需要遵循一些法则和规则。
下面是一些常用的形的运算法则：1. 加法运算法则：形的加法满足交换律和结合律。
即无论先将哪个形进行计算，最终结果都是相同的。
2. 减法运算法则：减法运算可以看作是加法的逆运算。
即如果我们用一个形减去另一个形，并得到一个结果，再将结果与被减数相加，就能得到原来的减数。
3. 乘法运算法则：乘法运算满足交换律和结合律。
即无论先将哪个形进行计算，最终结果都是相同的。
4. 除法运算法则：除法运算可以看作是乘法的逆运算。
即如果我们用一个形除以另一个形，并得到一个结果，再将结果与除数相乘，就能得到原来的被除数。
三、形的应用领域形的运算与应用广泛应用于各个领域，包括几何、物理、工程等。
在几何学中，形的运算与应用是一项基本技能。
我们可以利用形的运算与应用来计算形的周长、面积、体积等。
例如，利用圆的面积公式，我们可以计算一个圆的面积；利用长方形的周长公式，我们可以计算一个长方形的周长。
形态学分类及公式
形态学分类及公式
一引言
数学形态学是一门建立在集论基础上的学科，是几何形态学分析和描述的有力工具。
数学形态学的历史可回溯到19世纪。
1964年法国的Matheron和Serra 在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统。
1982年出版的专著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是数学形态学发展的重要里程碑，表明数学形态学在理论上趋于完备及应用上不断深入。
数学形态学蓬勃发展，由于其并行快速，易于硬件实现，已引起了人们的广泛关注。
目前，数学形态学已在计算机视觉、信号处理与图像分析、模式识别、计算方法与数据处理等方面得到了极为广泛的应用。
数学形态学可以用来解决抑制噪声、特征提取、边缘检测、图像分割、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建、图像压缩等图像处理问题。
该文将主要对数学形态学的基本理论及其在图像处理中的应用进行综述。
二数学形态学的定义和分类
数学形态学是以形态结构元素为基础对图像进行分析的数学工具。
它的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特征，并除去不相干的结构。
数学形态学的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开启和闭合。
它们在二值图像中和灰度图像中各有特点。
基于这些基本运算还可以推导和组合成各种数学形态学实用算法。
形态学
形态学的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，它着重研究图像的几何结构，由于视觉信息理解都是基于对象几何特性的，因此它更适合视觉信息的处理和分析，这类相互作用由两种基本运算腐蚀和膨胀及它们的组合运算来完成。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。
数学形态学的算法具有天然的并行实现结构。
数学形态学的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开启的闭合，它们在二值图像中的灰度图像中各有特点。
基于这些运算还可以推导和组合成各种数学形态学的实用算法。
我们这里主要讨论二值数学形态学的基本运算和算法。
二值图像包含目标的位置、形状、结构等许多重要特征，是图像分析和目标识别的依据。
二值形态学的运算对象是集合，但实际运算中当涉及两个集合时并不把它们看作是互相对等的，一般设A 为图像集合，B 为结构元素，数学形态学运算是用B 对A 进行操作。
膨胀膨胀的运算符为⊕，A 用B 来膨胀写作B A ⊕，其定义为:}])[(|{∅≠=⊕∧A B A B A x I 上式表明用B 膨胀A 的过程是，先对B 做关于原点的映射，再将其映像平移x ，这里A 与B 映像的交集不为空集。
也可以解释为：}])[(|{A A B A B A x ⊆=⊕∧I 腐蚀腐蚀的运算符为Θ，A 用B 来腐蚀写作B A Θ，其定义为:})(|{A B A B A x ⊆=Θ上式表明用B 腐蚀A 的结果是所有x 的集合，其中B 平移x 后仍在A 中，换句话说，用B 来腐蚀A 得到的集合是B 完全包括在A 中时B 的原点位置的集合。
开启和闭合膨胀和腐蚀并不是互为逆运算，所以它们可以级连结合使用，例如，可以对图像进行腐蚀然后膨胀其结果，或先对图像进行膨胀然后腐蚀其结果。
前一种运算称为开启，后一种称为闭合。
开启的运算符为ο，A 用B 来开启写作B A ο,其定义为B B A B A ⊕Θ=）（ο 闭合的运算符为•，A 用B 来开启写作B A •,其定义为B B A B A Θ⊕=•）（二值图像是指那些灰度只取两个可能值的图像，这两个灰度值通常取为O 和1。
3数学形态学
原点不包含在结构元素中的运算
对膨胀运算,总有 A A B
对腐蚀运算,总有 AB A
当原点不包含在结构元素中,对膨胀运算来说
只有 A A B 对腐蚀运算来说,有两种可能, AB A 或者 AB A
原点不包含在结构元素中的膨胀运算
示例:
A AB
原点不包含在结构元素中的膨胀运算
⑧位移：设A是一幅数字图象， a是A的元素，b是一个 点，定义A被b平移后的结果为：
A b a b | a A
⑨ 映像（也称反射，映射）A关于原点的映像定义为：
Aˆ x | x a, a A
基本集合定义
⑩ 结构元素：被形象的称作刷子，是膨胀和腐蚀操作 的最基本组成部分，用于测试输入图像。根据不同的 图像分析目的，常用的结构元素有方形、扁平行、圆 形等。 结构元素的大小可以变化，但结构元素的尺寸一般 要明显小于目标图像的尺寸。结构元素可携带形态、 大小、灰度、色彩等信息。
腐蚀
腐蚀的运算符为 ，A用B来腐蚀，写作A B，
定义为： Ab x | (B)x A
上式表明，A用B腐蚀的结果是所有满足将B平移 后，B仍旧全部包含在A中的x的集合,也就是B经 过平移后全部包含在A中的原点组成的集合。
腐蚀运算的图解
深色阴影部分为A Θ B（浅色为原属于A现腐蚀掉 的部分）。可见腐算可以用来提取图象物体的边界。如果用β(A)代
表图象物体A的边界的话, 下面的形态运算可以得到A的边
界, 即原图象与用图象物体在结构元素B腐蚀后的结果的
差值。
(A) A (AB)
骨架化
在某些应用中，针对一幅图像，希望将图像中的 所有对象简化为线条，但不修改图像的基本结 构，保留图像的基本轮廓，这个过程就是所谓的 骨架化。
击中_击不中变换在标准答题卡分割中的应用
图5
2. 2 改进的 HMP 算法的 原理与实现 在文中 , 击中结构元素的 腐蚀操 作又可 看作对 两个凸 多 边形 ( 在这里用 多边形 表示它的边界和它的内部 ) 相交情况 的判断。一个凸多边形 为击中 结构元 素 , 另 一个凸 多边形 为 输入图像内要识别的同步位。当一个凸多 边形完全包含另一 个凸多边形时 , 中心点对应的象素点 值赋 0; 否则 该象素 点值
第四步 : 判断结构 元素对应 的输入图像 中每一个 象素点 的值。 如果 有一个 象素点 的值为 1, 则输 出图像 ( i, j ) 处 的象 素点的值为 1; 如果全部为 0 , 则输出图像 ( i , j ) 处 的象素点的 值为 0。 第五步 : 将 i 加 1; 执行第 二步到第五步 , 直到 j 列的所有 象素都判断过。 第六步 : 将 j 加 1; 执行第二步到 第六步 , 直到图像的所有 列判断完。 1. 4 HMT HMT ( 也称塞拉变换 ) 在一次运算中可以同时捕 获到内外 标记。击中 / 击不中的 结构元 素 E 由 不相 交的 两部 分组 成 : E 1 和 E 2, 一个探测图像的内部 , 另一 个探测图像的外部。 假设 A 为被考察的图像 , 则其定义为 : A * E = ( A E1 ) # ( A c E2 ) ( 2)
收稿日期 : 2004- 05- 20; 修订日期 : 2004- 07- 06
图1
1
击中/ 击不中变换
HMT( Hit/ Miss Transform, HMT ) 是数 学形态 学中 的基本 运 算。在图像分析中 , 能够同 时探测 到图像 的内部 和外 部。对 于研究图像中物体与背景之间的 关系 , 能够得到很好的效果。 在介绍 HMT 之前 , 先对一些概念进行介 绍。
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第二章数学形态学的基本运算2.1二值腐蚀和膨胀二值图象是指那些灰度只取两个可能值的图象，这两个灰度值通常取为0和1。
习惯上认为取值1的点对应于景物中的点，取值为0的点构成背景。
这类图象的集合表示是直接的。
考虑所有1值点的集合(即物体)X，则X与图象是一一对应的。
我们感兴趣的也恰恰是X集合的性质。
如何对集合X进行分析呢?数学形态学认为，所谓分析，即是对集合进行变换以突出所需要的信息。
其采用的是主观“探针”与客观物体相互作用的方法。
“探针”也是一个集合，它由我们根据分析的目的来确定。
术语上，这个“探针”称为结构元素。
选取的结构元素大小及形状不同都会影响图象处理的结果。
剩下的问题就是如何选取适当的结构元素以及如何利用结构元素对物体集合进行变换。
为此，数学形态学定义了两个最基本的运算，称为腐蚀和膨胀即1。
2.1 .1二值腐蚀运算腐蚀是表示用某种“探针”(即某种形状的基元或结构元素)对一个图象进行探测，以便找出图象内部可以放下该基元的区域。
它是一种消除边界点，使边界向内部收缩的过程。
可以用来消除小且无意义的物体。
腐蚀的实现同样是基于填充结构元素的概念。
利用结构元素填充的过程，取决于一个基本的欧氏空间概念—平移。
我们用记号A二表示一个集合A沿矢量x平移了一段距离。
即:集合A被B腐蚀，表示为AΘB，其定义为:其中A称为输入图象，B称为结构元素。
AΘB由将B平移x仍包含在A内的所有点x组成。
如果将B看作模板，那么，AΘB则由在将模板平移的过程中，所有可以填入A内部的模板的原点组成。
根据原点与结构元素的位置关系，腐蚀后的图象大概可以分为两类:(1)如果原点在结构元素的内部，则腐蚀后的图象为输入图象的子集，如图2.1所示。
(2)如果原点在结构元素的外部，那么，腐蚀后的图象则可能不在输入图象的内部，如图2.2所示。
图2.1腐蚀类似于收缩腐蚀除了用填充形式表示外，还有一个更重要的表达形式:这里，腐蚀可以通过将输入图象平移-b(b属于结构元素)，并计算所有平移的交集而得到。
2 1.2二值膨胀运算膨胀是腐蚀运算的对偶运算，可以通过对补集的腐蚀来定义。
我们以A c表示集合A的补集，∨B表示B关于坐标原点的反射。
那么，集合A被B膨胀，表示为A⊕B，其定义为:为了利用结构元素B膨胀集合A，可将B相对原点旋转180°得到∨B，再利用∨B对A c进行腐蚀。
腐蚀结果的补集，便是所求的结果，如图2.3所示。
图2.3利用正方形膨胀膨胀还可以通过相对结构元素的所有点平移输入图象，然后计算并集得到，可用如下表达式描述:此方程定义的膨胀，历史上称为Minkowski和。
本文对要测试的原始图象(如图 2.4)分别进行了腐蚀运算和膨胀运算，得到的结果如图2.5，2.6所示。
图24原始图象图2.5腐蚀图象图2.6膨胀图象2.1 .3腐蚀和膨胀的代数性质膨胀满足两个最基本的运算关系，一个是交换律，另一个是结合律。
即:由式(2.2)可见，腐蚀运算是不可交换的，但腐蚀运算具有结合律。
AΘ(B⊕C)=(AΘB) ΘC=(AΘC) ΘB (2.8) 式(2.7)表明，当图象A用一个大的结构元素B⊕C去腐蚀时，其结果与用B和C连续腐蚀时相同，而腐蚀结果与用结构元素B、C的腐蚀顺序无关。
根据这一性质，我们可以只存储一些简单而基本的结构元素B，C等等，一旦需要时便可由他们对图象做连续腐蚀，以取代各种复杂的结构元素。
腐蚀和膨胀运算具有以下的性质。
(l)腐蚀、膨胀和图象之并:即⊕对U是可分配的，Θ对U是不可分配的。
(2)腐蚀、膨胀和图象之交:(3)关于腐蚀和膨胀(4)若B1，B2，……，B n是一系列结构元素，则有2.1 .4腐蚀和膨胀的滤波性质数学形态学中的腐蚀和膨胀运算与基本的集合运算之间存在着一种代数运算对应关系，这是数学形态学一个很吸引人的性质。
下面讨论与形态学滤波有关的一些性质。
(l)平移不变性腐蚀和膨胀都具有平移不变性。
对于膨胀，这意味着，首先平移图象，然后利用一个给定的结构元素对其做膨胀处理，和先用一个给定的结构元素对图象做膨胀处理，然后做平移处理所得结果是一样的，即(A+x)⊕B=(A⊕B)+x (2 .22)对于腐蚀，平移不变性具有下面的形式:(A+x) ΘB=(AΘB)+x (223)在考虑平移不变性的时候，必须注意的是，平移不变性是针对平移图象，而不是针对结构元素而言的。
(2)递增性腐蚀和膨胀都具有递增性，如果A1为A2的子集，则A1⊕B为A2⊕B的子集，A1ΘB 为A2ΘB的子集。
另外，腐蚀的递增性是相对结构元素及输入图象的次序，即包含关系而言的。
如果A是一个固定的图象，B1是B2的一个子集，那么，B1比B2更容易填入A的内部，因而，AΘB1包含AΘB2。
(3)对偶性前面指出，膨胀是腐蚀的对偶运算。
因为膨胀可以通过对图象的补集作腐蚀运算求得，腐蚀也可以通过对图象的补集作膨胀运算求得，即2.2二值开运算和闭运算在形态学图象处理中，除了腐蚀和膨胀两种基本运算外，还有两种由腐蚀和膨胀定义的运算，即开运算和闭运算[3,4]。
这两种运算是数学形态学中最主要的运算或变换。
从结构元素填充的角度看，它们具有更为直观的几何形式，同时提供了一种手段，使得我们可以在复杂的图象中选择有意义的子图象。
2.2.1二值开运算假定A仍为输入图象，B为结构元素，利用B对A作开运算，用符号AoB表示，其定义为:所以，开运算实际上是A先被B腐蚀，然后再被B膨胀的结果。
开运算还可以用其它符号表示，如O(A，B)，OPEN(A，B)和A B，在本文中，我们采用O(A，B)来表示。
开运算能从一个图象A中选取一个与结构元素B相匹配的子集合，该子集合的性质是:上式表示图象A对结构元素B的开运算。
精确地选择集合A中的点x，当x被结构元素B或其平移B，覆盖的同时，结构元素必须整个包含在集合A内部，由此可以得出开运算是一个反延伸性质的运算。
式(2 .10)也可改写为:这种写法形象地描述了开运算的特性:当结构元素B扫过整个图象A集合内部，那些使结构元素B的任何象素不超出图象A边界的图象A的象素点的集合，就是O(A，B)。
开运算的这种基本的几何形状匹配性质在图象处理中是非常有用的。
它可以用来分解图象，抽取图象中有意义且独立的图象元。
通常的例子是用圆盘对矩形作开运算，通过2.1节对腐蚀和膨胀运算的描述，我们不难得到开运算的结果，如图2.7所示。
图2.7利用圆盘开运算从图2.7我们看到，开运算具有两个显著的作用:①利用圆盘可以磨光矩形内边缘;②用A-O(A，B)可以得到图象的尖角，因此圆盘的圆化作用可以起到低通滤波的作用。
本文对要测试的原始图象(图2.4)进行了开运算，选取3 x 3、5 x 5、7x7三种大小不同的菱形结构元素，所得结果如图2.8(a)、2.8(b)、2.8(c)所示。
另外，采用5 x 5的菱形、线形、正方形、圆形结构元素，所得结果如图2.9(a)、2.9(b)、2.9(c)、2.9(d)所示。
由图可以看出，目标周围的噪声块得到了一些有效处理，而且处理的效果与结构元素形状与大小的选取有密切关系。
(a) 3x3结构元素(b)5x5结构元素(c)7x7结构元素图2.8(a)菱形(b)线形(c)方形(d)圆形图2 .92.2.2二值闭运算闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀然后再作腐蚀。
利用B对A作闭运算表示为A·B，其定义为:闭运算还可以表示为C(A，B)，cL0sE(A，B)和A B，在本文中，我们采用C(A，B)来表示。
另外，因为开闭运算互为对偶运算，还满足下面的性质:我们还可以采用以下方法来描述闭运算:该集合中包含所有这样的点x，x被一个平移的的镜象结构元素∨B t覆盖的同时，∨B t与A图象必有一些公共点，由此看出，初始图象A包含在C(A，B)中，即闭运算是具有延伸性的运算。
图2.10描述了闭运算的过程及结果。
图2.10利用圆盘闭运算显然，用闭运算对图形的外部做滤波，仅仅磨光了凸向图象内部的边角。
本文对要测试的原始图象(如图2.4)进行了闭运算，选取3 x3、5x5、7x7三种大小不同的菱形结构元素，所得结果如图2.11(a)、2.11(b)、2.11(c)所示。
另外，采用5x5的菱形、线形、正方形、圆形结构元素，所得结果如图2.12(a)、2.12(b)、2.12(c)、2.12(d)所示。
发现目标内部的噪声块得到了一些有效处理，处理的效果与结构元素形状和大小的选取有密切关系。
利用结构元素对图象做闭运算，可以填充目标内部狭窄的裂缝和长细的窄沟，消去小的孔洞。
(a)3x3结构元素(b)5x5结构元素(c)7x7结构元素图2 .11(a)菱形(b)线形(c)方形(d)圆形图2 .122.2.3开、闭运算的滤波性质经过上面的讨论，我们可以得出开闭运算的滤波性质:(l)平移不变性O((A+x)，B)=O(A，B)+x (2.33)C((A+x)，B)=C(A，B)+x (2.34)(2)递增性若A1⊆A2，则O(A l，B)⊆O(A2，B) (2.35)C(A l，B)⊆C(A2，B) (2 .36)(3)延伸性开运算是是非延伸的:O(A，B)是A的子集;而闭运算是延伸的，A是C(A，B)的子集。
由此可得:O(A，B)⊆A⊆C(A，B) (2.37)(4)幂等性在对一个图象A用结构元素进行开运算后，若再用同一结构元素进行又一次开运算，则所得结果不变，这种性质叫做幂等性。
同样，闭运算也具有幂等性。
O((A，B)，B)=O(A，B) (2 .38)C((A，B)，B)=C(A，B) (2.39)(5)对偶性开闭运算互为对偶运算。
O(A，B)=C(A C，B)C(2.40)C(A，B)=O(A C，B)C (2.41)2.3小结本章首先介绍了数学形态学最基本的运算:腐蚀运算和膨胀运算。
然后又介绍了由腐蚀和膨胀所定义的开运算和闭运算，并对这四种运算的滤波性质以及腐蚀和膨胀运算的代数性质进行了分析。
而且通过实验证明结构元素的大小及形状对数学形态学运算的结果会产生不同的影响。
我们看到，依靠数学形态学基本运算的支持，产生了一些新颖、有效的思想和方法，它们在实际中的应用开拓了相当吸引人的领域。
这也证实了数学形态学这一方法的生命力。
计算机模拟实验表明，基于数学形态学进行图象处理所得到的效果更适合视觉信息的处理和分析。