最新应力张量的认识(一)
应力张量分量
应力张量分量引言应力张量分量是应力张量在一个特定的坐标系下的分量表示。
应力张量分量的理解对于材料科学和工程领域的应力分析具有重要意义。
在本文中，我们将了解应力张量的定义、表示方式、在不同坐标系下证明应力张量分量的变换规律以及一些应力分析方面的实际应用。
应力张量的定义应力张量是具有三个独立的分量的二阶张量，用于描述固体和液体中的应力状态。
应力可以理解为物体内部的力分布，因此应力张量可以表示为：σ = [σ11 σ12 σ13] [σ21 σ22σ23] [σ31σ32 σ33]其中，σ11、σ22 和σ33 表示沿着 x、y 和 z 轴的压力或拉力，σ12、σ13 和σ23 表示剪应力（或剪切应力）。
应力张量的表示方式为了确定应力张量的分量表示，我们需要选择一个参考坐标系。
在二维情况下，我们通常选择笛卡尔坐标系，其中坐标轴为 x 和 y。
在三维情况下，我们则使用三维笛卡尔坐标系，其中坐标轴为 x、y 和 z。
对于一个在一个给定坐标系下的应力张量，我们可以通过求解六个应力分量来表示它。
为了简化表示，通常使用下面的符号：σxx = σ11 σyy= σ22 σzz = σ33 σxy = σyx = σ12 σxz = σzx = σ13 σyz = σzy = σ23在这种表示方式下，σij 表示在 i 方向上对 j 方向的拉力或剪切力（也可以反过来表示）。
坐标系之间的转化当我们考虑不同的坐标系时，应力张量的表示会发生变化。
考虑两个不同的笛卡尔坐标系（原始坐标系和目标坐标系），它们的坐标轴可以写为以下矩阵的形式：[x'] [a11 a12 a13] [x] [y'] = [a21 a22 a23] [y] [z'] [a31 a32 a33] [z]其中，矩阵中的每个元素表示从目标坐标系中的一个坐标轴到原始坐标系中的相应坐标轴的投影。
为了推导出应力张量在不同坐标系下的表示，我们需要考虑以下事实：应力张量是下面这种形式的：σ = [ σxx σxy σxz] [ σxy σyyσyz] [ σxz σyz σzz]假设我们有一个 $n$ 维张量 $A$，其分量与坐标系之间的变换是 $A_{ij}^{'} = a_{ik} a_{jl} A_{kl}$。
第05讲 应力张量
主应力
1、主应力的求解
旋转坐标轴，使Q点的斜面ABC
正好是主平面(τ=0),则斜面上 全应力S就是正应力σ(σ=S)。
S在三轴上的投影
SSyx
l m
S z n
以l,m,n为未知数的齐次线性 方程组。其解有二。
S S
x y
xl yxm zxn xyl ym zyn
1
2
3
又 l2 m2 n2 1
S1122
S22
2 2
S32
2 3
1
椭球面方程，其主半轴的长度分 别为σ1，σ2，σ3。——称应力椭球 面。它是任意斜面全应力矢量S端 点的轨迹。
应力椭球体
2、应力状态的分类
a）若σ1≠σ2≠σ3≠0——三向应力状态。 b）若σ1≠σ2≠0,σ3=0——二向应力状态。 c）若σ1≠0;σ2=σ3=0——单向应力状态。 d）若σ1≠σ2=σ3——圆柱应力状态（包括单向应力状态）。⊥ σ1 的方向均为主方向。 e）若σ1=σ2=σ3——球应力（静水应力）状态。τ≡0,各方向均 为主方向。
3阶张量
张量的概念
2、张量的概念
标量：一个数，当坐标变换时，(xi)= ’(xi’)，即不依赖 于坐标，则定义为标量——零阶张量。
矢量：三个数的集合，当坐标变换时，根据式ai’=Mi’iai,由 a1,a2,a3变为a1’,a2’,a3’，则此三个分量定义为矢量——一阶
张量。
张量：32个数的集合，当坐标变换时，根据式Ti’j’=Mi’i Mj’jTij,由Tij变为Ti’j’，则此九个分量定义为二阶张量——简
1 9 2 3 3 3 3 3
应力张量和应变张量的关系
应力张量和应变张量的关系在物理和工程的世界里，有两个小伙伴总是形影不离，那就是应力张量和应变张量。
就像老鼠和米饭，或者说是鱼和水，这俩家伙其实是相辅相成的，缺一不可。
今天咱们就来聊聊这两位的关系，顺便让这话题变得轻松有趣，让大家听了觉得“这还真有意思！”1. 应力张量——你能忍受多少压力？1.1 什么是应力张量？应力张量嘛，可以简单理解为“压力的图谱”。
想象一下，你在参加一场拔河比赛，另一边的人使劲拉，你的手臂就会感受到拉力。
这个拉力就是应力。
如果我们把这个感觉用一个数学对象来表示，那就是应力张量。
它可以告诉我们在一个物体内部，各个方向上受到了多大的压力。
1.2 应力的分类应力可不是单一的，它分成好几种，像是“拉应力”、“压应力”和“剪应力”。
拉应力就像你拉一根橡皮筋，越拉越长；压应力则像是在面团上用力按，面团就变扁了。
至于剪应力嘛，想象一下你在切水果，刀子刮过的地方就是受到剪应力的地方。
通过这些应力，我们就能感受到物体内部的变化和状态。
2. 应变张量——变形的小精灵2.1 应变张量的概念说到应变张量，它就像是应力张量的反应者，专门负责记录物体是如何变形的。
用个简单的比喻来说，假如应力是拉面师傅的力量，那么应变就是拉出来的面条。
面条在拉伸的过程中，变长了，变细了，这就是应变在作怪。
2.2 应变的种类应变同样有多种形式，比如“拉伸应变”、“压缩应变”和“剪切应变”。
拉伸应变就像你把橡皮筋拉得细细的，压缩应变就像把一个泡沫压扁，而剪切应变就像你用力划过一块巧克力，让它变得不平整。
这些变形的形式让我们对材料的性能有了更深的理解。
3. 应力与应变——亲密无间的关系3.1 他们是好朋友说到应力和应变的关系，其实就是一个因果关系。
就像是“打虎亲兄弟，上阵父子兵”，应力会导致应变的发生。
你想啊，当一个物体受到外力作用时，它肯定会有所反应，这个反应就是应变。
这就像你被朋友拉着走，脚步肯定要跟着他的节奏走，这样才能保持平衡。
应力张量如何求主应力
应力张量如何求主应力摘要：一、应力张量的概念1.应力张量的定义2.应力张量的性质二、主应力的概念1.主应力的定义2.主应力在应力分析中的重要性三、求主应力的方法1.应力分量的正交性2.主应力的计算公式3.实例解析正文：一、应力张量的概念应力张量是一个向量场，用于描述物体内部受到的力分布情况。
在三维空间中，应力张量是一个对称的、正定的、二阶张量。
它可以表示为六个分量，分别是σx, σy, σz, τxy, τyz, τxz。
其中，σx, σy, σz 分别表示x、y、z 方向的应力，τxy, τyz, τxz 分别表示剪应力。
二、主应力的概念主应力是指应力张量中的最大和最小正应力。
在应力分析中，主应力是描述物体内部受力状况的重要指标。
主应力的大小关系直接影响到物体的强度、稳定性以及疲劳寿命等方面。
三、求主应力的方法1.应力分量的正交性应力分量之间具有正交性，即σx, σy, σz 和τxy, τyz, τxz 之间相互正交。
这意味着，我们可以通过正交变换将应力张量变换为一个对角矩阵，其中对角线上的元素就是主应力。
2.主应力的计算公式假设应力张量为σ，可以通过以下公式计算主应力：主应力σ1 = σxx + σyy + σzz主应力σ2 = σxx + σyy - σzz主应力σ3 = σxx - σyy - σzz3.实例解析假设有一个长方体，其六个面的应力分布如下：σxx = 100 Paσyy = 200 Paσzz = 150 Paτxy = 50 Paτyz = 0 Paτxz = 0 Pa根据上述公式，我们可以计算出主应力：σ1 = 100 + 200 + 150 = 450 Paσ2 = 100 + 200 - 150 = 150 Paσ3 = 100 - 200 - 150 = -250 Pa由于主应力σ3 为负值，表示在该方向上物体受到的力是拉力，可能导致物体的变形或破坏。
弹性力学-第三章 应力张量 应变张量-1
上述方程为
的齐次线性方程组， 且常数项都为
零。因为：
，故
不能同时为零，
所以方程组的系数行列式应为零，即
将行列式展开，得到求解主应力 的三次方程，称为 应力张量 的特征方程。
式中
设特征方程的三个根为 展开后有
比较上两式，有
，则 （特征方程）
对一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向是确定的，
球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产生各向 相同的线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状 不变。
应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，是正应力 之和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变 而形状改变。
静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到 很大值，材料也不产生塑性变形。 故：应力球形张量不产生材料的塑性变形； 应力偏量是产生塑性变形的真正原因。
对应于经过主轴之一，而平分其他两主轴夹角（与主平面成45°）的 平面，
设
，最大剪应力为：
（2）两主应力相等，设 由第二式，得
方程的解为
表示通过oz轴的平面，该组平面上，剪应力为零。
表示任一个与圆锥面相切的微分面。在该组 面上剪应力取最大值。
（3）三个主应力相等
空间任一方向都为主方向，即任一平面都是主平面， 剪应力均为零。
应力偏量也是一种应力状态，同样存在着不变量。
用
表示。
式中：
问：是否存在一特定的斜截面，其上应力矢量T与截 面法线同向。即T为该截面上的正应力 ，
而剪应力为零。
设斜截面法线方向余弦为： 应力矢量T在坐标轴上的投影为：
由斜面应力(Cauchy)公式
故 或 将上式展开
当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应 力，没有剪应力，称该平面为主平面；主平面上的正 应力称为主应力；主应力方向（即主平面法线方向） 称为主方向。
1张量及应力应变概念 同济大学弹塑性力学
E
2 1
zx
G zx
2 G zx
采用张量，则物理方程可表示：
ij 2Gij kkij
(1-3)
i和j为自由指标，表示轮流取该指标范围内的任何值，关系
式将始终成立，式中σij和εij分别表示9个应力和应变分量：
11 x,22 y,33 z 12 xy,23 yz ,31 zx 21 yx,32 zy,13 xz
注意： aibj 表示9个数，而 aibi则只是一个数。
自由指标和哑标举例：
3
aibi aibi a1b1a2b2a3b3 i1
3
aijbj aijbj ai1b1ai2b2ai3b3 j1
33
aijbicj aijbicj a11b1c1a12b1c2a13b1c3 i1j1
a21b2c1a22b2c2a33b2c3a31b3c1a32b3c2a33b3c3
11 x,22 y ,33 z 12 xy ,23 yz ,31 zx 21 yx,32 zy ,13 xz
k为哑标， k k1 12 23 3xyz
δij为克罗内克(Kronecher)符号：δij =1(i=j)， δij =0(i≠j)，根据 场论，δij可以表示两个基矢的点积：δij =ei·ej
3
ai2i ai2i a121a222a323 j1
ii 23
2
ii
(
11
22
33)2
i1
33
ij ij
ij ij 1111 1212 1313
i1j1
2121 2222 2323 3131 3232 3333
i j 的应用与计算示例如下：
u y y
z
应力球张量和应力偏张量
应力球张量和应力偏张量好，咱们今天聊聊一个听起来有点复杂，但其实不难懂的话题——应力球张量和应力偏张量。
哎，别被这名字吓到了，听我慢慢说。
应力球张量就像一位乐于助人的小伙伴，随时准备把各种方向上的应力都一一列出来。
你想象一下，拿个大球，把所有的力量都放进去，每个点都有不同的压力。
这就是应力球张量的魅力所在！你可能在想，为什么要把它称作“球”？这就像一个运动员在球场上，可以在任何方向发力，不受限制，活力四射。
就像你心里想着的那个完美的泡泡，随时准备在空气中飞舞，轻盈而自由。
每个面都在经历着不同的应力，这个球就是在描述这些力量如何在三维空间中变化。
然后咱们再来说说应力偏张量，这可是个小小的调皮鬼。
它是从应力球张量中“分家”出来的，专门聚焦在那些剪切应力和正应力上。
想象一下，两个朋友在吵架，一个总是想要控制局面，另一个则偏偏不买账。
这种拉扯就像是应力偏张量中的剪切应力，恨不得把局面撕成两半。
应力偏张量把那种想要“控制”一切的正应力和“抵抗”一切的剪切应力分开来，单独看看。
它就像是一个专注的摄影师，只拍那些微妙的细节，让我们一眼就看出来这些力是怎么作用的。
哎呀，这也就是它为什么叫偏张量了，感觉有点不走寻常路的意思。
应力球张量和应力偏张量其实就像一对好基友，一个广泛，一个专注。
你可以把它们想象成两个看似不同却默契十足的组合，像二人转一样，动静结合，毫无违和感。
没错，理解它们的关系，就像是看懂了一场精彩的表演。
每个张量都有自己的角色，恰到好处地展现出材料在受力状态下的种种表现。
就好比一场音乐会，主旋律是应力球张量，伴奏则是应力偏张量，缺一不可。
了解这两个概念，才能更好地理解材料是怎么工作的。
我们在生活中也是这样，常常会感受到各种压力。
工作压力、生活压力，甚至是学习压力。
就像应力球张量，生活中的各种压力无处不在，随时可能让我们感觉到沉重。
而应力偏张量则像是我们在面对这些压力时，采取的不同策略。
有时候我们选择直接面对，有时候则是试图寻找一些偏方，轻松一下。
应力张量的认识(三)
应力张量的认识（三）本文主要是对材料成形相关专业学习过程中对一些问题的思考，也许并不深刻，但却是自己从初学时的迷惑到后来逐渐认识的过程。
相关还有：Levy-Mises理论的思考前面两部分分别介绍了应力张量的基础和对齐本质的思考，最终得出了应力张量的本质是一个线性变换的结论。
这一部分是对上述结论的验证计算和关于严谨性方面的补充证明。
前面两部分参考链接应力张量的认识（一）应力张量的认识（二）验证计算为了加深对应力张量是线性变换的矩阵的理解，进行如下计算：从线性变换的角度求出变换矩阵（即应力张量），并验证其相似性。
为了计算方便又不失一般性，取如下图所示的计算条件：S1、S2为全局绝对坐标系下的两个局部坐标系（他们由截取P的两两相互垂直的平面的法向决定），S1和全局坐标系重合，S2为全局坐标系绕z轴逆时针旋转90°得到。
P点应力状态在S1、S2系下，分别可以用一个应力张量表示，并且是相似的。
接下来就从线性变换角度计算说明。
S1、S2的基及过渡矩阵根据局部坐标轴在全局坐标系下的方向余弦容易得到他们的基分别为：α基到β基的过渡矩阵W满足β=αW同理β基到α基的过渡矩阵W-1满足α=βW-1解出线性变换在基下的矩阵设全局坐标系描述下，应力张量表示为设T表示应力张量对应的线性变换，T(α1)表示α1截面上的应力，显然T(α1)=(σ11,σ12,σ13)TT(β1)表示S2坐标系下β1截面上的应力，对应的是全局坐标系下y截面的应力，即T(β1)=(σ21,σ22,σ23)T于是可得到根据T(α)=αA，T(β)=βB，得到线性变换在两个基下的矩阵分别为也就是P点在S1、S2坐标系下的应力张量（由于表示上的缘故，这里为转置关系）。
相似关系验证可知W-1AW=B，即A~B至此，可以清晰看出不同坐标系下应力张量与不同基下线性变换矩阵的等价关系。
线性空间的证明再进一步，关于线性变换的理解都是基于σij n ij=p i的形式而推出的，似乎还不够严谨。
cauchy应力张量
cauchy应力张量1.引言- Cauchy应力张量是弹性力学中用于描述物体受力情况的重要工具。
-由Augustin-Louis Cauchy在19世纪初提出，是研究弹性体变形和应力分布的基础。
-本文将介绍Cauchy应力张量的定义、性质、应用以及其在力学中的重要性。
2.定义- Cauchy应力张量是描述物体上各点受力情况的数学对象。
-通常用一个3x3的矩阵来表示，其中每个元素代表物体中某一点在不同方向上的受力大小。
-张量的每个元素的大小和方向可以通过力学实验或数学推导得到。
3.性质-张量具有方向性，可以用于描述物体在不同方向上的应力分布。
-张量的对称性：Cauchy应力张量是一个对称矩阵，即张量的第i行第j列的元素等于第j行第i列的元素。
-张量的不变性：Cauchy应力张量的大小和方向在不同坐标系下是不变的，即坐标变换不会改变张量的值。
4.应用-应力分析：Cauchy应力张量可以用于分析物体在受力情况下的应力分布，从而帮助我们了解物体的变形和破坏情况。
-计算力学量：Cauchy应力张量可以用于计算物体的体积力、力矩、应力能等力学量。
-弹性模量：Cauchy应力张量可以通过应力和应变之间的关系来计算材料的弹性模量，从而评估材料的弹性性能。
5.重要性- Cauchy应力张量是弹性力学的基础，对于研究物体的应力分布、变形和破坏具有重要意义。
-在工程领域，Cauchy应力张量被广泛应用于材料力学、结构力学、工程地质等领域。
-在科学研究中，Cauchy应力张量的理论和方法也推动了力学和材料科学的发展。
6.结论- Cauchy应力张量是描述物体受力情况的数学对象，具有方向性和对称性。
-张量可以用于分析物体的应力分布、计算力学量、评估材料的弹性性能等。
- Cauchy应力张量在工程和科学研究中具有重要的应用价值，对推动相关领域的发展起到了重要作用。
应力张量公式
应力张量公式应力张量公式，这可是个相当有深度的物理学概念呢！咱先来说说啥是应力张量。
想象一下，你手里拿着一块橡皮，你对它各个方向施加不同的力，这时候橡皮内部产生的应力状态就可以用应力张量来描述。
应力张量就像是一个魔法盒子，里面装着关于物体受力的各种秘密信息。
比如说，有一根长长的钢梁，它被放在两个支架上。
当一辆大卡车从上面开过，钢梁会发生弯曲。
这个时候，钢梁内部的每一个点所受到的力的大小和方向都是不一样的。
而应力张量就能把这些复杂的受力情况清晰地表示出来。
应力张量公式看起来可能有点吓人，一堆数学符号和算式。
但其实啊，它就是为了帮我们更准确地理解和计算物体内部的应力。
我记得有一次，在实验室里，我们做一个关于材料抗压强度的实验。
那是一块金属板，我们要通过施加不同方向的力来观察它的变形情况。
为了得出准确的数据，就得用到应力张量公式。
当时我们小组的同学，一个个都紧张得不行，眼睛紧紧盯着仪器上的数值，手里拿着笔和纸，不停地计算着。
在计算应力张量的时候，每个元素都有它特定的含义。
比如，对角线上的元素表示正应力，而非对角线上的元素则表示剪应力。
正应力就像是你直接挤压或者拉伸一个物体时产生的力，而剪应力呢，就像是你在剪一张纸时产生的力。
应力张量公式在工程领域的应用那可太广泛了！从建造高楼大厦的钢结构，到汽车发动机的零部件，都离不开对应力的准确计算。
要是算错了，那后果可不堪设想。
再比如说，飞机的机翼在飞行过程中会受到各种力的作用，设计师们就得依靠应力张量公式来确保机翼的结构强度和安全性。
如果应力计算不准确，机翼可能在飞行中出现问题，那可就是大麻烦啦！总之，应力张量公式虽然复杂，但它在物理学和工程学中起着至关重要的作用。
它让我们能够更深入地理解物体受力的本质，为各种工程设计和科学研究提供了坚实的理论基础。
所以啊，别被应力张量公式那看似复杂的外表吓到，只要我们一步一步地去学习和理解，就能揭开它神秘的面纱，掌握其中的奥秘！。
第05讲-应力张量
ij m 应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），只产生
体积变形，不产生形状变形，任何切面上的切应力都为零， 各方向都是主方向。
ij '
——应力偏张量，引起形状变形，不产生体积变形，切应 力分量、主切应力、最大正应力及主轴同原σij，二阶对称 张量，同样存在三个不变量J1' ,J2' ,J3'
张量的概念
3、张量的性质
（1）张量的分量一定可以组成某些函数f(Tij),这些函数的值 不随坐标而变。即 f (Tij ) f (Tkl ) （2）同阶张量各对应分量之和或差为另一同阶张量。
（3）二阶张量T，若TT=T，则称为对称张量，若TT=--T，
则称为反对称张量，非对称张量可以化为一个对称张量和 一个反对称张量之和。
主应力
2 2 2 3 ( x y z ) 2 [ x y y z z x ( xy yz zx )] [ x y z 2 xy yz zx 2 2 2 ( x yz y zx z xy )] 0
x xy xz x m xy xz m 0 0 ij yx y yz yx y m yz 0 0 m zx zy z zx zy z m 0 m 0 ij ' ij m
主应力简图
受力物体内一点的应力状态，可用作用在应 力单元体上的主应力来描述，只用主应力的个数 及符号来描述一点应力状态的简图称为主应力图。 一般，主应力图只表示出主应力的个数及正、负 号，并不表明所作用应力的大小。
应力张量的分解
平均应力:
m ( x y z ) ( 1 2 3 )
最新应力张量的认识（一）
最新应力张量的认识（一）应力张量的认识（一）本文主要是对材料成形相关专业学习过程中对一些问题的思考，也许并不深刻，但却是自己从初学时的迷惑到后来逐渐认识的过程。
相关还有：Levy-Mises理论的思考从本科的材料成形原理教材上就认识了应力张量，然后一直出现在我们的视野里。
初始，以一个基本定义记住了它，进而有过疑惑，随着矩阵论的学习又有了新的认识。
曾经就有记录下对其理解的想法，但因思路尚未完善而一再搁置；直到今天重新想起，完成了方向余弦作为线性空间的证明，才终于开始详细记录。
我将这部分思考分为以下三部分：应力张量的认识（一）应力张量的认识（二）应力张量的认识（三）本文介绍第一部分应力的基本知识和常规认识。
应力初中物理就已知道，因外力作用而在物体内部产生的力成为内力。
单位面积上的内力即是应力，表征内力的强度。
为了研究某一点P处的应力，用某个截面在P点处切开物体，如下图所示。
根据定义可以得到P点的正应力σ、切应力τ，他们的合成即为全应力T。
需要注意的是，一个确定的截面对应了一组正应力和切应力。
但是过P点有无数的截面，那么如何才能真正描述P点的应力状态呢？应力状态点的应力状态是受力物体内某一点各个截面上应力的变化情况。
上面已经意识到过一点点有无数的截面，只有任意截面上的应力分量都可以确定，才可以说应力状态是确定的。
通常在无数的截面中，任意取三个互相垂直的截面，并以他们的法线方向建立笛卡尔坐标系。
也即在P点截取一个无限小的平行六面体，称为单元体。
单元体无限小，视为一点，因此单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，也即他俩的应力是相同的。
这样就只用三个互相垂直的截面上的应力来分析问题。
由于单元体处于静力平衡状态，由绕各轴合力矩为零可以得到切应力互等定律。
问题：既然单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，那为什么上图平行的平面上应力是相反的？单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，但是分别是被截开的的两部分的平面，截开前他们是重合的，截开后成为了两部分各自的表面，而外表面是有方向的。
应力球张量和应力(1)
xy yx
xy
比。即应力 球张量使物体产生 弹性体积变化。
1 1 2 x m x y z m E E 1 1 2 y m y z x m E E 1 1 2 z m z x y m E E
ij + ij m =
应力张量在一般坐标系下的分解
1 0 0 克氏符号，单位张量： ij 0 1 0 0 0 1
应力张量在主轴坐标系下的分解：
ij
=
1 0 0
0
2
0
0 0 3
= =
0 0 1 m 0 2 m 0 0 0 3 m
应力球张量和应力偏张量
ij
=
x yx zx
xy y zy
xz yz z
=
x m xy xz yx y m yz zx zy z m
+
0 m 0 0 0 m 0 0 m
0
m
0
0 0 m
式中： m ( x y z ) / 3
ij
ij + ij m
为平均应变；
：应变偏张量，表示表示变形单元体形状的变化；
：应变球张量，表示应变单元体体积的变化。
ij m
弹性应力应变关系
广义虎克定律：
1 x x y z , E 1 y y z x , E 1 z z x y , E
在进行应力分析与应变分析时，将一 点的应力张量和应变张量分解为球张 量和偏张量是有明确物理意义的，即 物体的体积变形与球应力成正比，与 偏应力无关；物体的形状变化与偏应 力成正比，与球应力无关。 这一结论对研究塑性变形时的应力应 变关系是十分重要的。
1-张量及应力应变概念 同济大学弹塑性力学
u
u2(uy) x2=y
图1.1 位移矢量的分解
3
u ux ex u y ey uz ez u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
(1-1)
指标：对于一组性质相同的n个量可以用相同的名字加不
同的指标来表示，例如位移u的分量可用ui(i=1,2,3)表示， 这里的i就是指标。今后约定，如果不标明取值范围，则拉 丁字母i，j，k，· · · 均表示三维指标，取值1，2，3，例如， 采用ui可以表示u1、 u2和 u3三个数值，这种名字加指标的 记法称为指标符号。 指标符号的正确用法： (1) 三维空间中任意点的三个直角坐标通常记为x，y和z。 指标符号可缩写成xi ，其中x1= x， x2= y， x3= z。
这里， m I1 3，我们定义 m ij 为球应力张量，又称球形 应力张量，简称为球张量，球形应力张量表示各向均匀受 m 又常写作 p 。而 Sij 力状态，有时也称静水压力状态， 则称为偏斜应力张量，简称为应力偏量。将原应力状态减 去静水压力即可得到应力偏量状态。球张量引起物体的体 积改变，而应力偏量则引起物体的形状改变。
z n
同理，可以得到张量方程：
pi ij n j
τyx γ
px x
σx β
y
(1-7)
α
如果作用在这个倾斜 面上只有正应力，而没有
τzx
剪应力，则倾斜面上的总应力就是主应力，倾斜面的方 向就是主应力方向，用ζ表示，它在各坐标轴上的投影 (1-8)
为：
pi ni
1.4 主应力分布图
1.3 应力张量的分解
(1) ii 11 22 33 3 (2) ij ij 1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23
弹性力学应力张量的定义
弹性力学应力张量的定义
一个任意形状的三维物体，受到任意外力F作用，如下图所示。
●9这个应力分量可以简记为：
⎤
⎡⎥⎥⎤⎢⎡131211σσσττσxz xy x ⎥⎥⎥⎦
⎢⎢
⎢⎣=⎥⎦⎢⎢⎣=3332
31232221σσσσσσστττστσz zy zx yz y yx ij 这9个应力分量的整体构成了一个二阶对称张量，称
为应力张量。
其中，是弹性力学中应用非常广泛的一种张3311,,σσ 量记法，采用该记法能够极大地方便复杂弹性力学公式的书写和记忆。
●后面将证明，这9个应力分量（只有6个独立）可以表示出弹性体内任一点M 的所有截面上的应力。
也就是σ说，在弹性力学里，将采用上面的作为应力的度量。
ij
●类似地，可以定义出弹性力学里的应变张量和位移矢量。
{}
T
xy xz yz z y x ij τττσσσσ=6个独立的应力分量{}
T
xy xz yz z
y x ij εεεεεεε=6个独立的应变分量{}
T
w v u u i =3个独立的位移分量
●弹性力学的主要任务就是建立这15个变量所应满足的关系式（方程式），并用这些控制方程去求解实际一些弹性体的受力和变形。
为了加深对某一点M过任一微分面的应力矢量的理解。
特别地，让我们来看如下特例中定义的，过同一点的、不同方向截面的应力矢量：。
应力能量张量
应力能量张量
应力能量张量又称为能量密度张量或者能量-动量张量，是描述物质内部应力和变形状态的一个重要物理量。
它可以用来计算物体的动力学性质，包括弹性系数、动量、能量等。
应力能量张量在固体力学、流体力学、天体力学等领域都有广泛应用。
应力能量张量主要描述物体内部的应力和变形状态。
应力是物体内部的力学量，它描述了物体内部的力场分布。
在物体受到外部力的作用下，它会发生变形，变形也是物体内部状态的一个重要指标。
应力能量张量可以同时描述应力和变形状态，它包含了物体内部的能量密度和动量密度信息。
在实际应用中，应力能量张量可以用来计算物体的弹性模量、剪切模量、泊松比等弹性系数。
它还可以用来计算物体的动量和能量，在流体力学中，可以用来描述流体的动量和能量输运过程。
在天体力学中，它可以用来描述恒星和行星内部的压力和能量分布情况。
总之，应力能量张量是物体内部应力和变形状态的一个重要描述量，具有广泛的应用价值。
- 1 -。
cauchy应力张量
cauchy应力张量
摘要：
1. Cauchy 应力张量的定义
2. Cauchy 应力张量的性质
3. Cauchy 应力张量的应用
正文：
Cauchy 应力张量是连续体力学中的一个重要概念，它是描述物质内部应力分布的张量。
Cauchy 应力张量的定义为：在一个特定的点上，作用在微小面积上的力除以这个面积的大小。
Cauchy 应力张量具有一些重要的性质，包括：1）它是一个对称张量，即应力张量的转置等于它本身；2）它是一个正定张量，即应力张量的任意主轴上的元素都是正的。
Cauchy 应力张量在连续体力学中有广泛的应用，包括：1）在固体力学中，它可以用来描述固体的应力分布，从而可以用来预测固体的形变和破裂；2）在流体力学中，它可以用来描述流体中的应力分布，从而可以用来预测流体的运动和压力分布。
应力张量的概念及其应用共52页
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
应力张量的概念及其应用
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
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应力张量的认识（一）
本文主要是对材料成形相关专业学习过程中对一些问题的思考，也许并不深刻，但却是自己从初学时的迷惑到后来逐渐认识的过程。
相关还有：Levy-Mises理论的思考
从本科的材料成形原理教材上就认识了应力张量，然后一直出现在我们的视野里。
初始，以一个基本定义记住了它，进而有过疑惑，随着矩阵论的学习又有了新的认识。
曾经就有记录下对其理解的想法，但因思路尚未完善而一再搁置；直到今天重新想起，完成了方向余弦作为线性空间的证明，才终于开始详细记录。
我将这部分思考分为以下三部分：
应力张量的认识（一）
应力张量的认识（二）
应力张量的认识（三）
本文介绍第一部分应力的基本知识和常规认识。
应力
初中物理就已知道，因外力作用而在物体内部产生的力成为内力。
单位面积上的内力即是应力，表征内力的强度。
为了研究某一点P处的应力，用某个截面在P点处切开物体，如下图所示。
根据定义可以得到P点的正应力σ、切应力τ，他们的合成即为全应力T。
需要注意的是，一个确定的截面对应了一组正应力和切应力。
但是过P点有无数的截面，那么如何才能真正描述P点的应力状态呢？
应力状态
点的应力状态是受力物体内某一点各个截面上应力的变化情况。
上面已经意识到过一点点有无数的截面，只有任意截面上的应力分量都可以确定，才可以说应力状态是确定的。
通常在无数的截面中，任意取三个互相垂直的截面，并以他们的法线方向建立笛卡尔坐标系。
也即在P点截取一个无限小的平行六面体，称为单元体。
单元体无限小，视为一点，因此单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，也即他俩的应力是相同的。
这样就只用三个互相垂直的截面上的应力来分析问题。
由于单元体处于静力平衡状态，由绕各轴合力矩为零可以得到切应力互等定律。
问题：既然单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，那为什么上图平行的平面上应力是相反的？
单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，但是分别是被截开的的两部分的平面，截开前他们是重合的，截开后成为了两部分各自的表面，而外表面是有方向的。
所以，从各自的方向上来看，应力方向还是相同的。
应力张量
根据上面的微单元体上的应力分量，是否可以求出任意截面的应力分量？
答案是肯定的。
根据三个方向的静力平衡就可以列式计算得到上图的任意的法向为(n1,n2,n3)的截面上的应力分量。
三个互相垂直的截面上的9个应力分量可以确定任意截面的应力，也就是说可以确定一点的应力状态了。
同时从这三个截面的选取上来看，他们和坐标系无关。
于是我们把用上面九个应力分量作为一个整体来描述一点应力状态的物理量叫作应力张量，记作
主应力
如果作用在某一截面上的全应力和这一截面垂直，即该截面上只有正应力，则这一截面称为主平面，其法线方向称为应力主方向，其上的应力称为主应力。
如果三个坐标轴方向都是主方向，则称这一坐标系为主坐标系。
求解方法依然是根据静力平衡条件。
应力张量不变量
在求解主应力的过程中会得到以主应力为未知数的三次方程，叫做状态方程。
状态方程的三个系数唯一由主应力确定，而一点的主应力是唯一的，这样就得到了不随坐标变化的三个量，叫作应力张量不变量
用一般应力表示为
主切应力
切应力有极值的截面叫主切应力平面，面上的切应力叫作主切应力。
六个主切应力中绝对值最大的叫作最大切应力。
通过计算可知，主切应力平面与主应力平面成45°夹角。
由于塑性变形是由切应力引起的，所以最大切应力可以作为判断屈服的准则。
应力张量分解
将三个正应力的平均值叫作平均应力，静水应力，应力张量减去这部分后得到应力偏张量。
应力偏张量同样有三个不变量。
应力张量分解的物理意义在于：
物体在应力张量作用下的变形分为体积变化和形状变化两部分；前者取决于应力球张量，后这取决于应力偏张量；体积变化表征弹性变形，当应力偏张量满足一定条件后，则物体发生塑性变形。
应力平衡微分方程
以上说明的都是一点的应力状态，而物体内部不同点的应力状态一般是不同的，那么如何描述相邻点间的应力变化关系呢？
以物体内某一点P(x,y,z)为顶点截取边长分别为dx,dy,dz的直角平行六面体微元，另一个顶点的坐标则为
(x+dx,y+dy,z+dz)。
根据静力平衡方程，并处理掉高阶小量，得到应力平衡微分方程：
问题：这部分中微六面体应力状态分析的图与之前一点应力状态的图即为相似，却有不同，如何理解？
二者的涵义完全不同。
点的应力状态图强调的是同一个点在不同截面下的状态，而微六面体应力状态分析强调的是相邻两个点之间的应力关系。
可以说前者是静态的，后者揭示的是相互作用的关系。
总结
这一部分梳理了我们常规学习的内容，可以概括为两点：
•应力张量——某点的应力状态
•应力平衡方程——相邻点的相互作用
接下来的部分将记录我对应力张量更为本质涵义的理解。
2017版《建设工程施工合同（示范文本）》解读与适用
2017年10月，住建部公布了修订后的2017版《建设工程施工合同（示范文本）》（GF-2017-0201），与2013年版《建设工程施工合同（示范文本）》，本次修订就计日工、缺陷责任期、质量保证金三大类共9个条款进行了修订。
从修订内容看，新版合同主要是为了迎合2017年6月住建部发布的《关于印发建设工程质量保证金管理办法的通知》（建质2017第138号文），统一建设施工过程中质保金和缺陷责任期的相关约定。
为此，我们拟结合138号文的相关规定，对本次修订进行解读。
一、结算条款的修订：2017版合同进一步明确“计日工”计价方式的适用
（一）“计日工”条款修订内容
2013版原文如下：10.9 需要采用计日工方式的，经发包人同意后，由监理人通知承包人以计日工计价方式实施相应的工作，其价款按列入已标价工程量清单或预算书中的计日工计价项目及其单价进行计算；已标价工程量清单或预算书中无相应的计日工单价的，按照合理的成本与利润构成的原则，由合同当事人按照第 4.4款〔商定或确定〕确定变更工作的单价。
2017版原文如下：10.9需要采用计日工方式的，经发包人同意后，由监理人通知承包人以计日工计价方式实施相应的工作，其价款按列入已标价工程量清单或预算书中的计日工计价项目及其单价进行计算；已标价工程量清单或预算书中无相应的计日工单价的，按照合理的成本与利润构成的原则，由合同当事人按照第 4.4款〔商定或确定〕确定计日工的单价。
（二）何谓“计日工”？
建设工程领域有两种计价模式：定额计价和清单计价。
定额计价系按照国家或省一级建设主管部门确定的建设工程计量单位消耗的人材机等标准消耗量，套用定额单价，最终得到工程总价的计价模式。
定额计价参照的是单位工程社会平均消耗量和单价，个体之间不产生差异。