河南省新乡市高三第一次模拟考试(理科数学)【含解析】
2019届河南新乡市高三上学期第一次调研数学(理)试卷【含答案及解析】
2019届河南新乡市高三上学期第一次调研数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，则（）A． B．C．___________________________________ D．2. 已知复数，则的虚部为（）A． B．C．______________________________________ D．3. 统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在克内的频率为（）A．0.001 B．0.1C．0.2______________________________________ D．0.34. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（）A． B．_____________________________________ C．_____________________________________ D．5. 函数的零点必落在区间（）A． B．C． D．6. 已知各项均不为0的等差数列满足，数列为等比数列，且，则（）A．25 B．16C．8 D．47. 已知变量满足，则的取值范围是（）A． B．C． D．8. 执行下面的程序框图，则输出结果（）A． B．C．_____________________________________ D．9. 已知函数的部分图象如图所示，则把函数的图像向左平移后得到的函数图象的解析式是（）A．______________B．___________C．___________D．10. 已知函数，若，则实数的取值范围是（）A． B．C．______________________________ D．11. 已知双曲线，过双曲线的右焦点，且倾斜角为的直线与双曲线交地两点，是坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A． B．___________________________________ C．____________________________ D．12. 已知数列满足，则所有可能的值构成的集合为（）A． B．___________________________________C．______________________________ D．二、填空题13. 已知向量，若间的夹角为，则____________．14. 经过抛物线的焦点和顶点且与准线相切的圆的半径为___________．15. 已知一个圆锥内接于球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为___________ ．16. 由1，2，3三个数字组成的五位数中，相邻的数字不相同的五位数共有_________个．三、解答题17. 在中，角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积的最大值．18. 如图①所示，四边形为等腰梯形，，且于点为的中点．将沿着折起至的位置，得到如图②所示的四棱锥 .（1）求证：平面；（2）若平面平面，求二面角的余弦值．19. 甲、乙两位数学老师组队参加某电视台闯关节目，共3关，甲作为嘉宾参与答题，若甲回答错误，乙作为亲友团在整个通关过程中至多只能为甲提供一次帮助机会，若乙回答正确，则甲继续闯关，若某一关通不过，则收获前面所有累积奖金．约定每关通过得到奖金2000元，设甲每关通过的概率为，乙每关通过的概率为，且各关是否通过及甲、乙回答正确与否均相互独立．（1）求甲、乙获得2000元奖金的概率；（2）设表示甲、乙两人获得的奖金数，求随机变量的分布列和数学期望．20. 设为坐标原点，已知椭圆的离心率为，抛物线的准线方程为．（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，若在以为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围．21. 已知函数．（1）求函数的极值；（2）设，比较与1的大小关系，并说明理由．22. 选修4-1：几何证明选讲如图，已知四边形是圆的内接四边形，是圆上的动点，与交于，圆的切线与线段的延长线交于．（1）证明：是的平分线；（2）若过圆心，，求的长．23. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的参数方程为，（为参数），曲线的普通方程为，点的极坐标为．（1）求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；（2）若将直线向右平移2个单位得到直线，设与相交于两点，求的面积．24. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（ 2 ）若实数，且的最小值为，求的最小值，并指出此时的值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
河南省新乡市2021届高三第一次模拟考试——数学(理)
新乡市2021届高三第一次模拟考试数 学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．复数()()13z i i ＝＋－，则｜z ｜＝A ．4B ．22C ．3D ．23 2．已知集合A ＝{a ，a 2－2，0}，B ＝{2a ，a ＋b}，若A ∩B ＝{－1}，则b ＝ A ．－1 B ．－2 C ．0 D ．13．椭圆C ：22213x y a ＋＝（a ＞0）的焦点在x 轴上，其离心率为12，则A ．椭圆C 的短轴长为3B ．椭圆C 的长轴长为4C ．椭圆C 的焦距为4D ．a ＝44．下方程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6，9，0，则输出a 和i 的值分别为A ．0，3B ．3，3C ．0，4D ．3，45．已知a ，b 是两条不重合的直线，β是一个平面，b ⊂β，则“a ⊥β”是“a ⊥b ”的C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知n S 为等差数列{n a }的前n 项和，3a ＋5S ＝－18，6a ＝－3a ，则下列数值中最大的是 A ．416S B ．525S C ．636SD ．749S7．已知函数f （x ）＝2x 2－lnx ，若f （x ）在区间（2m ，m ＋1）上单调递增，则m 的取值范围是A ．[14，1） B ．[14，＋∞） C ．[12，1） D ．[0，1）8．已知单位圆上第一象限内的一点P 沿圆周逆时针旋转4π到点Q ，若点Q 的横坐标为－35，则点P 的横坐标为 ABCD9．已知各项均为正数且单调递减的等比数列{n a }满足3a ，432a ，52a 成等差数列，其前n 项和为n S ，且5S ＝31，则A ．412n n a ⎛⎫⎪⎝⎭－＝ B ．32n n a ＋＝C ．51322n n S －＝－D ．4216n n S ＋＝－10．已知函数f （x ）＝sinx ，函数g （x ）的图象可以由函数f （x ）的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω（ω＞0）得到．若函数g （x ）在（0，π）上恰有5个零点，则ω的取值范围是 A ．[316，376） B ．（316，376] C ．[256，316） D ．（256，316]11．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点H 在棱AA 1上，且HA 1＝1，P 是侧面BCC 1B 1内一动点，HPCP 的最小值为A ．132－B ．133－C ．152－D ．153－12．已知F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为A ．若｜F 1A ｜＝5b ，则该双曲线离心率的取值范围为 A ．（1，2） B ．（2，32） C ．（2，3） D ．（32，3）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．已知函数f （x ）是定义域在R 上的奇函数，当x ∈（－∞，0]时，f （x ）＝x －2x ＋m ，则f （1）＝__________．14．已知实数x ，y 满足条件20220230x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－≥，－－≤，＋－≤，则z ＝2x ＋2y 的最大值为__________．15．一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点P （2，6）的跳法共有__________种． 16．伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此，挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，AB ＝30 m ，BC ＝402m ，CD ＝50 m ，∠ABC ＝∠BCD ＝45°，要建设一条点A 到点D 的空中长廊，则AD ＝__________m ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，bsinA ＝3sinB ，b 2＋c 2－a 2＝bc ．（1）求△ABC 外接圆的面积；（2）若BC边上的中线长为332，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且AB＝2AD＝4，∠DAB＝60°，AD⊥D1D．（1）证明：AD⊥BD1．（2）若D1D＝D1B＝2，求二面角A—BC—B1的正弦值．19．（12分）已知曲线C上每一点到直线l：x＝－32的距离比它到点F（12，0）的距离大1．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C上存在不同的两点P和Q关于直线l：x－y－2＝0对称，求线段PQ中点的坐标．20．（12分）甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试，分别获得甲、乙测试成绩的频率分布直方图．已知甲测试成绩的中位数为75．（1）求x，y的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）．（2）某学校参加该项竞赛仅有一个名额，结合平时的训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：答题过程中，若答对则继续答题，若答错则换对方答题．例如，若甲首先答题，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙开始答题，……，直到乙答错再换成甲答题，依次类推两人共计答完21道题时答题结束，答对题目数量多者胜出．已知甲、乙两人答对其中每道题的概率都是35，假设由以往20次的测试成绩平均分高的同学在选拔比赛中最先开始作答，且记第n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为P n （1≤n ≤21），其中P 1＝1． ①求P 2，P 3；②求证{12n P －}为等比数列，并求n P （1≤n ≤21）的表达式．21．（12分）已知函数f （x ）＝xln （ax ）－e －a （a ∈R ，且a ≠0，e 为自然对数的底）． （1）求函数f （x ）的单调区间． （2）若函数()()ln ag x f x e＝＋在（0，＋∞）有零点，证明：121a ea ＋＋＞1e ．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线C ：sin3ρθ＝（ρ∈R ，θ∈[0，2π）），被称为“三叶玫瑰线” （如图所示）．（1）求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标； （2）射线l 1，l 2的极坐标方程分别为0θθ＝，02πθθ＝＋（0θ∈[0，2π），ρ＞0），l 1，l 2分别交曲线C 于点M ，N 两点，求2211OMON＋的最小值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）＝｜x ＋a ｜－5． （1）证明f （x ）≤｜x ＋a －5｜；（2）已知a ＞0，若不等式f （x ）＋2｜x －1｜＜0的解集为（m ，n ），且n －m ＝43，求a 的值．。
2019届河南省新乡市高三第一次模拟考试理科数学试题(word版)
新乡市2019届高三第一次模拟测试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C2.若复数满足，则的实部为（）A. -5B. 5C. -8D. 8【答案】B3.为了参加冬季运动会的5000长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000，以后每天比前1天多跑200，则这个同学7天一共将跑（）A. 39200B. 39300C. 39400D. 39500【答案】A4.若二项式的展开式存在常数项，则正整数的最小值为（）A. 7B. 8C. 14D. 16【答案】B5.设函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 28B. 30C. 36D. 42【答案】D7.设不等式组，表示的可行域与区域关于轴对称，若点，则的最小值为（）A. -9B. 9C. -7D. 7【答案】C8.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（）A. B. C. D.【答案】C9.已知点是抛物线上的动点，则的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A10.将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，则（）A. B. C. D.【答案】A11.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B12.已知函数，若函数恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量满足，且，则__________．【答案】14.设为曲线上一点，，，若，则__________．【答案】415.设是数列的前项和，且，，则__________．【答案】16.已知两点都在以为直径的球的表面上，，，，若球的体积为，则异面直线与所成角的正切值为__________．【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.的内角的对边分别为，已知.（1）试问：是否可能依次成等差数列？为什么？（2）若，且的周长为，求的面积.【答案】（1）不可能依次成等差数列；（2）.【解析】【分析】（1）由条件结合正弦定理可得，利用反证法即可得到不可能依次成等差数列；（2）由，可得，利用余弦定理可得，进而得到的面积.【详解】解：（1）∵，∴，∴.假设依次成等差数列，则，则，即，又，∴，从而假设不成立，故不可能依次成等差数列.（2）∵，，∴，则，则，即.从而，则.故的面积.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住，，等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18.如图，在三棱锥中，底面，，，.（1）证明：平面平面；（2）若三棱锥的体积为，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由，得到平面，从而得证；（2）因为，所以. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到锐二面角的余弦值.又平面，则，因为，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）因为，所以.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，则，.设平面的法向量为，则，即，令，得，平面的一个法向量为，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19.某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：（1）根据表中数据可知，频数与日需求量（单位：个）线性相关，求关于的线性回归方程；（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为（单位：元）.（ⅰ）若日需求量为15个，求；（ⅱ）求的分布列及其数学期望.相关公式：，【答案】（1）；（2）（ⅰ）元；（ⅱ）详见解析.【解析】【分析】（1）求出，及，利用回归直线经过样本中心点得到，即可得到结果；（2）（ⅰ）日需求量为15个，则元；（ⅱ）X可取72,96,120,144，计算相应的概率值，即可得到分布列及期望.【详解】（1），，，，故关于的线性回归方程为.（2）（ⅰ）若日需求量为15个，则元（ⅱ）若日需求量为18个，则元若日需求量为21个，则元若日需求量为24个或27个，则元故分布列为.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.（1）求的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.【答案】（1）,；（2）存在点，且.【解析】【分析】（1）由已知条件得，，即可计算出离心率和椭圆方程（2）假设存在点，分别求出直线的斜率不存在、直线的斜率存在的表达式，令其相等，求出结果又的周长为8，所以，即，则，.故的方程为.（2）假设存在点，使得为定值.若直线的斜率不存在，直线的方程为，，，则.若直线的斜率存在，设的方程为，设点，，联立，得，根据韦达定理可得：，，由于，，则因为为定值，所以，解得，故存在点，且.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）对时，对任意，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】性；（2）因为，所以，由（1）可得的最值，进而得到的取值范围.【详解】解：（1）函数的定义域为，，当时，，，所以在上单调递减；，，所以在上单调递增.当时，，，所以在上单调递减；，，所以在上单调递增.（2）因为，所以，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以.因为与，所以.设，则，所以在上单调递增，故，所以，从而，所以，即.设，则，当时，，所以在上单调递增，又，所以等价于，则.因为，所以的取值范围为.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，，求.【答案】（1）x+y-1=0, ；（2）.【解析】【分析】(1)运用消参方法求出直线的普通方程，结合公式代入求出曲线的直角坐标方程(2)运用参量代入计算，求出的结果【详解】（1）直线的普通方程为：.由，得，则，故曲线的直角坐标方程为.（2）将代入，得，则，故.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程之间的转化，较为简单，在计算长度的时候将参量代入进行求解会减小计算量，方便计算23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，且，证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】(1)分类讨论三种情况下的解集(2)先求出的最小值为，代入后运用基本不等式证明不等式成立【详解】（1）由，得，则或或，解得：，故不等式的解集为.（2）证明：因为，所以，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故.【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法，需要对其分类讨论，然后再求解，在证明不等式时运用了基本不等式的用法，需要掌握此类题目的解法。
【全国市级联考】河南省新乡市2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题
新乡市2020届高三第一次模拟测试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24}xA x =>，{|015}B x x =<-≤，则()=RC A B I （ ） A ．{|25}x x <≤ B ．{|5}x x ≤ C ．{|12}x x <≤D ．{|1}x x > 2.若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则z 的实部为（ ） A ．-5 B ． 5 C ．-8 D ．83.为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m ，以后每天比前1天多跑200m ，则这个同学7天一共将跑（ ）A ．39200mB ．39300mC ．39400mD ． 39500m 4.若二项式71()nx x -的展开式存在常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ． 7 B ．8 C. 14 D ．16 5.设函数()5xx f x ee x -=--，则不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为（ ）A ．(3,2)-B ．(,3)(2,)-∞-+∞U C. (2,3)- D ．(,2)(3,)-∞-+∞U6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ． 28B ．30 C. 36 D ．427.设不等式组40310x x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的可行域M 与区域N 关于y 轴对称，若点(,)P x y N ∈，则2z x y =+的最小值为（ ）A ． -9B ．9 C. -7 D ．78.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．1191077 B ．160359 C. 9581077 D ．2893599.已知点(,)M x y 是抛物线24y x =（ ）A ．3B ． 4 C. 5 D ．6 10.将函数44()sin cos f x x x =+的图像向左平移8π个单位长度后，得到()g x 的图像，则()g x =（ ）A ．31sin 444x - B ．13sin 444x - C. 31cos 444x - D ．13cos 244x - 11.设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >> C. c a b >> D ．c b a >>12.已知函数1,0()3,0x e x f x x ax x -⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若函数()(())2g x f f x =-恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(0,)+∞ C. (0,1) D ．(1,)+∞第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量,a b r r 满足||3a =r ，且()()4a b a b +-=r r r r g，则||b =r．14.设P 为曲线224x y =+上一点，(5,0)A -，(5,0)B ，若||2PB =，则||PA = ． 15.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(1)(1)n n n a n S ++=-，则n S = ．16.已知,A B 两点都在以PC 为直径的球O 的表面上，AB BC ⊥，2AB =，4BC =，若球O 的体积为86π，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-.（1）试问：,,a b c 是否可能依次成等差数列？为什么？（2）若3b c =，且ABC ∆的周长为45+，求ABC ∆的面积.18. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，3AB AC ==，2CE EA =u u u r u u u r ，BD DC =u u u r u u u r.（1）证明：平面PBC ⊥平面PAD ； （2）若三棱锥P ABD -的体积为94，且AB AC ⊥，求平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值.19. 某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：（1）根据表中数据可知，频数y 与日需求量x （单位：个）线性相关，求y 关于x 的线性回归方程；（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为X （单位：元）.（ⅰ）若日需求量为15个，求X ；（ⅱ）求X 的分布列及其数学期望.相关公式：∑∑==---=n ii ni iix x y yx x b 121^)())((∑∑==--=n i i ni ii xn x yx n yx 1221 ， x by a ^^-= 20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得PM PB u u u u r u u u rg 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()ln (0)af x x a x a a =--≠. （1）讨论()f x 的单调性；（2）对0a >时，对任意121,[,]x x e e∈，12|()()|2f x f x e -≤-恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，(1,2)P -，求||||PA PB g . 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||2|f x x x =-++.（1）求不等式()13f x <的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且211(0)k mn m n+=>，证明：16m n +≥. 试卷答案一、选择题1-5: CBABD 6-10: DCCAA 11、12：BC1.C ∵{|2}A x x =>，∴{|2}R C A x x =≤，又{|16}B x x =<≤，∴(){|12}R C A B x x =<≤I .2.B 因为1811582iz i i+==+-，所以z 的实部为5. 3.A 依题意可知，这个同学第1天，第2天，…，跑的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑7650007200392002m ⨯⨯+⨯=. 4.B 71()n x x -的展开式的通项为8171()(1)r n r r r r n rr n n T C x C x x--+=-=-(0,1,,)r n =L ，令80n r -=，得8n r =，则整正数n 的最小值为8.5.D ∵()f x 是奇函数，∴2()(6)0f x f x +--<2()(6)(6)f x f x f x ⇔<---=+.又()f x 是减函数，∴22()(6)6f x f x x x <+⇔>+，故不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为(,2)(3,)-∞-+∞U .6.D 该几何体是由12个棱长为1的正方体组合而成的，所以121224S =+=前后，336S =+=左右，6612S =+=上下，从而2461242S =++=表面.7.C 作出区域N （阴影部分），由图可知，当直线2z x y =+经过点(4,1)-时，z 取得最小值-7.8.C 设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095811077C C -=.9.A 22(1)x y -+(,)M x y 到点(1,0)F 的距离，即点(,)M x y 到抛物线24y x =的准线1x =-22(2)(1)x y -+-(,)M x y 到点(2,1)A 的距离，所以2222(2)(1)(1)x y x y -+--+(2,1)A 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离3，即2222min ((2)(1)(1)3x y x y -+--+=.10.A ∵22222()(sin cos )2sin cos f x x x x x =+-1cos 21cos 21222x x -+=-⨯⨯31cos 444x =+， ∴3131()()cos(4)sin 4844244g x f x x x ππ=+=++=-.11.B ∵327lg 64log 4log 64lg 27==，525lg 64log 8log 64lg 25==，∴35log 4log 8<， ∵2385<，∴3285<，∴32553log 8log 52<=. 又2443log 3log 9log 82=>=，∴253log 3log 8log 4>>，即a c b >>. 12.C 当0x >时，1()x e f x x -=，12(1)'()x e x f x x--=， 当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，故min ()(1)1f x f ==.当0x ≤时，()3f x ax =+的图像恒过点(0,3)，当0,0a x ≤≤时，()(0)3f x f ≥=；当0,0a x >≤时，()(0)3f x f ≤=.()(())2g x f f x =-有5个零点，即方程(())2f f x =有5个解，设()t f x =，则()2f t =. 结合图像可知，当0a >时，方程()2f t =有三个根1(,0)t ∈-∞，2(0,1)t ∈，3(1,3)t ∈（∵2(3)23e f =>，∴313t <<），于是1()f x t =有1个解，2()f x t =有1个解，3()f x t =有3个解，共有5个解.由32ax +=，得1x a =-，再由13ax a +=-，得2314x a a =--<-，∵0a >，∴01a <<.而当0a ≤时，结合图像可知，方程(())2f f x =不可能有5个解.二、填空题 13.5∵ 222()()9||4a b a b a b b +-=-=-=r r r r r r r g ，∴||5b =r14. 4由224x y =+得2244(0)x y x =+>，即221(0)4y x x -=>，故P 为双曲线221(0)4y x x -=>右 支上一点，且,A B 分别为该双曲线的左、右焦点，则||||22PA PB a -==，||224PA =+=.15. 12n n-∵1(1)(1)n n n a n S ++=-，∴11n n n na S nS +++=，∴11()n n n n n S S S nS ++-+=，∴1(1)2n nn S nS ++=，∴{}n nS 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n nS -=，∴12n n S n-=.16.3∵AB BC ⊥，∴ABC ∆的外心'O 为AC 的中点，∴'OO ⊥平面ABC ，易证//'PA OO ，∴PA ⊥平面ABC ，从而球O 的半径R OA =，又34863R ππ=，∴6R =，∵222425AC =+=，∴'5AO =，'1OO =，∴2PA AB ==.设PB 与AC 所成角为θ，则10cos cos cos 10225PBA BAC θ=∠∠=⨯=g . 故tan 3θ=.三、解答题17.解：（1）∵4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-， ∴2224sin sin sin C B A =-， ∴2224c b a =-.假设,,a b c 依次成等差数列，则2a cb +=， 则2224()2a c c a ++=，即221532c a ac +=， 又22153652c a ac ac +≥>， ∴221532c a ac +≠，从而假设不成立，故,,a b c 不可能依次成等差数列. （2）∵2224c b a =-，3b c =，∴225a c =，则5a c =， 则(45)45a b c c ++=+=+，即1c =.从而223155 cos2136 A+-==⨯⨯，则11sin6A=.故ABC∆的面积111sin24S bc A==.18.（1）证明：因为AB AC=，BD DC=u u u r u u u r，所以AD BC⊥，又PA⊥平面ABC，则PA BC⊥，因为AD PA A=I，所以BC⊥平面PAD.又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAD.（2）因为1119333224P ABDV PA-=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以3PA=.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，则(0,0,0)A，(3,0,0)B，(0,3,0)C，(0,1,0)E，33(,,0)22D，(0,0,3)P，L 则31(,,0)22ED=u u u r，(0,1,3)PE=-u u u r.设平面PDE的法向量为(,,)n x y z=r，则n EDn PE⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u rgr u u u rg，即312230x yy z⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，令1z=，得(1,3,1)n=-r，平面PAB的一个法向量为(0,1,0)m=u r，则311cos ,1111m n <>==u r r ， 故平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值为31111. 19.（1）21x =，6y =，^2222(1521)(106)(1821)(86)(2421)(36)(2721)(26)630.7(1521)(1821)(2421)(2721)90b --+--+--+--==-=--+-+-+-， ^^6210.720.7a y b x =-=+⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为^0.720.7y x =-+.（2）（ⅰ）若日需求量为15个，则15(104)(2415)(24)72X =⨯-+-⨯-=元 （ⅱ）若日需求量为18个，则18(104)(2418)(24)96X =⨯-+-⨯-=元 若日需求量为21个，则21(104)(2421)(24)120X =⨯-+-⨯-=元 若日需求量为24个或27个，则24(104)144X =⨯-=元 故分布列为1087530487296120144101.63030303030EX =⨯+⨯+⨯+⨯== 20.（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==， 2223b a c =-=.故C 的方程为22143x y +=. （2）假设存在点P ，使得PM PB u u u u r u u u rg 为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，3(1,)2B ，3(1,)2M -，则209(1)4PM PB x =--u u u u r u u u r g .若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为(1)y k x =-，设点11(,)B x y ，22(,)M x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，由于202(,)PM x x y =-u u u u r ，101(,)PB x x y =-u u u r，则212120012()PM PB x x x x x x y y •=-+++u u u u r u u u r 2222120120(1)()()k x x x k x x k x =+-++++2220002(485)31243x x k x k --+-=+因为PM PB u u u u r u u u r g 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =.21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1(1)()a a a a x f x ax x x --=-=，当0a <时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减； (1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增. 当0a >时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减； (1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.（2）因为12max min |()()|()()f x f x f x f x -≤-，所以max min ()()2f x f x e -≤-， 由（1）知，()f x 在1[,1)e 上单调递减，在(1,]e 上单调递增，所以min ()(1)1f x f a ==-. 因为1()a f e e -=与()2a f e e a =-，所以max 1()max{(),()}f x f f e e =. 设1()()()2(0)a a g a f e f e e a a e -=-=-->，则'()220a a g a e e -=-->=，所以()g a 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g a g >=，所以1()()f e f e >，从而max ()()2a f x f e e a ==-，所以2(1)2a e a a e ---≤-，即10a e a e --+≤. 设()1(0)a a e a e a ϕ=--+>，则'()1a a e ϕ=-， 当0a >时，'()0a ϕ>，所以()a ϕ在(0,)+∞上单调递增， 又(1)0ϕ=，所以10a e a e --+≤等价于()(1)a ϕϕ≤，则1a ≤. 因为0a >，所以a 的取值范围为(0,1].22.解：（1）直线l 的普通方程为：10x y +-=. 由2cos sin ρθθ=，得22cos sin ρθρθ=， 则2y x =，故曲线C 的直角坐标方程为2y x =.（2）将1222x ty t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2y x =，得220t -=，则122t t =-，故12||||||2PA PB t t ==g .23.（1）由()13f x <，得|1||2|13x x -++<， 则12113x x >⎧⎨+<⎩或21313x-≤≤⎧⎨<⎩或22113x x <-⎧⎨--<⎩，解得：76x -<<，故不等式()13f x <的解集为(7,6)-.（2）证明：因为()|1||2|f x x x =-++|1(2)|3x x ≥--+=， 所以3k =， 因为21191(0)k mn m n m n +=+=>，所以0,0m n >>，199()()(10)1016nmm n m n m n m n +=++=++≥+= 当且仅当9nmm n =，即4,12m n ==时取等号，故16m n +≥.。
2020届河南省新乡市高三上学期第一次模拟数学(理)试题(解析版)
2020届河南省新乡市高三上学期第一次模拟数学（理）试题一、单选题 1．若1312i i -+与1()2i a ai -的虚部互为相反数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．2C ．1-D ．1【答案】D【解析】分别对两个复数进行四则运算化成复数的标准形式，分别得到得复数的虚部，再相加等于0，从而求得a 的值. 【详解】 因为13(13)(12)5511255i i i ii i -----===--+，所以虚部为1-， 因为1122i a ai a ai ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以虚部为a ， 所以10a -=，即1a =. 故答案为：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，考查对复数概念的理解，考查基本运算求解能力.2．设集合{}(2)0A x =<，{}12B x x =-<<，则（ ） A ．{}12A B x x ⋂=-<< B ．{}04A B x x ⋃=≤< C ．{}02A B x x ⋂=≤< D ．{}12A B x x ⋃=-<<【答案】C【解析】对集合A ，利用一元二次不等式的解法求得不等式的解集，从而化简集合A ，再与B 进行交、并运算，从而得到答案. 【详解】因为{|04}A x x =≤<，{|12}B x x =-<<， 所以{|02}AB x x =≤<，{|14}A B x x ⋃=-<<.故选：C. 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、集合的交、并运算，考查基本运算求解能力. 3．某地有两个国家AAAA 级景区—甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的客流量，下列结论正确的是（ ）A ．甲景区客流量的中位数为13000B ．乙景区客流量的中位数为13000C ．甲景区客流量的平均值比乙景区客流量的平均值小D ．甲景区客流量的极差比乙景区客流量的极差大 【答案】D【解析】对A ，中位数为12950；对B ，中位数为12450；对C ，通过茎叶图直观感知甲数据的平均数大；对D ，分别计算极差进行比较. 【详解】对A ，甲景区客流量的中位数为12950，故A 错误； 对B ，乙景区客流量的中位数为12450，故B 错误；对C ，根据茎叶图的数据，可知甲景区客流量的平均值比乙景区客流量的平均值大，故C 错误；对D ，甲景区客流量的极差为3200，乙景区客流量的极差为3000，故D 正确. 故选D. 【点睛】本题利用茎叶图呈现数据，考查数据处理能力，考查样本的数据特征，属于容易题. 4．函数()672x f x =-的零点0x 所在区间为（ ） A ．(2,3) B ．(1,2) C ．(4,5) D ．(3,4)【答案】A【解析】先判断函数的单调性，再利用零点存在定理得到零点所在的区间. 【详解】因为()672xf x =-在R 上单调递增，(2)0f <，(3)0f >，所以0(2,3)x ∈. 故选：A. 【点睛】本题考查零点存在定理的应用，求解时要先判断函数的单调性，再判断区间端点函数值的正负.5．若1tan 2tan 2αα=-，且(0,)(,)442πππα∈⋃=（ ） A ．0 B ．23C ．32D ．54【答案】B【解析】利用倍角公式求出tan α的值，再将目标式子化成关于tan α的表达式，从而求得式子的值. 【详解】因为22tan 1tan 2tan tan 1tan 2ααααα==-⇒=-因为(0,)(,)442πππα∈⋃，所以tan α=23==.故选：B. 【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、同角三角函数的基本关系，考查函数与方程思想的运用，求解时注意利用角的范围判断正切值的符号. 6．求11111135792019++++++的程序框图，如图所示，则图中判断框中可填入（ ）A ．1010?n ≤B ．1011?n ≤C ．1012?n ≤D ．2019?n ≤【答案】A【解析】阅读程序框图，写出前面几步，再总结规律，得到11111135792019S =++++++时，1011n =，从而推断判断框应填的条件. 【详解】1S =，2n =；113S =+，3n =；依此类推11111135792019S =++++++，1011n =， 故判断框中可填入“1010?n ≤”. 故选：A. 【点睛】本题考查程序框图的阅读，求解的关键是抓住求和的规律，考查特殊到一般的思想的运用.7．若双曲线2221(0)y a x a -=>实轴的顶点到它的渐近线的距离为14，则该双曲线的离心率为（ ） A．3B ．15C ．1615D ．5【答案】B【解析】由点到直线的距离公式求得a 的值，再由离心率公式求得离心率. 【详解】双曲线2221(0)1x y a a -=>的一个顶点为(0,1)，一条渐近线为0y ax -=，点(0,1)到直线0y ax -=14=， 所以a =，所以双曲线的方程为221115x y -=，则c =15e ==. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程、渐近线方程、离心率计算，考查方程思想的应用，求解时注意不能把,a b 的值弄错. 8．411()x y x y+--的展开式的常数项为（ ） A ．36B ．36-C ．48D ．48-【答案】A【解析】先对多项式进行变行转化成441()1x y xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出22x y 项，第2个括号出221x y项.【详解】∵4444111()1x y x y x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴411x y x y ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为22244222(C (C 361))x y x y ⨯=.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.9．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）.当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为（ ）A ．(0B ．)+∞C ．D ． 【答案】D【解析】设圆柱的高度与半球的半径分别为,h R ，计算容积得到334323S V R R R ππ=-+…，根据高的关系得到22523S R R ππ<…，计算得到答案. 【详解】设圆柱的高度与半球的半径分别为,h R ，则222S R Rh ππ=+，则22SRh R ππ=-， 所以酒杯的容积323233224332323S S V R R h R R R R R R ππππππ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭…，又0h >，所以202S R π->，所以22523S R R ππ<…R <. 故选：D 【点睛】本题考查了几何体的体积运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.10．P 为椭圆22110091x y +=上的一个动点，,M N 分别为圆22:(3)1C x y -+=与圆222:(3)(05)D x y r r ++=<<上的动点，若||||PM PN +的最小值为17，则r =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据||||PM PN +的最小值，得到关于r 的方程，进而求得答案. 【详解】因为(3,0)C ，(3,0)D -恰好为椭圆的两个焦点， 因为||||1,||||PM PC PN PD r ≥-≥-，所以||||||||121PM PN PC PD r a r +≥+--=--. 因为2100a =，得10a =， 所以20117r --=，则2r =. 故选：B. 【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.11．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，则C 的取值范围为（ ）A ．(0,)4πB ．(,)62ππC ．(,)63ππD ．(,)64ππ【答案】D【解析】利用面积公式、诱导公式、正弦定理将等式等价于sin()sin B C C -=，从而得到,B C 的关系，再根据三角形为锐角三角形，三个内角都是大于0小于2π，即可得到答案. 【详解】因为222sin()SA C b c +=-，即222sin S B b c =-， 所以22sin sin ac BB b c =-，因为sin 0B ≠，所以22b c ac =+.由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2cos a c B c -=， 再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=.因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-， 所以sin()sin B C C -=，所以B C C -=或B C C π-+=，得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC △是锐角三角形，所以0,202,203,2C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩得64C ππ<<.故选：D. 【点睛】本题考查三角形的面积公式、诱导公式、正弦定理、解不等式等知识的交会，考查转化与化归思想、函数与方程思想的灵活运用，考查运算求解能力，求解时对三角恒等变形的能力要求较高. 12．设()f x 是定义在(,0)(0,)22ππ-⋃上的奇函数，其导函数为()f x '，当(0,)2x π∈时，cos ()()0sin x f x f x x '-<，则不等式()()sin 33f x f x π<的解集为（ ） A ．(,0)(0,)33ππ-⋃B ．(,0)(,)332πππ-⋃C ．(,)(,)2332ππππ--⋃ D ．(,)(0,)233πππ--⋃ 【答案】B【解析】根据不等式的特点cos ()()0sin x f x f x x '-<构造函数()()sin f x h x x=，再利用导数研究函数的单调性，进而解不等式. 【详解】令()()sin f x h x x =，∵()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数，∴()()sin f x h x x =是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，由cos ()()0sin x f x f x x '-<，得()sin ()cos 0f x x f x x '⋅-⋅<，∴2()sin ()cos ()0sin f x x f x xh x x''⋅-⋅=<，则()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减将()sin 33f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭化为()3sin sin 3f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()3h x h π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则32x ππ<<. 又()()sin f x h x x =是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数，∴()h x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且33h h ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin 0x <，将()sin 33f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭化为()3sin sin 3f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭>，即()33h x h h ππ⎛⎫⎛⎫>=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则03x π-<<. 综上，所求不等式的解集为,0,332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、奇偶性进行不等式求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键在于根据的给不等式的特点，构造新函数，且所构造的函数能利用导数研究单调性，难度较大.二、填空题13．设向量(1,22)a =，||2b =，1cos ,3a b =-，则()a a b ⋅+=________. 【答案】7【解析】利用向量数量积定义、模的坐标运算，直接计算目标式子，即可得到答案. 【详解】因为2||3a x y =+=，13223a b ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以21()93273a a b a a b ⎛⎫⋅+=+⋅=+⨯⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为：7. 【点睛】本题考查向量数量积的定义、模的坐标运算、数量积运算的分配律，考查基本运算求解能力，属于容易题.14．已知函数22log ,02,()69,2,x x f x x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩若1234()()()()f x f x f x f x ===，且12x x <<34x x <，则1234()x x x x ⋅⋅+=________.【答案】6【解析】作出函数()f x 的图象，通过图象可以得到2122log log x x -=，346x x +=，通过对数运算易得12x x ⋅的值，从而求得答案. 【详解】函数()f x 的图象如图所示：易知3432x x +=，则346x x +=. 又2122log log x x -=，所以()212log 0x x ⋅=，即121x x ⋅=， 所以()12346x x x x ⋅⋅+=. 故答案为：6.【点睛】本题考查利用函数图象的对称性及图象的翻折变换，得到1234,,,x x x x 之间的关系，考查数形结合思想的灵活运用，求解时注意利用图形的直观性，使问题求解过程更清晰、简洁.15．若函数()sin()(0)6f x x πωω=->在(0,2)π内存在唯一的0x ，使得0()1f x =-，则()f x 的最小正周期的取值范围为________. 【答案】1212,115ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】根据0(0,2)x π∈得到0,2666x πππωπω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，由s i n y x =的图象特征可得372,622ππππω⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，从而得到ω的范围，再由周期公式得到周期T 的范围. 【详解】因为0(0,2)x π∈，0>ω，所以0,2666x πππωπω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭. 依题意可得372,622ππππω⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，解得511,66ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则21212,115T πππω⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭. 故答案为：1212,115ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查利用整体思想、三角函数的五点法作图，研究三角函数的周期，考查数形结合思想的灵活运用，同时求解时注意整体思想的运用.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AD CD PD ===，1AB =，,E F 分别为棱,PC PB 上一点，若BE 与平面PCD 所成角的正切值为2，则2()AF EF +的最小值为________.【答案】143+ 【解析】先找出BE 与平面PCD 所成角，再利用正切值为2，证得E 为PC 的中点.根据所给各边的长度，求出,APB BPC ∠∠的斜弦值，再将PBC ∆翻折至与平面PAB 共面，利用余弦定理求出AE ，即为2()AF EF +的最小值.【详解】取CD 的中点H ，连接BH ，EH.依题意可得，BH CD ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD BH ⊥， 从而BH ⊥平面ABCD ，所以BE 与平面PCD 所成角为BEH ∠， 且2tan 2BH BEH EH EH∠===，则1EH =，则E 为PC 的中点.在Rt PAB ∆中，cos 3AP APB PB ∠==.因为3PB =，=PC BC =所以cos 2BPC ∠=，所以4BPC π∠=.将PBC ∆翻折至与平面PAB 共面，如图所示，则图中14cos cos 42336APC APB π⎫⎛⎫∠=∠+=-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当F 为AE 与PB 的交点时，AF EF +取得最小值，此时，2222()2AF EF AE +==+-⨯=.故答案为：143+. 【点睛】本题考查空间中线面垂直、线面角、余弦定理等知识的交会，考查空间相象能力和运算求解能力，将空间中线段和的最值问题，转化成平面问题，对转化与化归思想的考查要求较高，属于难题.三、解答题17．甲、乙两人同时参加一个外贸公司的招聘,招聘分笔试与面试两部分,先笔试后面试.甲笔试与面试通过的概率分别为0.8,0.5,乙笔试与面试通过的概率分别为0.8,0.4,且笔试通过了才能进入面试,面试通过则直接招聘录用,两人笔试与面试相互独立互不影响. (1)求这两人至少有一人通过笔试的概率; (2)求这两人笔试都通过却都未被录用的概率;(3)记这两人中最终被录用的人数为X ,求X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)0.96；(2)0.192；(3)分布列见解析，数学期望0.72【解析】(1)利用独立事件与对立事件的概率公式求解即可；(2)直接利用独立事件的概率公式求解即可；（3）X 可取0,1,2, 利用独立事件与对立事件的概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】(1)设“这两人至少有一人通过笔试”为事件A ,则P (A )=1-P (A )=1- (1-0.8)2=0.96.(2)设“这两人笔试都通过却都未被录用”为事件B ,则P (B )=0.82×(1-0.5)×(1-0.4)=0.192.(3)甲、乙两人被录用的概率分别为0.8×0.5=0.4,0.8×0.4=0.32. 由题意可得X 可取0,1,2,则 P (X=0)=(1-0.4)×(1-0.32)=0.408, P (X=1)=(1-0.4)×0.32+0.4×(1-0.32)=0.464, P (X=2)=0.4×0.32=0.128, 所以X 的分布列为故E （X ）=0×0.408+1×0.464+2×0.128=0.72. 【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.18．如图，在正四棱锥V ABCD -中，二面角V BC D --为60︒，E 为BC 的中点. （1）证明：BC VE =；（2）已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为60︒，求.VFVA【答案】（1）详见解析；（2）11.【解析】（1）设V 在底面的射影为O ，连接OE ，找出二面角的平面角，再证明2VE OE =，从而得到BC VE =；（2）取AB 的中点G ，以O 为坐标原点，分别以OG ，OE ，OV 为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，(1)VF VA λλ=≠，根据异面直线BF 与VE 所成角为60︒，求出λ的值，从而得到VFVA的值. 【详解】（1）设V 在底面的射影为O.则O 为正方形ABCD 的中心如图， 连接OE ，因为E 为BC 的中点，所以OE BC ⊥. 在正四棱锥V ABCD -中，VB VC =，则VE BC ⊥， 所以VEO ∠为二面角V BC D --的平面角，则60VEO ︒∠=. 在Rt VOE ∆中，2VE OE =，又2AB BC OE ==，所以BC VE =.（2）取AB 的中点G ，以O 为坐标原点，分别以OG ，OE ，OV 为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，则(0,0,3V ，(0,1,0)E ，(1,1,0)B ，(1,1,0)A -，(1,1,VA =-，(1,1,VB =，(0,1,VE =.设(1)VF VA λλ=≠，则(1,1,BF VF VB λλ=-=---， 从而|||cos ,|cos60||||2BF VE BF VE BF VE ︒⋅〈〉===，整理得210110λλ+-=，解得11λ=-（1λ=舍去）， 故11VFVA=.【点睛】本题考查空间中的线线垂直、线面角、面面角定义，考查空间想象能力和运算求解能力，在第（2）问求解时，根据共线向量基本定理确定，引入一个变量λ确定点F 的位置，是求解问题的关键.19．在直角坐标系xOy 中，点(2,0)M -，N 是曲线2124x y =+上的任意一点，动点C 满足0.MC NC +=（1）求点C 的轨迹方程；（2）经过点(1,0)P 的动直线l 与点C 的轨迹方程交于,A B 两点，在x 轴上是否存在定点D （异于点P ），使得ADP BDP ∠=∠？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22y x =；（2）存在点(1,0)D -符合题意.【解析】（1）设(,)C x y ，()00,N x y ，利用相关点代入法得到点C 的轨迹方程； （2）设存在点(,0)D t ，使得ADP BDP ∠=∠，则0DA DB k k +=，因为直线l 的倾斜角不可能为0︒，故设直线l 的方程为1x my =+，利用斜率和为0，求得1t =-，从而得到定点坐标. 【详解】（1）设(,)C x y ，()00,N x y ，则(2,)MC x y =+，()00,NC x x y y =--，()0022,2MC NC x x y y +=-+-. 又0MC NC +=，则00220,20,x x y y -+=⎧⎨-=⎩即0022,2.x x y y =+⎧⎨=⎩ 因为点N 为曲线2124x y =+上的任意一点， 所以200124x y =+， 所以2122(2)24x y +=+，整理得22y x =，故点C 的轨迹方程为22y x =.（2）设存在点(,0)D t ，使得ADP BDP ∠=∠，所以0DA DB k k +=.由题易知，直线l 的倾斜角不可能为0︒，故设直线l 的方程为1x my =+，将1x my =+代入22y x =，得2220y my --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y m +=，122y y =-.因为12121212011DA DB y y y y k k x t x t my t my t+=+=+=--+-+-，所以()12122(1)0my y t y y +-+=，即42(1)0m m t -+⋅-=，所以1t =-.故存在点(1,0)D -，使得ADP BDP ∠=∠.【点睛】本题考查相关点代入法求轨迹方程及抛物线中的定点问题，考查函数与方程思想、数形结合思想的应用，求解时注意直线方程的设法，能使运算过程更简洁. 20．已知数列{}n a 满足444421231(41).3n a a a a n n ++++=-（1）证明：数列{}2n a 为等差数列；（2）设2(13)nn n b a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和.n T 【答案】（1）详见解析；（2）12(1)33n n T n n +=-⋅++.【解析】（1）根据递推关系得到221n a n =-，再利用定义证明数列{}2n a 为等差数列； （2）由（1）得(21)321nn b n n =-⋅+-，再利用错位相减求和等差数列前n 项和公式，求得数列{}n b 的前n 项和.n T 【详解】（1）当2n ≥时，44421211(1)4(1)13n a a a n n -⎡⎤+++=---⎣⎦， 则()42233211141(1)4(1)144(1)1(21)333n a n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=-----=---=-⎣⎦⎣⎦.∵20n a ≥，∴221n a n =-.又∵411a =，210a ≥，∴211a =，也满足221n a n =-， ∴221n a n =-，∵2212n n a a +-=，∴数列{}2n a 为公差是2的等差数列.（2）(21)321nn b n n =-⋅+-，设数列{}(21)3nn -⋅的前n 项和为nS，则21333(21)3n n S n =⨯+⨯++-⋅，∴23131333(21)3n n S n +=⨯+⨯+⋯+-⋅，∴()231332333(21)3n n n n S S n +-=+⨯+++--⋅，即21111333232(21)336(12)3(22)3613n n n n n n S n n n ++++-⨯-=+⨯--⋅=-+-⋅=-⋅--，故1(1)33n n S n +=-⋅+，∴212(1)33n n n T S n n n +=+=-⋅++.【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的定义、等差数列前n 项和、错位相减法求和，考查转化与化归思想、方程思想的运用，考查运算求解能力. 21．已知函数3()1(0).ax f x x e a =-≠ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若2a =，不等式()3ln f x mx x ≥+对(0,)x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）(,2]-∞.【解析】（1）先对函数进行求导得2()(3)ax f x x e ax '=+，再对a 进行分类讨论，解导数不等式，从而得到函数的单调区间；（2）由2a =，将()3l n f x m x x ≥+对(0,)x ∈+∞恒成立等价于323ln 1x x e x m x--≤对(0,)x ∈+∞恒成立.构造函数()1ln (0)g t t t t =-->，取32x t x e =，则()32321ln 0xxx e x e --≥，进而得到函数323ln 1x x e x y x--=的最小值为2，即可得到到m 的取值范围. 【详解】（1）232()3(3)ax ax axf x x e ax e x e ax '=+=+.当0a <时，令()0f x '<，得3x a >-；令()0f x '≥，得3x a≤-. 所以()f x 的单调递减区间为3,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为3,a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.当0a >时令()0f x '≥，得3x a ≥-；令()0f x '<，得3x a <-. 所以()f x 的单调递减区间为3,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，单调递增区间为3,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为2a =，所以()3ln f x mx x ≥+对(0,)x ∈+∞恒成立等价于323ln 1x x e x m x--≤对(0,)x ∈+∞恒成立.设()1ln (0)g t t t t =-->，1()t g t t '-=， 令()0g t '<，得01t <<；令()0g t '>，得1t >. 所以min ()(1)0g t g ==，所以1ln 0t t --≥.取32x t x e =， 则()32321ln 0xx x ex e --≥，即323ln 12x x e x x --≥，所以323ln 122x x e x xx x--≥=.设32()x h x x e =，因为(0)01h =<，2(1)1h e =>，所以方程321x x e =必有解， 所以当且仅当321xx e=时，函数323ln 1(0)x x e x y x x--=>得最小值，且最小值为2，所以2m ≤，即m 的取值范围为(,2]-∞， 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中注意分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想的综合运用，特别是构造新函数后，再利用导数的工具性作用研究函数是求解的关键.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），曲线C 的参数方程为3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为(2,)π，l 与曲线C 交于,A B两点，求2.【答案】（1）6sin ρθ=；（2）6+.【解析】（1）利用消参数将参数方程化成普通方程，再利用公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化成极坐标方程；（2）将点P 的极坐标化为直角坐标，得点P 为直线参数方程所过的定点，再利用参数的几何意义进行求解. 【详解】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y +-=，即226x y y +=，因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以26sin ρρθ=，即6sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=.（2）将12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得2(240t t -++=.设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则122t t +=+124t t =.因为点P 的极坐标为(2,)π，所以点P 的直角坐标为(2,0)-，所以212||||6PA PB t t +=++=++=+.【点睛】本题考查曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、直线参数方程参数的几何意义，考查转化与化归思想的应用，求解是要注意利用直线的参数的几何意义解题时，要保证参数方程为标准形式.23．已知函数()7 1.f x x x =-++ （1）求不等式2()10x f x <<的解集；（2）设[]x 表示不大于x 的最大整数，若[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）(2,4)-；（2）(2,1)--.【解析】（1）将函数()f x 的绝对值去掉等价于62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩再分别解不等式并取交集；（2）利用取整函数的定义，将不等式[()]9f x ≤转化为()10f x <，再利用（1）的结论进行求解. 【详解】（1）62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩由()2f x x >得：1,622,x x x <-⎧⎨->⎩或17,82,x x -≤≤⎧⎨>⎩或7,262,x x x >⎧⎨->⎩解得：4x <；由()10f x <，1,6210,x x <-⎧⎨-<⎩或17,810,x -≤≤⎧⎨<⎩或7,2610,x x >⎧⎨-<⎩解得：28x -<<.故不等式2()10 x f x <<的解集为：(2,4)-. （2）依题意可得[()]9f x ≤等价于()10f x <， 由（1）知[()]9f x ≤的解集为(2,8)-. 因为[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，所以[,9](2,8)a a +⊆-，所以2,98,a a >-⎧⎨+<⎩解得21a -<<-，所以a 的取值范围为(2,1)--. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、取整函数的应用，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用，第（2）问取整函数不等式的等价转化是求解问题的关键.。
河南省新乡市高三第一次模拟考试数学(理)试题附答案
新乡市高三第一次模拟测试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24}xA x =>，{|015}B x x =<-≤，则()=R C A B （ ）A ．{|25}x x <≤B ．{|5}x x ≤C ．{|12}x x <≤D ．{|1}x x > 2.若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则z 的实部为（ ） A ．-5 B ． 5 C ．-8 D ．83.为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m ，以后每天比前1天多跑200m ，则这个同学7天一共将跑（ ）A ．39200mB ．39300mC ．39400mD ． 39500m 4.若二项式71()nx x -的展开式存在常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ． 7 B ．8 C. 14 D ．16 5.设函数()5xx f x ee x -=--，则不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为（ ）A ．(3,2)-B ．(,3)(2,)-∞-+∞ C. (2,3)- D ．(,2)(3,)-∞-+∞6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ． 28B ．30 C. 36 D ．427.设不等式组40310x x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的可行域M 与区域N 关于y 轴对称，若点(,)P x y N ∈，则2z x y =+的最小值为（ ）A ． -9B ．9 C. -7 D ．78.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．1191077 B ．160359 C. 9581077 D ．2893599.已知点(,)M x y 是抛物线24y x =（ ）A ．3B ． 4 C. 5 D ．6 10.将函数44()sin cos f x x x =+的图像向左平移8π个单位长度后，得到()g x 的图像，则()g x =（ ）A ．31sin 444x - B ．13sin 444x - C. 31cos 444x - D ．13cos 244x - 11.设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >> C. c a b >> D ．c b a >>12.已知函数1,0()3,0x e x f x x ax x -⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若函数()(())2g x f f x =-恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(0,)+∞ C. (0,1) D ．(1,)+∞第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量,a b 满足||3a =，且()()4a b a b +-=，则||b = ．14.设P 为曲线2x =上一点，(A ，B ，若||2PB =，则||PA = ．15.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(1)(1)n n n a n S ++=-，则n S = ．16.已知,A B 两点都在以PC 为直径的球O 的表面上，AB BC ⊥，2AB =，4BC =，若球O 的体积为，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-.（1）试问：,,a b c 是否可能依次成等差数列？为什么？（2）若3b c =，且ABC ∆的周长为4+ABC ∆的面积.18. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，3AB AC ==，2CE EA =，BD DC =.（1）证明：平面PBC ⊥平面PAD ； （2）若三棱锥P ABD -的体积为94，且AB AC ⊥，求平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值.19. 某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：（1）根据表中数据可知，频数y 与日需求量x （单位：个）线性相关，求y 关于x 的线性回归方程；（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为X （单位：元）.（ⅰ）若日需求量为15个，求X ；（ⅱ）求X 的分布列及其数学期望.相关公式：∑∑==---=n i i ni iix x y yx x b 121^)())((∑∑==--=n i i ni ii xn x yx n yx 1221 ， x by a ^^-= 20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数()ln (0)af x x a x a a =--≠. （1）讨论()f x 的单调性；（2）对0a >时，对任意121,[,]x x e e∈，12|()()|2f x f x e -≤-恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，(1,2)P -，求||||PA PB . 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||2|f x x x =-++.（1）求不等式()13f x <的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且211(0)k mn m n+=>，证明：16m n +≥. 试卷答案一、选择题1-5: CBABD 6-10: DCCAA 11、12：BC1.C ∵{|2}A x x =>，∴{|2}R C A x x =≤，又{|16}B x x =<≤，∴(){|12}R C A B x x =<≤.2.B 因为1811582iz i i+==+-，所以z 的实部为5. 3.A 依题意可知，这个同学第1天，第2天，…，跑的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑7650007200392002m ⨯⨯+⨯=. 4.B 71()n x x -的展开式的通项为8171()(1)r n r r r r n r r n n T C x C x x--+=-=-(0,1,,)r n =，令80n r -=，得8n r =，则整正数n 的最小值为8.5.D ∵()f x 是奇函数，∴2()(6)0f x f x +--<2()(6)(6)f x f x f x ⇔<---=+.又()f x 是减函数，∴22()(6)6f x f x x x <+⇔>+，故不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为(,2)(3,)-∞-+∞.6.D 该几何体是由12个棱长为1的正方体组合而成的，所以121224S =+=前后，336S =+=左右，6612S =+=上下，从而2461242S =++=表面.7.C 作出区域N （阴影部分），由图可知，当直线2z x y =+经过点(4,1)-时，z 取得最小值-7.8.C 设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095811077C C -=.9.A(,)M x y 到点(1,0)F 的距离，即点(,)M x y 到抛物线24y x =的准线1x =-(,)M x y 到点(2,1)A的距离，所以(2,1)A 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离3，即min 3=.10.A ∵22222()(sin cos )2sin cos f x x x x x =+-1cos 21cos 21222x x -+=-⨯⨯31cos 444x =+， ∴3131()()cos(4)sin 4844244g x f x x x ππ=+=++=-.11.B ∵327lg 64log 4log 64lg 27==，525lg 64log 8log 64lg 25==，∴35log 4log 8<， ∵2385<，∴3285<，∴32553log 8log 52<=. 又2443log 3log 9log 82=>=，∴253log 3log 8log 4>>，即a c b >>. 12.C 当0x >时，1()x e f x x -=，12(1)'()x e x f x x--=， 当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，故min ()(1)1f x f ==.当0x ≤时，()3f x ax =+的图像恒过点(0,3)，当0,0a x ≤≤时，()(0)3f x f ≥=；当0,0a x >≤时，()(0)3f x f ≤=.()(())2g x f f x =-有5个零点，即方程(())2f f x =有5个解，设()t f x =，则()2f t =. 结合图像可知，当0a >时，方程()2f t =有三个根1(,0)t ∈-∞，2(0,1)t ∈，3(1,3)t ∈（∵2(3)23e f =>，∴313t <<），于是1()f x t =有1个解，2()f x t =有1个解，3()f x t =有3个解，共有5个解.由32ax +=，得1x a =-，再由13ax a +=-，得2314x a a=--<-，∵0a >，∴01a <<.而当0a ≤时，结合图像可知，方程(())2f f x =不可能有5个解.二、填空题 13.∵ 222()()9||4a b a b a b b +-=-=-=，∴||5b =. 14. 4由2x =得2244(0)x y x =+>，即221(0)4y x x -=>，故P 为双曲线221(0)4y x x -=>右 支上一点，且,A B 分别为该双曲线的左、右焦点，则||||22PA PB a -==，||224PA =+=.15. 12n n-∵1(1)(1)n n n a n S ++=-，∴11n n n na S nS +++=，∴11()n n n n n S S S nS ++-+=，∴1(1)2n nn S nS ++=，∴{}n nS 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n nS -=，∴12n n S n-=.16.3∵AB BC ⊥，∴ABC ∆的外心'O 为AC 的中点，∴'OO ⊥平面ABC ，易证//'PA OO ，∴PA ⊥平面ABC ，从而球O 的半径R OA =，又343R π=，∴R =，∵AC =∴'AO ='1OO =，∴2PA AB ==.设PB 与AC 所成角为θ，则cos cos cosPBA BAC θ=∠∠==故tan 3θ=.三、解答题17.解：（1）∵4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-， ∴2224sin sin sin C B A =-， ∴2224c b a =-.假设,,a b c 依次成等差数列，则2a cb +=， 则2224()2a c c a ++=，即221532c a ac +=，又221532c a ac +≥>， ∴221532c a ac +≠，从而假设不成立，故,,a b c 不可能依次成等差数列.（2）∵2224c b a =-，3b c =，∴225a c =，则a =，则(44a b c c ++==1c =.从而223155cos 2136A +-==⨯⨯，则sin 6A =故ABC ∆的面积1sin 24S bc A ==.18.（1）证明：因为AB AC =，BD DC =，所以AD BC ⊥， 又PA ⊥平面ABC ，则PA BC ⊥， 因为ADPA A =，所以BC ⊥平面PAD .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAD .（2）因为1119333224P ABD V PA -=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以3PA =.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,3,0)C ，(0,1,0)E ，33(,,0)22D ，(0,0,3)P ，则31(,,0)22ED =，(0,1,3)PE =-.设平面PDE 的法向量为(,,)n x y z =，则00n ED n PE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3102230x y y z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩， 令1z =，得(1,3,1)n =-，平面PAB 的一个法向量为(0,1,0)m =，则cos ,m n <>==故平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值为11. 19.（1）21x =，6y =，^2222(1521)(106)(1821)(86)(2421)(36)(2721)(26)630.7(1521)(1821)(2421)(2721)90b --+--+--+--==-=--+-+-+-， ^^6210.720.7a y b x =-=+⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为^0.720.7y x =-+.（2）（ⅰ）若日需求量为15个，则15(104)(2415)(24)72X =⨯-+-⨯-=元 （ⅱ）若日需求量为18个，则18(104)(2418)(24)96X =⨯-+-⨯-=元 若日需求量为21个，则21(104)(2421)(24)120X =⨯-+-⨯-=元 若日需求量为24个或27个，则24(104)144X =⨯-=元 故分布列为1087530487296120144101.63030303030EX =⨯+⨯+⨯+⨯== 20.（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==， 2223b a c =-=.故C 的方程为22143x y +=. （2）假设存在点P ，使得PM PB 为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，3(1,)2B ，3(1,)2M -，则209(1)4PM PB x =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为(1)y k x =-，设点11(,)B x y ，22(,)M x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由于202(,)PM x x y =-，101(,)PB x x y =-，则212120012()PM PB x x x x x x y y ∙=-+++2222120120(1)()()k x x x k x x k x =+-++++ 2220002(485)31243x x k x k --+-=+ 因为PM PB 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1(1)()a a a a x f x ax x x--=-=， 当0a <时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减； (1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.当0a >时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减； (1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.（2）因为12max min |()()|()()f x f x f x f x -≤-，所以max min ()()2f x f x e -≤-，由（1）知，()f x 在1[,1)e上单调递减，在(1,]e 上单调递增，所以min ()(1)1f x f a ==-. 因为1()a f e e -=与()2a f e e a =-，所以max 1()max{(),()}f x f f e e=. 设1()()()2(0)a a g a f e f e e a a e-=-=-->，则'()220a a g a e e -=-->=，所以()g a 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g a g >=，所以1()()f e f e>，从而max ()()2a f x f e e a ==-，所以2(1)2a e a a e ---≤-，即10a e a e --+≤. 设()1(0)a a e a e a ϕ=--+>，则'()1a a e ϕ=-， 当0a >时，'()0a ϕ>，所以()a ϕ在(0,)+∞上单调递增， 又(1)0ϕ=，所以10a e a e --+≤等价于()(1)a ϕϕ≤，则1a ≤. 因为0a >，所以a 的取值范围为(0,1].22.解：（1）直线l 的普通方程为：10x y +-=. 由2cos sin ρθθ=，得22cos sin ρθρθ=， 则2y x =，故曲线C 的直角坐标方程为2y x =.（2）将122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2y x =，得220t -=， 则122t t =-，故12||||||2PA PB t t ==.23.（1）由()13f x <，得|1||2|13x x -++<， 则12113x x >⎧⎨+<⎩或21313x -≤≤⎧⎨<⎩或22113x x <-⎧⎨--<⎩， 解得：76x -<<，故不等式()13f x <的解集为(7,6)-.（2）证明：因为()|1||2|f x x x =-++|1(2)|3x x ≥--+=， 所以3k =， 因为21191(0)k mn m n m n+=+=>，所以0,0m n >>，199()()(10)1016n m m n m n m n m n+=++=++≥+= 当当当当9n m m n =，即4,12m n ==时取等号，故16m n +≥.。
新乡市2020 届高三第一次模拟考试文理数学合集及其逐题解析
14．已知函数
f
x＝
log 2
x
，0＜x＜2，
若
f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），且
x1＜x2
x 2－6 x＋9，x≥2，
＜x3＜x4，则 x1·x2·（x3＋x4）的值为__________．
15．若函数
f
x＝sin
x－ 6
（
＞0）在（0， 2
（1）求这两人至少有一人通过笔试的概率； （2）求这两人笔试都通过却都未被录用的概率； （3）记这两人中最终被录用的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望． 18．（12 分）
如图，在正四棱锥 V－ABCD 中，二面角 V－BC－D 为 60°，E 为 BC 的中点． （1）证明：BC＝VE． （2）已知 F 为直线 VA 上一点，且 F 与 A 不重合，若异面直线
1．若
1－3i 1＋2i
与
i
a－
1 2
ai
的虚部互为相反数，则实数
a
的值为
A．－2
B．2
C．－1
D．1
2．设集合 A＝{ x ｜（ x＋1 ）（ x－2 ）＜ 0 }，B＝{x｜－1＜x＜2}，则
A．A∩B＝{x｜－1＜x＜2}
B．A∪B＝{x｜0≤x＜4}
C．A∩B＝{x｜0≤x＜2}
（x＋3）2＋y2＝r2（0＜r＜5）上的动点，若｜PM｜＋｜PN｜的最小值为 17，则 r＝
A．1
B．2
C．3
D．4
11． 在 锐 角 △ ABC 中 ， 角 A， B ，C 的 对 边 分 别 为 a ， b， c， △ ABC 的 面 积 为 S． 若
sin
河南省新乡市2019届高三第一次模拟考试理科数学试题(解析版)
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
. 故选 【点睛】本题考查了最值问题，将其转化为几何意义，点到点的距离，然后求出结果，本题的转化是关键
10.将函数
A.
B.
【答案】A
【解析】
【分析】
的图像向左平移 个单位长度后，得到 的图像，则 （ ）
C.
D.
先化简
，然后再向左平移 个单位长度，求出
【详解】∵
，
∴
.
故选
【点睛】本题考查了三角函数图形的平移，先化简 的表达式是本题关键，由高次降幂，结合二倍角公式
新乡市高三第一次模拟测试 数学（理科）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.已知集合 A. 【答案】C 【解析】 【分析】
， B.
，则
（）
C.
D.
先求解出集合 ，然后再计算出 ，最后计算出
【详解】因为
，∴
，又
，
所以
每天比前 1 天多跑 200 ，则这个同学 7 天一共将跑（ ）
A. 39200 【答案】A 【解析】
B. 39300
C. 39400
D. 39500
【分析】
将实际问题转化为数学中的数列问题，然后求出结果
【详解】依题意可知，这个同学第 1 天，第 2 天，…，跑的路程依次成首项为 5000，公差为 200 的等差数
列，则这个同学 7 天一共将跑
.故选
【点睛】本题将实际问题转化为数学问题，运用数列求出结果，较为简单
4.若二项式
的展开式存在常数项，则正整数 的最小值为（ ）
河南省新乡市高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
2016~2017学年(上)高三模拟考试能力提升训练卷理 数一． 函数的性质部分1．设函数是定义在上周期为3的奇函数，若，则有A ．且B ．或C ．D ．2．定义在上的函数满足，当时，，当时，．则A ．335B ．338C ．1678D ．20123．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是A ．B ．C ．D ．二． 函数与导数小题部分4．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为A ．2014B ．2013C ．1D ．-15．函数2cos y x x =+[0,]2π上的最大值是6．已知函数()323f x x x x =-+的极大值为m ，极小值为n ，则m +n =A ． 0B ．2C ．-4D ．-2 三．函数与导数大题部分7．设和是函数的两个极值点，其中．(1)．求的取值范围；(2)．若，求的最大值．8．设．(1)．如果存在使得成立，求满足上述条件的最大整数；(2)．如果对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．9．已知函数．（1）．求的单调区间；（2）．若对于，不等式恒成立，求的取值范围．四．不等式部分10．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是______11．若，则的最小值是______12．如果，则的最小值为______五．空间几何体三视图部分13．已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是等腰直角三角形，正视图是直角三角形，俯视图ABCD是直角梯形，则此几何体的体积为______14．某几何体的三视图(单位:)如图所示，则该几何体的体积为_______，表面积为_________．15．已知一个空间几何体的三视图及有关数据如下图所示，则该几何体的表面积为_____六．圆锥曲线小题部分16．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为与的离心率之积为，则的渐近线方程为A．B．C．D．17．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，则与的面积之比A．B．C．D．18．已知抛物线的焦点为，点，过点且斜率为的直线与交于两点，若，则A．B．C．D．19．椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是A．B．C．D．七．圆锥曲线大题部分20．椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且直线经过椭圆的右顶点．（1）．求椭圆的标准方程；（2）．设不过原点的直线与椭圆交于两点两点，且直线的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．21．已知椭圆，过焦点垂直于长轴的弦长为，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．（1）．求椭圆的方程；（2）．过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，求证为定值，并计算出该定值．22．已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为．经过点的直线与椭圆交于两点．（1）．求椭圆方程；（2）．当直线的倾斜角为45°时，求线段的长；（3）．记与的面积分别为和，求的最大值．2016~2017学年(上)高三模拟考试能力提升训练卷答案理数参考答案1．B 解析：由已知得，又因，所以，解得或．故选B ．2．B 解析：根据题意函数的周期为，所以，所以．所以答案为：B ．3．C 解析：是奇函数，选项A 错;是指数函数，非奇非偶，选项B 错;是偶函数，但在上单调递增，选项D 错;只有选项C 是偶函数且在上单调递减．故选C ．4．D 5．66．D 7．答案：（1）函数的定义域为．依题意，方程有两个不等的正根(其中)．故 ， 并且，故的取值范围是．（2）．当时，．若设，则．于是有，∴，构造函数(其中)则．所以在上单调递减，．故的最大值是e ．8．答案：（1）存在使得成立，等价于，由，得，故在单调递减，在单调递增，所以，故，则满足条件的最大整数（2）依题有，在上函数由（1）可知，在上，在上，恒成立等价于恒成立．设可知，在上是减函数，又，所以当时，，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，即实数的取值范围为9．答案：（1），当时，在和上是单调递增，在上单调递减当时，在上单调递增当时，在和上单调递增，在上单调递减（2）．因为，所以由，得， 即对恒成立．由1可知，当时，在上单调递增，则成立，，当时，在为增函数，恒成立，符合要求，当时，在上单调递减，上单调递增，则即综上所述，．10．答案：解析： 先求的最小值，，当且仅当时取等号，则恒成立，可求得的取值范围是．11．答案：解析：由，得，且，∴，由，得．∴(当且仅当时取等号)，即的最小值为．12．答案：4解析：由得，所以，且，则，当且仅当，即时，取得最小值．13．答案：由三视图可得，这是一个四棱锥底面是一个上下底分别为2和4，高为2的直角梯形，棱锥高为2．故答案为：414．答案：;解析：由三视图可知该几何体是如下图所示侧棱底面矩形的四棱锥：所以其体积为：，又，所以其表面积为：;故应填入;．15．答案：解析：下图为三视图对应的直观图，其表面由两个全等的正方形，两个全等的梯形和两个矩形组成．由三视图中数据可得该几何体的表面积．16．答案：A解析：椭圆的离心率为，双曲线的离心率为．由题意知，即．两边平方得，∴，∴的渐近线方程为，即，故选A．17．答案：A解析：如图，过作准线的垂线，垂足分别为，由于到直线的距离为定值，∴，又∵，由抛物线定义知，∴，由知，，∴直线的方程为，把代入上式，求得，，∴，故，故选A。
河南省新乡市2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
新乡市高三第一次模拟测试数学（理科） 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24}x A x =>，{|015}B x x =<-≤，则()=R C A B （ ）A ．{|25}x x <≤B ．{|5}x x ≤C ．{|12}x x <≤D ．{|1}x x > 2.若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则z 的实部为（ ） A ．-5 B ． 5 C ．-8 D ．83.为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m ，以后每天比前1天多跑200m ，则这个同学7天一共将跑（ ） A ．39200m B ．39300m C ．39400m D ． 39500m4.若二项式71()nx x -的展开式存在常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ． 7 B ．8 C. 14 D ．16 5.设函数()5xx f x ee x -=--，则不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为（ ）A ．(3,2)-B ．(,3)(2,)-∞-+∞ C. (2,3)- D ．(,2)(3,)-∞-+∞6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ． 28B ．30 C. 36 D ．427.设不等式组40310x x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的可行域M 与区域N 关于y 轴对称，若点(,)P x y N ∈，则2z x y =+的最小值为（ ）A ． -9B ．9 C. -7 D ．78.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．1191077 B ．160359 C. 9581077 D ．2893599.已知点(,)M x y 是抛物线24y x =上的动点，则小值为（ ）A ．3B ． 4 C. 5 D ．6 10.将函数44()sin cos f x x x =+的图像向左平移8π个单位长度后，得到()g x 的图像，则()g x =（ ）A ．31sin 444x - B ．13sin 444x - C. 31cos 444x - D ．13cos 244x - 11.设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >> C. c a b >> D ．c b a >>12.已知函数1,0()3,0x e x f x x ax x -⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若函数()(())2g x f f x =-恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(0,)+∞ C. (0,1) D ．(1,)+∞第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量,a b 满足||3a =，且()()4a b a b +-=，则||b = ． 14.设P 为曲线2x =上一点，(,0)A，B ，若||2PB =，则||PA = ．15.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(1)(1)n n n a n S ++=-，则n S = ． 16.已知,A B 两点都在以PC 为直径的球O 的表面上，AB BC ⊥，2AB =，4BC =，若球O 的体积为，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-. （1）试问：,,a b c 是否可能依次成等差数列？为什么？（2）若3b c =，且ABC ∆的周长为4ABC ∆的面积.18. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，3AB AC ==，2CE EA =，BD DC =.（1）证明：平面PBC ⊥平面PAD ； （2）若三棱锥P ABD -的体积为94，且AB AC ⊥，求平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值.19. 某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：（1）根据表中数据可知，频数y 与日需求量x （单位：个）线性相关，求y 关于x 的线性回归方程；（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为X （单位：元）. （ⅰ）若日需求量为15个，求X ； （ⅱ）求X 的分布列及其数学期望.相关公式：∑∑==---=n i i ni iix x y yx x b 121^)())((∑∑==--=n i i ni ii xn x yx n yx 1221 ， x by a ^^-= 20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()ln (0)af x x a x a a =--≠. （1）讨论()f x 的单调性；（2）对0a >时，对任意121,[,]x x e e∈，12|()()|2f x f x e -≤-恒成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，(1,2)P -，求||||PA PB . 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1||2|f x x x =-++. （1）求不等式()13f x <的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且211(0)k mn m n+=>，证明：16m n +≥. 试卷答案一、选择题1-5: CBABD 6-10: DCCAA 11、12：BC 1.C ∵{|2}A x x =>，∴{|2}R C A x x =≤，又{|1B x x =<≤，∴(){|12}R C A B x x =<≤.2.B 因为1811582iz i i+==+-，所以z 的实部为5. 3.A 依题意可知，这个同学第1天，第2天，…，跑的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑7650007200392002m ⨯⨯+⨯=. 4.B 71()n x x -的展开式的通项为8171()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx--+=-=-(0,1,,)r n =，令80n r -=，得8n r =，则整正数n 的最小值为8.5.D ∵()f x 是奇函数，∴2()(6)0f x f x +--<2()(6)(6)f x f x f x ⇔<---=+.又()f x 是减函数，∴22()(6)6f x f x x x <+⇔>+，故不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为(,2)(3,)-∞-+∞.6.D 该几何体是由12个棱长为1的正方体组合而成的，所以121224S =+=前后，336S =+=左右，6612S =+=上下，从而2461242S =++=表面.7.C 作出区域N （阴影部分），由图可知，当直线2z x y =+经过点(4,1)-时，z 取得最小值-7.8.C 设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095811077C C -=.9.A因为表示点(,)M x y 到点(1,0)F 的距离，即点(,)M x y 到抛物线24y x =的准线1x =-(,)M x y 到点(2,1)A 的距离，所以的最小值为点(2,1)A 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离3，即min 3=.10.A∵22222()(sin cos )2sin cos f x x x x x =+-1cos 21cos 21222x x -+=-⨯⨯31cos 444x =+， ∴3131()()cos(4)sin 4844244g x f x x x ππ=+=++=-.11.B ∵327lg 64log 4log 64lg 27==，525lg 64log 8log 64lg 25==，∴35log 4log 8<， ∵2385<，∴3285<，∴32553log 8log 52<=. 又2443log 3log 9log 82=>=，∴253log 3log 8log 4>>，即a c b >>.12.C 当0x >时，1()x e f x x -=，12(1)'()x e x f x x --=，当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增， 故min ()(1)1f x f ==.当0x ≤时，()3f x ax =+的图像恒过点(0,3)，当0,0a x ≤≤时，()(0)3f x f ≥=；当0,0a x >≤时，()(0)3f x f ≤=. ()(())2g x f f x =-有5个零点，即方程(())2f f x =有5个解，设()t f x =，则()2f t =.结合图像可知，当0a >时，方程()2f t =有三个根1(,0)t ∈-∞，2(0,1)t ∈，3(1,3)t ∈（∵2(3)23e f =>，∴313t <<），于是1()f x t =有1个解，2()f x t =有1个解，3()f x t =有3个解，共有5个解.由32ax +=，得1x a =-，再由13ax a +=-，得2314x a a=--<-，∵0a >，∴01a <<.而当0a ≤时，结合图像可知，方程(())2f f x =不可能有5个解.二、填空题∵ 222()()9||4a b a b a b b +-=-=-=，∴||5b =.14. 4由2x =，得2244(0)x y x =+>，即221(0)4y x x -=>，故P 为双曲线221(0)4y x x -=>右支上一点，且,A B 分别为该双曲线的左、右焦点，则||||22PA PB a -==，||224PA =+=. 15. 12n n-∵1(1)(1)n n n a n S ++=-，∴11n n n na S nS +++=，∴11()n n n n n S S S nS ++-+=，∴1(1)2n nn S nS ++=，∴{}n nS 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n nS -=，∴12n n S n-=.16.3∵AB BC ⊥，∴ABC ∆的外心'O 为AC 的中点，∴'OO ⊥平面ABC ，易证//'PA OO ，∴PA ⊥平面ABC ，从而球O 的半径R O A =，又343R π=，∴R =，∵AC =='AO =，'1OO =，∴2PA AB ==. 设PB 与AC 所成角为θ，则cos cos cos PBA BAC θ=∠∠==故tan 3θ=.三、解答题17.解：（1）∵4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-， ∴2224sin sin sin C B A =-， ∴2224c b a =-.假设,,a b c 依次成等差数列，则2a cb +=， 则2224()2a c c a ++=，即221532c a ac +=，又221532c a ac +≥>， ∴221532c a ac +≠，从而假设不成立，故,,a b c 不可能依次成等差数列.（2）∵2224c b a =-，3b c =，∴225a c =，则a ，则(44a b c c ++==1c =.从而223155cos 2136A +-==⨯⨯，则sin 6A =.故ABC ∆的面积1sin 24S bc A ==. 18.（1）证明：因为AB AC =，BD DC =，所以AD BC ⊥， 又PA ⊥平面ABC ，则PA BC ⊥， 因为ADPA A =，所以BC ⊥平面PAD .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAD . （2）因为1119333224P ABD V PA -=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以3PA =. 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,3,0)C ，(0,1,0)E ，33(,,0)22D ，(0,0,3)P ，则31(,,0)22ED =，(0,1,3)PE =-. 设平面PDE 的法向量为(,,)n x y z =，则00n ED n PE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3102230x y y z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩， 令1z =，得(1,3,1)n =-，平面PAB 的一个法向量为(0,1,0)m =，则cos ,11m n <>==， 故平面PAB 与平面PDE. 19.（1）21x =，6y =，^2222(1521)(106)(1821)(86)(2421)(36)(2721)(26)630.7(1521)(1821)(2421)(2721)90b --+--+--+--==-=--+-+-+-， ^^6210.720.7a y b x =-=+⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为^0.720.7y x =-+.（2）（ⅰ）若日需求量为15个，则15(104)(2415)(24)72X =⨯-+-⨯-=元（ⅱ）若日需求量为18个，则18(104)(2418)(24)96X =⨯-+-⨯-=元 若日需求量为21个，则21(104)(2421)(24)120X =⨯-+-⨯-=元 若日需求量为24个或27个，则24(104)144X =⨯-=元故分布列为1087530487296120144101.63030303030EX =⨯+⨯+⨯+⨯== 20.（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =，又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==， 2223b a c =-=.故C 的方程为22143x y +=. （2）假设存在点P ，使得PM PB 为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，3(1,)2B ，3(1,)2M -， 则209(1)4PM PB x =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为(1)y k x =-，设点11(,)B x y ，22(,)M x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由于202(,)PM x x y =-，101(,)PB x x y =-，则212120012()PM PB x x x x x x y y ∙=-+++2222120120(1)()()k x x x k x x k x =+-++++2220002(485)31243x x k x k --+-=+ 因为PM PB 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1(1)()a a a a x f x ax x x--=-=， 当0a <时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减； (1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.当0a >时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减； (1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.（2）因为12max min |()()|()()f x f x f x f x -≤-，所以max min ()()2f x f x e -≤-， 由（1）知，()f x 在1[,1)e 上单调递减，在(1,]e 上单调递增，所以min ()(1)1f x f a ==-. 因为1()a f e e -=与()2a f e e a =-，所以max 1()max{(),()}f x f f e e=. 设1()()()2(0)a a g a f e f e e a a e -=-=-->，则'()220a a g a e e -=-->=，所以()g a 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g a g >=，所以1()()f e f e >， 从而max ()()2a f x f e e a ==-，所以2(1)2a e a a e ---≤-，即10a e a e --+≤.设()1(0)a a e a e a ϕ=--+>，则'()1a a e ϕ=-，当0a >时，'()0a ϕ>，所以()a ϕ在(0,)+∞上单调递增，又(1)0ϕ=，所以10ae a e --+≤等价于()(1)a ϕϕ≤，则1a ≤.因为0a >，所以a 的取值范围为(0,1].22.解：（1）直线l 的普通方程为：10x y +-=.由2cos sin ρθθ=，得22cos sin ρθρθ=，则2y x =，故曲线C 的直角坐标方程为2y x =.（2）将1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2y x =，得220t -=，则122t t =-，故12||||||2PA PB t t ==.23.（1）由()13f x <，得|1||2|13x x -++<，则12113x x >⎧⎨+<⎩或21313x -≤≤⎧⎨<⎩或22113x x <-⎧⎨--<⎩，解得：76x -<<，故不等式()13f x <的解集为(7,6)-.（2）证明：因为()|1||2|f x x x =-++|1(2)|3x x ≥--+=， 所以3k =， 因为21191(0)k mn m n m n+=+=>，所以0,0m n >>，199()()(10)1016n m m n m n m n m n+=++=++≥+= 当且仅当9n m m n =，即4,12m n ==时取等号，故16m n +≥.。
河南省新乡市2022-2023学年高三第一次模拟考试理科数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1.设是双曲线的一个焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于两点．若，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C ．2D ．52. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）A．B．C．D．3. 若，则（ ）A．B．C．D．4.，，则（ ）.A．B．C．D．5. 设，则（ ）A．B．C．D ．6. 如图，在，，点P 在以B 为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为（）A．B．C．D．7. 在中，角的对边分别为，且，，，则（ ）．A．B．C．D．8.若集合，则A ∩B ＝（ ）A．B．C．D．9. 已知，则下列判断中，错误的是（ ）A ．若，，且，则B ．存在，使得的图像右移个单位长度后得到的图像关于轴对称C ．若在上恰有7个零点，则的取值范围为D ．若在上单调递增，则的取值范围为10. 已知a ，b为正实数，且，则的取值可以为（ ）A ．1B ．4C ．9D ．3211. 下列说法中正确的是（ ）A ．一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19B．若随机变量，且，则河南省新乡市2022-2023学年高三第一次模拟考试理科数学试题 (2)河南省新乡市2022-2023学年高三第一次模拟考试理科数学试题 (2)三、填空题四、解答题C ．袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球.记事件{第一次抽到的是红球}，事件{第二次抽到的是白球}，则D ．已知变量x 、y 线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，，则12. 设是定义在上的函数，若存在两个不相等的实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数中，具有性质的函数有（ ）A．B．C．D．13.将个数排成行列的一个数阵，如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，，记这个数的和为．给出下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是______．（填写所有正确答案的序号）14. 已知，则___________.15.已知正项数列的前n项和为，且是4和的等比中项，数列，其前n 项的和为，则__________，__________.16. 在中，角，，的对边分别为，，，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的周长为12，求的面积.17. 已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，若关于x的不等式恒成立，证明：.18.设向量（I）若（II）设函数19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，离心率为．（1）求的方程；（2）过的左焦点且斜率不为的直线与相交于，两点，线段的中点为，直线与直线相交于点，若为等腰直角三角形，求的方程．20. 已知函数图象的对称中心为，且的极小值为f（2）＝.（1）求的解析式；（2）设，若有三个零点，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，当时，使函数在定义域[a,b]上的值域恰为[a,b]，若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.21.如图1所示，四边形为梯形且，，为中点，，，现将平面沿折起，沿折起，使平面平面，且重合为点（如图2所示）．(1)证明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.。
河南省新乡市2022-2023学年高三第一次模拟考试理科数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知点P 为双曲线右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左､右焦点，M 为△PF 1F 2的内心.若，则△MF 1F 2的面积为（ ）A ．2B ．10C ．8D ．62. 已知某口袋中有2个白球和2个黑球，若从中随机取出1个球，再放回1个不同颜色的球，此时袋中的白球个数为；若从中随机取出2个球，再放回2个不同颜色的球（若取出的是1个黑球1个白球，则放回1个白球1个黑球），此时袋中的白球个数为，则（ ）A．B．C．D．3. 将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，那么的值为（ ）A．B．C．D．4. 以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成一个长方形，每个正方形中画圆心角为的圆弧，这些圆弧连接而成的弧线也称作斐波那契螺旋线，下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的表面积为（）A．B．C．D．5. 函数的周期是( )A．B．C ．D．6. 为了得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）A ．向左平移1个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移个单位长度7. 设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若，则（ ）A．B．C．D．8. 在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，平面，四边形，均为等腰梯形，，，，到平面的距离为6，则这个“羡除”体积是（）A ．96B ．72C ．64D ．589. 已知是抛物线的焦点，，是抛物线上相异两点，则以下结论正确的是（ ）A ．若，那么B ．若，则线段的中点到轴的距离为河南省新乡市2022-2023学年高三第一次模拟考试理科数学试题河南省新乡市2022-2023学年高三第一次模拟考试理科数学试题三、填空题四、解答题C ．若是以为直角顶点的等腰三角形，则D ．若，则直线的斜率为10.已知圆和圆，则（ ）A ．圆的半径为4B．轴为圆与的公切线C ．圆与公共弦所在的直线方程为D ．圆与上共有6个点到直线的距离为111. 已知曲线在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则下列结论中正确的是（ ）A ．存在ω，使B ．存在ω，使C ．有且仅有一个，使D ．存在，使12. 已知向量，，则（ ）A．B．C．D．与的夹角为13. 的展开式中常数项为___________.14. 已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为__________．15. 已知x、，且，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．16.平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是.以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆，P 为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.求的值；17. 已知函数，，且是函数的极值点．（1）当时，求a 的值，讨论函数的单调性；（2）当R时，函数有两个零点，求实数的取值范围.（3）是否存在这样的直线，同时满足：①是函数的图象在点处的切线②与函数的图象相切于点，如果存在，求实数b 的取值范围；不存在，请说明理由．18. 已知是椭圆：上一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，，的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆右焦点，交该椭圆于、两点，中点为，射线（为坐标原点）交椭圆于，记的面积为，的面积为，若，求直线的方程．19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角B；(2)已知，求的面积．20. 在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的､两所同类学校的高三学年分别采用甲､乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校的高三学年各随机抽取名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为及以上的学生为优秀学生.经统计得到两所学校抽取的学生中共有名优秀学生，且学校的优秀学生占该校抽取总人数的.（1）填写下面的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关.（2）在学校的名学生中依据综合测评是否优秀进行分层抽样，抽取容量为的样本，在名学生中随机抽取名同学，求名同学都是优秀学生的概率.优秀学生非优秀学生合计甲方案乙方案合计附：，其中.21. 已知椭圆的一焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等边三角形，直线与椭圆的两交点间的距离为8.（1）求椭圆的方程；（2）如图，设是椭圆上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.。
2023年河南省新乡一中豫北名校高三年级模拟考试 数学理科
2022~2023年度河南省高三年级模拟考试数学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}{}290,0|2|A x x B x x a =-≤=+≤，且{}|32A B x x =-≤≤ ，则=a （）A. -1B. 1C. 2D. 3【答案】A2. 若1i z =-，则2|32i |z +-=（）B. 5C. 3D. 【答案】B3. 已知向量(2,3),(13,2)a x b x =+-=- ，若a b ∥ ，则x =（）A. 2-B. 2C. 1D. 1-【答案】C4. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（）A. 2()sin f x x x =- B. ()ln(2)ln(2)f x x x =--+ C. e e ()2x xf x -+=D.21()21x xf x -=+【答案】D5. 已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为3π、12π，高为6，则该圆台的体积为（）A. 36π B. 40πC. 42πD. 45π【答案】C6. 6212x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（）A. -160 B. 60C. 240D. -192【答案】B7. 我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d 里，九天他共行走了一千二百六十里，求d 的值.关于该问题，下列结论错误的是（）A. 15d = B. 此人第三天行走了一百二十里C. 此人前七天共行走了九百一十里 D. 此人前八天共行走了一千零八十里【答案】A8. 已知函数()cos(2)()f x x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移12π个单位长度后，与函数()sin 2g x x =的图象重合，则()f x 的单调递减区间为（）A. 5,(k )36k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z B. ,(k )63k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C. 2,(k )63k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D. ,(k )36k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】C9. 若P 是一个质数，则像21P-这样的正整数被称为梅森数．从50以内的所有质数中任取两个数，则这两个数都为梅森数的概率为（）A. 135B. 335C. 325D. 15【答案】A10. 已知抛物线2:12C y x =-的焦点为F ，动点M 在C 上，圆M 的半径为1，过点F 的直线与圆M 相切于点N ，则FM FN ⋅的最小值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D11. 已知数列{}n a 满足()*22121231,35n n n n n n a a a a n -+-=-+=+∈N ，则数列{}n a 的前40项和40S =（）A.1133972+ B. 4133972+ C. 4131972+ D.2131972+【答案】D12. 已知0m >，若不等式eln mxm x >恒成立，则m 的取值范围为（）A. 1,2e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B. 1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C. 2,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D. e ,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13. 设x ，y 满足约束条件350110x y x x y +-≤⎧⎪≥-⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为___________.【答案】514. 已知()f x 为R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，1()21x f x x =-+，则不等式(31)(1)f x f x -<-的解集为___________.【答案】1(,)2-∞15. 如图，在梯形ABCD 中，260AB CD AD DC BC ABC ===∠=︒∥，，，将ACD 沿边AC 翻折，使点D 翻折到P点，且PB =-P ABC 外接球的表面积是___________.【答案】20π16. 已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的左、右焦点12,F F ，M 是它们的一个交点，且12π4F MF ∠=，记1C 和2C 的离心率分别为12,e e ，则12e e 的最小值是___________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且(sin sin )sin sin a A C c C b B -+=.（1）求角B ；（2）若5b =，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）π3（2）15【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得cos B ，由此求得B .（2）利用正弦定理将ABC 的周长用角来表示，结合三角函数的知识求得周长的最大值.【小问1详解】由正弦定理得222a ac cb -+=，由余弦定理得2221cos 22a c b B ac +-==，由于()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ==，sin sin c a A C ===，,c a A C ==，ABC的周长为2π553a b c A C A A ⎛⎫++=+=-+ ⎪⎝⎭1sin 52A A A ⎫=++⎪⎪⎭π5cos510sin56A A A⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，由于2πππ5π0,,,3666A A⎛⎫⎛⎫∈+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以(]π1πsin,1,10sin5,10626A A⎛⎫⎛⎤⎛⎫+∈+∈⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎦⎝⎭,(]π10sin510,156A⎛⎫++∈⎪⎝⎭当ππ=62A+,即π=3A时,π10sin5=156A⎛⎫++⎪⎝⎭所以周长的最大值为15.18. 甲、乙两家公司生产同一种零件，其员工的日工资方案如下：甲公司，底薪140元，另外每生产一个零件的工资为2元；乙公司，无底薪，生产42个零件以内（含42个）的员工每个零件4元，超出42个的部分每个5元．假设同一公司的员工一天生产的零件个数相同，现从这两家公司各随机选取一名员工，并分别记录其30天生产的零件个数，得到如下频数表：甲公司一名员工生产零件个数频数表生产零件个数3839404142天数59565乙公司一名员工生产零件个数频数表生产零件个数4041424344天数39693若将频率视为概率，回答以下问题：（1）现从记录甲公司某员工30天生产的零件个数中随机抽取3天的个数，求这3天生产的零件个数都不高于39的概率；（2）小明打算到甲、乙两家公司中的一家应聘生产零件的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小明做出选择，并说明理由．【答案】（1）13145（2）小明应该选择到甲公司应聘，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据甲公司员工生产零件个数频数表以及古典概型概率公式计算可得结果；（2）设甲公司员工的日工资为X ，则X 的所有可能取值为：216,218,220,222,224，求出X 的分布列以及数学期望；设乙公司员工的日工资为Y ，则Y 的所有可能取值为：160,164,168,173,178，求出Y 的分布列以及数学期望，比较两个数学期望的大小可作出选择.【小问1详解】记“这3天生产的零件个数都不高于39”为事件M ，则314330C ()C P M =13145=.所以这3天生产的零件个数都不高于39的概率为13145.【小问2详解】设甲公司员工的日工资为X ，当生产零件个数为38个时，X =382140216⨯+=元，当生产零件个数为39个时，X =392140218⨯+=元，当生产零件个数为40个时，X =402140220⨯+=元，当生产零件个数为41个时，X =412140222⨯+=元，当生产零件个数为42个时，X =422140224⨯+=元，又(156)P X ==51306=，93(158)3010P X ===，(160)P X ==51306=，61(162)305P X ===，51(164)306P X ===，所以X 的分布列为：X216218220222224P16310161516所以13111()216218220222224610656E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯219.8=元.所以甲公司员工的日工资的平均值为219.8元.设乙公司员工的日工资为Y ，则当生产零件个数为40个时，404160Y =⨯=元，当生产零件个数为41个时，414164Y =⨯=元，当生产零件个数为42个时，424168Y =⨯=元，当生产零件个数为43个时，4245173Y =⨯+=元，当生产零件个数为44个时，42425178Y =⨯+⨯=元，又31(160)3010P Y ===，93(164)3010P Y ===，61(168)305P Y ===，93(173)3010P Y ===，31(178)3010P Y ===，所以Y 的分布列为：Y160164168173178P11031015310110所以13131()160164168173178101051010E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯168.5=元.所以乙公司员工的日工资的平均值为168.5元.因为168.5219.8<，所以如果仅从日工资的角度考虑的话，小明应该选择到甲公司应聘.19. 在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是菱形，E 是PD 的中点，3PA PD ==，2AB =，60ABC ∠=︒．（1）证明：//PB 平面EAC ；（2）求直线EC 与平面PAB 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2【解析】【分析】（1）构造中位线，通过线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，先求平面PAB 的法向量，再求EC与法向量所成角的余弦值，再得到结果.【小问1详解】如图1，连接BD ，设AC 与BD 交于点F ，连接EF .因为底面ABCD 是菱形，所以F 为BD 的中点，又E 是PD 的中点，所以//EF PB ，又EF ⊂平面EAC ，PB ⊄平面EAC ，所以//PB 平面EAC；【小问2详解】如图2，取AD 的中点O .在PAD 中，3PA PD ==，2AB AD ==，O 为AD 的中点，所以PO ⊥AD ，所以PO ===因为平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD AD =，所以PO ⊥底面ABCD ，又OC ⊂底面ABCD ，所以PO OC ⊥.在菱形ABCD 中，2AB =，60ABC ∠=︒，所以△ABC 与△ACD 是等边三角形，所以OC AD ⊥，2AC =，OC =以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()0,1,0A -，()0,1,0D，)C，)2,0B -，(0,0,P，10,2E ⎛ ⎝，则12EC =-,，)10AB =-，(01PA =--,,.设(),,n x y z = 为平面PAB 的一个法向量，则00AB n PA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y y -=--=⎪⎩，令1x =，则y z ==，则n =.cos ,||EC n EC n EC n==⋅= .所以直线EC 与平面PAB．20. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为 (2,0)F，且点Q 在双曲线C 上.（1）求双曲线C 的方程；（2）过点F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在不与F 重合的点P ，使得点F 到直线PA ，PB 的距离始终相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2213y x -=（2）存在，1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，理由见解析【解析】【分析】（1）首先得2c =，再将点Q 的坐标代入双曲线方程，联立方程求解22,a b ，即可求双曲线方程；（2）假设存在点(),0P n ，据题意设():20AB x my m =+≠，联立方程得到12y y +，12y y ，再由点F 到直线,PA PB 的距离相等可得0PA PB k k +=，由此代入式子即可求得点P 坐标，再考虑斜率不存在的情况即可【小问1详解】由题意得，2c =，所以22222314a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，所以21a =，23b =，所以双曲线C 的标准方程为2213y x -=；【小问2详解】假设存在(),0P n ，设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意知，直线斜率不为0，设直线():20AB x my m =+≠，联立22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得()22311290m y my -++=，则2310m -≠，()()()2221249313610m m m ∆=-⨯-=+>，且1221231m y y m +=--，122931y y m =-，因为使得点F 到直线PA ，PB 的距离相等，所以PF 是APB ∠的角平分线，则0PA PB k k +=，即12120y yx n x n +=--，则()()1221220y my n y my n +-++-=，整理得()()1212220my y n y y +-+=，故()222122903131n mm m m -⨯⨯-=--，即()3220m m n --=，因为0m ≠，所以12n =，此时1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当直线的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，易得1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭也能让点F 到直线PA ，PB 的距离相等；综上所述，故存在1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意21. 已知函数()21e 12ax f x ax x =---．（1）当1a ≥时，证明：对任意的0x ≥，都有()0f x ≥；（2）证明：()()**112ln 1ln 2,nk n n k n k =>+-∈∈∑N N ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】证明()1ax ae a ax ≥+，所以()()()1110ax f x ae ax a ax '=--≥-+≥，求函数()min 0f x ≥即可.根据()23412ln 12ln ln ln ln 123n n n +⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭ 原题可以转化证明111112ln 1ln 2nn n k k k k k ===⎛⎫>+- ⎪⎝⎭∑∑∑，也就是证明211112ke k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭结合第一问可得.【小问1详解】设函数()e 1x g x x =--，()()e 1,0e 10x x g x x g x ''=-≥∴=-≥ ()g x ∴在[)0,∞+上单调递增，()()00e 010g x g ∴≥=--=，即e 1x x ≥+()e 1,e 1ax ax ax a a ax ∴≥+∴≥+又因为()()()()()e 11111axf x a ax a ax ax a ax =--≥+-+=-+'，因为1a ≥，0x ≥所以()()110a ax -+≥，即()0f x '≥在[)0,∞+恒成立，所以()()000010f x f e≥=---=，得证.【小问2详解】()234123412ln 12ln 2ln ln ln ln 123123n n n n n ++⎛⎫⎛⎫+=⋅⋅=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112ln nk k k =+=∑，而1ln 2ln 2n k n ==∑，欲证()()**112ln 1ln 2,nk n n k n k =>+-∈∈∑N N 即证111112ln 1ln 2nn n k k k k k ===⎛⎫>+- ⎪⎝⎭∑∑∑，也就是证对*11N 2ln 1ln 2k k k ⎛⎫∀∈>+- ⎪⎝⎭即可.即证2111ln 12k k ⎡⎤⎛⎫>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即证211112ke k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，观察可知与()f x 有关系，由(1)知1a =时()21e 102x f x x x =---≥对0x ≥恒成立即()2221111e 112222xx x x x x ≥++>++=+，故1x k =得2111e 12kk ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭证毕.（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为54sin ρθρ-=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与y 轴交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点，求2211||||AM AN +的值.【答案】（1）:0l x +=；()22:29C x y +-=（2）1764【解析】【分析】（1）通过直线的参数方程，通过消参得到直线的普通方程；通过cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩将曲线C 化成直角坐标即可.（2）首先求出点A 的坐标，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l 代入曲线C 的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解.【小问1详解】因为直线l的参数方程为2x y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），所以直线l的普通方程为0x +=；已知曲线C 的极坐标方程为54sin ρθρ-=，化简整理得：24sin 50ρρθ--=.即得22450y x y --=+，化简整理得曲线C 的直角坐标方程为()2229x y +-=.【小问2详解】将0x =代入0x =中得()0,1A，将直线的参数方程化为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.将直线代入曲线C的方程中得：221192t ⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，化简整理得：280t t --=.设M ，N 两点对应的参数分别为1t，2t ，得：121t t +=，128t t =-.()()()()()()222222121212222222121221*********AM ANt t t t t t t t t t AMANAMAN ++--⨯-++=====-⋅.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()|31||23|f x x x =+--.（1）求不等式()1f x ≤的解集；（2）若正数a ，b 满足a b ab +=，证明：对任意的x ∈R ，任意的正数37,,()422a b f x a b x ++≥-+∣∣恒成立.【答案】（1）355x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）见解析【解析】【分析】（1）分13x ≤-，1332x -<≤，32x >三种情况取绝对值解不等式.(2) 转化证明()231323782x x a b ⋅+-⋅-≥-+，分别求左边最小值，与右边最大值.【小问1详解】当13x ≤-时310,230x x +≤-<，所以()1f x ≤即()31231x x -----≤⎡⎤⎣⎦，所以153x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭当1332x -<≤时，310,230x x +>-≤，所以()1f x ≤即()31231x x +---≤⎡⎤⎣⎦，所以1335x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭当32x >时，310,230x x +>->，所以()1f x ≤即()31231x x +--≤，所以x ∈∅综上：355x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【小问2详解】37()422f x a b x ++≥-+∣∣即373123422x x a b x +--++≥-+∣∣即2312238237x x a b x ⋅+-⋅-++≥-+∣2∣即()231323782x x a b ⋅+-⋅-≥-+设函数()111,313231323127,323112x g x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=⋅+-⋅-=--<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，当1332x -<≤时1112711x -<-≤综上()11g x ≥-，即23132311x x ⋅+-⋅-≥-而又因为a b ab +=即111a b +=，所以()()11828282101018a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当82a b b a a b ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即323a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时()82a b +有最小值18，所以()78211a b -+≤-所以()23132311782x x a b ⋅+-⋅-≥-≥-+故()231323782x x a b ⋅+-⋅-≥-+成立，所以37()422f x a b x ++≥-+∣∣得证。
河南省新乡市2021届高三第一次模拟考试数学(理科)试题(含答案解析)
河南省新乡市2021届高三第一次模拟考试数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数())1i i z =+，则z =（ ）A ．4B ．C D ．2．已知集合{}2,2,0A a a =-，{}2,a B a b =+，若{}1A B ⋂=-，则b =（ ）A ．－1B ．－2C ．0D ．13．椭圆C ：2221(0)3x y a a +=>的焦点在x 轴上，其离心率为12，则（ ）A ．椭圆CB ．椭圆C 的长轴长为4 C ．椭圆C 的焦距为4D ．4a =4．下方程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6，9，0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A ．0，3B ．3，3C ．0，4D ．3，45．已知a ，b 是两条不重合的直线，β是一个平面且b β⊂，则“a β⊥”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=-，63a a =-，则下列数值中最大的是（ ） A ．416S B ．525S C ．636S D ．749S 7．已知函数()22ln f x x x =-，若()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则m 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)0,18．已知单位圆上第一象限内一点P 沿圆周逆时针旋转4π到点Q ，若点Q 的横坐标为35，则点P 的横坐标为（ ） A．5B．5 CD9．已知各项均为正数且单调递减的等比数列{}n a 满足3a ，432a ，52a 成等差数列．其前n 项和为n S ，且531S =，则（ ）A ．412-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n aB ．32n n a +=C ．51322n n S -=-D ．4216n n S +=-10．已知函数()sin f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>得到．若函数()g x 在()0,π上恰有5个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．3137,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．3137,66⎛⎤⎥⎝⎦ C ．2531,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2531,66⎛⎤⎥⎝⎦11．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，P 是侧面11BCC B 内一动点，HP =CP 的最小值为（ ）A 2B 3C 2D 312．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ．若1F A =，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．32⎫⎪⎭C ．D ．32⎛⎝二、填空题13．已知函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，当(],0x ∈-∞时，()2x f x x m =-+，则()1f =______．14．已知实数x ，y 满足条件20220230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y =+的最大值为______．15．一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点()2,6P 的跳法共有______种．16．伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，30m AB =，BC =，50m CD =，45ABC BCD ∠=∠=︒，要建设一条从点A 到点D 的空中长廊，则AD =______m ．三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 3sin b A B =，222b c a bc +-=．（1）求ABC 外接圆的面积； （2）若BCABC 的周长． 18．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是以AB ，CD 为底边的等腰梯形，且24AB AD ==，60DAB ∠=︒，1AD D D ⊥.（1）证明：1AD BD ⊥.（2）若112D D D B ==，求二面角1A BC B --的正弦值.19．已知曲线C 上每一点到直线l ：32x =-的距离比它到点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离大1．（1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 上存在不同的两点P 和Q 关于直线l ：20x y --=对称，求线段PQ 中点的坐标．20．甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试分别获得甲、乙测试成绩的频率分布直方图．已知甲测试成绩的中位数为75．（1）求x ，y 的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）．（2）某学校参加该项竞赛仅有一个名额，结合平时的训练成绩甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：答题过程中，若答对则继续答题，若答错则换对方答题例如，若甲首先答题，则他答第1题，若答对继续答第2题如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙开始答题，……，直到乙答错再换成甲答题依次类推两人共计答完21道题时答题结束，答对题目数量多者胜出．已知甲、乙两人答对其中每道题的概率都是35，假设由以往20次的测试成绩平均分高的同学在选拔比赛中最先开始作答，且记第n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为()121n P n ≤≤，其中11P =①求2P ，3P ；②求证12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求()121n P n ≤≤的表达式．21．已知函数()ln()e a f x x ax -=-（a ∈R ，且0a ≠，e 为自然对数的底）． （1）求函数()f x 的单调区间． （2）若函数ln ()()e a g x f x =+在()0,∞+有零点，证明：1211e ea a +>+． 22．数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线C ：sin 3ρθ=（ρ∈R ，[)0,2θ∈π）被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．（1）求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标； （2）射线1l ，2l 的极坐标方程分别为0θθ=，02πθθ=+（[)00,2θπ∈，0ρ>），1l ，2l 分别交曲线C 于点M ，N 两点，求2211OMON+的最小值．23．已知函数()5f x x a =+-． （1）证明()5f x x a ≤+-；（2）已知0a >，若不等式()210f x x +-<的解集为(),m n ，且43n m -=，求a 的值．参考答案1．B 【分析】先计算出z ，即可求出z . 【详解】由已知，(1i)11)i z =++，所以||z ===故选：B. 2．B 【分析】由交集结果可得1a =-或221a -=-，结合集合中元素的关系可求出1a =，结合指数函数的值域从而可求出2b =-. 【详解】因为{}1A B ⋂=-，所以1A -∈，1B -∈．又1a =-或221a -=-，且220a a ≠-≠，得1a =．因为20a >，所以1a b +=-，即2b =-． 故选:B 3．B 【分析】由离心率可求出2a =，结合椭圆的性质可求出椭圆的短轴长，长轴长，焦距. 【详解】由椭圆的性质可知，椭圆C 的短轴长为12e ==，则24a =， 即2a =，2231c a =-=，所以椭圆C 的长轴长24a =，椭圆C 的焦距22c =， 故选：B ． 4．B 【分析】根据给定的程序框图，逐次计算，即可求解. 【详解】由题意，执行给定的程序框图，可得： 第1次循环：1i =，3b =； 第2次循环：2i =，3a =；第3次循环：3i =，3a =，结束循环，输出3a =，3i =. 故选：B ． 5．A 【分析】由线面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可. 【详解】充分性：因为a β⊥，b β⊂，由线面垂直的性质可得a b ⊥，故充分性成立；必要性：若a b ⊥，b β⊂，则直线a 与平面β可能相交、平行或在平面内，故必要性不成立.所以“a β⊥”是“a b ⊥”的充分不必要条件． 故选：A. 6．D 【分析】根据题意求出数列的首项和公差，再求出n S ，可得出2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递增数列，即可判断. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，3518a S +=-，63a a =-，()111154+2+5+182+5+2a d a d a d a d ⨯⎧=-⎪∴⎨⎪=-⎩，解得17a =-，2d =， ()217282n n n S n n n -=-+⨯=-，281n S n n ∴=-，可得2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递增数列， 所以在416S ，525S ，536S ，749S 中，最大的为749S ．故选：D. 7．A 【分析】利用导数求出函数()f x 的单调递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，进而可得出()12,1,2m m ⎛⎫+⊆+∞ ⎪⎝⎭，可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】因为()22ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，()14f x x x'=-， 由()0f x '>，得140x x ->，解得12x >，所以()f x 的递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．由于()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则()12,1,2m m ⎛⎫+⊆+∞⎪⎝⎭， 所以12122m mm +>⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114m ≤<. 因此，实数m 的取值范围是1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用函数()f x 在区间D 上单调递增求参数，可转化为以下两种类型： （1）区间D 为函数()f x 单调递增区间的子集； （2）对任意的x D ∈，()0f x '≥恒成立. 同时也要注意区间左端点和右端点值的大小关系. 8．C 【分析】先根据单位圆及点Q 的横坐标确定出点Q 的纵坐标，根据任意角三角函数的定义可求得cos xOQ ∠及sin xOQ ∠，设点P 的横坐标为t ，则cos cos 4t xOP xOQ π⎛⎫=∠=∠- ⎪⎝⎭，利用余弦的差角公式求解即可. 【详解】由单位圆上第一象限内一点P 沿圆周逆时针旋转4π到点Q ，点Q 的横坐标为35，可知点Q 的纵坐标为45．则3cos 5xOQ ∠=-，4sin 5xOQ ∠=， 设点P 的横坐标为t ，又4xOP xOQ π∠=∠-，所以cos cos cos cos sin sin 444t xOP xOQ xOQ xOQ πππ⎛⎫=∠=∠-=∠⋅+∠⋅ ⎪⎝⎭34525210=-⨯+⨯=． 故选：C. 【点睛】本题考查任意角三角函数的定义及余弦的差角公式的运用，解答时注意以下几点： （1）一般地，当已知角α终边上一点(),P x y 时，则sin α=cos α=tan yxα=； （2）注意()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅，计算时，要注意根据角α与β的范围确定其三角函数值的正负. 9．C 【分析】先根据3a ，432a ，52a 成等差数列以及n a 单调递减，求出公比q ，再由531S =即可求出1a ，再根据等比数列通项公式以及前n 项和公式即可求出. 【详解】 解：由3a ，432a ，52a 成等差数列， 得：43532a a a =+，设{}n a 的公比为q ，则22310q q -+=， 解得：12q =或1q =， 又n a 单调递减，12q ∴=， 155********a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==-，解得：116a =，∴数列{}n a 的通项公式为：15111622n n n a --⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5116121321212n n n S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴==--.故选：C ． 10．D 【分析】由图象的变换得()sin 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由已知零点可得456ππωππ<-≤，进而可求出456ππωππ<-≤.【详解】将函数()sin f x x =的图象向右平移6π个单位长度，得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， 再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>，得到()sin 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象．若函数()g x 在(0,)π上恰有5个零点，则,666x πππωωπ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以456ππωππ<-≤，得253166ω<≤． 故ω的取值范围是2531,66⎛⎤⎥⎝⎦． 故选:D. 11．A 【分析】作1HG BB ⊥交1BB 于点G ，可得出点P 的轨迹是以G 为圆心，2为半径的圆弧，即可求出. 【详解】如图，作1HG BB ⊥交1BB 于点G ，则可得HG ⊥平面11BCC B ，GP ⊂平面11BCC B ，HG GP ∴⊥，则3HG =，因为HP =2GP =，所以点P 的轨迹是以G 为圆心，2为半径的圆弧，所以CP 的最小值为22CG -=． 故选：A.【点睛】关键点睛：判断出点P 的轨迹是以G 为圆心，2为半径的圆弧是解题的关键. 12．B 【分析】根据题中的条件求出OA a =，根据三角形两边之和大于第三边得到312e <<，再根据22OAF π∠>，得到e >.【详解】解：如图所示：1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，延长2F A 交1PF 于点Q ，PA 是12F PF ∠的角平分线，2PQ PF ∴=，又点P 在双曲线上，122PF PF a ∴-=，112PF PQ QF a -==，又O 是的12F F 中点，A 是2F Q 的中点，OA ∴是12F F Q △的中位线，122QF a OA ∴==，即OA a =，在1FOA △中，OA a =，1F A =，1OF c =，由三角形两边之和大于第三边得：a c +>，两边平方得：()225a c b +>， 即()222225a c ac c a ++>-，两边同除以2a 并化简得：2230e e --<， 解得：312e -<<， 又1e >，312e ∴<<，在1FOA △中，由余弦定理可知，22222111112cos 2AF FO AO AF AF FO O +-∠==⋅， 在12F AF中，22211221112cos 2AF F F AF AF AF F F O +-==∠⋅222=又222b c a =-，解得：222273AF a c =-，又22OAF π∠>，2222OA AF OC ∴+<,即222273a a c c +-<，∴e >综上所述：32e ⎫∈⎪⎭.故选：B. 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 13．12【分析】先利用函数()f x 是R 上的奇函数，求出m 的值，进而得到(],0x ∈-∞的解析式，求出(1)f -，再利用奇偶性即可得出结果.【详解】因为()f x 为奇函数， 所以()010f m =-+=， 则1m =，则()21x f x x =-+， 所以11(1)1212f --=--+=-， 1(1)(1)2f f =--=． 故答案为：12. 14．225【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定出目标函数的最优解，代入即可求解. 【详解】作出不等式组20220230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩表示的可行域，如图所示，目标函数22z x y =+，可化为直线2z y x =-+， 当直线2z y x =-+过点A 时，直线2z y x =-+在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由220230x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得74,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，代入可得目标函数的最大值为max742222555z =⨯+⨯=. 故答案为：225.【点睛】根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如z ax by =+ .求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+ 转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+ ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值； （2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解； （3）斜率型：形如y bz x a-=-，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解． 15．1200 【分析】要使质点从原点出发10末到达点()2,6P ，则可能是向上跳6次，向右跳3次，向左跳1次，或者向上跳7次，向下跳1次，向右跳2次，然后利用组合数进行计算. 【详解】 分两类情况讨论：第一类，向上跳6次，向右跳3次，向左跳1次，有63104C C 840=种； 第二类，向上跳7次，向下跳1次，向右跳2次，有71103C C 360=种， 根据分类计数原理得，共有8403601200+=种方法． 故答案为：1200.16．【分析】根据题中条件，先得到//AB CD ，ADAB BC CD ，利用向量数量积的运算法则，计算2AD ，即可求出结果.【详解】由题可知45ABC BCD ∠=∠=︒，所以//AB CD ， 由ADAB BC CD 可得，2222222AD AB BC CD AB BC AB CD BC CD =+++⋅+⋅+⋅，又cos1351200AB BC AB BC ⋅==-︒，cos01500AB CD AB CD ⋅=︒=，cos1352000BC CD BC CD ⋅==-︒，所以2900320025002400300040003200AD =++-+-=，则40AD =．故答案为：. 17．（1）3π；（2）9. 【分析】(1)由正弦定理可求出3a =，结合余弦定理可求出3A π=，进而可求出三角形外接圆的半径，从而可求出外接圆的面积. (2) 设BC 的中点为D ，则AD =，结合向量加法可得2227c b bc ++=，结合余弦定理可求出3b =，3c =. 【详解】解：（1）因为sin 3sin b A B =，又sin sin a bA B=，即sin sin b A a B=，所以3a =， 由2221cos 22b c a A bc --==，得3A π=，设ABC 外接圆的半径为R则12sin aR A=⋅==ABC 外接圆的面积为3π．（2）设BC 的中点为D ，则2AD =．因为()12AD AB AC =+， 所以()()222221127||2444AD AB AC AB AC c b bc =++⋅=++=， 即2227c b bc ++=，又222b c a bc +-=，3a =，则22918bc b c =⎧⎨+=⎩， 整理得()2290b -=，解得3b =或3-（舍去），则3c =．所以ABC 的周长为9．【点睛】 关键点睛：本题第二问的关键是结合向量加法运算，用向量,AB AC 表示中线所在的向量.18．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）在ABD △中，利用勾股定理，证得AD BD ⊥，因为1AD D D ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得AD ⊥平面1D DB ，进而证得1AD BD ⊥；（2）取BD 的中点O ，由（1）得到1D O ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以OB ，OC ，1OD 的方向为x ，y ，z 的正方向建立空间直角坐标系，分别求得平面1B BC 和平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）在ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，由余弦定理得BD ==则222AD BD AB +=，可得AD BD ⊥，因为1AD D D ⊥，且1BD D D D ⋂=，故AD ⊥平面1D DB ， 又由1BD ⊂平面1D DB ，所以1AD BD ⊥.（2）取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD ⊥， 由（1）可知平面1D DB ⊥平面ABCD ，故1D O ⊥平面ABCD . 由等腰梯形知识可得DC CB =，则CO BD ⊥，所以11D O ===，以O 为原点，分别以OB ，OC ，1OD 的方向为x ，y ，z 的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则()2,0A -，)B，()0,1,0C，()D ，()10,0,1D ，则()2AB =，()113,0,1BB DD==，()BC =-，设平面1B BC 的法向量为(),,n x y z =，则100n BB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得0z y +=+=⎪⎩，令1x =，则y =z =(1,3,n =. 又由()0,0,1m =是平面ABC 的一个法向量，所以3cos ,7m n m n m n⋅===⨯，所以二面角1A BC B --7=【点睛】利用法向量求解二面角的大小时应用注意：1、对于某写平面的法向量要注意题中有时隐含着，不用单独求解；2、利用法向量求解二面角的大小时，注意二面角时锐角还是钝角由图形决定，以防结论失误，这是利用向量求解二面角的难点、易错点； 19．（1）22y x =；（2）()1,1-. 【分析】(1)由题意结合抛物线的定义可得轨迹方程.(2) 设()11,P x y ，()22,Q x y ，线段PQ 的中点M 的坐标为()00,x y ，由对称可求出直线PQ的斜率，则可设y x b =-+，与抛物线方程进行联立，结合韦达定理即可求出01y =-，结合()00,M x y 在直线l 上即可求出横坐标. 【详解】解：（1）由题意可知，曲线C 上每一点到直线12x =-的距离等于该点到点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，所以曲线C 是顶点在原点，x 轴为对称轴，1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点的抛物线， 所以曲线C 的轨迹方程为22y x =．（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，线段PQ 的中点M 的坐标为()00,x y ．因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，则直线PQ 的斜率为1-．设其方程为y x b =-+，由22y x by x=-+⎧⎨=⎩，消去x ，整理得2220y y b +-=．由题意，12y y ≠，从而441(2)840b b ∆=-⨯⨯-=+>①，所以122y y +=-， 所以12012y y y +==-．又()00,M x y 在直线l 上，所以01x =，则点M 坐标为()1,1-，此时0b =，满足①式．故线段PQ 的中点M 的坐标()1,1-． 【点睛】 关键点睛：本题第二问的关键是将点关于直线对称转化为点的连线被直线垂直平分，求出过两点直线的斜率，设出方程后和抛物线联立，由韦达定理和线段中点在已知直线上即可求出中点的坐标. 20．（1）0.025x =．0.02y =，甲74.5，乙73.5；（2）①235P =，31325P =；②证明见解析，()111121225n n P n -=+≤≤⨯. 【分析】 （1）由甲的成绩的频率分布直方图可得，在75左右两边的概率分布为0.5，即小矩形的面积之和分布为0.5，从而可求得答案.由求平均数的个数可得到甲、乙的平均数（2）①由（1）可知甲最先答题，则235P =，则第三次由甲答题分为前2次都答对，或甲第一次答错，第二次乙答错，第三次甲答题,可得3P .②由题意可得()()1113212125555n n n n P P P P n ---=⨯+-⨯=+≥，可得1111252n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而可证12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭，然后可求出n P . 【详解】解：（1）∵甲测试成绩的中位数为75，∴0.0110100.04(7570)0.5y ⨯+⨯+⨯-=，解得0.02y =．∴0.0110100.0410100.005101y x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.025x =．同学甲的平均分为550.0110650.0210750.0410850.02510950.0051074.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 同学乙的平均分为550.01510650.02510750.0310850.0210950.011073.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． （2）由（1）可知甲的平均分大于乙的平均分，则甲最先答题．①依题意知11P =，235P =，3332213555525P =⨯+⨯=， ②依题意知第n 次由甲答题，则若第1n -次甲答题且答对，则第n 次甲答题；若第1n -次乙答题且答错，则第n 次甲答题. 所以()()1113212125555n n n n P P P P n ---=⨯+-⨯=+≥． ∴1111252n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()2n ≥．又11122P -=，∴12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，15为比的等比数列， ∴1111225n n P -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，∴()111121225n n P n -=+≤≤⨯． 【点睛】 关键点睛：本题考查根据频率分布直方图求参数和平均数，数列与概率的应用，解答本题的关键是得到递推公式()1132155n n n P P P --=⨯+-⨯，进一步得到1111252n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，属于中档题.21．（1）当0a >时，增区间为1,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为10,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．当0a <时，增区间为1,e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减区间为1,0e a ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求导'()ln()1ln(e )f x ax a x =+=，分0a >和0a <两种情况分别讨论导函数取得正负的区间，从而得出函数的单调区间；（2）由（1）先得出函数()g x 的单调性，由此求得函数()g x 的最值，从而将函数()g x 有正零点问题转化为ln 1e 0e ea a a --+≥，再由函数()e 1x h x x =--的单调性，分析得当0a >时，e 1a a >+，换元可得证．【详解】（1）解：由()ln()e a f x x ax -=-，知'()ln()1ln(e )f x ax a x =+=．①当0a >时，定义域为()0,∞+，由()'0f x >，得1e x a >，由()'0f x <，得10ex a <<． ②当0a <时，定义域为(,0)-∞，由()'0f x >，得1e x a <，由()'0f x <，得10e x a <<． 综上，当0a >时，增区间为1,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为10,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．当0a <时，增区间为1,e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减区间为1,0e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）证明：因为ln ()ln()e ea a g x x ax -=+-有正零点，所以0a >， 由（1）知()g x 在10,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 所以min 11ln ()e 0e e e a a g x g a a -⎛⎫==-+-≤ ⎪⎝⎭，即ln 1e 0e e a a a --+≥． 对于函数()e 1x h x x =--，有()e 1x h x '=-，()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，故()()00h x h ≥=，即不等式e 1x x ≥+恒成立，当且仅当0x =时，取等号． 故当0a >时，e 1a a >+，即1e 1a a -<+． 在不等式e 1x x ≥+中，取1ln x a =，可得1ln 1a a ≥-+，即11ln a a-≥-，从而11ln e e e a a -≥-，所以1111ln 1e 01e e e e e a a a a a a -+-+>-+≥+，即1211ea ea +>+． 【点睛】方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.22．（1）1,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，51,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2C π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）4. 【分析】（1）将单位圆与三叶玫瑰线联立sin 31ρθρ=⎧⎨=⎩，解得sin 31θ=，求得θ的值，进而求得单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；（2）代入极坐标方程，求得点,M N 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，得到22,OM ON ，即可求得2211||||OM ON +的最小值. 【详解】（1）将单位圆与三叶玫瑰线联立sin 31ρθρ=⎧⎨=⎩，解得sin 31θ=， 所以32()2k k πθπ=+∈Z ，2()63k k ππθ=+∈Z ， 因为[)0,2θ∈π，取k =0，1，2，得6πθ=，56π，32π， 从而得到单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标为1,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，51,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2C π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）将0θθ=，02πθθ=+代入C ：[)()sin 3,0,2R ρθρθπ=∈∈， 点M ，N 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，所以10sin3ρθ=，20cos3ρθ=-，即220sin 3OM θ=，220cos 3ON θ=， 2222001111||||sin 3cos 3OM ON θθ+=+ ()2222000022220000sin 3cos 311sin 3cos 324sin 3cos 3cos 3sin 3θθθθθθθθ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭ 当且仅当20tan 31θ=时，取得最小值4．23．（1）证明见解析；（2）3a =.【分析】（1）由()|5||||5|5f x x a x a x a -+-=+-+--，利用绝对值的几何意义知即可证明()5f x x a ≤+-；（2）将原函数不等式转化为||2|1|5x a x ++-<，令()21g x x a x =++-，即()5g x <的解集为(),m n ，结合分段函数的性质有1n >且(1)5,()()5g g m g n <==，讨论边界值()g a -与5的大小关系，从而确定m 的所在区间，结合43n m -=即可求a 值．【详解】（1）证明：()|5||||5|5f x x a x a x a -+-=+-+--．由绝对值三角不等式知：|||5||()(5)|5x a x a x a x a +-+-≤+-+-=，∴()|5|550f x x a -+-≤-=，即()5f x x a ≤+-得证.（2）解：()2|1|0f x x +-<，则||2|1|5x a x ++-<， 令32,()212,132,1x a x a g x x a x x a a x x a x -+-≤-⎧⎪=++-=-++-<<⎨⎪+-≥⎩，min ()(1)15()325g x g a g n n a ==+<⎧⎨=+-=⎩，则0473a a n <<⎧⎪-⎨=⎪⎩，而()1g 左侧有： ①当()225g a a -=+≥时，有1a m -<<，所以()25g m m a =-++=，得3m a =-，即34274333a a a ⎧≤<⎪⎪⎨-⎪-+=⎪⎩，得3a =． ②当()225g a a -=+<时，有m a <-，所以()325g m m a =-+-=，得33a m --=，即302731043333a a a ⎧<<⎪⎪⎨---⎪-=≠⎪⎩，故此时a 无解． 综上，3a =．【点睛】关键点点睛：（1）将被证不等式转化为|||5|5x a x a +-+-≤，利用||||||a b a b -≤-即可证不等式；（2）令()21g x x a x =++-，则原不等式等价于()5g x <且(),m n 为解集，根据分段函数的性质有(1)5()()51gg m g nn<⎧⎪==⎨⎪>⎩，讨论()g a-与5的大小确定m的所在区间，求参数值.。
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4
，
∴
x
y
1 x
1 y
4
(C24 x2 y2 ) (C24
的展开式中的常数项为
1 x2 y2
)
36
.
故选：A.
【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进 行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.
9.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图 1 所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱
根据| PM | | PN | 的最小值，得到关于 r 的方程，进而求得答案.
【详解】因为 C(3,0) ， D(3, 0) 恰好为椭圆的两个焦点，
因为| PM || PC | 1,| PN || PD | r ，
所以| PM | | PN || PC | | PD | 1 r 2a 1 r .
率为（ ）
15 A. 3
【答案】B
4 15 B. 15
16 C. 15
2 15 D. 5
【解析】
【分析】 由点到直线的距离公式求得 a 的值，再由离心率公式求得离心率.
y2 x2 1(a 0) 1
【详解】双曲线
a2
的一个顶点为 (0,1) ，一条渐近线为 y ax 0 ，
1 1 点 (0,1) 到直线 y ax 0 的距离为 1 a2 4 ，
故选 D.
【点睛】本题利用茎叶图呈现数据，考查数据处理能力，考查样本的数据特征，属于容易题.
4.函数 f (x) 6x 72 的零点 x0 所在区间为（ ）
A. (2,3)
B. (1, 2)
C. (4,5)
D. (3, 4)
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性，再利用零点存在定理得到零点所在的区间.
河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）
1 3i i(a 1 ai)
1.若 1 2i 与
2 的虚部互为相反数，则实数 a 的值为（ ）
A. 2
B. 2
C. 1
D. 1
【答案】D
【解析】
b2 c2 ，则 C 的取值范围为（ ）
(0, ) A. 4
(,) B. 6 2
(,) C. 6 3
(,) D. 6 4
【答案】D 【解析】 【分析】
利用面积公式、诱导公式、正弦定理将等式等价于 sin(B C) sin C ，从而得到 B, C 的关
系，再根据三角形为锐角三角形，三个内角都是大于 0 小于 2 ，即可得到答案.
3
sin
x
化为
sin
x
f
3
sin
3
，即
h(
x)
h
3
，则
3
x 2
.
h(x)
又
f (x) sin x
是定义在
2
,
0
0,
2
上的偶函数，
∴
h(x)
在
2
,
0
上单调递增，且
h
3
h
3
.
当
x
2
,
0
时，
sin
x
0
，将
f (x)
23 3
f
3
sin
x
化为
因为 a2 100 ，得 a 10 ，
所以 20 1 r 17 ，则 r = 2 .
故选：B.
【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注 意利用不等式结合最值进行运算求值.
11.在锐角 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ， ABC 的面积为 S ，若 sin( A C) 2S
【详解】 S 1 ， n 2 ；
S 1 1 3 ，n 3；
依此类推
S
1
1 3
1 5
1 7
1 9
1 2019
，
n
1011 ，
故判断框中可填入“ n 1010? ”.
故选：A.
【点睛】本题考查程序框图的阅读，求解的关键是抓住求和的规律，考查特殊到一般的思想 的运用.
1 7.若双曲线 y2 a2x2 1(a 0) 实轴的顶点到它的渐近线的距离为 4 ，则该双曲线的离心
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
对集合 A ，利用一元二次不等式的解法求得不等式的解集，从而化简集合 A ，再与 B 进行交、
并运算，从而得到答案.
【详解】因为 A {x | 0 x 4} ， B {x | 1 x 2} ， 所以 A B {x | 0 x 2}， A B {x | 1 x 4}.
f (x) f (x) cos x 0
h(x) f (x)
根据不等式的特点
sin x 构造函数
sin x ，再利用导数研究函数的单
调性，进而解不等式.
h(x)
【详解】令
f (x) sin x
，∵
f
(x)
是定义在
2
,
0
0,
2
上的奇函数，
h(x)
∴
f (x) sin x
是定义在
2
,
y2 x2 1 1
所以 a 15 ，所以双曲线的方程为 15 ，
c 4
e 4 4 15
则 15 ，故其离心率为 15 15 .
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的标准方程、渐近线方程、离心率计算，考查方程思想的应用，求
解时注意不能把 a, b 的值弄错.
(x y 1 1 )4
8.
x y 的展开式的常数项为（ ）
因为 sin A 2sin C cos B sin(B C) 2sin C cos B sin(B C) ，
所以 sin(B C) sin C ，
所以 B C C 或 B C C ，得 B 2C 或 B （舍去）.
0 0
C , 2
2C 2
,
因为△ABC 是锐角三角形，所以 0
故答案为：D.
【点睛】本题考查复数的 四则运算，考查对复数概念的理解，考查基本运算求解能力.
A x ( x 1)( x 2) 0 B x 1 x 2
2.设集合
，
，则（ ）
A B x 1 x 2
A.
A B x 0 x 4
B.
A B x 0 x 2
C.
A B x 1 x 2
f (x) sin x
1
上的一个动点，
M
,
N
分别为圆 C
: (x
3)2
y2
1与圆
D : (x 3)2 y2 r2 (0 r 5) 上的动点，若| PM | | PN | 的最小值为17 ，则 r （
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】
【分析】
圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再
故选：C. 【点睛】本题考查一元二次不等式的 求解、集合的交、并运算，考查基本运算求解能力. 3.某地有两个国家 AAAA 级景区—甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区 2019 年 1 月 至 6 月的客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于 2019 年 1 月至 6 月这两个景 区的客流量，下列结论正确的是（ ）
sin( A C)
【详解】因为
2S b2 c2
sin B
，即
2S b2 c2
，
sin
所以
B
ac sin B b2 c2
，因为 sin
B
0
，
所以 b2 c2 ac .由余弦定理 b2 a2 c2 2ac cos B ，可得 a 2c cos B c ，
再由正弦定理得 sin A 2sin C cos B sin C .
【分析】
分别对两个复数进行四则运算化成复数的标准形式，分别得到得复数的虚部，再相加等于 0，从而求得 a 的值.
1 3i (1 3i)(1 2i) 5 5i 1 i
【详解】因为 1 2i
5
5
，所以虚部为 1，
因为
i
a
1 2
ai
1 2
a
ai
，所以虚部为
a
，
所以 a 1 0 ，即 a 1.
【详解】因为 f (x) 6x 72 在 R 上单调递增， f (2) 0 ， f (3) 0 ，
所以 x0 (2, 3) .
故选：A.
【点睛】本题考查零点存在定理的 应用，求解时要先判断函数的单调性，再判断区间端点函 数值的正负.
tan 2 1 tan
(0,
)
(
,
)
5.若
2
，且
4 4 2 ，则
5 sin cos 5 sin cos （
）
A. 0
2 B. 3
3 C. 2
5 D. 4
【答案】B
【解析】 【分析】
利用倍角公式求出 tan 的值，再将目标式子化成关于 tan 的表达式，从而求得式子的值.
tan 2
【详解】因为
2 tan 1 tan2
1 tan 2
tan
5
，
因为
3C
2
, 得6
C
4
.
故选：D.
【点睛】本题考查三角形的面积公式、诱导公式、正弦定理、解不等式等知识的交会，考查 转化与化归思想、函数与方程思想的灵活运用，考查运算求解能力，求解时对三角恒等变形 的能力要求较高.