2019年百校联考(四)·数学·答案
2019年湖南省百所名校大联考(长郡中学、湖南师大附中等)高考数学冲刺试卷及参考答案(文科)(4月份)
2019年湖南省百所名校大联考（长郡中学、湖南师大附中等）高考数学冲刺试卷（文科）（4月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项1．（5分）全集U＝R，A＝{x|y＝log2018（x﹣1）}，，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，2]B．[1，2）C．（1，2]D．（1，2）2．（5分）若x，y为共轭复数，且（x+y）2﹣3xyi＝4﹣6i，则|x|+|y|等于（）A．B．2C．2D．43．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）＝（）A．﹣2B．0C．1D．24．（5分）北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（）A．第一季度B．第二季度C．第三季度D．第四季度5．（5分）下列四个命题：p1：任意x∈R，2x＞0；p2：存在x∈R，x2+x+1＜0，p3：任意x∈R，sin x＜2x；p4：存在x∈R，cos x＞x2+x+1．其中的真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p3，p4D．p1，p46．（5分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4B．C．D．27．（5分）已知函数f（x）＝sin（x+），以下结论错误的是（）A．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称B．函数y＝f（x）的图象关于点（π，0）对称C．函数y＝f（x+π）在区间[﹣π，]上单调递增D．在直线y＝1与曲线y＝f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为8．（5分）已知，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+1≤0；；；其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P3，P4D．P2，P49．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且||＝，则）的取值范围是（）A．[0，12]B．[0，]C．[0，6]D．[0，3]10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝1og2（x+2）+x+b，则|f（x）|＞3的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣，4）∪（4，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣4，4）11．（5分）直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为C的焦点，若sin∠ABF＝2sin∠BAF，则k的值是（）A．B．C．1D．12．（5分）已知函数，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）执行如图的程序框图，若，则输出n的值为．14．（5分）已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x﹣4与x轴、y轴交于M，N 两点，点A（2，﹣4）且＝+，则λ+μ的最小值为．15．（5分）锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝1，则△ABC面积的取值范围为．16．（5分）已知A，B，C，D四点均在以点O1为球心的球面上，且AB＝AC＝AD＝2，BC＝BD＝4，CD＝8．若球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球O2直径的最大值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n＝n﹣a n，（n＝1，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（Ⅱ）令b n＝（2﹣n）（a n﹣1）（n＝1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，求实数t的取值范围．18．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，∠ABC＝45°，VB＝2，，BC＝1，，且V在平面ABC上的射影D在线段AB上．（Ⅰ）求证：DC⊥BC；（Ⅱ）设二面角V﹣AC﹣B为θ，求θ的余弦值．19．（12分）近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表l所示：表1根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与y＝c•d x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；参考数据：x i y i x i u i其中参考公式：对于一组数据（u1，υ1），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．20．（12分）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，直线l：y＝a（a ＜﹣1）与抛物线C交于A，B两点，过这两点分别作抛物线C的切线，且这两条切线相交于点D．（1）若D的坐标为（0，2），求a的值；（2）设线段AB的中点为N，点D的坐标为（0，﹣a），过M（0，2a）的直线l′与线段DN为直径的圆相切，切点为G，且直线l′与抛物线C交于P，Q两点，求的取值范围．21．（12分）已知函数（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝e x+mx2﹣2e2﹣3，当a＝e2+1时，对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝+．（1）求f（x）≥f（4）的解集；（2）设函数g（x）＝k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．2019年湖南省百所名校大联考（长郡中学、湖南师大附中等）高考数学冲刺试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项1．（5分）全集U＝R，A＝{x|y＝log2018（x﹣1）}，，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，2]B．[1，2）C．（1，2]D．（1，2）【解答】解：A＝{x|y＝log2018（x﹣1）}＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，＝{y|y＝≥2}，则∁U B＝{x|x＜2}，则A∩（∁U B）＝{x|1＜x＜2}，故选：D．2．（5分）若x，y为共轭复数，且（x+y）2﹣3xyi＝4﹣6i，则|x|+|y|等于（）A．B．2C．2D．4【解答】解：x，y为共轭复数，可设x＝a+bi，y＝a﹣bi（a，b∈R）．∵（x+y）2﹣3xyi＝4﹣6i，∴4a2﹣3（a2+b2）i＝4﹣6i，∴，解得a2＝b2＝1．∴|x|+|y|＝2＝2．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）＝（）A．﹣2B．0C．1D．2【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）＝x2+，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，故选：A．4．（5分）北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（）A．第一季度B．第二季度C．第三季度D．第四季度【解答】解：根据图中数据知，第一季度的数据是72.25，43.96，93.13；第二季度的数据是66.5，55.25，58.67；第三季度的数据是59.36，38.67，51.6；第四季度的数据是82.09，104.6，168.05；观察得出第二季度的数据波动性最小，所以第二季度的PM2.5平均浓度指数方差最小．故选：B．5．（5分）下列四个命题：p1：任意x∈R，2x＞0；p2：存在x∈R，x2+x+1＜0，p3：任意x∈R，sin x＜2x；p4：存在x∈R，cos x＞x2+x+1．其中的真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p3，p4D．p1，p4【解答】解：p1：任意x∈R，2x＞0，由指数函数的性质得命题p1是真命题；p2：存在x∈R，x2+x+1＜0，由x2+x+1＝（x+）2+≥，得命题p2是假命题；p3：任意x∈R，sin x＜2x，由x＝﹣时，sin x＞2x，得命题p3是假命题；p4：存在x∈R，cos x＞x2+x+1．命题p4是真命题．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4B．C．D．2【解答】解：根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为＝2，高为；所以，该棱锥的体积为V＝S底面积•h＝×2＝．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（x+），以下结论错误的是（）A．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称B．函数y＝f（x）的图象关于点（π，0）对称C．函数y＝f（x+π）在区间[﹣π，]上单调递增D．在直线y＝1与曲线y＝f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为【解答】解：对于函数f（x）＝sin（x+），令x＝，求得f（x）＝，为函数的最大值，可得它的图象关于直线x＝对称，故A正确；令x＝，求得f（x）＝0，可得它的图象关于点（，0）对称，故B正确；函数y＝f（x+π）＝sin（x+π+）＝﹣sin（x+），在区间[﹣π，]上，x+∈[﹣，]，故f（x+π）单调递减，故C错误；令f（x）＝1，求得sin（x+）＝，∴x+＝2kπ+，或x+＝2kπ+，k∈Z，故在直线y＝1与曲线y＝f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为，故D正确，故选：C．8．（5分）已知，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+1≤0；；；其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P3，P4D．P2，P4【解答】解：作出集合D表示的平面区域如图所示：设P（x，y）为平面区域内的任意一点，则P在△ABC内部或边上．显然当P为（﹣2，0）时，x+y＝﹣2＜0，故而命题p1为假命题；作出直线2x﹣y+1＝0，由图象可知△ABC在直线2x﹣y+1＝0的上方，故而对于任意一点P，都有2x﹣y+1≤0，故命题p2为真命题；取点M（1，﹣1），连结MB，MC，则k MB＝﹣，k MC＝﹣3，∴﹣3≤≤﹣，故命题p3错误；联立方程组，解得A（﹣1，3），故OA2＝10，故命题p4正确．故选：D．9．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且||＝，则）的取值范围是（）A．[0，12]B．[0，]C．[0，6]D．[0，3]【解答】解：∵）＝•（+++）＝•（2++）＝2||2+||×|+|×cosθ＝6+6cosθ∵﹣1≤cosθ≤1∴0≤6+6cosθ≤12故选：A．10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝1og2（x+2）+x+b，则|f（x）|＞3的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣，4）∪（4，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣4，4）【解答】解：由题意，f（0）＝1+b＝0，∴b＝﹣1，∴f（x）＝1og2（x+2）+x﹣1，∴f （2）＝3，函数在R上单调递增，∵|f（x）|＞3，∴|f（x）|＞f（2），∴f（x）＞2或f（x）＜﹣2，∴x＞2或x＜﹣2，故选：A．11．（5分）直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为C的焦点，若sin∠ABF＝2sin∠BAF，则k的值是（）A．B．C．1D．【解答】解：分别过A，B项抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，则AF＝AM，BF＝BN，∵sin∠ABF＝2sin∠BAF，∴AF＝2BF，∴AM＝2BN，∴＝，即B为AP的中点．联立方程组，消去x可得：y2﹣+16＝0，设A（，y1），B（，y2），则y1y2＝16，又B是P A的中点，∴y1＝2y2，∴y2＝2，即B（1，2），又P（﹣2，0），∴直线AB的斜率为．故选：B．12．（5分）已知函数，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）【解答】解：∵函数f（x）的定义域是（0，+∞）∴f′（x）＝+﹣k＝，∵x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点∴x＝2是导函数f′（x）＝0的唯一根，∴e x﹣kx2＝0在（0，+∞）无变号零点，即k＝在x＞0上无变号零点，令g（x）＝，因为g'（x）＝，所以g（x）在（0，2）上单调递减，在x＞2 上单调递增所以g（x）的最小值为g（2）＝，所以必须k≤，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）执行如图的程序框图，若，则输出n的值为5．【解答】解：模拟程序的运行，可得：循环依次为：；结束循环，输出n＝5．故答案为：5．14．（5分）已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x﹣4与x轴、y轴交于M，N两点，点A（2，﹣4）且＝+，则λ+μ的最小值为．【解答】解：由题意得M（2，0），N（0，﹣4），由＝+，得（x﹣2，y+4）＝λ（0，4）+μ（﹣2，0），∴x﹣2＝﹣2μ，y+4＝4λ，因此．故答案为：．15．（5分）锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝1，则△ABC面积的取值范围为．【解答】解：∵∠A＝30°，BC＝1，可得：，∴AB＝2sin C，AC＝2sin B＝2sin（150°﹣C）＝2（cos C+sin C）＝cos C+sin C，∴S△ABC＝AB•AC，∵C∈（，），可得：2C﹣∈（0，），∴sin（2C﹣）∈（0，1]，可得：，则△ABC面积的取值范围为，故答案为：．16．（5分）已知A，B，C，D四点均在以点O1为球心的球面上，且AB＝AC＝AD＝2，BC＝BD＝4，CD＝8．若球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球O2直径的最大值为8【解答】解：如图三棱锥A﹣BCD，底面为等腰直角三角形，斜边为CD，底面圆心为CD中点F，由AB＝AC＝AD，可得AF⊥平面BCD，球心O1在直线AF上，AF＝＝＝2，设球O1的半径为r1，可得r12＝（r1﹣2）2+16，解得r1＝5，由球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球心O2在直线AE上，球O2直径的最大值为10﹣2＝8．故答案为：8．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n＝n﹣a n，（n＝1，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（Ⅱ）令b n＝（2﹣n）（a n﹣1）（n＝1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，求实数t的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由题可知：a1+a2+a3+…+a n＝n﹣a n，①a1+a2+a3+…+a n+1＝n+1﹣a n+1，②②﹣①可得2a n+1﹣a n＝1 …..（3分）即：a n+1﹣1＝（a n﹣1），又a1﹣1＝﹣…..（5分）所以数列{a n﹣1是以﹣为首项，以为公比的等比数列…．…..（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得a n＝1﹣，…（7分）∴b n＝（2﹣n）（a n﹣1）＝…（8分）由b n+1﹣b n＝﹣＝＞0可得n＜3由b n+1﹣b n＜0可得n＞3 …（9分）所以b1＜b2＜b3＝b4，b4＞b5＞…＞b n＞…故b n有最大值b3＝b4＝所以，对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，等价于对任意n∈N*，都有≤t2﹣t成立…（13分）所以t2﹣t﹣≥0解得t≥或t≤﹣所以，实数t的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）…（14分）18．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，∠ABC＝45°，VB＝2，，BC＝1，，且V在平面ABC上的射影D在线段AB上．（Ⅰ）求证：DC⊥BC；（Ⅱ）设二面角V﹣AC﹣B为θ，求θ的余弦值．【解答】18（Ⅰ）证明：VB＝2，，BC＝1⇒BC⊥VC，VD⊥平面ABC⇒VD⊥BC，VD∩VC＝V，∴BC⊥平面VCD⇒DC⊥BC．（Ⅱ）解：作DE⊥AC垂足为E，连接VE，则∠VED为二面角V﹣AC﹣B的平面角．在△BCD中，∠DBC＝45°，DC⊥BC，BC＝1，∴CD＝1，，∠BDC＝45°，在△ADC中，∠ADC＝135°，，∴，∴，又VD⊥平面ABC，∴VD⊥CD，又，∴，∴．19．（12分）近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表l所示：表1根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与y＝c•d x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；参考数据：x i y i x i u i其中参考公式：对于一组数据（u1，υ1），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．【解答】解：（1）根据散点图判断，y＝c•d x适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型；…………（3分）（2）由y＝c•d x，两边同时取常用对数得：1gy＝1g（c•d x）＝1gc+1gd•x；设1gy＝v，∴v＝1gc+1gd•x；………………（5分）计算，，∴lg＝＝，………………（7分）把样本中心点（4，1.54）代入v＝1gc+1gd•x，得：，∴，∴，……………………（9分）∴y关于x的回归方程式：；………（10分）把x＝8代入上式，；活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；…………………………（12分）20．（12分）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，直线l：y＝a（a ＜﹣1）与抛物线C交于A，B两点，过这两点分别作抛物线C的切线，且这两条切线相交于点D．（1）若D的坐标为（0，2），求a的值；（2）设线段AB的中点为N，点D的坐标为（0，﹣a），过M（0，2a）的直线l′与线段DN为直径的圆相切，切点为G，且直线l′与抛物线C交于P，Q两点，求的取值范围．【解答】解：（1）由抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，得p＝，则抛物线C的方程为x2＝﹣y．设切线AD的方程为y＝kx+2，代入x2＝﹣y得x2+kx+2＝0，由△＝k2﹣8＝0得k＝±2．当k＝2时，A的横坐标为﹣＝﹣，则a＝﹣（﹣）2＝﹣2，当k＝﹣2时，同理可得a＝﹣2．（2）由（1）知，N（0，a），D（0，﹣a），则以线段ND为直径的圆为圆O：x2+y2＝a2，根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线l′即可，因为G为直线l′与圆O的切点，所以OG⊥MG，cos∠MOG＝＝，所以∠MOG＝，所以|MG|＝|a|，则直线l′的斜率为，所以直线l′的方程为y＝x+2a，代入x2＝﹣y得x2+x+2a＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以x1+x2＝﹣，x1x2＝2a，△＝3﹣8a＞0，所以|PQ|＝•＝2，所以＝＝•＝•，设t＝﹣，因为a＜﹣1，所以t∈（0，1），所以3t2+8t∈（0，11），所以＝•＝•∈（0，）．21．（12分）已知函数（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝e x+mx2﹣2e2﹣3，当a＝e2+1时，对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），求实数m的取值范围．【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），又，令f'（x）＝0，得x＝1或x＝a﹣1．当a≤1，则a﹣1≤0，由f'（x）＜0得0＜x＜1，由f'（x）＞0得x＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．当1＜a＜2，则0＜a﹣1＜1，由f'（x）＜0得a﹣1＜x＜1，由f'（x）＞0得0＜x＜a﹣1或x＞1，函数f（x）在（a﹣1，1）上单调递减，在（0，a﹣1）和（1，+∞）上单调递增．当a＝2，则a﹣1＝1，可得f'（x）≥0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．当a＞2时，则a﹣1＞1，由f'（x）＜0得1＜x＜a﹣1，由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞a﹣1，函数f（x）在（1，a﹣1）上单调递减，在（0，1）和（a﹣1，+∞）上单调递增．（II）当a＝e2+1时，由（1）得函数f（x）在（1，e2）上单调递减，在（0，1）和（e2，+∞）上单调递增，从而f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（e2）＝﹣e2﹣3．对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），即存在x2∈[1，+∞），g（x2）函数值不超过f（x）在区间[1，+∞）上的最小值﹣e2﹣3．由e x+mx2﹣2e2﹣3≤﹣e2﹣3得e x+mx2≤e2，．记，则当x∈[1，+∞）时，m≤p（x）max．＝，当x∈[1，2]，显然有e x x+2（e2﹣e x）＞0，当x∈（2，+∞），e x x+2（e2﹣e x）＞e x x﹣2e x＞0，故p（x）在区间[1，+∞）上单调递减，得，从而m的取值范围为（﹣∞，e2﹣e]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为，化成极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2＝2y，配方为x2+（y﹣1）2＝1．（2）由点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），可得直角坐标：M1（0，1），M2（2，0），∴直线M1M2的方程为，化为x+2y﹣2＝0，∵此直线经过圆心（0，1），∴线段PQ是圆x2+（y﹣1）2＝1的一条直径，∴∠POQ＝90°，由OP⊥OQ得OA⊥OB，A，B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，分别代入中，有和，∴，，则，即．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝+．（1）求f（x）≥f（4）的解集；（2）设函数g（x）＝k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝+＝+＝|x ﹣3|+|x+4|，∴f（x）≥f（4）即|x﹣3|+|x+4|≥9．∴①，或②，或③．得不等式①：x≤﹣5；解②可得x无解；解③求得：x≥4．所以f（x）≥f（4）的解集为{x|x≤﹣5，或x≥4}．（2）f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，即f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，∵f（x）＝|x﹣3|+|x+4|＝．由于函数g（x）＝k（x﹣3）的图象为恒过定点P（3，0），且斜率k变化的一条直线，作函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图，其中，K PB＝2，A（﹣4，7），∴K P A＝﹣1．由图可知，要使得f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，∴实数k的取值范围为（﹣1，2]．。
2019届江苏省百校联考高三数学试题(含全解析)
答案 8 3 2 6 3
uuur uuur 由任意三角形面积公式与 AB AC 2 3 构建关系表示 | AB|| AC| ，再由已知与平面向量
的线性运算、平面向量数量积的运算转化
uuur uuuur BN CM ，最后由重要不等式求得最值 .
解：
由 △ABC的面积为 6 得 1 | AB|| AC|sin ∠ BAC= 6 ，
集合 B 的补集 eU B { x | x 1} ，则 A (eU B) { x | 0 x 1}
故答案为： (0,1]
点评：
本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题
.
2
2
2．已知双曲线
x a2
y b2
1(a 0,b 0) 的一条渐近线经过点
为 _______.
(1,2) ，则该双曲线的离心率
答案 5
绝密 ★启用前
2019 届江苏省百校联考高三数学试题
注意事项： 1 、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2 、请将答案正确填写在
答题卡上 一、填空题
1．设全集 U R ，集合 A
x | x2 2x 0 ， B { x | x 1} ，则集合
A (eU B) ______.
解：
由题可知，集合 A中 x2 2x 0 x x 2 0 0 x 2
由题可构建如图所示的图形，因为 AQ是 ACP 的角平分线，由角平分线成比例定理可
AC AQ 2
知
AP PQ 1
uuur uuur AQ 2PQ , 所以 AQ 2PQ .
uuur
uuur
设点 Q m, n ，点 P x, y ，即 AQ m 3, n , PQ
x m, y n ，
2019-2020年四校联考文科数学参考答案及说明
2019-2020年四校联考文科数学参考答案及说明一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共5小题, 考生作答４小题，每小题5分,共20分. 11. 0或23-； 12. 30； 13. 1(0,)(2,)2+∞； 14. 4； 15. 30x y --=．三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量()()()cos 3sin ,1,,cos a x x b f x x ωωω=+=，其中ω＞0，且//a b ，又函数()f x 的图像两相邻对称轴之间的距离为3π2. (1) 求ω的值；(2) 求函数()f x 在区间5,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值及相应的x 值． 解.(1) 由题意//a b ，()cos (cos )f x x x x ωωω∴=+1cos 2222x x ωω+=+1πsin(2)26x ω=++．…………………………………………… 4分由题意，函数的最小正周期为3π，又ω＞0，2π3π=2ω∴13ω∴=； ………………6分 (2) 由(１)知12()sin()236f x x π=++，5,2x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，2511,,3666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴当25,366x ππ+=即x =π时，()f x 取得最大值1, ……………………………… 9分 当29,366x ππ+=即2x =π时，()f x 取得最小值1.2- ………………………12分HPA BCDE 17．（本小题满分12分）为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据频率分布表，解答下列问题：（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于80分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少同学获奖？（3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出S 的值． 解：（1）①为8，②为0.44，③为6，④为0.12． …………………………………4分（2）()0.280.12800320+⨯=，即在参加的800名学生中大概有320名同学获奖． ………………………………8分 （3）由流程图11223344S G F G F G F G F =+++650.16750.44850.28950.12=⨯+⨯+⨯+⨯78.6=．……………………12分 18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，且BD 平分ADC ∠，E 为PC 的中点， 1==CD AD ,PC BC =,22=DB . （1）求证：PA ∥平面BDE ； （2）求证：AC ⊥平面PBD ； （3）求四棱锥ABCD P -的体积.（1）证明:设AC BD H =，连结EH ，在ADC ∆中，,AD CD =且DB 平分ADC ∠，H ∴为AC 的中点， E 为PC 的中点， EH ∴∥.PAHE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，PA ∴∥平面BDE ； ………………………………………………………………5分 （2）证明: PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PD AC ∴⊥，由（Ⅰ）知BD AC,⊥PD BD D,=PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，AC ∴⊥平面PBD ; …………………………………………………………………9分 另证：PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面ABCD ， 由（Ⅰ）知AC BD,⊥平面PBD 平面ABCD BD,=AC ⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面PBD ． ……………………………………………………………………9分（3）解：在△BCD中，1,45DC DB BDC ==∠=︒，得222121455,BC BC =+-⨯⨯︒==在Rt △PDC中，1,PC BC DC ===从而2,PD =…………………………11分22,ABCD BCD S S ∆== ………………………………………………13分故四棱锥ABCD P -的体积142233P ABCD V -=⋅⋅=．………………………………14分 19．（本小题满分14分）如图，在直角梯形ABCD中，,,3,4,AD AB BC AB AD AB BC ⊥⊥===点E 在线段AB 的延长线上.曲线段DE 上任一点到A 、B 两点的距离之和都相等． （１）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE 的方程； （２）试问：过点C 能否作一条直线l 与曲线段DE 相交于两点M 、N ，使得线段MN 以C 为中点？若能，则求直线l 的方程；若不能，则说明理由． 解：（1）以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点， 建立如图所示的平面直角坐标系，则(2,0),(2,0),(2,3).A B C D -- …………… 1分358AD BD AB +=+=>，∴依题意，曲线段DE 是以A 、B 为左、右焦点，长轴长为8的椭圆的一部分． ……………… 4分故曲线段DE 的方程为221(2,0).1612x y x y +=≥-≥ …………………………………… 6分（2）设这样的直线l 存在，由直线2x =与曲线段DE 只有一个交点(0,3)，知直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2),y k x =-即 (2)y k x =-将其代入2211612x y +=得2222(34)16)16360k x k x k ++-+--= ① ……………………………… 9分设1122(,),(,)M x y N x y ，则由122,2x x +=知124,4,x x +==解得k = …………………………12分当2k =-时，方程①化为：240x x -=，解得120, 4.x x ==即(0,(4,0)M N ，适合条件．故直线l 存在，其方程为2y x =-+20.y +-= ………………… 14分 20．（本小题满分14分）设函数()3221f x x ax a x =+--,二次函数()21g x ax x =--，其中常数a R ∈．（1）若函数()f x 与()g x 在区间()2,a a -内均为增函数，求实数a 的取值范围； （2）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最大值时，记()g x 的最大值为()h a ，求函数()h a 的解析式．解：（1）由题意0.a ≠()()223233a f x x ax a x x a ⎛⎫'=+-=-+ ⎪⎝⎭，()21g x ax '=-. ……………………………………………………………………………………………2分 1︒ 当0a >时，()03a f x x '>⇔>,或,x a <-函数()f x 的增区间为(),a -∞-、,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. ()10,2g x x a '>⇔>函数()g x 的增区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.函数()f x 与()g x 在区间()2,a a -内均为增函数，023122a a a a a ⎧⎪>⎪⎪∴-≥⎨⎪⎪-≥⎪⎩解得3a ≥. ……………………………………………………………5分2︒ 当0a <时，()03af x x '>⇔<,或,x a >- 函数()f x 的增区间为,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭、(),a -+∞. ()10,2g x x a '>⇔<函数()g x 的增区间为1,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.函数()f x 与()g x 在区间()2,a a -内均为增函数函数，0312a a a a a ⎧⎪<⎪⎪∴≤⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得a ≤. ……………………………………………………………8分综上所述，实数a的取值范围是[)(,3,-∞+∞. ………………………………9分（2）∵二次函数()21g x ax x =--有最大值，0a ∴<， 由()()f x g x =得()2210x x a -+=，即0x =,或221.x a =-∵函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点，210a ∴-≤，又0a <，10a ∴-≤<． ……………………………………………12分又()211124g x a x a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，当12x a =时, ()g x 有最大值114a --, ()11,104h a a a∴=---≤<． …………………………………………………………14分 21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：1113,2(2,n n n a a a n n --==+≥)*∈N ．（１）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （２）令11n n n b a a +=⋅，11222(n n n T b b b n -=+++)*∈N ,求证：16n T <(n )*∈N ． 解:（1）解法一：()1122,n n n a a n --≥-=∴当2n ≥时，()()()12132121()n n n n n a a a a a a a a a a ---=+-+-++-+-221123222222112nn n n ---=+++++=+=+-．检验知当1n =时，结论也成立，故21n n a =+ (n )*∈N ．…………………………………5分2112(12)(2222)2212n n nn n S n n n -+-=+++++=+=+--(n )*∈N ．………………7分解法二：()1122,n n n a a n --≥-=1122n n n n a a --∴-=- ()2n ≥, ……………………3分∴数列{}2n a -是首项为121a -=,公差为0的等差数列,21n n a ∴-=,21n n a =+ (n )*∈N ． ………………………………………………5分2112(12)(2222)2212n n nn n S n n n -+-=+++++=+=+--(n )*∈N ．………………7分解法三：()1122,n n n a a n --≥-=11112222n n n n a a --∴=⋅+，()11211(1)222n n n n a a n --≥-=-． ……………………………………………………………３分 1111022a -=≠， ∴数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项与公比均为12的等比数列, 11(),2122nn n n n a a ∴-==+(n )*∈N ． …………………………………………5分2112(12)(2222)2212n n nn n S n n n -+-=+++++=+=+--(n )*∈N ．………………7分证明:（2）()()111222121n n n n n b --+=++ ()()()()11121211112212122121n n n n n n ++++-+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭(n )*∈N ． ……………………………………………………………………11分11222n n n T b b b -∴=+++223111111112121212122121nn +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111111212212126n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭． ……………………………………………14分。
广东省2019届高考百校联考理科数学试卷(PDF版,含详解)
an 2n
，求数列{bn}的前 n 项和Tn
．
18．（12 分） 某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的 1200 名男生和 800 名女生中按分层抽样的方法抽
取 20 名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不 参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过 3 小时），C 类（参加课外 阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过 3 小时）．调查结果如下表：
解析：因为
sin 2 sin
cos 7 5
cos
2
，所以 sin 3 ，从而 cos 2 1 2sin2 7 ．
5
25
5
4．如图 1 为某省 2018 年 1~4 月快递义务量统计图，图 2 是该省 2018 年 1~4 月快递业务收入统计图，下
列对统计图理解错．误．的是（
3 4
，则直线
F1F2
的斜率为（
）
A． 1 2
B． 1 4
C． 1 3
D． 1 5
9．如图， B 是 AC 上一点，分别以 AB, BC, AC 为直径作半圆．从 B 作 BD AC ，与半圆相交于 D ．
AC 6, BD 2 2 ，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ）
2a 3c b
2R c 2 5 ．
2sin A 3sin C sin B
sin C
6．已知平面向量 a,b 满足 a 2, b 1，且 4a b a 3b 2 ，则向量 a, b 的夹角 为（ ）
A． 6
6．答案：D
B． 3
C． 2
D． 2 3
解析：因为
2019山西中考模拟百校联考试卷(四)数学答案解析
20. （本题 9 分） 如图，△ABC 内接于 O ，∠ACB=60°，BD 是 O 的直径，点 P 是 BD 延长线上一点，且 PA 是 O 的 切线. （1）求证：AP=AB；
（2）若 PD 5 ，求 O 的直径.
【考点】圆中综合 【难度星级】★★
【答案】（1）见解析
（2） 2 5
积为（ ）
A. 9 4
B.4
C.5
D. 11 4
【考点】反比例函数的几何意义.
【难度星级】★
【答案】D
【解析】因为 D 为 AP 的中点，所以△CDP 的面积为 5 5 ，△CBP 的面积为 3 3 ，总面积为 11 .
44
22
4
-3 -
第Ⅱ卷 非选择题 （共 90 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
【考点】一元二次方程的应用
【难度星级】★★
【答案】（1） 2, 1,0,1, 2
（2） 3, 2, 1,0,1, 2,3或21, 22, 23, 24, 25, 26, 27
【解析】（1）假设连续的五个整数，为 n 2,n 1, n, n 1, n 2
依题意，可列方程 n 22 n 12 n2 n 12 n 22 , n1 0, n2 12
.
【考点】三角形综合
【难度星级】★★
【答案】 20 2 9
【解析】如图所示：过点 B 作 BF 垂直 AC 于点 F，在△ABF 中，BF= 5 2 ，△ABC 的面积为 5 2 8 20 2 2
△ABD 的面积为 20 2 5 100 2 ，DE= 100 2 2 10 20 2
【考点】科学记数法的表示方法 【难度星级】★ 【答案】D 【解析】13800000000 1.38 1010 ，大数科学记数法指数为位数减 1.
中考数学复习考点知识专题讲义第6讲 一元二次方程及其应用
2．列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 同列一元一次方程解决实际问题的步骤一样：审、设、列、解、验、答． 关键是：审、设、列、解． 注意：检验时既要检验所求结果是否为所列方程的解，还要检验是否为原问题的解.
命题点一 一元二次方程的概念及解法(8 年 4 考)
1．(2019·山西 8 题)一元二次方程 x2－4x－1＝0 配方后可化为( D )
aa((11＋＋x)nx＝)nb＝b 或 aa((11－－x)nx＝)nb＝b
[a 为原来的量，x 为平均增长(降低)率，b 为增长(降低)后的量，n 为
增长(降低)的次数]
利率问题 销售利润问题
本息和＝本金＋利息 利息＝ 本本金×金年×利年率×利年率数×年数
利润＝售价－成本 利润
利润率＝成本×100%
2．(2019·百校联考四)一元二次方程 y2－y＝34配方后可化为( B )
B．(40－2x)(30－x)＝15×30×40 D．(40－2x)(30－x)＝45×30×40
【跟踪训练】 5．改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长(AD)10 m，宽 (AB)4 m 的矩形场地 ABCD 上修建两条同样宽的小路，其中一条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为 27 m2，则小路的宽应为多少？
2．一元二次方程根与系数的关系(选学内容)：
若关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为 x1，x2，则 x1＋x2＝
－－ba
，x1·x2＝
c a
.
考点三 一元二次方程的实际应用 1．实际问题常见类型
类型
数量间的等量关系 增长数量 增长率＝基础数量×100%
2019届江苏省百校联考高三数学试题(解析版)
一、填空题
1．设全集 ，集合 ， ，则集合 ______.
【答案】
【解析】分别解得集合A与集合B的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.
【详解】
由题可知，集合A中
集合B的补集 ，则
故答案为：
【点睛】
本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.
2．已知双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为_______.
3．各项均为正数的等比数列 中， 为其前 项和，若 ，且 ，则公比 的值为_____.
【答案】
【解析】将已知由前n项和定义整理为 ，再由等比数列性质求得公比，最后由数列 各项均为正数，舍根得解.
【详解】
因为
即
又等比数列 各项均为正数，故
故答案为：
【点睛】
本题考查在等比数列中由前n项和关系求公比，属于基础题.
（1）求 关于 的函数解析式；
（2）当 为何值时， 面积 为最小，政府投资最低？
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）以点 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，在 中，设 ，又 ，故 ， ，进而表示直线 的方程，由直线 与圆 相切构建关系化简整理得 ，即可表示OA,OB，最后由三角形面积公式表示 面积即可；
12．在平面直角坐标系 中，已知圆 及点 ，设点 是圆 上的动点，在 中，若 的角平分线与 相交于点 ，则 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】由角平分线成比例定理推理可得 ，进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标，代入圆C方程即可表示动点Q的轨迹方程，再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离，所以其最值为圆心到原点的距离加减半径.
本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题，其中解答中正确认识几何体的结构特征，合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题。
南通市达标名校2019年高考四月大联考数学试卷含解析
南通市达标名校2019年高考四月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45C ．35D ．352．已知抛物线220y x ＝的焦点与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为92，那么该双曲线的离心率为（ ） A ．54 B ．53C ．52D ．53．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．45．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 7．若两个非零向量a 、b 满足()()0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．35B ．35±C ．12D ．12±8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．79．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．28011．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( ) A ．3B ．2C ．4D ．512．已知复数()()2019311i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届江苏省等四校高三联考数学试卷【含答案及解析】
2019届江苏省等四校高三联考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 设集合，，，则实数的值为________．2. 设复数满足（是虚数单位），则 ________．3. 下图是一个算法流程图，则输出的的值是________．4. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为～，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有____________________________ 辆．5. 将函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，若函数的图象过原点，则 _________．6. 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率为________．7. 设偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是_______．8. 在等比数列中，已知，，且公比为整数，则________．9. 如图，正四棱锥的底面一边长为，侧面积为，则它的体积为________．10. 已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为_________．11. 若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是________．12. 已知外接圆的半径为2，且，，则________．13. 已知为正实数，则的最小值为________．14. 设对任意恒成立，其中是整数，则的取值的集合为________．二、解答题15. 在中，角所对的边分别为，且．（1）求的大小；（2）设的平分线交于，求的值．三、填空题16. 如图，在四棱锥中，，且，，点在棱上，且．（1）求证:平面平面；（2）求证: 平面．四、解答题17. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若点都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上．①求直线的斜率；②求面积的最大值．18. 如图，是海岸线OM，ON的两个码头，为海中一小岛，在水上旅游线上，测得到海岸线的距离分别为，．（1）求水上旅游线的长；（2）海中，且处的某试验产生的强水波圆，生成小时时的半径为．若与此同时，一游轮以的速度自码头开往码头，试研究强水波是否波及游轮的航行?19. 设，函数，其中是自然对数的底数，曲线在点处的切线方程为．（1）求实数的值；（2）求证:函数存在极小值；（3）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．20. 正项数列: ，满足:是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列．（1）若，求数列的所有项的和；（2）若，求的最大值；（3）是否存在正整数，满足若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21. 如图，已知圆上是弧 =弧，过点的圆的切线与的延长线交于点．（1）求证：；（2）求证：．22. 已知矩阵的一个特征值所对应的一个特征向量，求矩阵的逆矩阵．23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线为．曲线上的任意一点的直角坐标为，求的取值范围．24. 已知关于的不等式的解集为．（1）求实数的值；（2）求的最大值．25. 某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元．（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金元。
2019届百校联盟TOP20高三四月联考(全国Ⅰ卷) 数学(理)试题(解析版)
2019届百校联盟 top20高三四月联考（全国i 卷） 数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}29A x x =∈≤Z ，{}ln 1B x x =<，则A B =I （ ） A ．{}0e x x << B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3D ．{}3,2,1,0,1,2---【答案】B【解析】解一元二次不等式、对数不等式化简集合,A B 的表示，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】集合{}3,2,1,0,1,2,3A =---，集合{}0B x x e =<<，故{}1,2A B =I . 故选：B 【点睛】本题考查了集合交集的定义，考查了一元二次不等式、对数不等式的解法，考查了数学运算能力. 2．已知复数i1im z =-（m ∈R ），若满足1z ≤，则复数z 的虚部取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．22⎡-⎢⎣⎦D ．⎡⎣【答案】C【解析】运用复数的除法的运算法则化简复数z 的表示，根据复数模的定义，结合已知条件进行求解即可. 【详解】由题意知i i 1i 22m m m z ==-+-，1z ==≤即m ≤≤z 的虚部222m ⎡∈-⎢⎣⎦.故选：C本题考查了复数的除法运算法则、复数模的计算公式，考查了数学运算能力. 3．支付宝和微信支付已经成为现如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100名居民（男女居民各50名）喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如下的22⨯列联表：附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.则下面结论正确的是（ ）A ．有99.9%以上的把握认为“支付方式与性别有关”B ．在犯错误的概率超过1%的前提下，认为“支付方式与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“支付方式与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“支付方式与性别无关” 【答案】C【解析】根据题中所给的公式和列联表计算出2K 的值，然后根据观测值的比较进行求解即可. 【详解】由22⨯列联表得到40a =，10b =，25c =，25d =，则代入()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，解得2K 的观测值()210010002509.8950506535k ⨯-=≈⨯⨯⨯.因为6.6359.8910.828<<，所以有99%以上的把握认为“支付方式与性别有关”. 故选：C 【点睛】本题考查了2K 的计算，属于基础题.4．已知曲线C ：221x y m n+=表示焦点在y 轴上且离心率大于2的双曲线，则下列不等关系正确的是（ ） A ．0m n +> B ．0m n +< C ．0m n -> D ．20m n ->【答案】B【解析】根据曲线方程表示焦点在y 轴的双曲线，得到,m n 的正负性，再根据双曲线的离心率，结合不等式的性质进行求解即可. 【详解】由题意知0m <，0n >，又因为212m e n =->，故1mn->，即0m n +<. 故选：B 【点睛】本题考查了已知曲线表示双曲线求参数取值范围，考查了双曲线离心率公式，考查了不等式的性质，考查了数学运算能力.5．执行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）A ．32B ．64C ．128D ．256【答案】C【解析】先判断后执行循环体，可以判断出程序的功能，最后求值即可. 【详解】阅读程序框图知，因为234560222222100S =++++++≥，故最后输出128. 故选：C本题考查了循环结构的输出问题，考查了数学运算能力.6．已知两个锐角α，β（αβ<），且tan α，tan β为方程2401310x x -+=的两根，如果钝角γ的始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()2,1-，则αβγ+-=（ ） A ．4π- B ．23π-C ．34π-D ．4π 【答案】C【解析】根据一元二次方程根与系数关系，结合两角和与差的正切公式、正切的定义，特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】由tan α，tan β为方程2401310x x -+=的两根，解得1tan 8α=，1tan 5β=，则()11185tan 13140αβ++==-，又1tan 2γ=-，则()1132tan 1116αβγ++-==-.因为06παβ<+<，56πγπ<<，则23ππαβγ-<+-<-，故34παβγ+-=-. 故选：C 【点睛】本题考查了两角和与差的正切公式，考查了正切函数的定义，考查了数学运算能力. 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20180S >，20190S <，记n n b a =，则n b 最小时，n 的值为（ ） A ．1009 B ．1010C ．1011D ．2019【答案】B【解析】根据等差数列的前n 项和公式，结合等差数列的下标性质、绝对值的性质进行求解即可. 【详解】由2019101020190S a =<，10100a <；由()120182018201802a a S +=>，即101010090a a +>，10101009a a >-，故10091010a a >.【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式，考查了等差数列的下标性质，考查了绝对值的性质，考查了数列最小项问题，考查了数学运算能力.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．113【答案】C【解析】由三视图可知; 该几何体为一个直三棱柱削去一个三棱锥，运用棱柱和棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】如图，该几何体为一个直三棱柱削去一个三棱锥，故体积为11111022222223223⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=. 故选：C【点睛】本题考查了由三视图还原空间几何体求体积问题，考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了空间想象能力和数学运算能力.9．已知()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-中0a >，若13945a =-，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】根据()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-利用二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、以及13945a =-，即可求得a 的值，得到答案． 【详解】由题意，二项式()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-， 又由()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-，所以()()()2151501215[(1)(1)]111a x a a x a x a x --++-=+-+-+⋅⋅⋅+-， 其中0a >，由13945a =-，可得：1321315[(1)]945a C a =-⋅-+=-，即2105(1)945a -+=-，即2(1)9a +=，解得2a =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，其中解答中熟记二项展开式的通项及性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．10．设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，已知P ，Q ，T 为抛物线C 上三个动点，且满足F 为PQT ∆的重心，PQT ∆三边PQ ，PT ，TQ 的中点分别为1M ，2M ，3M ，分别过1M ，2M ，3M 作抛物线C 准线的垂线，垂足分别为1N ，2N ，3N ，若11223312M N M N M N ++=，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】C【解析】设P ，Q ，T 的横坐标分别为1x ，1x ，1x ，过点P ，Q 作抛物线C 准线的垂线，垂足分别为1P ，1Q ，运用梯形中位线定理，结合抛物线的定义求出11M N 的表达式，同理求出2233,M N M N 的表达式，最后利用已知进行求解即可.【详解】设P ，Q ，T 的横坐标分别为1x ，1x ，1x ，过点P ，Q 作抛物线C 准线的垂线，垂足分1P ，1Q ，在梯形11PPQ Q 中，11112PP QQ M N +=，由抛物线定义知1PP PF =，1QQ QF =，故112PF TFM N +=. 同理可知222PF TF M N +=，332TF QFM N +=， 故11223312M N M N M N PF QF TF ++=++=.再由焦半径公式可得1233122x x x p +++=，又123132x x x p ++=，故312p =，解得4p =. 故选：C【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了梯形中位线定理，考查了数学运算能力. 11．函数()f x 在定义域R 内的导函数为()f x '，若4()(),(2),(1)f x f x a e f b ef '>=-=，(2)c f =，A ．a c b >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】由题得()[]0x f x e '>，设()()xf xg x e =，得函数g(x)在R 上是增函数，再利用函数的单调性分析得解. 【详解】由题得()()0,f x f x '->所以()e ()e 0,x xf x f x '->所以()[]0x f x e '>，设()()xf xg x e=， 所以函数g(x)在R 上是增函数， 所以(2)(1)(2)g g g >>-，所以212(2)(1)(2)f f f e e e-->>， 所以c b a >>. 故选：D 【点睛】本题主要考查导数的运算和性质，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2AB BD ==，M 为AD 中点，H 为线段AC 上一点（除AC 的中点外），且MH HB ⊥.当三棱锥M HAB -的体积最大时，则三棱锥M ABC -的外接球表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π【答案】B【解析】利用线面垂直的判定定理和性质，可以证明AM ⊥平面BHM ，利用三棱锥的等积性，结合基本不等式，这样可以求出1BH HM ==，过点C 作CK BD ⊥，取AB ，AC 的中点T ，N ，连接MN ，MT ，过点T 作CK 的平行线交MN 于点O .利用线面垂直的性质和判定定理可以证明出O 为三棱锥M ABC -的外接球的球心，运用正切函数的定义，球的表面积公式进行求解即可. 【详解】在Rt ABD ∆中，因为M 为AD 中点，故BM AD ⊥，且2BM =CD BC ⊥，CD AB ⊥，所以CD ⊥平面ABC ，故CD BH ⊥，又因为MH BH ⊥，所以BH ⊥平面ACD ，因此BH AD ⊥，故AM ⊥平面BHM ，三棱锥M HAB -的体积等于三棱锥A BHM -的体积，即只需底面BHM ∆面积最大即可.因为2222BH HM BM +==，则22BH HM ≥⋅，故1122BHM S BH HM ∆=⋅≤，当且仅当1BH HM ==时取等号.在Rt ABC ∆中，30CAB ∠=︒，故3BC =C 作CK BD ⊥，取AB ，AC 的中点T ，N ，连接MN ，MT ，过点T 作CK 的平行线交MN 于点O .由CK ⊥平面ABD 知OT ⊥平面ABD .又DC ⊥平面ABC ，故MN ⊥平面ABC .因此O 为三棱锥M ABC -的外接球的球心，由tan tan tan 2CDTOM KCD CBK BC∠=∠=∠==，因为1TM =，所以2tan TM OT TOM ==∠，故2232R OA ==，即三棱锥M ABC -的外接球表面积为6π.故选：B【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积问题，考查了基本不等式的应用，考查了线面垂直的判定定理和性质，考查了数学运算能力.二、填空题13．已知向量()1,a t =-r ，()1,2b =r，且()2a b b +⊥r r r ，则实数t 的值为______.【答案】92-【解析】根据平面向量加法、数乘、数量积的坐标表示公式，结合两个平面向量垂直的性质进行求解即可. 【详解】由题意知()21,4a b t +=+r r ，再由()2a b b +⊥r r r 得290t +=，解得92t =-.故答案为：92-【点睛】本题考查了平面向量加法、数乘、数量积的坐标表示公式，考查了两个平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a +=，则使不等式4m a ≥（m *∈N ）成立的m 最大值为______. 【答案】3【解析】对递推关系21n n S a +=再递推一步，得到新的等式，两个等式相减，结合等比数列的定义进行求解即可. 【详解】当1n =时，111231S a a +==，故113a =；当2n ≥时，1121,21,n n n n S a S a --+=⎧⎨+=⎩两式相减得123n n a a -=.故数列{}n a 为首项为13，公比为23的等比数列，故11233n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故12341237m -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭≥，即12439m -⎛⎫ ⎪≥⎝⎭，则3m ≤，故m 的最大值为3. 故答案为：3 【点睛】本题考查了由数列递推公式求数列通项公式，考查了等比数列的定义，考查了数学运算能力.15．设函数()22sin sin 3f x x x πωω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0>ω），若()f x 在区间0,24π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则下列说法中正确的是______（填所有正确选项的序号）. ①存在ω使得函数()f x 为奇函数；②函数()f x 的最大值为12；③ω的取值范围为(]0,4；④存在4个不同的ω使得函数()f x 的图象关于2x π=对称. 【答案】②③④【解析】根据正弦型函数的单调性、奇偶性、对称性进行逐一判断即可. 【详解】由题意()212sin sin sin 2362f x x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然不存在ω使得函数()f x 为奇函数，故①错误；()12f x ≤，故②正确；由于()f x 在区间0,24π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故26221262k k ππππππωπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩（k ∈Z ），解得04ω<≤，故③正确：；令62m πππωπ+=+，m ∈Z ，解得13m ω=+，由04ω<≤知ω的取值为13，43，73，103，故④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查了正弦型函数的单调性、奇偶性、最值、对称性，考查了数学运算能力. 16．已知函数()ln xf x x=，函数()y g x =与()y f x =的图象关于原点对称，若函数()222log e G x g x m e x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数）有4个不同的零点，则实数m 的取值范围为______.【答案】()(),4222,e e -∞---+∞U【解析】根据对称性可以求出()y g x =的解析式，对该函数进行求导，判断单调性，利用换元法，结合基本不等式、双勾函数的单调性，最后求出实数m 的取值范围. 【详解】由题意知()()()ln xg x f x x =--=-，()()()2ln 1ln x g x x --'=-⎡⎤⎣⎦，当()1,0x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减且()0g x >；当(),1x e ∈--时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(),e -∞-时，()0g x '>，()g x 单调递增.令(][)2,,22,e t x m t m e m e x=++∈-∞-++∞U ，由()()()224ln 2g t g g =-=-=-，故2t =-或4t =-.由2e t x m x =++图象知22m e ->-或24m e +<-，解得22m e >-或42m e <--.故答案为：22m e >-或42m e <-- 【点睛】本题考查了利用对称性求函数的解析式，考查了已知函数零点的个数求参数取值范围问题，考查了数学运算能力.三、解答题17．在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22tan tan b A a B =，22sin 1cos 22A BC +=+. （1）求角A 的大小；（2）若点D 为AB 边上一点，满足45BCD ∠=︒且CD =ABC ∆的面积.【答案】（1）30A =︒；（2）【解析】（1）根据降幂公式，结合三角形内角和定理，通过解一元二次方程，结合特殊角的余弦值、正弦定理、同角三角函数关系式中商关系进行求解即可；（2）由（1），可以得知ABC ∆为等腰三角形，顶角120C =︒，由ABC ∆的面积建立等式关系，结合三角形面积公式进行求解即可. 【详解】 （1）由22sin1cos 22A BC +=+得()21cos 2cos A B C -+=， 即22cos cos 10C C --=，解得1cos 2C =-， 故120C =︒. 根据正弦定理知sin sin a b A B=，代入22tan tan b A a B =得22sin sin sin sin cos cos A BB A A B⋅=⋅， 即sin cos sin cos A A B B =，故sin 2sin 2A B =， 因此A B =或90A B +=︒（舍去），故30A =︒. （2）由（1）知ABC ∆为等腰三角形，顶角120C =︒. 设BC AC m ==，由ABC BCD ACD S S S ∆∆∆=+，即2111sin120sin 45sin 75222m m CD m CD ⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒，(3CD =⋅+==⎝⎭，解得m =故21sin1202ABC S m ∆=⋅︒=【点睛】本题考查了降幂公式，考查了三角形面积公式，考查了正弦定理，考查了同角三角函数关系式中的商关系，考查了数学运算能力.18．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1B A ⊥底面ABCD ，12BB BC AB ==，60ABC ∠=︒.（1）求证：1AB A D ⊥；（2）求二面角1A A D C --的余弦值.【答案】(1)见解析；（2）105【解析】（1）连接11A C ，1C D ，AC ,通过勾股定理得到AB AC ⊥，再由条件推得1AB C D ⊥进而得到线面垂直，线线垂直；（2）建立坐标系，分别求得两个面的法向量，进而求得夹角的余弦值. 【详解】(1)连接11A C ，1C D ，AC ，以为原几何体是平行六面体，故得到1111AA CC AC CA=∴P 是平行四边形，进而得到11AC AC ∥，因为2BC AB =且60ABC ∠=︒， 在三角形ABC 中由余弦定理得到边22222122AC AB BC AB BC BC AB =+-⨯⨯=-，222AB AC BC AB AC ∴+=∴⊥，进而得到11AB A C ⊥，又因为1B A ⊥底面ABCD ，1111,B A AB B A C D AB C D ∴⊥∴⊥Q P1111AC C D C AB ⋂=∴⊥面11AC D .1AB AD ∴⊥. (2)根据题干，以及第一问可建立如图坐标系：设122BB BC AB ===，13AB =，()()1,0,0,0,0,0B A ，(()13,3,0B C 根据(1113A B AB A =⇒-，设面1AA D 的法向量为(),,n x y z =r()()11,0,3,1,3,0AAAD BC=-==-u u u r u u u r u u u r ()303,1,130x z n x y ⎧-+=⎪⇒=⎨-+=⎪⎩v设面1A CD 的法向量为(),,m x y z =u r()1,0,0AB DC ==u u u r u u u r ，()11,3,3CA =--u u u r ，()00,1,1330x m x y z =⎧⎪⇒=⎨--+=⎪⎩v则两个半平面的夹角余弦值为：10cos .||||n m n m θ⋅==⋅r u r ru u r【点睛】这个题目考查了空间中直线和面的位置关系的应用，涉及线面垂直的性质的应用，以及线线垂直的证明，和二面角的求法，一般求二面角，可以利用几何方法，做出二面角，或者建立空间坐标系得到法向量进而求得二面角的大小.19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左，右焦点为1F ，2F ，且焦距为23点2B ，1B 分别为椭圆C 的上、下顶点，满足111212111212B F B F B B B F B F B B +=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点()2,0E -，椭圆C 上的两个动点M ，N 满足EM EN ⊥，求证：直线MN 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析 【解析】（1）设111111B F B F B F =u u u u r u u u u r u u u u r ，121212B F B F B F =u u u u r u u u u r u u u u r ，121212B B B B B B =u u u u ru u u u r u u u u r ，结合已知的向量表达式，根据平面向量加法的几何意义可知四边形1122B F B F '''为菱形，结合已知条件进行求解即可；（2）根据直线MN 是否存在斜率进行分类讨论.设直线MN 的方程，与椭圆方程联立，结合一元二次方程根与系数的关系，结合两平面向量垂直的性质进行求解即可. 【详解】（1）设111111B FB F B F =u u u u ru u u u r u u u u r ，121212B F B F B F =u u u u r u u u u r u u u u r ，121212B B B B B B =u u u u ru u u ur u u u u r ， 由1112121112121B F B F B B B F B F B B ===u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u ru u u u r 可知四边形1122B F B F '''为菱形且11260F B B ''∠=︒， 故33b=，解得1b =，故2a =， 椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线MN 斜率存在时，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y .联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得 ()222148440k xkmx m +++-=，()()()222222641611416140k m m k k m ∆=--+=+->，122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+，由EM EN ⊥，则0EM EN ⋅=u u u u r u u u r， 即()()1212220x x y y +++=， 整理得()()()2212121240kx x km x x m++++++=，将122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+代入整理得22121650k km m -+=， 即()()2650k m k m --=，解得2m k =或65m k =. 当2m k =时，直线MN ：2y kx k =+过点E ，舍去； 当65m k =时，直线MN ：65y kx k =+过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭. 当直线MN 斜率不存在时，不妨设()11,M x y ，()11,N x y -， 则由EM EN ⊥，则0EM EN ⋅=u u u u r u u u r，即()221120x y +-=，即()22112104x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即211516120x x ++=，解得12x =-（舍去）或165x =-，也过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭. 综上，直线MN 过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了平面向量加法的几何意义，考查求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆中直线过定点问题，考查了数学运算能力，考查了分类讨论思想. 20．新疆小南瓜以沙甜闻名全国，小田计划从新疆运输小南瓜去上海，随机从某瓜农的瓜地里挑选了100个，其质量分别在[)100,200，[)200,300，[)300,400，[)400,500，[)500,600，[]600,700（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示，将频率视为概率.（1）请根据频率分布直方图估计该瓜农的小南瓜的平均质量；（2）已知瓜地里还有2万个小南瓜已经成熟，可以采摘，小田想全部购买，可是瓜农要求超过400克的小南瓜以5元一个的价格出售，其他的以3元一个的价格出售.将频率视为概率，若新疆到上海往返的运费约2000元，请问这2万个小南瓜在上海以每斤（500克）多少元定价才能保证小田的利润不少于5000元？（结果保留一位小数）（3）某天王阿姨在上海某超市的蔬菜柜台上看到小田从新疆采摘的新疆小南瓜，已知柜台上有若干个，若质量超过500克的小南瓜为“优质品”，王阿姨随机购买了20个小南瓜，求王阿姨购买的小南瓜中“优质品”个数的期望. 【答案】（1）415克；（2）至少定价每斤5.6元；（3）5【解析】（1）根据每组取中点为代表，根据平均数的定义进行求解即可；（2）求出每个小南瓜质量超过400克的概率，再求出2万个小南瓜中质量超过400克的个数，最后结合已知条件进行求解即可；（3）由频率分布直方图可求出小南瓜质量超过500克的概率，结合二项分布的性质进行求解即可. 【详解】（1）小南瓜的平均质量为1500.12500.13500.154500.45500.26500.05415⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（克）（2）每个小南瓜质量超过400克的概率为0.65， 故2万个小南瓜中质量超过400克的个数为13000个，价值为130********⨯=（元），质量低于400克的价值为7000321000⨯=（元）， 则小田运到上海总的费用为6500021000200088000++=（元）. 由（1）知，2万个小南瓜的总质量为2000041550016600⨯÷=（斤）， 因为8800050005.616600+≈，所以小田至少定价每斤5.6元才能保证利润不少于5000元.（3）由频率分布直方图知，小南瓜质量超过500克的概率0.25P =， 由题意知，王阿姨购买的小南瓜中“优质品”个数X 服从二项分布()20,0.25B ， 则()200.255E X =⨯=，故王阿姨购买的小南瓜中“优质品”个数的期望为5. 【点睛】本题考查了二项分布的性质，考查了利用频率直方图求平均数，考查了数学运算能力.21．已知函数()2e ,02,0x m x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩（e 为自然对数的底数）.（1）当1m =-时，设()()g x xf x =，求()g x 的单调区间；（2）若()f x 的图象在两点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x （120x x ≤<）处的切线重合，求证：314m -≤<.【答案】（1）增区间40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间(),0-∞，4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）见解析 【解析】（1）求出函数()g x 的解析式，然后分类讨论，结合导数进行求解即可； （2）根据题意，利用导数求出两点处切线的斜率，再求出Q 点处的切线方程，这样可以得到()()2222222ln 2222m x x x x =-+-++-+，通过换元法，构造函数，再求导，求出新函数的单调性，利用单调性进行求解即可. 【详解】（1）由题意知()32e ,0,2,0,x x x x g x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩当0x ≤时，()()1e 10xg x x '=+-≤，故()g x 在(),0-∞上单调递减；当0x >时，()234g x x x '=-+，故()g x 在40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减.（2）由题意知()11e xf x '=，()2222f x x '=-+，则(]12e 220,1xx =-+∈，Q 点处的切线方程为()()22222222y x x x x x =-+--+，则有()()1221222e 222xm x x x x x +=-++-+，将12e 22xx =-+代入整理得()()2222222ln 2222m x x x x =-+-++-+，令(]2220,1t x =-+∈，则2ln 214t m t t t =-++，令()2ln 214t G t t t t =-++（(]0,1t ∈），则()ln 102tG t t '=-+<， 故()G t 在(]0,1上单调递减， 故()()314G t G ≥=-， 又因为()1ln 204t G t t t ⎛⎫-=-+< ⎪⎝⎭，所以()1G t <， 即3,14m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性，考查了曲线的切线求法，考查了数学运算能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）证明：直线l 与曲线C 相切；（2）设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点P 是曲线C 上任意一点，求22PA PB +的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）[]4,8【解析】（1）利用加减消元法把直线l 化成普通方程，再根据极坐标与直角坐标互化公式把曲线C 化成直角坐标方程形式，最后通过圆心到直线的距离进行证明即可； （2）由（Ⅰ）知()2,0A ，()0,2B ，设点P坐标为11cos ,sin 2222θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，根据两点间距离公式，结合辅助角公式进行求解即可. 【详解】（1）直线l 的普通方程为20x y +-=，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，代入得曲线C 的直角坐标方程为220x y x y +--=， 即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心为11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2，圆心C 到直线l的距离2d ==， 故直线l 与曲线C 相切.（2）由（Ⅰ）知()2,0A ，()0,2B ，设点P 坐标为11,2222θθ⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭， 2223122PA θθ⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32θθ-=+222132222PB θθ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3=，则)226sin cos PA PB θθ+=+[]62sin 4,84πθ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，故22PA PB +的取值范围为[]4,8.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程化成普通直角坐标方程，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力. 23．已知函数()4f x x x a a=+--（0a >） （1）求证：()4f x ≥；（2）当4a =时，解不等式()9f x ≥. 【答案】（1）见解析；（2）(][),27,-∞-+∞U 【解析】（1）利用绝对值的性质进行求解即可；（2）利用绝对值的性质把函数()f x 的解析式化简为分段函数的形式，最后分类讨论求解即可. 【详解】（1）()4f x x x a a=+--第 21 页 共 21 页 444x x a a a a≥-++=+≥（当且仅当2a =且()40x x -≤时“=”成立）， 故()4f x ≥成立.（2）当4a =时，()5f x x x =+-52,0,5,05,25,5,x x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩则0529x x ≤⎧⎨-≥⎩或5,259,x x ≥⎧⎨-≥⎩解得2x -≤或7x ≥，故()9f x ≥的解集为(][),27,-∞-+∞U .【点睛】本题考查了绝对值的性质，考查了解绝对值不等式，考查了数学运算能力.。
2019年百校联考(四)·数学·答案
x+
4
y=999
9 99
9
7
13. 5.2
14. 180
15.
20
摇
姨
2
9
16.
解：（1）原式=4-8×0.125+1+
摇
姨
2
-1
!!!!!!!!!!!!!!!!! 4分
=4-1+1+
摇
姨
2
-1
=3+
摇
姨
2
.
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5分
（2）原式= 3（x-1） ·（x+1）2 + 1 （x+1）（x-1） 3x x2-x
（棒，虫）4种情况. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5分
∴李四取胜的概率为 4 = 1 . 16 4
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6分
（3）两人能分出胜负的概率为 1 . 2
!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8分
20. 证明：（1）连接OA，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°. !!!!!!!!!!!!! 1分
整理，得a2-5a=0.
解方程，得a1=5，a2=0（不合题意，舍去）． !!!!!!!!!!!!!!!!! 7分
200（1－5%）=190（元）. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
答：在实际销售过程中每个背包售价为190元. !!!!!!!!!!!!!! 9分
22. 解：（1）菱形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1分
5，
7 4
，点F的坐标为
厦门市达标名校2019年高考四月大联考数学试卷含解析
厦门市达标名校2019年高考四月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-2．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =，DF FC =，且6AF BE ⋅=-，则向量AD 在AB 上的投影为（ ）A ．2B ．2-C ．32D ．32-3．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．πB ．2πC ．3πD ．2π4．在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．4711B ．4712C ．4713D ．47155．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．106．函数f(x)＝21xx e-的图象大致为() A ． B ．C ．D ．7．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．98．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c 9．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．10．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -11．如图，已知直线:l ()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ）A ．13B ．23C ．23D ．2212．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（ ）．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省2019年百校大联考高三数学试卷(解析版)
江苏省2019年百校大联考高三数学试卷考生注意：1.本试卷共200分。
考试时间150分钟。
2.请将各题答案填在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
1．已知{}0,2,4,6A =，{}2,34,5B =,，则A B =I ． 答案：{}2,4 考点：集合的运算。
解析：取集合A ，B 的即可，所以，A B =I {}2,42．若复数(1i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = ． 答案：－1考点：复数的概念与运算。
解析：(1i)(1i)z a =+-＝1＋(1)a a i +-，由纯虚数，知：1010a a +=⎧⎨-≠⎩，所以，a =－1 3．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数为 人． 答案：760 考点：分层抽样。
解析：设男生抽了x 人，则女生抽了（x －10）人，则 x ＋x －10＝200，解得：x ＝105，所以，女生抽了95人， 女生人数为：952001600÷＝760 4．根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 ．答案：145考点：算法初步，等差数列的前n 项和公式。
解析：第1步：I ＝1，S ＝1；第2步：I ＝4，S ＝5；第3步：I ＝7，S ＝12；…… S ＝1+4+7+……+28＝145。
5．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s ，黄灯时间为3s ，绿灯时间为60s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 ． 答案：512考点：古典概型。
解析：遇到红灯的概率为：P ＝454554536010812==++。
6．已知实数x ，y 满足132y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则y x 的最大值是 ．答案：23考点：线性规划。
四校的联考文科数学参考标准答案及说明.doc
2019 届高三水平测试·数学（文科）答案一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 在每小题的 4 个选项中 , 只有一项是符合题目要求的 .题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCBDCDCACD二、填空题：本大题共 5 小题 , 考生作答４小题，每小题 5 分 , 共 20 分 .11. 0 或2 ； 12.30 ；13. (0, 1)(2, ) ；14. 4 ；15. x y3 0 ．32三、解答题：本大题共 6 小题 , 共 80 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分 12 分）已知向量 acos x 3 sin x,1 , bfx ,cosx ，其中＞ 0，且 a / /b ，又函数 f ( x) 的图像两相邻对称轴之间的距离为3 π.2(1) 求 的值；(2) 求函数 f ( x) 在区间,5 上的最大值与最小值及相应的x 值．2解 .(1) 由题意 a / / b ，f (x)cos x(cos x 3 sin1 cos2 x3 sin 2 x1sin(2 πx)222x ) ．6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 由题意，函数的最小正周期为3π，又＞ 0，π 2π1 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分3 =32(2) 由 (１ )知 f ( x)1 sin(2 x) ， x, 5，2x65 , 11 ,2 3 62366当 2 x65 , 即 x 时， f ( x) 取得最大值 1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分3 6当2x69 , 即 x 2 时， f ( x) 取得最小值 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分3 6217．（本小题满分12 分）为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音” 的数学史知识竞赛活动，共有 800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为 100 分）进行统计．请你根据频率分布表，解答下列问题：序号分组组中值频数频率（人数）（ i ）（分数）G i F i1 60,70 65 ①0.162 70,80 75 22 ②3 80,90 85 14 0.284 90,100 95 ③④合计50 1开始S=0i=1i=i ＋1S=S＋G i·F i输入 G i， F ii ≤4YN输出 S结束（ 1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于80 分的同学能获奖，请估计在参加的 800 名学生中大概有多少同学获奖？（ 3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出S 的值．解：（ 1）①为8 ，②为 0.44 ，③为 6 ，④为 0.12 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（ 2）0.28 0.12 800，320即在参加的 800 名学生中大概有 320 名同学获奖．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分（ 3）由流程图S G1F1 G 2 F2 G 3 F3 G 4 F465 0.16 75 0.44 85 0.28 95 0.12 78.6 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分18．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中， PD平面ABCD，ADPC 的中点，AD CD 1, BC PC ,DB2 2 .（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证： : AC平面PBD；（3）求四棱锥P ABCD的体积 .（1）证明 : 设AC BD H，连结EH，在ADC中，AD CD , 且DB平分ADC ，CD ，且 BD 平分ADC ， E 为PEBAHD CH 为 AC 的中点， E 为 PC 的中点， EH ∥ PA.HE 平面 BDE ， PA 平面 BDE ，PA ∥平面 BDE ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）证明 : PD 平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ，PD AC ， 由（Ⅰ）知 BD AC,PD BD D, PD 平面 PBD ， BD 平面 PBD ，AC 平面 PBD ; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分另证： PD 平面 ABCD ， PD 平面 PBD ，平面 PBD 平面 ABCD ， 由（Ⅰ）知 AC BD, 平面 PBD 平面 ABCD BD, AC 平面 ABCD ，AC 平面 PBD ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分（ ）解：在△ BCD 中， DC1, DB 2 2, BDC45 ，得3BC 2 12 (2 2) 2 2 1 2 2 cos 455, BC 5.在 Rt △ PDC 中， PCBC 5, DC 1, 从而 PD 2, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分SABCD2SBCD2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分故四棱锥 P1 2 2414 分ABCD 的体积 V P ABCD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3319．（本小题满分 14 分）如图，在直角梯形 ABCD 中， ADAB, BCAB, AD 3, AB 4, BC3 ，点 E 在线段 AB 的延长线上 . 曲线段 DE 上任一点到 A 、 B 两点的距离之和都相等．（１）建立适当的直角坐标系，求曲线段 DE 的方程；（２）试问：过点 C 能否作一条直线 l 与曲线段 DE 相交于两点 M 、 N ，使得线段 MN 以C 为中点？若能，则求直线l 的方程；若不能，则说明理由．解：（ 1）以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中点为原点， y建立如图所示的平面直角坐标系，则 A( 2,0), B(2,0), C (2,3), D ( 2,3). ⋯⋯⋯⋯⋯1 分DCAD BD 3 5 8AB ，依题意，曲线段 DE 是以 A 、 B 为左、右焦点，AOBEx长轴长为 8 的椭圆的一部分． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分故曲线段DE 的方程为x 2y 2 1(x2, y 0).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分16 12（ 2）设这样的直线l 存在，由直线 x 2 与曲线段DE 只有一个交点(0,3) ，知直线 l 存在斜率，设直线 l 的方程为y 3 k ( x 2), 即 y k( x 2) 3,将其代入 x2 y2 1 得16 12(3 4k 2 ) x2 (8 3k 16k 2 ) x 16k 2 16 3k 36 0 ① ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分设M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ，则由x1 x2 2, 知 x1 x2 4, 8 3k 16k 2 4, 解得 k 3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分2 3 4k 2 2当 k 3 时，方程①化为：x2 4x 0 ，解得 x1 0, x2 4.2即M (0, 2 3), N (4,0) ，适合条件．故直线 l 存在，其方程为y 3 x 2 3, 即3x 2 y 4 3 0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分220．（本小题满分14 分）设函数 f x x3 ax2 a2 x 1,二次函数 g x ax2 x 1 ，其中常数a R．（ 1）若函数f x 与g x 在区间 a 2, a 内均为增函数，求实数 a 的取值范围；（ 2）当函数y f x 与 y g x 的图象只有一个公共点且g x 存在最大值时，记 g x 的最大值为 h(a) ，求函数 h(a) 的解析式．解：（1）由题意a 0. f x 3x2 2ax a2 3 x a x a ， g x 2ax 1.3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分1 当 a 0 时，f x 0 x a,或x a, 函数f ( x)的增区间为, a 、a,.3 3g x 0 x 1 , 函数g x 的增区间为1 ,.2a 2a函数 f x 与 g x 在区间 a 2, a 内均为增函数，a 0a 2a 解得 a 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分3 a 212a2 当 a0 时， f x 0xa a,,或 x3函数 fx 的增区间为,a、 a,.3g x0 1 , 函数 g x,1.x的增区间为2a2a函数 f x 与 g x 在区间 a2, a 内均为增函数函数，a 0aa，解得 a2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3 2a12a综上所述，实数 a 的取值范围是 (,23,.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分]2（2）∵二次函数 g xax 2 x 1 有最大值， a 0 ，由 f x g x 得 x x 2 a 21 0 ，即 x 0 ,或 x 2a 2 1.∵函数 yfx 与 y g x 的图象只有一个公共点， a 2 1 0 ，又 a0 ，1 a0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分1 2111又 gxa x1 ，当 x时 , g x有最大值2a4a2a 1 ,4ah a11, 1 a 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分4a21．（本小题满分 14 分）已知数列 a n 满足： a 1 3, a n a n 1 2n 1( n 2, n N ) ．（１）求数列a n 的通项公式及前 n 项和 S n ；（２）令 b na n1 ， T n b 1 2b2 2n 1b n ( n N ) ,求证： T n1(n N ) ．an 16解 :（ 1）解法一：a n a n12n 1 n 2 ,∴当 n 2 时， a na 1 ( a 2 a 1) a 3 a 2an 1an 2a nan 13 2 222n 2 2n 1 2 1 2n2n 1．1 2检验知当 n1 时，结论也成立，故 a n 2n 1 (n N ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分S n (2 2 22 n 12 n) n2(1 2n )n 2 n 1n 2 (nN ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分12解法二：a a2n 1n 2 , a n 2na n 12n 1n2 ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分nn 1数列 a n 2 是首项为 a 12 1,公差为 0 的等差数列 ,a n 2n 1 , a n2n 1 (n N ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分S n(2 22 2 n 12 n)n 2(1 2n ) n 2 n 1n 2 (nN ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分12解法三：a nan 12n 1 n 2 ,a n 1 a n 1 1 ，2n 2 2n 1 2a n11 a n 11) n2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯３分2 n(n 12 2a 1 11 0 ，数列 a n 是首项与公比均为 1 的等比数列 ,122 n122a n 1( 1)n ,a n 2n 1 (n N ) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分2n2S n (2 22 2n 1 2n ) n 2(1 2n ) n 2n 1 n 2 (n N)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分1 2证明 :（ 2）2n 1b n 2n 112n 1 2n 12n 1 1 2n 1 1 1 1(n N)．2 2n 1 2n 1 1 2 2n 1 2n 1 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分T n b12b22n 1b n1 1 1 1 1 1 12 1 2 1 222231 2n n 11 2 11 21 1 1 1 1 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分2 1 2 2n 1 1 2 1 2 6。
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⊥ ⊥ ⊥⊥ ∴m=4
1 m2- 1 m-242
1 2
m-2
.
解得m1=5，m2=0（舍去）.
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ∴点E的坐标为（5，0），点D的坐标为
5，
7 4
，点F的坐标为
5，
1 2
.
!!!!! 6分
∴S四边形DOBF=S△OED－S△BEF
=
1 2
×5×
7 4
-
1 2
×1×
1 2
= 383 .
!!!!!!!!!!!!!!!!!! 7分
⊥∴
⊥
4k+b=0， 解得
k= ⊥
⊥ ⊥⊥ ⊥
1 2
，
b=-2.
⊥ ⊥
⊥⊥⊥b=-2.
∴直线BC的函数表达式为y= 1 x-2. 2
!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4分
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 设点D的坐标为
m，
1 4
m2-
1 2
m-2
，则点F的坐标为
m，
1 2
m-2
，点E的坐标为（m，0）.
∵点D在第一象限，∴m>0，又∵OE=4DF，
200（1－5%）=190（元）. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
答：在实际销售过程中每个背包售价为190元. !!!!!!!!!!!!!! 9分
22. 解：（1）菱形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1分
证明：由平移得CF∥AD，CF=AD， !!!!!!!!!!!!!!!!!! 2分
8，
7 4
-n
，
（答图 3）
代入y= 1 x2- 1 x-2，得 7 -n=16-4-2.
42
4
解得n=-
ห้องสมุดไป่ตู้
33 4
.
此时点M的坐标为（8，10）． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 13分
综上所述，存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标分别为（0，－2）
或（2，－2）或（8，10）.
C（ 1 3，－3）. !!!!!!!!!!!!! 3分
（2）如图，△A2BC2即为所求， !!!!!! 5分
△A2BC2的面积为20. !!!!!!!!! 6分
18. 解：（1）存在其他像这样五个连续的整数，前三个
数的平方和正好等于后两个数的平方和. ! 1分
设x为这五个连续整数的第二个数. !!! 2分
又∵OA=OB，
（第 20 题答图）
∴∠ABP=∠OAB=30°. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3分
∵PA是⊙O的切线．
∴OA⊥PA.
∴∠OAP=90°. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4分
∴∠OPA=90°－∠AOP=30°.
∴∠OPA=∠ABP.
∴AP=AB. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5分
数学（四）答案 第 5 页 （共 5 页）
（鸡，鸡）
（虫，鸡）
虫
（虎，虫）
（棒，虫）
（鸡，虫）
（虫，虫）
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 虫分
由表可知，共有16种等可能的结果，李四取胜的结果共有（鸡，虎），（虎，棒），（虫，鸡），
（棒，虫）4种情况. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5分
∴李四取胜的概率为 4 = 1 . 16 4
∵AB= AC =2， sin30°
数学（四）答案 第 3 页 （共 5 页）
∴S梯形CDBF=
1（CF+DB）·CG= 2
1（AD+DB）·CG= 2
1 2
AB·CG=S△ABC=
1 2
×2×
姨3 2
=姨3 2
.
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 9分
（3）①四边形CDBF的对角线互相垂直；
（第 17 题答图）
数学（四）答案 第 1 页 （共 5 页）
依题意列方程，得（x－1）2+x2+（x+1）2=（x+2）2+（x+3）2. !!!!!!!!!!! 3分
化简，得x2－10x－11=0.
解这个方程，得x1=11，x2=－1. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5分
∴五个连续的整数为10，11，12，13，14和－2，－1，0，1，2，前三个数的平方和正好等于后
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6分
（3）两人能分出胜负的概率为 1 . 2
!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8分
20. 证明：（1）连接OA，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°. !!!!!!!!!!!!! 1分
∴∠AOP=60°. !!!!!!!!!!!!!!!!!! 2分
又∵点D为AB的中点，∴AD=BD，
∴CF=BD， !!!!!!!!!!!!!!!! 3分
又∵CF∥AD，
∴CF∥BD，
（第 22 题答图 1）
∴四边形CDBF是平行四边形. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4分
在Rt△ACB中，CD为中线，
∴CD=DB， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5分
两个数的平方和.
答：存在其他五个连续的整数－2，－1，0，1，2，前三个数的平方和正好等于后两个数的
平方和. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6分
（2）21，22，23，24，25，26，27和－3，－2，－1，0，1，2，3. !!!!!!!!!!!! 8分
19. 解：（1）张三喊出“虎”时，李四可能喊出“虎”“棒”“鸡”“虫”四种情况，其中只有李四喊
摇
姨
2
-1
!!!!!!!!!!!!!!!!! 4分
=4-1+1+
摇
姨
2
-1
=3+
摇
姨
2
.
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5分
（2）原式= 3（x-1） ·（x+1）2 + 1 （x+1）（x-1） 3x x2-x
!!!!!!!!!!!!!!!!! 7分
= x+1 + 1 x x（x-1）
山西中考模拟百校联考试卷（四）
数学参考答案及评分标准
一、选择题
1~5 BACDB
6~10 ADBCD
二、填空题
11.（3n+1） 三、解答题
99x+y=1000，
9
12.
99
9911
9
x+
4
y=999
9 99
9
7
13. 5.2
14. 180
15.
20
摇
姨
2
9
16.
解：（1）原式=4-8×0.125+1+
（3）设点N的坐标为（1，n），
⊥ ⊥ ①当NB为对角线时，如答图1所示，点M的坐标为
0，n-
7 4
.
代入y= 1 x2- 1 x-2，得n- 7 =-2，解得n=- 1 .
42
4
4
数学（四）答案 第 4 页 （共 5 页）
此时点M的坐标为（0，－2）； !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 9分
出“鸡”一种情况，张三能取胜.
!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1分
∴张三喊出“虎”取胜的概率为 1 . 4
!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2分
（2）根据题意，列表得：
李四
张三
虎
虎 （虎，虎）
棒 （棒，虎）
鸡 （鸡，虎）
虫 （虫，虎）
棒
（虎，棒）
（棒，棒）
（鸡，棒）
（虫，棒）
鸡
（虎，鸡）
（棒，鸡）
= x2 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8分 x（x-1）
=x. x-1
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 9分
当x=
摇
姨
2
+1时，
原式=
x
=
摇
姨
2
+1
=
2+
摇
姨
2
.
x-1
摇
姨
2
+1-1
2
!!! 10分
17. 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求， !!!!! 2分
②四边形CDBF一组对边平行；
③四边形CDBF面积是一个定值. !!!!!!!!!!!!!!!!!!! 11分
（写出两个即可，答案不唯一）
（4）答案不唯一，只要符合要求即可得1分. 如：平移过程中，求∠FDB与∠CBD的和.
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 12分
23. 解：（1）由y=0，得 1 x2- 1 x-2=0. 42
数学（四）答案 第 2 页 （共 5 页）
（2）解：在Rt△OAP中，∵∠OPA=30°， ∴PO=2OA=OD+PD. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6分 又∵OA=OD， ∴PD=OA. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 7分
∵PD=姨 5 ，
∴2OA=2PD=2姨 5 . !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8分
答：每个背包售价应不高于200元． !!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4分