一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义教学教材

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一元二次方程讲义

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1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，问该生物兴趣小组共有多少名学生？
2.一个多边形有9条对角线，这个多边形有多少条边？ 3.某旅游团结束旅游时，其中一位旅客建议，大家互相言别，细心的小
明发现，每两个参加旅游的人互握一次手,所有人共握手66次,这次旅游的旅客有多少人？ 4.有一个人用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮转发后共有56人收到同一短消息，每轮发送短信平均一个人向多少人发送短信？ 5.我校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行了一次比赛），共进行了6场比赛，那么我校有几个球队参加了这次比赛？若进行双循环比赛呢？ 6.张老师有急事要电话通知全班60名同学，已知一分钟每人只能通知3人，问:3分钟能否完成任务？
小分
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支
支
x
…… 枝干
解:设每个支干长出x个小分支,则
1+x+x·x=91
即
x2+x-90=0
解得,x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支.
x
主
干首页上页下页来自1.本节课我们学习了哪些知识? 2.在学习过程中掌握了哪些方法？ 3.通过本节课的学习，你有什么体会？
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②在第二轮传染中，传染源是 x+1人，这些人中每一个人又传染了 x 人，那么第二轮传染了 (x+1)x 人，第二轮传染后，共有 1+x+（1+x）x 人患流感.
（3）题目中的等量关系是什么？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意得方程：
1+x+（1+x）x=121.

一元二次方程的解法辅导讲义教师版

一元二次方程的解法辅导讲义辅导科目：数学年级: 班主任：课时数：3 学员姓名：学科教师：授课主题一元二次方程的解法授课日期及时段教学内容一、知识梳理知识点一、一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 1、一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． 2、一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． 3、一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．（3）关于x 的一元二次方程式20ax bx c ++=()0a ≠的项与各项的系数．2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．知识点二、一元二次方程的解法一、配方法①配方法配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法②配方法的一般步骤解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：1、二次项系数化12、常数项右移3、配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）4、化成2()x m n +=的形式．5、若0n ≥，选用直接开平方法得出方程的解．22220 (0)()0 ()()022b b bax bx c a a x x c a x a c a a a ++=≠++=⇒+-+=⇒222224()()2424b b b b aca x c x a a a a-⇒+=-⇒+= 二、公式法①公式法公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b acx a a -+=根的判别式24b ac ∆=-，12,x x 是方程的两根，若240b ac ∆=-≥，则21,242b b acx a-±-= ②公式法解一元二次方程的一般步骤公式法解方程的步骤： 1、把方程化为一般形式 2、确定a 、b 、c 的值． 3、计算24b ac -的值．4、若240b ac -≥，则代入公式求方程的根．5、若240b ac -<，则方程无解．三、因式分解法①因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若 0ab =，则0a =或0b =；②因式分解法的条件：方程左边易于分解，右边等于0 ③因式分解法的一般步骤：将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解.四、可化为一元二次方程的分式方程的解法1、解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想是：把分式方程“转化”为整式方程．2、解分式方程的方法：(1)去分母法；(2)换元法．3、用去分母法解分式方程的具体步骤是：（1）把方程两边都乘以最简公分母，约去分母；（2）解所得的整式方程；（3）验根．五、含参的一元二次方程的解法①含字母系数的二次方程的解法解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和24b ac -的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆； (3)在24b ac -开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能 ②判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．知识点三、一元二次方程的整数根对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；⑵ 242b b ac ak -+-=或242b b ac ak ---=，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)知识点四、一元二次方程的根与系数的关系一、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-， 12x x q ⋅=．二、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴ 当0c a<时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba -<，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0c a>时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．三、韦达定理的应用（1）已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；（2）已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；（3）已知方程的两根，求作方程；（4）结合根的判别式，讨论根的符号特征；（5）逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；（6）利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．二、例题讲解题型一、一元二次方程的解法例1、已知方程260x x q -+=可以配方成()27x p -=的形式，那么262x x q -+=可以配成下列的（） A ．()25x p -=B ．()29x p -=C ．()229x p -+=D ．()225x p -+=【答案】 B 【解析】配方例2、方程260x x +-=的解是（） A ．13x =-，22x = B ．13x =，22x =- C ．13x =，23x =- D ．12x =，22x =-【答案】 D【解析】当0x >时，原方程变形为260x x +-=，利用公式法求解得12x =，23x =-（舍去），当0x <时，原方程变形为260x x --=，利用求根公式解得13x =（舍去），22x =-方程的根12x =，22x =-，故答案为D 选项．例3、一元二次方程2220x bx b --=的解为（） A ．1x b =-，22x b =- B ．1x b =，22x b = C ．1x b =-，22x b =D ．1x b =，22x b =-【答案】 C 【解析】原方程可化简为()()20x b x b +-=，因此0x b +=或20x b -=，解得1x b =-，22x b =．例4、分式方程22221332011x x x x +---=-+的解为（）A ．12x =，22x =-B ．12x =，22x =-，340x x ==C ．12x =，22x =-，340x x ==D ．11x =，21x =-【答案】 C 【解析】设2211x y x +=-，则原方程可化为320y y --=，解得13y =，21y =-，经检验，13y =，21y =-都是方程320y y --=的根．当13y =时，22131x x +=-，解得2x =±，经检验2x =±是方程的解；当21y =-时，22111x x +=--，解得120x x ==，故答案为C ．例5、含参一元二次方程032)1(32=-+--m x m mx 的解为（） A ．11x =-，223m x m -=B ．11x =-，223m x m-=- C ．11x =，223m x m -=D ．11x =，223m x m-=-【答案】【解析】因为原方程是一元二次方程，所以0m ≠，由因式分解法可得()()1230x mx m ---=⎡⎤⎣⎦，解得11x =，223m x m-=，故答案为C ．例6、已知221140x x x x +---=，求1x x+的值【答案】 3或2- 【解析】设1x t x +=，则原方程可化为260t t --=，解得13t =，22t =-，故1x x+的值为3或2-变式1、设方程22140x x ---=．求满足该方程的所有根之和【答案】 26-【解析】当210x ->，即：12x >时，原方程可化为2230x x --=，解得：13x =，21x =-（舍去）当210x -=，即：12x =时，代入原方程不成立，应舍去．当210x -<，即：12x <时，原方程可化为2250x x +-=，解得：316x =--，41162x =-+>（舍去）所以方程的所有根为3和16--，故方程的所有根之和为3(16)26+--=-变式2、解关于x 的方程22220x mx m n -+-= 【答案】12x m n x m n =-=+，【解析】()()0x m n x m n -+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以12x m n x m n =-=+，变式3、解方程()()()()()()11111111291012x x x x x x x x ++++=-+++++ 【答案】 96492x -±=【解析】原式变形为11111012x x -=--，去分母整理得2211220x x +-=，解得96492x -±=，经检验都是原方程的根，故原方程的解为96492x -±=变式4、设实数,s t 分别满足2199910s s ++=，299190t t ++=并且1st ≠，求41st s t++的值【答案】 5-【解析】由299190t t ++=可知，0t ≠，故21119()9910t t +⋅+=．又2199910s s ++=，11st s t ≠⇒≠，故s 、1t 是方程2199910x x ++=的两根，从而可知19919s t +=-，119s t =，故41199195445191919st s s s t t t ++-=++⋅=-+⨯==-．注意：此处方程是构造成2199910x x ++=还是299190x x ++=主要是根据待求式的结构特点而定，待求式含1t，构造方程2199910x x ++=更快．其实构造成299190x x ++=也可，不过此时两根变为1s 和t ，由根系关系可知199t s +=-，19ts=，故144195519t st s s t t s++++-===-题型二、一元二次方程的整数根例1、方程()3211x x x ++-=的所有整数解的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】 C【解析】当211x x +-=，即1x =或2x =-时，原方程成立；当211x x +-=-时，当0x =或1x =-．由()03111+-=-≠，()1311-+-=得1x =-是原方程的解；当21x x +-≠1或1-时，有30x +=，得3x =-，41x =，从而知原方程整数解的个数是4．故选C ．例2、若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个【答案】 5【解析】当6k =时，得2x =；当9k =时，得3x =-，当6,9k ≠时，解得196x k =-，269x k=-，当6139k -=±±±，，时，1x 是整数，这时753153k =-，，，，；当91236k -=±±±±，，，时，2x 是整数这时10811712153k =，，，，，，综上所述，367915k =，，，，时原方程的解为整数变式、已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．【答案】 0或16【解析】设两个根为12x x ≥，由韦达定理得 12126x x ax x a +=-⎧⎨=⎩．从上面两式中消去a 得12126x x x x ++=⇔12(1)(1)7x x ++=⇔121711x x +=⎧⎨+=⎩或121117x x +=-⎧⎨+=-⎩即1260x x =⎧⎨=⎩或1228x x =-⎧⎨=-⎩．所以120a x x ==或16．题型三、一元二次方程的根与系数的关系例1、若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A ．1k >- B ．1k <C ．1k >-且0k ≠D ．1k <且0k ≠【答案】 C【解析】方程2210kx x --=是一元二次方程，则0k ≠，有两个不相等实数根，则()2240k ∆=-+>，解得1k >-，所以1k >-且0k ≠，答案为C ．例2、已知24b ac -是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个实数根，则ab 的取值范围为（） A ．18ab ≥B ．18ab ≤C ．14ab ≥D ．14ab ≤【答案】 B【解析】∵方程有实数根，∴240b ac -≥．由题意，得22442b b ac b ac a -+-=- ⑴ 或22442b b ac b ac a ---=- ⑵ 令24u b ac =-，则方程⑴可化为：220au u b -+=，方程⑵化为：220au u b ++=∵24u b ac =-是方程⑴或⑵的解，∴方程⑴、⑵的判别式非负，即12180ab ∆=∆=-≥，∴18ab ≤，故答案为B 选项．变式、已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【答案】 1-【解析】 ∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根． ∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+= ∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -= ∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．三、课堂巩固1、设a ，b 都是正实数且1110a b a b +-=-，则b a的值为（） A ．152+ B ．352- C ．152-+ D ．152--【答案】C【解析】原式可化简为210b ba a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得152b a -+=或152--（舍去）2、分式方程()()2211011n x x n n n n +-+=++的解为（）A ．1x n =，21x n =+B ．11x n =，211x n =+ C ．1x n =，211x n =+ D ．11x n =-，211x n =-+【答案】B【解析】原分式方程可化为1101x x n n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，故11x n =，211x n =+，故答案为B ．3、含参一元二次方程2(32)30mx m x m +-+-=的解为（） A ．11x =，23m x m -=B ．11x =-，23mx m-= C ．11x =，23mx m-= D ．无法判断【答案】 A【解析】因为原方程是一元二次方程，所以0m ≠，由因式分解法可得()()130x mx m ---=⎡⎤⎣⎦，所以11x =，23m x m-=，故答案为A ．4、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________【答案】 2m =-【解析】由题意可知，240m -=，20m -≠，故2m =-5、已知2246130x y x y ++-+=，x 、y 为实数，求y x 的值【答案】 8-【解析】通过配方，原式可化为()()22230x y ++-=，由()220x +≥，()230y -≥可得2x =-，3y =，故()328y x =-=-6、解关于x 的方程210x x --=【答案】 1152x +=，2152x --=【解析】当0x ≥时，原方程化为210x x --=，解得152x ±=，因为0x ≥，故152x +=；当0x <时，原方程化为210x x +-=，解得152x -±=，因为0x <，所以152x --=，综上可得原方程的根为1152x +=，2152x --=7、解方程：2191502x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】 12x =，212x =，31x =【解析】设1x y x +=，则原方程可化为29502y y -+=，解得12y =，252y =；当2y =时12x x +=，去分母整理得2210x x -+=，解得121x x ==，经检验是原方程的解；当52y =时152x x +=，去分母整理得22520x x -+=，解得12x =，212x =，经检验12x =，212x =都是原方程的解，故原方程的解为12x =，212x =，31x =8、已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值【答案】 21-【解析】因为α是方程210x x +-=的根，所以210αα+-=，即21αα=-．()24211223ααααα=-=-+=-，()542232353αααααααα=⋅=-=-=-．同理()322121ββββββββ=⋅=-=-=-．所以()()()5325253521101121αβαβαβ+=-+-=+-=-9、（2014初三上期末朝阳区）某商场进价为每件40元的商品，按每件50元出售时，每天可卖出500件．如果这种商品每件涨价1元，那么平均每天少卖出10件．当要求售价不高于每件70元时，要想每天获得8000元的利润，那么该商品每件应涨价多少元？【答案】 10【解析】该题考察的是一元二次方程的应用．设售价应提高x 元，依题意得()()10500108000x x +-=，整理得2403000x x -+= 解方程得110x =；230x =，∵售价不高于70元，所以30x =不符合题意，答：该商品每件应涨价10元．这次课我学到了：签字：年月日课后作业1、()()2353x x x -=-的解是（） A ．52x =B ．3x =C ．152x =，23x = D ．25x =【答案】 C【解析】原方程可变形为()()3250x x --=，所以152x =，23x =，故答案为C 选项．2、分式方程2191502x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解为（）A ．2或12或1 B ．2或12C ．1D ．无实数解【答案】 A【解析】设1x y x +=，则原方程可化为29502y y -+=，解得12y =，252y =；当2y =时12x x +=，去分母整理得2210x x -+=，解得121x x ==，经检验是原方程的解；当52y =时152x x +=，去分母整理得22520x x -+=，解得12x =，212x =，经检验12x =，212x =都是原方程的解，故原方程的解为12x =，212x =，31x =，故答案为A ．3、含参一元二次方程2(1)(21)20m x m x ---+=的解为（）A ．12x =-，211x m =-- B ．12x =，211x m =+ C ．无法确定 D ．12x =，211x m =-【答案】 D 【解析】因为原方程为一元二次方程，所以10m -≠，由因式分解法可得()()2110x m x ---=⎡⎤⎣⎦，所以12x =，211x m =-，故答案为D ．4、若关于x 的方程()0221123=----mx x m mm是一元二次方程，则m =__________【答案】 23m =-【解析】满足10m -≠，且232m m -=，解得23m =-5、（2012中考东城二模）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x =±i ，从而x =±i 是方程21x =-的两个根．据此可知：(1)i 可以运算，例如：321i i i i i =⋅=-⨯=-，则4i = ， 2011i =______________，2012i =__________________；(2)方程2220x x -+=的两根为（根用i 表示）．【答案】（1）1；-i ；1（2）1i +和1i -【解析】该题考查的是求一元二次方程的根（1）根据21i =-可将4i 化为22i i ⋅；()100520112i i i =⋅；()100620122i i i =⋅进行计算即可；∵21i =-， ∴2421i i i =⋅= ∴()()10051005201121i i i i i ⋅⋅==-=-； ∴()()10061006201221i i i i i ⋅-⋅===．∴41i =，2011i i =-，20121i =……3分（2）先根据21i -=求出∆的值，再由公式法求出x 的值即可． ∵()224124∆=--⨯⨯=-，21i =- ∴24i ∆=，∴方程2220x x -+=的两根为22121ix i ±==±⨯，即1x i =+或1x i =-…5分6、解关于x 的方程()()()2220x p q x pq p q p q -+++-=【答案】1()x p p q =-，()2x q p q =+【解析】用十字相乘法分解因式得()()0x p p q x q p q ---+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以1()x p p q =-，()2x q p q =+7、已知关于x 的方程22212022m x x x x m-++=+-，当m 为何值时，方程恰有三个不相等的实数根？求出这三个实数根【答案】0m =，11x =-，212x =-+，312x =--【解析】设22x x y +=，则原方程可化为22210y my m -+-=，解得11y m =+，21y m =-，所以2210x x m +--=①，2210x x m +-+=②，从而148m ∆=+和24m ∆=应有一个等于0，一个大于0，经讨论当20∆=，即0m =时10∆>，此时②有两个相等的实数根1x =-，①有两个不等实数根12x =-±8、已知m 是不等式组210430m m -≥⎧⎨->⎩的整数解，α、β是关于x 的方程20x mx m --=的两个实根，求：⑴ 33αβ+的值；⑵ 43αβ+的值【答案】 4，5【解析】2101443023m m m -⎧⇒<⎨->⎩≥≤，又m 是整数，故1m =，210x x --=，15,2αβ±= 又α、1c <是210x x --=的两个实根，故210αα--=，210ββ--=．故()()()332211224αβααββααββαβ+=+++=+++=++=．故()43325αβαβ+=++=．9、（2012初二下期末朝阳区）列方程解应用题汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2009年盈利1500万元，到2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2009年到2011年每年盈利的年增长率是多少?（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2012年盈利多少万元?【答案】（1）0.2x =（2）2592万元【解析】该题考查的是列一元二次方程解应用题．（1）设该公司每年盈利的年增长率是x ．()2150012160x += 3分()21 1.44x +=解得：10.2x =，2 2.2x =-（不合题意，舍去） 4分答：该公司每年的年增长率是20%（2）()216010.22592+= 5分答：预计2012年盈利2592万元。

一元二次方程的解法精选教学PPT课件

x1=4
x2=-4
因此，我们把方程的左边因式分解，
这样将一元二次方程转化为两个一
元一次方程来求解的方法叫做因式
分解法．
例 x2-5x+6=0
解：把方程的左边因式分解
得 (x-2)(x-3)=0
因此，有 x-2=0 或 x-3=0
解得 x1=2
x2=3
１） x2+3x=0 解：x(x+3)=0 因此有 x=0或 (x+3)=0
形如 ax2+c=0（a≠0,a,c异号）
ax2=-c
x2=-
c a
(a*c<0)
我们用直接开平方法求解．
当a*c>0时，此时原方程没有
实数解（根）．
形如 ax2+bx=0 (a≠0)
x(ax+b)=0
x=0 或 ax+b=0
x1=0
x2=-
b a
没有人能忽略这样一张脸孔：泪眼纷纷，呜咽声声，“求求，求求你们。”黑夜在颤抖，墨镜里，必藏着一双红肿、深陷、因其绝望而绝美的眼睛。她叫苏珊,她说：“这原本是一个温良秋夜，她开车带着3岁和14个月大的两个孩子，行驶在静谧的公路上，忽然一个歹徒窜上车，持枪威逼她下车，带着她的孩子们，扬长而去。
生死教会她锐利果敢。所以她说，那一刻，没有一个母亲，会如苏珊般高贵沉着。九天九夜的追捕，孩子们找到了。不在暗夜不在森林，而沉在冰冷的湖底。苏珊，终于向警方自首，的确是她，Leabharlann 为一点情欲的贪念，亲手杀了自己的孩子。
1994年的事了。偶尔在一本书里，读到前因后果，和那陌生女子的信。我低一低头，其实并没有泪。我想我懂。我尚不及为人母，也不曾遭逢死亡，我却曾站在高处林下，看着爱人轻快远去，仿佛有鹳雀在他鞋底翻飞，他是急着赶另一个女子的约会吧?真相凄厉地直逼眼前。不是不知道，在泪落之前应该说再见，我却做不到。因为我爱他。

一元二次方程(讲义)

教学目标1．了解整式方程和一元二次方程的概念；2．知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3．通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学建议教学重点和难点：重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。

难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。

教学建议：1．教材分析：1）知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。

2）重点、难点分析理解一元二次方程的定义：是一元二次方程的重要组成部分。

方程，只有当时，才叫做一元二次方程。

如果且，它就是一元二次方程了。

解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。

（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。

如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。

（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。

如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。

教学设计示例一元二次方程（1）教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学难点和难点:重点:1．一元二次方程的有关概念2．会把一元二次方程化成一般形式难点: 一元二次方程的含义.教学过程设计一、引入新课引例：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪?分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。

九年级数学一元二次方程的解法课件

三、一元二次方程的实例分析
实例1
通过详细的实例，演示一元二次方程的解法和思考过程。
实例2
继续探索一元二次方程的实际问题，并解决具体情境中的方程。
实例3
尝试更复杂和具有挑战性的一元二次方程实例，提高解题能力。
四、一元二次方程习题解析
1 同步练习题
解答一些与课堂内容相关的练习题，巩固所学的一元二次方程解法。
2 模拟试题分析
通过详细的试题分析，了解如何应用所学的解题技巧解决实际问题。
五、注意事项及解题技巧
注意事项
了解解决一元二次方程时需要注意的常见错误和特殊情况。
解题技巧
掌握一些解题技巧，使解决一元二次方程更加高效和准确。
六、总结
本节课的收获总结
总结本节课学到的知识和技巧，强化对一元二次方程的理解。
九年级数学一元二次方程的解法课件
欢迎来到九年级数学一元二次方程的解法课件。在这个课件中，我们将深入探讨一元二次方程的定义、基本形式以及不同的求解方法。请跟随我们的步骤进行学习，掌握解决一元二次方程的技巧和策略。
一、一元二次方程的定义及基本形式
什么是一元二次方程
了解一元二次方程的概念和特征，它在数学中的作用和应用。
一元二次方程的基本形式
掌握一元二次方程的标准形式，了解方程中各项的含义和关系。
二、一元二次方程的求解方法
1
直接代入求解法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学习使用代入法解决一元二次方程，掌握求解步骤和技巧。
2
因式分解法
了解使用因式分解法解决一元二次方程，找到方程的根和因数。
3
公式法
掌握使用一元二次方程公式求解的方法，简化解题过程。
下一步的学习计划

沪科版数学八年级一元二次方程辅导班一对一讲义

∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+1的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值．
二、能力点评
学法升华
一、知识收获
一元二次方程：方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的整式方程，一般地，这样的方程都整理成为形如的一般形式，
二、方法总结
一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法
知识点二、直接开平方法
形如的方程都可以用开平方的方法写成，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
知识点三、配方法
通过配方将原方程转化为的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
格德教育学科教师辅导讲义
学员编号：年级：课时数：
学员姓名：辅导科目：学科教师：
授课
类型
G趣味引导
T课本同步
S
A
授课日期时段
教学内容
一、同步知识梳理
知识点一、一元二次方程
方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的整式方程，一般地，这样的方程都整理成为形如的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b分别是二次项和一次项的系数
题型4：直接开平方法
例1用直接开方法解下列方程
（1）（x＋2）2－16＝0；（2）(x－1)2－18＝0；
巩固1解方程
(1－3x)2＝1；(2x＋3)2－25＝0.

九年级一对一教案-第6讲-一元二次方程19版

第6讲一元二次方程1.一元二次方程定义2.一元二次方程的根3.解一元二次方程4.根的判别5.韦达定理6.一元二次方程应用知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例1. 一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． (2)一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，其中ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项、常数项，a 、b 、c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．例：方程20aax+=是关于x 的一元二次方程，则方程的根为－1.【例题1】（2017秋•郓城县期中）下列方程一定是一元二次方程的是（）A ．3x 2+﹣1=0B ．5x 2﹣6y ﹣3=0 C．ax 2﹣x +2=0D ．3x 2﹣2x ﹣1=0【例题剖析】概念理解题：能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键【例题2】关于x 的方程是一元二次方程，则a= ．【例题剖析】对一元二次方程一般形式的理解题：【例题3】（2017•河北模拟）关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+2x +m 2﹣5m +4=0，常数项为0，则m 值等于（） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．0【例题剖析】对一元二次方程一般解的理解题：【例题4】（2017秋•抚顺县期末）关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．3【例题5】（2017秋•潮南区期末）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+3=（）A．﹣2B．1C．0D．5【例题6】已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+m2﹣4=0的一个根为0，则m=．【例题剖析】对一元二次方程一般解的理解转换计算：【例题7】（2017•临海市模拟）若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的一个实数根，则2014﹣m2+5m的值是（）A．2011B．2012C．2013D．20142.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.( 3 )公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=242b b aca-±-（b2－4ac≥0）.(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=－3,k=6.【例题剖析】解一元二次方程-直接开平方法的【新定义题】【练习1】给出一种运算：对于函数y=x n，规定y'=nx n﹣1．例如：若函数y=x4，则有y'=4x3．已知函数y=x3，则方程y'=36的解是（）A．x1=x2=0B．x1=2，x2=﹣2C．x1=2，x2=﹣2D．x1=4，x2=﹣4【练习2】（2017春•甘州区校级期中）在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2，则方程（4★3）★x=13的根为．【练习3】在实属范围内定义新运算“⊕”其法则为a⊕b=a2﹣b2，则（4⊕3）⊕x=24的解为．【练习4】（2017春•鄂州期中）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+2与2m﹣5，则=．考点1 ：解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【例题剖析】解一元二次方程-配方法【例题8】利用配方法解方程2x2﹣x﹣2=0时，应先将其变形为（）B．C．D．A．【例题9】用配方法解一元二次方程2x2﹣4x+1=0，变形正确的是（）A．（x﹣）2=0B．（x﹣）2=C．（x﹣1）2=D．（x﹣1）2=0考点2 ：解一元二次方程-公式法【例题剖析】解一元二次方程-公式法【例题10】已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）A．﹣2＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣3＜a＜﹣4D．4＜a＜5【例题11】若一元二次方程x2+x﹣1=0的较大根是m，则（）A．m＞2B．m＜﹣1C．1＜m＜2D．0＜m＜1【例题12】用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0．考点3 ：解一元二次方程-因式分解法【例题剖析】解一元二次方程-因式分解法【例题13】（2017•霍山县校级模拟）使分式的值等于零的x是（）A．6B．﹣1或6C．﹣1D．﹣6【例题剖析】解一元二次方程-因式分解法实际运用【练习5】（2017•高新区一模）对于实数a，b，先定义一种新运算“★”如下：a★b=．若2★m=36，则实数m等于（）A．8.5B．4C．4或﹣4.5D．4或﹣4.5或8.5【练习6】定义一种新运算：a♣b=a（a﹣b），例如，4♣3=4×（4﹣3）=4，若x♣2=3，则x的值是（）A．x=3B．x=﹣1C．x1=3，x2=1D．x1=3，x2=﹣1【练习7】（2017秋•凉州区期末）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为．考点4 ：换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【例题剖析】解一元二次方程-换元法【例题14】（2017秋•鄂城区期中）已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x的值为（）A．3B．﹣3或1C．1D．﹣1或3【例题15】已知（x2+y2）2﹣y2=x2+6，则x2+y2的值是（）A．﹣2B．3C．﹣2或3D．﹣2且3【例题16】已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（）A．﹣2B．4C．4或﹣2D．﹣4或2【例题17】（2017秋•宜城市期中）已知方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是（）A．x1=1，x2=﹣4B．x1=﹣1，x2=﹣4C．x1=﹣1，x2=4D．x1=1，x2=4知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系3.根的判别式(1)当Δ＝24b ac->0时，原方程有两个不相等的实数根．(2)当Δ＝24b ac-=0时，原方程有两个相等的实数根．(3)当Δ＝24b ac-<0时，原方程没有实数根．例：方程2210x x+-=的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程2230x x++=的判别式等于－8，故该方程没有实数根.【例题剖析】解一元二次方程-根的情况判别【例题18】一元二次方程3x2﹣6x+4=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根【例题19】（2017•咸宁）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【例题剖析】解一元二次方程-根判别的相关计算【练习8】（2018•泸县校级一模）关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0B．k＞0C．k≥﹣1D．k＞﹣1【练习9】（2017•广州）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）A．q＜16B．q＞16C．q≤4D．q≥4*4.根与系数的关系（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=－b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2,12121211x xx x x x++=等.失分点警示在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时★=b2－4ac≥0.（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【例题剖析】根与系数的关系的直接计算【例题20】（2017秋•武昌区月考）方程x2﹣6x+10=0的根的情况是（）A．两个实根和为6B．两个实根之积为10C．没有实数根D．有两个相等的实数根【例题21】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x﹣15=0的两个根，则x1+x2等于（）A．﹣6B．6C．﹣15D．15【例题22】两个不等的实数a、b满足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，则ab的值为（）A．1B．﹣1C．D．【例题23】（2017春•莱城区期末）已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x2﹣13x+36=0的两个实数根，则此菱形的面积是（）A．18B．30C．36D．不确定【例题剖析】根与系数的关系的逆运算【练习10】（2017•烟台）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（）A．﹣1或2B．1或﹣2C．﹣2D．1【练习11】（2017•新疆）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．6【练习12】（2017•雅安）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，且x1x2=﹣3，则k的值为（）A．1B．2C．3D．4【例题剖析】根与系数的关系的转换计算【模型A】+【练习13】若方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x1和x2，则+的值是（）A．1B．2C．﹣D．﹣【练习14】（2017•黔东南州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2B．﹣1C．D．﹣2【练习15】设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则=（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【模型B】x12+x22【练习16】若方程x2﹣4x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（）A．6B．﹣6C．18D．﹣18【练习17】已知一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两根为x1，x2，则x12+x22=．【模型C】+【练习18】设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则+的值是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣6或﹣5D．6或5【练习19】设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则+的值是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣6或﹣5D．6或5【模型D】n m【练习20】（2017•绵阳）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则n m 的值为（）A．﹣8B．8C．16D．﹣16【练习21】（2018•宜宾模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则b a的值是．【模型E】根的加、积混合【练习22】（2017•仙桃）若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）A．﹣13B．12C．14D．15【练习23】设a，b是方程x2+x﹣2012=0的两个根，则a2+2a+b的值为（）A．2009B．2010C．2011D．2012【练习24】（2017•日照模拟）已知a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2﹣ab+3a+b的值为（）A．2B．3C．﹣2D．8【练习25】已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（）A．1B．3C．﹣5D．﹣9【练习26】（2017•昆明模拟）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2的值是（）B．﹣C．D．﹣A．【练习27】（2017秋•金堂县期末）若x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是．知识点三：一元二次方程的应用4.列一元二次方程解应用题（1）解题步骤：①审题；②设未知数；★ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.★平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；★利润问题：利润=售价－成本；利润率=利润/成本×100%；★传播、比赛问题：★面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.1、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2=后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）“每每型”：在经济问题中常常出现这样的描述：“单价每降低1元，每天可多售出10件。

一元二次方程的概念及解法一对一辅导讲义讲课讲稿

一元二次方程的概念及解法一对一辅导讲义1、了解一元二次方程的概念；2、了解一元二次方程的解，并能熟练运用四种方法去解；3、经历一元二次方程的概念的发现过程，体验归纳、类比的思想方法。

第一课时一元二次方程的概念及解法知识梳理1、如果()a a 21122-=-，则（） A 、21<a B 、21≤a C 、21>a D 、21≥a2、若a a a a +-+--=21212成立，则a 为__________3、已知0 ＜x ＜1，化简：4)1(2+-x x －4)1(2-+x x4、 981431321211++⋅⋅⋅++++++5、x y xy -==512，，求x xy y 22-+的值知识梳理课前检测一、一元一次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

二、一元一次方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；三、一元二次方程的解法（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

（2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法第二课时一元二次方程的概念及解法典型例题题型一：一元二次方程的概念例1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx ax D1222+=+x x x变1.（1)当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

(完整版)一元二次方程讲义——绝对经典实用

一元二次方程基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。

其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。

如：24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 200++=≠（），2412x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。

注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

2. 一元二次方程求根方法（1）直接开平方法形如x m m 20=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。

（2）配方法通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥20（）的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。

配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。

（3）公式法求根公式：方程ax bx c a 200++=≠（）的求根公式x b b ac ab ac =-±--≥224240（）步骤：1）把方程整理为一般形式：ax bx c a 200++=≠（），确定a 、b 、c 。

2）计算式子b ac 24-的值。

3）当b ac 240-≥时，把a 、b 和b ac 24-的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a ==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．6、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a =．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．7、韦达定理的逆定理2一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12cx x a =，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．8、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a -<，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0b a -<，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m >③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．9、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑵ 2b ak -=或2b ak -=，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)11、一元二次方程的应用1．求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。

人教九年级数学上21.2一元二次方程的解法(4种解法全共84张ppt)

这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。
例1、解下列方程（1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21 ∵x是1.21的平方根 ∴x=±1.1 即 x1=1.1，x2=-1.1 （2）移项，得4x2=1 1 两边都除以4，得 x2= 1 4 ∵x是 4 的平方根 ∴x=
若x2=a，则x=
2 4 ±3 ，的平方根是______ 如：9的平方根是______ 5
a 即x= a 或x= a
4.平方根有哪些性质？ (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数的； (2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根.
25
如何解方程：（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
7 5 ∴x1= ，x2= 4 4
将方程化成
(mx n) p
2
(p≥0）的形式, 再求解
1、小试身手 :
判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解并说明理由.
1） x2=2
( √ )
2） p2 - 49=0
3） 6 x2=3 4) （5x+9）2+16=0 5) 121-(y+3) 2 =0
21.2解一元二次方程
21.2.1 直接开平方法
1、一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
ax bx c 0 （a 0)
2
3.什么叫做平方根? 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.

初三数学一对一第02讲——一元二次方程(二)求根公式、因式分解法

第二讲一元二次方程（二）——求根公式、因式分解法一、一元二次方程之技巧解法因式分解法：提公因式，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提供因式法，而且其中一个根为0290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-=3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。

22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-=24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+= 十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。

二、根的判别式：ac b 42-=∆当ac b 42-=∆＞0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根.反之亦然. 当ac b 42-=∆=0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根. 反之亦然. 当ac b 42-=∆＜0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 没有的实数根. 反之亦然.三、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a--==所以：12b x x a+=+=-，12244ac c x x a a⋅==== 对称轴X= -顶点坐标为x=- ，y=定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-= 法2：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a ++=⇔-++= 12b x x a⇒+=-；12c x x a ∙= 法3：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12b x x a +=-（余下略）常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-， 12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-， 12||x x -= 2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+== 等【典例分析】板块一：判别式的应用知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。

人教版九年级数学上册教案本《一元二次方程四种解法》

人教版九年级数学上册教案本《一元二次方程四种解法》一. 教材分析本节课是人教版九年级数学上册的第九章《一元二次方程》的第四节内容，主要讲述了一元二次方程的四种解法：因式分解法、求根公式法、配方法、图像法。

通过本节课的学习，使学生掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经接触过一元二次方程的基本概念和性质，对于解一元二次方程有一定的了解。

但部分学生对于四种解法的理解和运用还存在困难，需要通过本节课的学习加以巩固。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用到实际问题中。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的四种解法。

2.难点：四种解法的灵活运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、小组合作法、讨论交流法、案例分析法等教学方法，充分调动学生的学习积极性，提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。

2.学具准备：笔记本、笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些实际问题，引导学生运用一元二次方程解决实际问题，从而引出一元二次方程的解法。

2.呈现（10分钟）介绍一元二次方程的四种解法：因式分解法、求根公式法、配方法、图像法，并通过例题展示每种解法的步骤和应用。

3.操练（10分钟）学生分组进行练习，每组选择一种解法，解决给出的练习题。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）学生互相交流解题心得，分享解题过程中的困惑和解决方法。

教师总结四种解法的优缺点，引导学生学会根据实际情况选择合适的解法。

5.拓展（10分钟）学生分组讨论：一元二次方程的解法在实际生活中的应用。

每组选取一个实际问题，运用所学解法解决问题，并展示成果。

初中数学《一元二次方程》全章讲义

初中数学《一元二次方程》全章讲义一元二次方程的解法包括四种：因式分解法、配方法、公式法和图像法。

1、因式分解法：将一元二次方程化为两个一次因式的乘积，使每个一次因式等于0，从而求出方程的解。

2、配方法：通过加减平方完成方程的配方，将一元二次方程化为一个完全平方式的形式，从而求出方程的解。

3、公式法：利用求根公式求出一元二次方程的解，其中求根公式为x=（-b±√(b²-4ac)）/2a。

4、图像法：通过绘制一元二次方程的图像，找出方程在x轴上的根，从而求出方程的解。

例1、用因式分解法解方程x²-3x-10=0.解：将方程化为(x-5)(x+2)=0，得到x=5或x=-2.例2、用配方法解方程2x²+5x-3=0.解：将方程改写为2(x+5/4)²-121/16=0，得到x=-3/2或x=1/2.例3、用公式法解方程3x²+4x-1=0.解：根据求根公式，得到x=(-4±√52)/6，化简后得到x=-1/3或x=1/2.例4、用图像法解方程x²-2x-3=0.解：绘制出方程的图像，找到x轴上的两个根，得到x=-1和x=3.一元二次方程的常用解法包括直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法。

选择合适的解法可以按以下方法进行：当方程一边为完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法；当方程的一边为一次因式的乘积，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解；当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法；当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。

例如，对于方程$2x-8=\sqrt{x+2}$，可以使用直接开平方法求解；对于方程$(1-x)^2-9=0$，可以使用因式分解法求解；对于方程$2x(x-3)=5(x-3)$，可以使用配方法求解；对于方程$(4x+y)^2+3(4x+y)-4=0$，可以使用求根公式法求解。

一元二次方程详细教学

一元二次方程详细教学【原创实用版】目录一、一元二次方程的基本概念1.一元二次方程的定义2.一元二次方程的一般形式二、一元二次方程的解法1.配方法2.公式法3.因式分解法三、一元二次方程的应用1.实际问题中的应用2.解决其他相关数学问题的基础正文一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为已知数，且 a≠0。

在这个方程中，未知数的最高次数是二次，因此被称为一元二次方程。

一元二次方程是初中数学和高中数学中的基本内容，掌握这个知识点对于后续学习有着重要的意义。

在一元二次方程中，一般形式为 ax+bx+c=0，其中 a、b、c 分别为方程的三个系数，x 为未知数。

在这个方程中，a 决定了二次项的正负性，当 a>0 时，二次项为上开口抛物线，当 a<0 时，二次项为下开口抛物线。

b 和c 则决定了抛物线与 x 轴的交点，也就是一元二次方程的解。

二、一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要有配方法、公式法和因式分解法三种。

1.配方法：配方法是将一元二次方程化为完全平方的形式，然后解出未知数的方法。

具体操作是，将常数项移到等式右边，然后将二次项的系数除以 2，再将其平方加到等式两边，使等式左边成为完全平方。

2.公式法：公式法是根据一元二次方程的系数，利用公式求出解的方法。

公式为：x1,2=[-b±√(b-4ac)]/2a。

其中，x1 和 x2 分别为方程的两个解，当 b-4ac>0 时，方程有两个不相等的实数解；当 b-4ac=0 时，方程有两个相等的实数解；当 b-4ac<0 时，方程无实数解。

3.因式分解法：因式分解法是将一元二次方程分解为两个一次方程，然后解出未知数的方法。

具体操作是，将一元二次方程的左边因式分解，然后使每个因式等于 0，解出一次方程，从而得到未知数的解。

三、一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中有广泛的应用，例如求解面积、体积、路程等问题。

一元二次方程的几种解法PPT教学课件

三、练习
练习 1、填空：
（1） x2 8x __ x _2.
（2） x2 5x __ x _ 2. （3） x2 4 x __ x __2.
3
（4） x2 3 x __ x __2.
4
（5） x2 px __ x __2.
练习 1、填空：
（1） x2 8x _16_ x 4_2.
系数一半的平方，得
2 4 4 2
写成（）2 的形式，得
x
7 2
49
24 .
4 16 16
开平方，得
x 7 25 .
4
16
2
x1 , x2 3.
1
解这两个方程，得
44
44
x1 , x2 .
75
75
解法2：配方法
配方法的基本步骤：
1、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数； 2、移项：将常数项移到等号一边； 3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4、等号左边写成（）2 的形式； 5、开平方：化成一元一次方程； 6、解一元一次方程； 7、写出方程的解.
25
5
（2） x2 5x _4_ x _2 2.
（3）
x2
4
x
4
_9_
x
2
_3_ 2 .
3
（4）
x2
3 4
x
9
_6_4
x
3
_8_ 2 .
p2
p
（5） x2 px _4_ x _2_2.
2、用配方法解下列方程：
(1) x2 6x 4 0; (2) 2t 2 7t 4 0; (3) x2 5x 6 0; (4) 3y2 1 6 y.