高等数学公式汇总(大全)
高等数学公式汇总(全)
高等数学公式汇总导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分:222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin xarcctgx x arctgx x x x x⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数: 两个重要极限:三角函数公式: ·诱导公式:·和差角公式: ·和差化积公式:2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβα-+=--+=+βαβαβαβαβαβαβαβαtg tg tg ±=±=±±=±)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xx x x x x·倍角公式:·半角公式:ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理:R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理:C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质:arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式:)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理。
全部高等数学计算公式
全部高等数学计算公式高等数学是数学的一个分支,包括微积分、线性代数、数理方程、概率论、复分析等多个内容。
每个分支都有大量的计算公式,下面将分别介绍这些分支中一些经典的计算公式。
一、微积分公式1.极限公式:(1)函数极限公式:$lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x)$$lim(f(x)g(x))=limf(x)·limg(x)$$lim\frac{{f(x)}}{{g(x)}}=\frac{{limf(x)}}{{limg(x)}}$(2)常见函数极限:$lim\frac{{sinx}}{{x}}=1$$lim(1+\frac{1}{{n}})^n=e$$lim(1+\frac{1}{{n}})^{n(p-q)}=e^{(p-q)}$2.导数公式:(1)基本导数公式:$(c)'=0$$(x^n)'=nx^{n-1}$$(e^x)'=e^x$$(a^x)'=a^xlna$$(lnx)'=\frac{1}{{x}}$$(sinx)'=cosx$$(cosx)'=-sinx$$(tanx)'=sec^2x$(2)导数的四则运算:$(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$(\frac{{f(x)}}{{g(x)}})'=\frac{{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}}{{g^2(x)}}$(3)链式法则:$(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$3.积分公式:(1)基本积分公式:$\int{cx^n}dx=\frac{{cx^{n+1}}}{{n+1}}+C$$\int{e^x}dx=e^x+C$$\int{a^x}dx=\frac{{a^x}}{{lna}}+C$$\int{\frac{{1}}{{x}}}dx=ln,x,+C$$\int{sinx}dx=-cosx+C$$\int{cosx}dx=sinx+C$$\int{sec^2x}dx=tanx+C$(2)常用积分公式:$\int{u}dv=uv-\int{v}du$$\int{sin^2x}dx=\frac{{x}}{2}-\frac{{sin2x}}{4}+C$$\int{cos^2x}dx=\frac{{x}}{2}+\frac{{sin2x}}{4}+C$4.泰勒展开公式:$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2+...+\frac{{f^{(n)}}}{{n!}}(x-a)^n+R_n(x)$二、线性代数公式1.行列式公式:(1)二阶行列式:$D=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$(2)三阶行列式:$D=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=aei+bfg+c dh-ceg-afh-bdi$2.矩阵运算公式:(1)两个矩阵的和:$A+B=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix }+\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{2 2}\end{bmatrix}$(2)两个矩阵的乘积:$AB=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}=\begin{ bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{ 21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{bmatrix}$3.特征值与特征向量公式:$A-\lambda I=0$其中,A为矩阵,$\lambda$为特征值,I为单位矩阵。
高等数学公式大全(几乎包含了所有)
高等数学公式大全1、导数公式:2、基本积分表:3、三角函数的有理式积分:一些初等函数:两个重要极限:三角函数公式:·诱导公式:函数sin cos tg ctg角A-α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-c tgα180°+α-sinα-cosαtgαctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgα270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式:·和差化积公式:·倍角公式:·半角公式:·正弦定理:·余弦定理:·反三角函数性质:高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:中值定理与导数应用:曲率:定积分的近似计算:定积分应用相关公式:空间解析几何和向量代数:多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用:方向导数与梯度:多元函数的极值及其求法:重积分及其应用:柱面坐标和球面坐标:曲线积分:曲面积分:高斯公式:斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:常数项级数:级数审敛法:绝对收敛与条件收敛:幂级数:函数展开成幂级数:一些函数展开成幂级数:欧拉公式:三角级数:傅立叶级数:周期为的周期函数的傅立叶级数:微分方程的相关概念:一阶线性微分方程:全微分方程:二阶微分方程:二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:(*)式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根二阶常系数非齐次线性微分方程。
高数公式大全(全)
高数公式大全1.基本积分表:三角函数的有理式积分:222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , 一些初等函数: 两个重要极限:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx ++=+-==+=-=----1ln(:2:2:2)双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x三角函数公式: ·诱导公式:·和差角公式: ·和差化积公式:·倍角公式:·半角公式:2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理:R CcB b A a 2sin sin sin ===·余弦定理:C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质:arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式:)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理。
高等数学公式汇总
高等数学公式汇总高等数学公式汇总第一章一元函数的极限与连续1.一些初等函数公式:,2.极限Ø 常用极限:;; Ø Ø 两个重要极限Ø3.连续:定义:第二章导数与微分1.基本导数公式:2.高阶导数:² 牛顿-莱布尼兹公式:3.微分:第三章微分中值定理与微分的应用1.基本定理2. ² 常用初等函数的展式:3.第四章不定积分1.常用不定积分公式:2.常用凑微分公式:3.有特殊技巧的积分第五章定积分1.基本概念,2.常用定积分公式:;;;; Wallis公式:无穷限积分:瑕积分:; ,第六章定积分应用1.平面图形的面积:直角坐标情形:;;参数方程情形:极坐标情形:2.空间立体的体积:由截面面积:旋转体:绕x轴旋转:绕y轴旋转:3.平面曲线的弧长:变力做功:抽水做功:液体压力做功:第七章向量代数与空间解析几何两点间距离公式:,方向余弦:单位向量:数量积:,夹角余弦:向量积:,,空间位置关系:平面的方程:点法式:;一般式:截距式:两平面的夹角:点到平面的距离:两平行平面的距离:直线与平面的夹角:空间曲线,曲线的投影,空间立体,曲面,曲面的投影球面:椭圆柱面:;双曲柱面:;抛物柱面:旋转曲面:圆柱面:;圆锥面:;双叶双曲面:单叶双曲面:;旋转椭球面: ;旋转抛物面:二次曲面:椭球面:抛物面:椭圆抛物面:;双曲抛物面:单叶双曲面:;双叶双曲面:椭圆锥面:总结求极限方法:1.极限定义;2.函数的连续性;3.极限存在的充要条件;4.两个准则;5.两个重要极限;6.等价无穷小;7.导数定义;8利用微分中值定理;9.洛必达法则;10.麦克劳林公式展开;求导法:1.导数的定义(求极限);2.导数存在的充要条件;3.基本求导公式;4.导数四则运算及反函数求导;5.复合函数求导;6.参数方程确定的函数求导;7.隐函数求导法;8.高阶导数求导法(莱布尼茨公式/常用的高阶导数);等式与不等式的证明:1.利用微粉中值定理;2.利用泰勒公式展开;3.函数的单调性;4.最大最小值;5.曲线的凸凹性第八章多元函数微分法及其应用一. 定义:二. 微分:,,全微分:三.四.曲线的切线和法平面1.曲线方程,切线:,法平面:2.曲线方程,切线:,法平面:3.曲线方程,切向量,切线:四.曲面的切平面和法线,法向量:,切平面:,法线:2.,切平面,法线:五.方向导数:梯度:第九章:重积分一. 二重积分:二.三重积分:1.直角坐标系:2.柱面坐标系:3.球面坐标系:二.重积分的应用:1.体积:2.曲面面积:3.质量:或4.质心:或5. 转动惯量:或第章:曲线积分和曲面积分一.第一类曲线积分:(对弧长的曲线积分):二.第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):1.计算公式:2.格林公式:3.Stokes公式:4.封闭曲线围城的面积:三.第一类曲面积分:四.第二类曲面积分:1.计算公式:2.投影转化法:3.高斯公式:4第一章无穷级数一.常数项级数二.幂级数:1.收敛半径:2.常用等式:,,,,3.泰勒展开:三.第二章微分方程第20 页共20 页。
大学高等数学公式大全
大学高等数学公式大全第一部分:微积分基础一、导数1. 导数的定义:导数是一个函数在某一点上的瞬时变化率,表示为f'(x)或dy/dx。
2. 导数的运算法则:常数函数的导数为0。
幂函数的导数为指数乘以底数的指数减1,即d/dx(x^n) =nx^(n1)。
指数函数的导数为指数函数乘以指数,即d/dx(a^x) = a^xln(a)。
对数函数的导数为1除以x乘以底数的对数,即d/dx(ln(x)) =1/x。
三角函数的导数:d/dx(sin(x)) = cos(x),d/dx(cos(x)) =sin(x),d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
3. 高阶导数:函数的导数可以继续求导,得到高阶导数。
例如,f''(x)表示二阶导数。
二、积分1. 定积分的定义:定积分是一个函数在某个区间上的累积和,表示为∫[a,b]f(x)dx。
2. 积分的运算法则:常数函数的积分为其乘以区间长度,即∫[a,b]c dx = c(ba)。
幂函数的积分为其指数加1除以指数加1乘以区间长度,即∫[a,b]x^n dx = (b^(n+1)a^(n+1))/(n+1)。
指数函数的积分为其指数函数除以指数,即∫[a,b]a^x dx = (a^ba^a)/ln(a)。
对数函数的积分为其对数函数乘以区间长度,即∫[a,b]ln(x) dx = (xln(x)x)。
三角函数的积分:∫[a,b]sin(x) dx = cos(x) + C,∫[a,b]cos(x) dx = sin(x) + C,∫[a,b]tan(x) dx = ln|cos(x)| + C。
3. 积分的性质:积分与导数互为逆运算,即d/dx(∫f(x)dx) = f(x)。
积分区间可以改变顺序,即∫[a,b]f(x)dx = ∫[b,a]f(x)dx。
积分可以分解为多个区间上的积分,即∫[a,c]f(x)dx =∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
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大学高等数学公式·积的关系:sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·平方关系:sin^2(α+cos^2(α=1tan^2(α+1=sec^2(αcot^2(α+1=csc^2(α·倒数关系:tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数:cos(α+β=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β=(tanα+tanβ/(1-tanα·tanβtan(α-β=(tanα-tanβ/(1+tanα·tanβ·三角和的三角函数:sin(α+β+γ=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα·辅助角公式:Asinα+Bcosα=(A^2+B^2^(1/2sin(α+t,其中sint=B/(A^2+B^2^(1/2cost=A/(A^2+B^2^(1/2tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2^(1/2cos(α-t,tant=A/B·倍角公式:sin(2α=2sinα·cosα=2/(tanα+cotαcos(2α=cos^2(α-sin^2(α=2cos^2(α-1=1-2sin^2(αtan(2α=2tanα/[1-tan^2(α]·三倍角公式:sin(3α=3sinα-4sin^3(αcos(3α=4cos^3(α-3cosα·半角公式:sin(α/2=±√((1-cosα/2cos(α/2=±√((1+cosα/2tan(α/2=±√((1-cosα/(1+cosα=sinα/(1+cosα=(1-cosα/sinα·降幂公式sin^2(α=(1-cos(2α/2=versin(2α/2cos^2(α=(1+cos(2α/2=covers(2α/2 tan^2(α=(1-cos(2α/(1+cos(2α·万能公式:sinα=2tan(α/2/[1+tan^2(α/2] cosα=[1-tan^2(α/2]/[1+tan^2(α/2] tanα=2tan(α/2/[1-tan^2(α/2]·积化和差公式:sinα·cosβ=(1/2[sin(α+β+sin(α-β] cosα·sinβ=(1/2[sin(α+β-sin(α-β] cosα·cosβ=(1/2[cos(α+β+cos(α-β] sinα·sinβ=-(1/2[cos(α+β-cos(α-β]·和差化积公式:sinα+sinβ=2sin[(α+β/2]cos[(α-β/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β/2]sin[(α-β/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β/2]cos[(α-β/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β/2]sin[(α-β/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2^2·其他:sinα+sin(α+2π/n+sin(α+2π*2/n+sin(α+2π*3/n+……+sin[α+2π*(n-1/n]=0cosα+cos(α+2π/n+cos(α+2π*2/n+cos(α+2π*3/n+……+cos[α+2π*(n-1/n]=0 以及sin^2(α+sin^2(α-2π/3+sin^2(α+2π/3=3/2tanAtanBtan(A+B+tanA+tanB-tan(A+B=0三角函数的角度换算[编辑本段]公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanα公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三:任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z部分高等内容[编辑本段]·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得:sinx=[e^(ix-e^(-ix]/(2i cosx=[e^(ix+e^(-ix]/2 tanx=[e^(ix-e^(-ix]/[ie^(ix+ie^(-ix]泰勒展开有无穷级数,e^z=exp(z=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
高等数学公式大全
高等数学公式大全一、方程1.一元一次方程一元一次方程是指由一个未知数及其平方项和一次项所组成的方程,它的标准形式为:ax + b = 0, 其解为: x = -b/a2.一元二次方程一元二次方程是指由一个未知数的二次项、一次项和常数项组成的方程,它的标准形式为:ax² + bx + c = 0,其解为:x1,2 = [-b ±√(b²-4ac)]/2a3.不定方程不定方程是指方程右端没有任何量,且没有可以代求解的未知数,它的标准形式为:ax + b = 0,其解为:任何实数x即为解4.幂指数方程幂指数方程是指指数函数方程经过变形后所得的方程,它的标准形式为:ax^m+bx^n=c,其解为:x=(c-b)/a5.二元一次方程二元一次方程是指有两个未知数,右端只有一次项的方程,它的标准形式为:ax + by = c,其解为:x = (c-b)/a, y = (c-a)/b6.二元二次方程二元二次方程是指有两个未知数,右端有两次项的方程,它的标准形式为:ax² + by² + cxy + dx + ey + f = 0,其解为: x=-ey/2c+【(ey/2c)² - (d+bx/c) 】^½ / (d+bx/c) 、 y=-dx/2c+【(dx/2c)² - (e+ax/c) 】^½ / (e+ax/c)二、椭圆方程1.一般形式一般形式是指将椭圆方程转化为一般形式来求解的方法,它的标准形式为:Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0,其解为:X=-2CX0/(B-A)±b^½*[(CX0/(B-A))²-(2BX0²/B-A)];。
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关于高等数学公式大全几乎包含了所有一、微分学公式1. 线性函数的导数:(kx)' = k2. 幂函数的导数:(x^n)' = nx^(n-1)3.e^x的导数:(e^x)'=e^x4. sinx 的导数:(sinx)' = cosx5. cosx 的导数:(cosx)' = -sinx6. tanx 的导数:(tanx)' = sec^2x7. cotx 的导数:(cotx)' = -csc^2x8. ln(x) 的导数:(ln(x))' = 1/x9. a^x 的导数:(a^x)' = ln(a) * a^x二、积分学公式1. 线性函数的积分:∫(kx)dx = (k/2)x^2 + C2. 幂函数的积分:∫(x^n)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C, (n≠-1)3. e^x 的积分:∫e^xdx = e^x + C4. sinx 的积分:∫sinxdx = -cosx + C5. cosx 的积分:∫cosxdx = sinx + C6. tanx 的积分:∫tanxdx = -ln,cosx, + C7. cotx 的积分:∫cotxdx = l n,sinx, + C8. 1/(x+a) 的积分:∫(1/(x+a))dx = ln,x+a, + C9. 1/(x^2+a^2) 的积分:∫(1/(x^2+a^2))dx = (1/a)arctan(x/a) + C三、级数和序列的公式1.等差数列的前n项和:Sn = n(a1+an)/22.等比数列的前n项和:Sn=a1(1-q^n)/(1-q)3.等差级数的和:S = (n/2)(a1+an)4.等比级数的和:S=a1/(1-q),,q,<15.幂级数的和:S=a/(1-r),,r,<16.泰勒级数:f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)/1!+(x-a)^2f''(a)/2!+...四、微分方程的公式1. 一阶常微分方程:dy/dx + P(x)y = Q(x), y = C∫(e^(-∫P(x)dx))Q(x)dx2. 二阶常系数非齐次线性微分方程:ay''+by'+cy=g(x),其中非齐次解为 y = yc + yp3. 欧拉方程:x^n*d^n(y)/dx^n + a_(n-1)*x^(n-1)*d^(n-1)(y)/dx^(n-1) +...+ a_1*x*d(y)/dx + a_0*y = 0以上只是高等数学公式的一部分,包括微分学、积分学、级数和序列以及微分方程等方面的公式。
高等数学公式大全
dx = sec 2 xdx = tgx + C 2 cos x dx = csc 2 xdx = ctgx + C 2 sin x tgxdx = sec x + C sec x × csc x ×ctgxdx = csc x + C a x dx = ax +C ln a
shxdx = chx + C chxdx = shx + C dx x ±a
ex
limBiblioteka sin x =1 x 0 x 1 lim (1 + ) x = e = 2.718281828459045... x x
x x
三角函数公式: ·诱导公式: 函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α ·和差角公式: sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα
4 sin 3 3 cos
3tg tg 3 1 3tg 2
sin tg
2 2
=± =±
1 cos 1 + cos cos = ± 2 2 2 1 cos 1 + cos = 1 cos sin = sin 1 + cos ctg = ± 1 + cos 2 1 cos = 1 + cos sin = sin 1 cos
高等数学公式所有大全
高等数学公式大全
(tgx)′ = sec2 x
(ctgx)′ = −csc2 x
(sec x)′ = sec x ⋅tgx
(csc x)′ = −csc x ⋅ ctgx
(a x )′ = a x ln a
(log x)′ = 1
a
x ln a
(arcsin x)′ = 1 1− x2
tg
(α
±
β
)
=
tgα ± 1µ tgα
tgβ ⋅ tgβ
ctg
(α
±
β
)
=
ctgα ⋅ ctgβ
ctgβ µ1 ± ctgα
·和差化积公式:
sinα + sin β = 2sin α + β cos α − β
2
2
sinα − sin β = 2cos α + β sin α − β
2
2
cosα + cos β = 2cos α + β cos α − β
=
−ctgx
+
C
∫sec x ⋅tgxdx = sec x + C
∫ csc x ⋅ctgxdx = −csc x + C
∫ a xdx = a x + C ln a
∫ shxdx = chx + C
∫ chxdx = shx + C
∫ dx = ln(x + x2 ± a2 ) + C x2 ± a2
引力:F
=
k
m1m2 r2
, k为引力系数
函数的平均值:y =
1
b
∫ f (x)dx
最完整高数公式大全赶紧了以后用
最完整高数公式大全赶紧了以后用1.极限相关公式:- 极限定义:如果对于任意一个给定的正数ε,存在正数δ,使得只要x与a的距离小于δ,则必有f(x)与L的距离小于ε,即lim(x→a)f(x)=L。
2.一元函数相关公式:- 基本求导法则:(C)'=0,(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹,(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx,(tanx)'=sec²x,(cotx)'=-csc²x,(secx)'=secxtanx,(cscx)'=-cscxcotx。
- 链式法则:设y=f(u),u=g(x),则y=f(g(x)),则y'=(dy)/(dx)=(dy)/(du)*(du)/(dx)=f'(u)*g'(x)。
-高阶导数:(fⁿ(x))'=fⁿ⁻¹(x)·f'(x),其中n为正整数。
-函数泰勒级数展开式:f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+…+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rⁿ(x),其中Rⁿ(x)为剩余项。
- 微分方程:设y=f(x),则dy/dx=f'(x),d²y/dx²=f''(x),…3.多元函数相关公式:-偏导数:设z=f(x,y),则∂z/∂x表示在y固定的条件下对x的变化率,∂z/∂y表示在x固定的条件下对y的变化率。
-链式法则:设z=f(x,y),x=g(u,v),y=h(u,v),则∂z/∂u=∂z/∂x*∂x/∂u+∂z/∂y*∂y/∂u,…- 梯度:设z=f(x₁,x₂,…,xₙ),则gradz=(∂z/∂x₁,∂z/∂x₂,…,∂z/∂xₙ)。
- 散度:设F=(P,Q,R)为一个三维向量场,则divF=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z。
高数公式总结
高等数学公式汇总第一章一元函数的极限与连续1、常用初等函数公式:和差角公式:sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβm sinαsinβtanα±tanβ1m tanα⋅tanβcotα⋅cotβm1cot(α±β)=cotβ±cotαsh(α±β)=shαchβ±chαshβtan(α±β)=ch(α±β)=chαchβ±shαshβ和差化积公式:22α+βα−βsinα−sinβ=2cos sin22α+βα−βcosα+cosβ=2cos cos22α+βα−βcosα−cosβ=2sin sin22 sinα+sinβ=2sinα+βcosα−β积化和差公式:1sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α−β)]21cosαsinβ=[sin(α+β)−sin(α−β)]21cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α−β)]21sinαsinβ=[cos(α+β)−cos(α−β)]2倍角公式:sin2α=2sinαcosαcos2α=2cos2α−1=1−2sin2α=cos2α−sin2α2tanα1−tan2αcot2α−1cot2α=2cotαsh2α=2shαchαtan2α=ch2α=1+2sh2α==2ch2α−1=ch2α+sh2αsin 2α+cos 2α=1;tan 2x +1=sec 2x ;cot 2x +1=csc 2x ;ch 2x −sh 2x =1半角公式:sin cos tan cot α2=±=±=±=±1−cos α21+cos α21−cos α1−cos αsin α== 1+cos αsin α1+cos α1+cos α1+cos αsin α==1−cos αsin α1−cos αα2α2α2e x −e −x 双曲正弦:shx =;反双曲正弦:arshx =ln(x +x 2+1)2e x +e −x双曲余弦:chx =;反双曲余弦:archx =±ln(x +x 2−1)2shx e x −e −x 11+x双曲正切:thx ==x −x ;反双曲正切:arthx =lnchx e +e 21−x(a 3±b 3)=(a ±b )(a 2m ab +b 2),12+22+L +n 2=n (n +1)(2n +1)6n 2(n +1)21+2+L +n =43332、极限➢常用极限:q <1,lim q n =0;a >1,lim n a =1;lim n n =1n →∞n →∞n →∞➢若f (x )→0,g (x )→∞,则lim[1±f (x )]➢两个重要极限g (x )=elimln(1+f (x ))1/g (x )ln(1+f (x ))~f (x )⎯⎯⎯⎯⎯⎯→e ±lim[f (x )g (x )]1sin x sin x 1x lim =1,lim =0;lim(1+)=e =lim(1+x )xx →0x →∞x →∞x →0x x x ➢常用等价无穷小:1−cos x ~121x ;x ~sin x ~arcsin x ~arctan x ;n 1+x −1~x ;2na x −1~x ln a ;e x ~x +1;(1+x )a ~1+ax ;ln(1+x )~x3、连续:定义:lim ∆y =0;lim f (x )=f (x 0)∆x →0x →x 0−+极限存在⇔lim f (x )=lim f (x )或f (x )=f (x )00−+x →x 0x →x 0第二章导数与微分基本导数公式:f (x 0+∆x )−f (x 0)f (x )−f (x 0)∆y=lim=lim =tan α∆x →0∆x ∆x →0x →x 0∆x x −x 0f '(x 0)=lim −+导数存在⇔f _'(x 0)=f +'(x 0)C '=0; (x a )'=ax a −1; (sin x )'=cos x ; (cos x )'=sin x ; (tan x )'=sec 2x ; (cot x )'=−csc 2x ;(sec x )'=sec x ⋅tan x ; (csc x )'=−csc x ⋅ctgx ; (a x )'=a x ln a ;(e x )'=e x ;1111; (ln x )'=; (arcsin x )'=; (arccos x )'=−;22x ln a x 1−x 1−x 11'(arctan x )'=; (arc cot x )=−; (shx )'=hx ;(chx )'=shx ;221+x 1+x 1111(thx )'=2; (arshx )'=; (archx )'=;(arthx )'=2ch x x −11+x 2x 2−1(log a x )'=2、高阶导数:(x n )(k )=n !x n −k ⇒(x n )(n )=n !; (a x )(n )=a x ln n a ⇒(e x )(n )=e x (n −k )!1(n )(−1)n n !1(n )(−1)n n !1(n )n !()=; ()=; ()=x x n +1x +a (x +a )n +1a −x (a −x )n +1ππ(sin kx )(n )=k n ⋅sin(kx +n ⋅); (cos kx )(n )=k n ⋅cos(kx +n ⋅);22[ln(a +x )](n )=(−1)n −1(n −1)!1(n −1)(n )n −1(n −1)!⇒[ln(x )]=()=(−1)n n(a +x )x x 牛顿-莱布尼兹公式:(uv )(n )k (n −k )(k )=∑C nu v k =0n=u (n )v +nu (n −1)v '+n (n −1)(n −2)n (n −1)L (n −k +1)(n −k )(k )u v ''+L +u v +L +uv (n )2!k !3、微分:∆y =f (x +∆x )−f (x )=dy +o (∆x );dy =f '(x 0)∆x =f '(x )dx ;连续⇒极限存在⇔收敛⇒有界;不连续⇒不可导可微⇔可导⇔左导=右导⇒连续;第三章基本定理微分中值定理与微分的应用拉格朗日中值定理:f (b )−f (a )=f '(ξ)(b −a ),ξ∈(a ,b )f (b )−f (a )f '(ξ)柯西中值定理:=,ξ∈(a ,b )F (b )−F (a )F '(ξ)当F(x )=x 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
高等数学公式汇总
高等数学公式汇总高等数学公式汇总如下:1. 幂函数:指数函数:f(x) = cos(x) + i*sin(x)f(x) = exp(x) - 1/(2*exp(2x))f(x) = frac{1}{1-x^2}f(x) = sqrt(x)/x2. 三角函数:正弦函数:s(x) = sin(x)/cos(x)s(x) = frac{1}{sqrt{1-x^2}}s(x) = frac{cos(x) - x*sin(x)}{sqrt{1-x^2}}s(x) = frac{2*cos(x)/2}{sqrt{1-x^2}}3. 余弦函数:c(x) = cos(x)c(x) = cos(x)/s(x)c(x) = frac{1}{sqrt{1-x^2}}c(x) = frac{2*cos(x) - x*sin(x)}{sqrt{1-x^2}}4. 正切函数:tan(x) = sin(x)/cos(x)tan(x) = frac{sin(x) + cos(x)}{2*cos(x)/sin(x) -sin(x)/cos(x)}tan(x) = frac{1}{sqrt{1-sin^2(x)/cos^2(x)}}5. 指数函数和三角函数的组合:e^x = cos(x) + i*sin(x)e^x = exp(x) - 1/(2*exp(2x))e^x = frac{1}{1-x^2}e^x = sqrt(x)/x6. 对数函数:log(x) = ln(x/e) + i*π/2log(x) = ln(x) - ln(2*sqrt(x))log(x) = ln(1+x)7. 微积分中的基本公式:导数:f"(x) = lim(Δx->0)*frac{f(x+Δx) - f(x)}{Δx}f"(x) = lim(Δx->0)*frac{f(x+Δx) + f(x-Δx)}{2Δx}f"(x) = lim(Δx->0)*frac{f(x)/(x+Δx) - f(x)/(x-Δx)}{Δx/(x+Δx) + Δx/(x-Δx)}f"(x) = lim(Δx->0)*frac{f(x)/x}{1 + frac{f(x)}{x/2}} 微分中的基本公式:d/dx (a^x) = a^x*ln(a)d/dx (e^x) = e^x*ln(e)d/dx (1/x) = 1/x*ln(x)d/dx (a^x) * a^(-x) = e^xd/dx (x^n) = nx^(n-1)d/dx (sin(x)) = cos(x)d/dx (cos(x)) = -sin(x)d/dx (tan(x)) = sin(x)/cos(x)8. 积分基本公式:积分一:∫dx = x + C∫dx = 1/2*ln(|x| + 1) + C∫dx = 1/(2*sqrt(x^2 + 1)) + C∫dx = 1/(2*sqrt(x)) + C积分二:∫dx/dx = 1/x∫dx/(2x) = 1/(2*x^2)∫dx/(x^2 + z) = -1/(x^3 + z^2) + C积分三:∫e^x dx = e^x + C∫e^x dx = 1/(2*sqrt(e)*ln(e)) + C∫e^x dx = 1/(2*sqrt(e)*sin(x)) + C积分四:∫a^x dx = a^x + C∫a^x dx = 1/(2*sqrt(a^2 + 1)) + C∫a^x dx = 1/(2*sqrt(a)) + C9. 链式法则:链式法则:∫[(x+a)^2 - (x-a)^2] dx = x^3 + 3x^2*a + 3x*a^2 - (a^3 + a^2*a + a*a^2)= x^3 + 3x^2*a + 3x*a^2 - a^3 - a^2*a + a*a^2= (x-a)(x^2 + 3x*a + 3a^2) - a^310. 微积分中的常数和极限:常数:C = lim(n->无穷大)*sum(1/n)C = lim(n->无穷大)*sqrt(1+4n^2)C = lim(n->无穷大)*frac{1}{2*(1-2n^2) }C = lim(x->正无穷大)*log(1+x)C = lim(x->负无穷大)*log(1-x)极限:趋于1:s(n) = frac{1}{n} + 1/(n^2 + 2)趋于0:s(n) = frac{1}{n} + 1/(n^2)趋于正无穷:s(n) = frac{1}{n} + O(1/n^3)趋于负无穷:s(n) = frac{1}{n} + O(1/n^2)。
高数的全部公式大全
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高等数学复习公式
·倍角公式:
sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = cos 2 α − sin 2 α ctg 2α − 1 ctg 2α = 2ctgα 2tgα tg 2α = 1 − tg 2α
高等数学复习公式
高等数学公式
导数公式:
(tgx)′ = sec 2 x (ctgx)′ = − csc 2 x (sec x)′ = sec x ⋅ tgx (csc x)′ = − csc x ⋅ ctgx (a x )′ = a x ln a (log a x)′ =
基本积分表:
1 x ln a
2 2 2 2 2 2
k a z , c = a ⋅ b sin θ .例:线速度:v = w × r . bz ay by cy az bz = a × b ⋅ c cosα ,α为锐角时, cz
ax [ a b c ] = ( a × b ) ⋅ c = bx 向量的混合积: cx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
代表平行六面体的体积。
ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα
·和差化积公式:
sin(α ± β ) = sin α cos β ± cosα sin β cos(α ± β ) = cosα cos β ∓ sin α sin β tgα ± tgβ tg (α ± β ) = 1 ∓ tgα ⋅ tgβ ctgα ⋅ ctgβ ∓ 1 ctg (α ± β ) = ctgβ ± ctgα
⎧ x = x0 + mt x − x0 y − y 0 z − z 0 ⎪ = = = t , 其中s = {m, n, p}; 参数方程: 空间直线的方程: ⎨ y = y0 + nt m n p ⎪ z = z + pt 0 ⎩ 二次曲面: x2 y2 z2 1、椭球面: 2 + 2 + 2 = 1 a b c 2 2 x y , p, q同号) 2、抛物面: + = z( 2 p 2q 3、双曲面: x2 y2 z 2 单叶双曲面: 2 + 2 − 2 = 1 a b c 2 2 x y z2 1 双叶双曲面: 2 − 2 + 2 =(马鞍面) a b c
高等数学公式大全
高等数学公式大全高等数学是一门涉及广泛的数学学科,其中包含许多重要的公式。
下面是一份高等数学公式的精华版,涵盖了微积分、线性代数、概率统计等领域的重要公式。
微积分公式:1.极限公式:-函数极限的定义:若对于任意给定的正数ε,存在正数δ,使得当0<,x-a,<δ时,总有,f(x)-A,<ε,则称函数f(x)当x趋于a时的极限为A。
-基本极限:- lim(x→0) (sinx/x) = 1- lim(x→0) (1-cosx)/x = 0- lim(x→0) (e^x-1)/x = 1- lim(x→∞) (1+1/x)^x = e2.导数与微分:- 导数的定义:设函数y=f(x),若极限lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h 存在,则称该极限为函数f(x)在点x处的导数,记作f'(x)。
-基本导数:-(常数C)'=0- (x^n)' = nx^(n-1)-(e^x)'=e^x- (lnx)' = 1/x- (sinx)' = cosx- (cosx)' = -sinx- (tanx)' = sec^2x3.积分:-不定积分与定积分:- 不定积分:∫f(x)dx,表示函数f(x)的原函数- 定积分:∫a^bf(x)dx,表示函数f(x)在区间[a, b]上的面积或曲线长度-基本积分:- ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1),其中n≠-1- ∫e^x dx = e^x- ∫1/x dx = ln,x- ∫sinx dx = -cosx- ∫cosx dx = sinx- ∫sec^2x dx = tanx线性代数公式:1.向量与矩阵运算:-向量加法和乘法:- 向量加法:(a1, a2, ..., an) + (b1, b2, ..., bn) = (a1+b1, a2+b2, ..., an+bn)- 向量乘法:k(a1, a2, ..., an) = (ka1, ka2, ..., kan),其中k为实数-矩阵乘法:-矩阵乘法:(m×n矩阵)×(n×p矩阵)=(m×p矩阵)-矩阵转置:矩阵的行列互换-矩阵的逆:设A为n阶矩阵,如果存在一个n阶矩阵B,使得AB=BA=I,称B为A的逆矩阵,记作A^-12.行列式:- 行列式的定义:设A=(aij)为n阶方阵,行列式记作det(A),定义为det(A) = ,A,= Σ(±a1jC1j),其中C1j为aij的代数余子式。
高等数学所有公式大全
高等数学所有公式大全高等数学是一门涉及到多个概念和公式的学科,其中包括微积分、线性代数、概率论等的知识。
下面将介绍一些高等数学中常见的公式。
微积分部分:1. 泰勒展开式:f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... +f^n(a)(x-a)^n/n! + R_n(x),其中 f'(a) 表示函数 f(x) 在点 a 处的导数,f''(a) 表示函数 f(x) 在点 a 处的二阶导数,f^n(a) 表示函数 f(x) 在点 a 处的 n 阶导数。
2. 拉格朗日中值定理:如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续,在开区间 (a, b) 上可导,则存在一点 c ∈ (a, b),使得 f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)。
3. 法拉第定律:对于闭曲线 C 上的可微函数 f(x, y),有∮C f(x, y)ds = 0,其中 ds 表示 C 上的长度元素。
4. 一元函数积分学基本公式:- 定积分的线性性质:∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx +∫[a, b] g(x)dx。
- 定积分的加减法则:∫[a, b] f(x)dx - ∫[a, c] f(x)dx = ∫[c, b]f(x)dx。
- 定积分的换元法则:∫[a, b] f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a), g(b)]f(u)du。
- 分部积分法:∫[a, b] u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_[a, b] - ∫[a, b]u'(x)v(x)dx。
线性代数部分:1. 向量的线性变换:对于一个 n 维向量 V 和一个实数 a,线性变换 T(aV) = aT(V)。
2. 矩阵乘法:对于一个 m×n 的矩阵 A 和一个 n×p 的矩阵 B,它们之间的乘积为一个 m×p 的矩阵 C,其中C(i,j) = ∑[k=1->n] A(i,k)B(k,j)。
(完整版)高等数学公式汇总(大全)
高等数学公式汇总(大全)一 导数公式:二 基本积分表:三 三角函数的有理式积分:222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , 四 一些初等函数:ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ五 两个重要极限:六 三角函数公式: ·诱导公式:·和差角公式: ·和差化积公式:2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式:·半角公式:ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理:R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理:C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质:arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ七 高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式:)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑八 中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理。
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高等数学公式汇总第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式:sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±和差角公式:sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式: 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式:2222222222sin 22sin cos cos22cos 112sin cos sin2tan tan 21tan cot1cot 22cot 2221221sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式:22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-==++===-半角公式:::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==+==±-+===+-双曲正弦;反双曲正弦双曲余弦;反双曲余弦双曲正切;反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+,222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限➢常用极限:1,lim 0n n q q →∞<=;1,1n a >=;1n =➢ ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则➢ 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+ ➢:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续:定义:000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分1、 基本导数公式:00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数:()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)![ln()](1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x -----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式:()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分:0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续;⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理:柯西中值定理:当时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
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高等数学公式汇总(大全)一 导数公式:二 基本积分表:三 三角函数的有理式积分:222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ四 一些初等函数: 五 两个重要极限:六 三角函数公式: ·诱导公式:·和差角公式: ·和差化积公式:2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式:·半角公式:ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理:R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理:C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质:arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ七 高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式:)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ八 中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理。
时,柯西中值定理就是当柯西中值定理:拉格朗日中值定理:x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F )()()()()()())(()()(ξξξ九 曲率:.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆:半径为直线:点的曲率:弧长。
:化量;点,切线斜率的倾角变点到从平均曲率:其中弧微分公式:ααααα十 定积分的近似计算:αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==⎰⎰⎰----+++++++++-≈++++-≈+++-≈ban n n ban n ba n y y y y y y y y nab x f y y y y n a b x f y y y nab x f )](4)(2)[(3)(])(21[)()()(1312420110110ΛΛΛΛ抛物线法:梯形法:矩形法:十一 定积分应用相关公式:⎰⎰--==⋅=⋅=bab a dt t f a b dxx f a b y k rmm k F Ap F sF W )(1)(1,2221均方根:函数的平均值:为引力系数引力:水压力:功:十二 空间解析几何和向量代数:。
代表平行六面体的体积为锐角时,向量的混合积:例:线速度:两向量之间的夹角:是一个数量轴的夹角。
是向量在轴上的投影:点的距离:空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==(马鞍面)双叶双曲面:单叶双曲面:、双曲面:同号)(、抛物面:、椭球面:二次曲面:参数方程:其中空间直线的方程:面的距离:平面外任意一点到该平、截距世方程:、一般方程:,其中、点法式:平面的方程:113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y mtx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d czb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A ϖϖ十三 多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=, , 隐函数+, , 隐函数隐函数的求导公式: 时,,当 :多元复合函数的求导法全微分的近似计算: 全微分:0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组:十四 微分法在几何上的应用:),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程::、过此点的切平面方程、过此点的法向量:,则:上一点曲面则切向量若空间曲线方程为:处的法平面方程:在点处的切线方程:在点空间曲线ϖϖωψϕωψϕωψϕ十五 方向导数与梯度:上的投影。