河南省新乡市高三第一次模拟考试(理科数学)【含解析】

A. 36
B. 36
C. 48
【答案】A
D. 48
【解析】
【分析】
(x
先对多项式进行变行转化成
y)4
1
1 xy
4
，其展开式要出现常数项，只能第
1
个括号出
1 x2 y2 项，第 2 个括号出 x2 y2 项.
【详解】∵
x
y
1 x
1 y
4
x
y
x y xy
4
(x
y)4
1
1 xy
故选 D.
【点睛】本题利用茎叶图呈现数据，考查数据处理能力，考查样本的数据特征，属于容易题.
4.函数 f (x) 6x 72 的零点 x0 所在区间为（ ）
A. (2,3)
B. (1, 2)
C. (4,5)
D. (3, 4)
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性，再利用零点存在定理得到零点所在的区间.
【详解】 S 1 ， n 2 ；
S 1 1 3 ，n 3；
依此类推
S
1
1 3
1 5
1 7
1 9
1 2019
，
n
1011 ，
故判断框中可填入“ n 1010? ”.
故选：A.
【点睛】本题考查程序框图的阅读，求解的关键是抓住求和的规律，考查特殊到一般的思想 的运用.
1 7.若双曲线 y2 a2x2 1(a 0) 实轴的顶点到它的渐近线的距离为 4 ，则该双曲线的离心
2 3
R3
R2h
2 3
R3
S 2
R2
R
3
R3
S 2
R„
4 R3 3，
S R2 0
R2 S „ 5 R2
又 h 0 ，所以 2
，所以
2 3 ，解得
3S „ 10
R
S 2 .
故选 D
【点睛】本题考查了几何体的体积运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
10.
P
x2 为椭圆 100
y2 91
1Baidu Nhomakorabea
上的一个动点，
M
,
N
分别为圆 C
: (x
3)2
y2
1与圆
D : (x 3)2 y2 r2 (0 r 5) 上的动点，若| PM | | PN | 的最小值为17 ，则 r （
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】
【分析】
圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再
A. 甲景区客流量的中位数为 13000 B. 乙景区客流量的中位数为 13000 C. 甲景区客流量的平均值比乙景区客流量的平均值小 D. 甲景区客流量的极差比乙景区客流量的极差大 【答案】D
【解析】
【分析】
对 A，中位数为 12950；对 B，中位数为 12450；对 C，通过茎叶图直观感知甲数据的平均数 大；对 D，分别计算极差进行比较.
【详解】对 A，甲景区客流量的中位数为 12950，故 A 错误；
对 B，乙景区客流量的中位数为 12450，故 B 错误；
对 C，根据茎叶图的数据，可知甲景区客流量的平均值比乙景区客流量的平均值大，故 C 错 误；
对 D，甲景区客流量的极差为 3200，乙景区客流量的极差为 3000，故 D 正确.
f (x) f (x) cos x 0
h(x) f (x)
根据不等式的特点
sin x 构造函数
sin x ，再利用导数研究函数的单
调性，进而解不等式.
h(x)
【详解】令
f (x) sin x
，∵
f
(x)
是定义在
2
,
0
0,
2
上的奇函数，
h(x)
∴
f (x) sin x
是定义在
2
,
的组合体（如图 2）.当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为 S 平方厘米，半 球的半径为 R 厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的 2 倍，则 R 的取值范围
为（ ）
A.
(0， 35 ] 10
[
3S 10
，
S 2
)
[
B.
3S , ) 10
S 3S
C.
(
, 5
] 10
D.
【答案】D
6.求 3 5 7 9
2019 的程序框图，如图所示，则图中判断框中可填入（ ）
A. n 1010?
B. n 1011?
C. n 1012?
D.
n 2019?
【答案】A
【解析】
【分析】
S 1 1 1 1 1 1
阅读程序框图，写出前面几步，再总结规律，得到
3579
2019 时，
n 1011，从而推断判断框应填的条件.
故答案为：D.
【点睛】本题考查复数的 四则运算，考查对复数概念的理解，考查基本运算求解能力.
A x ( x 1)( x 2) 0 B x 1 x 2
2.设集合
，
，则（ ）
A B x 1 x 2
A.
A B x 0 x 4
B.
A B x 0 x 2
C.
A B x 1 x 2
f
( x)
，当
x (0, ) 2 时，
f (x) f (x) cos x 0 sin x ，则不等式的解集为（ ）
( , 0) (0, )
A. 3
3
(
, 0)
(
,
)
B. 3
32
(
,
)
(
,
)
C. 2 3 3 2
( , ) (0, )
D. 2 3
3
【答案】B 【解析】 【分析】
【解析】 【分析】
设圆柱的高度与半球的半径分别为 h, R ，计算容积得到V
3
R3
S 2
R„
4 R3 3 ，根据高
R2 S „ 5 R2
的关系得到
2 3 ，计算得到答案.
【详解】设圆柱的高度与半球的半径分别为 h, R ，则 S 2 R2 2 Rh ，则
Rh S R2
2
，
V
所以酒杯的容积
sin( A C)
【详解】因为
2S b2 c2
sin B
，即
2S b2 c2
，
sin
所以
B
ac sin B b2 c2
，因为 sin
B
0
，
所以 b2 c2 ac .由余弦定理 b2 a2 c2 2ac cos B ，可得 a 2c cos B c ，
再由正弦定理得 sin A 2sin C cos B sin C .
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
对集合 A ，利用一元二次不等式的解法求得不等式的解集，从而化简集合 A ，再与 B 进行交、
并运算，从而得到答案.
【详解】因为 A {x | 0 x 4} ， B {x | 1 x 2} ， 所以 A B {x | 0 x 2}， A B {x | 1 x 4}.
【分析】
分别对两个复数进行四则运算化成复数的标准形式，分别得到得复数的虚部，再相加等于 0，从而求得 a 的值.
1 3i (1 3i)(1 2i) 5 5i 1 i
【详解】因为 1 2i
5
5
，所以虚部为 1，
因为
i
a
1 2
ai
1 2
a
ai
，所以虚部为
a
，
所以 a 1 0 ，即 a 1.
3
sin
x
化为
sin
x
f
3
sin
3
，即
h(
x)
h
3
，则
3
x 2
.
h(x)
又
f (x) sin x
是定义在
2
,
0
0,
2
上的偶函数，
∴
h(x)
在
2
,
0
上单调递增，且
h
3
h
3
.
当
x
2
,
0
时，
sin
x
0
，将
f (x)
23 3
f
3
sin
x
化为
0
0,
2
上的偶函数，
当
x
0,
2
时， sin
x
0 ，由
f
(x)
f
cos x (x)
sin x
0
，得
f
(x) sin x
f
(x) cos x
0，
h(x)
∴
f
( x)
sin x sin 2
f x
(x)
cos
x
0
，则
h(x)
在
0,
2
上单调递减
将
f (x)
23 3
f
f (x)
4
，
∴
x
y
1 x
1 y
4
(C24 x2 y2 ) (C24
的展开式中的常数项为
1 x2 y2
)
36
.
故选：A.
【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进 行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.
9.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图 1 所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱
率为（ ）
15 A. 3
【答案】B
4 15 B. 15
16 C. 15
2 15 D. 5
【解析】
【分析】 由点到直线的距离公式求得 a 的值，再由离心率公式求得离心率.
y2 x2 1(a 0) 1
【详解】双曲线
a2
的一个顶点为 (0,1) ，一条渐近线为 y ax 0 ，
1 1 点 (0,1) 到直线 y ax 0 的距离为 1 a2 4 ，
因为 sin A 2sin C cos B sin(B C) 2sin C cos B sin(B C) ，
所以 sin(B C) sin C ，
所以 B C C 或 B C C ，得 B 2C 或 B （舍去）.
0 0
C , 2
2C 2
,
因为△ABC 是锐角三角形，所以 0
y2 x2 1 1
所以 a 15 ，所以双曲线的方程为 15 ，
c 4
e 4 4 15
则 15 ，故其离心率为 15 15 .
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的标准方程、渐近线方程、离心率计算，考查方程思想的应用，求
解时注意不能把 a, b 的值弄错.
(x y 1 1 )4
8.
x y 的展开式的常数项为（ ）
3C
2
, 得6
C
4
.
故选：D.
【点睛】本题考查三角形的面积公式、诱导公式、正弦定理、解不等式等知识的交会，考查 转化与化归思想、函数与方程思想的灵活运用，考查运算求解能力，求解时对三角恒等变形 的能力要求较高.
12.设
f
(x)
( 是定义在 2
, 0) (0, ) 2
上的奇函数，其导函数为
b2 c2 ，则 C 的取值范围为（ ）
(0, ) A. 4
(,) B. 6 2
(,) C. 6 3
(,) D. 6 4
【答案】D 【解析】 【分析】
利用面积公式、诱导公式、正弦定理将等式等价于 sin(B C) sin C ，从而得到 B, C 的关
系，再根据三角形为锐角三角形，三个内角都是大于 0 小于 2 ，即可得到答案.
河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）
1 3i i(a 1 ai)
1.若 1 2i 与
2 的虚部互为相反数，则实数 a 的值为（ ）
A. 2
B. 2
C. 1
D. 1
【答案】D
【解析】
f (x) sin x
【详解】因为 f (x) 6x 72 在 R 上单调递增， f (2) 0 ， f (3) 0 ，
所以 x0 (2, 3) .
故选：A.
【点睛】本题考查零点存在定理的 应用，求解时要先判断函数的单调性，再判断区间端点函 数值的正负.
tan 2 1 tan
(0,
)
(
,
)
5.若
2
，且
4 4 2 ，则
(0, ) ( 44
, ) 2
，所以
tan
5，
5 sin cos 5 tan 1 2 所以 5 sin cos 5 tan 1 3 .
故选：B. 【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、同角三角函数的基本关系，考查函数与方程 思想的运用，求解时注意利用角的范围判断正切值的符号.
1 1 1 1 1 1
因为 a2 100 ，得 a 10 ，
所以 20 1 r 17 ，则 r = 2 .
故选：B.
【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注 意利用不等式结合最值进行运算求值.
11.在锐角 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ， ABC 的面积为 S ，若 sin( A C) 2S
根据| PM | | PN | 的最小值，得到关于 r 的方程，进而求得答案.
【详解】因为 C(3,0) ， D(3, 0) 恰好为椭圆的两个焦点，
因为| PM || PC | 1,| PN || PD | r ，
所以| PM | | PN || PC | | PD | 1 r 2a 1 r .
5 sin cos 5 sin cos （
）
A. 0
2 B. 3
3 C. 2
5 D. 4
【答案】B
【解析】 【分析】
利用倍角公式求出 tan 的值，再将目标式子化成关于 tan 的表达式，从而求得式子的值.
tan 2
【详解】因为
2 tan 1 tan2
1 tan 2
tan
5
，
因为
故选：C. 【点睛】本题考查一元二次不等式的 求解、集合的交、并运算，考查基本运算求解能力. 3.某地有两个国家 AAAA 级景区—甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区 2019 年 1 月 至 6 月的客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于 2019 年 1 月至 6 月这两个景 区的客流量，下列结论正确的是（ ）