复变函数论文

复、实变函数的比较与应用
作者：阮玲花
学号：201310401205
专业：数学与应用数学
复、实变函数的比较与应用
姓名：阮玲花班级：数学132 学号：201310401205数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。

复变函数论着重讨论解析函数，而解析函数的实部与虚部是相互联系的,这与实函数有根本的区别。

有关实函数的一些概念，很多都是可以推广到复变函数上。

例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。

在中学我们主要了解学习了实变函数，与大学期间我们又更加深入的学习研究了实变函数，与此同时，也开始复变函数的学习。

由此我们看到了：“数的扩展：正数→负数→实数→”,在实数范围内：当方程判别式小于0时，没有实根。

→扩大数域，引进复数，这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉，它们有很深的联系，然而事实上，他们有很大的不同，有很大的区别。

下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。

（一）实变函数
实变函数论即讨论以实数为变量的函数,然而实变与常微分方程等不同,简单地说就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。

由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积，所以原有的积分范围太窄了，进而便产生了Lebesgue创立新积分的原始思路。

Lebesgue积分：
（二）复变函数
复变函数是数学分析的继续，复变函数的定义：若在复数平面上存在一个点集E，对于E的每一点z，按照一定规律，有一个或多个复数值W与之相对应，则称W为z的函数，记作)(z
W=，z∈E邻域：以复数
f
z为圆心，以任意小
正实数ε为半径做一个圆，则圆内所有点的集合称为
z的邻域。

把复变函数的
(z
f=u(x,y)+iv(x,y)，所以，复变函数f的实部和虚部分别记作u(x,y)和v(x,y)，)
)
(z
可以归结为一对二元实变函数。

（三）实变函数及与复变函数比较
1．自变量的不同
以实数作为自变量的函数就做实变函数；即实数→实变量→实变函数。

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数；即复数→复变量→复变函数。

2.实变函数与复变函数的联系区别
因为z=x+yi,所以复变函数y=)(z
W=
f
f的实部与虚部都是x,y的函数，即)(z =u(x,y)+iv(x,y),由此可以看成：一个复变函数是两个实变函数的有序组合。

这样，实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植到复变函数中。

然而同时，由于复
变函数的虚部，实变函数的许多定义、公式，定理也不再是用于复变函数。

对于复变函数与实变函数，我们分别学习了两者的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用。

然而同时，由于复变函数的虚部，所要求的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用的定义也不尽相同。

3．复变函数与实变函数关于导数概念的叙述是相似的，即都是由函数值的差与自变量的差之商的极限来定义导数，它们的联系也是密切的，区别则是整个取值的差异。

复变函数在复数域中取值，实变函数在实数域内取值，但两种微分的几何意义是相同的。

对于微分的性质，实变函数与复变函数有以下三大点的不同。

（1）微分中值定理
微分中值定理是微分学的重要内容，表现形式一般为柯西中值定理，罗尔中值定理及拉格朗日中值定理，微分中值定理在复数域中是不成立的。

我们以罗尔定理来举例证明。

罗尔定理：若函数()f x 满足：①在闭区间[],a b 上连续；②在开区间(),a b 内可导，且()()f a f b =；则必存在ξ(),a b ∈，使得()0f ξ'=。

证明：取()iz f z e =，()f z 在整个复平面上解析，且()()02f f π=，但()iz f z ie '=，
无论z 取什么值都不会为零，也就是说罗尔定理的结论对函数()iz
f z e =不成立。

故微分中值定理不能直接推广到复变函数中来。

（2）解析函数零点的孤立性
在《复变函数论》中，区域D 内点可微的复变解析函数的零点总是孤立的。

而实变函数体现出的性质则截然相反。

例1：如在|a z -|<R 内的解析函数)(z f 不恒为零，a 为其零点，则必有a 的一个邻域，使得)(z f 在其中无异于a 的零点（不恒为零的解析函数零点必孤立）。

证明：设a 为)(z f 的m 级零点，则)(z f =(a z -)m ϕ(z) . 其中ϕ(z)在|a z -|<R 内解析，且ϕ（a ）≠0. 从而ϕ(z)在点a 连续 . 于是存在邻域|a z -|<r<R 使得ϕ(z)在其中恒不为零. 故)(z f 在其中无异于a 的零点.
例2：一个实函数的零点不一定是孤立的。

如函数()f x ，当x ≠0时()f x =x 2sin
x
1，当x=0时()f x =0. 证明：由题意得，函数()f x 在x=0处可微，且以x=0为零点，此外x=πn 1也是它的零点，并以0为聚点。

（3）解析函数的无穷可微性在复变函数中，若)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在区域D 内具有各阶导数，并且它们也在区域D 内解析。

复变函数的这一性质称为解析函数的无穷可微性。

但在实变函数中，区间上的可微函数，是不一定具有二阶导数的，更谈不上具有高阶导数，这样的例子是很多的。

例：由高阶导数的柯西积分公式可得
设函数)(z f 在闭区域D 上解析（D 为单连通区域或多连通区域），则)(z f 在D 内的任意阶导数存在，且 )(n f (0z )=i n π2!
dz z z z f c
n ⎰+-10)()( (n=1,2,...).
其中C 为D 的边界，取正向：D z ∈0.
但实变函数中，任意()f x =b ax +不具有二阶导数。

4.复变函数积分性质与实变函数积分性质的区别
⑴复变函数积分的定义类似数学分析里积分的方法，采取的是分割、近似替代、求和、取极限等步骤来建立的，但形式像一元积分，而实质像曲线积分，也就是复变函数的积分在本质上与实变函数中第一类曲线积分相似。

⑵复变函数积分的牛顿—莱布尼兹公式与实一元函数的牛顿—莱布尼兹公式在形式和结果上几乎是完全一致，但实变函数积分对函数的要求比复变函数积分对函数的要求要低得多。

用牛顿—莱布尼兹公式计算复变函数积分，首先要解决的是，积分上下限的两点是否可以包含在一个单连通域内，且被积函数)(z f 是否在该单连通域内解析。

⑶复变函数与实变函数积分最大的不同之处是复变函数积分主要研究简单闭曲线上的积分)(z f dz ，方法不同于高等数学中的方法，但思想有相同之处。

复合闭路定理或留数定理，表达了边界与内部的联系，在高等数学中的牛顿－莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式同样表达了边界与内部的联系。

（四）复变函数微积分理论在实际中的应用
复变函数论的方法在力学、物理学、以及工程技术中都有应用，就是把流体力学、弹性力学、电磁学、热学、电工以及通讯中的一些问题转化为复变函数中的一些问题，用解析函数来解决。

而计算一些实积分可以采用留数定理。

①利用复变函数的微分性质研究平面向量场的相关问题可以统一研究静电场的里函数和势函数，讨论电力线和等势线的分布，描绘出静电场的图像。

②复变函数积分的相关理论在流体力学中的应用
③留数的相关理论在积分计算中应用也较为广泛，在其它科学领域用处颇多，只因我等还未学到留数的相关
总结：
实变函数与复变函数在一定程度上的相通性便于对二者的理解与运用。

不过复变函数毕竟延伸到了虚数的领域，要求就较严格了一些。

在学习这方面的知识时，要注意对比，将两者融会贯通，这对学好复变函数与实变函数很有帮助。