复变函数期末复习提纲+习题详解
【绝对有用】复变函数与积分变换复习提纲
cn 是 c
cn 为边界的区域全含于 D 内，则
c
f z dz f z dz,
k 1 ck
n
其中 c 与 ck 均取正向；
1
②
f z dz 0 ，其中 由 c 及 c
(k 1, 2,
n) 所组成的复合闭路。
4
3．闭路变形原理 ：
一个在区域 D 内的解析函数 f z 沿闭曲线 c 的积分，不因 c 在 D 内作连续
y 之间的关系如下： x y 当 x 0, arg z arctan ； x
y 0, arg z arctan 当 x 0, y 0, arg z arctan
y x ； y x
4）三角表示： z z cos i sin ，其中 arg z ；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示： z z e ，其中 arg z 。
6 ．高阶导数公式：解析函数 f z 的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为
f z 2 i n dz f z0 n 1 c (z z ) n! 0
(n 1, 2 )
其中 c 为 f z 的解析区域 D 内围绕 z 0 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于 D 。 7．重要结论：
bz
。
eiz eiz eiz eiz sin z cos z , cos z , t gz , ctgz 2i 2 cos z sin z
sin z, cos z 在 z 平面内解析，且 sin z cos z, cos z sin z
5
复变函数复习提纲
复变函数复习提纲一.填空题1) 复数1+i 的指数形式是ei42π，复数1-i 的指数形式是ei 42π-2)=-38⎪⎭⎫ ⎝⎛+++32sin 32cos 2ππππk k ()2,1,0=k3) cos （i π）=2e eππ+- sin （i π）=2e eππ--4) Lni=i k i k i πππ⎪⎭⎫⎝⎛+=+24122 ),1,0( ±=k 5)21i+ 的主值为()2ln sin 2ln cos 2ln i e +，21i - 的主值为()2ln sin 2ln cos 2ln i e - 6) 设a 为围线C 内部的一点，则=-⎰Caz dzi π2 7) 幂级数∑∞=12n n nz 的收敛半径为 18) 函数ez的泰勒展式为 +++++!!212n z zzn)(+∞<z9) 如果函数()z f w =在区域D 内 可微 则称()z f 为区域D 内的解析函数 10) 柯西积分定理:设()z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析,C 为D 内任一条围线,则()0=⎰Cdz z f11）函数cosz 的泰勒展式为()()∑-∞=02!21n nnn z ()+∞<z12）柯西积分公式:设区域D 的边界是围线（或复围线）C ，()z f 在D 内解析,在C D D +=上 连续，则有 ()()⎰-=ζζζπd zf i z f 21 ()D z ∈二. 证明函数()z z f =在z 平面上任何点都不解析. 证明: ()yx z z f 22+==∴()yx y x u 22,+=()0,=y x v 当()()0,0,≠y x 时yx yx yyu xxu2222,+=∂∂+=∂∂yvx v ∂∂==∂∂0 ∴xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,不能同时成立 ∴ 函数在平面上的任何点都不解析三. 求cosz-1的全部零点，并指出它们的级.解：cosz-1在z 平面上解析.由cosz-1=0得2=+-eeiziz即()1,012==-e e iziz故 πk z 2= () ,1,0±=k 这就是cosz-1在z 平面上的全部零点，全为二级.四. 将函数()()()211--=z z z f 分别在(1)圆z <1;(2)圆环1<z <2内展开成罗朗级数.解: 函数()()()211--=z z z f =1121---z z (1) 在圆z <1内.因,21<<z 即12<z ∴()z n n n z z z f ∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=01211212111(2)在圆环1<z <2内.因12,11<<z z ∴()()()211--=z z z f=zz z 111121121----=∑∑∞=-∞=--11011212n n n n nzz z=∑∑∞=∞=+--1112n nn n nzz五.设()()1225--=z zz z f 分别计算(1) ()z f s z 0Re = (2) ()z f s z 1Re =解:不难知道z=0及 z=1分别为函数()()1225--=z zz z f 的一级和二级极点∴()z f s z 0Re ==()221250-=--=z z z∴ ()z f s z 1Re ==22'22511====⎪⎭⎫ ⎝⎛-zz z z z六． 利用残数定理求积分dz zz z⎰=13cos解: 函数()zzz f 3cos =只以z=0为三级极点()z f s z 0Re ==[]21"!21cos 0-==z z ∴dz zz z⎰=13cos =i i ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-212七．求出将单位圆1<z 保形变换成单位圆1<w 的线性变换,并使a z =()0,1≠<a a 变到0=w .解:根据线性变换保对称点的性质,点a 关于单位圆周1=z 的对称点aa1*=,应该变成0=w 关于单位圆周1=w 的对称点∞=w ,因此所求变换具有形式az az kw 1--= 即 az a z w k --=11 其中a k k=1是常数.选择k 1,使得z=1变成单位圆周1=w 上的点,于是1111=--a ak 即11=k因此可令e k i β=1(β是常数),最后得到所求的变换为()11<--=a azaz w ei β的留数。
复变函数重点知识点及典型例题的多种解题方法
( z1 z1 )( z2 z2 ) z1 z2 .
(2) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )
2
z1 z1 z2 z2 z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2 z1 z2
11
21
例2 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?
y
解 (1) Im z 3, 是一条平行于实轴的直线, 不是区域.
-3 -2 -1
6 5 4 3 2 1 x
1
2
3
(2) Re z 2,
以 Re z 2 为右界的半平面 (不包括直线 Re z 2 ),
(其中 y arctan ) 2 x 2
3
当z落于一,四象限时，不变。
。 当z落于第三象限时，减 。
当z落ห้องสมุดไป่ตู้第二象限时，加
y arctan 2 x 2
5. 复数和差的模的性质
因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
(1) z1 z2 z1 z2 ;
12
1 例1 已知 z1 (1 3i ), z2 sin i cos , 2 3 3 z1 求 z1 z2 和 . z2 解 因为 z1 cos i sin , 3 3 z2 cos i sin , 6 6 i , 所以 z1 z2 cos i sin 3 6 3 6 z1 3 1 i. cos i sin z2 3 6 3 6 2 2
复变函数期末复习摘要
第一章 复数与复变函数1，复数的模、辐角及主值辐角：ArgZ=argZ+2k π k=0、±1、±2…主值： x y arctan当x>0,R y ∈（第一、四象限） 2π 当x=0,y>0 （正虚部） argz= π+xy arctan 当x<0，y>0 （第二象限） π-xy arctan 当x<0，y<0（第三象限） 2π- 当x=0，y<0时 2，复数方程所表示的曲线①1052=+++Z Z 的距离到表示11Z Z Z Z -解：由题知，动点到定点的距离为10，所以，该方程表示的曲线为椭圆②11+=-Z Z解：由题知，方程所表示的曲线为Y 轴3,21Z Z = −→−否 1Z Z =↓21Z Z = 4，复变函数：i y x v y x u z f ),(),()(+=分别连续、连续),(),()(y x v y x u z f ⇔5，复平面三点共线：3121z z z z --实数= 第二章 解析函数点的导数在0)(z z f y =zz f z z f z f z ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000' 点的某邻域内可微在点解析在00)()(z z f z z f ⇔ 1，点解析在可微点连续在否否00)()()(z z f z f z z f −−←−−←−→−−→− 2，可微在点满足柯西黎曼方程在否00)()(z z f z z f −→−−−←3，Rez （实部）、Imz （虚部）、Z 、Z 不解析4，可能不解析解析，)()(z f z f5，在区域D 内，内解析在的共轭调和函数，则是D i y x v y x u z f y x u y x v ),(),()(),(),(+=6，i e e z iz iz 2sin --=，2cos iziz e e z --=是周期函数，π2=T z e 为周期函数，i T π2= 7，z e ∞→z lim 、z z sin lim ∞→、z z cos lim ∞→ 不存在 8，z sin 、cosz 在复平面上（或Z 平面上）无界 ie e i e e zi i i i i 22sin 22)2(2-=-=--∙∙ 9，)2(arg ln ln πk z i z z W ++== k=0、±1、±2… eg:πππππ)12()2(1ln )2(1ln )1ln(+=++=++-=-k i k k i10，会解一些方程 eg:01=-z e 求z解：由题知1=z e 两边同时取对数 得i k z π21ln ==11，判断函数的可微性与解析性①，y ix xy z f 22)(+= ②，22)(iy x z f +=解：2),(xy y x u = y x y x v 2),(= 解：2),(x y x u = 2),(y y x v = 2y u x =xy u y 2= xy v x 2= 2x v y = x u x 2= 0=y u 0=x v y v y 2= 根据C-R 方程，y x v u = x y v u -= 根据C-R 方程，y x v u = x y v u -=即22y x = xy xy 22-= ∴0=x ，0=y 即y x 22= 00= ∴y x = ∴)(z f 仅在原点可微，无解析点 ∴)(z f 在直线0=-y x 上可微不解析12，设5z W =，确定在从原点0=z 起与正实轴割破了的Z 平面上，并且1)1(-=-W ，试求)(i W -的值解：设θi re z =，则5255πk i i e r re W +==θθ k=0、±1、±2…C z ∈，π2arg 0≤≤z 当1-=z 时，1=r ，π=θ由211)1(525=⇒-==-+k e W k i ππ当i z -=时，1=r ，π23=θ i k i e e i W 10522351)(πππ-==-+ 教材P93 第22题第三章 复积分1，计算积分dz ix y x ⎰+-c2)(，积分路径C 是0到i +1的直线段 解：找出C 的方程：C 的参数方程t i t z )1()(+= 10≤≤t故⎰⎰⎰+=++-=+-102102c 2)1()1()()(dt t i i dt i it t t dz ix y x )1(313)1(102i t i +-=+-= eg:①i i z zdz ii 2232)2(2220220+=+==++⎰ ②i z zdz i isin sin cos 00==⎰2，柯西积分定理设)(z f 在单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则⎰=cdz z f 0)( eg:①0sin 1=⎰=z zdz ②012722=+-⎰=dz z z e z z3，柯西积分公式)(2)(a if dz a z z f c π=-⎰ a 为区域C 内的一点 高阶导数公式⎰∙=-+c n n i n z f dz a z z f π2!)()()()(1 eg:①⎰=++1252z z z dz解：i z z z z 2104)1(5222±-=⇒=++=++ ∴5=z >1 在1=z 外∴ ⎰=++1252z z z dz 0= ②0sin 2sin 2==⎰=θπdz zz z ③0)(cos !22)2(cos 2''23==-==⎰πππz z z i dz z z④i z z I z z z dz z z z z z z 49219)1)(9(122222222ππ=-=--=--===⎰⎰ ⑤2sin 212sin 212cos 00i z dz z ii ==⎰ ⑥320)3()2(2020232=+=+⎰z z dz z z 4，调和函数证明：22),(y x y x u -=为z 平面上的调和函数，并求以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ，结合条件0)0(=f解：x u x 2=，y u y 2-=，2=xx u ，2-=yy u0=+yy xx u u ),(y x u ∴为Z 平面上的调和函数i y x v y x u z f ),(),()(+= y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ ⎰⎰+=+=+=)(2)(2)(),(y xy y ydx y dx v y x v x ϕϕϕ0)(2)(2''=⇒==+=y x u y x v x y ϕϕ 即c y =)('ϕ c xy y x v +=∴2),()2()(22c xy i y x z f ++-=∴ 令0=y 则ic x x f +=2)( ic z z f +=∴2)(由00)0(=⇒=c f 2)(z z f =∴ 教材P143 第16题①②第四章 解析函数的幂级数表示法1，收敛半径①，∑∞=13n nn z 的收敛半径 R=131n C n = 1lim 1==+∞→nn n C C L 11==∴L R ②，∑∞=0n nnz 的收敛半径是 R=1③，∑∞=-02)!2()1(n nn n z 的和函数的收敛半径 R=+∞0)!2()1())!1(2()1(lim 1=-+-=+∞→n n L nn n +∞==∴LR 1 常用级数 ① +++=!212z z e z +∞<z ②∑∞=-=02)!2()1(cos n nn n z z +∞<z ③∑∞=++-=012)!12()1(sin n n n n z z+∞<z ④ ++-=+32)1ln(22z z z z 1<z。
复变函数习题及答案解释
第一篇 复变函数第一章 复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.（1） 72)52)(43(ii i −+；（2） .4218i i i +−2. 当x ，y 等于什么实数时，等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立？3.证明：（1）;2z z z = （2）1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值： （1）();35i −（2）().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ，证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围：（1）;65=−z（2）;12≥+i z（3）.i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域，并指出它是有界的还是无界的： （1）;32≤≤z（2）.141+<−z z9.将方程tt z 1+=（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章 复习题1.单项选择题（1）设iy x z +=，y x ≠||，4z 为实数，则（ ）.A ．0=xy B.0=+y x C ．0=−y x D.022=−y x（2）关于复数幅角的运算，下列等式中正确的是（ ）. A ．Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C ．2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += （3）=+31i （ ）.A ．ie 62πB.ie 62π−C ．ie 62π± D.i e62π±（4）2210<++<i z 表示（ ）. A ．开集、非区域 B.单连通区域 C ．多连通区域 D.闭区域（5）z i z f =−1，则()=+i f 1（ ）.A ．1 B.21i+ C ．21i− D.i −1 （6）若方程1−=z e ，则此方程的解集为（ ）.A ．空集 B.π)12(−=k z ，（k 为整数） C ．i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立？3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −，)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−，i i e41π+，i 3和ii )1(+值.第二章 导数1．下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域，并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f（3）(),dcz baz z f ++=（d c ,中至少有一个不为0）.3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值.4.证明：如果()z f 在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那么是常数. （1）()z f 恒取实值. （2）)(z f 在区域D 内解析. （3）()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在？（1）())Re(z z f =；（2）())Im(z z f =.6.证明；,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章 复习题1.单项选择题（1）函数()z f w =在点0z 可导是可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（2）函数()z f w =在点0z 可导是连续的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（3）函数()),(),(y x iv y x u z f +=，则在()00,y x 点，v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（4）函数()22ix xy z f −=，那么（ ）. A ．()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C ．()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导（5）若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ，,),(xy y x v =()iv u z f +=，则()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C ．()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微（6）若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=， 那么()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C ．()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ （7）函数()z z z f = ，则（ ）. A ．()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C ．()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导（8）设()34−=′z z f ，且()i i f 31−=+，则()=z f （ ）.A ． i z z −−322 B. i z z 3322+− C ．i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域，并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点，而()z g 在0z 解析，那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数，那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章 积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .（1）自原点至1+i 的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i ；（3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫，其中C 为正向圆周，2=z .4.计算下列积分 ，其中C 为正向圆周，1=z . （1）;21dz z C ∫− （2）;4212dz z z C ∫++（3）;cos 1dz zC ∫ （4）;211dz z C∫−（5）;dz ze Cz ∫（6）().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分：（1）dz z C ∫−21，C ：12=−z ；（2）dz a z C ∫−221，C: a a z =−；（3）,3dz z zC ∫− C ：2=z ；（4）()()dz z z C∫++41122，C ：23=z ；（5）dz zzC ∫sin ，C ：1=z ； （6）dz z zC∫−22sin π，C ：2=z .6.计算下列各题： （1）∫−ii z dz e ππ32；（2）∫−iizdz ππ2sin ；（3）.)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分：（1）dz i z z C ∫+++2314，C ：4=z ，正向； （2）dz z iC ∫+122，C ：61=−z ，正向； （3）,cos 213dz z zC C C ∫+= 1C ：2=z ，正向，2C ：3=z ，负向；（4）dz i z C ∫−1，C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形； （5）()dz a z eC z∫−3；其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z ，正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线，a 为不等于0的任何复数，试就a 与a −跟C 的各种不同位置，计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章 复习题1.单项选择题.（1）设C 为θi e z =，θ从2π−到2π的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．i B.2i C ．-2i D.- i（2）设C 是从0=z 到i z +=1的直线段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1+i B.21i+ C ．i e4π− D. ie 4π（3）设C 为θi e z =，θ从0到π的一段，则=∫Czdz arg （ ）.A ．i 2−−π B. π− C ．i 2+π D. i 2−π（4）设C 为t i z )1(−=，t 从1到0的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1 B.-1 C ．i D.- i（5）设C 为1=z 的上半部分逆时针方向，则=−∫Cdz z )1(（ ）.A ．2i B.2 C ．-2i D.- 2（6）设C 为θi e z 21=，正向，则=−∫C z dz e e zsin （ ）.A ．sin1 B.e i 1sin 2π C ．e i 1sin 2π− D.0（7）=++∫=dz z z z 12221（ ）.A ．i π2 B.i π2− C ．0 D.π2 （8）设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度，则=+∫C dz z )1sin(（ ）.A ．0 B.2cos − C ．12cos − D. 12cos − （9）=++∫=+dz z z e z z 232)1(232（ ）. A ．0 B.i π32C ．i π2 D. i π2−（10）=++∫=dz z z zz 121682cos π（ ）A ．0 B.i π C ．i π− D. i π2.（11）=+∫=dz z zz 221（ ）.A ．0 B.i π2 C ．i π2− D. i π（12）=∫=dz z e z z12（ ）.A ．i π2 B. i π C ．0 D. π （13）1322z z z e dz ==∫（ ）.A ．i π2 B. i π16 C ．i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12，其中Γ是圆环域：221≤≤z 的边界.3.（1）证明：当C 为任何不经过原点的闭曲线时，则;012=∫dz zC（2）沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C（3）沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C ：2=z ，试求()i f ，()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C ：.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ，求().z f ′第四章 级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径：()为正整数）；p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内；在以i z i z z =−,142第四章 复习题1.单项选择题：()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛，能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章 留数1.判断下列函数奇点的类型，如果是极点，指出它的阶数：()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分（利用留数，圆周均取正向）.();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点？并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值，如果：求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分，C 为正向圆周：()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分：();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章 复习题1.单项选择题：()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型，并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题：(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为（）. (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).Ａ. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域 Ｂ. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题：1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇 积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章：,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.（1）以z =5为圆心，6为半径的圆；（2）以z =-2i 为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部；（3）i 和i 两点的连线的中垂线. 8.（1）圆环形闭区域，有界； （2）中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域，无界. 9．xy =1。
复变函数复习提纲
复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题（一）三 . 计算题（ 40 分）：dz1、|z z 0 | 1 ( z z )n__________. （ n 为自然数）f ( z)12.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z 2 1 ，则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n，则 nn ______________.Res(ez8.n,0)z________，其中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若zlimf (z) ___是f (z) 的极点，则z z.1. 设( z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}内的罗朗展式 .1dz.2.|z| 1cos zf ( z) 3 2 71，其中 C { z :| z |3} ，试求 f '(1 i ).3.d设Czwz 14. 求复数 z 1 的实部与虚部 .四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数， 那么它在 D 内为常数 .2. 试证 :f (z)z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1 的值 .《复变函数》考试试题（二）二. 填空题 . (20 分)1.设z i ，则| z |__,arg z__, z__2.设 f ( z)(x2 2 xy) i (1 sin( x2y2 ), z x iy C，则lim f (z)________.z1idz_________. （n为自然数）3.|z z0 |1 ( z z )n4.幂级数nz n的收敛半径为 __________ .n05.若 z0是 f(z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f ' ( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.18.设 f ( z)1z2，则 f ( z) 的孤立奇点有_________.9.函数 f (z)| z |的不解析点之集为________.10.Res( z41,1)____ . z三.计算题 . (40 分)1.求函数sin(2z3)的幂级数展开式 .2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i 处的值.计算积分： Ii1）单位圆（| z |1）3.| z | dz，积分路径为（i的右半圆 .sin zdzz22( z)4.求2.四. 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z) 在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z)在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（三）二. 填空题 .(20 分)11.设 f ( z)，则f(z)的定义域为___________.z212.函数 e z的周期为_________.3.若 z nn 2 i (1 1 )n，则 lim z n __________.1 nn n4. sin 2 z cos 2z___________.dz5.|z z 0 | 1 ( z z )n_________. （ n 为自然数）6.幂级数nx n的收敛半径为 __________.n 07.设f (z)1，则 f ( z ) 的孤立奇点有 __________.z218. 设ez1，则 z___ .9.若z 0 是 f (z) 的极点，则 limf ( z) ___ .z z 010.Res( e z,0)____.z n三. 计算题 . (40分)11.将函数 f ( z)z 2e z在圆环域 0z内展为 Laurent 级数 .n!n2. 试求幂级数nnz的收敛半径 .n3. 算下列积分：e zdz，其中C 是| z| 1.Cz 2 (z29)4. 求z 9 2z 6z28z 2 0 在 | z |<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及 M ，使得当| z|R 时| f (z) |M | z |n ，证明f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数期末复习提要
2
2π i lim[( z z1 )
z z1
2i ] ( z z1 )( z z 2 )
残数在计算某些实积分上的应用
2π a2 1
（7.10）
n P( x) P( z ) d x 2 π i Res( , zj) Q ( x ) Q( z ) j 1
Res(
ei z ei z , a i ) lim ( z a i ) z a i ( z a i)( z a i) z2 a2 e a 2a i
最后，由（7.11）式得
ei x ei z d x 2 π i Res ( , a i) x 2 a 2 z2 a2 π a ae
z
1 4
5z 2 z 1 dz z
(
5z 2 ) z 1 z 0
2
注意 ： 这里的积分路径的半径并非只能取 件． 解法 2 因点 z 0 为 f ( z ) 的孤立奇点，所以，在 N * (0 , ) : 0 z
1 ，只须使半径小于 1 即可满足定义 7.1 的条 4 1 3 1 内有 3
x2 dx ． 例 4 计算积分 x 4 x 2 1
解
经验证，此积分可用（7.10）式计算．
首先，求出
P( z ) z2 4 在上半平面的全部奇点．令 Q( z ) z z 2 1
z4 z2 1 0
即
z 4 z 2 1 ( z 4 2 z 2 1) z 2 ( z 2 1) 2 z 2 ( z 2 z 1)( z 2 z 1)
4
Res( f , a )
复变函数与积分变换复习提纲(仅供参考)
例18 设f(z)= sin z ，则Res［f(z),0］=______ z
例19
1
Res e z ,
0 =
.
例20
z=i是f(z)=
(z 2
1 1)2
的____________
（填孤立奇点的类型(若是极点说明其级数)）
例21
设函数
f
(z)
e iz (z 2 1) 2
虚部，已知虚部会求实部)
第四章：重点是展开级数，求收敛域，求和函数
1. 理解复数列级数的概念，理解泰勒，罗朗级数的定义 2. 掌握幂级数求法，求收敛半径(比值和根值判别法) 3. 使用已知级数(识记五种简单级数展开式)和间接法展开泰
勒级数和罗朗级数(P117定理四)，注意在不同点展开后是 不一样的。收敛域的求法。
1 z
的实部，虚部和模。
z 例3
函数 w 1 将 z
平面上的曲线
(x 1)2 y 2 1 变成 w 平面上的曲线
是________.
例4 若 (1 i)n (1 i)n
试求n的值
例5 设 z rei , 试证
Re[ln(z 1)] 1 ln(1 r 2 2r cos )
1. 理解拉普拉斯变换的概念 2. 灵活应用拉普拉斯变换的性质(4条)和卷积定理来求拉普拉
斯变换，以及理解用留数定理求拉普拉斯逆变换的方法 3. 掌握微分和积分方程的拉普拉斯解法 4. 熟记若干简单的函数的拉普拉斯变换(拉普拉斯逆变换)
例1 计算 3 8
例2 求复数 1 z (复数z 1)
在上半平面的所有孤立奇点；
（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数； （3）利用以上结果计算积分
复变函数与积分变换复习重点及 习题
双曲函数 shz ez ez , chz ez ez ；
2
2
shz 奇函数， chz 是偶函数。 shz, chz 在 z 平面内解析，且 shz chz,chz shz 。
（四）解析函数的概念
1．复变函数的导数
1）点可导：
f
z0
=
lim
z 0
f
z0
z
z
f
z0
；
2）区域可导： f z 在区域内点点可导。
c
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西—古萨基本定理：设 f z 在单连域 B 内解析， c 为 B 内任一闭曲线，则
f z dz 0
c
6
2．复合闭路定理： 设 f z 在多连域 D 内解析，c 为 D 内任意一条简单闭曲线，c1, c2, cn 是 c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以 c1, c2, cn 为
复变函数与积分变换期末考试复习知识点
(一)复数的概念
1.复数的概念： z x iy ， x, y 是实数, x Re z , y Im z . i2 1.
注：两个复数不能比较大小.
2.复数的表示
1）模： z x2 y2 ；
2）幅角：在 z 0 时，矢量与 x 轴正向的夹角，记为 Arg z （多值函数）；主值 arg z 是位于 ( , ] 中的幅角。
2 i n!
f
n z0
n
曲线 c 内有多于一个奇点： f z dz
f z dz （ ci 内只有一个奇点 zk ）
c
k 1 ck
n
或： f z dz 2i Re s[ f (z), zk] （留数基本定理）
复变函数复习题详细答案
复变函数复习题详细答案复变函数复习题详细答案如下：1. 复数的代数形式和几何解释复数 \( z = a + bi \) 可以表示为平面上的一个点 \( (a, b) \)，其中 \( a \) 是实部，\( b \) 是虚部。
复数的模 \( |z| \) 表示该点到原点的距离，即 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
2. 复数的运算两个复数 \( z_1 = a + bi \) 和 \( z_2 = c + di \) 的加法和乘法运算如下：\[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]\[ z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]3. 复数的共轭和模复数 \( z = a + bi \) 的共轭为 \( \overline{z} = a - bi \)，模为 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
4. 复数的指数形式复数 \( z \) 可以表示为指数形式 \( z = re^{i\theta} \)，其中\( r = |z| \) 是模，\( \theta \) 是 \( z \) 的辐角，满足\( \cos\theta = \frac{a}{r} \) 和 \( \sin\theta = \frac{b}{r} \)。
5. 复数的对数复数 \( z \) 的对数定义为 \( \log z = \log r + i\theta \)，其中 \( r = |z| \)，\( \theta \) 是 \( z \) 的主辐角。
6. 复数的导数设 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 是复函数，其中 \( z = x +iy \)，则 \( f(z) \) 的导数为：\[ f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partialv}{\partial x} \]前提是 \( u \) 和 \( v \) 的偏导数满足柯西-黎曼方程。
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数复习考试提纲
• 复数的三角（指数）表示以及复数的几何意义
z = x + iy = r (cos θ + i sin θ) = reiθ θ = Argz = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .
y
y
z
r
.θ O
xx
• 复数辐角主值的取值范围：−π < θ0 ≤ π. 辐角主值的计算方法（采用在复平面作图的 办法确定辐角的取值）。
复变函数复习考试提纲
I 知识要点
第一章 复数及平面区域
• 必备知识：复数的定义，实部、虚部。共轭复数，复平面，复数对应的向量及其模，复 数的四则运算。
• 欧拉公式 由此可得 以及
eiθ = cos θ + i sin θ
cos θ
=
eiθ
+ e−iθ ,
sin θ = eiθ − e−iθ
2
2i
ei2kπ ≡ 1, k ∈ Z
• 留数基本定理 设 D 是由复围线 L 围成的区域，函数 f (z) 在 D¯ 上连续，f (z) 在 D
内除去有限个孤立奇点 z1, z2, . . . , zn 外处处解析，则
∮
∑n
f (z)dz = 2πi Res(f, zk)
L
k=1
如果积分路径内各孤立奇点的留数都能求出，则立即可求出 f (z) 的路径积分。
2
2i
第四章 复变函数的积分
• 由于复数是二元变量，关于复变函数的积分就成为平面曲线的曲线积分。
∫
∫
∫
∫
f (z)dz = [u(x, y) + iv(x, y)] d (x + iy) = [udx − vdy] + i [vdx + udy]
复变函数复习提纲
( z − z0 ) n f ( z ) = c− m ( z − z0 ) n − m + c− m+1 ( z − z0 ) n − m+1 + ⋅⋅⋅ + c−1 ( z − z0 ) n −1 + c0 ( z − z0 ) n + c1 ( z − z0 )n +1 + ⋅⋅⋅
d n −1 1 2 ⎡ ( z − z0 ) n f ( z ) ⎤ ⎦ = (n − 1)!c−1 + n !c0 ( z − z0 ) + (n + 1)n(n − 1) ⋅⋅⋅ 3 ⋅ c1 ( z − z0 ) + ⋅⋅⋅ dz n −1 ⎣
(2) 1 < z < 2 (3) 2 < z < +∞
(1) z < 1
10.将 f ( z ) =
1 在点 z = 1 和 z = 2 的去心邻域内展成洛朗级数。 ( z − 1)( z − 2)
第五章 备注：以下几个简单的结论在判断函数零点的级数和极点的级数时应该很有用。 请牢记。 (1) 设 f ( z ) = g ( z )ϕ ( z ) ， g ( z ), ϕ ( z ) 在 z0 解析且 ϕ ( z0 ) ≠ 0 。则 z0 为 f ( z ) 的 m 级零 点当且仅当 z0 为 g ( z ) 的 m 级零点。 这个结论说明函数之积的零点，只要看会使之为零的那一部分即可。 证明： 充分性 若 z0 为 g ( z ) 的 m 级零点，则 g ( z0 ) = g ′( z0 ) = ⋅⋅⋅ = g ( m −1) ( z0 ) = 0 ， g ( m ) ( z0 ) ≠ 0 。 当n < m ，
复变函数复习提纲 (1)
1
1
i
2 k
n
， ，
i
k 0,1,
, n 1
如： z e
1 4
i 2 k
i
2 k
4
k 0,1, 2,3
2 k
2
二次根式：
z ei e
ln z
i 2 k
e
k 0,1
m z zk
1 d m1 m 计算： Re sf zk lim z zk f z z zk m 1 ! dz m 1
（3）本性奇点处的留数： 判断： f z 的洛朗级数展开中有无穷多负幂项，则 z =zk 为本性奇点。 计算：写出 f z 的洛朗级数，其 Resf zk a1 二、留数定理的应用 1、类型一：
2 2
2u 2u x 2 y 2 0 2 2 v v 0 2 2 x y
u x, y 为调和函数 v x, y 为调和函数
5、 给定实部（或虚部） ，求解析函数 f z 。 最常用的方法： （不定积分法，又叫偏微分法） ，大致步骤： 若已知实部 u u x, y ，利用 C R 条件，得
z 2 k 1 2k 1! z 2k 2k !
z z
cos z 1
k 0
k
收敛半径：由展开中心到最近奇点间的距离决定。 二、洛朗级数 1、 洛朗级数： 若 f z 在环形区域R2 z b R1内解析,
4
复变函数复习提纲
u 1 v 极坐标系下： 1 u v
《复变函数》复习大纲及例题
dz
2 i 2!
sin
z
2 z1
i
sin1
法2（留数定理）
z
1是函数
f
z
sin z
z 13
的三级极点，则
Re s
f
z ,1
1 lim 2! z1
z
13
sin z
z 13
2
1 2
，由留数定理得
C
sin z
z 13
dz
2 i
Re s
f
z ,1
i sin1
.
9. 复合闭路定理联合柯西积分公式（或留数定理、规则）
0
x2 2
ix
3 0
9 2
3i
.
11. 原函数与不定积分
例 11-1 计算积分： 3i e2zdz . i
解： 3i e2zdz 1 3i e2zd 2z 1 e2z 3i 0
i
2 i
2
i
1
例 11-2 计算积分： z sin zdz . 0
解：
1 z sin zdz
0
1 0
zd
cos
z
z
cos
z
1 0
1 0
cos
zdz
sin
1
cos1
.
12. 函数可导、解析的充要条件
例 12-1 函数 f x x2 iy 何处可导，何处解析.
解：由题得 u x, y x2,v x, y y ，则 u 2x, v 1, u 0, v 0 ，
x
y
y x
故当且仅当 2x 1 时柯西黎曼方程 u v , u v ，解得 x 1 ，
i
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z1 z2 r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )] Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
8
几何意义
从几何上看, 两复数对应的向量分别为 z1 , z2 , z 先把 z1 按逆时针方向 y
旋转一个角 2 ,
20
2)可导与连续 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 3)求导公式与法则 (1) (c ) 0, 其中c为复常数 .
( 2) ( z n ) nz n1 , 其中n为正整数 . ( 3) [ f ( z ) g ( z )] f ( z ) g( z ).
Arg z 1 2kπ ( k为任意整数 ).
5
辐角的主值 在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的 0
称为 Argz 的主值 , 记作 0 arg z . y arctan , x z0 , 辐角的主值 arg z 2 y arctan , x ,
(b)棣莫佛公式 (cos i sin )n cos n i sin n .
(c) 计算方程 w n z 的根 w , 其中 z 为已知复数 .
2kπ 2kπ w z r cos i sin n n
n
1 n
课后习题
( k 0,1,2,, n 1)
4
复数的辐角
在 z 0 的情况下 , 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量 OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz . 当 z 0 时, z 0, 而辐角不确定 .
任何一个复数 z 0有无穷多个辐角.
如果 1 是其中一个辐角, 那么 z 的全部辐角为
z2 z2 z2 , Arg Argz2 Argz1 . z1 z1 z1
z2 r2 i ( 2 1 ) . z2 r2e , 则 e z1 r1
i 2
设复数 z1和z2的指数形式分别为
z1 r1e ,
i 1
10
2) 幂与根
(a) n次幂:
对于任何正整数 n, 有 z n r n (cos n i sin n ).
2. 复数的代数运算
1) 两复数的和
2) 两复数的积
3) 两复数的商
2
4)共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数.
与 z 共轭的复数记为 z , 若 z x iy , 则 z x iy .
共轭复数的性质
(1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ;
11
5.曲线与区域
(1) 邻域 (2) 内点 (3) 开集 (4) 区域 如果平面点集D满足以下两个条件, 则称 它为一个区域. (a) D是一个开集； (b) D是连通的,即D中任何两点都可以用完全 属于D的一条折线连结起来.
12
(5) 边界点、边界 (6) 闭区域 (7)有界区域和无界区域 (8) 简单曲线 简单闭曲线的性质 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成 三个互不相交的点集.
(其中 y arctan ) 2 x 2
x 0, x 0, y 0, x 0, y 0, x 0 , y 0.
6
（3）三角表示法
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
复数可以表示成 z r (cos i sin ) （4）指数表示法 利用欧拉公式 e i cos i sin ,
复数可以表示成
z re i
称为复数 z 的指数表示式.
课后习题
7
4.复数的乘幂与方根
1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
若 z1 r1 (cos 1 i sin 1） ,
z2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
有界的单连通域.
16
7. 复变函数的概念
(1)复变函数的定义 (2) 映射的定义
8.复变函数的极限
函数极限的定义
记作 lim f ( z ) A. (或 f ( z ) A)
z z0
z z0
注意: 定义中 z z0 的方式是任意的 .
17
9.复变函数的连续性
（1）连续的定义 连续的充要条件 函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在z0 x0 iy0
连续的充要条件是 : u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 处连续 .
18
第二章
一、重点与难点
解析函数
重点：1. 解析函数的概念；
2. 函数解析性的判别
难点：1. Βιβλιοθήκη 析函数的概念；2. 初等函数中的多值函数及主值的概念
19
1. 复变函数的导数与微分
1）导数的定义 设函数 w f ( z )定义于区域 D, z0为D中的一
z1 z1 ; z2 z2
课后习题
( 2) z z; ( 3) z z Re( z )2 Im( z )2 ; (4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ).
3
3.复数的其它表示法
（1）几何表示法 （2）向量表示法
第一章
复数与复变函数
一、重点与难点
重点：1. 复数运算和各种表示法
2. 复变函数以及映射的概念
难点：1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域
2. 映射的概念
1
1.复数的概念
对于任意两实数 x , y , 我们称 z x yi 或 z x iy 为复数 .
其中 x , y 分别称为 z 的实部和虚部 ,
1)定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导, 那末称 f ( z ) 在 z0 解析.
函数 f ( z ) 在 z0点可 导 ， 与f ( z ) 在 z0 解析不等价.
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析 , 则称 f ( z )在 区域 D内解析 . 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数 (全纯函数或正则函数 ).
25
若函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在点 z x yi 处 可导 , 则其导数公式 :
u v u u f ( z ) i i x x x y v u v v i i . y y y x
函数 w f ( h) 在 h 平面上的区域 G 内解析 . 如果 对 D 内的每一个点 z , 函数 g ( z ) 的对应值 h 都属 于 G , 那末复合函数 w f [ g ( z )] 在 D 内解析 . (c) 所有多项式在复平面内处处解析. (d ) 任何一个有理分式函数 P ( z ) Q( z ) 在不含分母
函数 f ( z ) 在区域D内可 导 ， 与f ( z ) 在区域D内解析等价.
如果函数 f ( z ) 在 z0 不解析, 那么称 z0 为 f ( z ) 的奇点.
23
2)性质 (a ) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g ( z ) 的
和、差、积、商 (除去分母为零的点 )在 D 内解析 . (b ) 设函数 h g ( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析 ,
1 ( 3) 3 z
1 1 3 z , z 3 1 是以原点为中心 , 半径为 3 的圆的外部 , 无界的多连通域.
15
( 4) z 1 z 1 4 z 1 z 1 4
表示到1, –1的距离之 和为定值4的点的轨迹,
是椭圆,
z 1 z 1 4表示该椭圆内部 ,
y
y
z x iy
P( x, y)
复数的模(或绝对值) o 向量的长度称为 z 的模或绝对值 ,
2 2
z r
x
x
记为 z r x y . 模的性质 2 x z , y z , z x y , z z z z2 . 三角不等式 (1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
解 (1) 当 z x iy 时,
Re( z 2 ) x 2 y 2 ,
Re( z 2 ) 1 x 2 y 2 1,
无界的单连通域(如图).
14
( 2) arg z 3 arg z arg z , 3 3 3
是角形域, 无界的单连通域(如图).
点,点z0 z不出D的范围, 如果极限 f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z 存在, 那么就称 f ( z )在z0可导.这个极限值称为 f ( z ) 在z0的导数 , 记作 dw f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z 0 ) lim . dz z z 0 z 0 z
r
o
z1
再把它的模扩大到 r2 倍, 所得向量 z 就表示积 z1 z2 .
r1
1 2
r2
z2
x
复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.
9
两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
若
则有
z1 r1 (cos 1 i sin 1） , z2 r2 (cos 2 i sin 2） ,