3.1.3导数的几何意义教案

3.1.3导数的几何意义
教学三维目标：
1.知识与技能：了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2.过程与方法：理解曲线的切线的概念；
3.情态与价值：通过函数的图像直观地理解导数的几何意义并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
教学难点：导数的几何意义．
教学方法：讨论法
教学工具：多媒体
教学课时：1课时
教学过程：
创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率
（二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？
新课讲授
（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？
我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.
问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？
⑵切线PT 的斜率k 为多少？
图3.1-2
容易知道，割线n PP 的斜率是00
()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x
∆→+∆-'==∆ 说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
（二）导数的几何意义：
函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，
即 0000()()()lim x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P 点的坐标;
②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
（二）导函数：
由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，
即: 0()()()lim x f x x f x f x y x
∆→+∆-''==∆ 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数
3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数
在点0x 处的导数的方法之一。

典例分析
例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.
（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.
解：（1）222
100[(1)1](11)2|lim lim 2x x x x x x y x x
=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=
（2）因为222211113313(1)|lim lim lim3(1)611
x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=
（2）求函数f (x )=x x +-2
在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x
→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比
较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．
解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲
线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况．
（1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于
x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几
乎没有升降．
（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，
即函数2
() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．
（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，
即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．
例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：min ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()f t 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率．
如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作0.8t =处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：
0.480.91 1.41.00.7
k -=≈-- 所以 (0.8) 1.4f '≈-
1．求曲线y =f (x )=x 3
在点(1,1)处的切线；
2．求曲线y =(4,2)处的切线．
回顾总结：
1．曲线的切线及切线的斜率；
2．导数的几何意义
布置作业：
课本P79 A 组2、3
板书设计：
主板 副板
1、
曲线的切线 2、
切线的斜率 举例 3、 导数的几何意义。