2.4B一元二次函数的草图画法
一元二次函数图像
元二次函数图像元二次函数型式y= ax2+ bx+ C 或f (x) = ax2+ bx + C元二次函数图像画法1、形状：抛物线2、开口：a> 0,开口向上；a v0,开口向下b3、对称轴：X = ---------2a4、与X轴的交点：方程的根5、取大取小值：4ac -b24a、例题1、y = χ2—5x + 6解：a=1, 开口向上b 5对称轴:X =——2a 2方程根:χ2- 5x + 6—0X—2 或x—34ac -b21最小值4a42、y = x2+ 5x + 6解：a=1, 开口向上b5对称轴:X=—=—2a2方程根2:X + 5x + 6—0X ——2 或X —- -34ac -b21最小值4a4 3、y = —χ2+ 5x —6解：a= —1,开口向下对称轴：b 5 X ———2a 2方程根：—χ2+ 5x —6—0X—2 或x—3最大值：4ac-b2 1 4a 44、y=- x2- 5x —6解：a=- 1,开口向下bX =-—对称轴:方程根:2a 2-χ2- 5x —6= 0X=—2 或X = —35、6、最大值:4ac—b2 14ay = x2-2x解：a= 1 ,开口向上b IX = ------ =12aχ2- 2x = 0 X= 0或X= 2 4ac-b2 ,-14a对称轴:方程根:最小值:y=-x2—2x解：a= —1, 开口向下对称轴:方程根:X=—b=-12a-χ2- 2x = 0最大值:X = 0 或X=—24ac-b2 d14a27、y = X —2x + 1对称轴：b IX =—= 12a方程根：X2—2x + 1 =X = 1最小值：4ac-b2 C 04a解：a= 1 ,开口向上8、y = —χ2+ 2x —1对称轴：b IX =—= 12a方程根：—X2+ 2x —1 = 0X = 1解：a= —1,开口向下最大值：4ac-b2 C=0 4a29、y = X解：a= 1 ,开口向上b对称轴：X =—= 02a方程根：X2= 0X = 04ac -b2最小值：=04a10、y = —X2解：a= —1,开口向下b对称轴：X = ------- =02a方程根：—X2= 0X = 04ac —b2最大值：=04a211、y = X + X + 1解：a= 1 ,开口向上b1对称轴：X =——2a2方程根：△< 0,方程无解=、,亠 4ac —b23最小值：4a4212、y = —X + X —1解：a= —1,开口向下,亠，b1对称轴：X =—2a2方程根：△< 0,方程无解=,一4ac —b23最人值：4a4元二次函数图像题21、y= X - 7x + 102、y= χ2+ 3x + 223、y=- x + 7x- 124、y=- x2- 6x- 85、y= x2+ 7x26、y= —X + 7χ7、y= X2+ 4X+ 48、y=－X2+ 6X－99、y= X2+ X+ 210、y=－X2+ 2X－4。
几何画板如何绘制二次函数
几何画板如何绘制二次函数
二次函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型，在学习二次函数的时候，我们学习过用描点法来大概画出二次函数，在几何画板中我们可以也用描点法准确的画出二次函数。
几何画板利用描点法绘制二次函数的具体的操作步骤如下：（几何画板官网）第一步定义三个坐标点
确定三个坐标点：（2，2）、（-2，2）、（1，-1）。
第二步描点画图
（1）打开几何画板软件，单击左边工具栏“自定义工具”—“函数工具”—“过三点的抛物线1”。
紧接着会自动出现平面直角坐标系，如图所示，这样我们就可以轻松找到坐标点。
利用自定义工具自动生成平面直角坐标系
（2）单击左边工具栏“自定义工具”—“函数工具”—“过三点的抛物线2”，在坐标系中分别找到三点（2，2）、（-2，2）、（1，-1）并单击，就回自动生成二次函数图像，同时在左上角显示函数解析式。
在坐标系中分别找到三个坐标点自动生成二次函数图像
第三步图像调节
（1）刻度调节。
如果你觉得坐标轴上面标示的刻度有些多或者少，我们可以找到x轴上面靠近原点处的一个单位点，鼠标左键按住并左右拖动可以调节点的密集程度。
鼠标左键按住单位点并左右拖动调节点的密集程度
（2）位置调节。
如果你觉得坐标轴的位置你不太满意的话，你可以通过按住原点上面的红点拖动来实现位置的改变。
鼠标左键按住原点拖动来实现位置的改变
以上向大家介绍了几何画板中利用描点法画二次函数图像的方法，操作简单，大家可根据教程多多练习，生动形象的二次函数图像能够帮助我们加大对于二次函数的理解。
如何用几何画板动态演示二次函数函数图像
如何用几何画板作二次函数图二次函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型，是以变化与对应为基础的重要数学概念。
要让学生理解二次函数的变量之间的相互依赖关系，清楚地看到二次函数的几种形式y=ax2、y=ax2 +k、y=（x－h）2、y=a（x－h）2+k、y=ax2+bx+c之间的平移、对称关系，需要给学生提供大量的图象素材，让学生观察、分析与对比。
当然最好还是让他们直观地观看当函数中的几个参数a、b、c或参数h、k发生变化时，图形是如何变化的，看到在运动和变化的过程中变量之间的对应关系。
这个靠老师口头讲解、黑板上画图都很难达到这个要求，而利用多媒体技术可以帮助我们做到这一点。
几何画板与Z+Z教育平台可以让抽象的函数问题变得直观形象、化静为动，动态地演示作图过程，动态地演示函数值随自变量的变化而变化的情景，有利于学生理解函数的概念、图象与性质。
如何有效地把信息技术和数学教学进行整合？如何把几何画板与Z+Z教育平台这些新的教学工具完美地融合到二次函数的教学过程中？下面我简单介绍一下用几何画板制作二次函数课件：我想用几何画板制作课件的目标主要有三个：1、快速地作出我们想要的二次函数的图象；2、动态演示几种形式的二次函数的图象，帮助学生理解二次函数的图象、性质及几种形式的二次函数图象之间的平移与对称关系；3、动态演示二次函数的函数值随自变量的变化而变化的情景，帮助学生理解二次函数的单调性与二次函数的极值问题。
一、利用几何画板作二次函数y=3x2－4x+1的图象。
这种形式的图象比较容易在几何画板窗口上画出，教师可以在上课过程中即兴作图。
1、建立平面直角坐标系。
在进入几何画板窗口后，单击编辑窗口上的“图面”选择“显示坐标轴”，此时你可以看到窗口上出现了一个坐标轴，你拉动x轴正半轴上的一个滑动点，可以改变单位长度的大小。
2、画点。
点击编辑窗口左侧的工具栏中的画点工具，在x轴上任意处单击，可以在x轴上做出一个点，如点A。
二次函数及其图像2
... ... ... ...
y 1 (x 1)2 2
y 1 (x 1)2 2
小结
y 1 x2 2
想 答三：个一形 图想状 象相 之：同 间三， 通条位 过抛置 沿物x不轴线同平。
有移什可么重关合系。？
总结
(1) 抛物线 y a(x h)2的图象可由 y ax2的图象左右平
移得到, h 0,向右平移, h 0,向左平移,平移 h 个单位.
向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线
y
1 2
(x
h) 2
的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？
试一试自己的能力
1、要从抛物线y= - 2x2的图象得到y= - 2x2-1的图象， 则抛物线y=-2x2必须（ B）.
A．向上平移1个单位； C．向左平移1个单位；
B．向下平移1个单位； D．向右平移1个单位．
2.抛物线y= 2x2 向上平移5个单位,会得到哪条抛物
线.向下平移3.4个单位呢?
3、把抛物线y= 2x2-4x+2化成y= a(x-h)2的形式,并指 出抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标;函数有最大 值还是最小值?是多少?
课课后后总结小: 结:
1212图、、..注本画象本用二的意节节列次步什课函骤课表么你数是你法情有怎有和y况哪样哪树？些a的x些形收2?图收获k获法和？？求y有概有何a何率感(感时x想应想？h？) 2
12 25 03
3 ... ...
10 ... ... 8 ... ...
y=ax2+k(a>0) 开口方向 向上 对称轴 Y 轴
顶点坐标（0，k）
y=x2+1
y=x2-1
答：形状相同，位置不同。
一元二次函数的图像及性质
§ 3.4一元二次函数的图象和性质复习目标1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。
知识回顾1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=。
（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min-=，无最大值。
② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。
（3）当0>a ，函数在区间)2,(ab --∞上是减函数，在),2(+∞-a b上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。
【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。
2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。
例题精解一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x 以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：x … -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 …y … 25 0 23- -2 23- 0 25 …【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
一元二次函数的图像和性质
§ 一元二次函数的图象和性质1．掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2．掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题3．会求二次函数在指定区间上的最大（小）值4．掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。
1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=， 性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线ab x 2-=。
（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，ab ac y 442min -=，无最大值。
② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，a b ac y 442max-=，无最小值。
（3）当0>a ，函数在区间)2,(a b --∞上是减函数，在),2(+∞-ab 上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab --∞上是增函数。
【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。
2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴； 但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。
一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
【解】)34(3422-+-=+--=x x x x y先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
怎样用几何画板画二次函数图像
怎样用几何画板画二次函数图像
函数图像在数学中占了半壁江山，利用几何画板绘制函数图像是很重要的一个技能，下面就简单介绍如何使用几何画板绘制二次函数图像。
以f(x)=2x2+3x-5为例，具体操作步骤如下：
一、绘制函数：
1.在“绘图”菜单中选择“绘制新函数”命令，出现“新建函数”对话框。
2.输入函数表达式。
在“新建函数”对话框中，按对话框上的数字按钮输入函数图像点击“确定”，自动生成f(x)=2x2+3x-5的函数图像。
3. f(x)=2x2+3x-5的图像如图所示。
二、调整图像：
1.整体移动。
单击“移动箭头工具”，在坐标系中按住坐标原点拖动可以移动整个坐标系的位置。
2.调整数据。
如果觉得数据不够精确，或者太详细了，你可以单击“移动箭头工具”，然后在选中X轴上的红点并拖动可以放大或者缩小刻度。
按照上面的方法就可以很快速地在几何画板中绘制出二次函数的图像，新用户们也可以很快地掌握这种简单的几何绘图方法。
一元二次函数的图像及性质
§ 3.4一元二次函数的图象和性质1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。
1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=。
（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min-=，无最大值。
② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。
（3）当0>a ，函数在区间)2,(ab --∞上是减函数，在),2(+∞-a b上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。
【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。
2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。
一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x xx 【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
【解】)34(3422-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
一元二次方程的图像表示
一元二次方程的图像表示一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是已知的实数系数且a ≠ 0。
这种方程在数学中具有重要的地位和广泛的应用。
为了更好地理解和研究一元二次方程，我们可以通过图像表示来直观地观察其性质和特点。
1. 一元二次方程的标准形式一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
在标准形式中，a 表示二次项系数，b 表示一次项系数，c 表示常数项。
通过标准形式，我们可以清晰地看到方程中各项的系数和阶数。
2. 一元二次方程的图像表示为了绘制一元二次方程的图像，我们可以按照以下步骤进行：a) 首先，确定方程的a、b、c的值；b) 根据方程计算得出顶点的横坐标 x = -b/2a；c) 将顶点的横坐标代入方程，得到对应的纵坐标 y；d) 以顶点为中心，向左右两侧取若干个点，计算这些点的纵坐标；e) 将这些点连成平滑曲线，即为一元二次方程的图像表示。
3. 一元二次方程图像的性质一元二次方程的图像一般是一个开口朝上或朝下的抛物线。
根据方程的系数和常数项的不同取值，其图像具有以下性质：a) 当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下；b) 抛物线的平移：通过改变方程中的常数项 c，抛物线的图像可以在平面内上下平移；c) 抛物线的压缩和拉伸：通过改变方程中的二次项系数 a，抛物线的图像可以在平面内水平方向上压缩或拉伸；d) 抛物线的顶点：抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 f(-b/2a) 表示在顶点横坐标处的纵坐标。
4. 利用一元二次方程图像解题通过一元二次方程的图像表示，我们可以更方便地解决与方程有关的问题。
例如，我们可以利用图像判断方程的根的个数和符号，进一步研究方程的性质和解集。
总之，一元二次方程的图像表示可以帮助我们更直观地理解和研究方程的性质。
通过绘制图像，我们可以观察到方程的开口方向、顶点的坐标以及抛物线的压缩与拉伸等性质。
二次函数画图1
反馈测试
1. 抛物线y=4x2中的开口方向是
，顶点坐标是 ，对
称轴是
.
2. 抛物线 y= -1 x2 的开口方向是 对称轴是 4 .
，顶点坐标是 ，
3. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口
方向相反，则a= .
函数 y ( 2x)2 的图象是 称轴是 ，开口方向是
，顶点坐标是 .
y
y x2
y x2
y = x2、y= - x2
y x2
抛物线 顶点坐标
对称轴
y = x2 （0，0）
y轴
y = - x2 （0，0）
y轴
位置 在x轴上方(除顶点外) 在x轴下方( 除顶点外)
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 2
线有什么共同点和不同点．
的图象，并考虑这些抛物
你画出的图象与图中相同吗？
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
1 2
x2
··· －8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
4 ··· ···
－8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
抛物线 顶点坐标
对称轴
y=ax2 (a>0) （0，0）
y轴
y= ax2 (a<0) （0，0）
y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外)
二次函数画图2
抛物线 y ax2 k 由抛物线 y ax2 沿x轴向
上（k ＞0)或向下(k ＜0)平行移动IkI个单位得到。
增减性： a＞0时x ＜0函数值y随增大x而减小，x ＞0函数值y随x增大而增大； a＜0时x ＜0函数值y随增大x而增大，x ＞0函数值y 随x增大而减小。
x＜0时，函数值y随增大而＿增＿大 ，x＞0时，函数值随
增大而＿减＿小 ，x= ＿0＿＿时，有最＿小＿值是＿-1＿＿
练习 1、把抛物线 y x2 向上平移3个单位得到的抛物
线是 y x2 3 若再向下平移 5个单位 得到的
抛物线是 y x2 2
2、把抛物线 y 2x2 向下平移2个单位得到的
y
1 2
x2
2
,
y 1 x2 2 2
2 的图象
解：分别列表，再画它们的图象
y 1 x2 2
y
2
y 1 x2 2
2
-2 -1
01 2
-2
y 1 x2 2 2
x
抛物线 y 1 x2 k 由抛物线 y 1 x2 向上（k＞0)
2
2
或向下(k＜0)平行移动IkI个单位得到。
抛物线是 y 2x2 2
3、抛物线 y 3x2 可以看作是由抛物线
y 3x2 5 向 下 平移 5 单位得到的.
结束寄语
•生活是数学的源泉. • 探索是数学的生命线.
这节课什么收获和体会？
y ax2 k
复习与回顾
1、函数 y ax2 的图象是＿抛＿物＿线＿＿，对称轴是
一元二次函数一般式的图像和性质
一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象和性质 例题精解一、一元二次函数的图象的画法（一般式）【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y 2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x 以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
【解】【点评】画二次函数图象步骤：(1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
二、一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的性质【例3】求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并写出y 随x 的增减情况【解】 7)3(79626222-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，，对称轴为3-=x ； x ... -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 ... y (2)50 23- -2 23- 0 25 (x)y01> ∴当3-=x 时， 7min -=y函数在区间]3(--∞，上是减函数，在区间)3[∞+-，上是增函数。
【例4】求函数1352++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值及y 随x 的增减情况。
【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、增减情况等性质时，方法有两个：(1) 配方法；如例3(2) 公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错。
任何一个函数都可配方成如下形式：)0(44)2(22≠-++=a ab ac a b x a y 三、二次函数性质的应用【例5】求函数522--=x x y 在给定区间]5,1[-上的最值。
【解】知识总结1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
一元二次不等式(图像法)
1.X轴上的点的坐标具有的形式是：
(x,0)
2.二次函数f(x)=x2_x-2与x轴的交点坐标 y 0=x2-x-2
x1=-1或x2=2
x1 o
x2 x
所以f(x)=x2_x-2与x轴的交点坐标为 （-1，0）和（2，0）
预备知 识
一元二次方程ax2+bx+c=0的解情况
a>0
一元二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 y
当⊿＞0时，方程有两 不等的实根x1，x2.
当⊿＝0 时，方程有两相 等的实根
x1 o y
x2 x
X1=X2=X0
o x0 y
x
当⊿＜0 时，方程无实根
o x
观察
y=x2-x-2图像上的点M的坐标(x,y)具有什么性 y 质 y=0, y>0, y<0 y=0 x=-1或x=2, y>0 x<-1或x>2,
二次函数fxx2x2与x轴的交点坐标?02?0x2x22xox1x2?x11或x22所以fxx2x2与x轴的交点坐标为10和20预备知识一元二次方程ax2bxc0的解情况一元二次函数yax2bxca0的图象当0时方程有两不等的实根x1x2xyox1x2a0当0时方程有两相等的实根x1x2x0当0时方程无实根xox0yxoyy观察yx2x2图像上的点m的坐标xy具有什么性质y0y0y0?y0x1或x2xo12??y0x1或x2y01x2例
解: x2-x-6=0的两个根
是x1=-2，x2=3。函数
y
y=x2-x-6 的图像如图
x2-x-6>0
-2<x<3
-2ห้องสมุดไป่ตู้
一元二次函数的图像和性质
§ 3.4一元二次函数的图象和性质1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。
1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=。
（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min-=，无最大值。
② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。
（3）当0>a ，函数在区间)2,(a b --∞上是减函数，在),2(+∞-a b上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。
【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。
2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。
一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x yx 【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
【解】)34(3422-+-=+--=x x x x y先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表【点评】画二次函数图象步骤：(1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
一元二次函数的图像和性质
§ 3.4一元二次函数的图象和性质复习目标1．掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2．掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题3．会求二次函数在指定区间上的最大（小）值4．掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。
知识回顾1．函数叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数都可把它的解析式配方为顶点式：，性质如下：（1）图象的顶点坐标为，对称轴是直线。
（2）最大（小）值①当，函数图象开口向上，有最小值，，无最大值。
②当，函数图象开口向下，有最大值，，无最小值。
（3）当，函数在区间上是减函数，在上是增函数。
当，函数在区间上是减函数，在上是增函数。
【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。
2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。
例题精解一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数的图象【解】 2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x 以为中间值，取的一些值，列表如下：【例2】求作函数的图象。
【解】7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x先画出图角在对称轴的右边部分，列表【点评】画二次函数图象步骤：(1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
二、一元二次函数性质【例3】求函数的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【解】由配方结果可知：顶点坐标为，对称轴为；∴当时，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数。
【例4】求函数图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。
，∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为∴当时，函数取得最大值函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。
【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：(1)配方法；如例3(2)公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
=-x 2 +40x
2
=- x 2 +40x+400 +400
=- x-20 +400 因a=-1，函数有极大值。
当x=20时，极大值ymax = 400公尺
b 4 ax 2a
2
求二次函数图象的极值：
1. y 2x2 12x 13
2 x 3 5
2
解：y 2 x 2 6x+9 13 2 9
a 2 0, 这个函数有极小值。
当x=3时，极小值ymin = -5
例题：某农夫想用长80公尺的篱笆围成长方 形的菜园，如何围法可使使用面积为最大？
2.4函数y=ax² ＋bx＋c的对称轴和顶点坐标。
y ax2 bx c b c a x 2 x a a
2 2 2 b b b c ax 2 x 2a 2a 2a a
1. y 2x 12x 13
2
2 x 3 5
2
由上式得：
x3 对称轴：
顶点为 3, 5 开口向上 当x=0 时， y=13 （y轴交点）
y ax 2 bx c
下列二次函数图象的草图：
步骤： 1、配方成一般形式。 2、得对称轴和顶点坐标，及开口 方向 3、找出与y轴的交点 4、由以上条件画出简图。
b 4ac b 2 a x 2a 4a
2
对称轴：直线 x
b 2a b 4ac b 2 顶点坐标： 2a , 4a
开口方向：与a有关
下列二次函数图象的草图：
解：y 2 x 2 6x+9 13 2 9