有关于韦达定理的变式
三次韦达定理公式推论
三次韦达定理公式推论韦达定理在数学中可是个相当重要的知识点呢！咱们今天就来好好聊聊韦达定理公式的三次推论。
先来说说啥是韦达定理。
对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0），如果它有两个根 x₁和 x₂，那么就有 x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a。
那这韦达定理的三次推论是啥呢？推论一：若一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）的两根为 x₁和x₂，那么以 x₁²和 x₂²为根的一元二次方程是 a²x² - (b² - 2ac)x + c² =0 。
咱们来证明一下哈。
因为 x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a 。
所以 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (b² - 2ac)/a²，x₁²x₂² = (x₁x₂)² = c²/a²。
咱就说，有一次我给学生们讲这个推论的时候，有个小家伙一脸懵地问我：“老师，这到底有啥用啊？”我就笑着跟他说：“别急呀，等会儿做题你就知道它的厉害了！”结果做练习题的时候，刚好就有一道要用这个推论的题，这小家伙一下子就做出来了，那兴奋劲儿，别提了！推论二：若一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）的两根为 x₁和x₂，且 m 为常数，则以 mx₁和 mx₂为根的一元二次方程是 a/m x² +b/m x + c/m = 0 。
这个推论的证明也不难。
mx₁ + mx₂ = m(x₁ + x₂) = -bm/a ，mx₁ · mx₂ = m²x₁x₂ = m²c/a 。
记得有一回考试，就出了一道要用这个推论的填空题，好多同学都没做对，后来我在讲试卷的时候，着重强调了这个推论，让大家一定要记住，下次可别再错啦！推论三：若一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）的两根为 x₁和x₂，且 k 为非零常数，则以 x₁ + k 和 x₂ + k 为根的一元二次方程是ax² + (b - 2ak)x + (c + k(b - ak)) = 0 。
【高中数学】韦达定理公式
【高中数学】韦达定理公式韦达定理公式：在一元二次方程AX^2+BX+C中（a不是0）设两个根为x和y那么x+y=-B/Axy=c/a魏达定理也可用于高阶方程。
一般来说，对于N阶方程∑AIX^i=0它的根记作x1,x2 (x)我们有∑xi=(-1)^1*a(n-1)/a(n)∑xixj=（-1）^2*a（n-2）/a（n）…∏xi=（-1）^n*a（0）/a（n）其中∑是求和，∏是求积。
如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国吠陀首先发现了代数方程的根和系数之间的这种关系。
因此，这种关系被称为吠陀定理。
有趣的是，威达在16世纪得到了这个定理。
这个定理的证明依赖于高斯在1799年提出的代数基本定理。
由代数基本定理可推得：任何一元n次方程复杂集合中必须有根。
因此，方程的左端可以分解为复杂范围内主要因素的乘积：其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
魏达定理在方程理论中有着广泛的应用。
定理的证明设置<math>x_1</math>，<math>高中生物; x_2;2</math>是一个变量的二次方程的两个解<math>ax^2+BX+C=0</math>，你可以使<math>x_1\gex_2;2</math><math>x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}</math>，<math>x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}</math>因此<math>x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}+\left(-b\right)-\sqrt{b^2-4ac}}=-\frac</math>，<math>x_1x_2=\frac{\left（-b+\sqrt{b^2-4ac}\right）\left（-b-\sqrt{b^2-4ac}\right）}{\left（2a\right）^2}=\frac</math>。
3 一元二次方程与韦达定理(学生版)
新高一暑假数学讲义 “一元二次方程与韦达定理” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 本讲内容：韦达定理、韦达定理的综合运用掌握目标：掌握韦达定理的基本内容，会运用韦达定理求解一元二次方程根相关的问题，对判断根的符号以及大小能够熟练掌握。
考试分析：韦达定理是一元二次方程最重要的一个定理，也是高中数学里二次不等式与解析几何里经常使用到的一个内容，虽然考试不会直接考察，但是作为重要的基础知识还是务必要掌握的。
知识梳理知识梳理1. 根与系数的关系----韦达定理1. 一元二次方程 02=++c bx ax （0≠a ）的韦达定理：ab x x -=+21 ， ac x x =21 注意 0<∆时韦达定理仍然成立，但此时方程无实根.2. 韦达定理原理：对于任意方程02=++c bx ax （0≠a ）都可以转化为()()021=--x x x x a 的形式，展开后可得 ()021212=++-x ax x x x a ax 让对应系数相等即得到韦达定理。
类似地，可以得到一元三次方程023=+++d cx bx ax 的韦达定理：a b x x x -=++321 ，a c x x x x x x =++133221 ，ad x x x -=321知识梳理2. 韦达定理综合运用1. 判断根的大致情况（假设0≥∆）方程有2个正根，等价于⎩⎨⎧>>+002121x x x x方程有一正根有一负根，等价于 021<x x 此时21x x +正负用于判断1x 和2x 的大小 2. 的范围求一元二次方程的系数或系数的范围 常用的韦达定理变式： ()()aac b a c a b x x x x x x x x 4442222122122121-=⋅-=-+=-=-a ∆= 3. 一元二次方程a b x x -=+21 ac x x =21 ()021212=++-∴x x x x x x例题精讲【试题来源】【题目】若12+=m m ，012=--n n ，n m ≠，求33n m +【试题来源】【题目】实数y x ,,z 满足 6=+y x ，92-=xy z ，求证：y x =【试题来源】【题目】方程 01)23(422=-++-n x n x 的根是另一个根的3倍，整数=n ____【试题来源】【题目】已知关于x 的方程012)14(2=-+++m x m x ，若方程的两根为21,x x ，且满足211121-=+x x ，求m【试题来源】【题目】设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，求()()222111+++x x 的值【试题来源】【题目】设一元二次方程0622=-++a ax x 的根分别满足下列条件，求相应的实数a 的范围（1）二根均大于1；（2）一根大于1，另一根小于1.【试题来源】【题目】已知关于x 的方程08)3(2=++--m x m x 的两个实根的平方和等于13，求m 的值及方程的两根。
初中韦达定理公式
韦达定理公式那么韦达定理公式是什么呢？怎么计算？具体如下：一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2则X1+X2=-b/a、X1·X2=c/a、1/X1+1/X2=(X1+X2)/X1·X2用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若b2-4ac若b2-4ac=0则方程有两个相等的实数根若b2-4ac>0则方程有两个不相等的实数根定理拓展(1)若两根互为相反数，则b=0(2)若两根互为倒数，则a=c(3)若一根为0，则c=0(4)若一根为-1，则a-b+c=0(5)若一根为1，则a+b+c=0(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根。
以上为韦达定理公式：一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2则X1+X2=-b/a、X1·X2=c/a、1/X1+1/X2=(X1+X2)/X1·X2x1乘x2公式韦达定理是什么公式？x1乘x2公式韦达定理是一元二次方程。
即ax加bx加c等于0，a不等于0且△等于b^度2减4ac大于等于0中若两个根为X1和X2，则X1加X2等于负b除a，X1乘X2等于c除a，只含有一个未知数一元，并且未知数项的最高次数是2二次的整式方程叫做一元二次方程。
x1乘x2公式韦达定理特点一元二次方程方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数，韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系，韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系，无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理，判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
韦达定理的第三个公式
韦达定理的第三个公式韦达定理（也称莱卡德公式）是初中数学中一个非常重要的定理，它可以用来求解三角形中的各种关系。
韦达定理有三个公式，分别是第一、第二、第三个公式。
这篇文章将着重介绍韦达定理的第三个公式，即正弦定理。
正弦定理是韦达定理的第三个公式，它的表述如下：在任意一个三角形中，它的任意一条边的对边角的正弦值与对边的长度成正比例关系，即sin A /a = sin B /b = sin C /c其中，a、b、c 分别表示三角形三边的长度，A、B、C 分别表示与对应边相对的角度。
正弦定理的使用方法正弦定理很容易使用，只要知道两个角和它们对应的两条边的长度，就可以求出第三条边的长度，或者求出角的大小。
在下面的例子中，我们将演示如何使用正弦定理来求解三角形中的各种关系。
例子1：求三角形中某个角的大小已知三角形 ABC，其中 AB = 5，AC = 8，BC = 7。
求角 A 的大小。
解：根据正弦定理，有sin A /5 = sin B /7 = sin C /8sin A = sin(180° - B - C) = sin(B + C) = sin B cos C + cos B sin C = (7/8) sin C +(4/8) cos C因为根据勾股定理，有cos C = (AB² + AC² - BC²) / (2ABAC) =(5² + 8² - 7²) / (2×5×8) = 47 / 80所以sin A = (7/8) sin C + (4/8) cos C = (7/8)sin(acos(47/80)) + (4/8) cos(acos(47/80)) =0.6277因此，角 A 的大小为arcsin(0.6277) = 39.81°（保留两位小数）。
例子2：求三角形中某个角对应的边的长度已知三角形 ABC，其中 AB = 8，AC = 10，角 A 的大小为60°。
韦达定理公式介绍及典型例题
韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX²+bX+C=0﹙a≠0﹚中,两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a ,X1·X2=c/a【定理内容】一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中,设两个根为x1 ,x2 那么X1+X2= -b/aX1·X2=c/a1/X1+1/X2=X1+X2/X1·X2用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)中,假设b²-4ac<0 那么方程没有实数根假设b²-4ac=0 那么方程有两个相等的实数根假设b²-4ac>0 那么方程有两个不相等的实数根【定理拓展】(1)假设两根互为相反数,那么b=0(2)假设两根互为倒数,那么a=c(3)假设一根为0 ,那么c=0(4)假设一根为1 ,那么a+b+c=0(5)假设一根为-1 ,那么a-b+c=0(6)假设a、c异号,方程一定有两个实数根【例题】p+q=198 ,求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2 ,不妨设x1≤x2.由韦达定理,得x1+x2=-p ,x1x2=q.于是x1·x2-(x1+x2)=p+q=198 ,即x1·x2-x1-x2+1=199.∴运用提取公因式法(x1-1)·(x2-1)=199.注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数,解得x1=2 ,x2=200;x1=-198 ,x2=0.。
韦达定理全部公式
韦达定理全部公式韦达定理（Vieta's formulas）是一组用于描述多项式系数与其根之间关系的重要公式。
这组公式由法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）于16世纪提出，被广泛应用于代数学和数论中。
韦达定理的第一个公式是关于二次方程的。
对于一个一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，韦达定理给出了它的两个根之和和两个根之积与系数之间的关系。
根据韦达定理，这两个根之和等于-b/a，根之积等于c/a。
这个公式被广泛应用于解方程和因式分解等问题中。
对于一个更高次的多项式方程，韦达定理也同样适用。
对于一个n 次多项式方程a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0，韦达定理给出了它的n个根之和、n-1个根之积、n-2个根之和等与系数之间的关系。
具体而言，韦达定理表明这些关系可以通过系数a_0, a_1, ..., a_n-1的各种组合来表示。
韦达定理的第二个公式是关于一个多项式的根和系数之间的关系。
根据韦达定理，在给定多项式的根的情况下，可以通过根与系数之间的关系来计算出这个多项式的各个系数。
具体而言，对于一个n 次多项式方程，如果它的n个根分别为r_1, r_2, ..., r_n，那么可以通过如下公式计算出系数a_0, a_1, ..., a_n-1：a_0 = (-1)^n * r_1 * r_2 * ... * r_na_1 = (-1)^(n-1) * (r_1 * r_2 * ... * r_{n-1} + r_1 * r_2 * ... * r_{n-2} * r_n + ... + r_2 * r_3 * ... * r_n)...a_{n-1} = (-1) * (r_1 + r_2 + ... + r_n)这个公式可以通过给定的根和系数之间的关系来计算出未知的系数，从而完全确定一个多项式。
高考重点数学公式：韦达定理
高考重点数学公式：韦达定理高考重点数学公式：韦达定理韦达定理公式：一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中设两个根为x和y那么x+y=-b/axy=c/a韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0它的根记作X1，X2 (X)我们有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和，∏是求积。
如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数根本定理，而代数根本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数根本定理可推得：任何一元 n 次方程在复数集中必有根。
因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。
两端比拟系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
定理的证明设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解,高中历史，且不妨令x_1 ge x_2.根据求根公式，有x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}，x_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}}所以x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac，x_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac。
韦达定理初中公式
韦达定理初中公式韦达定理可是咱初中数学里一个相当重要的家伙！咱先来说说啥是韦达定理。
在一元二次方程$ax^2 + bx + c =0$（$a$、$b$、$c$是实数且$a≠0$）中，两根$x_1$、$x_2$有这样的关系：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
就拿我之前教过的一个学生小明来说吧。
有一次上课，我给他们讲韦达定理，这小明啊，一脸迷茫，那小眼神就好像在说：“老师，这是啥呀，我咋听不懂呢？”我就耐心地给他解释。
我在黑板上写下了一个方程：$x^2 - 5x + 6 = 0$，然后问同学们：“谁能告诉老师，这个方程的根是多少？”大家都开始埋头计算，不一会儿，就有同学举手说：“老师，我算出来了，是 2 和 3。
”我笑着点点头，接着问：“那根据韦达定理，这两根之和是多少呀？”这时候，大家都开始七嘴八舌地说：“$2 + 3 = 5$，$-\frac{-5}{1} = 5$。
”“对啦，那两根之积呢？”“$2×3 = 6$，$\frac{6}{1} = 6$。
”大家回答得可响亮了。
我看了看小明，他好像有点明白了。
我又出了一道题：$2x^2 + 3x - 5 = 0$，让大家算算两根之和与两根之积。
这次小明也拿起笔认真地算了起来，不一会儿，他也算出了答案，脸上露出了开心的笑容。
韦达定理在解决很多数学问题的时候都特别有用。
比如说，如果告诉你一个一元二次方程的两根之和是 7，两根之积是 12，那你就能很快写出这个方程$x^2 - 7x + 12 = 0$。
再比如，在几何问题中，如果涉及到二次函数与坐标轴的交点，韦达定理也能派上大用场。
还有啊，在一些实际的应用题里，像增长率问题、面积问题等等，如果能巧妙地运用韦达定理，解题就能变得轻松不少。
总之，韦达定理就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多数学难题的大门。
同学们可得把它掌握好咯，这样在数学的世界里就能更加游刃有余啦！希望大家都能和韦达定理成为好朋友，让数学学习变得更有趣、更轻松！。
初中数学的韦达定理
初中数学的韦达定理一、韦达定理的内容1. 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，设它的两个根为x_{1}，x_{2}。
- 韦达定理指出：x_{1}+x_{2}=-(b)/(a)，x_{1}x_{2}=(c)/(a)。
二、韦达定理的推导1. 由一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，设方程的两个根为x_{1}=frac{-b + √(b^2)-4ac}{2a}，x_{2}=frac{-b-√(b^2)-4ac}{2a}。
2. 计算x_{1}+x_{2}：- x_{1}+x_{2}=frac{-b + √(b^2)-4ac}{2a}+frac{-b-√(b^2)-4ac}{2a}- 通分得到x_{1}+x_{2}=frac{-b+√(b^2)-4ac-b - √(b^2)-4ac}{2a}- 化简后x_{1}+x_{2}=-(b)/(a)。
3. 计算x_{1}x_{2}：- x_{1}x_{2}=frac{-b + √(b^2)-4ac}{2a}×frac{-b-√(b^2)-4ac}{2a}- 根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，这里a=-b，b=√(b^2)-4ac，则x_{1}x_{2}=frac{(-b)^2-(√(b^2)-4ac)^2}{4a^2}- 进一步化简x_{1}x_{2}=frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=(4ac)/(4a^2)=(c)/(a)。
三、韦达定理的应用1. 已知方程的一个根，求另一个根- 例如，已知方程x^2-3x - 4 = 0的一个根为x_{1}=4，设另一个根为x_{2}。
- 对于方程x^2-3x - 4 = 0，这里a = 1，b=-3，c=-4。
- 根据韦达定理x_{1}+x_{2}=-(b)/(a)=3，因为x_{1}=4，所以x_{2}=3 - 4=-1。
韦达定理所有公式
韦达定理所有公式
韦达定理，也被称为正弦定理，是三角形中的一个重要定理，用于计算三角形的边长和角度。
它描述了三角形的一个边的平方与另外两个边的平方之间的关系。
根据韦达定理，可以得出以下公式：
1. 边与正弦之间的关系：
a/sinA = b/sinB = c/sinC
其中，a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应边的夹角。
2. 三角形的面积公式：
三角形的面积（S）等于边长a、b、c以及其对应的夹角A、B、C 的正弦值之间的关系：
S = (1/2) * a * b * sinC = (1/2) * b * c * sinA = (1/2) * c * a * sinB
3. 角与余弦之间的关系：
cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c)
cosB = (c^2 + a^2 - b^2) / (2 * c * a)
cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2 * a * b)
其中，cosA、cosB、cosC为对应角的余弦值，a、b、c为三角形
的边长。
韦达定理是解决三角形相关问题的基础，可以用于计算未知边长、未知角度以及三角形的面积等。
通过运用这些公式，我们能够更加深入地理解和研究三角形的性质和关系，从而解决各种与三角形相关的实际问题。
韦达定理及其应用
韦达定理及其应用【内容综述】设一元二次方程有二实数根，则，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。
本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★例1若a，b为实数，且，，求的值。
思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。
说明此题易漏解a=b的情况。
根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。
一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。
其中n为自然数。
由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。
★★★例2若，且，试求代数式的值。
思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。
（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。
求所有这样的一元二次方程。
3．证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。
★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。
说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。
另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。
此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。
4．研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。
关于方程的实根符号判定有下述定理：⑴方程有二正根，ab<0，ac>0；⑵方程有二负根，ab>0，ac>0；⑶方程有异号二根，ac<0；⑷方程两根均为“0”，b=c=0，；★★★例5设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数a的范围。
韦达定理,判别式及其应用
韦达定理一、知识要点1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。
则ab x x -=+21， a cx x =∙21，；补充公式ax x ∆=-21 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=∙+++x x x x x x 3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭⎫⎝⎛++=++ 二、例题1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：（1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422=--x x2、 已知关于x 的方程02)15(22=-++-k x k x ，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。
3、 已知方程0252=-+x x ，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。
4、 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-212111xy y x5、 分解因式：（1）=--2532x x （2）=-+1842x x三、练习1、 在关于x 的方程()()07142=-+--m x m x 中，（1）当两根互为相反数时m 的值；（2）当一根为零时m 的值；（3）当两根互为倒数时m 的值2、 求出以一元二次方程0232=-+x x 的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。
3、 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+23xy y x4、 分解因式（1）6542--x x= （2）=--2222y xy x四、聪明题1、 已知一元二次方程022=+-c bx ax 的两个实数根满足221=-x x ，a ，b ，c 分别是ABC ∆的A ∠，B ∠，C ∠的对边。
（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若c a =，求B ∠的度数。
2、在ABC ∆中，︒=∠90C ，斜边AB=10，直角边AC ，BC 的长是关于x 的方程0632=++-m mx x 的两个实数根，求m 的值。
高中必备知识点2：根与系数的关系(韦达定理)
高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根142b x a -+=，242b x a-=，则有12442222b b b b x x a a a a-+---+=+==-；22122244(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a-+----=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．典型考题【典型例题】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．（2）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b 、c 的值．【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为1，2时，b ＝﹣3，c ＝2；当方程根为2，4时b ＝﹣6，c ＝8．【解析】（1）该方程是倍根方程，理由如下：x 2﹣6x +8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4，∴x 2＝2x 1，∴一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程；（2）∵方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，∴方程的另一个根是1或4，当方程根为1，2时，﹣b ＝1+2，解得b ＝﹣3，c ＝1×2＝2；当方程根为2，4时﹣b ＝2+4，解得b ＝﹣6，c ＝2×4＝8．【变式训练】求方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2（x 1＞x 2），并求x 12+2x 2的值．【答案】6【解析】方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2，∴211220x x --=，.221=+x x ∴()112122222222262.22x x x x x x =++=++=⨯+=+【能力提升】已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2＝0有两根α，β(1)求m 的取值范围；(2)若α+β+αβ＝0．求m 的值．【答案】(1)m ≥﹣34；(2)m 的值为3．【解析】(1)由题意知，(2m+3)2﹣4×1×m2≥0，解得：m≥﹣34；(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+3)，αβ＝m2，∵α+β+αβ＝0，∴﹣(2m+3)+m2＝0，解得：m1＝﹣1，m1＝3，由(1)知m≥﹣34，所以m1＝﹣1应舍去，m的值为3．。
数学公式-韦达定理公式
韦达定理公式韦达定理公式：一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中设两个根为x和y则x+y=-b/axy=c/a韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的，对一个n次方程AiX^i=0它的根记作X1,X2,Xn我们有Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中是求和，是求积。
如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程在复数集中必有根。
因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
定理的证明设mathx_1/math，mathx_2/math是一元二次方程mathax^2+bx+c=0/math的两个解，且不妨令mathx_1 \ge x_2/math。
根据求根公式，有mathx_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}/math，mathx_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}/math所以mathx_1+x_2=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac} + \left (-b \right) - \sqrt {b^2-4ac}} =-\frac/math，mathx_1x_2=\frac{ \left (-b + \sqrt {b^2-4ac} \right) \left (-b - \sqrt {b^2-4ac} \right)}{\left (2a \right)^2} =\frac/math。
初中数学韦达定理公式
初中数学韦达定理公式韦达定理是数学中一个重要的定理，它在代数中有着广泛的应用。
韦达定理的全称是“韦达利亚定理”，它是由法国数学家韦达利亚于16世纪提出的。
韦达定理可以用来求解二次方程的根，它的公式为：对于二次方程ax^2+bx+c=0，根的和为-x1-x2=-b/a，根的积为x1*x2=c/a。
韦达定理的应用非常广泛，不仅可以用于求解二次方程的根，还可以用于解决一些实际问题。
下面我将通过几个具体的例子来说明韦达定理的应用。
例1：求解二次方程的根假设有一个二次方程x^2+3x+2=0，我们可以使用韦达定理来求解它的根。
根据韦达定理的公式，我们可以得到根的和为-x1-x2=-3/1=-3，根的积为x1*x2=2/1=2。
所以这个二次方程的根为x1=-1，x2=-2。
例2：求解实际问题假设有一片长方形的土地，已知它的周长为20米，面积为48平方米。
我们可以使用韦达定理来求解这片土地的长和宽。
设土地的长为x米，宽为y米，根据题意我们可以得到以下两个方程：2(x+y)=20，表示周长为20米；xy=48，表示面积为48平方米。
根据韦达定理的公式，我们可以得到x+y=-10，xy=48。
我们可以将x+y=-10带入xy=48的公式中，得到x和y的值。
进而可以求出这片土地的长和宽分别为6米和8米。
例3：应用于物理问题假设一个物体从静止开始做匀减速运动，已知它的加速度为2m/s^2，最终速度为10m/s，求它的运动时间和位移。
我们可以使用韦达定理来求解这个问题。
设运动时间为t秒，位移为s米，根据题意我们可以得到以下两个方程：at=v，表示加速度乘以时间等于速度；s=vt-1/2at^2，表示位移等于速度乘以时间减去1/2加速度乘以时间的平方。
根据韦达定理的公式，我们可以得到at=2t=10，s=10t-1/2*2*t^2。
我们可以将at=10带入s=10t-1/2*2*t^2的公式中，得到t和s的值。
进而可以求出物体的运动时间为5秒，位移为25米。
二次根式韦达定理推导过程
二次根式韦达定理推导过程嘿，咱今天就来讲讲二次根式韦达定理的推导过程哈！咱先想想，二次方程就像是一个神秘的宝盒，里面藏着好多秘密呢。
韦达定理就像是打开这个宝盒的一把钥匙。
咱就拿一个一般的二次方程 ax²+bx+c=0 来说吧。
这个方程就好像是一个迷宫，咱得找到走出去的路。
通过一些神奇的数学魔法，我们可以把这个方程变成 x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a) 。
哇塞，是不是感觉有点厉害啦？然后呢，我们假设这个方程的两个根是 x1 和 x2 。
那 x1 = (-b +√(b²-4ac)) / (2a) ，x2 = (-b - √(b²-4ac)) / (2a) 。
接下来，我们把这两个根相加，x1 + x2 = (-b + √(b²-4ac)) / (2a) + (-b - √(b²-4ac)) / (2a) ，化简一下，嘿，就得到了 -b/a 。
再看看把两个根相乘呢，x1x2 = [(-b + √(b²-4ac)) / (2a)] × [(-b - √(b²-4ac)) / (2a)] ，再经过一番捣鼓，就得出了 c/a 。
你说神奇不神奇呀！这不就把韦达定理给推导出来了嘛！就好像我们在数学的海洋里畅游，一点点地探索着这些奇妙的规律。
每次推导出来，都有一种满满的成就感呢！想想看，要是没有韦达定理，我们在解很多数学问题的时候该多费劲呀！它就像是我们的得力小助手，帮我们快速地找到答案。
所以说呀，数学的世界真的是丰富多彩，充满了无数的惊喜和奥秘。
我们要像探险家一样，不断地去挖掘，去发现。
二次根式韦达定理的推导过程虽然有点复杂，但只要我们静下心来，仔细琢磨，就一定能搞明白。
这就像是爬山一样，虽然过程可能会有点累，但当我们爬到山顶，看到那美丽的风景时，一切都值了！希望大家都能在数学的世界里找到属于自己的乐趣和成就，加油哦！。