09-2_质心系 南开大学特色大学物理课件力学

v1' v 2'
质心系是零动量参照系 m1v'1m2v'2 0
v'1
m2 m1 m2
u
v'2
m1 m1 m2
u
每个质点相对质心
p'1
m1m2 m1 m2
u
u
的动量分别为：
p'2
m1m2 m1 m2
u
u
15
L系
rC
m1r1 m2r2 ;
m
r1' r1 rC
相对速度间的关系
v1 v1' vC
v2
v2
'
vC
u v12 v1 v2 v1'v2'
v2' v1'u
质心系是零动量参照系
v'1
m2 m1 m2
u
m1v'1m2v'2 0
v'1
v'2
m1 m1 m2
u
m2 m1
v'2
相对质心的动能：
def
m2 (r1 r2 )
m1 m2
m2r12 ;
m1
m2
两个质点 相对质心
r2 '
r2 rC
m1(r2 r1 )
m1 m2
m1r12 m1 m2
;
的角动量
为： LC
LC r1' p1'r2' p2'
m2r12
u
m1r12
(
u)
m1 m2
r12
u
m1 m2
与一u个的位质矢点为的角r12动，量动相量同为
vC' 0
x
L
r1
p1
r2
p2
p1 p2
m1v1 m2 v 2
m1v1'm1vC m2 v 2 ' m2 vC
z' z m1Βιβλιοθήκη Baidu
rC
x'
O
r1 ' rC2 '
m2
y'
y
5
L (r1'rC ) ( p1'm1vC ) (r2'rC ) ( p2'm2vC )
L
（(r1m'1rp11'mr22'r2p)2'）vC
1
§6 质心参照系
6.1 质心系是零动量参照系
考虑由质量分别为m1、m2、… mn 的N个质点
组 矢成 量的 分质 别点 为系r1O，, r每2O 个....质..r点nO相；对其于质任心一相点对O于的O位点置的
定义为：
rCO
mi riO
i
;
m
其中m为质心系的总质量，m mi
mi
riO
Ek内
1 2
m1v'12
1 2
m2 v'22
Ek内
1 2
[
(
m1m22 m1 m2
)2
m2m12 (m1 m2
)2
]u
2
13
Ek内
1 2
[
m1m22 (m1 m2
)2
m2m12 (m1 m2
)2
]u2
Ek内
1 2
m1m2 m1 m2
u2
m1m2 折合质量
m1 m2
Ek内
1 2
u2
m2 v'22
1 2
(m1
m2
)v
2 C
def
Ek内
1 2
m1v'12
1 2
m2
v'22
质点系相对于质心系 的动能叫做内动能。
11
在L系中： Ek Ek内
i
1 2
mi
v
2 C
相对于质心的 内部运动
质心的平动运动
*例如抛一手榴弹，它相对于地面的总能量等
于两部分之和： 相对于质心的内动能（固有动能）。
若取质心为参考点，则有rC ' 0，即重力对质心
的合力矩恒为零。所以不论质心系是否为惯性系， 只受到重力的质点系角动量守恒。
下面的学习中请注意这点。
9
6.4 质点系统相对于实验室参照系(L系)的动能与它相 对于质心参照系(C系)的动能（内动能）之间的关系
以两个质点的系统为例
在 质心L系的中速质度点分m别1、为mv2及1、v其2、vC
mi ri '
i
0代撇
m
C系
vCC
mi viC
i
0
m
vC
'
i
mi vi ' 0 代撇
m
4
6.2 质点系相对于实验室参照系(L系)的角动量与它相 对于质心参照系(C系)的角动量之间的关系
以两个质点的系统为例
在质L心系的中速质度点分m别1、为mv2及1、v其2、vC
在质 心C系的中速质度点分m别1、为mv21及、' v其2、'
第三章 动力学
§6 质心参照系
6.1 质心系是零动量参照系 6.2 质点系相对于 L系 、C系的角动量之间的关系 6.3 相对于一质点系的质心的外力(转) 矩与该 质点系内部角动量的关系。 6.4 质点系统相对于L系、C系的动能间的关系 例1折合质量、例2、例3.24
作业 3-12，3-22，3-24
在 质 心C系的中速质度点分m别1、为mv21及'、v其2'、 x vC' 0
在L系中：
v1 v1' vC
z' z m1
rC
x'
O
r1 ' rC2 '
m2
y'
y
v2 v2' vC
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在L系中：
v1
v1'
vC
v2
v2
'
vC
Ek
1 2
m1v12
1 2
m2
v
2 2
1 2
m1(
v'1
0
rC
rC
dpC
dt
dpC dt
rC F外
MC
dLC dt
角动量 定理在质心系中也成立。 而不论质心系是否为惯性系。
以上证明具有普遍性。
8
*若质点系所受的外力是重力，按质心的定义，
合外 力矩为：
M外 ri mi g
mi ri g rC mg
i
i
上式表明，重力的合力矩与系统的全部 质量集中在质心上所受到的力矩等价。
rCC
mi riC
i
0
m
vCC
mi viC
i
0
m
mi
riO
riC
c
o
rCO
也就是说，所有质点相对于质心的总动量为零，
质心系是零动量参照系。
3
为了方便书写下面作以下符号代换：
L系
rCO
mi riO
i
;
m
rC
mi ri
i
;不代撇
m
C系 rCC
mi riC
i
0
m
rC '
质心平动动能（轨道动能） 。
*一个体系的内能就是指：
内能=质点系各质点 相对于质心的内动能 +质点间相互作用的内势能
*在惯性系中机械能守恒定律的形式在质心系中仍
然成立(质心相对质心的速度为零）。无论质心系 是惯性系还是非惯性系。（证明从略）
所以在质心系中分析问题方便。见刚体力学。12
例1：求两个质点系统相对于质心的动能与
i
外力对质心的转矩
合外力作用在 质心上对 O的转矩
7
M MC rC F外
L LC rC (m1 m2 )vC
M
dL
dt
dL dt
dLC dt
drC dt
(m1 m2 )vC
rC
dpC dt
drC dt
(m1
MC rC
m2
)vC
F外
dLC dt
L LC rC (m1 m2 )vC
6.3 相对于一质点系的质心的外力(转) 矩与该
质点系内部角动量的关系。
以两 个质点的系统为例M
ri
r1
F1
r2
F2
ri 'rC
M r1'F1 r2'F2 rC (F1 F2 )
M MC rC F外
MC ri 'Fi
riC
c
i
每一个位矢
riO
，动量可写为
mi viO：
o
rCO
riO riC rCO (1)
mi viO
mi viC
mi vCO
(2)
2
因在riC为 质、v质 心iC 心 系表相 中示对 质的于 心第质的i个心速质的度点位也相矢恒对恒为于为零质零心vC，CC的即0位rCC矢和0,速所度以。
称为两个质点系 的相对动能
高能粒子与静止靶 上粒子的碰撞，可 用来研究其结构和 相互作用以及反应 机制。
Ek Ek内 EkC
Ek
1 2
u2
1 2 (m1
m2 )vC2
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例2：求两个质点系统相对于质心的动量和角动量
v1 v1' vC v2 v2' vC
u
v12
v1
v2
vC
)2
1 2
m2
(
v'2
vC
)2
1 2
m1v'12
1 2
m2v'22
1 2
(m1
m2 )vC2
(m1v'1
m2
v'2
)
vC
r 'C
m1r '1m2r '2 m1 m2
0
r'C
m1r'1 m2r'2 m1 m2
为零 0
m1r'1m2r'2 0
Ek
1 2
m1v'12
1 2
l2
m2
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直接用质心参照系中两体的角动量：
|
LC初
|
|
r12
v0
|
l
v0
|
LC末
||
r12
u|
l
lC
因为刚体绕任一点 的角速度都相同
C
v0 l
u v0
T
u2
v
2 0
l
l
或者可用质心系中 u初 u末 v0
直接写出向心力的表达式
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作业 3-7，3-17，3-24
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*计算一个氢原子的角动量时必须用电子—质子系统
的折合质量来代替电子质量。
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例3.24质量为m1和m2的两个小球，用长为l、质量和 伸缩量都可忽略不计的细杆联接，置于光滑的水平
桌面上，开始时m2固定不动， m1绕m2作匀速圆周运 动，线速率为v0 ，如果 突然失去约束，求杆中张力？
m1
vo
l1
C
rC
(
p1'
p2
'）
(
p1'
p2
'）
0
质心系是零动量参照系
（m1r1
m2r2 ) vC
rC
(m1
m2 )vC
L LC rC (m1 m2 )vC
质心定义
相对质心的角动量 内部角动量
相对L系的角动量 外部角动量
6
相对于L系的外部角动量，就好象这系统
的全部质量都集中在质心上一样。