复变函数期末复习提纲+习题详解

复数可以表示成
z re i
称为复数 z 的指数表示式.
课后习题
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4.复数的乘幂与方根
1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
若 z1 r1 (cos 1 i sin 1） ,
z2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
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若函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在点 z x yi 处 可导 , 则其导数公式 :
u v u u f ( z ) i i x x x y v u v v i i . y y y x
(其中 y arctan ) 2 x 2
x 0, x 0, y 0, x 0, y 0, x 0 , y 0.
6
（3）三角表示法
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
复数可以表示成 z r (cos i sin ) （4）指数表示法 利用欧拉公式 e i cos i sin ,
则有
z1 z2 r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )] Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
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几何意义
从几何上看, 两复数对应的向量分别为 z1 , z2 , z 先把 z1 按逆时针方向 y

旋转一个角 2 ,
定理 2 函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在其定义 域 D 内解析的充要条件是 : u( x , y )与 v ( x , y ) 在 D 内可微 , 并且满足柯西－黎曼方 程.
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4)解析函数的判定方法
(a ) 如果能用求导公式与求 导法则证实复变函 数 f ( z ) 的导数在区域 D 内处处存在 , 则可根据 解析函数的定义断定 f ( z ) 在 D 内是解析的 .
(b)棣莫佛公式 (cos i sin )n cos n i sin n .
(c) 计算方程 w n z 的根 w , 其中 z 为已知复数 .
2kπ 2kπ w z r cos i sin n n
n
1 n
课后习题
( k 0,1,2,, n 1)
(6) { f [ g ( z )]} f ( w ) g( z ). 其中 w g ( z )
1 ( 7 ) f ( z ) , 其中 w f ( z )与z ( w )是 ( w ) 两个互为反函数的单值 函数, 且 ( w ) 0
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2. 解析函数
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2)可导与连续 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 3)求导公式与法则 (1) (c ) 0, 其中c为复常数 .
( 2) ( z n ) nz n1 , 其中n为正整数 . ( 3) [ f ( z ) g ( z )] f ( z ) g( z ).
有界的单连通域.
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7. 复变函数的概念
(1)复变函数的定义 (2) 映射的定义
8.复变函数的极限
函数极限的定义
记作 lim f ( z ) A. (或 f ( z ) A)
z z0
z z0
注意: 定义中 z z0 的方式是任意的 .
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9.复变函数的连续性
（1）连续的定义 连续的充要条件 函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在z0 x0 iy0
2. 复数的代数运算
1) 两复数的和
2) 两复数的积
3) 两复数的商
2
4)共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数.
与 z 共轭的复数记为 z , 若 z x iy , 则 z x iy .
共轭复数的性质
(1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ;
(9) 光滑曲线 (10) 单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕的域.
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例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还 是无界的,单连通的还是多连通的. 1 2 (1) Re( z Hale Waihona Puke Baidu 1; (2) arg z ; (3) 3; 3 z
(4) z 1 z 1 4; (5) z 1 z 1 1.
第一章
复数与复变函数
一、重点与难点
重点：1. 复数运算和各种表示法
2. 复变函数以及映射的概念
难点：1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域
2. 映射的概念
1
1.复数的概念
对于任意两实数 x , y , 我们称 z x yi 或 z x iy 为复数 .
其中 x , y 分别称为 z 的实部和虚部 ,
Arg z 1 2kπ ( k为任意整数 ).
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辐角的主值 在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的 0
称为 Argz 的主值 , 记作 0 arg z . y arctan , x z0 , 辐角的主值 arg z 2 y arctan , x ,
(b ) 如果复变函数 f ( z ) u iv 中 u, v 在 D 内 的各一阶偏导数都存在 、连续(因而 u, v可微 ) 并满足 C R 方程 , 那末根据解析函数的充 要 条件可以断定 f ( z ) 在 D 内解析 .
z2 z2 z2 , Arg Argz2 Argz1 . z1 z1 z1
z2 r2 i ( 2 1 ) . z2 r2e , 则 e z1 r1
i 2
设复数 z1和z2的指数形式分别为
z1 r1e ,
i 1
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2) 幂与根
(a) n次幂:
对于任何正整数 n, 有 z n r n (cos n i sin n ).
1 ( 3) 3 z
1 1 3 z , z 3 1 是以原点为中心 , 半径为 3 的圆的外部 , 无界的多连通域.
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( 4) z 1 z 1 4 z 1 z 1 4
表示到1, –1的距离之 和为定值4的点的轨迹,
是椭圆,
z 1 z 1 4表示该椭圆内部 ,
连续的充要条件是 : u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 处连续 .
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第二章
一、重点与难点
解析函数
重点：1. 解析函数的概念；
2. 函数解析性的判别
难点：1. 解析函数的概念；
2. 初等函数中的多值函数及主值的概念
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1. 复变函数的导数与微分
1）导数的定义 设函数 w f ( z )定义于区域 D, z0为D中的一
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( 4)
f ( z ) g( z )

f ( z ) g ( z ) f ( z ) g( z ).
f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z )
解 (1) 当 z x iy 时,
Re( z 2 ) x 2 y 2 ,
Re( z 2 ) 1 x 2 y 2 1,
无界的单连通域(如图).
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( 2) arg z 3 arg z arg z , 3 3 3
是角形域, 无界的单连通域(如图).
1)定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导, 那末称 f ( z ) 在 z0 解析.
函数 f ( z ) 在 z0点可 导 ， 与f ( z ) 在 z0 解析不等价.
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析 , 则称 f ( z )在 区域 D内解析 . 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数 (全纯函数或正则函数 ).
4
复数的辐角
在 z 0 的情况下 , 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量 OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz . 当 z 0 时, z 0, 而辐角不确定 .
任何一个复数 z 0有无穷多个辐角.
如果 1 是其中一个辐角, 那么 z 的全部辐角为
函数 w f ( h) 在 h 平面上的区域 G 内解析 . 如果 对 D 内的每一个点 z , 函数 g ( z ) 的对应值 h 都属 于 G , 那末复合函数 w f [ g ( z )] 在 D 内解析 . (c) 所有多项式在复平面内处处解析. (d ) 任何一个有理分式函数 P ( z ) Q( z ) 在不含分母
函数 f ( z ) 在区域D内可 导 ， 与f ( z ) 在区域D内解析等价.
如果函数 f ( z ) 在 z0 不解析, 那么称 z0 为 f ( z ) 的奇点.
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2)性质 (a ) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g ( z ) 的
和、差、积、商 (除去分母为零的点 )在 D 内解析 . (b ) 设函数 h g ( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析 ,
y
y
z x iy
P( x, y)
复数的模(或绝对值) o 向量的长度称为 z 的模或绝对值 ,
2 2
z r
x
x
记为 z r x y . 模的性质 2 x z , y z , z x y , z z z z2 . 三角不等式 (1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
为零的点的区域内解析 , 使分母为零的点是它的 奇 点.
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3)可导与解析的判定
柯西－黎曼条件 (C R条件 )
定理1 设函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区 域D 内, 则 f ( z ) 在 D内一点 z x yi 可导的充要 条件是 : u( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微 , 并且在 该点满足柯西－黎曼方 程 u v u v , . x y y x
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5.曲线与区域
(1) 邻域 (2) 内点 (3) 开集 (4) 区域 如果平面点集D满足以下两个条件, 则称 它为一个区域. (a) D是一个开集； (b) D是连通的,即D中任何两点都可以用完全 属于D的一条折线连结起来.
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(5) 边界点、边界 (6) 闭区域 (7)有界区域和无界区域 (8) 简单曲线 简单闭曲线的性质 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成 三个互不相交的点集.
z1 z1 ; z2 z2
课后习题
( 2) z z; ( 3) z z Re( z )2 Im( z )2 ; (4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ).
3
3.复数的其它表示法
（1）几何表示法 （2）向量表示法
r

o

z1

再把它的模扩大到 r2 倍, 所得向量 z 就表示积 z1 z2 .
r1
1 2
r2
z2
x
复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.
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两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
若
则有
z1 r1 (cos 1 i sin 1） , z2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
点,点z0 z不出D的范围, 如果极限 f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z 存在, 那么就称 f ( z )在z0可导.这个极限值称为 f ( z ) 在z0的导数 , 记作 dw f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z 0 ) lim . dz z z 0 z 0 z