2020-2021学年北京市石景山区八年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年北京市石景山区高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷1.（单选题，4分）直线l过点P（-1，2），且倾斜角为45°，则直线l的方程为（）A.x-y+1=0B.x-y-1=0C.x-y-3=0D.x-y+3=02.（单选题，4分）设P是椭圆x25+y23=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A.2 √2B.2 √3C.2 √5D.4 √23.（单选题，4分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A.若m || α，n || α，则m || nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n || αD.若m || α，m⊥n，则n⊥α4.（单选题，4分）两条平行线l1：3x-4y-1=0与l2：6x-8y-7=0间的距离为（）A. 12B. 35C. 65D.15.（单选题，4分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC6.（单选题，4分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A.24B.48C.60D.727.（单选题，4分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A.45°B.60°C.90°D.120°8.（单选题，4分）直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b的值是（）A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或129.（单选题，4分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则m=（）A.21B.19C.9D.-1110.（单选题，4分）如图，P是正方体ABCD-A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）A.B.C.D.）6的二项展开式中，常数项等于 ___ ．（用数字作答）11.（填空题，4分）在（x- 2x-y2=1，则其焦点到渐近线的距离为___ ．12.（填空题，4分）已知双曲线标准方程为x2313.（填空题，4分）已知平面α，β，γ．给出下列三个论断：① α⊥β；② α⊥γ；③ β || γ．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___ ．，底面是边长为√3 14.（填空题，4分）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成的角的大小为___ ．15.（填空题，4分）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则|FN|=___ ．16.（问答题，7分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=-x2+1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．17.（问答题，7分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD 的中点．求证：（1）直线EF || 面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．18.（问答题，7分）已知△ABC的三个顶点是A（1，1），B（-1，3），C（3，4）．（1）求BC边的高所在直线l1的方程；（2）若直线l2过C点，且A、B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程．19.（问答题，9分）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．20.（问答题，10分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），离心率为√22．直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．。
2023-7石景山初二数学答案
石景山区2022-2023学年第二学期初二期末数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分. 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数． 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9．1x ≥ 10．1211．①165cm 至170cm 之间（包括170cm ）；②15% 12．答案不唯一，满足常数项大于零即可，如51y x =-+13．12y y < 14．①③ 1516．25(05)=-+<<y t t t 说明：答案为1(102)2y t t =-或(5)=-y t t 均不扣分 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．解法一：2450x x --=， ………………………………………1分(1)(5)0+-=x x ， ………………………………………3分 ∴121,5x x =-=．…………………………………………5分解法二：24454x x -+=+， ………………………………………1分2(2)9-=x ， ………………………………………2分23x -=±， ……………………………………3分∴121,5x x =-=． ………………………………………5分解法三：1,4,5a b c ==-=-，…………………………1分 241641(5)36-=-⨯⨯-=b ac ． ………………………2分46232±====±x ． …………4分∴121,5=-=x x ． ……………………………………5分18．解：（1）∵直线(0)y kx b k =+≠过点(2,5)A -，(0,1)B .∴25,1.-+=⎧⎨=⎩k b b ……………………………………… 2分∴2,1.=-⎧⎨=⎩k b ……………………………………… 4分∴一次函数的表达式为21y x =-+． ……………… 5分19．证明：∵ABCD 是平行四边形，∴AB CD =， ……………………………………………… 1分 AB //CD .∴BAF DCE ∠=∠. ……………………………………… 2分在△BAF和△DCE 中，AB CDBAF DCEAF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ………………………………………… 3分∴△BAF ≌△DCE ． …………………………………………4分 ∴BF DE =． ……………………………………………… 5分 20．解：（1）图略； …………………………………………………2分（2）菱形． …………………………………………………5分说明：（2）连接出四边形得1分，写出菱形得2分，写出平行四边形得1分．FE D C B A21．方法一证明：如图，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接F A ，FC ，DC ． ∵点D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，∴AE ＝EC ，AD ＝BD ，∴四边形ADCF 是平行四边形. ……2分 CF ∥＝AD ， ∴CF ∥＝BD ， ∴四边形DBCF 是平行四边形. …………………………4分 DF ∥＝BC ． 又∵DE ＝DF ， ∴DE ∥BC ，且DE ＝BC ． ……………………………5分 方法二证明：如图，取BC 中点G ，连接GE 并延长到点F ，使EF ＝GE , 连接AF ．∵点D ，E 分别是AB ，AC 边的中点， ∴AE ＝EC ，AD ＝BD ． 又∵∠AEF ＝∠CEG ，∴△AEF ≌△CEG . …………2分 ∴AF ＝CG ，∠F ＝∠CGE ， ∴AF ∥CG ． ∵BG ＝CG ， ∴AF ∥＝BG ， ∴四边形ABGF 是平行四边形. …………………………4分 ∴AB ∥＝FG ． ∵DB ＝AB ，GE ＝GF ， ∴DB ∥＝GE ， ∴四边形DBGE 是平行四边形， ∴DE ∥BC ，且DE ＝BG ＝BC ． ………………………5分 1212121212F E DCBAF G ADBCE22．解：（1）60. ……………………………………………………… 1分 （2）甲. ……………………………………………………… 3分 （3）两人出发2秒后， 606022=4.56S S -=⨯⨯-乙甲 ………………………… 5分 答：两人出发2秒后相距4米.23．解： （1）…………………… 2分（2）到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；… 3分 FCA ∠； ……………………………………………………4分 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；………………5分 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. …………… … 6分 24．解：（1）∵△24b ac =- ………………………………………… 1分 2(2)4(21)k k =---2484=k k -+ 24(21)k k =-+24(1)k =-. …………………………………… 2分∵无论k 取何值时，24(1)0=k ∆-≥,∴原方程有两个实数根． ………………………… 3分（2）∵22(1)2±-==k k x . 12+2(1)=212-=-k k x k ; 22-2(1)=12-=k k x . …… 5分 ∵该方程有一个根小于1， ∴21 1.-<k∴ 1.<k …………………………… 6分N M (N )(M )25．解：设甬路的宽为x m ，据题意列方程，得 ……………………… 1分2281610132⨯-=⨯-x x . ………………………… 3分 整理，得216280-+=x x ．解得 122,1410==>x x （不合题意，舍去）． …………5分 答：甬路的宽为2m. ………………………………………… 6分 26．解：（1）∵函数2y x =的图象经过点（1，m ），∴ m =2． …………………………………………………2分 又∵一次函数=+y x b （0k ≠）的图象经过（1，2）， ∴ 1+2=b ， 解得1b =. ………………………4分（2）1≤-n . …………………………………………………6分 27．解：（1）补全图形，如图所示．………………………………… 2分（2）DF ． ………………………………… 3分 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90A=∠︒，AB =AD . ………………………… 4分 ∴1390+=∠∠︒． ∵EB=EF ，EB EF ⊥， ∴2390+=∠∠︒． ∴12=∠∠． 又FG ⊥AD ， ∴90∠︒G=． ∴90∠∠︒A=G=．∴△ABE ≌△G E F ．∴=EA FG ；=AB GE ． …………………………… 6分 ∴=EA DG ． ∴=DG FG .在直角三角形DGF 中，=DG FG .∴DF . …………………………… 7分GCA DEG CAD E28．解:（1）①(0,1)-或(0,3)； ………………………… 2分(或. ……………………… 4分 ② 5. …………………………… 5分 （2）44-≤≤b . …………………………… 7分。
北京市石景山区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷(含答案)
北京市石景山区初二下期末数学试卷及答案－学年度第二学期期末考试初 二 数 学考生 须知 1. 本试卷为闭卷考试，满分为100分，考试时间为100分钟． 2. 本试卷共6页，各题答案均写在试卷相应位置上．题号一二三四五六七八总分得分一、选择题（本题共24分，每小题3分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的,请将所选答案前的字母填写在各小题后的括号内．1．在平面直角坐标系中，点P (2，-3)关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A.(-2，-3) B.(2，3)C.(-2，3)D.(2，-3)2．已知一次函数y x b =+的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ）A.-2B.-1C.0D.2 3. 顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形4.下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x 和y ， 其中y 不是．．x 的函数的选项是（ ）A ．y ：正方形的面积， x ：这个正方形的周长B ．y ：某班学生的身高， x ：这个班学生的学号C ．y ：圆的面积， x ：这个圆的直径D ．y ：一个正数的平方根， x ：这个正数5．已知1x =是方程220x bx +-=的一个根，则方程的另一个根是（ ）A.1B.2C.-2D.-1 6.关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（ ）A . k 为任何实数，方程都没有实数根B . k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C . k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D. 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种7．如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm8．四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ） A ．34 B ．33 C ．24D ．８二、填空题（本题共15分，每小题3分） 9．请写出一个两根异号的一元二次方程 ．10．截止至年6月4日，今年110米栏世界前10个最好成绩（单位：秒）如下：11．如果一个多边形的每个内角都相等，它的一个外角等于一个内角的三分之二，这个正多边形的边数是__________．12．将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称．ab +第7题图 第8题图ABCOEABCD EF第12题图 第13题图13．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，有下列结论：①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <，其中所有正确结论的序号是________________． 三、解答题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 14．解方程： 2450x x +-= 解：15．解方程：273(7)0x x x ---=（） 解：16．要在一个8cm ⨯12cm 相片外侧的四周镶上宽度相同的银边，并且要使银边的面积和相片的面积相等，那么银边的宽度应该是多少？ 解：17．一个一次函数的图像经过点3,7-（），且和坐标轴相交，当与坐标轴围成的直角三角形的两腰相等时，求这个一次函数的解析式． 解：18．看图说故事．如图，设计一个问题情境，使情境中出现的一对变量满足图示的函数关系．结合图象，说出这对变量的变化过程的实际意义． 解：四、解答题（本大题共6个小题，每小题6分，共36分）19．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =2，BC =4，高DF =2，求腰DC 的长． 解：20．在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：EO =FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？ 并证明你的结论． 证明：BCEF M NO AD A B CDF21．甲和乙上山游玩，甲乘坐缆车，乙步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知乙行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，甲在乙出发后50 min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min ．设乙出发x min 后行走的路程为y m ．图中的折线表示乙在整个行走过程中y 与x 的函数关系． （1）乙行走的总路程是___________ m ， 他途中休息了________min ．（2）①当50≤x ≤80时，求y 与x 的函数关系式；②当甲到达缆车终点时，乙离缆车终点的路程 是多少？22．阅读材料：如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有1212,bc x x x x aa+=-=. 这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例12,x x 是方程2630x x +-=的两根，求2212x x +的值.解法可以这样：126x x +=-，123x x =-，则222212112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--⨯-=.请你根据以上解法解答下题：已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求： （1）1211x x +的值；（2）212()x x -的值. 解：23．为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师对八年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图．如下所示：9 跳绳次数第4组 140160x ≤< 18第5组160180x ≤< 6（1）表中的a = ；（2）请把频数分布直方图补充完整； （3）这个样本数据的中位数落在第 组；（4）若八年级学生一分钟跳绳次数（x ）达标要求是：120x <不合格；120140x ≤<为合格；140160x ≤<为良；160x ≥为优．若该年级共有400名学生，请根据以上信息，估算该年级跳绳达到优的人数 ．24．将一张直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点C 重合，这时DE 为折痕， △CBE 为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE 的对称轴EF 折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、 无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”．请完成下列问题：（1）如图②，正方形网格中的△ABC 能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC 为一边，画出一个斜△ABC ，使其顶点A 格点上，且△ABC 折成的“叠加矩形”为正方形；（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是 ．参考答案一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分）9．21x =（答案不唯一） 10． 0.26 11．512．平行四边形、矩形、等腰梯形（三种中任选一种均给满分）13．①（多选不得分）三、解答题（本题共25分，每小题5分） 14. 解：（其它解法酌情给分）2(2)9x += … ………… …………………2分23x +=± … ………………………………3分∴11x =；25x =- … ………………………5分15. 解：(7)(73)0x x x --+= … …………… …………………………2分(7)(47)0x x --= … ………… ……………………………4分∴17x =，274x =… ………… ………………………5分 16．解：设银边的宽度为x cm ，由题意列方程 (122)(82)2812x x ++=⨯⨯ ……………………2分210240x x +-=解之122,12x x ==- …………………………………4分 其中212x =-不符合题意，舍去，所以2x =答：银边的宽度为2cm ……………… …………5分17．解：设一次函数解析式为y kx b =+，由题意0b ≠…………………1分图象与两轴交点分别为(,0),(0)b b k -，bb k-= ，解得1k =±………………………………3分 把点3,7-（）代入解析式，当1k =时10b =；当1k =-时4b =……4分所以，函数解析式为10y x =+或4y x =-+ …………………5分18． 学生可以设计多种情境．比如，把这个图看成“小王骑车的s-t 图”：小王以400米/分钟的速度匀速骑了5分钟，在原地休息了6分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回出发地． ………………5分四、计算与证明题（本题共36分，每小题6分）19．解：过D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，则四边形ABED 是平行四边形．…………1分DE=AB=DC ，BE=AD.在等腰三角形DEC 中， ………………………………………2分 EC=BC-BE=BC-AD=4-2=2， CF=12EC=1， ……………………4分 2222+2+15DC DF CF ∴=== ………………………………6分20. 证明：CE 是BAC ∠的平分线, OCE ECB ∴∠=∠//,,MN BC OEC BCE ∴∠=∠,OEC OCE OE OC ∴∠=∠∴=同理可证OF OC =,OF OE ∴= ………………………………3分 当O 为中点时，四边形AECF 是矩形． ………………………………4分 由OF OE OA OC ==，可知四边形AECF 是平行四边形． 由CE 、CF 分别为∠BCA 的内外角平分线可知∠ECF 为直角，所以四边形AECF 是矩形． ……………………………………6分 21．解：⑴3600，20． ……………………………………2分 ⑵①当5080x ≤≤时，设y 与x 的函数关系式为y kx b =+． 根据题意，当50x =时，1950y =；当80x =，3600y =．所以，y 与x 的函数关系式为55800y x =- ……………………………4分 ②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800（m ）， 缆车到达终点所需时间为1800÷180＝10（min ）．甲到达缆车终点时，乙行走的时间为10＋50＝60（min ）． 把60x =代入55800y x =-，得y=55×60—800=2500． 所以，当甲到达缆车终点时，乙离缆车终点的路程是3600-2500=1100（m ）． ……………………………6分22．解：由已知，121242x x x x +==， ………………………………2分 （1）121212114 2.2x x x x x x ++=== ………………………………………4分 （2）222121212()()44428.x x x x x x -=+-=-⨯=………………………………………6分23．解：（1）a =12； ……………1分 （2）画图答案如图所示：……………2分 （3）中位数落在第3组；……………4分 （4）48． ……………6分 24．解：（1）………………………………………………2分（2） (4)分（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可．）（3）三角形的一边长与该边上的高相等 ………………………………………6分9 跳绳次数B。
北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题(含答案解析)
北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．新版《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日实施，条例规定生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．下图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列计算正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．325()a a =C ．2336(2)6ab a b =D ．223344a a a ÷= 3．一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）A ．三边形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 4．下列因式分解变形正确的是（ ）A ．22242(2)a a a a -=-B ．2221(1)a a a -+=-C ．24(2)(2)a a a -+=+-D ．256(2)(3)a a a a --=-- 5．把分式方程11122x x x--=--化为整式方程正确的是（ ） A ．1(1)1x --= B ．1(1)1x +-=C ．1(1)2x x --=-D ．1(1)2x x +-=- 6．如图，要测量池塘两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF 上的两点C ，D ，使BC =CD ，再画出BF 的垂线DE ，使E 与A ，C 在一条直线上，可得△ABC ≌△EDC ，这时测得DE 的长就是AB 的长．判定△ABC ≌△EDC 最直接的依据是（ ）A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS7．如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC 为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与△ABC 成轴对称．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个8．n m ，1m n +，1n 都有意义，下列等式①22n n m m=；②111m n m n =++；③22n n m m =；④22n n m m +=+中一定不成立．．．．．的是（ ） A ．②④B ．①④C ．①②③④D ．②二、填空题9．分解因式：328x x -=______．10．若分式21x +有意义，则x 的取值范围是_________. 11．若20a b -=，且0b ≠，则分式a b a b +-的值为______． 12．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______．13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC=CD=DE,点D 、E 可在槽中滑动．若∠BDE=75°,则∠CDE 的度数是__________14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为（2，0），若点A 在第一象限内，且AB =OB ，∠A =60°，则点A 到y 轴的距离为______．15．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．16．一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为_____．三、解答题17．计算：3232()a a a a ⋅+-÷．18．解分式方程：22111x x x =--． 19．解分式方程：31(1)(2)1x x x x +=-+-. 20．已知2277x x -=，求代数式2(23)(3)(21)x x x ---+的值．21．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ＞BC ，P 为BC 上一点（不与B ，C 重合）．在AB 上找一点M ，在AC 上找一点N ，使得△AMN 与△PMN 全等，以下是甲、乙两位同学的作法．甲：连接AP ，作线段AP 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则M ，N 两点即为所求；乙：过点P 作PM ∥AC ，交AB 于点M ，过点P 作PN ∥AB ，交AC 于点N ，则M ，N 两点即为所求．（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 ；A ．两人都正确B ．甲正确，乙错误C ．甲错误，乙正确（2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ．求证：E 为AB 的中点．23．2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？24．已知22a m n =+，2b m =，c mn =，且m >n >0．（1）比较a ，b ，c 的大小；（2）请说明以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在．25．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =2，直线BC 上有一点P ，M ，N 分别为点P 关于直线AB ，AC 的对称点，连接AM ，AN ，BM ．（1）如图1，当点P 在线段BC 上时，求∠MAN 和∠MBC 的度数；（2）如图2，当点P 在线段BC 的延长线上时，①依题意补全图2；②探究是否存在点P ，使得3BM BN=，若存在，直接写出满足条件时CP 的长度；若不26．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当AB＞AC时，∠C ＞∠B．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD∠CAD．（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：参考答案1．B【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：厨余垃圾是轴对称图形；可回收物不是轴对称图形，注意箭头；有害垃圾是轴对称图形；其他垃圾不是轴对称图形，注意箭头．所以是轴对称图形的有2个．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．A【分析】根据幂的运算法则和整式的除法法则对各选项进行计算，即可作出判断．【详解】A 、232+35=a a a a ⋅=，故本选项正确；B 、32236=()a a a ⨯=，故本选项错误；C 、23336368()2=2ab a b a b =，故本选项错误；D 、223344a a ÷=，故本选项错误； 故选：A【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．D【分析】根据多边形的外角和为360°得到内角和的度数，再利用多边形内角和公式求解即可.【详解】解：设多边形的边数为x ，∵多边形的内角和等于外角和的两倍，∴多边形的内角和为360°×2=720°，∴180°（n ﹣2）=720°，解得n=6.故选D.【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，n 边形的内角的和等于： （n － 2）×180°(n 大于等于3且n 为整数）；多边形的外角和为360°.4．B【分析】根据提公因式分解因式可得出A 错误；根据完全平方公式可得B 正确；根据平方差公式可得C 错误；根据十字相乘法可判断D 错误．【详解】A 、2242(2)a a a a -=-，故此选项错误；B 、2221(1)a a a -+=-，故此选项正确；C 、24(2)(2)a a a -+=+-，故此选项错误；D 、256(6)(+1)a a a a --=-，故此选项错误．故选：B【点睛】本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解．5．D【分析】两边同时乘以最简公分母2x -即可化为整式方程，再依次判断即可．【详解】解：两边同时乘以2x -得1(1)2+-=-，x x故选：D．【点睛】本题考查解分式方程．注意去分母两边同时乘以最简公分母时两边都要乘，每一项都要乘．6．C【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，再根据已知选择判断方法．【详解】解：根据题意，∠ABC=∠EDC，BC=CD，∠ACB=∠ECD，∴能证明△ABC≌△EDC最直接的依据是ASA．故选：C．【点睛】本题考查证明三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．A【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.【详解】解：如图，可以画6个.【点睛】本题考查了轴对称变换，能确定对称轴的位置是解题关键.8．D【分析】根据题意，判断出0m ≠，0n ≠，+0m n ≠，根据分式的性质逐个判断即可．【详解】解：∵ n m ，1m n +，1n都有意义， ∴ 0m ≠，0n ≠，+0m n ≠， ①222=n n n m mm ⎛⎫= ⎪⎝⎭，仅需10n n m m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即=1n m 时成立； ②111=m n m n++，不成立； ③22n n m m=，（右侧分子分母同时除以2），因此成立； ④22n n m m +=+，()()2=2n m m n ++即2=2n m ，当=n m 时成立； 故仅有②一定不成立，故选D【点睛】本题综合考查了分式的基本性质，解题关键是根据题意得出m 、n 和+m n 的范围． 9．()()222+-x x x【分析】原式提取2x ，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：328x x -22(4)x x =-2(2)(2)x x x =+-，故答案为：()()222+-x x x ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【解析】 ∵分式21x +有意义， ∴10x +≠，解得1x ≠-.故答案为1x ≠-.11．3-【分析】由已知2a−b ＝0，可知b ＝2a ；将所得结果代入所求的式子中，经过约分、化简即可得到所求的值．【详解】解：∵2a−b ＝0，∴b ＝2a ； ∴23=32a b a a a a b a a a++==----． 故答案为−3．【点睛】正确对式子进行变形，化简求值是解决本题的关键．在解题过程中要注意思考已知条件的作用．12．（a+b ）2-2ab = a 2+b 2【分析】利用各图形的面积求解即可．【详解】解：两个阴影图形的面积和可表示为：a 2+b 2或 （a+b ）2-2ab ，故可得： （a+b ）2-2ab = a 2+b 2故答案为：（a+b ）2-2ab = a 2+b 2【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确四块图形的面积．13．80°【分析】根据OC=CD=DE ，可得∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC 据三角形的外角性质即可求出∠ODC 数，进而求出∠CDE 的【详解】∵OC CD DE ==，∴O ODC ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，设O ODC x ∠=∠=，∴2DCE DEC x ∠=∠=，∴180CDE DCE DEC ∠=︒-∠-∠1804x =︒-，∵75BDE ∠=︒，∴180ODC CDE BDE ∠+∠+∠=︒，即180475180x x +-+=︒︒︒，解得：25x =︒，180480CDE x ︒∠=-=︒.【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．14．1【分析】过A 作AC ⊥OB ，首先证明△AOB 是等边三角形，再求出OC 的长即可．【详解】解，过A 作AC ⊥OB 于点C ，∵AB=OB ，∠A=60°∴∠AOB=60°且△AOB 是等边三角形，∵点B 的坐标为（2，0）∴OB=2∵AC ⊥OB∴112122OC OB ==⨯= 故答案为：1．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，掌握等边三角形的性质是解答此题的关键．15．④【分析】四边形的内角和是360︒，根据四边形内角的性质选出正确选项．【详解】解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于360︒；②错误，可以是四个直角；③错误，可以是四个直角；④正确．故选：④．【点睛】本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．16．5或4．【分析】先设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，根据三角形面积公式，可求222,,412S S S a b c h ===，结合三角形三边的不等关系，可得关于h 的不等式组，解即可．【详解】解：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么 222,,412S S S a b c h===， 又∵a-b ＜c ＜a+b ， ∴2222412412S S S S c -<<+， 即2233S S S h <<， 解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故答案为：5或4．【点睛】本题考查了三角形面积、三角形三边之间的关系、解不等式组．求出整数值后，能根据三边关系列出不等式组是解题关键．17．0．【分析】原式先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可．【详解】解：3232()a a a a ⋅+-÷=462a a a -÷=44a a -=0．【点睛】此题主要考查了积的乘方和同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 18．方程无解．【分析】先两边同乘以(1)(1)x x +-将分式方程化为整式方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．【详解】 22111x x x =--，即211(1)(1)x x x x =-+-， 方程两边同乘以(1)(1)x x +-化成整式方程，得12x x +=，移项，得21x x -=-，合并同类项，得1x -=-，系数化为1，得1x =，经检验，1x =时，原分式方程的分母等于0，即1x =不是原方程的解，故方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．19．方程无解【分析】去分母将分式方程化为整式方程，求解并验证根即可．【详解】解：去分母得：3(1)(2)(2)x x x x +-+=+，去括号得：22322x x x x ++-=+，移项合并得：1x -=-，解得：1x =．经检验1x =是该方程的增根，即方程无解．【点睛】本题考查解分式方程．解分式方程的思路就是去分母两边乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程求解．解分式方程一定不要忘了验根．20．19【分析】先通过整式的运算法则将代数式化简成22712x x -+，再整体代入求值．【详解】解：原式()()224129263x x x x x =-+-+-- 224129253x x x x =-+-++22712x x =-+∵2277x x -=，∴2277x x -=，∴原式71219=+=．【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入的思想求值．21．A ．【分析】(1)如图1，根据线段垂直平分线的性质得到MA=MP，NA=NP，则根据“SSS”可判断△AMN≌△PMN，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形AMPN为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到MA=PN，MP=AN，则根据“SSS”可判断△AMN≌△PNM，则可对乙进行判断．(2)根据（1）即可得出证明过程【详解】（1）解：如图1，∵MN垂直平分AP，∴MA=MP，NA=NP，而MN=MN，∴△AMN≌△PMN（SSS），所以甲正确；如图2，∵MN∥AN，PN∥AM，∴四边形AMPN为平行四边形，∴MA=PN，MP=AN，而MN=MN，∴△AMN≌△PNM（SSS），所以乙正确．故选：A．（2）正确做法的证明同（1）【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定．22．见解析【分析】证明AE=DE，EB=DE即可解决问题【详解】证明：∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠EAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE，∴DE=AE，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，∵∠EAD=∠ADE，∴∠BDE=∠ABD，∴BE=DE，∴AE=BE，∴E是AB的中点．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23．第二宇宙速度是每秒11.2千米．【分析】设第二宇宙速度是每秒xkm，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km，根据第二宇宙速度飞行560千米所用时间+50=该列高铁全速行驶10千米所用时间，列出方程求解即可．【详解】解：设第二宇宙速度是每秒xkm ，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km ， 根据题意， 11125601050x x+=， 解得11.2x =，经检验11.2x =是该方程的解．所以，第二宇宙速度是每秒11.2千米．【点睛】本题考查分式方程的应用．能结合题意找出等量关系列出方程是解题关键．不要忘记验根哦． 24．（1）a ＞b ＞c ；（2）见解析【分析】（1）a 、b 、c 两两作差可得出a 、b 、c 之间的大小关系；（2）对于任意一个三角形的三边a ，b ，c ，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【详解】（1）∵a -b =m 2+n 2-m 2=n 2＞0；a -c =m 2+n 2-mn =（m -n ）2+mn ＞0；b -c = m 2-mn =m （m -n ）＞0∴a ＞b ＞c ；（2）由（1）a ＞b ＞c 可得，a +b ＞c∵a -b = m 2+n 2-m 2=n 2＜mn∴a -b ＜c∴以a 、b 、c 为边长的三角形一定存在．【点睛】本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在． 25．（1）∠MAN =90°，∠MBC =90°；（2）补全图形见解析；（3）存在，CP=1．【分析】（1）连接CN ，AP ，MP ，根据轴对称的性质和等腰三角形三线合一可得∠NAC=∠CAP ，∠PAB=∠MAB ，∠ABC=∠ABM ，再根据等腰直角三角形的性质即可求得∠MAN 和∠MBC ；（2）①依据轴对称图形对应点的连线被对称轴垂直平分补全图即可；②根据垂直平分线的性质可得PB=BM ，PC=CN ，再设BN 长为x ，利用3BM BN和线段的和差列出方程求解即可．【详解】解：（1）如图，连接CN ，AP ，MP ，∵N 、P 关于AC 对称，∴C 为PN 的中点，且AC 为NP 的中垂线，∴AN=AP ，∴△ANP 为等腰三角形，∴∠NAC=∠CAP （三线合一），同理可证∠PAB=∠MAB ，∠ABC=∠ABM ，∵AC=BC=2，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∴∠MAN=∠NAC+∠CAP+∠PAB+∠BAM=2∠CAB=90°，∠MBC=∠ABC+∠ABM=2∠ABC=90°；（2）①补全图2如下，②由（1）知B 在PM 的中垂线上，A 在PN 的中垂线上，∴PB=BM ，PC=CN ，设BN 长为x ，则BM 的长为3x ，CN 长为2-x ，∴PC=CN=2-x ，∵PB=BM=PC+BC,∴322x x =-+，解得x=1，∴满足条件的P 点存在，且CP=2-1=1．【点睛】本题考查轴对称的性质，作轴对称图形，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质等．理解轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分是解题关键．26．（1）①见解析，②∠B<∠C ，>；（2）①见解析；②＜【分析】（1）①由HL 证明Rt △ABD ≌Rt △ACD 可得结论；②由AB ＞AC 得∠C ＞∠B 即可得出结论；（2）①由SSS 证明△ABD ≌△ACD 可得结论；②作辅助线证明△BDE CDA ≅∆，得BE CA =，∠BED CAD =∠，证得∠BAD BED <∠，即可得到结论．【详解】解：（1）①证明：∵AD 是BC 边上的高线∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中AB AC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACD∴∠BAD =∠CAD ；②证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ． ∵AB ＞AC ，∴ ∠B<∠C （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD > ∠CAD ．故答案为：∠B<∠C ，>；（2）①证明：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD∴∠BAD=∠CAD②如图，延长AD 至点E ，使AD=ED ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的BC 边上的中线，∴BD CD =在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE CDA ≅∆∴BE CA =，∠BED CAD =∠，又AB AC >，则AB BE >∴∠BAD BED <∠∴∠BAD CAD <∠．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．。
2020~2021北京市西城区八年级初二上学期数学期末试卷及答案
.
12.点A(1,-3)关于x 轴对称的点的坐标为
.
13.计算:10a2b3÷(-5ab3)=
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14.如图,△ABC≌△ADE,点 D 在边BC 上,∠EAC=36°,
则∠B=
°.
北京市西城区2020-2021学年度第一学期期末试卷 八年级数学 第 2页(共6页)
15.已知小腾家、食堂、图书馆在同一条直线上.小腾从家去食堂吃早餐,接着去图书馆
匀速运动.设点P 运动的时间为x,线段EP 的长为y,图2是y 与x 的函数关系的 大致图象,则点P 的运动路径可能是
图1
A.C→B→A→E C.A→E→C→B
图2
B.C→D→E→A D.A→E→D→C
二、填空题 (本题共18分,第15,17题每小题3分,其余每小题2分)
11.若分式x1-4有意义,则x 的取值范围是
B.AC=DF,AB=DE
C.∠A=∠D,AB=DE
D.AC=DF,CB=FE
D.(ab2)2=a2b4
5.化简分式xyx+2x 的结果是
A.xy
B.yx+1
C.y+1
6.如果m2+m=5,那么代数式m(m-2)+(m+2)2 的值为
D.yx+x
A.14
B.9
C.-1
D.-6
7.已知一次函数y=kx-6,且y 随x 的增大而减小.下列四个点中,可能是该一次函数
;
(2)如图,已知点A(1,0),B(0,1),根据定义可知线段AB 上的任意一点与原点O
的 “直角距离”都等于1.
若点P 与原点O 的 “直角距离”dOP =1,请在图中将所有满足条件的点 P 组成
北京市石景山区2023~2024学年第一学期初二期末数学参考答案
石景山区2023-2024学年第一学期初二期末数学试卷答案及评分参考阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可。
若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 一、选择题（本题共16分，每小题2分）9．1x ≥ 10．mn ；分式的基本性质 11．17 12. 7513．答案不唯一，如AB =DE ；SAS 14．3815. 451 16．等边三角形；.三、解答题（本题共68分，第17-21每小题5分；第22-23每小题6分；24题5分，第25-26每小题6分；第27-28每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．解：原式2211=--+2-.18．解：原式2=⨯3⨯==19．解：原方程可化为：()3113231231x x -=-- 去分母，得()331213x --=. 去括号，整理得9513x -=.解得2x =.经检验2x =是原分式方程的解.∴原分式方程的解为2x =.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分20． 证明： ∵∠1=∠2,∴OB=OC (等角对等边).在△AOB 和△DOC 中O A O DA OB D OC O B O C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△DOC （SAS）. ∴AB =CD （全等三角形的对应边相等）.21．解：由题意，原问题可转化为以下数学问题：已知：Rt △'ABC 中，'ABC ∠=90°，点B 为'DC 的中点， '10DC =，AC ='AC ，BC =1．求AB 和AC 的长．∵'10DC =,点B 为'DC 的中点， ∴1''52BC DC ==. 设AB =x ，则'AC =AC =x +1. 在Rt △AB C’中， ∵222''AB BC AC +=，∴2225(1)x x +=+.解得12x =. ∴AB =12，AC=13.答：水深12尺，芦苇长13尺.22．解：（1）尺规作图，如图所示：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 D ACB⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分21BC DOA（2）证明：∵BD ⊥AC 于D ，∴∠1+∠C =90°． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 ∵AB=AC ， ∴ABC C ∠=∠．∵180A ABC C ∠+∠+∠=︒， ∴2180A C ∠+∠=︒．∴1902A C ∠+∠=︒. ∴112DBC A ∠=∠=∠. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分23．解：原式()()()2111111a a a aa a a a +--⎛⎫=-÷ ⎪--⎝⎭-. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 ()()()211111a a a a a -=⋅-+-. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分()11a a =+.21a a=+ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分∵ 210a a +-=， ∴21a a +=∴ 原式=1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分24．解：如图所示，作点M 关于AD 的对称点'M ，连接'M F 交AD 于点P ，点P⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分1DACBC连接MP ，'MM .∵点M 与点'M 关于AD 对称，∴直线AD 是'MM 的垂直平分线. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 ∴'MP M P =. ∴'MPA M PA ∠=∠. ∵'M PA FPD ∠=∠,∴MPA FPD ∠=∠. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分25．解：设该用户在4G 网络环境下载的速度是每秒x 兆，在5G 网络环境下载的速度是每秒11.5x 兆. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分根据题意列方程，得92092010511.5x x=-. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 解得：8x =.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分经检验，8x =是原分式方程的解且符合实际意义. 11.5892⨯=.答：该用户在5G 网络环境下载文件的速度是每秒92兆.26．解：（1）第5个：666655⨯=+. （2）第n 个等式可以表示为：()()1111n n n n n n++⋅+=++.（3）证明：∵()()2111n n n n n++⋅+=， ()()1111n n n n n n n n+++++=+ =()1(1)n n n++=()21n n+，∴()()1111n n n n n n++⋅+=++. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分27．解：（1）①补全图形如图所示：②判断：CD=DB + CF .证明：过点E 作EG ⊥CB 交CB 的延长线于G . ∵∠ACB =90°，EG ⊥CB 于G ， ∴∠ACD =∠EGD =90°. ∵DE =AD ，∠ADC =∠EDG , ∴△ACD ≌△EGD .∴AC =EG ，CD =GD .∵AC =BC ，∴BC =EG . ∵BE ⊥BF ， ∴∠FBE =90°， ∴∠CBF +∠GBE =90°.∵在△EGB 中，∠GEB +∠GBE =90°， ∴∠CBF =∠GEB . ∵∠FCB =∠BGE =90° ∴△BCF ≌△EGB . ∴CF =GB . ∵DG =DB +BG ， ∴CD=DB + CF .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分C EFDBACF A ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（2）画出图形如下：数量关系：CD= CF - DB .（3）答案不唯一，只要合理有价值即可.如：点D 在线段CB 上，且DB >CD ，判断CD ，DB ，CF 之间的数量关系. 如：判定AF 与CD 的数量关系并证明等.28．解：（1）13P P ，. （2）如图所示：（34AE ≤.ABD FEC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分BA⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分。
2020-2021学年北京海淀区人教版八年级(上)期末数学试卷(含答案)
2020-2021学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共24分，每小题3分）第1～8题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．1．（2020秋•海淀区期末）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（）A．B．C．D．2．（2021•朝阳区校级模拟）KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为（）A．3×10﹣6B．3×10﹣7C．0.3×10﹣6D．0.3×10﹣73．（2020秋•海淀区期末）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a54．（2020秋•海淀区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）5．（2021•绿园区一模）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（）A．135°B．140°C．144°D．150°6．（2021•柳南区校级模拟）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；（4）过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．小聪作法正确的理由是（）A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBB．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBC．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBD．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB7．（2021•沂南县模拟）如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣2b）•的值是（）A．2B．﹣2C．D．8．（2020秋•海淀区期末）在△ABC中，AB≠AC，线段AD，AE，AF分别是△ABC的高，中线，角平分线，则点D，E，F的位置关系为（）A．点D总在点E，F之间B．点E总在点D，F之间C．点F总在点D，E之间D．三者的位置关系不确定二、填空题（本大题共24分，每小题3分）9．（2020•北京一模）使式子有意义的x取值范围是．10．（2020秋•海淀区期末）计算：（3a2+2a）÷a＝．11．（2020秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若AB＝6，则BD的长为．12．（2020秋•海淀区期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是．（写出一个即可）13．（2020秋•海淀区期末）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2；具体数据如图所示，则S1S2．（填“＞”，“＜”或“＝”）14．（2020秋•海淀区期末）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC 的大小为．15．（2020秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B与点A关于x轴对称，点C在x轴上，若△ABC为等腰直角三角形，则点C的坐标为．16．（2020秋•海淀区期末）图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为A点，将膝盖抽象为B点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为C点，将自行车中轴位置记为D点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点A，D的位置不变，B，C为动点．图2是抽象出来的点和线．若AB＝BC＝40cm，CD＝16cm，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则AD最长为cm．三、解答题（本大题共52分，第17题8分，第18～21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题7分）17．（2020秋•海淀区期末）（1）计算：（﹣）2+2﹣2﹣（2﹣π）0；（2）分解因式：3x2﹣6xy+3y2．18．（2021•朝阳区校级模拟）已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．19．（2020秋•海淀区期末）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE．20．（2020秋•海淀区期末）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”请补全上述命题的证明．已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．求证：．证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠．（）（填推理的依据）∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（）（填推理的依据）∴∠ADB＞∠C．∴∠ABD＞∠C．∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABC＞∠ABD．∴∠ABC＞∠C．21．（2020秋•海淀区期末）列方程解应用题开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚．某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份．近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30%，求橘子每千克的价格．22．（2020秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．（1）求证：CE＝AD；（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．23．（2020秋•海淀区期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：（1）多项式x2﹣4x+6关于x＝对称；（2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝3对称，求b的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣4x+4）关于x＝对称．24．（6分）（2020秋•海淀区期末）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E，连接AD，AE，CE，DE．（1）如图1，当点D为线段BC的中点时，求证：△ADE是等边三角形；（2）当点D在线段BC的延长线上时，连接BE，F为线段BE的中点，连接CF．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD与CF的数量关系，并证明．25．（7分）（2020秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l为过点M（m，0）且与x轴垂直的直线．对某图形上的点P（a，b）作如下变换：当b≥|m|时，作出点P关于直线l的对称点P1，称为Ⅰ（m）变换；当b＜|m|时，作出点P关于x轴的对称点P2，称为Ⅱ（m）变换．若某个图形上既有点作了Ⅰ（m）变换，又有点作了Ⅱ（m）变换，我们就称该图形为m﹣双变换图形．例如，已知A（1，3），B（2，﹣1），如图1所示，当m＝2时，点A应作Ⅰ（2）变换，变换后A1的坐标是（3，3）；点B作Ⅱ（2）变换，变换后B1的坐标是（2，1）．请解决下面的问题：（1）当m＝0时，①已知点P的坐标是（﹣1，1），则点P作相应变换后的点的坐标是；②若点P（a，b）作相应变换后的点的坐标为（﹣1，2），求点P的坐标；（2）已知点C（﹣1，5），D（﹣4，2），①若线段CD是m﹣双变换图形，则m的取值范围是；②已知点E（m，m）在第一象限，若△CDE及其内部（点E除外）组成的图形是m﹣双变换图形，且变换后所得图形记为G，直接写出所有图形G所覆盖的区域的面积．2020-2021学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共24分，每小题3分）第1～8题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．1．（2020秋•海淀区期末）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2021•朝阳区校级模拟）KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为（）A．3×10﹣6B．3×10﹣7C．0.3×10﹣6D．0.3×10﹣7【考点】科学记数法—表示较小的数．【专题】实数；数感．【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000003用科学记数法表示为：3×10﹣7．故选：B．【点评】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（2020秋•海淀区期末）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a5【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【专题】整式；运算能力．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；B、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；C、（2a）3＝8a3，故本选项不合题意；D、a10÷a2＝a8，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．4．（2020秋•海淀区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）【考点】因式分解的意义．【专题】整式；运算能力．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义．严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．5．（2021•绿园区一模）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（）A．135°B．140°C．144°D．150°【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；几何直观．【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝1260°÷9＝140°．故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n﹣2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．6．（2021•柳南区校级模拟）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；（4）过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．小聪作法正确的理由是（）A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBB．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBC．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBD．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质；作图—基本作图．【专题】作图题；应用意识．【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了全等三角形的判定．7．（2021•沂南县模拟）如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣2b）•的值是（）A．2B．﹣2C．D．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝•＝a﹣b，当a﹣b＝2时，原式＝2．故选：A．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（2020秋•海淀区期末）在△ABC中，AB≠AC，线段AD，AE，AF分别是△ABC的高，中线，角平分线，则点D，E，F的位置关系为（）A．点D总在点E，F之间B．点E总在点D，F之间C．点F总在点D，E之间D．三者的位置关系不确定【考点】三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定与性质．【专题】三角形；推理能力．【分析】延长AE至点H，使EH＝AE，连接CH，证明△AEB≌△HEC，根据全等三角形的性质得到AB＝CH，∠BAE＝∠H，根据三角形的高、中线、角平分线的定义解答即可．【解答】解：假设AB＜AC，如图所示，延长AE至点H，使EH＝AE，连接CH，在△AEB和△HEC中，，∴△AEB≌△HEC（SAS），∴AB＝CH，∠BAE＝∠H，∵AB＜AC，∴CH＜AC，∴∠CAH＜∠H，∴∠CAH＜∠BAE，∴点F总在点D，E之间，故选：C．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的中线、高、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．二、填空题（本大题共24分，每小题3分）9．（2020•北京一模）使式子有意义的x取值范围是x≠2．【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式的分母不等于零分式有意义，可得答案．【解答】解：要使式子有意义，得x﹣2≠0．解得x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用了分式的分母为零分式无意义．10．（2020秋•海淀区期末）计算：（3a2+2a）÷a＝3a+2．【考点】整式的除法．【专题】整式；运算能力．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（3a2+2a）÷a＝3a2÷a+2a÷a＝3a+2．故答案为：3a+2．【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．11．（2020秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若AB＝6，则BD的长为3．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】利用含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵AB＝6，∴BD＝AB＝，故答案为：3．【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．12．（2020秋•海淀区期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一）．（写出一个即可）【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】由全等三角形的判定定理可求解．【解答】解：若添加AB＝AD，且AC＝AC，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；若添加BC＝CD，且AC＝AC，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；若添加∠BAC＝∠DAC，且AC＝AC，由“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；若添加∠BCA＝∠DCA，且AC＝AC，由“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；故答案为：AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．13．（2020秋•海淀区期末）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2；具体数据如图所示，则S1＞S2．（填“＞”，“＜”或“＝”）【考点】正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；运算能力．【分析】根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：方案一：如图1，S1＝a2﹣b2，方案二：如图2，S2＝（a﹣b）（+b+）﹣b2＝（a﹣b）（a﹣b）﹣b2＝a2﹣b2﹣b2＝a2﹣2b2，∵S1﹣S2＝a2﹣b2﹣（a2﹣2b2）＝a2﹣b2﹣a2+2b2＝b2＞0，∴S1＞S2．故答案为：＞．【点评】本题考查了正方形的性质，正方形和矩形的面积的计算，正确识别图形是解题的关键．14．（2020秋•海淀区期末）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC 的大小为30°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵MN的垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．15．（2020秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B与点A关于x轴对称，点C在x轴上，若△ABC为等腰直角三角形，则点C的坐标为（﹣3，0）或（3，0）．【考点】等腰直角三角形；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由轴对称的性质可求点B坐标，由等腰直角三角形的性质可求OC＝OA＝3，即可求解．【解答】解：∵点A的坐标为（0，3），点B与点A关于x轴对称，∴点B（0，﹣3），∴OA＝OB＝3，又∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴OC＝OA＝OB＝3，∴点C（3，0）或（﹣3，0），故答案为：（3，0）或（﹣3，0）．【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是本题的关键．16．（2020秋•海淀区期末）图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为A点，将膝盖抽象为B点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为C点，将自行车中轴位置记为D点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点A，D的位置不变，B，C为动点．图2是抽象出来的点和线．若AB＝BC＝40cm，CD＝16cm，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则AD最长为64cm．【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】根据已知条件得到当AB+BC＝AD+CD时，AD最长，根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵在骑行过程中脚总可以踩到踏板，∴当AB+BC＝AD+CD时，AD最长，则，AD最长为AB+BC﹣CD＝40+40﹣16＝64（cm），故答案为：64．【点评】本题考查了旋转的性质，知道当AB+BC＝AD+CD时，AD最长是解题的关键．三、解答题（本大题共52分，第17题8分，第18～21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题7分）17．（8分）（2020秋•海淀区期末）（1）计算：（﹣）2+2﹣2﹣（2﹣π）0；（2）分解因式：3x2﹣6xy+3y2．【考点】实数的运算；提公因式法与公式法的综合运用；零指数幂；负整数指数幂．【专题】因式分解；实数；运算能力．【分析】（1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝+﹣1＝﹣1＝﹣；（2）原式＝3（x2﹣2xy+y2）＝3（x﹣y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及实数的运算，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．（5分）（2021•朝阳区校级模拟）已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】整式；运算能力．【分析】首先利用多项式乘以多项式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．【解答】解：原式＝4x2﹣25+2x2﹣2x＝6x2﹣2x﹣25，∵3x2﹣x﹣1＝0，∴3x2﹣x＝1．∴原式＝2（3x2﹣x）﹣25＝2×1﹣25＝﹣23．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．19．（5分）（2020秋•海淀区期末）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD ＝CE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．【分析】根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵C是AB的中点，∴AC＝CB，∵CD∥BE，∴∠ACD＝∠B．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE．【点评】该题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质及其应用等几何知识点问题；应牢固掌握全等三角形的判定．20．（5分）（2020秋•海淀区期末）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”请补全上述命题的证明．已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．求证：∠ABC＞∠C．证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB．（等边对等角）（填推理的依据）∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）（填推理的依据）∴∠ADB＞∠C．∴∠ABD＞∠C．∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABC＞∠ABD．∴∠ABC＞∠C．【考点】作图—应用与设计作图．【专题】作图题；推理能力．【分析】根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的我觉得性质解决问题即可．【解答】已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．求证：∠ABC＞∠C．证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）．∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB（等边对等角），∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠ADB＞∠C，∴∠ABD＞∠C，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABC＞∠ABD，∴∠ABC＞∠C．故答案为：∠ABC＞∠C，ADB，等边对等角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（5分）（2020秋•海淀区期末）列方程解应用题开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚．某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份．近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30%，求橘子每千克的价格．【考点】分式方程的应用．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【分析】设橘子每千克的价格为x元，则香蕉每千克的价格为70%x元，根据题意可得等量关系：2800元所购买的香蕉的重量﹣2500元所购买的橘子的重量＝150，再列出方程，解出x的值即可．【解答】解：设橘子每千克的价格为x元，则香蕉每千克的价格为70%x元．根据题意，得﹣＝150，解得x＝10，检验：当x＝10时，70%x≠0．所以原分式方程的解为x＝10且符合题意．答：橘子每千克的价格为10元．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．22．（6分）（2020秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．（1）求证：CE＝AD；（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．【分析】（1）根据HL证明Rt△CAE与Rt△ABD全等，进而解答即可；（2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可．【解答】证明：（1）∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠ACE＝∠BAC＝90°，在Rt△CAE与Rt△ABD中，，∴Rt△CAE≌Rt△ABD（HL），∴CE＝AD．（2）由（1）得Rt△CAE≌Rt△ABD，∴∠EAC＝∠ABD，∠E＝∠ADB．由（1）得CE＝AD，∵AD＝CF，∴CE＝CF．∴∠CFE＝∠E，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFB＝∠E．∵∠E＝∠ADB，∴∠AFB＝∠ADB，∵∠AGB＝∠EAC+∠ADB，∠AGB＝∠DBC+∠AFB，∴∠EAC＝∠DBC．∵∠EAC＝∠BAD，∴∠BAD＝∠DBC，∴BD平分∠ABC．【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据HL证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．23．（5分）（2020秋•海淀区期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：（1）多项式x2﹣4x+6关于x＝2对称；（2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝3对称，求b的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣4x+4）关于x＝﹣1对称．【考点】配方法的应用．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可；（2）求出x2+2bx+3的对称轴，令对称轴＝3即可；（3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可．【解答】解：（1）x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，则多项式关于x＝2对称，故答案为：2；（2）∵x2+2bx+3＝（x+b）2+3﹣b2，∴关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝﹣b对称，∴﹣b＝3，∴b＝﹣3；（3）原式＝（x+4）2（x﹣2）2＝[（x+4）（x﹣2）]2＝（x2+2x﹣8）2＝[（x+1）2﹣9]2＝[（x+1+3）（x+1﹣3）]2＝（x+4）2（x﹣2）2，当x＝﹣4和2时，原式＝0，∴关于x＝﹣1对称，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．24．（6分）（2020秋•海淀区期末）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E，连接AD，AE，CE，DE．（1）如图1，当点D为线段BC的中点时，求证：△ADE是等边三角形；（2）当点D在线段BC的延长线上时，连接BE，F为线段BE的中点，连接CF．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD与CF的数量关系，并证明．。
人教版2020---2021学年度八年级数学(上)期末考试卷及答案(含两套题)
密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020—2021学年度上学期八年级数学（上）期末测试卷及答案（满分：150分 时间： 120分钟）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若代数式4xx -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x =0 B ．x =4C ．x ≠0D ．x ≠42．随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007平方毫米，将数字0.0000007用科学记数法可以表示为（ ） A ．6710-⨯ B ．60.710-⨯C ．7710-⨯D ．87010-⨯3．下列式子，成立的是（ ） A ．a 2·a 3=a 6 B ．（a 2）3=a 5C ．a –1=–aD ．（–a ＋b ）（–a –b ）=a 2–b 24．如果把分式xyx y+中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ ）A ．扩大4倍B ．扩大2倍C ．不变D ．缩小2倍5．若等腰三角形中有两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为（ ） A ．13 B ．13或17C ．10D ．176．在平面直角坐标系中，将点A （–1，2）向右平移4个单位长度得到点B ，则点B 关于y 轴的对称点B ′的坐标为（ ） A ．（–3，2） B ．（3，–2） C ．（3，2）D ．（2，–3）7．如图，在△ABC 和△BDE 中，点C在边BD 上，边AC 交边BE 于点F ，若AC =BD ，AB =ED ，BC =BE ，则∠ACB 等于（ ）A ．∠DB ．∠EC ．∠EBDD ．∠ABF8．点O 在ABC △（非等边三角形）内，且OA OB OC ==，则点O为（ ）A ．ABC △的三条角平分线的交点题号一 二 三 总分 得分B ．ABC △的三条高线的交点C ．ABC △的三条边的垂直平分线的交点D ．ABC △的三条边上的中线的交点9．如图，AE ∥DF ，AE =DF ，则添加下列条件还不能使△EAC≌△FDB 的为（ ）A ．AB =CD B ．CE ∥BFC ．∠E =∠FD ．CE =BF10．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，△ABC 的面积为10，AB =6，DE =2，则AC 的长是（ ）A ．4B ．4.5C ．4.8D ．5 11．从3-，2-，1-，32-，1，3这六个数中，随机抽取一个数，记为a .关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，那么这6个数中所有满足条件的a 的值有（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．4个12．如图，在等边三角形ABC 中，BC 边上的中线AD =6，是AD 上的一个动点，F 是边AB 上的一个动点，在点F 运动的过程中，EB +EF 的最小值是A ．5B ．6C ．7D ．8第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．若23a b =，则a b b -=__________．14．若3a b +=，1ab =，则22ab +=__________．15．若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是__________边形．16．如图，依据尺规作图的痕迹，计算α∠=__________°．17．已知ABC ∆中，它的三边长a 、b 、c 都是正整数，其中a 是最长边，且满足22106340a b a b +--+=，则符合条件的c密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题值为__________．18．如图，∠ABC =∠ACB ，AD 、BD 、CD 分别平分△ABC 的外角∠EAC 、内角∠ABC 、外角∠ACF .以下结论：①AD∥BC ；②∠ACB =2∠ADB ；③∠ADC =90°−12∠ABC ；④BD 平分∠ADC ；⑤∠BDC =12∠BAC ．其中正确的结论有__________（填序号）三、解答题（本大题共9小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分6分） （1）解方程：22+11x x x x+=+；（2）解方程：2227361x x x x x -=+--． 20．（本小题满分6分）（1）因式分解22(2)(22)1a ab b a b -++-++；（2）先化简，再求值24512(1)(),11a a a a a a-+-÷----其中1a =-． 21．（本小题满分6分）如图，点B 、C 、D 、E 在同一条直线上，已知AB =FC ，AD =FE ，BC =DE . （1）求证：△ABD ≌△FCE .（2）AB 与FC 的位置关系是_________（请直接写出结论）22．（本小题满分8分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ． （1）求∠ECD 的度数； （2）若CE =5，求BC 的长．23．（本小题满分8分）超市用2500元购进某品牌苹果，以每千克8元的单价试销．销售良好，超市又安排4500元补货．补货进价比上次每千克少0.5元，数量是上次的2倍．（1）求两次进货的单价分别是多少元．（2）当售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求两次销售苹果的毛利．24．（本小题满分10分）如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AD⊥BC ，垂足为D ．（1）求作∠ABC 的平分线，分别交AD ，AC 于E ，F 两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）证明：AE=AF．25．（本小题满分10分）如图，网格中有格点△ABC与△DEF．（1）△ABC与△DEF是否全等？（不说理由．）（2）△ABC与△DEF是否成轴对称？（不说理由）（3）若△ABC与△DEF成轴对称，请画出它的对称轴l．并在直线l上画出点P，使PA+PC最小．26．（本小题满分12分）探究下面的问题:（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a>b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是________（用式子表示），即乘法公式中的___________公式.（2）运用你所得到的公式计算：①10.7×9.3；②(23)(23)x y z x y z+---.27．（本小题满分12分）在△ABC中，∠BAC=100°，∠∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C点E在射线AC上运动，且∠ADE=∠AED，设∠DAC=（1）如图①，当点D在边BC上时，且n=36°BAD=__________，∠CDE=__________；（2）如图②，当点D运动到点B变，请猜想∠BAD和∠CDE（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请画出图形，明理由．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题参考答案一1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DCDBDACCDABB二、13．【答案】3-【解析】∵23a b =，∴设a =2k ，b =3k （k ≠0），则23133a b k k b k --==-， 故答案为：13-.14．【答案】7【解析】∵a +b =3，ab =1，∴22a b +=（a +b ）2–2ab =9–2=7；故答案为7. 15．【答案】七【解析】设这个多边形是n 边形，根据题意得，()2180900n -⋅︒=︒，解得7n =.故答案为：7. 16．【答案】56【解析】如图，∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ACB =68°， ∵由作法可知，AF 是∠DAC 的平分线，∴∠EAF =12∠DAC =34°，∵由作法可知，EF 是线段AC 的垂直平分线，∴∠AEF =90°， ∴∠AFE =90°−34°=56°，∴∠α=56°.故答案为：56.17．【答案】6或7【解析】a 2+b 2–10a –6b +34=0， a 2–10a +25+b 2–6b +9=0，（a –5）2+（b –3）2=0， 则a –5=0，b –3=0，解得，a =5，b =3， 则5–3<c <3+5，即2<c <8，∴△ABC 的最大边c 的值为6或7， 故答案为：6或7． 18．【答案】①②③⑤【解析】∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAC =2∠EAD ， ∵∠EAC =∠ABC +∠ACB ，∠ABC =∠ACB ，∴∠EAD =∠ABC ，∴AD ∥BC ，∴①正确； ∵AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ，∵BD 平分∠ABC ，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ACB =2∠DBC ，∴∠ACB =2∠ADB ，∴②正确；∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，∴∠DAC=12∠EAC，∠DCA=12∠ACF，∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠ADC=180°−（∠DAC+∠ACD）=180°−12（∠EAC+∠ACF）=180°−12（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）=180°−12（180°+∠ABC）=90°−12∠ABC，∴③正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°−12∠ABC，∴∠ADB不一定等于∠CDB，∴④错误；∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，∴∠BAC=2∠BDC，∴∠BDC=12∠BAC，∴⑤正确；故答案为：①②③⑤．三、19．【解析】（1）方程两边都乘x（x+1），得x2+x2+x=2（x+1）2，解得：x=−23，检验：当x=−23时，x（x+1）≠0，∴x=−23是原方程的解.（3分）（2）去分母得：7x−7+3x+3=6x，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解.（6分）20．【解析】（1）原式=（a2–2ab+b2）–（2a–2b）+1=（a–b）2–2（a–b）+1=（a–b–1）2．（3分）（2）原式()()()211452(2)111a a a a aa a a a+--+--=÷=---•()12a aa-=-a（a–2当a=–1时，原式=–1×（–1–2）=3．（6分）21．【解析】（1）∵BC=DE，∴BC＋CD=DE＋CD，即BD=CE．在△ABD和△FCE中，AB FCAD FEBD CE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△FCE（SSS）．（4分）（2）AB∥FC.（6分）由（1）可知△ABD≌△FCE，∴∠B=∠FCE（全等三角形的对应角相等），∴AB∥FC（同位角相等，两直线平行）.22．【解析】（1）∵DE垂直平分AC，∠A=36°，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；（4分）（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴∠BEC =∠A ＋∠ECD =72°，∴∠BEC =∠B ，∴BC =EC =5．（8分）23．【解析】（1）设第一次进货的单价是x 元，则第二次进货的单价是(0.5)x -元，根据题意，得2500450020.5x x ⨯=-，解得5x =． 经检验：5x =是原方程的解．第二次进货的单价是：50.5 4.5()-=元.答：第一次进货的单价是5元，第二次进货的单价是4.5元.（4分）（2）两次销售苹果的毛利：25004500200820080.752500450046005 4.5⎛⎫+-⨯+⨯⨯--=⎪⎝⎭（元）． 答：两次销售苹果的毛利为4600元.（8分） 24．【解析】（1）如图所示，射线BF 即为所求：（4分）（2）证明：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =90°，∴∠BED +∠EBD =90°，∵∠BAC =90°，∴∠AFE +∠ABF =90°，（7分） ∵∠EBD =∠ABF ，∴∠AFE =∠BED ，∵∠AEF =∠BED ，∴∠AEF =∠AFE ，∴AE =AF ．（10分） 25．【解析】（1）全等．（3分）根据坐标系可以看出AB DEBC EFAC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≅△DEF ；（2）成轴对称．（6分）根据坐标系可以看出△ABC 与△DEF 关于直线l 成轴对称； （3）如图所示：点P 即为所求．（10分）26．【解析】（1）a 2–b 2=（a +b ）（a −b ）；平方差．（6分）由图知：大正方形减小正方形剩下的部分面积为a 2–b 2； 拼成的长方形的面积：（a +b ）×（a −b ），所以得出：a 2–b 2=（a +b ）（a −b ）；故答案为：a 2–b 2=（a +b ）（a −b ）；平方差． （2）①原式=（10+0.7）×（10–0.7） =102–0.72 =100–0.49 =99.51.（9分）②原式=（x –3z +2y ）（x –3z –2y ） =（x –3z ）2–（2y ）2 =x 2–6xz +9z 2–4y 2.（12分）27．【解析】（1）∠BAD =∠BAC –∠DAC =100°–36°=64°．∵在△ABC 中，∠BAC =100°，∠ABC =∠ACB ， ∴∠ABC =∠ACB =40°，∴∠ADC =∠ABC +∠BAD =40°+64°=104°． ∵∠DAC =36°，∠ADE =∠AED ， ∴∠ADE =∠AED =72°，∴∠CDE =∠ADC –∠ADE =104°–72°=32°． 故答案为64°，32°；（4分）（2）∠BAD =2∠CDE ，理由如下：（5分） 如图②，在△ABC 中，∠BAC =100°， ∴∠ABC =∠ACB =40°． 在△ADE 中，∠DAC =n ，∴∠ADE =∠AED =1802n︒-．（6分）∵∠ACB =∠CDE +∠AED ，∴∠CDE =∠ACB –∠AED =40°–1802n ︒-=1002n -︒． ∵∠BAC =100°，∠DAC =n ， ∴∠BAD =n –100°，∴∠BAD =2∠CDE ；（8分） （3）∠BAD =2∠CDE ，理由如下： 如图③，在△ABC 中，∠BAC =100°，∴∠ABC =∠ACB =40°，∴∠ACD =140°．（9分） 在△ADE 中，∠DAC =n ， ∴∠ADE =∠AED =1802n︒-．（10分）∵∠ACD =∠CDE +∠AED ， ∴∠CDE =∠ACD –∠AED =140°–1802n ︒-=1002n︒+． ∵∠BAC =100°，∠DAC =n ， ∴∠BAD =100°+n ， ∴∠BAD =2∠CDE ．（12分）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020—2021学年度上学期八年级数学（上）期末测试卷及答案（满分：150分 时间： 120分钟）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列图形中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．下列分式中，属于最简分式的是( )A ．1113xB ．221xx +C ．211x x +-D ．11x x --3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A ．2cm ，5cm ，8cm B ．3cm ，3cm ，6cm C ．3cm ，4cm ，5cmD ．1cm ，2cm ，3cm4．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是( ) A ．五边形 B ．六边形C ．七边形D ．八边形5．下列运算正确的是( ) A ．236a a a ⋅= B ．220a a ÷=C ．2353()a b a b =D ．752a a a ÷=6．下列各式分解因式正确的是( ) A ．()()2919191x x x -=+- B ．()()422111a a a -=+- C ．()()228199a b a b a b --=--+D ．()()()32a ab a a b a b -+=-+-7．已知ab ≠0，则坐标平面内四个点A （a ，b ），B （a ，–b ），C （–a ，b ），D （–a ，–b ）中关于y 轴对称的是( ) A ．A 与B ，C 与DB ．A 与D ，B 与C C ．A 与C ，B 与DD ．A 与B ，B 与C8．如图，△ABC ≌△ADE ，若∠E =70°，∠D =30°，∠CAD =35°，则∠BAD 的度数为( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°9．光明家具厂生产一批学生课椅，计划在30天内完成并交付题号一 二 三 总分 得分不得答题使用．若每天多生产100把，则23天完成且还多生产200把．设原计划每天生产x把，根据题意，可列分式方程为( )A．3020023100xx+=+B．3020023100xx-=+C．3020023100xx+=-D．3020023100xx-=-10．解关于x的方程6155x mx x-+=--（其中m为常数）产生增根，则常数m的值等于( )A．–2 B．2C．–1 D．111．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是( )A．6cm B．7cmC．8cm D．9cm12．如图，BP平分ABC∠交CD于点F，DP平分ADC∠交AB于点E，若40A∠=︒，38P∠=︒，则C∠的度数为( )A．36︒B．39︒C．38︒D．40︒第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．一种细菌的半径是0.00003厘米，数据0.00003数法表示为_________．14．计算：2232aa a a---=_________．15．若分式33xx--的值为零，则x=_________．16．如图，ABC∆中，90C∠=︒，30A∠=︒，AB的垂直平分线交于D，交AB于E，2CD=，则AC=_________．17．在等腰ABC∆中，一腰上的高与另一腰的夹角为26︒角的度数为__________．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠为________度．密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题三、解答题（本大题共9小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分6分）计算：（1）()()22x y x y x ---；（2）2344(1)11x x x x x ++-+÷++.20．（本小题满分6分）因式分解：（1）4x 2–16；（2）（x +y ）2–10（x +y ）+25．21．（本小题满分6分）如图，AD 与BC 交于E ，∠1=∠2=∠3，∠4=∠5．求证：BD =E C ．22．（本小题满分8分）如图，五边形ABCDE 的内角都相等，EF 平分∠AED ．求证：EF ⊥BC ．23．（本小题满分8分）如图，△ABC 的顶点均在格点上．（1）分别写出点A ，点B ，点C 的坐标．（2）若△A 'B 'C '与△ABC 关于y 轴对称，在图中画出△A 'B 'C '，并写出相应顶点的坐标．24．（本小题满分10分）如图，ABC ∆与DCB ∆中，AC 与BD 交于点E ，且A D ∠=∠，AB DC =.（1）求证：ABC DCB ∆≅∆；（2）当50AEB ∠=︒，求EBC ∠的度数．25．（本小题满分10分）嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形卡片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． （2）如果要拼成一个长为（a +2b ），宽为（a +b ）的大长方形，则需要1号卡片________张，2号卡片________张，3号卡片________张．26．（本小题满分12分）市区某中学美化校园招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要30天；若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙合做12天可完成.（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在35天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？27．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知45ABC ∠=，过点C 作CD AB ⊥于点D ，过点B 作BM AC ⊥于点M ，连接MD ，密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题故答案为：11a --．15．【答案】–3【解析】依题意，得|x |–3=0且x –3≠0，解得x =–3．故答案是:–3.16．【答案】6【解析】连接BD ，∵在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，∴∠ABC =60°， ∵AB 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E ，∴AD =BD ，DE ⊥AB ，∴∠ABD =∠A =30°，∴∠DBC =30°， ∵CD =2，∴BD =2CD =4，∴AD =4，∴AC =6.17．【答案】58°或32°【解析】①如图①，∵AB =AC ，∠ABD =26°，BD ⊥AC ，∴∠A =64°，∴∠ABC =∠C =（180°–64°）÷2=58°；②如图②，∵AB =AC ，∠ABD =26°，BD ⊥AC ， ∴∠BAC =26°+90°=116°，∴∠ABC =∠C =（180°–116°）÷2=32°，故答案为：58°或32°．18．【答案】50°【解析】如图，连接OB ，OC ，∵∠BAC =50°，AO 为∠BAC 的平分线，∴∠BAO =12∠BAC =12×50°=25°．又∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =65°．∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA =OB ，∴∠ABO =∠BAO =25°，∴∠OBC =∠ABC –∠ABO =65°–25°=40°．∵AO 为∠BAC 的平分线，AB =AC ，∴直线AO 垂直平分BC ，∴OB =OC ，∴∠OCB =∠OBC =40°，∵将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，题∴OE =CE ．∴∠COE =∠OCB =40°；在△OCE 中，∠OEC =180°–∠COE –∠OCB =180°–40°–40°=100°，∴∠CEF =12∠CEO =50°．故答案为：50°. 三、19．【解析】（1）原式=22222x xy y xy x -+-+=2233x xy y -+；（3分）（2）原式=231x+11(2)x x x x --+⨯++（）（1）=223111(2)x x x x -++⨯++=2(2)(2)11(2)x x x x x -++⨯++=22xx -+．（6分）20．【解析】（1）4x 2–16=4（x 2–4）=4（x +2）（x –2）；（3分） （2）（x +y ）2–10（x +y ）+25 =（x +y –5）2．（6分） 21．【解析】1=2314,43AEC ABD ∠∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠，，∴AEC ABD ∠=∠．（2分）45∠=∠，AB AE =∴．在ABD △和AEC 中1=2AB AE ABD AEC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，（4分）∴ABD AEC ≅．∴BD =EC ．（6分）22．【解析】∵五边形ABCDE 的内角都相等，∴∠C =∠D =∠AED =180°×（5–2）÷5=108°，（2分）又EF 平分∠AED ， ∴°1542FED AED ∠=∠=，（4分）∴在四边形DEFC 中360EFC D C FED ︒∠=-∠-∠-∠=90°，∴EF ⊥BC ．（8分）23．【解析】（1）点A （3，4），B （1，2），C （5，1（3分）（2）如图所示，△A 'B 'C '即为所求，（5分）点A ′（﹣3，4），B ′（﹣1，2），C ′（﹣5，1）．（8密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题24．【解析】（1）在△ABE 和△DCE中，A D AEB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCE （AAS ），∴BE =EC ，∠ABE =∠DCE ，（4分）∴∠EBC =∠ECB ，∵∠EBC +∠ABE =∠ECB +∠DCE ，∴∠ABC =∠DBC ，（6分）在△ABC 和△DCB中，A DAB DC ABC DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△DCB （ASA ）；（8分） （2）∵∠AEB =50°，∴∠EBC +∠ECB =50°， ∵∠EBC =∠ECB ，∴∠EBC =25°．（10分）25．【解析】（1）这个乘法公式是（a +b ）2=a 2+2ab +b 2，故答案为:（a +b ）2=a 2+2ab +b 2；（4分）（2）要拼成一个长为（a +2b ），宽为（a +b ）的大长方形，根据（a +2b ）（a +b ）=a 2+3ab +2b 2，则需要1号卡片1张，2号卡片2张，3号卡片3张.故答案为:1；2；3．（10分）26．【解析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x 天，依题意，得：101212130x ++=，解得x =45，经检验，x =45是所列分式方程的解，且符合题意． 答：乙队单独完成这项工程需要45天．（6分） （2）甲乙两队全程合作需要1÷（11+3045）=18（天），甲队单独完成该工程所需费用为3.5×30=105（万元）； ∵乙队单独完成该工程需要45天，超过35天的工期， ∴不能由乙队单独完成该项工程；甲、乙两队全程合作完成该工程所需费用为（3.5+2）×18=99（万元）．∵105>99，∴在不超过计划天数的前提下，由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱．（12分） 27．【解析】（1）∵45ABC ∠=，CD AB ⊥，∴45ABC DCB ∠=∠=，∴BD DC =，∵90BDC MDN ∠=∠=，∴BDN CDM ∠=∠，（3分） ∵CD AB ⊥，BM AC ⊥， ∴90ABM A ACD ∠=-∠=∠，在DBN ∆和DCM ∆中，BDN CDM BD DCDBN DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴DBN ∆≌DCM ∆；（6分） （2）结论：NEME CM ，证明：由（1）DBN ∆≌DCM ∆可得DM DN =． 作DF MN ⊥于点F ， 又ND MD ⊥，∴DF FN =，在DEF ∆和CEM ∆中，DEF CEM DFE CMEDE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DEF ∆≌CEM ∆，∴EF EM =，DF CM =，∴CM DF FN NE FE NE ME ===-=-.（12分）。
北京市朝阳区2020～2021学年度第一学期期末检测八年级数学试卷参考答案
北京市朝阳区2020～2021学年度第一学期期末检测八年级数学试卷参考答案及评分标准2021.1一、选择题（本题共24分，每小题3分）三、解答题（本题共52分，第17-25题，每小题5分，第26题7分） 17．解：3232()a a a a ⋅+-÷462()a a a =+-÷ ………………………………………………………………………………3分44a a =- ………………………………………………………………………………………4分0=． ……………………………………………………………………………………………5分18．解：21211xx x --- 12(1)(1)(1)(1)x x x x x x +=-+-+- ……………………………………………………………………2分 12(1)(1)x x x x +-=+-………………………………………………………………………………………3分 1(1)(1)x x x -=+-………………………………………………………………………………………4分 11x =-+．……………………………………………………………………………………………5分 19．解：去分母，得 3(1)(2)(2)x x x x +-+=+． ……………………………………………………2分解得 x =1． ……………………………………………………………………………………4分 检验：当x =1时，(x -1)(x +2)=0，因此x =1不是原分式方程的解．所以原分式方程无解． …………………………………………………………………………5分20．解： 2(23)(3)(21)x x x ---+224129(253)x x x x =-+--- ………………………………………………………………2分 224129253x x x x =-+-++ …………………………………………………………………3分 22712x x =-+． ………………………………………………………………………………4分∵2277x x -=，∴原式=7+12=19．…………………………………………………………………………………5分21．（1） A ； ………………………………………………………………………………………………1分 （2）若选择甲同学的作法，补全图形如图1所示． …………………3分 证明：∵MN 是线段AP 的垂直平分线，∴M P =MA ，NP =NA ． …………………4分∵MN =MN ，∴△PMN ≌△AMN ． …………………5分若选择乙同学的作法，补全图形如图2所示． …………………3分 证明：∵PM ∥AC ，PN ∥AB ，∴∠PMN =∠ANM ，∠PNM =∠AMN ． …………………4分∵MN =NM ，∴△PMN ≌△ANM ． …………………5分22．证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ． ……………………………………………………………………………1分 ∵DE ∥AC ，∴∠EDA =∠CAD ． ……………………………………………………………………………2分 ∴∠EDA =∠BAD ．∴EA =ED ． ……………………………………………………………………………………3分 ∵BD ⊥AD 于点D ， ∴∠ADB =90°．∴∠ADE +∠BDE =90°，∠DAB +∠ABD =90°． ∴∠ABD =∠BDE ．∴EB =ED ． ……………………………………………………………………………………4分 ∴EB =EA ．………………………………………………………………………………………5分 即E 为AB 的中点．23．解：设该列高铁全速行驶时速度为x 千米/秒． ……………………………………………………1分 由题意，得5601050112x x=-． …………………………………………………………………2分 解得 x =0.1． ………………………………………………………………………………………3分 经检验，x =0.1是原分式方程的解，且符合题意． ……………………………………………4分所以112x =11.2．答：第二宇宙速度为11.2千米/秒． …………………………………………………………………5分图1图224．解：（1）2222()a b m n m n -=+-=． ……………………………………………………………1分∵n >0， ∴20n >．∴a >b ． ………………………………………………………………………………………2分2()b c m mn m m n -=-=-．∵m >n >0， ∴()0m m n ->．∴b >c ． …………………………………………………………………………………………3分 ∴c <b <a ． （2）∵c <b <a ，∴要判断以a ，b ，c 为边长的三角形是否一定存在，只需要比较b +c 与a 的大小．222()()b c a m mn m n n m n +-=+-+=-． ……………………………………………4分∵m >n >0， ∴()0n m n ->． ∴b +c >a ．∴以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在． …………………………………………………5分25．解：（1）如图，连接AP ．∵∠C =90°，AC =BC ，∴∠CAB =∠CBA =45°．…………………………………1分 ∵M ，N 分别为点P 关于直线AB ，AC 的对称点， ∴∠MBA =∠PBA =45°，∠MAB =∠P AB ，∠P AC =∠NAC ． ∴∠MBC =90°，∠MAN =2∠CAB =90°．………………2分 （2）①补全图形如图所示．……………………………………………3分②CP =1或CP =4． …………………………………………………………………………5分26．（1）∠BAD ＞ ∠CAD ．……………………………………………………………………………1分∠C ＞∠B （在同一个三角形中，大边对大角）． ………………………………………2分 ∠BAD ＞ ∠CAD ．（2）∠BAD ＜ ∠CAD ． …………………………………………………………………………3分证明：如图，延长AD 至点E ，使得DE =DA ，连接BE ．………………………………………4分∵AD 是BC 边上的中线， ∴DB =DC ．在△EDB 和△ADC 中，,,.DB DC EDB ADC DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EDB ≌△ADC ．………………………5分∴EB =AC ，∠E =∠CAD ．…………………………………………………………………6分 ∵AB ＞AC ， ∴AB ＞EB ．∴∠E ＞∠BAD ．……………………………………………………………………………7分 ∴∠CAD ＞∠BAD ． 即∠BAD ＜∠CAD ．说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.祝各位老师寒假愉快！。
2023-2024学年北京市石景山区八年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）6的算术平方根是（）A．6B．﹣6C．D．±2．（2分）我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）若代数式的值为0，则实数x的值为（）A．x＝0B．x＝1C．x＞0D．x≥14．（2分）下列说法中，正确的是（）A．“在标准大气压下，将水加热到100℃，水会沸腾”是随机事件B．随机事件是可能会发生，也可能不会发生的事件C．投掷一枚硬币10次，一定有5次正面向上D．“事件可能发生”是指事件发生的机会很多5．（2分）如图，△ABC中AB边上的高线为（）A．AD B．CE C．AF D．BG6．（2分）下列变形正确的是（）A．B．C．D．7．（2分）在一个不透明的袋子中，装有白球、红球若干个，各球除颜色外都相同．某校初二五班30名同学做实验，从袋中任意摸一球，记录颜色后将球放回袋中搅匀，再进行下一次摸球试验．每人做20次这样的摸球试验后，进行累计，发现全班试验中摸出红球共100次，估计袋中红球与白球数量的比值约为（）A．1：5B．1：6C．1：11D．1：128．（2分）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣5B．m＜﹣5C．m＞﹣5且m≠﹣3D．m≠﹣3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）在括号内填入适当的整式对分式变形：，变形的依据是．11．（2分）计算：（3+1）（3﹣1）＝．12．（2分）如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的∠α＝°．13．（2分）如图，点B，C，F，E在同一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是；根据你添加的条件，本题中判定两个三角形全等所用的方法为．14．（2分）国庆期间，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于50元的顾客均有一次转动转盘的机会．如图，转盘被平均分为8等份，指针固定不动，转动转盘，转盘停止后，当指针指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针指向3或5时，该顾客获二等奖；若指针指向分界线则重转．顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖的可能性大小为．15．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC＝1，．BD平分∠ABC．则（1）∠C＝°；（2）点D到BC的距离为．16．（2分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点O在AB上，且AO＝4，点E是边BC上一动点，连接OE，将线段OE绕点O逆时针旋转得到线段OD，且∠DOE＝60°．（1）连接DE，则△ODE的形状为；（2）当点E在边BC上运动时，连接CD，则CD的最小值为．三、解答题（本题共68分，第17-21每小题5分；第22-23每小题5分；24题5分，17．（5分）计算：．18．（5分）计算：×3﹣2．19．（5分）解方程：﹣＝．20．（5分）如图，AC，BD交于点O，OA＝OD，∠1＝∠2．求证：AB＝CD．21．（5分）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？22．（6分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．（1）利用尺规作图，作△ABC中AC边上的高BD（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：．23．（6分）已知a2+a﹣1＝0，求代数式的值．24．（5分）台球技艺中包含了许多物理、数学的知识．图1是台球桌面的一部分，由于障碍球E的阻挡，击球者想通过正面击打主球M，使其撞击台球桌边框（仅碰撞一次），经过一次反弹后正面撞击到目标球F．球的反弹路径类似于光的反射光路．台球桌面抽象为长方形，球抽象为点，如图2，请在AD边上作出撞击点P，使得∠MPA＝∠FPD，并用数学知识进行证明．锦囊：某同学阅读理解题意后，先画了一个草图（如图3）进行分析，发现“要保证∠1＝∠2，只需保证∠1＝∠3即可”．25．（6分）2023年8月29日华为Mate60系列正式开售，某用户购买后进行手机测试，分别在5G和4G网络环境下，下载容量为920兆的同一个文件，发现在5G网络环境下载所需时间比4G网络环境下载的时间少105秒，测得5G网络环境下载的速度是4G网络环境下载速度的11.5倍，问该用户在5G网络环境下载文件的速度是每秒多少兆？26．（6分）小明根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究分式的运算规律．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．第1个：；第2个：；第3个：；第4个：；第5个：．……（2）观察、归纳，发现规律，得出猜想：第n个等式可以表示为：（n为正整数）．（3）证明（2）中的猜想．27．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为射线BC上一点（不与点B，C重合），连接AD并延长到点E，使得DE＝AD，连接BE．过点B作BE的垂线交直线AC于点F．（1）如图1，点D在线段CB上，且DB＜CD．①请补全图形；②判断CD，DB，CF之间的数量关系，并证明．（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，请画出图形，直接写出CD，DB，CF之间的数量关系．（3）基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题．28．（7分）在6×6的正方形网格中，小正方形的边长为1，网格线的交点为格点，△ABC 为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点P与格点△ABC给出如下定义：点P为网格中一点（与点B，C不共线），连接PA，PB，PC，若PA与△PBC的某条边相等，则称P 为△ABC的关联点．（1）如图1，在格点P1，P2，P3中，是△ABC关联点的是；（2）如图2，若点P为△ABC的关联点，当点P是△ABC内部（不含边界）的格点时，请标出所有满足条件的点P的位置；（3）如图2，E是△ABC的边AC上一点（不与点A，C重合），过点E作AC的垂线，与△ABC边AB（或BC）交于点F．若线段EF上存在△ABC的两个关联点，求线段AE 的取值范围．2023-2024学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）6的算术平方根是（）A．6B．﹣6C．D．±【分析】根据算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a 的算术平方根．【解答】解：6的算术平方根是，故选：C．【点评】本题考查了求一个数的算术平方根，熟记算术平方根的概念是解题关键．2．（2分）我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．3．（2分）若代数式的值为0，则实数x的值为（）A．x＝0B．x＝1C．x＞0D．x≥1【分析】根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．【解答】解：∵代数式的值为0，∴3x＝0且x﹣1≠0，解得x＝0．故选：A．【点评】本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零分子为零的条件是解题的关键．4．（2分）下列说法中，正确的是（）A．“在标准大气压下，将水加热到100℃，水会沸腾”是随机事件B．随机事件是可能会发生，也可能不会发生的事件C．投掷一枚硬币10次，一定有5次正面向上D．“事件可能发生”是指事件发生的机会很多【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【解答】解：A．标准大气压下，通常加热到100℃，水会沸腾，是必然事件，故A说法错误；B．随机事件是可能会发生，也可能不会发生的事件，故B说法正确；C．任意掷一枚质地均匀的硬币，正面和反面的出现是随机的，所以10次不一定有5次正面向上，故C说法错误；D．事件可能发生是指：会发生，也许不会发生，发生的机会大小不确定，故D说法错误；故选：B．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．（2分）如图，△ABC中AB边上的高线为（）A．AD B．CE C．AF D．BG【分析】直接利用高线的概念（从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高）得出答案．【解答】解：如图，∵CE⊥BA延长线于E，∴△ABC中AB边上的高线是线段CE．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键．6．（2分）下列变形正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据分式的基本性质和分式的加减法法则逐个判断即可．【解答】解：A．当x＝3，y＝2时，＝，＝，所以此时，故本选项不符合题意；B．＝＝a+b，故本选项不符合题意；C．当x＝2，y＝2时，+＝＝1，＝＝，所以此时+，故本选项不符合题意；D．＝a6b2，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了分式的基本性质和分式的加减，能正确根据分式的基本性质和分式的加减法法则进行计算是解此题的关键．7．（2分）在一个不透明的袋子中，装有白球、红球若干个，各球除颜色外都相同．某校初二五班30名同学做实验，从袋中任意摸一球，记录颜色后将球放回袋中搅匀，再进行下一次摸球试验．每人做20次这样的摸球试验后，进行累计，发现全班试验中摸出红球共100次，估计袋中红球与白球数量的比值约为（）A．1：5B．1：6C．1：11D．1：12【分析】根据频率估计概率的方法解答．【解答】解：试验总次数为：30×20＝600（次），∵全班试验中摸出红球共100次，∴估计袋中红球与白球数量的比值约为100：500＝1：5．故选：A．【点评】本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．8．（2分）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣5B．m＜﹣5C．m＞﹣5且m≠﹣3D．m≠﹣3【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解是正数列出，且x≠1，从而求出m的取值范围．【解答】解：，方程两边同乘x﹣1，得3x+m＝5（x﹣1），解得，∵x≠1，∴，∴m≠﹣3，∵方程的解是正数，∴，∴m＞﹣5，∴m＞﹣5且m≠﹣3，故选：C．【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≥1．【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣1≥0，再求出答案即可．【解答】解：要使代数式有意义，必须x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记代数式中a≥0是解此题的关键．10．（2分）在括号内填入适当的整式对分式变形：，变形的依据是分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变．【分析】根据分式的基本性质进行解题即可．【解答】解：n2÷n＝n，则＝，变形的依据是：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变．故答案为：mn，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变．【点评】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．11．（2分）计算：（3+1）（3﹣1）＝17．【分析】根据平方差公式计算即可．【解答】解：原式＝（3）2﹣12＝18﹣1＝17故答案为：17．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键．12．（2分）如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的∠α＝75°．【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠ABE＝30°，再由三角形内角和定理求出∠BFE的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵AC∥BE，∴∠A＝∠ABE＝30°，∴∠BFE＝180°﹣∠ABE﹣∠E＝180°﹣30°﹣45°＝105°，∴∠α＝180°﹣∠BFE＝180°﹣105°＝75°．故答案为：75．【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，熟知直角三角板的性质是解题的关键．13．（2分）如图，点B，C，F，E在同一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是∠A＝∠D；根据你添加的条件，本题中判定两个三角形全等所用的方法为AAS．【分析】BC＝EF，根据AB∥DE，得到∠B＝∠E，只需添加一组相等的对应角即可．【解答】解：添加的条件是：∠A＝∠D．证明如下：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．故答案为：∠A＝∠D；AAS．（答案不唯一）【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．14．（2分）国庆期间，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于50元的顾客均有一次转动转盘的机会．如图，转盘被平均分为8等份，指针固定不动，转动转盘，转盘停止后，当指针指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针指向3或5时，该顾客获二等奖；若指针指向分界线则重转．顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖的可能性大小为．【分析】根据概率的大小与面积的关系，列出算式计算即可求得顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖的可能性大小．【解答】解：3÷8＝．故顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖的可能性大小为．故答案为：．【点评】本题考查了可能性的大小，关键是熟悉知识点：可能性等于所求情况数与总情况数之比．15．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC＝1，．BD平分∠ABC．则（1）∠C＝45°；（2）点D到BC的距离为﹣1．．【分析】（1）根据勾股定理逆定理求出△ABC是直角三角形，∠A＝90°，再根据等腰三角形的性质求解即可；（2）过点D作DM⊥BC于点M，根据角平分线的性质及等腰直角三角形的性质求出DM ＝CM＝AD，再根据线段的和差求解即可．【解答】解：（1）∵AB＝AC＝1，BC＝，∴AB2+AC2＝12+12＝BC2＝，∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝45°，故答案为：45；（2）过点D作DM⊥BC于点M，∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DM⊥BC，∴AD＝DM，∵∠C＝45°，∠DMC＝90°，∴DM＝CM＝AD，∵BC＝BM+CM，∴BC＝AB+DM，∵＝1+DM，∴DM＝﹣1，即点D到BC的距离为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．16．（2分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点O在AB上，且AO＝4，点E是边BC上一动点，连接OE，将线段OE绕点O逆时针旋转得到线段OD，且∠DOE＝60°．（1）连接DE，则△ODE的形状为等边三角形；（2）当点E在边BC上运动时，连接CD，则CD的最小值为2．【分析】（1）由旋转的性质得出OD＝OE，由等边三角形的判定可得出结论；（2）在BC上取点M，使BM＝BO，连接OM，FD，证明△BOM是等边三角形，由全等三角形的性质得出OB＝OM，∠BOM＝∠BMO＝60°，证明△BOE≌△MOD（SAS），得出∠OMD＝∠B＝60°，证出点D在过点M且平行于直线AB的直线上，过点C作CN⊥DM于点N，求出CN的长，则可得出答案．【解答】解：（1）∵将线段OE绕点O逆时针旋转得到线段OD，且∠DOE＝60°．∴OD＝OE，又∵∠DOE＝60°，∴△ODE是等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）在BC上取点M，使BM＝BO，连接OM，FD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6，∠ACB＝∠B＝60°，∵OA＝6，∴OB＝AB﹣OA＝2，∵BM＝OB＝2，∠B＝60°，∴△BOM是等边三角形，∴OB＝OM，∠BOM＝∠BMO＝60°，∴∠BOM＝∠DOE，∴∠BOE＝∠MOD，∴△BOE≌△MOD（SAS），∴∠OMD＝∠B＝60°，∴∠BOM＝∠OMD＝60°，∴∠B+∠BMD＝180°，∴MD∥AB，∴点D在过点M且平行于直线AB的直线上，过点C作CN⊥DM于点N，∵C为定点，∴当点D与点N重合时，CD最小，∵BM＝2，BC＝6，∴CM＝BC﹣BM＝4，∵∠BMO＝∠OMD＝60°，∴∠DMC＝60°，∴MN＝CM＝2，∴CN＝＝2，∴CD的最小值为2，故答案为：2．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17-21每小题5分；第22-23每小题5分；24题5分，17．（5分）计算：．【分析】根据立方根、二次根式的性质、零指数幂、绝对值的意义进行化简，再计算加减即可．【解答】解：原式＝2﹣2﹣1+﹣1＝﹣2．【点评】本题考查了立方根、二次根式的性质、零指数幂、化简绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18．（5分）计算：×3﹣2．【分析】先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的减法法则进行计算即可．【解答】解：×3﹣2＝3﹣4＝3﹣4＝9﹣4＝5．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．19．（5分）解方程：﹣＝．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：9x﹣3﹣2＝13，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．（5分）如图，AC，BD交于点O，OA＝OD，∠1＝∠2．求证：AB＝CD．【分析】根据等腰三角形的判定推出OB＝OC，则AC＝DB，利用SAS证明△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴OB＝OC，∵OA＝OD，∴OB+OD＝OC+OA，即AC＝DB，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴AB＝CD．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△DCB是解题的关键．21．（5分）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？【分析】将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C ＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【解答】解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺．由题意得x2+52＝（x+1）2．解得x＝12．∴x+1＝13．答：水深12尺；芦苇长13尺．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．22．（6分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．（1）利用尺规作图，作△ABC中AC边上的高BD（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）过点A作AF⊥BC于点F，交BD于点O，证明∠CBD＝∠CAF，可得结论．【解答】（1）解：如图，线段BD即为所求；（2）证明：过点A作AF⊥BC于点F．∵BD⊥AC，∴∠OFB＝∠ODA＝90°，∵∠BOF＝∠AOD，∴∠CBD＝∠CAF，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴∠BAF＝∠CAF，∴∠CBD＝∠BAC．【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．23．（6分）已知a2+a﹣1＝0，求代数式的值．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：＝＝＝＝，∵a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴原式＝＝1．【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．24．（5分）台球技艺中包含了许多物理、数学的知识．图1是台球桌面的一部分，由于障碍球E的阻挡，击球者想通过正面击打主球M，使其撞击台球桌边框（仅碰撞一次），经过一次反弹后正面撞击到目标球F．球的反弹路径类似于光的反射光路．台球桌面抽象为长方形，球抽象为点，如图2，请在AD边上作出撞击点P，使得∠MPA＝∠FPD，并用数学知识进行证明．锦囊：某同学阅读理解题意后，先画了一个草图（如图3）进行分析，发现“要保证∠1＝∠2，只需保证∠1＝∠3即可”．【分析】作点M关于直线AD的对称点N，连接FN交AD于点P，连接PM，点P即为所求．【解答】解：如图，点P即为所求．理由：∵M，N关于直线AD对称，∴PA垂直平分线段MN，∴PM＝PN，∴∠MPA＝∠NPA，∵∠NPA＝∠DPC，∴∠APM＝∠DPF，∴点P即为所求作．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用对称轴的性质解决实际问题．25．（6分）2023年8月29日华为Mate60系列正式开售，某用户购买后进行手机测试，分别在5G和4G网络环境下，下载容量为920兆的同一个文件，发现在5G网络环境下载所需时间比4G网络环境下载的时间少105秒，测得5G网络环境下载的速度是4G网络环境下载速度的11.5倍，问该用户在5G网络环境下载文件的速度是每秒多少兆？【分析】设该用户在4G网络环境下载文件的速度是每秒x兆，则该用户在5G网络环境下载文件的速度是每秒11.5x兆，利用下载时间＝下载文件的容量÷下载速度，结合在5G网络环境下载所需时间比4G网络环境下载的时间少105秒，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入11.5x中，即可求出结论．【解答】解：设该用户在4G网络环境下载文件的速度是每秒x兆，则该用户在5G网络环境下载文件的速度是每秒11.5x兆，根据题意得：﹣＝105，解得：x＝8，经检验，x＝8是所列方程的解，且符合题意，∴11.5x＝11.5×8＝92（兆）．答：该用户在5G网络环境下载文件的速度是每秒92兆．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．26．（6分）小明根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究分式的运算规律．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．第1个：；第2个：；第3个：；第4个：；第5个：．……（2）观察、归纳，发现规律，得出猜想：第n个等式可以表示为：（n为正整数）．（3）证明（2）中的猜想．【分析】（1）根据前4个等式左右两边变化的数字与序号间的关系即可写出第5个等式；（2）根据（1）中等式左右两边变化的数字与序号间的关系即可写出第n个等式；（3）利用分式的运算法则分别计算（2）中等式的左右两边，结果相同即猜想正确．【解答】解：（1）根据前4个等式左右两边变化的数字与序号间的关系可得第5个等式为：，故答案为：；（2）根据（1）中等式左右两边变化的数字与序号间的关系可猜想第n个等式为：，故答案为：；（3）证明：左边＝，右边＝＝＝，∴．【点评】本题考查数字类变化规律探究，解答时涉及分式的运算，能够发现等式左右两边变化的数字与等式序号间的关系是解题的关键．27．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为射线BC上一点（不与点B，C重合），连接AD并延长到点E，使得DE＝AD，连接BE．过点B作BE的垂线交直线AC于点F．（1）如图1，点D在线段CB上，且DB＜CD．①请补全图形；②判断CD，DB，CF之间的数量关系，并证明．（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，请画出图形，直接写出CD，DB，CF之间的数量关系．（3）基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题．【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②过点E作EG⊥BC于G，如图所示：根据全等三角形的性质得到CD＝DG，AC＝EG，根据余角的性质得到∠FBC＝∠BEG，根据全等三角形的判定和性质定理得到CF＝BG，于是得到结论；（2）如图2，过点E作EG⊥BC于G，如图所示：根据全等三角形的性质得到CD＝DG，AC＝EG，根据余角的性质得到∠FBC＝∠BEG，根据全等三角形的判定和性质定理得到CF＝BG，于是得到结论；（3）根据全等三角形的性质以及线段的和差即可得到结论．【解答】解：（1）①补全图形如图所示；②CD＝DB+CF，证明：过点E作EG⊥BC于G，如图所示：∴∠EGD＝∠ACD＝90°，在△ACD和△EGD中，，∴△ACD≌△EGD（AAS），∴CD＝DG，AC＝EG，∵AC＝BC，∴EG＝BC，∵BF⊥BE，∴∠EBF＝90°，∴∠FBC+∠EBG＝90°，∵∠EBG+∠BEG＝90°，∴∠FBC＝∠BEG，在△BCF和△EGB中，，∴△BCF≌△EGB（ASA），∴CF＝BG，∴DB+BG＝DB+CF＝CD，即CD＝DB+CF；（2）如图2，CF＝BD+CD；过点E作EG⊥BC于G，如图所示：∴∠EGD＝∠ACD＝90°，在△ACD和△EGD中，，∴△ACD≌△EGD（AAS），∴CD＝DG，AC＝EG，∵AC＝BC，∴EG＝BC，∵BF⊥BE，∴∠EBF＝90°，∴∠FBC+∠EBG＝90°，∵∠EBG+∠BEG＝90°，∴∠FBC＝∠BEG，在△BCF和△EGB中，，∴△BCF≌△EGB（ASA），∴CF＝BG，∴CF＝BG＝BD+DG＝BD+CD；（3）如图1，点D在线段CB上，判断AF于CD之间的数量关系，并证明．AF＝2CD；证明：∵△BCF≌△EGB，∴CF＝BG，∵△ACD≌△EGD，∴CD＝DG＝CG＝（BC﹣BG）＝（AC﹣CF）＝AF，∴AF＝2CD；【点评】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解答的关键是结合图形分析清楚角与角，边与边之间的关系．28．（7分）在6×6的正方形网格中，小正方形的边长为1，网格线的交点为格点，△ABC 为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点P与格点△ABC给出如下定义：点P为网格中一点（与点B，C不共线），连接PA，PB，PC，若PA与△PBC的某条边相等，则称P 为△ABC的关联点．（1）如图1，在格点P1，P2，P3中，是△ABC关联点的是P1，P3；（2）如图2，若点P为△ABC的关联点，当点P是△ABC内部（不含边界）的格点时，请标出所有满足条件的点P的位置；（3）如图2，E是△ABC的边AC上一点（不与点A，C重合），过点E作AC的垂线，与△ABC边AB（或BC）交于点F．若线段EF上存在△ABC的两个关联点，求线段AE 的取值范围．【分析】（1）根据“△ABC的关联点”的定义，即可解决问题；（2）根据“△ABC的关联点”的定义作图即可；（3）作AB的中垂线l交AB、AC于T、E2，以点A为圆心，BC的长为半径作⊙A，交AB于P2，结合图形可知，当≤AE≤4时，线段EF上存在△ABC的两个关联点．【解答】解：（1）如图1，连接P1C，∵P1A＝P1B＝1，∴P1为△ABC的关联点；连接P2A、P2B、P2C，∵P2A＝，P2B＝P2C＝，BC＝2，∴P2不是△ABC的关联点；连接P3A、P3B、P3C，∵P3A＝2，P3B＝2，P3C＝2，BC＝2，∴P3为△ABC的关联点，故答案为：P1，P3．（2）如图2，△ABC中，BC＝2，∵P1A＝BC＝2，P2A＝P2B＝P2C＝，∴点P1、P2为△ABC内部（不含边界）的关联点，点P1、P2即为所求．（3）解：如图，作AB的中垂线l交AB、AC于T、E2，以点A为圆心，BC的长为半径作⊙A，交AB于P2，∵E1F1⊥AC，当点F1与点P2重合时，线段E1F1与l交于点P1，则AP1＝P1C，AP2＝BC＝2，∠BAC＝45°，∴AE1＝AF1•cos∠BAC＝2•cos45°＝；∵AT＝AB＝2，。
北京市石景山区2020-2021学年八年级上期期末试卷数学(含解析)
石景山区2020—2021学年第一学期初二期末试卷数学一、选择题1. 3的算术平方根是（）A. 3B.C.D. 92. 下列医院logo设计的图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3. 下列事件中，为必然事件的是（）A. 明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起B. 成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀C. 从能被2整除的数中，随机抽取一个数能被8整除D. 从10本图书中随机抽取一本是小说4. ）A.12x>- B. 12x≠- C.12x<- D.21x≥-5. 如图所示在ABC∆中，AB边上的高线画法正确的是( ) A. B.C. D.6. 下列式子的变形正确的是（）A.22b ba a= B.22+++a ba ba b=C. 2422x y x yx x--= D.22m nnm-=-7. 下列说法正确的是（）A. 无理数是开方开不尽的数B. 一个实数的绝对值总是正数C. 不存在绝对值最小的实数D. 实数与数轴上的点一一对应8. 剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A. B. C. D.二、填空题9. 一个均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是____．10. 如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的取值范围为__．11. 如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的∠1=______°．12. 将分式42326xyx y约分可得____，依据为_____．13. 若[x]表示实数x的整数部分，例如：[3.5]=3，则___．14. 如图，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，请添加一个条件，使得ABE≌ACD．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．15. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，木柱AB的长用含x的代数式表示为__尺，根据题意，可列方程为___．16. 有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源．为了更好地开展垃圾分类工作，某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．从中随机抽取部分居民进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为A，B，C，D四个等次，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．下面有四个推断：①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是40；②扇形统计图中，表示C等次的扇形的圆心角的度数为72°；③测试成绩为D等次的居民人数占参测总人数的10%；④测试成绩为A或B等次的居民人数共30人．所有合理推断的序号是______．三、解答题17. 下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：⊥以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；⊥分别以点A，B为圆心，以大于12AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；⊥作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA ，QB ．⊥QA ＝ ，P A ＝ ，⊥PQ ⊥l （ ）（填推理的依据）．18. ()01-π．19. 计算：20. 解方程：26139x x x =++-．21. 如图，ABC 是等边三角形，D ，E 分别是BA ，CB 延长线上的点，且AD=BE ．求证：AE = CD ．22. 在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共 个．23. 已知21a a +=，求代数式221312442a a a a a a a +---÷++++的值．24. 关于x 的分式方程321x m x -=+的解是负数，求满足条件的整数m 的最大值．25.创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．26. 某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：请根据以上表格信息，解答如下问题：（1）分析数据，补全表格信息（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数．27. 如图，ABC中，AC=2AB=6，BC=AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．（1）求BE的长；（2）延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出CM+MN的最小值为．28. 如图，射线AP∥BQ，分别作∠PAB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．（1）当CD⊥AP时，①补全图形；②若AC=a，BD=b，则AB的长为(用含a，b的式子表示)．（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．参考答案与解析一、1~5：BBADB 6~8：CDB二、 9.12 10.3<a<13 11.105 12.(1). 3y x(2). 分式的分子和分母同时除以一个不为0的整式，分式的值不变 13.4 14.∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ）15.(1). ()3x - (2). ()22238x x -+= 16.①②④ 三、17.【详解】解：（1）补全的图形如图2所示：（2）证明：连接QA ，QB ．⊥QA ＝QB ，P A ＝PB ，⊥PQ ⊥l （等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．故答案为：QB ；PB ；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．18.()01-π =3-4+1=0．19.【详解】解：====20.【详解】解：26139x x x =++- 方程两边同时乘以29x -可得：()2396x x x -=-+，整理得：33x -=-，解得1x =，经检验，1x =是分式方程的解．21.【详解】解：⊥ABC 是等边三角形，D ，E 分别是BA ，CB 延长线上的点，∴AB CA =，120ABE CAD ∠=∠=︒，在ABE △和CAD 中，AB CA ABE CAD BE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE △≌CAD ，∴AE CD =．22.【详解】解：如图，OAB 和OBC的等腰三角形，作图如下：，可画出满足条件的形状不同的等腰三角形有OAB 、OAE △、OAD △、OBC 、OBD 共5种．23.【详解】解：原式()22132212a a a a a a +-+=-⋅+-+ ()()213221a a a a a +-=-++- ()()()()22132121a a a a a a --=-+-+-222a a =+-， ∵21a a +=，⊥原式2212==--． 24.【详解】解：321x m x -=+ 3x-m=2（x+1）3x-m=2x+2x=2+m ，∵方程的解是负数，且10x +≠，∴2+m<0且210m ++≠，解得m<-2且m ≠-3．∴满足条件的整数m 的最大值-4．25.【详解】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()120x +%棵， 根据题意可得：()480048004120x x -=+%， 解得200x =，经检验得200x =是分式方程的解，答：原计划每天植树200棵．26.【详解】解：（1）由统计表可知做5个的人数最多，故众数为5；第20和第21个人做的个数都为5，所以中位数为5；（2）选择中位数5个比较合适，因为大部分学生都能达到；（3）11413238000480040++⨯+⨯⨯=（人）， ∴估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数为4800人．27.【详解】解：（1）连接AE ，，⊥26AC AB ==，BC =⊥222AC AB BC =+， ⊥ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，⊥DE 垂直平分AC ，⊥AE CE =，在Rt ABE △中，222AE AB BE =+，即222CE AB BE =+，⊥()2223BE BE =+，解得BE =（2）∵DE 垂直平分AC ，M 是DF 上一动点，∴AM CM =，∴CM MN AM MN +=+，若使CM MN +的值最小，则A ，M ，N 共线，且AN CF ⊥，如图，，在ABC 和CNA 中，B ANCACB CAN AC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊥ABC ≌CNA ，⊥AN BC ==．28.【详解】解：（1）①补全图形如下：；②过点O 作OE AB ⊥，，⊥AO 平分PAB ∠，CD AP ⊥，OE AB ⊥，⊥OAC OAE ∠=∠，OC OE =，又⊥AO 为公共边，⊥OAE △≌OAC ，⊥AE AC a ==，同理可得BE BD b ==，⊥AB AE BE a b =+=+；（2）如图，过点O 作EF AP ⊥，，由（1）可知OE OF =，AB AE BF =+，又⊥90CEO DFO ∠=∠=︒，COE DOF ∠=∠， ⊥COE ≌DOF △，⊥CE DF =，⊥AB AE BF AE BD DF AE CE BD AC BD =+=++=++=+．。
2019-2020学年北京市石景山区初二(上)期末数学试卷(含答案)
数学
1．本试卷共 6 页，共三道大题，28 道小题．满分 100 分，考试时间 100 分钟． 考
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 生
3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选 须
择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 知
③取到矿泉水
14．如图，三角形纸片 ABC 中， ACB 90 ，
BC 6 ， AB 10 ．在 AC 边上取一点 E ，
以 BE 为折痕，使 AB 的一部分与 BC 重合，
A 与 BC 延长线上的点 D 重合，则 CE 的长
为
．
15．对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算 如下：
④没有取到矿泉水
2x
的过程.
11 x2 2x x2 2x
x
1 x
2
x
1 x
2
..................................1
x
x
x2
2x
2
x
x
x2
2x
2
...........2
x
xx
2 x 2 2x 2
........................................3
∴ AB = AC（
）（填依据）．
又∵线段 BC 的垂直平分线 PQ 交 BC 于 D，
∴ BD=CD．（
）（填依据）．
∴ AD 为 BC 边上的中线，且 AD = b．
4
24．甲、乙两个施工队共同完成某区域绿化改造工程，乙队先单独做 3 天后，再由两队 合作 7 天完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项 工程所需天数的 2 倍，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
2020-2021学年北京市东城区八年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（3分）如果有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x≤2D．x＜22．（3分）下列各式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）若分式，则x的值是（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝0D．x≠﹣14．（3分）下列各式中，运算正确的是（）A．a3•a3＝2a3B．（a2）3＝a6C．（2a2）3＝2a6D．a6÷a2＝a35．（3分）2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就．科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（）A．1.25×10﹣9米B．1.25×10﹣8米C．1.25×10﹣7米D．1.25×10﹣6米6．（3分）下列各式由左到右是分解因式的是（）A．x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6xB．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y）2D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）27．（3分）一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形8．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（）A．20B．30C．50D．1009．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM ＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3B．4C．5D．610．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）因式分解：x2y﹣4y＝．12．（2分）如果x2﹣10x+m是一个完全平方式，那么m的值是．13．（2分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是．14．（2分）如图所示，已知P是AD上的一点，∠ABP＝∠ACP，请再添加一个条件：，使得△ABP≌△ACP．15．（2分）小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为15cm 和20cm，则这根铁丝的长为cm．16．（2分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，则∠B ＝°．17．（2分）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD ＝2，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为．18．（2分）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，以此类推，若OA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为．三、解答题（本题共54分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（5分）计算：|﹣|+﹣（π﹣2）0+（）﹣1．20．（5分）如图，点B，C，D，F在一条直线上，AB＝EF，AC＝ED，∠CAB＝∠DEF，求证：AC∥DE．21．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．22．（4分）尺规作图：如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路FG和公路CE的距离相等，到两通讯站C和D的距离也相等，如果你是红方的指挥员，请你在图中标出蓝方指挥部点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）．23．（5分）解方程：+＝1．24．（5分）化简求值：（）÷，其中x＝2+．25．（5分）列分式方程解应用题：截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．26．（6分）已知△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点P在射线BC上，点Q在线段AB上，∠PDQ＝120°．（1）如图1，若点Q与点B重合，求证：DB＝DP；（2）如图2，若点P在线段BC上，AC＝8，求AQ+PC的值．27．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D为AB的中点，E为CA延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF．作点B关于直线DF的对称点G，连接DG．（1）依题意补全图形；（2）若∠ADF＝α；①求∠EDG的度数（用含α的式子表示）；②请判断以线段AE，BF，EF为边的三角形的形状，并说明理由．28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（3，0），且平行于y轴．给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得点P1，再将点P1关于直线l对称得点P′，则称点P′是点P关于y轴和直线l的二次反射点．（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），则它们关于y轴和直线l的二次反射点A′，B′，C′的坐标分别是；（2）若点D的坐标是（a，0），其中a＜0，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点D′，求线段DD′的长；（3）已知点E（4，0），点F（6，0），以线段EF为边在x轴上方作正方形EFGH，若点P（a，1），Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点分别为P′，Q′，且线段P′Q′与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围．2020-2021学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、是最简二次根式；B、＝＝2，不是最简二次根式；C、＝|a|，不是最简二次根式；D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；故选：A．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．3．【分析】分式的值为零：分子等于零，分母不等于零．【解答】解：依题意得，x﹣1＝0，且x+1≠0，解得x＝1．故选：A．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．4．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A、a3•a3＝a6，故本选项不合题意；B、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；C、（2a2）3＝8a6，故本选项不合题意；D、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．5．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：125纳米＝0.000000125米＝1.25×10﹣7米．故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．6．【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；B．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；C．等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；D．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．7．【分析】设这个多边形是n（n≥3）边形，则它的内角和是（n﹣2）180°，得到关于n 的方程组，就可以求出边数n．【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意知，（n﹣2）×180°＝1080°，∴n＝8，所以该多边形的边数是八边形．故选：C．【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．8．【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，∴OE＝OD＝5，∴△AOB的面积＝，故选：C．【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答．9．【分析】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可．【解答】解：作PH⊥MN于H，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝1，∵∠AOB＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH＝OP＝5，∴OM＝OH﹣MH＝4，故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．10．【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：．故选：A．【点评】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x﹣2）（x+2）．故答案为：y（x﹣2）（x+2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．12．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵x2﹣10x+m是一个完全平方式，∴m＝25．故答案为：25．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积＝正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．【解答】解：∵图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a+b，∵由题意可得，正方形的边长为（a+b），∴正方形的面积为（a+b）2，∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．故答案为（a﹣b）2．【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．14．【分析】利用全等三角形的判定定理解决问题即可．【解答】解：若添加∠BAP＝∠CAP，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由“AAS”可证△ABP ≌△ACP；若添加∠APB＝∠APC，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；若添加∠BPD＝∠CPD，可得∠APB＝∠APC，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；故答案为∠BAP＝∠CAP或∠APB＝∠APC或∠BPD＝∠CPD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．15．【分析】等腰三角形中两条边的长分别为15cm和20cm时，第三边的长可能为15cm或20cm，分别求得三角形的周长，即为铁丝的长．【解答】解：∵等腰三角形中两条边的长分别为15cm和20cm，∴当第三条边的长为15cm时，这根铁丝的长为15+15+20＝50（cm），此时15+15＞20，符合三角形的三边关系；当第三条边的长为20cm时，这根铁丝的长为15+20+20＝55（cm）．故答案为：50或55．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理并分类讨论是解题的关键．16．【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，进而求得∠B的度数即可．【解答】解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，设∠ADC＝α，∴∠B＝∠BAD＝，∵∠BAC＝105°，∴∠DAC＝105°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，∴2α+105°﹣＝180°，解得：α＝50°，∴∠B＝∠BAD＝＝25°，故答案为：25．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．【分析】作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，依据轴对称的性质，即可得到DB ＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，根据PC+PD＝PC+PE，可得当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，根据勾股定理进行计算，即可得出PC+PD的最小值为2．【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，则DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，∵D是BC的中点，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，∵PC+PD＝PC+PE，∴当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，此时，PC+PD最小，在Rt△BCE中，CE＝＝＝2，∴PC+PD的最小值为2．故答案为：2．【点评】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．18．【分析】根据等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，根据三角形的外角性质求出∠OB1A1，得到∠OB1A1＝∠MON，根据等腰三角形的判定定理得到A1B1＝OA1＝1，总结规律，根据规律解答．【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝∠B1A1A2﹣∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝∠MON，∴A1B1＝OA1＝1，同理可得，A2B2＝OA2＝2，A3B3＝OA3＝4＝22，……，∴△A2021B2021A2022的边长＝22020，故答案为：22020．【点评】本题考查的是图形的变化规律、等边三角形的性质、三角形的外角性质，根据等边三角形的性质总结出规律是解题的关键．三、解答题（本题共54分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．【分析】根据绝对值，零指数幂、负整数指数幂的性质进行计算即可．【解答】解：原式＝+﹣1+2＝+2+1＝3+1．【点评】本题考查绝对值，零指数幂、负整数指数幂，掌握绝对值，另指数幂、负整数指数幂的性质的性质是正确计算的前提．20．【分析】先证△ABC≌△EFD（SAS），得出∠ACB＝∠EDF，则∠ACD＝∠EDC，再由平行线的判定即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（SAS），∴∠ACB＝∠EDF，∴∠ACD＝∠EDC，∴AC∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识；证明△ABC≌△EFD是解题的关键．21．【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣2x2+x﹣2x+1＝﹣x2+x+2，当x2﹣x+1＝0，即﹣x2+x＝1时，原式＝1+2＝3．【点评】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式．22．【分析】作线段CD的垂直平分线MN，作∠CBF的角平分线BE交MN于点P，点P即为所求作．【解答】解：如图，点P即为所求作．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．【分析】首先方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最简公分母检验即可．【解答】解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得：（x+1）2+4＝（x+1）（x﹣1），解这个方程得：x＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，x＝﹣3是原方程的解；∴原方程的解是：x＝﹣3．【点评】本题考查了分式方程的解法、一元一次方程方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．24．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．【解答】解：（）÷＝（﹣）•＝•＝，当x＝2+时，原式＝＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．【分析】可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可【解答】解：设甲种树苗价格是x元/棵，则乙种树苗价格是（x+10）元/棵，依题意得：＝，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，x+10＝30+10＝40（元），答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．26．【分析】（1）由等边三角形和等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠E，即可得出DB＝DE；（2）如图2，过点D作DH∥BC交AB于H，可证△ADH是等边三角形，由“ASA”可证△QDH≌△PDC，可得HQ＝PC，即可求解．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵D为AC的中点，∴DB平分∠ABC，∴∠DBC＝30°，∵∠EDB＝120°∴∠P＝180°﹣120°﹣30°＝30°∴∠DBC＝∠P，∴DB＝DP；（2）解：如图2，过点D作DH∥BC交AB于H，∵△ABC是等边三角形，AC＝8，点D是AC的中点，∴AD＝CD＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，BC＝AC＝8，∵DH∥BC，∴∠ADH＝∠AHD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∠HDC＝120°，∴AD＝HD＝AH＝4，∴HD＝CD＝4＝BH，∵∠QDP＝∠HDP＝120°，∴∠QDH＝∠PDC，在△QDH和△PDC中，，∴△QDH≌△PDC（ASA）∴HQ＝PC，∴AQ+PC＝AQ+QH＝AH＝4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．27．【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；（2）①根据轴对称的性质解答即可；②根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出AE＝GE，进而解答即可．【解答】解：（1）补全图形，如图所示：（2）①∵∠ADF＝α，∴∠BDF＝180°﹣α，由轴对称性质可知，∠GDF＝∠BDF＝180°﹣α，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠EDG＝∠GDF﹣∠EDF＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α；②以线段AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形，连接GF，GE，由轴对称性质可知，GF＝BF，∠DGF＝∠B，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∵GD＝BD，∴AD＝GD，∵∠GDE＝∠EDA＝90°﹣α，DE＝DE，在△GDE与△ADE中，，∴△GDE≌△ADE（SAS），∴∠EGD＝∠EAD，AE＝GE，∵∠EAD＝90°+∠B，∴∠EGD＝90°+∠B，∴∠EGF＝∠EGD﹣∠DGF＝90°+∠B﹣∠B＝90°，∴以线段GE，GF，EF为边的三角形是直角三角形，∴以线段AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答．28．【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；（2）根据二次反射点的定义得出D′（6+a，0），则可得出答案（3）根据二次反射点的定义得出P′（6+a，1），Q′（7+a，1），由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），∴点A关于y轴点的对称的坐标为（4，0），∵（4，0）关于直线l对称得点A′（2，0），∴点A（﹣4，0）关于y轴和直线l的二次反射点A′（2，0）；∵B（﹣2，0），∴点B关于y轴点的对称的坐标为（2，0），∵（2，0）关于直线l对称得点B′（4，0），∴点B（﹣2，0）关于y轴和直线l的二次反射点B′（4，0）；∵C（﹣3，1），∴点C关于y轴点的对称的坐标为（3，1），∵（3，1）关于直线l对称得点C′（3，1），∴点C（﹣3，1）关于y轴和直线l的二次反射点C′（3，1）；故答案为：A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1）；（2）∵点D的坐标是（a，0），a＜0，∴点D关于y轴对称的点的坐标为（﹣a，0），∴（﹣a，0）关于直线l对称得点D′（6+a，0），∴DD'＝6+a﹣a＝6．（3）∵点P（a，1），∴点P（a，1）关于y轴和直线l的二次反射点为P′（6+a，1），∵Q（a+1，1），∴Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点为Q′（7+a，1），当P'Q'与EH有公共点时，，∴﹣3≤a≤﹣2，当P'Q'与FG有公共点时，，∴﹣1≤a≤0，∴﹣3≤a≤﹣2或﹣1≤a≤0，【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．。
北京市石景山区2019-2020学年初二期末数学试题及答案
石景山区2019—2020学年第一学期初二期末试卷数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．2的平方根是A ．4±B ．4C ．D2．下列照片分别是新首钢大桥、大兴机场、中国尊、丽泽夜空之眼，照片中主体建筑的平面图形不是．．轴对称图形的是ABCD3．下列说法正确的是A ．可能性很大的事件在一次试验中一定发生B ．可能性很大的事件在一次试验中不一定会发生C ．必然事件在一次试验中有可能不会发生D ．不可能事件在一次试验中也可能发生 4．使得分式23m m -+有意义的m 的取值范围是 A ．0m ≠B ．2m ≠C ．3m ≠-D ． 3m >-5．下列各式中，运算正确的是A ．632x xx=B ．x a xy a y+=+ C ．1x yy x-+=-- D ．221242x x x x-=-6x 的值为A ．0x =B ．1x =C ．2x =D ．2x =-7．如图，ABC △中，AB AC =，过点A 作DA AC ⊥交BC 于点D ．若2B BAD ∠=∠，则BAD ∠的度数为A ．18° C ．30°B ．20° D ．36°8. 如图，已知O ∠，点P 为其内一定点，分别在O ∠的两边上找点A 、B ，使△PAB 周长最小的是A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.写出一个．．a <<的整数a 的值为 ．10.下面是小军同学计算221122x x x x--+的过程.其中运算步骤[]2为： ，该步骤的依据是 ．A B AB OPOP11.如果等腰三角形的一个角比另一个角大30︒，那么它的顶角是 °． 12.用一组,a b 的值说明式子22a b =”是错误的，这组值可以是a = ， b = .13．桌子上有6杯同样型号的杯子，其中1杯白糖水，2杯矿泉水，3杯凉白开，从6个杯子中随机取出1杯，请你将下列事件发生的可能性从大到小排列： ．（填序号即可）①取到凉白开 ②取到白糖水 ③取到矿泉水 ④没有取到矿泉水 14．如图，三角形纸片ABC 中，90ACB ∠=o， 6BC =，10AB =．在AC 边上取一点E ， 以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合， A 与BC 延长线上的点D 重合，则CE 的长 为 ．15．对于任意不相等的两个实数a 、b ，定义运算⊗如下： a ⊗b=a b -，如：3⊗2=32=-8⊗12的运算结果为 ． 16．如图，△OAB 是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=°，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在△OAB 外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在△11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，……，按此规律作等腰直角三角形n n OA B （1n ≥，n 为正整数），回答下列问题：（1）33A B 的长是 ；（2）△20202020OA B 的面积是 ．三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分，第22-27题每题6分，第28题7分） 17．计算：-. 18．计算：215293x x x----19．解方程： 32211xx x =--+．20．已知：231x x +=，求代数式21212121x x x x x x -+-⋅--++的值A B 1D ABCE21．如图，在44⨯的正方形网格中，有5个黑色小正方形.（1）请你移动一个黑色小正方形，使移动后所形成的44⨯的正方形网格图形是轴对 称图形．如：将8号小正方形移至14号；你的另 一种做法是将 号小正方形移至 号（填写 标号即可）；（2）请你移动2个小正方形，使移动后所形成的图形是 轴对称图形．你的一种做法是将 号小正方形移 至 号、将 号小正方形移至 号（填写标 号即可）.22．已知：如图，AB =AE ．∠C =∠F ，∠EAC ＝∠BAF ． 求证：AC =AF .23．下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a 和线段b ．求作：△ABC ，使得AB = AC ，BC = a ，BC 边上的中线为b ． 作法：如图2，① 作射线BM ，并在射线BM 上截取BC = a ； ② 作线段BC 的垂直平分线PQ ，PQ 交BC 于D ； ③ 以D 为圆心，b 为半径作弧，交PQ 于A ； ④ 连接AB 和AC ． 则△ABC 为所求作的图形． 根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明：证明：由作图可知BC = a ，AD = b ．∵ PQ 为线段BC 的垂直平分线，点A 在PQ 上，∴ AB = AC （ ）（填依据）． 又∵线段BC 的垂直平分线PQ 交BC 于D ，∴ BD=CD ．（ ）（填依据）． ∴ AD 为BC 边上的中线，且AD = b ．ba图116151413121110987654321MB图224．甲、乙两个施工队共同完成某区域绿化改造工程，乙队先单独做3天后，再由两队合作7天完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的2倍，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？25．如图，△ABC中，AB =45ABC ∠=︒，D 是BC 边上一点，且AD AC =．若 1BD DC -=．求DC 的长．26．已知：如图△ABC ，直线l .求作：点P . 使得点P 在直线l 上，且点P 、点A 、点B 构成的三角形为等腰三角形（保留作图痕迹，不必写出作法）.解：（1）满足条件的点共有 个；（2）在图中用尺规作图作出满足条件的点P （保留作图痕迹，不必写出作法）.27．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如：32=112+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.例如：像12x x +-，22x x +，…，这样的分式是假分式；像12x -，21x x -，…，这样的分式是真分式.类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式. 例如：()23131222x x x x x -++==+---； ()()222442222x x x x x x x +-+==-++++. 解决下列问题: （1）将分式23x x -+化为整式与真分式的和的形式为： ．（直接写出结果即可） （2）如果分式223x xx ++的值为整数，求x 的整数值.DCBACBA l△中，点D是线段BC上一点.作射线AD，点B关于射线AD的28．如图，在等边ABC对称点为E.连接EC并延长，交射线AD于点F.A （1）补全图形；∠的度数；（2）求AFE（3）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明.D CB石景山区2019—2020学年第一学期初二期末数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分.3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．答案不唯一，如：2．10．通分；分式的基本性质．11．8040︒°或．12．答案不唯一，如：1,1a b==-．13．④,①,③,②．14．3．15．16．2019．三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分，第22-27题每题6分，第28题7分）17．解：原式=3-=3-…………………………………5分18．解：215293xx x----1526(3)(3)(3)(3)39(3)(3)33x xx x x xxx xx-+=++-+--=+-=+…………………………………5分19．解方程：32211xx x =--+． 解：去分母，得3(1)2(1)(1)2(1)x x x x x +=-+--． ………………………… 2分去括号，得22332222x x x x +=--+． ………………………… 3分解得5x =-． ………………………… 4分 经检验5x =-是原方程的解． ………………………… 5分 ∴原方程的解是5x =-．20．已知：231x x +=，求代数式21212121x x x x x x -+-⋅--++的值． 解：原式=21(1)2121x x x x x --⋅--++ =1221x x x x ---++ =221(4)(1)(2)x x x x ---++=2332x x ++. ………………………… 3分∵231x x +=，∴原式=1. ………………………… 5分 21．解：（1）9，3； ………………………2分 （2）答案不唯一，如：9，6；8，11或9，3；10，4等等.……………5分 22．证明：在△ABC 和△AEF 中， ∵∠EAC ＝∠BAF,∴∠BAC ＝∠EAF, ……………………………………………1分∵BAC EAF C F AB AE ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，，，∴△ABC ≌△AEF . （AAS ） …………………………………………4分 ∴AC =AF .（全等三角形对应边相等） …………………………………6分23．解：（1）尺规作图正确；……………………………………4分 （2）填空正确． ……………………………………6分 24．解：设甲施工队单独完成此项工程需x 天，则乙施工队单独完成此项工程需2x 天， …………………………1分根据题意，得71012x x+= ……………………………………3分 解这个方程，得12x = ……………………………………4分 经检验，12x =是原方程的根，并且符合实际问题的意义. ………5分 224x =．答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需12天、24天． …………6分 25．解：过点A 作AE BC ⊥于E ． ……………………………………1分∵AD AC =，∴90AEB ∠=︒，DE EC =.（等腰三角形底边上高线与底边上中线重合）……2分 又45ABC ∠=︒， ∴45BAE ∠=︒．∴AE BE =.（等角对等边） ………………………………………3分 在Rt △ABE中，AB = ∴222AE BE AB =+.（勾股定理）即：222BE BE =+，∴4BE =． ……………………………4分即142BD DC +=， 又∵1BD DC -=，∴2DC =． ……………………………6分26．解：（1）满足条件的点共有 5 个；……………………………………………1分（2）作图如下：则点1,2,3,4,5PP P P P 为所求点. …………………………………………6分 27．解：（1）513x -+ …………………………2分 （2）()()2313231333x x x x x x x x +-++==-++++ ED BA∴31x +=±或33x +=±∴x 的取值可以是：4,2,0,6---. …………………………6分28．解：（1）补全图形（如图1）…………………………2分 （2）连接AE .（如图2）∵ABC △是等边三角形，∴AB AC BC ==，60BAC BCA ∠=∠=︒. ∵点B 关于射线AD 的对称点为E ， ∴AE AB =，FAB FAE ∠=∠. 设FAC α∠=，则60FAB FAE α∠=∠=︒-∴60602EAC ααα∠=︒--=︒-， 又AE AC =.∴()1180602602AEC ACE αα∠=∠=︒-︒-=︒+⎡⎤⎣⎦. ∴18060AFE FAE FEA ∠=︒-∠-∠=︒. ……………………… 4分（3）AF EF CF =+证明：如图3，作60FCG ∠=︒交AD 于点G ，连接BF . ∴△FCG 是等边三角形.∴GF CF GC ==. 60CGF GFC FCG ∠=∠=∠=︒.60ACG GCD BCF ∠=︒-∠=∠在△ACG 和△BCF 中，CA CB ACG BCF CG CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， FEDCBA图1 FED CBA图2GEDCBA∴△ACG≌△BCF.=.∴AG BF∵点B关于射线AD的对称点为E，=.∴BF EF=+.∵AF AG GF=+. ………………7分∴AF EF CF11。
2022~2023学年北京市八年级上期末数学试卷分类汇编——几何综合(学生版)
2022~2023学年北京市八年级上期末数学试卷分类汇编——几何综合一．全等三角形的判定与性质（共3小题）1．（2022秋•密云区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∠BAC与∠ABC 的角平分线AD、BE分别交BC、AC边于点D和点E．（1）求证：△BEC是等腰三角形；（2）用等式表示线段AB、AC、BD之间的数量关系，并证明．2．（2022秋•大兴区期末）已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点M是AB的中点，作∠DME＝90°，使得射线MD与射线ME分别交射线AC，CB于点D，E．（1）如图1，当点D在线段AC上时，线段MD与线段ME的数量关系是；（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，用等式表示线段CD，CE和BC之间的数量关系并加以证明．3．（2022秋•通州区期末）如图△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC垂足为点C，且AE＝BD，AE交线段BC于点F．（1）在图1中画出符合题意的图形，并证明CE＝AD；（2）当∠CFE＝∠ADB时，求证：BD平分∠ABC．二．等腰三角形的性质（共1小题）4．（2022秋•海淀区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α．作△ACD，使得AC ＝CD．（1）如图1，若∠ACD与∠BAC互余，则∠DCB＝（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ACD与∠BAC互补，过点C作CH⊥AD于点H，求证：CH＝BC；（3）若△ABC与△ACD的面积相等，则∠ACD与∠BAC满足什么关系？请直接写出你的结论．三．勾股定理（共1小题）5．（2022秋•延庆区期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∠ABD＝α，点D为AC边上的一个动点，连接BD，点A关于直线BD的对称点为点E，直线BD，CE交于点F．（1）如图1，当α＝20°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出∠BFC的度数；（2）如图2，当0°＜α＜45°时，用等式表示线段FC，EF，BC之间的数量关系，并证明．四．三角形综合题（共9小题）6．（2022秋•平谷区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜90°），AD为BC边上的中线，过点B作BE⊥AC于E，交AD于点F，作∠ABE的角平分线AD于M，交AC于N．（1）①补全图形1；②求∠CBE的度数（用含α的式子表示）；（2）如图2，若∠α＝45°，猜想AF与BM的数量关系，并证明你的结论．7．（2022秋•怀柔区期末）康康同学在研究等边三角形，如图1，已知△ABC是等边三角形，D为BC边的中点，E为中线AD上一点（E不可取A点，可取D点），点E关于直线AC 的对称点是点F．连接AF，EF，BF．（1）①在图1中补全图形；②他发现点E在中线AD上运动时，△AEF是一种特殊三角形．请你回答△AEF是三角形；③利用图1证明这个结论．（2）康康同学发现当E点在中线AD上运动时，BF的长度也有规律的变化．当BF为最大值时，在图2中画出点F，并连接AF，BF，BF与AC交于点P．①按要求画出图形；②在AF上存在一点Q，使PQ+QC的值最小，猜想这最小值BP（填＞，＜，＝）；③证明②的结论．（3）在边AC上存在一点M，同时满足BM﹣ME的值最大且BM+ME的值最小，则此时MC与AC的数量关系是．8．（2022秋•丰台区期末）在△ABC中，∠BAC＝110°，AC＝AB，射线AD，AE的夹角为55°，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连结CG．（1）如图1，射线AD，AE都在∠BAC的内部．①设∠BAD＝α，则∠CAG＝（用含有α的式子表示）；②作点B关于直线AD的对称点B′，则线段B′G与图1中已有线段的长度相等；（2）如图2，射线AE在∠BAC的内部，射线AD在∠BAC的外部，其他条件不变，用等式表示线段BF，BG，CG之间的数量关系，并证明．9．（2022秋•朝阳区期末）在△ABC中，AC＝BC，0°＜∠ACB＜120°，CD是AB边的中线，E是BC边上一点，∠EAB＝∠BCD，AE交CD于点F．（1）如图①，判断△CFE的形状并证明；（2）如图②，∠ACB＝90°，①补全图形；②用等式表示CA，CD，CF之间的数量关系并证明．10．（2022秋•石景山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点B关于AC 边的对称点为D，连接CD，过点A作AE∥CD且AE＝CD，连接CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断AB和DE的数量关系并证明；（3）平面内有一点M，使得DM＝DC，EM＝EB，求∠CDM的度数．11．（2022秋•大兴区期末）如图，△ABC为等边三角形，AC＝AD，∠DAC＞60°，连接BD交AC于点E，分别延长DA，CB交于点F．（1）依题意补全图形；（2）若∠DBC＝40°，直接写出∠BAF的度数为；（3）用等式表示线段CF，AF，AE之间的数量关系，并证明．12．（2022秋•通州区期末）已知：线段AB及过点A的直线l．如果线段AC与线段AB关于直线l对称，连接BC交直线l于点D，以AC为边作等边△ACE，使得点E在AC的下方，作射线BE交直线l于点F，连结CF．（1）根据题意补全图形；（2）如图，如果∠BAD＝α（30°＜α＜60°），①∠ABE＝；（用含有α代数式表示）②用等式表示线段FA，FE与FC的数量关系，并证明．13．（2022秋•房山区期末）△ABC是等边三角形，点D是直线AC上一动点，点E在BC 的延长线上，且CE＝AD，连接DB，DE．（1）如图1，若点D是线段AC的中点，则∠BDE＝°；（2）当点D在线段AC上时，依题意补全图2，用等式表示DB与DE的数量关系，并证明；（3）当点D在线段AC的延长线上时，请直接用等式表示DB与DE的数量关系．14．（2022秋•昌平区期末）在等边△ABC中，点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C 重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ．（1）若∠BAP＝20°，则∠AQB＝°；（2）在图1中，求证：BP＝CQ；（3）点M在边AC上，CM＝CQ，点D为AQ的中点，连接MD并延长交AB于点N，连接PM，PN．①依题意将图2补全；②猜想△PMN的形状，并证明．15．（2022秋•西城区期末）在△ABC中，AB＝AC（AB＜BC），在BC上截取BD＝AB，连接AD．在△ABC的外部作∠ABE＝∠DAC，且BE交DA的延长线于点E．（1）作图与探究：①小明画出图1并猜想AE＝AC．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：∠ABC＝°．”请写出小亮所说的条件；②小明重新画出图2并猜想△ABE≌△DAC．他证明的简要过程如下：小明的证明：在△ABE与△DAC中，，可得△ABE≌△DAC．（ASA）请你判断小明的证明是否正确并说明理由；（2）证明与拓展：①借助小明画出的图2证明BE＝DE；②延长AD到F，使DF＝AE，连结BF，CF．补全图形，猜想∠BFE与∠AFC的数量关系并加以证明．16．（2022秋•门头沟区期末）已知，如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD＝AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．以直线CH为对称轴作点A的对称点P，连接CP（1）依题意补全图形；（2）直接写出AB与CP的位置关系；（3）用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．17．（2022秋•北京期末）如图，△ABC中，AB＜AC，点D为BC边中点，∠BAD＝α．作点B关于直线AD的对称点B'，连接BB'交AD于点E，过点C作CF∥AB交直线AB'于点F．（1）依题意补全图形，并直接写出∠AB'E和∠AFC的度数（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AB，AF，CF之间的数量关系，并证明．第11页（共11页）七．几何变换综合题（共2小题）18．（2022秋•东城区期末）已知：在△ABC 中，∠CAB ＝2∠B ．点D 与点C 关于直线AB 对称，连接AD ，CD ，CD 交直线AB 于点E ．（1）当∠CAB ＝60°时，如图1．用等式表示，AD 与AE 的数量关系是：，BE 与AE 的数量关系是：；（2）当∠CAB 是锐角（∠CAB ≠60°）时，如图2；当∠CAB 是钝角时，如图3．在图2，图3中任选一种情况，①依题意补全图形；②用等式表示线段AD ，AE ，BE之间的数量关系，并证明．19．（2022秋•顺义区期末）如图，△ABC 为等边三角形，在∠BAC 内作射线AP （∠BAP ＜30°），点B 关于射线AP 的对称点为点D ，连接AD ，作射线CD 交AP 于点E ，连接BE ．（1）依题意补全图形；（2）设∠BAP ＝α，求∠BCE 的大小（用含α的代数式表示）；（3）用等式表示EA ，EB ，EC之间的数量关系，并证明．。
2022-2023学年北京市石景山区八年级(上)期末数学试卷及答案解析
2022-2023学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）5的算术平方根是（）A．±5B．25C．D．2．（2分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有400多种证明方法．下面四个图形是证明勾股定理的图形，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）使得分式值为零的m的值是（）A．m＝0B．m＝2C．m≠﹣3D．m≠34．（2分）用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．5．（2分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，则底边上的高为（）A．12B．C．D．186．（2分）如图，数轴上M，N，P，Q四点中，与对应的点距离最近的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q7．（2分）下列各式中，运算正确的是（）A．B．C．D．8．（2分）如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动．C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．如图2，若∠BDE＝84°，则∠CDE的度数是（）A．65°B．68°C．66°D．70°二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）要使式子有意义，则x可取的一个数是．10．（2分）下面是大山同学计算的过程：＝ (1)＝ (2)＝ (3)＝ (4)（1）运算步骤[2]为通分，其依据是；（2）运算结果的分子m应是代数式．11．（2分）如果等腰三角形的一个内角为80°，那么其它两个角的度数为．12．（2分）若|x﹣5|+＝0，则x+y＝．13．（2分）依据下列给出的事件，请将其对应的序号填写在横线上．①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品；②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻；③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等；④小明打开电视，正在播放广告；必然事件；不可能事件；随机事件．14．（2分）下面是代号分别为A，B，C，D的转盘，它们分别被分成2个、4个、6个、8个面积相等的扇形．（1）用力转动转盘（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等；（2）用力转动转盘（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性大小是．15．（2分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，∠C＝55°，点E为BA延长线上一点，点F为BC边上一点，若∠E＝30°，则∠CFE的度数为．16．（2分）如图，△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于E，若AB＝6，BC＝9，则DE的长为．三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分，第22-27题每题6分，第28题7分）17．（5分）计算：．18．（5分）计算：．19．（5分）解方程：．20．（5分）已知x＝3y，求代数式的值．21．（5分）已知：△ABC．求作：点P，使得点P在AC上，且P A＝PB．作法：①分别以A，B为圆心，大于AB的同样长为半径作弧，两弧分别交于M，N；②作直线MN，与AC交于P点．点P为所求作的点．根据上述作图过程（1）请利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AM，BM，AN，BN．∵AM＝，AN＝BN，∴M，N在线段AB的垂直平分线上．即MN是线段AB的垂直平分线．∵点P在直线MN上，∴P A＝PB（）（填写推理的依据）．22．（6分）已知：如图，点B是线段AC上一点，AD∥BE，AB＝BE，∠D＝∠C．求证：BD＝EC．23．（6分）如图，将线段CD放在单位长为1的小正方形网格内，点A，B均落在格点上．（1）按下列要求画图（保留必要的画图痕迹，不必写画法）：①请在线段CD上画出点P，使得P A+AB的和最小；②请在线段CD上画出点Q，使得QA+QB的和最小；（2）请观察、测量或计算按（1）中要求所画的图形．①P A+AB的和最小的依据是；②QA+QB＝（直接写出答案）．24．（6分）学校为了丰富学生体育活动，计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每个篮球的价格比每个的排球价格多4元，已知学校用2000元购买篮球的个数与用1800元购买排球的个数相等．求每个篮球、每个排球的价格．25．（6分）若关于x的分式方程的解为正数，求正整数a的值．26．（6分）已知：如图，A，B，D三点在同一直线上，△ABC和△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）求证：BE＝AD，BE⊥AD；（2）已知BD＝2AB，CE＝，求AB的长．27．（6分）将分式的分母因式分解后，可以把一个分式表示成两个分式的和或差．观察下列各式，解答下面问题：…（1）；（2）计算：．28．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点B关于AC边的对称点为D，连接CD，过点A作AE∥CD且AE＝CD，连接CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断AB和DE的数量关系并证明；（3）平面内有一点M，使得DM＝DC，EM＝EB，求∠CDM的度数．2022-2023学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．【分析】根据算术平方根的含义和求法，可得：数5的算术平方根为，据此解答即可．【解答】解：数5的算术平方根为．故选：D．【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的证明方法和中心对称图形与轴对称图形的概念，正确记忆中心对称图形与轴对称图形的概念是解题关键．3．【分析】根据分式的值为0的条件求出m的值即可．【解答】解：∵分式值为零，∴m＝0且m+3≠0，∴m＝0．故选：A．【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．4．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：A、B、D均不是高线．故选：C．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．5．【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质得出BD＝CD＝，再根据勾股定理求出AD的长即可求解．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴BD＝CD＝，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，即底边上的高为2，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．6．【分析】先估算出2﹣的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴﹣2＞﹣＞﹣3，∴﹣1＜2﹣＜0，∴点N距离此点最近．故选：B．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．7．【分析】利用分式的加减法，分式的乘除法对各项进行运算即可．【解答】解：A、，故A不符合题意；B、＝＝，故B不符合题意；C、，故C符合题意；D、＝＝，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．8．【分析】由等腰三角形的性质可得∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角的性质可求∠COD的度数，即可求解．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠CDO+∠COD＝2∠COD，∴∠DEC＝2∠COD，∵∠COD+∠DEC＝∠BDE，∴3∠COD＝84°，∴∠COD＝28°，∴∠DEC＝∠DCE＝56°，∴∠CDE＝68°，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，外角的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据二次根式有意义的条件得出2x﹣3≥0，再求出不等式的解集，最后求出答案即可．【解答】解：要使式子有意义，必须2x﹣3≥0，解得：x≥，所以x可取的一个数是4，故答案为：4（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，注意：式子中a≥0．10．【分析】（1）根据通分是运用分式的基本性质进行求解；（2）通过分子去括号、合并同类项进行计算求解．【解答】解：（1）分式的通分是运用分式的基本性质，故答案为：分式的基本性质；（2）通过运算得，＝＝，故答案为：3x．【点评】此题考查了分式加减运算的能力，关键是能准确理解运算的知识依据，并能进行正确地计算．11．【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．故答案为：80°或20°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．12．【分析】根据非负数的性质，可得x﹣5＝0，y+3＝0，即可解答．【解答】解：∵|x﹣5|+＝0，∴x﹣5＝0，y+3＝0，解得：x＝5，y＝﹣3，x+y＝5﹣3＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了非负数的性质，解决本题的关键是熟记非负数的性质．13．【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品，是必然事件；②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻，是随机事件；③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等，是不可能事件；④小明打开电视，正在播放广告，是随机事件；则必然事件是①；可能是近是③；随机事件是②④，故答案为：①；③；②④．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．14．【分析】（1）指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等，可得阴影区域的面积等于白色区域的面积；（2）指针落在阴影区域的可能性＝×转盘的面积，可得阴影区域的面积所占大小．【解答】解：（1）用力转动转盘A（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等．故答案为：A；（2）6×＝2．故用力转动转盘C（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性大小是．故答案为：C．【点评】此题考查了几何概率，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是熟练掌握几何概率公式．15．【分析】根据直角三角形的性质求出∠B，再根据三角形的外角性质求出∠CFE．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝55°，则∠B＝90°﹣∠C＝35°，∵∠CFE是△BEF的外角，∴∠CFE＝∠B+∠E＝35°+30°＝65°，故答案为：65°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．16．【分析】由角平分线的性质得出DE＝DA，再根据HL证明Rt△ABD≌Rt△EBD得出BE 的长，根据勾股定理求出AC的长，设DE＝x，则CD＝3﹣x，再根据勾股定理得出方程求解即可．【解答】解：∵AC⊥AB，DE⊥BC，BD平分∠ABC，∴DE＝DA，在Rt△ABD与Rt△EBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴BE＝AB＝6，∵BC＝9，∴CE＝3，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝＝3，设DE＝x，则CD＝3﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CD2＝ED2+CE2，即（3）2＝x2+32，解得x＝，即DE的长为，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分，第22-27题每题6分，第28题7分）17．【分析】先算除法，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝3﹣2﹣＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．18．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝•＝＝＝x+2．【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．19．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，解得：x＝1，检验：把x＝1代入得：x﹣2≠0，∴分式方程的解为x＝1．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．【分析】直接把x＝3y代入分式，化简求值即可．【解答】解：∵x＝3y，∴＝（﹣）•＝（3﹣）×＝×＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的乘除运算，整体代入求21．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）利用线段的垂直平分线的性质判断即可．【解答】（1）解：如图，点P即为所求；（2）证明：连接AM，BM，AN，BN．∵AM＝BM，AN＝BN，∴M，N在线段AB的垂直平分线上．即MN是线段AB的垂直平分线．∵点P在直线MN上，∴P A＝PB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）．故答案为：BM，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．【分析】由平行线的性质可得∠A＝∠EBC，由“AAS”可证△ABD≌△BEC，可得BD ＝EC．【解答】证明：∵AD∥BE∴∠A＝∠EBC在△ABD和△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（AAS），∴BD＝EC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关23．【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形；①作点B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点P，使得P A+PB的和最小，点P就是所求的点；②作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点Q，使得QA+QB的和最小，点Q就是所求的点；（2）①根据两点之间线段最短解答；②根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）①根据轴对称的性质可知：P A+PB的和最小的依据是两点之间，线段最短；故答案为：两点之间，线段最短；②根据轴对称的性质可知：QA＝QA′，∴QA+QB＝QA′+QB＝A′B＝＝＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了作图—应用与设计作图，轴对称的性质﹣最短路径问题，掌握轴对称的性质、勾股定理等知识是解题的关键．24．【分析】设每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为（x﹣4）元，由题意：学校用2000元购买篮球的个数与用1800元购买排球的个数相等．列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为（x﹣4）元，由题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，则x﹣4＝40﹣4＝36，答：每个篮球的价格为40元，每个排球的价格为36元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．25．【分析】解分式方程，可得出x＝3﹣a，结合原分式方程的解为正数，可得出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，由x﹣1≠0，可得出a≠2，进而可得出正整数a的值．【解答】解：原方程可化为：2x+a+x﹣5＝2（x﹣1），∴x＝3﹣a．∵原方程的解为正数，∴3﹣a＞0，∴a＜3，∵x﹣1≠0，∴x≠1，∴3﹣a≠1，∴a≠2，∴正整数a的值为1．【点评】本题考查分式方程的解以及解一元一次不等式，正确表示分式方程的解，注意分母不等于0是求解本题的关键．26．【分析】（1）利用SAS证明△ACD≌△BCE，得AD＝BE，∠BEC＝∠ADC，即可证明结论；（2）设AB＝x，则BD＝2x，在Rt△BDE中，由勾股定理得，（2x）2+（3x）2＝（）2，解方程即可．【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE为等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC，∴∠DBE＝∠DCE＝90°，∴BE⊥AD；（2）解：∵DE＝CE＝，设AB＝x，则BD＝2x，∴BE＝AD＝3x，在Rt△BDE中，由勾股定理得，（2x）2+（3x）2＝（）2，解得x＝（负值舍去），∴AB＝．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△ACD≌△BCE是解题的关键．27．【分析】读懂题意，利用分式的基本性质变形，计算即可．【解答】解：（1）＝﹣；（2）＝++＝（﹣）+（﹣）+（﹣）＝（﹣+﹣+﹣）＝（﹣）＝．【点评】本题考查了分式的加减运算，分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．28．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）结论：AB＝DE，证明四边形ACDE是平行四边形，推出AC＝DE，可得结论；（3）分两种情形：如图2中，当∠CDM是钝角．证明△ABE≌△DEM（SSS），推出∠BAE＝∠EDM＝135°，即可解决问题，如图3中，当∠CDM′是锐角时，同法可得∠ADM′＝∠BAE＝135°解决问题．【解答】解：（1）图形如图1所示：（2）结论：AB＝DE．理由：∵AE＝CD，AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AC＝DE，∵AB＝AC，∴AB＝DE；（3）如图2中，当∠CDM是钝角．∵AE＝CD，CD＝DM，∴AE＝DM，∵AB＝DE，BE＝EM，∴△ABE≌△DEM（SSS），∴∠BAE＝∠EDM，∵AB＝AC，∠BAC＝30°，B，D关于AC对称，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∵AE∥CD，∴∠EAD＝∠ADC＝75°，∴∠BAE＝30°+30°+75°＝135°，∴∠EDB＝∠BAE＝135°，∴∠CDM＝360°﹣75°﹣﹣30°﹣135°＝120°．如图3中，当∠CDM′是锐角时，同法可得∠ADM′＝∠BAE＝135°，∴∠CDM′＝135°﹣75°﹣30°＝30°，综上所述，∠CDM的值为120°或30°．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。
北京市八年级上册期末数学试卷精选汇编：几何证明专题(含答案)
几何证明专题海淀区20.如图，已知AB=AC ，E 为AB 上一点，ED ∥AC ，ED=AE . 求证：BD=CD .A20．证明：∵ED ∥AC ，∴∠EDA =∠DAC ， ………………………1分∵ED=AE ，∴∠EAD =∠EDA ． ………………………2分∴∠EAD =∠DAC ． ………………………3分 在△ADB 和△ADC 中，,,,AB AC DAB DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△ADC （SAS ）． ………………………4分 ∴BD=CD ． ………………………5分22.如图，AB ⊥AC ，AB =AC ，过点B ，C 分别向射线AD 作垂线，垂足分别为E ，F . （1）依题意补全图形；（2）求证：BE=EF+FC .CBAD22．（1）………………………1分 （2）证明：∵AB ⊥AC ，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BAE +∠CAF =90°，∠BAE +∠B =90°，∠CF A =∠AEB =90°．………………………2分∴∠CAF =∠B ． ………………………3分 在△ABE 和△CAF 中，,,,B CAF AEB CFA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CAF （AAS ）． ………………………4分 ∴BE=AF ，AE=CF ． ∵AF=AE+EF ，∴BE=EF+CF ． ………………………5分东城区20.如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ，AD ＝AE .连接BD ,CE,∠ABD ＝∠ACE . 求证：AB ＝AC .20.证明：∵∠BAC ＝∠DAE,∴∠BAC －∠CAD ＝∠DAE －∠CAD. 即∠BAD ＝∠CAE. ……………………2分 在△BAD 和△CAE 中,,BAD CAE ABD ACE AD AE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝∴△BAD ≌△CAE （AAS ）. …………………… 4分 ∴ AB ＝AC. …………………… 5分FEDCBA丰台区20．如图，点B 是线段AD 上一点，BC ∥DE ，AB =ED ，BC =DB ．求证：△ABC ≌ △EDB ．20. 证明：∵BC ∥DE ，∴∠ABC =∠D . 1分 在△ABC 和△EDB 中，AB =ED ，∠ABC =∠D ， BC =DB . 4分∴△ABC ≌△EDB （SAS ）. 5分23．如图，∠A =∠D =90°，AB=DC ，AC 与DB 交于点E ，F 是BC 中点．求证：∠BEF =∠CEF ．23. 证明：在△AEB 和△DEC 中，∠A =∠D ，∠AEB =∠DEC ， AB =DC . 2分∴△AEB ≌△DEC （AAS ）. 3分 ∴EB =EC . 4分 ∵F 是BC 中点，∴∠BEF =∠CEF . 6分密云区21.如图，AC 与BD 相交于点O,OA=OB ，∠DAB=∠CBA.求证：△DAO ≌△CBO.ODCA21.F EDCB A证明：Q OA=OB∴ ∠OAB=∠OBA Q ∠DAB=∠CBA ∴∠DAO=∠CBO ………………2分在△DAO 和△CBO 中，OA DAO CBO DOA COB OB∠=∠∠=∠⎧⎪=⎨⎪⎩∴△DAO ≌△CBO ………………5分23.如图，△ABC 中,AB 的垂直平分线l 交AB 于E ，交AC 于D.AD=5,DC=3,BC=4, （1）求证：△ABC 是直角三角形; （2）求AB 长.l E DCBA23.如图，△ABC 中,AB 的垂直平分线l 交AB 于E ，交AC 于D.AD=5,DC=3,BC=4, （1）求证：△ABC 是直角三角形; （2）求AB 长.l E DCBA（1）证明：连结BD. ………………1分Q AB 的垂直平分线l 交AC 于D ∴ AD=DBQ AD=5, ∴BD=5………………2分在△DCB 中，BD=5,CD=3,BC=4∴222BD =CD +BC ∴∠BCD=90︒∴△ABC 是直角三角形………………4分（2）在Rt △ACB 中，22222(35)480AB AC BC =+=++= ∴5AB =………………6分门头沟区23.已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =90°,在BC 的延长线上截取CD =BA ，将线段CA 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，连接DE .（1）按照要求补全图形； （2）求证：BC =DE .23．（本小题满分6分）（1）补全图形正确： …………………………………………………1分（2）证明：∵线段CA 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ∴ ∠ACB=90°,CA =CE . …………………………… 2分 ∴∠ACB+∠ECD =90°， ∵∠ABC =90°. ∴ ∠A+∠ACB =90°.∴∠A =∠ECD ……………………………………… 4分 ∵CD =BA∴△ABC ≌△CDE （SAS ）∴BC =DE ……………………………………… 6分朝阳区20． 如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上BF=CE ，AC=DF ．（1）在下列条件 ①∠B=∠E ；②∠ACB=∠DFE ；③AB=DE ；④AC ∥DF 中，只添加一个条件就可以证得△ABC ≌△DEF ，则所有正确条件的序号是 ． （2）根据已知及（1）中添加的一个条件B C EBC证明∠A=∠D ．20. （1）②③④ …………………………………………………………………………………………..3分 （2）答案不惟一. 如添加条件②∠ACB ＝∠DFE . 证明：∵BF=EC ，∴BF+CF=EC+CF .∴BC=EF ．………………………………………………………………………………………..4分 ∵AC=DF ，∠ACB=∠DFE ，∴△ABC ≌△DEF . ……………………………………………………………………………..5分 ∴∠A=∠D . ……………………………………………………………………………………..6分22．证明：如果两个三角形有两个角及它们的夹边的高分别相等，那么这两个三角形全等．22. 已知：如图，在△ABC 和△'''C B A 中，'B B ∠=∠， 'C C ∠=∠，AD ，''D A 分别是BC ，''C B 边上的高，''D A AD =. …………………………………………………………………..1分 求证：△ABC ≌△'''C B A . ………………………………………………………………………..2分………………………..3分证明：∵AD ⊥BC ，''D A ⊥''C B ，∴∠ADB ＝∠'''B D A ＝90°. ∵'B B ∠=∠，''D A AD =， ∴△ABD ≌△'''D B A . ∴''B A AB =.∵'C C ∠=∠，∴△ABC ≌△'''C B A . …………………………………………………………………..6分25．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，延长AB 至点E ，使∠AEC=∠DAB ．判断CE 与AD 的数量关系，并证明你的结论．25. 结论：CE ＝2AD . …………………………………………………………………………………..1分 证明：延长AD 至点N 使DN ＝AD ，AN 交CE 于点M ，连接CN. ………………………………..2分∵∠DAB ＝∠AEC ，∴MA ＝ME . …………………………………………..3分 ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠DAB ，BD ＝CD ，∠1＝∠2＝90°.∴△ABD ≌△NCD . …………………………………..4分 ∴∠N ＝∠DAB . ∴CN ∥AE . ∴∠3＝∠AEC . ∴∠3＝∠N .∴MC ＝MN . ……………………………………………………………………………………..6分 ∴CE ＝MC ＋ME＝MN ＋MA ＝AN＝2AD . …………………………………………………………………………………..7分顺义区17．已知：如图，AC =BD ，AC ∥BD ，AB 和CD 相交于点O ． 求证：ACO △≌BDO △．321DMBACDO17．（5分）证明：∵AC ∥BD ，∴∠A =∠B ，∠C =∠D ，……………………………...3分 又∵AC =BD ，…………………………………………...4分 ∴ACO △≌BDO △．………………………………….5分 （其它方法请相应给分）25．已知：如图，点D ，E 在ABC △的边BC 上，AB AC =，AD AE =．求证：BD CE =．ED ABC25．（5分） 证明：∵AB =AC ， AD =AE ，∴BF =CF ， DF =EF ， ………………………… 4分 ∴BD =CE ．……………………………………… 5分 （其它方法请酌情给分）昌平区21．如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB ∥CD ， BC =CD ．求证：AC =ED .BA CDOFCBADE21．证明：∵AB ∥CD ，∴∠CBA =∠DCB. …………………… 1分 在△BAC 和△CDE 中，BC CD CBA DCB AB EC ，，，=∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩………………………………………………………………3分 ∴△BAC ≌△CDE （SAS ）. ……………………………………………………………… 4分∴AC =ED . ……………………………………………………………………………… 5分平谷区23．已知：如图，点A ，F ，C ，D 在同一直线上，AB=DE ， AB ∥DE ，BC ∥EF ，求证：BC =EF .23.证明：∵AB ∥DE∴D A ∠=∠………………………………………1 ∵EF ∥BC∴DFE ACB ∠=∠………………………………2 在△ABC 和△DEF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠DE =AB DA DFE ACB ..........................................3 ∴ABC ∆≌DEF ∆)(AAS .................................4 ∴BC =EF (5)25.已知：如图， CB=CD ，分别过点B 和点D 作AB ⊥BC ， AD ⊥DC ，两垂线相交于点A 。
人教版2020-2021学年八年级数学上册期末试卷及答案
2020-2021学年八年级数学上册期末试卷一．选择题（共8小题）1．使分式有意义的x的取值范围为（）A．x≠﹣2B．x≠2C．x≠0D．x≠±22．下列多项式中能用完全平方公式分解的是（）A．x2﹣x+1B．1﹣2x+x2C．﹣a2+b2﹣2ab D．4x2+4x﹣13．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长是（）A．8B．10C．12D．144．关于x的方程无解，则m的值为（）A．﹣5B．﹣8C．﹣2D．55．二班学生某次测试成绩统计如下表：则得分的众数和中位数分别是（）得分（分）60708090100人数（人）7121083A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，Q为对角线AC 上的动点，则△BEQ周长的最小值为（）A．5B．6C．D．87．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形8．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF＝EF，下列结论正确的个数是（）①CF平分∠BCD；②∠EFC＝2∠CFD；③∠ECD＝90°；④CE⊥AB．A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）9．若代数式的值为零，则x的取值应为．10．某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按1：3：6的权重确定每个人的期末成绩．小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂98分，作业95分，考试85分，那么小明的数学期末成绩是分．11．如果x+＝3，则的值等于12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，将△ABC绕点C逆时针旋转至△DEC 的位置，点B恰好在边DE上，则∠θ＝度．13．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若△ABC的周长为32，BD＝16，则菱形ABCD的面积为14．已知：如图，△ABC的面积为12，将△ABC沿BC方向移到△A′B′C′的位置，使B′与C重合，连结AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为．三．解答题（共10小题）15．如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，△ABC是通过△A1B1C1旋转得到．（1）在图中标出旋转中心点O；（2）画出△ABC向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度得到的△A2B2C2．16．因式分解（1）a3﹣16a；（2）8a2﹣8a3﹣2a17．计算：（1）+（﹣2bc）×；（2）先化简，再求值：（﹣1）•，其中x＝﹣5．18．解分式方程（1）（2）19．某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示填写下表：平均数/分中位数/分众数/分A校85B校85100（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；（3）计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．20．如图，在▱ABCD中，G是CD上一点，连接BG且延长交AD的延长线于点E，AF＝CG，∠E＝30°，∠C＝50°，求∠BFD的度数．21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）试判断四边形ADCF的形状，并证明；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明．22．小明元旦前到文具超市用15元买了若干练习本，元旦这一天，该超市开展优惠活动，同样的练习本比元旦前便宜0.2元，小明又用20.7元钱买练习本，所买练习本的数量比上一次多50%，小明元旦前在该超市买了多少本练习本？23．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．24．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QM⊥BD于M，连接AM，PM （如图1）．（1）判断AM与PM的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，其它条件不变（如图2），（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．使分式有意义的x的取值范围为（）A．x≠﹣2B．x≠2C．x≠0D．x≠±2【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：x+2≠0，∴x≠﹣2故选：A．2．下列多项式中能用完全平方公式分解的是（）A．x2﹣x+1B．1﹣2x+x2C．﹣a2+b2﹣2ab D．4x2+4x﹣1【分析】根据完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2可得答案．【解答】解：A、x2﹣x+1不能用完全平方公式分解，故此选项错误；B、1﹣2x+x2能用完全平方公式分解，故此选项正确；C、﹣a2+b2﹣2ab不能用完全平方公式分解，故此选项错误；D、4x2+4x﹣1不能用完全平方公式分解，故此选项错误；故选：B．3．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长是（）A．8B．10C．12D．14【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC即可得出答案．【解答】解：根据题意，将周长为8个单位的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，∴AD＝1，BF＝BC+CF＝BC+1，DF＝AC；又∵AB+BC+AC＝8，∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC＝10．故选：B．4．关于x的方程无解，则m的值为（）A．﹣5B．﹣8C．﹣2D．5【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母得：3x﹣2＝2x+2+m，由分式方程无解，得到x+1＝0，即x＝﹣1，代入整式方程得：﹣5＝﹣2+2+m，解得：m＝﹣5，故选：A．5．二班学生某次测试成绩统计如下表：则得分的众数和中位数分别是（）得分（分）60708090100人数（人）7121083A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，则中间的数（或中间两个数据的平均数）就是这组数据的中位数解答即可．【解答】解：由于总人数为7+12+10+8+3＝40人，所以中位数为第20、21个数据平均数，即中位数为＝80（分），因为70分出现次数最多，所以众数为70分，故选：C．6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，Q为对角线AC 上的动点，则△BEQ周长的最小值为（）A．5B．6C．D．8【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE 的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论．【解答】解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵DE＝BQ+QE＝＝5，∴△BEQ周长的最小值＝DE+BE＝5+1＝6．故选：B．7．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．【解答】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．8．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF＝EF，下列结论正确的个数是（）①CF平分∠BCD；②∠EFC＝2∠CFD；③∠ECD＝90°；④CE⊥AB．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①只要证明DF＝DC，利用平行线的性质可得∠DCF＝∠DFC＝∠FCB；②延长EF和CD交于M，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠A＝∠FDM，证△EAF≌△MDF，推出EF＝MF，求出CF＝MF，求出∠M＝∠FCD ＝∠CFD，根据三角形的外角性质求出即可；③④求出∠ECD＝90°，根据平行线的性质得出∠BEC＝∠ECD，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵AF＝DF，AD＝2AB，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC＝∠FCB，∴CF平分∠BCD，故①正确，延长EF和CD交于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠FDM，在△EAF和△MDF中，，∴△EAF≌△MDF（ASA），∴EF＝MF，∵EF＝CF，∴CF＝MF，∴∠FCD＝∠M，∵由（1）知：∠DFC＝∠FCD，∴∠M＝∠FCD＝∠CFD，∵∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故②正确，∵EF＝FM＝CF，∴∠ECM＝90°，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠ECM＝90°，∴CE⊥AB，故③④正确，故选：D．二．填空题（共6小题）9．若代数式的值为零，则x的取值应为2．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．【解答】解：若代数式的值为零，则（x﹣2）＝0或（x﹣1）＝0，即x＝2或1，∵|x|﹣1≠0，x≠1，∴x的取值应为2，故代数式的值为零，则x的取值应为2．10．某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按1：3：6的权重确定每个人的期末成绩．小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂98分，作业95分，考试85分，那么小明的数学期末成绩是89.3分．【分析】因为数学期末成绩由课堂、作业和考试三部分组成，并按1：3：6的比例确定，所以利用加权平均数的公式即可求出答案．【解答】解：小明的数学期末成绩是＝89.3（分），故答案为：89.3．11．如果x+＝3，则的值等于【分析】由x+＝3得x2+2+＝9，即x2+＝7，整体代入原式＝＝，计算可得．【解答】解：∵x+＝3，∴（x+）2＝9，即x2+2+＝9，则x2+＝7，∵x≠0，∴原式＝＝＝＝，故答案为：．12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，将△ABC绕点C逆时针旋转至△DEC 的位置，点B恰好在边DE上，则∠θ＝50度．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转变换的性质得到∠E＝∠ABC＝65°，CE＝CB，∠ECB＝∠DCA，计算即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝25°，∴∠ABC＝65°，由旋转的性质可知，∠E＝∠ABC＝65°，CE＝CB，∠ECB＝∠DCA，∴∠ECB＝50°，∴∠θ＝50°，故答案为：50．13．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若△ABC的周长为32，BD＝16，则菱形ABCD的面积为96【分析】可设菱形ABCD的边长为x，则AC＝32﹣2x，根据菱形可得AO＝16﹣x，BO ＝8，根据勾股定理可求x，进一步得到AC，再根据菱形的面积公式即可求解．【解答】解：如图，设菱形ABCD的边长为x，则AC＝32﹣2x，AO＝16﹣x，BO＝8，依题意有（16﹣x）2+82＝x2，解得x＝10，AC＝32﹣2x＝12，则菱形ABCD的面积为16×12÷2＝96．故答案为：96．14．已知：如图，△ABC的面积为12，将△ABC沿BC方向移到△A′B′C′的位置，使B′与C重合，连结AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为6．【分析】根据题意，可求得D为A′B′的中点，则可知△C′DC的面积为△ABC的面积的一半．【解答】解：∵将△ABC沿BC方向移到△A′B′C′的位置，使B′与C重合，∴AB∥A′B′，∵BC＝CC′，∴D为A′B′的中点，∴△C′DC的面积为△ABC的面积的一半，即为6．故答案为：6．三．解答题（共10小题）15．如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，△ABC是通过△A1B1C1旋转得到．（1）在图中标出旋转中心点O；（2）画出△ABC向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度得到的△A2B2C2．【分析】（1）连接AA，BB 1，作线段AA1，BB1的垂直平分线交于点O，点O即为所求．（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．【解答】解：（1）如图，点O即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．16．因式分解（1）a3﹣16a；（2）8a2﹣8a3﹣2a【分析】（1）首先提公因式a，再利用平方差进行分解即可；（2）首先提公因式﹣2a，再利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：（1）原式＝a（a2﹣16）＝a（a+4）（a﹣4）；（2）原式＝﹣2a（4a2﹣4a+1）＝﹣2a（2a﹣1）2．17．计算：（1）+（﹣2bc）×；（2）先化简，再求值：（﹣1）•，其中x＝﹣5．【分析】（1）先计算乘法，再计算加法即可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：（1）原式＝﹣＝﹣＝；（2）原式＝•＝•＝﹣，当x＝﹣5时，原式＝﹣＝﹣．18．解分式方程（1）（2）【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：x﹣1＝﹣1﹣2x+4，移项合并得：3x＝4，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．19．某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示填写下表：平均数/分中位数/分众数/分A校858585B校8580100（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；（3）计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．【分析】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答；（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可；（3）分别求出A校、B校的方差即可．【解答】解：（1）A校平均数为：×（75+80+85+85+100）＝85（分），众数85（分）；B校中位数80（分）．填表如下：平均数/分中位数/分众数/分A校858585B校8580100故答案为：85；85；80．（2）A校成绩好些．因为两个队的平均数都相同，A校的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的A校成绩好些．（3）∵A校的方差s12＝×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，B校的方差s22＝×[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160．∴s12＜s22，因此，A校代表队选手成绩较为稳定．20．如图，在▱ABCD中，G是CD上一点，连接BG且延长交AD的延长线于点E，AF＝CG，∠E＝30°，∠C＝50°，求∠BFD的度数．【分析】先根据平行四边形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC与∠ABE度数，据此得出∠CBG度数，再证△BCG≌△EAF得出∠AEF＝∠CBG，继而由三角形外角性质可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝50°，∴∠A＝∠C＝50°，∠ABC＝180°﹣∠C＝130°，AE＝BC，∵∠E＝30°，∴∠ABE＝180°﹣∠A﹣∠E＝100°，∴∠CBG＝30°，在△BCG和△EAF中，∵，∴△BCG≌△EAF（SAS），∴∠CBG＝∠AEF＝30°，则∠BFD＝∠A+∠AEF＝80°．21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）试判断四边形ADCF的形状，并证明；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明．【分析】（1）由E是AD的中点，过点A作AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，然后证得AF＝BD＝CD，即可证得四边形ADCF是平行四边形；（2）由AB⊥AC，AD是BC边上的中线，可得AD＝CD＝BC，然后由四边形ADCF 是平行四边形，证得四边形ADCF是菱形．【解答】（1）解：四边形CDAF是平行四边形，理由如下：∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠F AE＝∠BDE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF＝BD，∵AD是BC边中线，∴CD＝BD，∴AF＝CD，∴四边形CDAF是平行四边形；（2）四边形ADCF是菱形，∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD＝BC＝DC，∵四边形ADCF是平行四边形，∴平行四边形ADCF是菱形．22．小明元旦前到文具超市用15元买了若干练习本，元旦这一天，该超市开展优惠活动，同样的练习本比元旦前便宜0.2元，小明又用20.7元钱买练习本，所买练习本的数量比上一次多50%，小明元旦前在该超市买了多少本练习本？【分析】设小明元旦前在该超市买了x本练习本，则元旦这一天在该超市买了1.5x本练习本，根据单价＝总价÷数量结合元旦这天的单价比元旦前便宜0.2元，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设小明元旦前在该超市买了x本练习本，则元旦这一天在该超市买了1.5x 本练习本，根据题意得：﹣＝0.2，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．答：小明元旦前在该超市买了6本练习本．23．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；②由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4；③由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝150°；（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD 为等腰直角三角形，则OD＝OB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°．【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．24．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QM⊥BD于M，连接AM，PM （如图1）．（1）判断AM与PM的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，其它条件不变（如图2），（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．【分析】（1）先判断出△DMQ是等腰直角三角形，再判断出△MDP≌△MQC（SAS），最后进行简单的计算即可；（2）先判断出△DMQ是等腰直角三角形，再判断出△MDP≌△MQC（SAS），最后进行简单的计算即可．【解答】解：（1）连接CM，∵四边形ABCD是正方形，QM⊥BD，∴∠MDQ＝45°，∴△DMQ是等腰直角三角形．∵DP＝CQ，在△MDP与△MQC中∴△MDP≌△MQC（SAS），∴PM＝CM，∠MPC＝∠MCP．∵BD是正方形ABCD的对称轴，∴AM＝CM，∠DAM＝∠MCP，∴∠AMP＝180°﹣∠ADP＝90°，∴AM＝PM，AM⊥PM．（2）成立，理由如下：连接CM，∵四边形ABCD是正方形，QM⊥BD，∴∠MDQ＝45°，∴△DMQ是等腰直角三角形．∵DP＝CQ，在△MDP与△MQC中∴△MDP≌△MQC（SAS），∴PM＝CM，∠MPC＝∠MCP．∵BD是正方形ABCD的对称轴，∴AM＝CM，∠DAM＝∠MCP，∴∠DAM＝∠MPC，∵∠PND＝∠ANM∴∠AMP＝∠ADP＝90°∴AM＝PM，AM⊥PM．1、三人行，必有我师。
2021-2022学年北京市石景山区八年级(上)期末数学试卷
2021-2022学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷1.（单选题，2分）25的平方根是（）A.5B.-5C.±5D.6252.（单选题，2分）下列各式从左到右变形正确的是（）A. 3x26x =x2B. nm =n+1m+1C. nm −mn=n−mmnD. nm =n2m23.（单选题，2分）如图1，北京2022年冬季奥林匹克运动会会徽（冬梦）主要由会徽图形、文字标志、奥林匹克五环标志三个部分组成，图形主体形似汉字“冬”的书法形态；如图2，冬残奥会会徽（飞跃）主要由会徽图形、文字标志、国际残奥委会标志三部分组成，图形主体形似汉字“飞”的书法字体．以下图案是会徽中的一部分，其中是轴对称图形的为（）A.B.C.D.4.（单选题，2分）下列运算正确的（）A. √3+√2=√5B. √20÷√10=2C. √3×√2=√6D. √(−3)2=−35.（单选题，2分）下列说法正确的是（）A.“抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件B.“打开电视机，正在播放乒乓球比赛”是必然事件C.“面积相等的两个三角形全等”是不可能事件D.投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次6.（单选题，2分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简(√a)2+√b2的结果是（）A.-a+bB.-a-bC.a+bD.a-b7.（单选题，2分）如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是（）A. 15B. 25C. 35D. 458.（单选题，2分）如图，在△ABC中，∠BAC=110°，AB=AC，AD⊥BC于点D，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠FAD的度数为（）A.20°B.30°C.35°D.70°9.（填空题，2分）若代数式√x−3有意义，则实数x的取值范围是 ___ ．10.（填空题，2分）有下列命题：① 可以在数轴上表示无理数√3；② 若a2＞b2，则a＞b；③ 无理数的相反数还是无理数．其中是真命题的为 ___ （填序号）．11.（填空题，2分）已知三角形的两边长分别为3和5，则这个三角形的第三边长可以是 ___ （写出一个即可）．12.（填空题，2分）如图，点C是线段AB的中点，DA || EC．请你只添加一个条件，使得△DAC≌△ECB．（1）你添加的条件是 ___ ；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）（2）依据所添条件，判定△DAC与△ECB全等的理由是 ___ ．13.（填空题，2分）计算(2√3+√5)(2√3−√5)的结果是 ___ ．14.（填空题，2分）若x2+x-3=0，则代数式(x−1x )•x2x−1的值是 ___ ．15.（填空题，2分）如图，点D是∠AOB的平分线OC上一点，过点D作DE || OB交射线OA 于点E，则线段DE与OE的数量关系为：DE ___ OE（填“＞”或“=”或“＜”）．16.（填空题，2分）如图，在Rt△OA1A2中，∠A1=90°，A2A1=OA1=1，以OA2为直角边作等腰直角△OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角△OA3A4，…，按照此规律作图，则OA4的长度为 ___ ，OA n的长度为___ ．17.（问答题，5分）计算：√27−√83+|√3−1|+(−√3)2．18.（问答题，5分）计算：(√2−√3)2−√2(√6−2√3)．19.（问答题，5分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，点D是△ACB内一点，连接CD，过点C作CE⊥CD且CE=CD，连接AD，BE．求证：AD=BE．20.（问答题，5分）计算：2x−3x−2−x−1x−2．21.（问答题，5分）下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得．作法：如图2，① 以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；② 分别以点A，B为圆心，大于12AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；③ 作直线PQ．直线PQ就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵QA=___ ，PA=PB，∴PQ⊥l（ ___ ）（填推理的依据）．22.（问答题，5分）已知x=2−√2，求代数式(2+10x−3)÷x2−4x−3的值．23.（问答题，6分）解分式方程：x−1x +3x+2=1．24.（问答题，6分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6．AD平分∠CAB交BC于点D．（1）求BC的长；（2）求CD的长．25.（问答题，6分）列方程解应用题．某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？26.（问答题，6分）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：√1−12=√2−12=√12，特例2：√2−25=√2×5−25=√2×(5−1)5=2√25，特例3：√3−310=√3×10−310=√3×(10−1)10=3√310，特例4：√4−417=4√417，特例5：√5−526=___ （填写运算结果）．（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：___ ．（3）证明你的猜想．（4）应用运算规律．① 化简：√10−10101×√2025=___ ；② 若√a−a50=7√7b（a，b均为正整数），则a+b的值为 ___ ．27.（问答题，7分）点P为等边△ABC的边AB延长线上的动点，点B关于直线PC的对称点为D，连接AD．（1）如图1，若BP=AB=2，依题意补全图形，并直接写出线段AD的长度；（2）如图2，线段AD交PC于点E，① 设∠BCP=α，求∠AEC的度数；② 求证：AE=CE+DE．28.（问答题，7分）在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB=6，点P是线段CB上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作直线l⊥CB交AB于点Q．给出如下定义：若在AC边上存在一点M，使得点M关于直线l的对称点N恰好在△ACB的边上，则称点M是△ACB的关于直线l的“反称点”．例如，图1中的点M是△ACB的关于直线l的“反称点”．（1）如图2，若CP=1，点M1，M2，M3，M4在AC边上且AM1=1，AM2=2，AM3=4，AM4=6．在点M1，M2，M3，M4中，是△ACB的关于直线l的“反称点”为 ___ ；（2）若点M是△ACB的关于直线l的“反称点”，恰好使得△ACN是等腰三角形，求AM的长；（3）存在直线l及点M，使得点M是△ACB的关于直线l的“反称点”，直接写出线段CP的取值范围．。
2021-2022学年北京市石景山区八年级(下)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年北京市石景山区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是( )A. 5B. 6C. 7D. 82. 在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A. B.C. D.3. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若DE=4，则BC的长为( )A. 2B. 4C. 8D. 104. 如图是利用平面直角坐标系画出的天安门广场周围的景点分布示意图，若此坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示电报大楼的点的坐标为(−4,0)，表示王府井的点的坐标为(3,1)，则表示下列景点的点的坐标正确的是( )A. 故宫(1,0)B. 中国国家博物馆(1,−1)C. 美术馆(4,2)D. 前门(0,−4.5)5. 用配方法解一元二次方程x2−6x−2=0以下正确的是( )A. (x−3)2=2B. (x−3)2=11C. (x+3)2=11D. (x+3)2=26. 甲、乙两名运动员的8次射击成绩(单位：环)如图所示：甲、乙射击成绩的方差分别为S甲2，S乙2，则S甲2与S乙2的关系为( )A. S甲2>S乙2B. S甲2=S乙2C. S甲2<S乙2D. 无法确定7. 某农场2019年的产值为80万元，通过改进技术，2021年的产值达到96.8万元，求该农场这两年产值的年平均增长率．设该农场这两年产值的年平均增长率为x，根据题意可列方程为( )A. 80(1+x)2=96.8B. 80(1+2x)=96.8C. 80(1−x)2=96.8D. 96.8(1+x)2=808. 如图，用一根长40cm的铁丝围成一个矩形，小石发现矩形的邻边a，b及面积S是三个变量，下面有三个说法：①b是a的函数．②S是a的函数．③a是S的函数．其中所有正确的结论的序号是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，连接AF，CE，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形，这个条件可以是______(写出一个即可)．10. 在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y=kx−3(k≠0)的图象不经过第二象限，则k的取值范围是______．11. 一元二次方程x2−7x+10=0的解为______．12. 一组数据2，1，1，4的方差为______．13. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=40°，则∠BAC=______°.14. 若关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．15. 在平面直角坐标系xOy中，若点A(−1,y1)，B(3,y2)是一次函数y=−5x+b的图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为：y1______y2(填“>”，“=”或“<”)．16. 如图，正方形OA1B1C1的边长为1，以对角线OB1为边作第二个正方形OB1B2C2，再以对角线OB2为边作第三个正方形OB2B3C3，…，则第二个正方形OB1B2C2的面积为______，第n个正方形OB n−1B n C n的面积为______(用含n的代数式表示)．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。
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2020-2021学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）3的算术平方根是（）A．±B．C．﹣D．92．（2分）下列医院log o设计的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）下列事件中，为必然事件的是（）A．明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起B．成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀C．从能被8整除的数中，随机抽取一个数能被2整除D．从10本图书中随机抽取一本是小说4．（2分）代数式在实数范围内有意义的条件是（）A．x＞﹣B．x≠﹣C．x＜﹣D．x≥﹣5．（2分）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（）A．B．C．D．6．（2分）下列式子的变形正确的是（）A．B．＝a+bC．D．＝﹣2n7．（2分）下列说法正确的是（）A．无理数是开方开不尽的数B．一个实数的绝对值总是正数C．不存在绝对值最小的实数D．实数与数轴上的点一一对应8．（2分）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）一个均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是．10．（2分）如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的取值范围为．11．（2分）如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的∠1＝°．12．（2分）将分式约分可得，依据为．13．（2分）若[x]表示实数x的整数部分，例如：[3.5]＝3，则[]＝．14．（2分）如图，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，请添加一个条件，使得△ABE ≌△ACD．这个条件可以为（只填一个条件即可）．15．（2分）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，木柱AB的长用含x的代数式表示为尺，根据题意，可列方程为．16．（2分）有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源．为了更好地开展垃圾分类工作，某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．从中随机抽取部分居民进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为A，B，C，D四个等次，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．下面有四个推断：①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是40；②扇形统计图中，表示C等次的扇形的圆心角的度数为72°；③测试成绩为D等次的居民人数占参测总人数的10%；④测试成绩为A或B等次的居民人数共30人．所有合理推断的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分；第23-27题，每小题5分；28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵QA＝，P A＝，∴PQ⊥l（）（填推理的依据）．18．（5分）计算：﹣+（1﹣π）0．19．（5分）计算：3×﹣+2．20．（5分）解方程：＝1+．21．（5分）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD＝BE．求证：AE＝CD．22．（5分）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使它的腰长为，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共个．23．（6分）已知a2+a＝1，求代数式﹣÷的值．24．（6分）关于x的分式方程＝2的解是负数，求满足条件的整数m的最大值．25．（6分）创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．26．（6分）某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：个数123456789101521人数1168114122112请根据以上表格信息，解答如下问题：（1）分析数据，补全表格信息：平均数众数中位数6（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数．27．（6分）如图，△ABC中，AC＝2AB＝6，BC＝．AC的垂直平分线分别交AC，BC 于点D，E．（1）求BE的长；（2）延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出CM+MN的最小值为．28．（8分）如图1，射线AP∥BQ，分别作∠P AB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．（1）当CD⊥AP时，①补全图1；②若AC＝a，BD＝b，则AB的长为（用含a，b的式子表示）．（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．2020-2021学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）3的算术平方根是（）A．±B．C．﹣D．9【解答】解：3的算术平方根是，故选：B．2．（2分）下列医院log o设计的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：根据轴对称图形的定义，可知选项B是轴对称图形，故选：B．3．（2分）下列事件中，为必然事件的是（）A．明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起B．成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀C．从能被8整除的数中，随机抽取一个数能被2整除D．从10本图书中随机抽取一本是小说【解答】解：A、明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起，是随机事件；B、成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀，是随机事件；C、从能被8整除的数中，随机抽取一个数能被2整除，是必然事件；D、从10本图书中随机抽取一本是小说，是随机事件；故选：C．4．（2分）代数式在实数范围内有意义的条件是（）A．x＞﹣B．x≠﹣C．x＜﹣D．x≥﹣【解答】解：由题意得，2x+1≥0，解得x≥﹣，故选：D．5．（2分）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，故选：B．6．（2分）下列式子的变形正确的是（）A．B．＝a+bC．D．＝﹣2n【解答】解：A、≠，原变形错误，故此选项不符合题意；B、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意；C、＝＝，原变形正确，故此选项符合题意；D、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：C．7．（2分）下列说法正确的是（）A．无理数是开方开不尽的数B．一个实数的绝对值总是正数C．不存在绝对值最小的实数D．实数与数轴上的点一一对应【解答】解：A．无理数不一定是开方开不尽的数，故本选项说法错误；B．一个实数的绝对值总是非负数，故本选项说法错误；C．存在绝对值最小的实数，故本选项说法错误；D．实数与数轴上的点一一对应，故本选项正确；故选：D．8．（2分）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A．B．C．D．【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个直角梯形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个六边形，可得：．故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）一个均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是．【解答】解：∵6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的，∴任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是＝，故答案为：．10．（2分）如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的取值范围为3＜a＜13．【解答】解：由三角形的三边关系可得：8﹣5＜a＜5+8，则3＜a＜13，故答案为：3＜a＜13．11．（2分）如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的∠1＝105°．【解答】解：由题意得，∠2＝60°，∠3＝45°，则∠1＝∠2+∠3＝105°，故答案为：105．12．（2分）将分式约分可得，依据为分式的基本性质．【解答】解：＝（根据分式的基本性质，分式的分子和分母都除以2xy3），故答案为：，分式的基本性质．13．（2分）若[x]表示实数x的整数部分，例如：[3.5]＝3，则[]＝4．【解答】解：∵＜＜，∴4＜＜5，∴[]＝4，故答案为：4．14．（2分）如图，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，请添加一个条件，使得△ABE ≌△ACD．这个条件可以为AB＝AC，∠AEB＝∠ADC，∠B＝∠C（只填一个条件即可）．【解答】解：∵AE＝AD，∠A＝∠A，∴根据SAS，可以添加AB＝AC，使得△ABE≌△ACD，根据ASA，可以添加∠AEB＝∠ADC，使得△ABE≌△ACD，根据AAS，可以添加∠B＝∠C，使得△ABE≌△ACD，故答案为：AB＝AC，∠AEB＝∠ADC，∠B＝∠C．15．（2分）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，木柱AB的长用含x的代数式表示为x尺，根据题意，可列方程为x2﹣（x﹣3）2＝82．【解答】解：设绳索长为x尺，根据题意得：x2﹣（x﹣3）2＝82，故答案为：x；x2﹣（x﹣3）2＝82．16．（2分）有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源．为了更好地开展垃圾分类工作，某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．从中随机抽取部分居民进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为A，B，C，D四个等次，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．下面有四个推断：①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是40；②扇形统计图中，表示C等次的扇形的圆心角的度数为72°；③测试成绩为D等次的居民人数占参测总人数的10%；④测试成绩为A或B等次的居民人数共30人．所有合理推断的序号是①②④．【解答】解：①12÷30%＝40（人），因此调查的人数为40人，即样本容量为40，故①正确；②360°×＝72°，因此②正确；③“B等”频数40×45%＝18（人），“D等”频数为40﹣12﹣18﹣8＝2（人），因此“D等”所占的百分比为2÷40＝5%，故③不正确；④“A等”与“B等”的频数和为12+18＝30（人），因此④正确；综上所述，正确的结论有①②④，故答案为：①②④．三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分；第23-27题，每小题5分；28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵QA＝QB，P A＝PB，∴PQ⊥l（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）（填推理的依据）．【解答】解：（1）补全的图形如图2所示：（2）证明：连接QA，QB．∵QA＝QB，P A＝PB，∴PQ⊥l（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．故答案为：QB；PB；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．18．（5分）计算：﹣+（1﹣π）0．【解答】解：﹣+（1﹣π）0＝3﹣4+1＝0．19．（5分）计算：3×﹣+2．【解答】解：原式＝3﹣2+8＝9﹣2+8＝15．20．（5分）解方程：＝1+．【解答】解：去分母得：x（x﹣3）＝x2﹣9+6，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．21．（5分）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD＝BE．求证：AE＝CD．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ABE＝∠CAD＝180°﹣60°＝120°，在△ABE与△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AE＝CD．22．（5分）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使它的腰长为，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共5个．【解答】解：如图，满足条件的三角形有5个．故答案为5．23．（6分）已知a2+a＝1，求代数式﹣÷的值．【解答】解：原式＝﹣•＝﹣＝﹣＝＝，当a2+a＝1时，原式＝＝﹣2．24．（6分）关于x的分式方程＝2的解是负数，求满足条件的整数m的最大值．【解答】解：解分式方程＝2得x＝m+2，∵关于x的分式方程＝2的解是负数，∴m+2＜0且m+2≠1，解得m＜﹣2，∴满足条件的整数m的最大值是﹣3．25．（6分）创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x棵，依题意，得：﹣＝4，解得：x＝200，经检验．x＝200是原方程的解，答：原计划每天植树200棵．26．（6分）某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：个数123456789101521人数1168114122112请根据以上表格信息，解答如下问题：（1）分析数据，补全表格信息：平均数众数中位数655（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数．【解答】解：（1）∵5个出现了11次，出现的次数最多，∴众数为5个，把这些数从小到大排列，中位数是第20、21个数的平均数，则中位数为＝5（个）．故答案为：5，5；（2）用中位数或众数5个作为合格标准次数较为合适，因为5个大部分同学都能达到．（3）根据题意得：8000×＝4800（人）．答：该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数有4800人．27．（6分）如图，△ABC中，AC＝2AB＝6，BC＝．AC的垂直平分线分别交AC，BC 于点D，E．（1）求BE的长；（2）延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出CM+MN的最小值为3．【解答】解：（1）∵AB＝3，AC＝6，BC＝3，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∵sin∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，∵ED垂直平分线段AC，∴AD＝CD＝3，∴CE＝＝2，∴BE＝BC﹣CE＝．（2）连接AE，延长AE交CF于H，∵CB，FD是△ACF的高，∴AH也是高，∵FD垂直平分线段AC，∴CM＝AM，∴CM+MN＝AM+MN，∵AM+MN≥AH，∵AH＝AC•sin60°＝3，∴CM+MN≥3，∴CM+MN的最小值为3，故答案为：3．28．（8分）如图1，射线AP∥BQ，分别作∠P AB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．（1）当CD⊥AP时，①补全图1；②若AC＝a，BD＝b，则AB的长为a+b（用含a，b的式子表示）．（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）①如图1所示，②过O作OE⊥AB于E，∵OA平分∠BAC，OB平分∠ABD，OC⊥AP，OD⊥BQ，OE⊥AB，∴OE＝OD，OE＝OC，∴BE＝BD，AE＝AC，∴AB＝AE+BE＝AC+BD＝a+b，故答案为：a+b；（2）当点D在点B的右侧时，AB＝AC+BD，理由如下：过O作OE⊥AB于E，MN⊥AP于M，N，如图2，由（1）知AB＝AM+BN，OE＝OM＝ON，AM＝AE，BE＝BN，∵AP∥BQ，∴∠MCO＝∠NDO，在△OCM与△ODN中，，∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC＝OD，DN＝MC，∴AC+BD＝AM+MC+BD＝AM+MC+BN﹣DN＝AM+BN＝AE+EB＝AB．当点D在点B的左侧时，AB＝AC﹣BD，综上所述，AB＝AC+BD或AB＝AC﹣BD．。