2021年高考数学大一轮复习 6.2一元二次不等式及其解法课时作业 理
最新-2021届高三数学文一轮复习课件：62 一元二次不等式及其解法 精品
(1)求 n 的值。
解析：(1)由试验数据知， s1＝25n＋4，s2＝170n＋449，
所以61＜4＜25n170＋n4＋＜4489＜，17，
又 n∈N，所以取 n＝6。
5＜n＜10， 解之得52＜n＜1945 。
(2)要使刹车距离不超过 12.6 m，则行驶的最大速度是多少？
解析：(2)由(1)知，s＝35v0＋4v020，v≥0。 依题意，s＝35v0＋4v020≤12.6， 即 v2＋24v－5 040≤0，解之得－84≤v≤60。 注意到 v≥0，所以 0≤v≤60。 故行驶的最大速度为 60 km/h。
解析：(2)当 x∈[－2,2]时，设 g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨 论(如图所示)：
(1)
(2)
①如图(1)，当 g(x)的图象恒在 x 轴上方时，满足条件，有 Δ＝a2－4(3－a)≤0， 即－6≤a≤2。
②如图(2)，g(x)的图象与 x 轴有交点， 但在 x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，
解析：∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2，故原不等式的解集为(1,2)，故选 D 项。
答案：D
3．不等式 2x2－x－1＞0 的解集是( )
A.－12，1 C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B．(1，＋∞) D.－∞，－21∪(1，＋∞)
解析：∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0， ∴x＞1 或 x＜－12， 故原不等式的解集为－∞，－21∪(1，＋∞)， 故选 D。 答案：D
4．若不等式 ax2＋bx－2＜0 的解集为{x|－2＜x＜14}，则 ab＝(
)
A．－28
B．－26
C．28
D．26
解析：∵x＝－2，14是方程 ax2＋bx－2＝0 的两根，
新高考数学一轮复习练习-一元二次不等式解法及运用(提升)(解析版)
2.1 一元二次不等式解法及运用(提升）一、单选题1．（2021·广东珠海市·高三二模）已知，满足，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因，，则a>0，b<0，，A 不正确；，则，B 不正确；又，即，则，，C 正确；由得，D 不正确.故选：C2．（2021·天津高三一模）已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】（由函数为增函数）对于A ，，故正确；对于B ，取，，故错误；对于C ，取，显然不成立，故错误；对于D ，假设成立，则，即，可得，而时，不能一定有，故不成立.,a b ∈R 0ab <0a b +>a b >11a b<0b a a b+>22a b >a b<0ab <a b >110,0a b><0,0b a a b <<0b aa b +<0a b +>0a b >->22()a b >-22a b >0a b >->||a b >0,0,lnlg y xx y x y >>>11x y>sin sin y x>y x x y<10x y yxe >lnlg y x x y> ln ln lg lg y x x y ∴->-ln lg ln lg y y x x∴+>+0x y ∴>>ln lg y x x =+011x x y y>>⇒>,2y x ππ==sin 0sin 1y x =<=2,1y x ==10x y yxe >ln ln10x y yxe >ln10y xx y>22ln10y x >0y x >>22ln10y x >故选：A3．（2021·全国高三专题）若关于的不等式()的解集为空集，则的最小值为（ ）AB ．C ．D．【答案】D【解析】关于的不等式()的解集为空集所以，，得，∴，令，则，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值为4，故选：D.4．（2020·上海市建平中学）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的整数的值之和是（ ）A ．13B ．18C ．21D ．26【答案】C 【解析】x 210x bx c a++<1ab >1(2)2(1)1a b c T ab ab +=+--24x 210x bx c a++<1ab >10a >240c b a -≤24ab c ≥221(2)122(1)12(1)a b c ab a b T ab ab ab +++=+≥---1ab m -=0m >212(1)(1)22422m m m T m m++++≥=++≥2m =1(2)2(1)1a b c T ab ab +=+--设，其图象是开口向上，对称轴是x =3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得5<a ⩽8，又a ∈Z ，∴a =6，7，8.则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21.故选C.5．（2020·全国高三）设是关于的一元二次方程的两个实根，则的最小值是（ ）A ．B ．18C ．8D ．-6【答案】C【解析】因为是关于的一元二次方程的两个实根所以由韦达定理得 ，且所以2()6f x x x a =-+260x x a -+≤()()2010f f ⎧⎪⎨>⎪⎩…2226201610a a ⎧-⨯+⎨-⨯+>⎩…,a b x 2260x mx m -++=22(1)(1)a b -+-494-,a b x 2260x mx m -++=26a b m ab m +=⎧⎨=+⎩()2460m m ∆=--≥()()22222224(1)(1)610a b ab b y m a b a m =+-=-+--++=--2349444m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭且或由二次函数的性质知，当时，函数取得最小值为即的最小值为故选C.6．（2021·山西太原市）设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A，若A⊆[1，3]，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则不等式的解集，①若，则，即，解得②若，则，∴综上，故实数的取值范围是故选A．7．（2021·全国高三专题练习）已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是（）A．2－<m<2＋B．m<2C．m<2＋D．m≥2＋【答案】C【解析】令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，则对于方程f(t)＝0，有或,3m≥2m≤-3m=2349444y m⎛⎫=--⎪⎝⎭822(1)(1)a b-+-8111,5⎛⎤- ⎥⎝⎦111,5⎛⎤⎥⎝⎦112,5⎛⎤⎥⎝⎦(]1,3-222f x x ax a=-++（）2220x ax a-++≤[]13A⊆，A∅=24420a a=-+V（）＜220a a--＜12a＜＜-A∅≠()()103013ffa∆≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪<<⎩1125a≤≤1115a-<≤a111]5-（，()()2410m m∆=--+<()121110mf m m∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩解得，所以m <2＋.故选：C8．（2021·全国高三专题练习）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）A ．0B ．-2C ．D ．-3【答案】B【解析】，，由对勾函数性性质可知，当为减函数，当时，为增函数，故，即恒成立，，故的最小值为-2故选：B9．（2021·浙江高三专题练习）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】不等式恒成立，即，即恒成立，即恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选B.10．（2021·全国高三专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意构造函数：，由于当时，不等式恒成立，即，解得，即 ，故选A.11．（2021·四川成都市·高三月考）给出下列命题:①且;②22m -<<+2m ≤-210x ax ++≥(]0,2x ∈a 52-(]0,2x ∈ 2110x ax x a x∴++≥⇔+≥-()0,1,x ∈()1f x x x =+()12x ,∈()1f x x x=+()()min 1112f x f ==+=2a -≤2a ≥-a ()2223122x axx a -+<a (0,1)-3(,)4+∞3(0,43(,)4-∞22231()22x axx a -+<222(3)11()()22x ax x a --+<222(3)x ax x a ->-+22(32)0x a x a +-+>22(32)40a a ∆=--<34a >a 3(,)4+∞()1,2x ∈240x mx ++<m 5m ≤-5m <-5m <5m ≥()()241,2f x x mx x =++∈，12x ∈（，）240x mx ++<()()1020f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩45m m ≤-⎧⎨≤-⎩5m ≤-11x y x y -≠⇔-≠1y x -≠;③.其中真命题的个数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对于①，且的逆否命题为：或，因为：或是真命题，所以原命题是真命题；对于②，由得，解得或，所以是假命题；对于③，由得，由得，即，因为， 即，所以是真命题.故选：C.12．（2021·全国高三专题练习）下列选项中，使成立的的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】故选A.13．（2020·湖北高三期中）已知，恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意，函数，令，111x x <⇒>22330aba b ab a b>⇔>-012311x y x y -≠⇔-≠1y x -≠1x y -=1y x -=⇔1x y -=1x y -=1y x -=⇔1x y -=11x <10xx-<1x >0x <22a b ab >()0ab a b ->330ab a b>-()330ab a b ->()()220ab a b a ab b -++>22223024b a ab b a b⎛⎫⎛⎫++=++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()3300ab a b ab a b ->⇔->22330aba b ab a b >⇔>-21x x x<<x (,1)-∞-(1,0)-(0,1)(1,)+∞22(1)(1)11,01{,{{ 1.11,0(1)(1)0x x x x x xxx x x x x x x x x+-<<<-<<∴∴∴<-><-++<> 或原不等式可化为，或2()41f x x x a =+++,(())0x R f f x ∀∈≥⎫+∞⎪⎪⎭[2,)+∞[1,)-+∞[3,)+∞2()41f x x x a =+++()2241(2)33t f x x x a x a a ==+++=+-+≥-又由恒成立，即对任意恒成立，当时，即时，，解得，此时无解；当时，即时，，解得，综上可得，实数a 的取值范围为.14．（2020·浙江宁波市·高三期中）已知，，对任意的实数均有，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，，对任意的实数均有，令，则有对任意的恒成立；若，则，原不等式可化为，因为，所以解不等式可得或，因，所以不满足原不等式对任意的恒成立；即不满足题意；若，当时，，则原不等式可化为，令，则是开口向上的二次函数，且零点为和，为使对任意的恒成立；只有；当时，；若，则由不等式可得或，解得或，因为，所以不能满足原不等式对任意的恒成立；若，则由不等式可得或,(())0x R f f x ∀∈≥()0f t ≥3t a ≥-32a -≤-1a ≤()min (2)30f t f a ==-≥3a ≥32a ->-1a >()2min (3)20f t f a a a =-=--≥2a ≥[2,)+∞a b R ∈x ()()()210x a x b x a +---≥2+a b 1581782a b R ∈x ()()()210x a x b x a +---≥t x =()()()210t a t b t a +---≥[)0,t ∈+∞0b ≤0t b -≥()()210t a t a +--≥()2221311024a a a a a ⎛⎫+--=++=++> ⎪⎝⎭()()210t a t a +--≥21t a ≥+t a ≤-21a a +>-[)0,t ∈+∞0b ≤0b >0a ≥0t a +≥()()210t b t a ---≥()()()21f t t b t a =---()f t t b =21t a =+()()210t b t a ---≥[)0,t ∈+∞21b a =+0a <0a ->21a b a -<<+()()()210t a t b t a +---≥()()210t a t b t a +≥⎧⎪⎨---≥⎪⎩()()210t a t b t a +≤⎧⎪⎨---≤⎪⎩21t a ≥+a t b -≤≤21b a <+[)0,t ∈+∞21b a a <-<+()()()210t a t b t a +---≥()()2010t b t a t a -≥⎧⎪⎨+--≥⎪⎩，解得或，因为，所以不满足原不等式对任意的恒成立；若，则由不等式可得或，解得或，因为，所以不满足原不等式对任意的恒成立；若，则不等式可化为，解得或，不满足原不等式对任意的恒成立；若，则不等式可化为，解得，不满足原不等式对任意的恒成立；综上，为使对任意的恒成立，只有，所以，令，则其是开口向上的二次函数，对称轴为，所以其在上单调递增，因此.故选：D.二、多选题15．（2021·烟台市教育局高三三模）已知，，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ACD【解析】对A ，由，，且可得，则，()()210t b t a t a -≤⎧⎪⎨+--≤⎪⎩21t a ≥+b t a ≤≤-21a a -<+[)0,t ∈+∞21a a b -<+<()()()210t a t b t a +---≥()()2010t a t b t a +≥⎧⎪⎨---≥⎪⎩()()210t a t b t a +≤⎧⎪⎨---≤⎪⎩t b ≥21a t a -≤≤+21a b +<[)0,t ∈+∞=-b a ()()()210t a t b t a +---≥()()2210t a t a +--≥21t a ≥+t a =-[)0,t ∈+∞21b a =+()()()210t a t b t a +---≥()()2210t a t a +--≥t a ≥-[)0,t ∈+∞()()()210t a t b t a +---≥[)0,t ∈+∞21a b a ≥⎧⎨=+⎩222111511522222216848a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211522248y a a a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭14a =-[)0,+∞2220022y a a =++≥++=0a >0b >1a b -=e e 1a b ->e e 1a b -<914a b-≤222log log 2a b -≥0a >0b >1a b -=0a b >>()()11ba abbb eee e e e -=-=--，，又，，即，故A 正确；对B ，令，则，故B 错误；对C ，，当且仅当时等号成立，故C正确；对D ，，当且仅当，即时等号成立，故D 正确.故选：ACD.16．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知实数a ，b ，c ，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若，则B ．若，则的最小值为8C ．若，，则D ．若，则【答案】ABC 【解析】选项A 中，则A 正确；B ，，当且仅当，即时，等号成立，则B 正确；选项C 中，因为，所以，则，所以，则C 正确；若，满足，而，D 不正确，故选:ABC ．17．（2021·全国高三专题练习）下列四种说法中正确的有（ ）A ．命题“，”的否定是“，”；B ．若不等式的解集为，则不等式的解集为C ．复数满足，在复平面对应的点为，则D ．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范0b > 1b e ∴>11e ->()11be e ∴->e e 1a b ->2,1a b ==e e 211e a b =-->()9191910104b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫-=--=-+≤-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9b a a b =()22222222112log log log log lo 2g 22log b a b b b b a b ⎛⎫+⎛⎫==++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭-⎝=1b b=1b =0a b >>11a b>0,0,21a b a b >>+=21a b+0a b >>1ab =12a b a b<+0a b >>sin sin a b>110b a a b ab --=>214(2)48b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭4b a a b =11,24a b ==1,0ab a b =>>10>>>a b 11122,222a ab a a b a +=>=<⋅12a b a b <+,2a b ππ==0a b >>sin sin a b <x R ∀∈231x x >+x R ∃∈231x x <+210ax bx ++>{}13x x -<<23650ax bx ++<()(),15,-∞-+∞ z 21z i -=z (),x y ()2221x y +-=1:32p x ≤≤()21:100q x a x a a ⎛⎫-++≤> ⎪⎝⎭p q a围是【答案】BCD【解析】选项A ：命题“，”的否定应该是“，”，故选项A 错误；选项B ：因为不等式的解集为，所以方程的两个根为和3，且.由，解出.所以不等式可化为：，即，解得或.所以不等式的解集为，故选项B 正确；选项C ：设，，所以满足.故选项C 正确；由得到：.当时，，所以有.由题意可得：，解得；当时，，[)10,3,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U x ∀∈R 231x x >+0x ∃∈R 02031xx ≤+210ax bx ++>{}13x x -<<210ax bx ++=1-0a <213b a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1323a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23650ax bx ++<2450x x -++<2450x x -->1x <-5x >23650ax bx ++<()(),15,-∞-+∞ i z a b =+()2i 2i 1z a b -=+-==()2221x y +-=()21100x a x a a ⎛⎫-++≤> ⎪⎝⎭()10x a x a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭1a ≥1a a>1:q x a a≤≤1123a a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩3a ≥01a <<1a a<所以有.由题意可得：，解得.因此，实数的取值范围是.故选项D 正确.故选：BCD.18．（2021·全国高三专题练习）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）.A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】ABC【解析】设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为，则解得，.又，故可以为6，7，8.故选：ABC19．（2021·全国高三专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）A ．-8B ．-5C ．1D ．41:q a x a≤≤1213a a⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩103a <≤a [)10,3,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U a Z ∈x 260x x a -+≤a 26y x x a =-+3x =x 260x x a -+≤3x =2226201610⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩a a 58a <≤a Z ∈a 2340x x +-<()222330x k x k k -+++>k【答案】ACD【解析】，解得，即，解得或，由题意知，所以或，即.故选：ACD三、填空题20．（2020·奉新县第一中学高三月考）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____【答案】或.【解析】由题意得应满足解得：或.故答案为：或.21．（2020·全国高三专题练习）要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意，设，要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足，即，即，解得，即实数的取值范围是.22．（2021·固原市第五中学高三期末）若对时，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________..2340x x +-<41x -<<()222330x k x k k -+++>()[(3)]0x k x k --+>x k <3x k >+(4,1)-n (,)(3,)k k -∞⋃++∞1k ³34k +≤-(,7][1,)k ∈-∞-⋃+∞2(1)30mx m x -++=1-m 2m <-5m ≥+0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩2m <-5m ≥+2m <-5m ≥+x ()22120x a x a +-+-=a 21a -<<()22(1)2f x x a x a =+-+-x 22(1)20x a x a +-+-=()10f <220a a +-<(1)(2)0a a -+<21a -<<a 21a -<<(,1]x ∈-∞-21()2()12x xm m --<m【答案】【解析】不等式转化为,化简为，令,又,则,即恒成立，令，又，当时，取最小值，所以，恒成立,化简得，解不等式得.故答案为：23．（2021·全国高三专题练习）设关于x 的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________【答案】【解析】设，其图象为抛物线，对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解可以求得，又，所以或，则不等式为和，可分别求得和，因为位整数，所以和，所以全部不等式的整数解的和为.故答案为：.24．（2021·全国高三专题练习）设函数,若对于恒成立,则的取值范围是________.【答案】()2,3-()21212xxm m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭2214x x m m +-<2211(22x x m m -<+12x t =(],1x ∈-∞-[)2,t ∈+∞22m m t t -<+2()f t t t =+[)2,t ∈+∞2t =()f t min ()(2)6f t f ==26m m -<260m m --<23m -<<()2,3-28(1)7160,()ax a x a a Z ++++≥∈10-28(1)716y ax a x a =++++a 0y ≥0a <167a ≥-a Z ∈2a =-1a =-22820x x --+≥290x -+≥22x --≤≤-33x -≤≤x 4,3,2,1x =----3,2,1,0,1,2,3x =---10-10-2()1,(0)f x mx mx m =--≠[1,3],()5x f x m ∈<-+m 6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或【解析】 要使上恒成立,则在上恒成立.令,当时,在上是增函数,,则当时,在上是减函数,,故:综上所述,的取值范围是.故答案为:.四、解答题25．（2021·全国高三专题练习）解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )．【答案】答案见解析【解析】若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1．若a <0，原不等式等价于，解得或x >1．若a >0，原不等式等价于．①当a ＝1时，，无解； [1,3],()5x f x m ∈<-+∴260mx mx m -+-<2136024m x m ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭[1,3]x ∈213()624g x m x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭[1,3]x ∈0m >[1,3]∴max ()(3)760g x g m ==-<∴67m <607m <<0m <()g x [1,3]∴max ()(1)60g x g m ==-<∴6m <0m <m 6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭1x a <()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11a =()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭②当a >1时，，解，得；③当0<a <1时， ，解，得；综上所述，当a <0时，解集为或； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为； 当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为．26．（2021·上海市）已知，其中.（1）当时，解关于的不等式；（2）若在时恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）∵，∴，∵，∴当时，的解集为当时，的解集为当时，的解集为（2）根据题意得，在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立即11a <()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11x a <<11a >()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11x a <<1|x x a ⎧<⎨⎩}1x >1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭()()21f x ax a x =-+()13g x a x =-+a R ∈0a <x ()0f x <()()f x g x <[]2,3x ∈a 6a ≤()()21f x ax a x =-+()()21010ax a x ax a x -+<⇔--<0a <01a >>-()0f x <()1,0,a a ⎛⎫-∞+∞ +⎪⎝⎭ 1a =-()0f x <()(),00,-∞+∞ 1a <-()0f x <(),0,1a a ⎛⎫-∞+∞+⎪⎝⎭ ()2113ax a x a x -+<-+[]2,3x ∈()2140ax a x a -++<[]2,3x ∈()2114a x x x -+≤[]2,3x ∈21414111x a x x x x≤=-++-[]2,3x ∈min 1411a x x ⎛⎫ ⎪≤ ⎪ ⎪+-⎝⎭∵在，单调递增，∴，∴，∴实数的取值范围是．27．（2021·全国高三）解关于x 的不等式：．【答案】见解析【解析】将不等式变形为.当a <0或时，有a < a 2，所以不等式的解集为或；当a =0或时，a = a 2=0，所以不等式的解集为且；当0< a <1时，有a > a 2，所以不等式的解集为或；28．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式：.【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】原不等式移项得，即.∵，∴当时，当时，当时，综上所述：当时，解集为当时，解集为当时，解集为29．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式:【答案】当时，解集为 ；当 时，解集为或； 11y x x =+-[]2,3x ∈max 173133y =+-=14673a ≤=a 6a ≤()2230x a ax a -++>()2230x a a x a -++>()()20x a x a -->1a >{|x x a <2}x a >1a ={|,x x R ∈}x a ≠2{|x x a <}x a >x ()2220ax x ax a -≥-<()2220ax a x +--≥()()120x ax +-≥0a <()210x x a ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭20a -<<21x a≤≤-2a =-1x =-2a <-21x a -≤≤20a -<<21x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭2a =-{}1x x =-2a <-21x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭x 22(2)20().ax a x a a R -++>∈0a ={}0x x <0a <<2{|x x a>}x a <当或；当 时，解集为；当 时，解集为； 当；当；【解析】由则 因为，故对分情况讨论当时，则，所以，不等式的解集为 当 时，由，不等式的解集或 当或当 时，不等式的解集为当 时，不等式的解集为 当当30．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式【答案】当时，不等式的解集是或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.【解析】不等式可化为.①当时，原不等式可以化为，根据不等式的性质，这个不等式等价于.a >{|x x a >2}x a <0a <<2{|}x x a a <<a <2{|}x a x a <<a ={|x x ≠a =∅22(2)20().ax a x a a R -++>∈(2)()0ax x a -->a R ∈a 0a =20x ->0x <{}0x x <0a <<(2)()0ax x a -->2{|x x a >}x a <a >{|x x a >2}x a <0a <<2{|}x x a a<<a <2{|}x a x a <<a ={|x x ≠a =∅x 2(21)20()ax a x a R -++<∈0a <1{|x x a <2}x >0a ={|2}x x >102a <<1{|2}x x a <<12a =∅12a >1{|2}x x a<<(1)(2)0ax x --<0a >1(2)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭1(2)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭因为方程的两个根分别是2，，所以当时，，则原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是；当时，，则原不等式的解集是.②当时，原不等式为，解得，即原不等式的解集是.③当时，原不等式可以化为，根据不等式的性质，这个不等式等价于，由于，故原不等式的解集是或.综上所述，当时，不等式的解集是或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.1(2)0x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1a 102a <<12a<1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭12a =∅12a >12a <1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭0a =(2)0x --<2x >{|2}x x >0a <1(2)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭1(2)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭12a<1{|x x a<2}x >0a <1{|x x a <2}x >0a ={|2}x x >102a <<1{|2}x x a <<12a =∅12a >1{|2}x x a <<。
2021年高考数学一轮总复习 6.2一元二次不等式及其解法练习
2021年高考数学一轮总复习 6.2一元二次不等式及其解法练习一、选择题1．(xx·大纲全国卷)不等式组⎩⎨⎧x x ＋2>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}解析 ⎩⎨⎧x x ＋2>0， ①|x |<1， ②由①得，x <－2或x >0， 由②得，－1<x <1，因此原不等式组的解集为{x |0<x <1}，故选C. 答案 C2．已知集合A ＝{x ∈R ||lg|x ||≤1}，B ＝{x ∈Z |x 2－2x －8<0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2，－110)∪(110，4)B ．(－2,0)∪(0,4)C ．{－1,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析 －1<lg|x |<1，110<|x |<10， ∴－10<x <－110或110<x <10.A ＝{x |－10<x <－110，或110<x <10} B ＝{x |－2<x <4，x ∈Z }＝{－1,0,1,2,3} A ∩B ＝{－1,1,2,3}，选C.答案 C3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系，得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)，故选A.答案 A4．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]解析 函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．(2)当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16a －12－12a 2＋4a －5<0.解得1<a <19.答案 C5．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中的( )A B C D解析 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－c a＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.f (－x )＝－x2＋x ＋2的图象开口向下，由－x 2＋x ＋2＝0，得两根分别为－1和2.答案 B6．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的对称轴为直线x ＝1，则有a2＝1，故a ＝2.又f (x )的图象开口向下， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数．∴f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， ∴b 2－b －2>0， 解得b <－1或b >2. 答案 C 二、填空题7．如果函数f (x )＝(x ＋1)(1－|x |)的图象恒在x 轴上方，则x 的取值集合为________．解析 由题意可将问题转化为解不等式(x ＋1)(1－|x |)>0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－|x |>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，1－|x |<0，解得－1<x <1或x <－1.答案 {x |x <－1或－1<x <1}8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <2，x 2，x ≥2，则满足不等式f (x 2－4)≤f (3x )的x 的取值范围是________．解析 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <2，x 2，x ≥2，的图象知，函数f (x )在R 上是增函数，则由f (x 2－4)≤f (3x )可得x 2－4≤3x ，解得－1≤x ≤4.答案 [－1,4]9．已知函数f (x )与g (x )的图象关于直线x ＝2对称，若f (x )＝4x －15，则不等式g xx 2－1≥0的解集是________．解析 若f (x )＝4x －15，则g (x )＝f (4－x )＝4×(4－x )－15＝1－4x ， 故不等式g x x 2－1≥0等价于1－4xx 2－1≥0， 即(x －1)(x ＋1)(4x －1)≤0(x ≠1，且x ≠－1) 解得x <－1或14≤x <1.答案 (－∞，－1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 三、解答题10．(xx·湖北黄州月考)已知函数f (x )＝lgx 2－2x9－x2的定义域为A ， (1)求A ；(2)若B ＝{x |x 2－2x ＋1－k 2≥0}，且A ∩B ≠∅，求实数k 的取值范围．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0，9－x 2>0，解得－3<x <0或2<x <3，∴A ＝(－3,0)∪(2,3)． (2)x 2－2x ＋1－k 2≥0，∴当k ≥0时，x ≥1＋k 或x ≤1－k ， 当k <0时，x ≥1－k 或x ≤1＋k ， ∵A ∩B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1－k ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋k ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，1＋k ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，1－k ≤3，∴k ∈[－4,4]．11．已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围．解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0， 即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0， 得m 2>0，所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1x 2＝11－m ，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2.得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．培 优 演 练1．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}解析 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0，即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C.答案 C2．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，＋∞. 答案 A3．关于x 的不等式ax 2－|x ＋1|＋3a ≥0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意得a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ＋1|x 2＋3max.令y ＝|x ＋1|x 2＋3，则当x ≥－1时，y ＝x ＋1x 2＋3. 由y ′＝－x ＋3x －1x 2＋32＝0，得x ＝1，所以当－1≤x <1时，y ′>0，y <12，当x >1时，y ′<0，y <12，因此当x ≥－1时，y max ＝12.同理，当x <－1时，y ＝－x ＋1x 2＋3.由y ′＝x ＋3x －1x 2＋32＝0，得x ＝－3，所以当－3<x <－1时，y ′<0，y <16，当x <－3时，y ′>0，y <16，因此当x <－1时，y max ＝16.综上，当x ∈R 时，y max ＝f (1)＝12，即a ≥12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 4．已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数b 的取值范围．解 问题等价于f (x )min ≥g (x )max .因为f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2，由f ′(x )>0，得x 2－4x ＋3<0，解得1<x <3，故函数f (x )的单调递增区间是[1,3]，单调递减区间是(0,1]和[3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x ＝1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f (x )min ＝f (1)＝－12.由于函数g (x )＝－x2＋2bx －4，x ∈[1,2]，当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x )max ＝g (b )＝b 2－4；当b >2时，g (x )max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b <1，－12≥2b －5，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8.解第一个不等式组，得b <1，解第二个不等式组，得1≤b ≤142，第三个不等式组无解． 综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142.30134 75B6 疶37362 91F2 釲/ 22266 56FA 固20757 5115 儕31027 7933 礳H40850 9F92 龒40403 9DD3 鷓36385 8E21 踡~) 20842 516A 兪。
2021版高考数学一轮复习第六章不等式第2讲一元二次不等式及其解法课时作业理20210712275
2021版高考数学一轮复习第六章不等式第2讲一元二次不等式及其解法课时作业理202107122751．(2021年湖北模拟)若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)2．假如kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，那么实数k 的取值范畴是( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1<k ≤0 D ．－1<k <03．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]4．(2021年江西九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范畴是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)5．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．－3B ．1C ．－1D ．36．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，则不等式f (x ＋2)<3的解集是_________．7．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．8．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，关于系数a ，b ，c ，有如下结论：①a <0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.其中正确的结论的序号是________．9．(2021年北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)关于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范畴．10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝72，问是否存在a ，b ，c ∈R ，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切实数x 都成立？证明你的结论．第2讲 一元二次不等式及其解法1．B 解析：由题意关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，可得ba＝1，且a <0.则(ax ＋b )(x －3)>0可变形为(x －3)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b a <0，即得(x －3)(x ＋1)<0.因此－1<x <3.因此不等式的解集是(－1,3)．故选B.2．C 解析：当k ＝0时，原不等式等价于－2＜0，明显恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，2k 2－4k ·[－k ＋2]＜0.解得－1<k <0.∴－1＜k ≤0. 3．A 解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2≥x2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x ＋2≥x2⇒－1≤x ≤0或0＜x ≤1⇒－1≤x ≤1.4．A 解析：不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max .令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2.∴a <－2.5．A 解析：由题意，得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}．A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2.∴a ＋b ＝－3.6．{x |－5<x <1} 解析：设x ≥0，因为f (x )是定义域为R 的偶函数，因此f (x )＝f (－x )＝x 2－2x .又f (x ＋2)＝f (|x ＋2|)，因此f (x ＋2)<3⇔f (|x ＋2|)＝(|x ＋2|)2－2|x ＋2|<3.因此(|x ＋2|－3)(|x ＋2|＋1)<0.因此0≤|x ＋2|<3，解得－5<x <1.因此原不等式的解集为{x |－5<x <1}．7．21 解析：设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图D115.图D115关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧f 2≤0，f1＞0即⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝4－12＋a ≤0，f 1＝1－6＋a ＞0，解得5<a ≤8.又a ∈Z ，因此a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.8．①②③④ 解析：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，∴a <0；－13，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，－13＋2＝－b a>0，∴b >0；f (0)＝c >0，f (1)＝a ＋b ＋c >0，f (－1)＝a －b ＋c <0.故正确结论的序号为①②③④.9．解：(1)依题意，得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，因此x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，因此y ≥－2.因此当x ＝1时，y ＝f xx 的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，因此要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成赶忙可．因此⎩⎪⎨⎪⎧g 0≤0，g 2≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0.解得a ≥34.故a 的取值范畴为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.10．解：由f (1)＝72，得a ＋b ＋c ＝72.令x 2＋12＝2x 2＋2x ＋32⇒x ＝－1.由f (x )≤2x 2＋2x ＋32推得f (－1)≤32.由f (x )≥x 2＋12推得f (－1)≥32.∴f (－1)＝32.∴a －b ＋c ＝32.故a ＋c ＝52，且b ＝1.∴f (x )＝ax 2＋x ＋52－a .依题意ax 2＋x ＋52－a ≥x 2＋12对一切x ∈R 都成立，∴a ≠1，且Δ＝1－4(a －1)(2－a )≤0.由a －1>0，得a ＝32.∴f (x )＝32x 2＋x ＋1.证明如下： ∵32x 2＋x ＋1－2x 2－2x －32 ＝－12x 2－x －12＝－12(x ＋1)2≤0.∴32x 2＋x ＋1≤2x 2＋2x ＋32对x ∈R 都成立． ∴存在实数a ＝32，b ＝1，c ＝1，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切x ∈R 都成立．。
2021年高考数学 6.2一元二次不等式及其解法课时提升作业 文 新人教A版
2021年高考数学 6.2一元二次不等式及其解法课时提升作业文新人教A版一、选择题1.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价，减少进货量的方法来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )(A)12元 (B)16元(C)12元到16元之间 (D)10元到14元之间2.函数f(x)= +lg(x2-5x+4)的定义域是( )(A)［0,1) (B)［0,1］(C)［0,4) (D)(4,+∞)3.（xx·清远模拟）在R上定义运算*：a*b=ab+2a+b，则满足x*(x-2)<0的实数x的取值范围为( )(A)（0，2） (B)（-2，1）(C)（-∞，-2）∪(1,+∞) (D)(-1,2)4.如果一个钝角三角形的边长是三个连续自然数，那么最长边的长度为( )(A)3 (B)4 (C)6 (D)75.已知函数y=f(x)的图象如图，则不等式f(3x-x2)<0的解集为( )(A){x|1<x<2} (B){x|0<x<3}(C){x|x<1或x>2} (D){x|x<0或x>3}6.已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )(A)（2，+∞） (B)(-2,+∞)(C)(-∞,-3) (D)(-∞,-3)∪(2,+∞)7.（xx·厦门模拟）对于实数x，当n≤x<n+1(n∈Z)时，规定［x］=n，则不等式4［x］2-36［x］+45<0的解集为( )(A){x|2≤x<8} (B){x|2<x≤8}(C){x|2≤x≤8} (D){x|2<x<8}8.（能力挑战题）已知不等式xy≤ax2+2y2，若对任意x∈［1,2］及y∈［2,3］，该不等式恒成立，则实数a的范围是( )(A)-≤a≤-1 (B)-3≤a≤-1(C)a≥-3 (D)a≥-1二、填空题9.（xx·广州模拟）不等式x2-(a+1)x+a≤0的解是区间［-4，3］的子集时，a的取值范围是_______.10.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为(-∞,m)∪(1,+∞)，则m等于______.11．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_______．12.已知f(x)=则不等式x+x·f(x)≤2的解集是_______.三、解答题13．已知函数y＝的定义域为R.（1）求a的取值范围.（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2-a＜0.14.（xx·中山模拟）解关于x的不等式x2-a(a+1)x+a3＜0，其中a∈R.15.(能力挑战题)某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择.公司A 每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元,第2小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时,按17小时计算）.假设该同学一次上网时间总是小于17小时,那么该同学如何选择ISP公司较省钱？答案解析1.【解析】选C.设每件提高x(0≤x≤10)元，即每件获利润（2+x）元，每天可销售（100-10x）件．设每天获得总利润为y元，由题意有y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200，要使每天利润在320元以上，则有-10x2+80x+200>320，即x2-8x+12<0，解得2<x<6.故每件定价在12元到16元之间时，能确保每天赚320元以上.2.【解析】选A.依题意有解得所以0≤x<1，即函数定义域是［0,1).3.【解析】选B.由定义可知x*(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-2，因此不等式x*(x-2)<0即x2+x-2<0，解得-2<x<1.4.【思路点拨】设出三边的长度，然后由余弦定理，使其最长边所对的角的余弦值小于0即可得到边长的取值范围，再结合边长是自然数得到解.【解析】选B.设三角形的三边长分别为n-1,n,n+1(n>1)，则n+1对的角为钝角，所以(n-1)2+n2<(n+1)2，解得0<n<4，所以n=2,3.当n=2时，三边长为1，2，3,1+2=3,不符合题意．当n=3时，三边长为2,3,4符合题意.故最长边的长度为4.5.【解析】选A.由图象可知，当x>2时，f(x)<0，所以由f(3x-x2)<0，得3x-x2>2，解得1<x<2，即解集为{x|1<x<2}.6.【解析】选A.原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，不合题意，从而有解得所以解得a＞2.故a的取值范围是(2，＋∞)．7.【思路点拨】先利用换元法将不等式化为一元二次不等式，求得［x］的范围，再结合［x］的含义得出x的范围.【解析】选A.令t=［x］，则不等式化为4t2-36t+45<0，解得，而t=［x］，所以，由［x］的定义可知x的取值范围是2≤x<8，即不等式解集为{x|2≤x<8}.8.【思路点拨】将参数a分离到不等式的一边，然后求不等式另一边的最大值，令通过换元，转化为二次函数在闭区间上的最值问题.【解析】选D.由xy≤ax2+2y2可得a≥，令t=，g(t)=-2t2+t,由于x∈［1,2］,y∈［2,3］，所以t∈［1,3］，于是g(t)=-2t2+t=-2(t-)2+，因此g(t)的最大值为g(1)=-1，故要使不等式恒成立，实数a的范围是a≥-1.【方法技巧】换元法的妙用本题中涉及三个变量，但通过分离变量，将不等式的一边化为只含有x,y两个变量的式子，然后通过换元法求出该式的最值，从而得到参数a的取值范围.其中换元法起到了关键作用，一般地，形如a［f(x)］2+bf(x)+c的式子，不论f(x)的具体形式如何，都可采用换元法，将其转化为二次函数、二次不等式或二次方程加以解决，但注意的是换元后一定要注意新元的取值范围.【变式备选】若不等式a·4x-2x+1>0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________．【解析】不等式可变形为a>令()x=t，则t>0，且y=()x-()x=t-t2=-(t-)2+，因此当t=时，y取最大值，故实数a的取值范围是a>.答案：a>9.【解析】原不等式可化为(x-a)(x-1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为［a,1］，此时只要a≥-4，即-4≤a＜1；当a=1时，不等式的解为x=1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为［1,a］，此时只要a≤3，即1＜a≤3.综合上述三种情况得-4≤a≤3.答案：［-4,3］10.【解析】由已知可得a<0且1和m是方程ax2-6x+a2=0的两根，于是a-6+a2=0，解得a=-3，或a=2（舍），代入得-3x2-6x+9=0，所以方程另一根为-3，即m=-3.答案：-311．【思路点拨】把一到十月份的销售额相加求和，列出不等式，求解．【解析】七月份：500(1+x%)，八月份：500(1+x%)2．所以一至十月份的销售总额为：3 860+500+2［500(1+x%)+500(1+x%)2］≥7 000，解得1+x%≤-2.2（舍）或1+x%≥1.2,=20.∴xmin答案：2012.【解析】原不等式等价于解得0≤x≤1或x<0，即不等式解集为(-∞,1］.答案：(-∞,1］13．【解析】（1）∵函数y＝的定义域为R，∴ax2+2ax+1≥0恒成立.当a=0时，1≥0，不等式恒成立；当a≠0时，则解得0<a≤1.综上，0≤a≤1.（2）因为函数的最小值为，所以g(x)=ax2+2ax+1的最小值为，因此解得a=，于是不等式可化为x2-x-<0，即4x2-4x-3<0，解得-<x<，故不等式x2－x－a2-a＜0的解集为{x|-<x<}. 14.【解析】原不等式可化为（x-a）(x-a2)＜0.当a＜a2，即a＞1或者a＜0时，不等式的解集为(a,a2);当a=a2，即a=0或者a=1时，不等式的解集为;当a＞a2，即0＜a＜1时，不等式的解集为(a2,a).15.【解析】假设一次上网x（x＜17)小时,则公司A收取的费用为1.5x元,公司B收取的费用为1.7+(1.7-0.1)+(1.7-0.2)+…+［1.7-(x-1)×0.1］=（元）.由 (0＜x＜17),整理得x2-5x＜0,解得0＜x＜5,故当0<x<5时，A公司收费低于B公司收费，当x=5时,A，B两公司收费相等，当5<x<17时，B公司收费低，所以当一次上网时间在5小时以内时,选择公司A的费用少；为5小时时，选择公司A与公司B费用一样多；超过5小时小于17小时,选择公司B的费用少.21944 55B8 喸25601 6401 搁WW20689 50D1 僑{"25432 6358 捘[20967 51E7 凧21051 523B 刻Wd26325 66D5 曕33022 80FE 胾。
2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲 一元二次不等式及其解法
第2讲 一元二次不等式及其解法一、知识梳理1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >b a． (2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ． 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根 有两个相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x >x 2或x <x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集 {x |x 1<x <x 2} ∅∅1．分式不等式的解法(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)． (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0. 2．记住两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.二、教材衍化1．不等式2x 2－x －3>0的解集为________． 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >32或x <－12．若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x ＋m ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( ) (3)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) (4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)解不等式时变形必须等价； (2)注意二次项的系数的符号；(3)对参数的讨论不要忽略二次项系数为0的情况． 1．不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集为________．解析：不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0. 方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．答案：{x |－3≤x ≤1}2．不等式2x (x －7)>3(x －7)的解集为________．解析：2x (x －7)>3(x －7)⇔2x (x －7)－3(x －7)>0⇔(x －7)(2x －3)>0，解得x <32或x >7，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32或x >7.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32或x >73．对于任意实数x ，不等式mx 2＋mx －1<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：当m ＝0时，mx 2＋mx －1＝－1<0，不等式恒成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，解得－4<m <0.综上，m 的取值范围是(－4，0]．答案：(－4，0]考点一 一元二次不等式的解法(基础型)复习指导| 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式． 核心素养：数学抽象、数学运算(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，则不等式f (x )>3的解集为________．(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．(3)解关于x 的不等式：12x 2－ax >a 2(a ∈R )．【解】 (1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x >3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2＋2x >3，解得x >1.故填{x |x >1}． (2)由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋（－13）＝ba ，－12×（－13）＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2. 故填{x |x ≥3或x ≤2}． (3)因为12x 2－ax >a 2， 所以12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0. 令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－a 4或x >a 3； ②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}； ③当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 3或x >－a 4. 综上所述，当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪x <－a 4或x >a3}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 3或x >－a 4.(1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系； ③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．1．不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________． 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． 答案：[－2，－1)∪(2，3]2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧（3x －4）（x －5）≥0，x －5≠0，解得x >5或x ≤43.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x >5. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，43∪(5，＋∞) 3．解不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解：因为a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0无解； ②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0得1a <x <1； ③当0<a <1时，1a >1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a . 综上所述，当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <1.考点二 一元二次不等式恒成立问题(综合型)复习指导| 此类问题的求解常利用转化思想，其思路为：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．角度一 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0， 对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2－2<a <2，解得－2<a <2. 所以实数a 的取值范围是(－2，2]． 【答案】 (－2，2]一元二次不等式在R 上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax 2＋bx ＋c >0a >0，Δ<0ax 2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0角度二形如f(x)≥0(f(2020·江苏海安高级中学调研)已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________．【解析】设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a.因为对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f(x)＝x2－2(a－2)x＋a>0，所以Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，1≤a－2≤5，f（1）≥0，f（5）≥0，解得1<a<4或4≤a≤5，即1<a≤5.【答案】(1，5]形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)恒成立问题的求解思路(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；(2)数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．1．若函数y＝mx2－（1－m）x＋m的定义域为R，则m的取值范围是________．解析：要使y＝mx2－（1－m）x＋m有意义，即mx2－(1－m)x＋m≥0对∀x∈R恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m>0，（1－m）2－4m2≤0，解得m≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，求实数b的取值范围．解：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即a2＝1，解得a＝2.又因为f(x)的图象开口向下，所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，所以当x∈[－1，1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则b 2－b －2>0恒成立，解得b <－1或b >2. 所以实数b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[基础题组练]1．不等式(x －2)(2x －3)<0的解集是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(2，＋∞) B ．R C ．⎝⎛⎭⎫32，2D ．∅解析：选C ．因为不等式(x －2)(2x －3)<0， 解得32<x <2，所以不等式的解集是⎝⎛⎭⎫32，2. 2．不等式2x ＋1<1的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，1)解析：选A ．因为2x ＋1<1，所以2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，所以x <－1或x >1.3．若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为{x |x <－12，或x >13}，则a －b a 的值为( )A ．56B ．16C ．－16D ．－56解析：选A ．由题意得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12与13，所以－b a ＝－12＋13＝－16，则a －b a ＝1－b a ＝1－16＝56.4．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－32，12 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－12，32 解析：选A ．由f (x )>0，得ax 2＋(ab －1)x －b >0，又其解集是(－1，3)， 所以a <0，且⎩⎨⎧1－aba＝2，－ba ＝－3解得a ＝－1或a ＝13(舍去)，所以a ＝－1，b ＝－3，所以f (x )＝－x 2＋2x ＋3，所以f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，得4x 2＋4x －3>0，解得x >12或x <－32.5．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2，5]解析：选A ．x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4.6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}7．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________． 解析：原不等式可化为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，所以a <x <1a . 答案：⎝⎛⎭⎫a ，1a 8．(创新型)规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________．解析：因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3， 化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1. 答案：(－1，1)9．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2. (1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入方程解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0，即为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎫－3，12. 10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)因为f (x )最小值是f (－1)＝0，且c ＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1f （－1）＝a －b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，因为F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，所以F (2)＋F (－2)＝8.(2)由题知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在x ∈(0，1]恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在x ∈(0，1]恒成立，根据单调性可得1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0.[综合题组练]1．(多选)若不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是( ) A ．b <0且c >0 B ．a －b ＋c >0 C ．a ＋b ＋c >0D ．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－2，1)解析：选ABD ．对于A ，a <0，－1，2是方程ax 2－bx ＋c ＝0的两个根，所在－1＋2＝1＝b a ，－1×2＝ca ，所以b ＝a ，c ＝－2a ，所以b <0，c >0，所以A 正确；令f (x )＝ax 2－bx＋c ，对于B ，由题意可知f (1)＝a －b ＋c >0，所以B 正确；对于C ，f (－1)＝a ＋b ＋c ＝0，所以C 错误，对于D ，因为对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0，设其两根为x 1，x 2，所以x 1＋x 2＝－b a ＝－1，x 1x 2＝ca ＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－2，1)，所以D 正确．2．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4，1] B ．[－4，3] C ．[1，3]D ．[－1，3]解析：选B ．原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.3．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)．答案：[2，8)4．(2020·河南郑州联考改编)已知f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则b ＝________；若对于任意x ∈[－1，0]，不等式f (x )＋t ≤4恒成立，则实数t 的取值范围是________．解析：由不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，可知－1和3是方程－2x 2＋bx ＋c ＝0的根，即⎩⎨⎧2＝b 2，－3＝－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝6，所以f (x )＝－2x 2＋4x ＋6.所以不等式f (x )＋t ≤4可化为t ≤2x 2－4x －2，x ∈[－1，0]．令g (x )＝2x 2－4x －2，x ∈[－1，0]，由二次函数的性质可知g (x )在[－1，0]上单调递减，则g (x )的最小值为g (0)＝－2，则t ≤－2.答案：4 (－∞，－2]5．(应用型)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解：(1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x11 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.6．(综合型)(2020·湖北孝感3月模拟)设关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2.(1)求(1＋x 1)(1＋x 2)的值；(2)求证：x 1<－1且x 2<－1；(3)如果x 1x 2∈⎣⎡⎦⎤110，10，试求a 的取值范围．解：(1)因为关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2.所以x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a ，则(1＋x 1)(1＋x 2)＝1＋x 1＋x 2＋x 1·x 2＝1－1a ＋1a ＝1.(2)证明：由Δ≥0，得0<a ≤14.设f (x )＝ax 2＋x ＋1，则f (x )的对称轴与x 轴交点横坐标x ＝－12a ≤－2，又由于f (－1)＝a >0，所以f (x )的图象与x 轴的交点均位于点(－1，0)的左侧，故x 1<－1且x 2<－1.(3)由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－1a ，x 1·x 2＝1a⇒（x 1＋x 2）2x 1·x 2＝x 1x 2＋x 2x 1＋2＝1a.因为x 1x 2∈⎣⎡⎦⎤110，10，所以1a ＝x 1x 2＋x 2x 1＋2∈⎣⎡⎦⎤4，12110⇒a ∈⎣⎡⎦⎤10121，14.又⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a ≥0⇒0<a ≤14，所以a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤10121，14.。
2021届高考数学苏教版一轮总复习：6-2 一元二次不等式及其解法
ax2＋bx＋c<0 {x|x1<x<x2}
∅
(a>0)的解集
Δ<0Leabharlann 没有实数根R∅
1.(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0，x∈R)恒成立”的充要条件是 “a>0 且 b2－4ac<0”．
(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0 且 b2－ 4ac<0”．
2．(1)对于不等式 ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论 a＝0 时的 情形．
的值为( B )
A．1
B．－14
C．4
D．－12
(4)若函数 y＝ mx2－1－mx＋m的定义域为 R，则 m 的取值范围
是 m≥13 .
(5)不等式 x2＋ax＋4<0 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是
(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
解析：(1)A＝{x|x≤2}，B＝{x|－2<x<3}， 所以 A∩B＝{x|－2<x≤2}＝(－2,2]．
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
判别式 Δ>0
Δ＝b2－4ac
Δ＝0
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
两个相异实根 x1，x2 (x1<x2)
有两个相等实根 x1＝x2＝－2ba
ax2＋bx＋c>0 {x|x<x1 或 x>x2}
(a>0)的解集
{x|x≠x1}
3．会解一元二次不等式，对 义域的求解、用导数求单调区
给定的一元二次不等式，会 间等问题结合在一起进行考
设计求解的程序框图.
数学一轮复习第六章第2讲基本不等式课时作业含解析
第2讲基本不等式组基础关1．设非零实数a，b,则“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab,而错误!＋错误!≥2成立的条件是ab＞0,所以“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2"成立的必要不充分条件．2．已知a>0，b〉0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋错误!，n＝a＋错误!，则m＋n的最小值是（)A．3 B．4C．5 D．6答案B解析由题意知ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b,n＝a＋错误!＝2a，∴m＋n＝2（a＋b)≥4错误!＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m ＋n的最小值为4.3．已知p＝a＋错误!,q＝错误!x2－2,其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是(）A．p≥q B．p＞qC．p＜q D．p≤q答案A解析由a＞2，故p＝a＋错误!＝（a－2)＋错误!＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2,所以q ＝错误!x2－2≤错误!－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A。
4．(2019·郑州外国语学校月考）若a＞b＞1,P＝错误!,Q＝错误!（lg a＋lg b),R＝lg 错误!，则()A．R＜P＜Q B．Q＜P＜RC．P＜Q＜R D．P＜R＜Q答案C解析因为a＞b＞1，所以lg a＞0，lg b＞0,且lg a≠lg b，所以错误!＜错误!（lg a＋lg b)，由错误!＜错误!，得lg错误!＜lg 错误!.所以错误!（lg a＋lg b)＜lg 错误!，综上知P＜Q＜R.5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30,则xy的最大值是（）A.错误!B．错误!C．2 D．错误!答案C解析由x>0，y〉0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y）＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30,即xy≤2，∴xy的最大值为2.6．《几何原本》第二卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上,点C在半径OB上，且OF⊥AB,设AC＝a，BC＝b,则该图形可以完成的无字证明为(）A.错误!≥错误!（a＞0，b＞0）B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)C.错误!≤错误!(a＞0，b＞0）D。
2021高考数学一轮复习课时作业33一元二次不等式及其解法理
课时作业33 一元二次不等式及其解法[基础达标]一、选择题1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 解析：因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 答案：A2．不等式x ＋13x ＋6>0的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |x ≤－2或x >－1}C ．{x |x <－3或x >－2}D ．{x |x <－2或x >－1}解析：不等式x ＋13x ＋6>0等价于(x ＋1)(x ＋2)>0，所以不等式的解集是{x |x <－2或x >－1}．答案：D3．[2020·呼和浩特模拟]已知集合M ＝{x |x 2－4x >0}，N ＝{x |m <x <8}，若M ∩N ＝{x |6<x <n }，则m ＋n ＝( )A ．10B ．12C ．14D ．16解析：M ＝{x |x 2－4x >0}＝{x |x >4或x <0}，N ＝{x |m <x <8}，由于M ∩N ＝{x |6<x <n }，∴m ＝6，n ＝8，∴m ＋n ＝14，故选C.答案：C4．[2020·临沂模拟]不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( ) A ．{x |1≤x ≤2} B．{x |x ≤1或x ≥2} C ．{x |1<x <2} D ．{x |x <1或x >2}解析：由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0， 所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}． 答案：A5．[2020·黑龙江哈二十六中月考]不等式(ax －2)(x －1)≥0(a <0)的解集为( )A.[2a ，1 ]B.[2a，1)C ．(－∞，2a ]∪[1，＋∞) D．(－∞，1]∪[－2a，＋∞)解析：∵a <0，∴(ax －2)(x －1)≥0可化为(－ax ＋2)(x －1)≤0，∵(－ax ＋2)(x －1)＝0的两个根分别为x ＝1或x ＝2a 且2a <1，∴(－ax ＋2)(x －1)≤0的解集为[2a，1].故选A 项．答案：A6．[2020·陕西南郑中学月考]已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集为[－12，－13]，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.(13，12) D ．(－∞，13)∪(12，＋∞) 解析：∵不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[－12，－13]，∴易知a <0且⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－56，－1a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5，∴不等式x 2－bx －a <0可化为x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3.故选A 项．答案：A7．[2020·湖南益阳月考]已知函数f (x )＝2ax －a ＋1，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(13，＋∞) B ．(－∞，－1)C.(13，＋∞) D ．(－1，13) 解析：∵∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，∴f (－1)f (1)<0，∴(－3a ＋1)(a ＋1)<0，∴(3a －1)(a ＋1)>0，∴a <－1或a >13.故选A 项．答案：A8．[2019·北京海淀区期中]设命题p ：x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a <0，命题q ：lg(2x －1)≤1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A. (12，92 ]B.[12，92)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，92D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92 解析：由lg(2x －1)≤1得12<x ≤112.设f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ，因为p 是q 的充分不必要条件，所以且12<2a ＋12<112，得12≤a ≤92.故选C 项．答案：C9．[2020·天津一中月考]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －1＋a≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,20]D ．[－40,20)解析：由x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3，要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －1＋a ≤0的解集不是空集，则当－1≤x ≤3时，必存在x 使得f (x )＝x 2＋4x －(1＋a )≤0，∵f (x )＝(x ＋2)2－(5＋a )，∴函数f (x )在[－1,3]上单调递增，则f (－1)≤0，即1－(5＋a )≤0，得a ≥－4.故选B 项．答案：B10．[2020·昆明模拟]不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.答案：A 二、填空题11．若函数f (x )＝x 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________． 解析：由题意得，不等式x 2－6kx ＋k ＋8≥0的解集为R ，所以函数y ＝x 2－6kx ＋k ＋8。
2021年高考数学大一轮复习 第6章 第2节 一元二次不等式的解法及不等式的实际应用课时作业 理
2021年高考数学大一轮复习 第6章 第2节 一元二次不等式的解法及不等式的实际应用课时作业 理一、选择题1．(xx·日照模拟)若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <14，则ab ＝( )A ．－28B ．－26C ．28D ．26答案：C解析：由题意，－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28. 故应选C.2．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12C ．(－1,1)D ．(0,2)答案：A解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.3．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1m<x <m B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x >1m 或x <m C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >m 或x <1m D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫xm <x <1m 答案：D解析：当0＜m ＜1时，m ＜1m.不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫xm <x <1m .故应选D.4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)答案：B解析：∵ f (x 0)＞1， ∴⎩⎨⎧x 0≥1，2x 0＋1＞1或⎩⎨⎧x 0＜1，x 20－2x 0－2＞1，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)． 故应选B.5．(xx·中山模拟)若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235答案：B解析：由Δ＝a 2＋8＞0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根，于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解的充要条件是f (1)f (5)≤0，解得－235≤a ≤1.故应选B. 6．(xx·沈阳模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b的取值范围是( )A．(－1,0) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．不能确定答案：C解析：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即a2＝1，解得a＝2.又f(x)开口向下，所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，∴f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)>0恒成立，即b2－b－2>0恒成立，解得b<－1或b>2.故应选C.二、填空题7．不等式x2＋x－2＜0的解集为________．答案：(－2,1)解析：方程x2＋x－2＝0的根为x1＝－2，x2＝1，故不等式x2＋x－2＜0的解集为(－2,1)．8．已知关于x的不等式ax－1x＋1＜0的解集是{xx＜－1或⎭⎪⎬⎪⎫x＞－12，则实数a ＝________.答案：－2解析：ax －1x ＋1＜0，则(x ＋1)(ax －1)＜0， 依题意，a ＜0且1a ＝－12.∴a ＝－2.9．若函数f (x )＝1－3－x 2＋2ax ＋a 的定义域是R ，则a 的取值范围是________．答案：[－1,0]解析：依题意，可知不等式1－3－x 2＋2ax ＋a ≥0的解集为R ，即3－x 2＋2ax ＋a ≤1恒成立，因此－x 2＋2ax ＋a ≤0恒成立，于是Δ＝4a 2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.10．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤259，4916解析：原不等式可化为(4－a )x 2－4x ＋1＜0.① 由于原不等式的解集中的整数恰有3个， 所以⎩⎨⎧4－a ＞0，Δ＝16－44－a ＞0，即0＜a ＜4，故由①，得12＋a＜x＜12－a，又14＜12＋a＜12，所以解集中的3个整数必为1,2,3，所以3＜12－a ≤4，解得259＜a≤4916.三、解答题11．若k∈R，求解关于x的不等式x22－x<k＋1x－k2－x.解：不等式x22－x＜k＋1x－k2－x可化为x2－k＋1x＋k2－x＜0，即(x－2)(x－1)(x－k)＞0.当k＜1时，x∈(k,1)∪(2，＋∞)；当k＝1时，x∈(2，＋∞)；当1＜k＜2时，x∈(1，k)∪(2，＋∞)；当k≥2时，x∈(1,2)∪(k，＋∞)．12．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．解：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元，依题意，得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)．(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得150a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%.化简，得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.又∵0<x<10，∴0<x≤2.故x的取值范围是(0,2]．13．(xx·云南大理4月)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)＞0；(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－23＜a＜3＋2 3.∴不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}． (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.22348 574C 坌 35744 8BA0 讠DQ40570 9E7A 鹺j26452 6754 杔20116 4E94 五24496 5FB0 徰26367 66FF 替-23773 5CDD 峝。
2021年高考数学 6.2 一元二次不等式及其解法练习
2021年高考数学 6.2 一元二次不等式及其解法练习(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.不等式(x-1)(2-x)≥0的解集为( )A.{x|1≤x≤2}B.{x|x≤1或x≥2}C.{x|1<x<2}D.{x|x<1或x>2}【解析】选A.因为(x-1)(2-x)≥0,所以(x-2)(x-1)≤0,所以结合二次函数的性质可得1≤x≤2.故选A.2.(xx·成都模拟)使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是()A.x≥0B.x<0或x>2C.x∈{-1,3,5}D.x≤-或x≥3【解析】选C.不等式2x2-5x-3≥0的解集是.由题意,选项中x的范围应该是上述解集的真子集,只有C满足.3.(xx·潍坊模拟)函数f(x)=的定义域是()A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,3)【解析】选D.由题意知即故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).【加固训练】不等式≤0的解集为()A.B.C.∪[1,+∞)D.∪[1,+∞)【解析】选A.≤0等价于不等式组①或②解①得-<x≤1,解②得x∈∅,所以原不等式的解集为.4.(xx·长春模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为,则f(10x)>0的解集为()A.{x|x<-1或x>lg2}B.{x|-1<x<lg2}C.{x|x>-lg2}D.{x|x<-lg2}【解析】选C.由题意,得10x<-1,或10x>,10x<-1无解;由10x>,得x>lg,即x>-lg2.5.(xx·杭州模拟)若x=1满足不等式ax2+2x+1<0,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3)B.(-3,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,1)【解析】选A.因为x=1满足不等式ax2+2x+1<0,所以a+2+1<0,所以a<-3.故选A.6.关于x的不等式x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件是()A.a<0或a>4B.0<a<2C.0<a<4D.0<a<8【解析】选B.本题考查一元二次不等式的解法及充分必要条件的判断.由x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立可知,Δ=a2-4a<0,所以0<a<4.当0<a<2时,Δ=a2-4a<0,x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立;反之不成立.故其充分不必要条件为0<a<2.7.已知函数f(x)=ax2-x-c,且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为()【解析】选B.因为函数f(x)=ax2-x-c,且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},所以a<0,方程ax2-x-c=0的两个根为-2和1,-2+1=,-2×1=-,所以a=-1,c=-2,所以f(x)=ax2-x-c=-x2-x+2,所以f(-x)=-x2+x+2,其图象开口向下,与x轴交点为(-1,0),(2,0),故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知函数f(x)=若f(f(1))>3a2,则a的取值范围是.【解析】f(1)=21+1=3,所以f(f(1))=f(3)=9+6a.由f(f(1))>3a2得9+6a>3a2,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.答案:(-1,3)【误区警示】此题是分段函数,代入求值时容易出现因不同的取值而出现错误,应注意分段函数分段求值,不能代错.9.(xx·北京模拟)已知p:x≥k,q:<1,若p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是.【解题提示】先解出分式不等式的解集,再利用p是q的充分不必要条件,可得结果.【解析】<1⇔>0⇔x∈(-∞,-1)∪(2,+∞),k∈(2,+∞).答案:k∈(2,+∞)10.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是.【解析】当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立⇒m<-=-在x∈(1,2)上恒成立,设φ(x)=-,φ(x)=-∈(-5,-4),故m≤-5.所以m的取值范围为(-∞,-5].答案:(-∞,-5]【一题多解】本题还有以下解法设f(x)=x2+mx+4,因为当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,又因为f(0)=4,f(x)开口向上,所以若f(x)<0在所以m的取值范围为(-∞,-5].答案:(-∞,-5](20分钟40分)1.(5分)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中,恰有3个整数,则a的取值范围是()A.(4,5)B.(-3,-2)∪(4,5)C.(4,5]D.[-3,-2)∪(4,5]【解析】选D.原不等式可化为(x-1)(x-a)<0,当a>1时得1<x<a,此时解集中的整数为2,3,4,则4<a≤5,当a<1时得a<x<1,此时解集中的整数为-2,-1,0.则-3≤a<-2,故a∈[-3,-2)∪(4,5].【加固训练】(xx·温州模拟)若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},则a+b的值为()A.3B.1C.-3D.-1【解析】选A.因为不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},所以1和2为方程(x-a)(x-b)=0的两个根,则有或所以a+b=1+2=3,即a+b的值为3.2.(5分)已知函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1},则函数y=f(-x)的图象可以为()【解析】选B.由f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1}知a<0,y=f(x)的图象与x轴交点为(-3,0),(1,0),所以f(-x)图象开口向下,与x轴交点为(3,0),(-1,0).3.(5分)(xx·青岛模拟)已知a为正的常数,若不等式≥1+-对一切非负实数x恒成立,则a的最大值为. 【解析】原不等式即≥1+-(*),令=t,t≥1,则x=t2-1,所以(*)即≥1+-t==对t≥1恒成立,所以≥对t≥1恒成立,又a为正的常数,所以a≤[2(t+1)2]min=8,故a的最大值是8.答案:8【加固训练】(xx·温州模拟)若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为.【解析】因为4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,所以4x-2x+1≥a在[1,2]上恒成立.令y=4x-2x+1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1.因为1≤x≤2,所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知:当2x=2,即x=1时,y有最小值0,所以a的取值范围为答案:(-∞,0]4.(12分)已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.当x∈(-3,2)时,f(x)>0.(1)求f(x)在[0,1]内的值域.(2)若ax2+bx+c≤0的解集为R,求实数c的取值范围.【解题提示】(1)由题意得-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根,故有且a<0,解得a和b,然后再根据函数单调性解出函数在[0,1]内的值域即可.(2)在已知a和b的情况下,不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,列式,可解出实数c的取值范围.【解析】(1)因为当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0,当x∈(-3,2)时,f(x)>0,所以-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根,所以可得所以a=-3,b=5,所以f(x)=-3x2-3x+18=-3+18.75,函数图象关于x=-0.5对称,且抛物线开口向下,所以在区间[0,1]上f(x)为减函数,所以函数的最大值为f(0)=18,最小值为f(1)=12,故f(x)在[0,1]内的值域为[12,18].(2)由(1)知,不等式ax2+bx+c≤0化为-3x2+5x+c≤0,因为二次函数y=-3x2+5x+c的图象开口向下,要使-3x2+5x+c≤0的解集为R,只需即25+12c≤0⇒c≤-,所以实数c的取值范围为.【加固训练】1.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值.(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.【解析】(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.由根与系数的关系,得解得(2)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0,即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.所以,当c>2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为∅.2.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.(1)解关于a的不等式f(1)>0.(2)若不等式f(x)>0的解集为(-1,3),求实数a,b的值.【解析】(1)因为f(1)>0,所以-3+a(6-a)+b>0,即a2-6a+3-b<0.Δ=(-6)2-4(3-b)=24+4b.①当Δ≤0,即b≤-6时,原不等式的解集为∅.②当Δ>0,即b>-6时,方程a2-6a+3-b=0有两根a1=3-,所以不等式的解集为(3-,3+).综上所述:当b≤-6时,原不等式的解集为∅;当b>-6时,原不等式的解集为(3-,3+).(2)由f(x)>0,得-3x2+a(6-a)x+b>0,即3x2-a(6-a)x-b<0.因为它的解集为(-1,3),所以-1与3是方程3x2-a(6-a)x-b=0的两根.所以解得或5.(13分)某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域.(2)若要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值范围.【解析】(1)由题意得y=100·100.因为售价不能低于成本价,所以100-80≥0.所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2].(2)由题意得20(10-x)(50+8x)≥10260,化简得8x2-30x+13≤0.解得≤x≤.所以x的取值范围是.38808 9798 鞘21033 5229 利28261 6E65 湥34066 8512 蔒27006 697E 楾36298 8DCA 跊c527284 6A94 檔a@30047 755F 畟。
2021高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法(含解析)苏教版
考点测试33 一元二次不等式及其解法高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度 考纲研读1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3．会解一元二次不等式一、基础小题1．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤0或1≤x <32 B ．{x |x ≤0或x ≥1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <32D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥32答案 A解析 不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x x －1≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.故选A.2．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <14，则ab ＝( ) A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．26答案 C解析 ∵－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.3．不等式3x －1x －2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x ≤2 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >2或x ≤13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x <2 D ．{x |x <2}答案 C解析 不等式3x －1x －2≤0等价于(3x －1)(x －2)≤0，且x －2≠0，解得13≤x <2.故选C.4．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，－∞) B ．(－∞，－6]C ．[－6,2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)答案 D解析 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.5．若函数f (x )＝kx 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( ) A ．{k |0＜k ≤1} B ．{k |k ＜0或k ＞1} C ．{k |0≤k ≤1} D ．{k |k ＞1}答案 C解析 当k ＝0时，8＞0恒成立；当k ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，36k 2－4k k ＋8≤0，则0＜k ≤1.综上，0≤k ≤1.6．不等式|x 2－x |<2的解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－1,1) C ．(－2,1) D ．(－2,2)答案 A解析 由|x 2－x |<2，得－2<x 2－x <2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <2， ①x 2－x >－2. ②由①，得－1<x <2.由②，得x ∈R .所以解集为(－1,2)．故选A.7．存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．14 C ．12 D ．－1答案 C解析 若对于任意x ∈[－1,1]，不等式x 2＋mx －3m <0恒成立，则由函数f (x )＝x 2＋mx －3m 的图象可知⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1－m －3m <0，f1＝1＋m －3m <0，解得m >12.所以若存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx－3m ≥0，则m ≤12，所以m 的最大值为12.故选C.8．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115 B ．⎝⎛⎭⎪⎫1，115C.⎝⎛⎭⎪⎫2，115D ．[－1,3]答案 A解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4a ＋2≥0，f 1≥0，f 3≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A. 9．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________． 答案 {x |0<x <2}解析 不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2，故不等式的解集为{x |0<x <2}．10．已知三个不等式：①x 2－4x ＋3<0，②x 2－6x ＋8<0，③2x 2－9x ＋m <0.要使同时满足①②的所有x 的值满足③，则实数m 的取值范围为________．答案 m ≤9解析 由①②得2<x <3，要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2x 2－9x ＋m <0在x ∈(2,3)上恒成立，即m <－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上恒成立，又－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上大于9，所以实数m ≤9.11．若关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，则实数a 的取值范围是________． 答案 [45,80)解析 因为关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，所以a >0，解不等式得x 2≤a5，所以－a5≤x ≤ a5，所以3≤a5<4，所以9≤a5<16，即45≤a <80，所以实数a 的取值范围是[45,80)．12．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________．答案 (a ，－a )解析 因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a )．二、高考小题13．(2019·天津高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，23解析 3x 2＋x －2<0变形为(x ＋1)(3x －2)<0，解得－1<x <23，故使不等式成立的x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，23. 14．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示)． 答案 (－4,1)解析 不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.15．(经典江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，等价于⎩⎪⎨⎪⎧fm ＝2m 2－1<0，f m ＋1＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 16．(经典四川高考)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．三、模拟小题17．(2019·武汉二模)若a <b ，d <c ，并且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )>0，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．d <a <c <bB ．a <d <c <bC ．a <d <b <cD ．d <c <a <b答案 A解析 因为a <b ，(c －a )(c －b )<0，所以a <c <b ，因为(d －a )(d －b )>0，所以d <a <b 或a <b <d ，又d <c ，所以d <a <b .综上，d <a <c <b .18．(2019·石家庄二中月考)在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案 B解析 根据定义得x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以实数x 的取值范围为(－2,1)．故选B.19．(2019·山东实验中学诊断)不等式－x 2＋|x |＋2<0的解集是( ) A ．{x |－2<x <2} B ．{x |x <－2或x >2} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或x >1}答案 B解析 原不等式化为|x |2－|x |－2>0，所以(|x |－2)·(|x |＋1)>0.因为|x |＋1>0，所以|x |－2>0，即|x |>2，解得x <－2或x >2.故选B.20．(2019·鄂尔多斯第一中学模拟)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.154B ．72C ．52D ．152答案 C解析 因为x 2－2ax －8a 2<0(a >0)，所以(x ＋2a )·(x －4a )<0(a >0)，得－2a <x <4a .又x 2－x 1＝15，所以6a ＝15，解得a ＝52.故选C.21．(2019·新疆高三一模)已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最大值是( ) A.63B ．233C ．433D ．－433答案 D解析 ∵不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，∴在方程x 2－4ax ＋3a 2＝0中，由根与系数的关系知x 1x 2＝3a 2，x 1＋x 2＝4a ，则x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a .∵a <0，∴－⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋13a ≥2－4a ·－13a ＝433，即4a ＋13a ≤－433，故x 1＋x 2＋a x 1x 2的最大值为－433.故选D.22．(2019·苏北四市、苏中三市三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ≤0，则不等式f (x )>f (－x )的解集为________．答案 (－2,0)∪(2，＋∞)解析 若x ≥0，则f (x )＝x 2－2x ，f (－x )＝－x 2＋2x ，由f (x )>f (－x )得x 2－2x >－x 2＋2x ⇒x >2，故x >2.若x <0，则f (x )＝－x 2－2x ，f (－x )＝x 2＋2x ，由f (x )>f (－x )得，－x 2－2x >x 2＋2x ⇒－2<x <0，故－2<x <0.综上，不等式f (x )>f (－x )的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2019·广州模拟)对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g －1＝x －2×－1＋x 2－4x ＋4>0，g 1＝x －2＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． 2．(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围．解 因为函数f (x )是偶函数，故函数f (x )的图象关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立， 从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立， 化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立， 设h (x )＝3x 2－2ax －a 2， 则有⎩⎪⎨⎪⎧h a ＝0≤0，ha ＋1＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34.故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－34. 3．(2019·沈阳八校联考)已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＞0.(1)若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，求实数a 的值；(2)若a ∈R ，解这个关于x 的不等式． 解 (1)∵不等式(ax －1)(x ＋1)＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，∴方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两根是－1，－12；∴－12a －1＝0，∴a ＝－2.(2)∵(ax －1)(x ＋1)＞0，∴当a ＜0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＜0.若a ＜－1，则1a ＞－1，解得－1＜x ＜1a；若a ＝－1，则1a＝－1，不等式的解集为∅； 若－1＜a ＜0，则1a ＜－1，解得1a＜x ＜－1；当a ＝0时，不等式为－(x ＋1)＞0，解得x ＜－1.当a ＞0时，不等式为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＞0，∵1a ＞－1，∴解不等式得x ＜－1或x ＞1a.综上，当a ＜－1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜1a ；当a ＝－1时，不等式的解集为∅；当－1＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a＜x ＜－1；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞1a .4．(2019·河北正定中学月考)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若不等式f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的x ∈[－1,1]恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若a <0，解不等式f (x )>1.解 (1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的x ∈[－1,1]恒成立， 设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1，x ∈[－1,1]， ①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，无解；②当－1≤a ≤1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1； ③当a >1时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ＋2a ＋1>0，得a >1. 综上，实数a 的取值范围为(1－2，＋∞)． (2)f (x )>1，即ax 2＋x －a －1>0， 即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0， 因为a <0，所以(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a <0， 因为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a ＝2a ＋1a ，所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <－a ＋1a ； 当a ＝－12时，不等式可化为(x －1)2<0，不等式无解；当a <－12时，1>－a ＋1a，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－a ＋1a <x <1. 5．(2019·天津河东一模)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )． 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0. 当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， 因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0,1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。
2021年高考数学总复习 6-2 一元二次不等式及其解法备选练习 文(含解析)新人教A版
1．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x－b)>0的解集是[2,3]，则a＋b＝( )
A．1B．2
C．4D．8
解析：(x－a)⊗(x－b)>0，即(x－a)[1－(x－b)]>0，即(x－a)[x－(b＋1)]<0，该不等式的解集为[2,3]，说明方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.
Sx31285 7A35 稵c
答案：C
2．关于x的不等式 <0(a∈R)，下列结论错误的是( )
A．a＝0或a＝1时，不等式的解集为∅
B．a<0或a>1时，不等式的解集为{x|a<x<a2}
C．0<a<1时，不等式的解集为{x|a2<x<a}
D．a∈R时，不等式的解集为{x|a<x<a2}
解析：原不等式等价于(x－a)(x－a2)<0，
当a＝a2，即a＝0或a＝1时，不等式的解集为∅，
当a<a2，即a<0或a>1时，不等式的解集为{x|a<x<a2}，
当a>a2<a}．
综上所述，选D.
答案：D37813 93B5 鎵*30838 7876 硶34688 8780 螀527182 6A2E 樮<F34241 85C1 藁\
【优化探讨】2021高考数学 6-2 一元二次不等式及其解法提素能高效训练 新人教A版 理 (1)
"【优化探讨】2021高考数学 6-2 一元二次不等式及其解法提素能高效训练 新人教A 版 理 "[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．(2021年南昌模拟)不等式x －2x 2－1＜0的解集为( )A ．{x|1＜x ＜2}B ．{x|x ＜2且x≠1}C ．{x|－1＜x ＜2且x≠1}D ．{x|x ＜－1或1＜x ＜2}解析：因为不等式x －2x 2－1＜0等价于(x ＋1)(x －1)(x －2)＜0，因此该不等式的解集是{x|x ＜－1或1＜x ＜2}，选D.答案：D2．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x≥0x ＋6，x<0，那么不等式f(x)>f(1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x<0x ＋6>3，因此原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，应选A.答案：A3．不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．x≥0 B ．x<0或x>2 C ．x<－12D ．x≤－12或x≥3解析：原不等式等价于(2x ＋1)(x －3)≥0，解得x≤－12或x≥3，依照题意，该解集为选项中集合的真子集，因此选B.答案：B4．已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，那么实数a 的取值范围是( ) A ．a<－35或a>1B ．－35<a<1C ．－35<a≤1或a ＝－1D ．－35<a≤1解析：a ＝1显然知足题意，假设该不等式为一元二次不等式，那么必有a 2<1，由Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a<1.综上可知－35<a≤1. 答案：D5．(2021年高考全国新课标卷Ⅰ)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln x ＋1，x>0.假设|f(x)|≥ax，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：当x≤0时，f(x)＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，因此|f(x)|≥ax 化简为x 2－2x≥ax，即x 2≥(a＋2)x ，因为x≤0，因此a ＋2≥x 恒成立，因此a≥－2；当x>0时，f(x)＝ln(x ＋1)>0，因此|f(x)|≥ax 化简为ln(x ＋1)>ax 恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax 恒成立，选择D.答案：D6．已知命题p ：存在x ∈R ，使得mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，均有x 2＋mx ＋1>0，假设p 或q 为假命题，那么实数m 的取值范围为( )A ．m≤－2B ．m≥2C ．m≥2或m≤－2D ．－2≤m≤2解析：p 或q 为假，说明p ，q 均为假命题．p 假，那么m≥0；q 假，那么，m 2－4≥0，即m≥2或m≤－2.故实数m 的取值范围为m≥2.答案：B 二、填空题7．(2021年苏州模拟)已知f(x)是概念在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，那么不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．解析：由于f(x)为R 上的奇函数，因此当x ＝0时，f(0)＝0；当x<0时，－x>0，因此f(－x)＝x 2＋4x ＝－f(x)，即f(x)＝－x 2－4x ，因此f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x>00，x ＝0－x 2－4x ，x<0.由f(x)>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x>x x>0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x>xx<0，解得x>5或－5<x<0，因此原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞)8．已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，那么不等式f(x －1)<|x|的解集为________．解析：由函数f(x)＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，得b ＝0，别离画出y ＝f(x －1)与y ＝|x|的图象，分析图象可得f(x －1)<|x|的解集为{x|1<x<2}．答案：(1,2)9．(2021年郑州模拟)已知不等式xy≤ax 2＋2y 2，假设对任意x ∈[1,2]，且y ∈[2,3]，该不等式恒成立，那么实数a 的取值范围是________．解析：依题意得，当x ∈[1,2]，且y ∈[2,3]时，不等式xy≤ax 2＋2y 2，即a≥xy －2y 2x 2＝y x －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18.在座标平面内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤22≤y≤3表示的平面区域，注意到y x 可设为该区域内的点(x ，y)与原点连线的斜率，结合图形可知，yx的取值范围是[1,3]，现在－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18的最大值是－1，因此知足题意的实数a 的取值范围是a≥－1.答案：[－1，＋∞) 三、解答题10．假设关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]恒成立，求实常数λ的取值范围．解析：由题意得x 2＋12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max ＝12，∴x≥12或x≤－1，又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．11．一个服装厂生产风衣，日销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的本钱R＝500＋30x元．(1)该厂日产量多大时，日利润很多于1 300元？(2)当日产量为多少时，可取得最大利润，最大利润是多少？解析：(1)由题意知，日利润y ＝px －R ， 即y ＝(160－2x)x －(500＋30x) ＝－2x 2＋130x －500，由日利润很多于1 300元，得－2x 2＋130x －500≥1 300， 即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x≤45.故当该厂日产量在20～45件时，日利润很多于1 300元． (2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6522＋3 2252，由题意知，x 为正整数．故当x ＝32或33时，y 最大为1 612.因此当日产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元． 12．(能力提升)已知函数f(x)＝(x ＋2)|x －2|.(1)假设不等式f(x)≤a 在[－3,1]上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解不等式f(x)>3x. 解析：(1)当x ∈[－3,1]时，f(x)＝(x ＋2)|x －2|＝(x ＋2)(2－x)＝－x 2＋4. ∵－3≤x≤1，∴0≤x 2≤9. 于是－5≤－x 2＋4≤4.即函数f(x)在[－3,1]上的最大值等于4.∴要使不等式f(x )≤a 在[－3,1]上恒成立，实数a 的取值范围是[4，＋∞)． (2)不等式f(x)>3x ，即(x ＋2)|x －2|－3x>0. 当x≥2时，原不等式等价于x 2－4－3x>0， 解得x>4或x<－1. 又∵x≥2，∴x>4.当x<2时，原不等式等价于4－x 2－3x>0， 即x 2＋3x －4<0，解得－4<x<1.知足x<2.综上可知，原不等式的解集为{x|x>4或－4<x<1}．[B组因材施教·备选练习]1．在R上概念运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．假设不等式(x－a)⊗(x－b)>0的解集是[2,3]，那么a＋b＝( )A．1 B．2C．4 D．8解析：(x－a)⊗(x－b)>0，即(x－a)[1－(x－b)]>0，即(x－a)[x－(b＋1)]<0，该不等式的解集为[2,3]，说明方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a ＋b＝4.答案：C2．关于x的不等式x－ax－a2<0(a∈R)，以下结论错误的选项是( ) A．a＝0或a＝1时，不等式的解集为∅B．a<0或a>1时，不等式的解集为{x|a<x<a2}C．0<a<1时，不等式的解集为{x|a2<x<a}D．a∈R时，不等式的解集为{x|a<x<a2}解析：原不等式等价于(x－a)(x－a2)<0，当a＝a2，即a＝0或a＝1时，不等式的解集为∅，当a<a2，即a<0或a>1时，不等式的解集为{x|a<x<a2}，当a>a2，即0<a<1时，不等式的解集为{x|a2<x<a}．综上所述，选D.答案：D。
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2021年高考数学大一轮复习 6.2一元二次不等式及其解法课时作业 理一、选择题1．已知集合A ＝{x ||2x ＋1|>3}，集合B ＝{x |y ＝x ＋1x －2}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，＋∞)D ．[1,2]解析：由A ＝{x ||2x ＋1|>3}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |y ＝x ＋1x －2}＝{x |x ＋1x －2≥0}＝{x |x >2或x ≤－1}，所以∁R B ＝{x |－1<x ≤2}，所以A ∩(∁R B )＝{x |1<x ≤2}．答案：B2．已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |2x ＋1e －x≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．[－12，2)B ．(－1，－12]C ．(－1，e)D ．(2，e)解析：由题意得A ＝{x |－x 2＋x ＋2>0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >e 或x ≤－12}，故A ∩B＝(－1，－12]．答案：B3．“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0.故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而不必要条件．答案：A4．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]解析：原不等式可能为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4<a ≤5，当a <1时得a <x <1，则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]．答案：D5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235解析：由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，f (1)≤0，解得a >－235，且a ≤1，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－235，1.答案：B6．已知奇函数f (x )满足f (－1)＝f (3)＝0，在区间[－2,0)上是减函数，在区间[2，＋∞)是增函数，函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xf －x ，x <0－fx ，x >0，则F (x )>0的解集是( )A ．{x |x <－3，或0<x <2，或x >3}B ．{x |x <－3，或－1<x <0，或0<x <1，或x >3}C ．{x |－3<x <－1，或1<x <3}D ．{x |x <－3，或0<x <1，或1<x <2，或2<x <3} 解析：由题意，可得f (x )的草图如下：①x <0时，xf (－x )>0，即xf (x )<0，解得－3<x <－1；②x >0时，－f (x )>0，即f (x )<0，解得1<x <3， 综上所述，F (x )>0的解集为{x |－3<x <－1或1<x <3}． 答案：C 二、填空题7．若关于x 的不等式12x 2＋(2－m )x <0的解集是{x |0<x <2}，则实数m ＝________.解析：由题知x ＝0和x ＝2是方程12x 2＋(2－m )x ＝0的根，可得m ＝3.答案：38．若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x－2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0，∴实数a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]9．已知集合A ＝{x ||2x －3|≤1，x ∈R }，集合B ＝{x |ax 2－2x ≤0，x ∈R }，A ∩(∁U B )＝∅，则实数a 的范围是________．解析：A ＝[1,2]，由于A ∩(∁U B )＝∅，则A ⊆B ，当a ＝0时，B ＝{x |x ≥0，x ∈R }＝[0，＋∞)，满足A ⊆B ；当a <0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ≥0，x ∈R ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2a∪[0，＋∞)，满足A ⊆B ；当a >0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0，x ∈R ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a，若A ⊆B ，则2a≥2，即0<a ≤1；结合以上讨论，实数a 的范围是(－∞，1]．答案：(－∞，1] 三、解答题10．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)∵不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，∴x ＝1与x ＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)原不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，可化为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； ②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； ③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上所述，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.11．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.那么当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .1．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]解析：函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1时，不等式化为3>0，满足题意．(2)当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16a －12－12a 2＋4a －5<0.解得1<a <19.综上1≤a <19. 答案：C2．偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (－4)＝f (1)＝0，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52与⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞上分别递减和递增，则不等式x 3f (x )<0的解集为( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－∞，－4)∪(－1,0)D ．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)解析：由图知，f (x )<0的解集为(－4，－1)∪(1,4)，∴不等式x 3f (x )<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)．答案：D3．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>0的解集为(1,2)，若f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是________．解析：由题意知a <0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－a 4<1，∴a >－4，故－4<a <0. 答案：(－4,0)4．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c . (1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点；(2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n ，求|m －n |的取值范围． 解：(1)证明：由题意知a ＋b ＋c ＝0，且－b2a>1，∴a <0且c a>1，∴ac >0，∴对于函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c 有Δ＝(a －b )2＋4ac >0，∴函数y ＝f (x )必有两个不同零点． (2)|m －n |2＝(m ＋n )2－4mn ＝b －a2＋4aca2＝－2a －c 2＋4aca2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋8c a＋4， 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t >1)，由根与系数的关系知ca＝t ，∴|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)．∴|m －n |>13，∴|m －n |的取值范围为(13，＋∞)．K33519 82EF 苯38962 9832 頲~ 31733 7BF5 篵22888 5968 奨37984 9460 鑠L827715 6C43 汃:。