高考数学专题 立体几何中的建系设点问题
立体几何—建系难
例1 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥中,,,为的中点,.(1)求的长; (2)求二面角的正弦值.【答案】解：(1)如图，联结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CD sin π3＝3，故A (0，－3，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)．因PA ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1，z 2，又AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB→＝(3，3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，z ＝2 3(舍去－2 3)，所以|PA →|＝2 3.(2)由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF →＝(0，2，3)．设平面FAD 的法向量为1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为2＝(x 2，y 2，z 2)．由1·AD →＝0，1·AF →＝0，得⎩⎨⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取1＝(3，3，－2)． 由2·AB →＝0，2·AF →＝0，得⎩⎨⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取2＝(3，－3，2)． 从而向量1，2的夹角的余弦值为cos 〈1，2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18.故二面角B －AF －D 的正弦值为3 78.例2（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四棱锥P ABCD -中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==∆，与PAD ∆都是等边三角形.(I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小.【答案】解：(1)取BC 的中点E ，联结DE ，则四边形ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 联结OA ，OB ，OD ，OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ， 所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ， 故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD . 取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连FG . 则FG ∥CD ，FG ⊥PD .联结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD . 所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角． 联结AG ，EG ，则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则AE ＝2 2，EG ＝12PB ＝1，故AG ＝AE 2＋EG 2＝3，在△AFG 中，FG ＝12CD ＝2，AF ＝3，AG ＝3.所以cos∠AFG ＝FG 2＋AF 2－AG 22·FG ·AF ＝－63.因此二面角A －PD －C 的大小为π－arccos 63. 解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE →的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设|AB →|＝2，则A (－2，0，0)，D (0，－2，0)， C (2 2，－2，0)，P (0，0，2)，PC →＝(2 2，－2，－2)，PD →＝(0，－2，－2)， AP →＝(2，0，2)，AD →＝(2，－2，0)．设平面PCD 的法向量为1＝(x ，y ，z )，则1·PC →＝(x ，y ，z )·(2 2，－2，－2)＝0， 1·PD →＝(x ，y ，z )·(0，－2，－2)＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故1＝(0，－1，1)． 设平面PAD 的法向量为2＝(m ，p ，q )，则2·AP →＝(m ，p ，q )·(2，0，2)＝0， 2·AD →＝(m ，p ，q )·(2，－2，0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0.取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故2＝(1，1，－1)．于是cos 〈，2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－63.由于〈，2〉等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C 的大小为π－arccos63. 例3（2012高考真题重庆理19）（本小题满分12分 如图，在直三棱柱111C B A ABC 中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的中点（Ⅰ）求点C 到平面11ABB A 的距离;（Ⅱ）若11AB A C 求二面角 的平面角的余弦值.【答案】解：(1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB .又CD ⊥AA 1，故CD ⊥面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝ 5.(2)解法一：如图，取D 1为A 1B 1的中点，连结DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角．因A 1D 为A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A .因此AA 1AD ＝A 1B 1AA 1，即AA 21＝AD ·A 1B 1＝8，得AA 1＝2 2. 从而A 1D ＝AA 21＋AD 2＝23. 所以，在Rt △A 1DD 1中， cos ∠A 1DD 1＝DD 1A 1D ＝AA 1A 1D ＝63.解法二：如图，过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于点D 1，在直三棱柱中，易知DB ，DC ，DD 1两两垂直．以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .设直三棱柱的高为h ，则A (－2,0,0)，A 1(－2,0，h )，B 1(2,0，h )，C (0，5，0)，C 1(0，5，h )，从而AB 1→＝(4,0，h )，A 1C →＝(2，5，－h )． 由AB 1→⊥A 1C →，有8－h 2＝0，h ＝22. 故DA 1→＝(－2,0,22)，CC 1→＝(0,0,22)，DC →＝ (0，5，0)．设平面A 1CD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ⊥DC →，m ⊥DA 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧5y 1＝0，－2x 1＋22z 1＝0，取z 1＝1，得m ＝(2，0,1)，设平面C 1CD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ⊥DC →，n ⊥CC 1→，即 ⎩⎪⎨⎪⎧5y 2＝0，22z 2＝0，取x 2＝1，得n ＝(1,0,0)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝22＋1·1＝63.所以二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值为63. 例4（2012高考真题江西理20）（本题满分12分）如图1－5，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝AC ＝AA 1＝5，BC ＝4，点A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O .(1)证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长； (2)求平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值．图1－5【答案】解：(1)证明：连接AO ，在△AOA 1中，作OE ⊥AA 1 于点E ，因为AA 1∥BB 1，所以OE ⊥BB 1.因为A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC . 因为AB ＝AC ，OB ＝OC ，所以AO ⊥BC ， 所以BC ⊥平面AA 1O . 所以BC ⊥OE ，所以OE ⊥平面BB 1C 1C ，又AO ＝AB 2－BO 2＝1，AA 1＝5，得AE ＝AO 2AA 1＝55.(2)如图，分别以OA ，OB ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0，－2,0)，A 1(0,0,2)，由AE →＝15AA 1→得点E 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫45，0，25，由(1)得平面BB 1C 1C 的法向量是OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，0，25，设平面A 1B 1C 的法向量＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧·AB →＝0，n ·A 1C →＝0得⎩⎨⎧－x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0，令y ＝1，得x ＝2，z ＝－1，即＝(2,1，－1)，所以 cos 〈OE →，〉＝OE →·n|OE →|·|n |＝3010.即平面BB 1C 1C 与平面A 1B 1C 的夹角的余弦值是3010. 例5（2012高考真题安徽理18）（本小题满分12分）平面图形ABB 1A 1C 1C 如图1－4(1)所示，其中BB 1C 1C 是矩形，BC ＝2，BB 1＝4，AB ＝AC ＝2，A 1B 1＝A 1C 1＝ 5.图1－4现将该平面图形分别沿BC 和B 1C 1折叠，使△ABC 与△A 1B 1C 1所在平面都与平面BB 1C 1C 垂直，再分别连接A 1A ，A 1B ，A 1C ，得到如图1－4(2)所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．(1)证明：AA 1⊥BC ； (2)求AA 1的长；(3)求二面角A －BC －A 1的余弦值．【答案】解：(向量法)：(1)证明：取BC ，B 1C 1的中点分别为D 和D 1，连接A 1D 1，DD 1，AD . 由BB 1C 1C 为矩形知，DD 1⊥B 1C 1，因为平面BB 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1， 所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1， 又由A 1B 1＝A 1C 1知，A 1D 1⊥B 1C 1.故以D 1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D 1－xyz . 由题设，可得A 1D 1＝2，AD ＝1.由以上可知AD ⊥平面BB 1C 1C ，A 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，于是AD ∥A 1D 1. 所以A (0，－1,4)，B (1,0,4)，A 1(0,2,0)，C (－1,0,4)，D (0,0,4)． 故AA 1→＝(0,3，－4)，BC →＝(－2,0,0)，AA 1→·BC →＝0， 因此AA 1→⊥BC →，即AA 1⊥BC . (2)因为AA 1→＝(0,3，－4)， 所以||AA 1→＝5，即AA 1＝5. (3)连接A 1D ，由BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1，可知BC ⊥平面A 1AD ，BC ⊥A 1D ，所以∠ADA 1为二面角A －BC －A 1的平面角．因为DA →＝(0，－1,0)，DA 1→＝(0,2，－4)，所以 cos 〈DA →，DA1→〉＝－21×22＋－42＝－55. 即二面角A －BC －A 1的余弦值为－55.(综合法)(1)证明：取BC ，B 1C 1的中点分别为D 和D 1，连接A 1D 1，DD 1，AD ，A 1D .由条件可知，BC ⊥AD ，B 1C 1⊥A 1D 1，由上可得AD ⊥面BB 1C 1C ，A 1D 1⊥面BB 1C 1C . 因此AD ∥A 1D 1，即AD ，A 1D 1确定平面AD 1A 1D . 又因为DD 1∥BB 1，BB 1⊥BC ，所以DD 1⊥BC . 又考虑到AD ⊥BC ，所以BC ⊥平面AD 1A 1D ， 故BC ⊥AA 1.(2)延长A 1D 1到G 点，使GD 1＝AD ，连接AG . 因为AD 綊GD 1，所以AG 綊DD 1綊BB 1. 由于BB 1⊥平面A 1B 1C 1，所以AG ⊥A 1G . 由条件可知，A 1G ＝A 1D 1＋D 1G ＝3，AG ＝4， 所以AA 1＝5.(3)因为BC ⊥平面AD 1A 1D ，所以∠ADA 1为二面角A －BC －A 1的平面角． 在Rt △A 1DD 1中，DD 1＝4，A 1D 1＝2，解得 sin ∠D 1DA 1＝55， cos ∠ADA 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠D 1DA 1＝－55.即二面角A －BC －A 1的余弦值为－55.。
高中数学立体几何建系设点专题
ABCD 222，，，AQ PB 22222，，，，，2x 2)2PQ nn2ABQM ADCOPxyzMABD CO PxyzE C B ==32的正三角形，的正三角形，223a2a23(0,02a32a2a3a13OCDA1 B1 C1 AOCDA1 B1 xzyA BCA1B1C1MzyxCA1B1C1Mz解法二： 13(,,2)22a AC a a =-， 平面ABB 1A 1的一个法向量(1,0,0)n =-∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角q 的正弦为：1sin cos ,AC n q =<> =1112||||AC n AC n ×=∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°练4：请在下列图形中建立适当的坐标系，并标明图中所有点的坐标。
（1）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面,,,A B C D A B A D A C C D A B C ^^Ð=°,P A A B B C ==E 是PC 的中点的中点.. （2）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．中点．A P E B C D ABCD1A1C1B63611222226121++621566建立如图2所示的空间直角坐标系，设AB=2AB=2，，则(13,1,0(3,1,C 平面BB 1C 1C 的一个法向量为(1,0,0)n = ，所以AC 1113648AC n AC n ×== 。
3.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线BD 与B 1C 的距离。
的距离。
解：建立空间直角坐标系（如图），则B （0，0，0），C （1，0，0），D （1，1，0） B 1（0，0，1），则1111(1,1,1,0),1(1,0,,0,1),(0,0,1(0,0,1))BD B C BB ==-= 设与1,BD B C 都垂直的向量为(,,)n x y z =，则由0BD n x y ×=+=和10,B C n x z ×=-=1,x =令得1,1y z =-=，(1,1,1)n\=- \异面直线BD 与B 1C 的距离：的距离：111||13|cos ,|33BB n d BB BB n n ×=<>===4.4.四棱椎四棱椎P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PCD D 为正三角形，为正三角形，平面,ABCD PCD 平面^PB PD E AC 为,^中点中点. . （1）求证：）求证：PB PB PB∥∥ 平面AEC AEC；； （2）求二面角E —AC AC——D 的大小的大小. . 解：设AD a CD ==,，过,,H CD PH P 垂足为作^A B C DP C D 平面平面^ ^\PH 平面ABCD ，又 是矩形底面ABCD 故可以分别以OH OH、、HC HC、、HP 所在直线为x 轴、轴、y y 轴、轴、z z 轴建立空间直角坐标系H-xyz H-xyz。
2020年高考数学立体几何建系困难问大题精做
2020年高考数学立体几何建系困难问大题精做1.已知三棱锥P ABC -（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD 的正方形，ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： （1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱PA 上运动，当直线BM 与平面PAC 所成的角最大时，求二面角P BC M --的余弦值．图一图二2．矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点E 为AD 中点，沿BE 将ABE △折起至PBE △，如图所示，点P 在面BCDE 的射影O 落在BE 上．（1）求证：面PCE ⊥面PBE ；（2）求平面PCD 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值．3．如图1，在矩形ABCD 中，AB =BC =点E 在线段DC 上，且DE ，现将AED △沿AE 折到AED '△的位置，连结CD '，BD '，如图2．（1）若点P 在线段BC 上，且BP =，证明：AE D P ⊥'； （2）记平面AD E '与平面BCD '的交线为l ．若二面角B AE D --'为2π3，求l 与平面D CE '所成角的正弦值．4．如图，在四棱锥P ABCD-中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD⊥平面ABCD，=，PA与平面PBC．PA PD（1）求侧棱PA的长；（2）设E为AB中点，若PA AB≥，求二面角B PC E--的余弦值．【解析】（1）设AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．由题意，得PA PB PC ==1PO =， 1AO BO CO ===．∵在PAC △中，PA PC =，O 为AC 的中点，∴PO AC ⊥，∵在POB △中，1PO =，1OB =，PB =，222PO OB PB +=，∴PO OB ⊥． ∵ACOB O =，AC ，OB ⊂平面，∴PO ⊥平面ABC ，∵PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ．（2）由（1）知，BO PO ⊥，BO AC ⊥，BO ⊥平面PAC ， ∴BMO ∠是直线BM 与平面PAC 所成的角，且1tan BO BMO OM OM∠==， ∴当OM 最短时，即M 是PA 的中点时，BMO ∠最大． 由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，∴PO OB ⊥，PO OC ⊥，于是以OC ，OB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图示空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P ，11,0,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1,0BC =-，()1,0,1PC =-，31,0,22MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设平面MBC 的法向量为()111,,x y z =m ，则由00BC MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得：1111030x y x z -=⎧⎨-=⎩．令11x =，得11y =，13z =，即()1,1,3=m ．设平面PBC 的法向量为()222,,x y z =n ，由00BC PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得：222200x y x z -=⎧⎨-=⎩，令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1=n ．cos ,⋅===⋅n m m n n m ．由图可知，二面角P BC M --2．【答案】（1）详见解析；（2）11． 【解析】（1）在四棱锥P BCDE -中，BE CE ==，2BC =，从而有CE BE ⊥， 又∵PO ⊥面BCDE ，而CE ⊂面BCDE ，∴CE PO ⊥，而PO 、BE ⊂面PBE ，且POBE O =，由线面垂直定理可证CE ⊥面PBE ，又CE ⊂面PCE ，由面面垂直判断定定理即证面PCE ⊥面PBE ． （2）由条件知OP ⊥面BCDE ，过点E 做OP 的平行线EZ ，又由（1）知EC ⊥面PBE ，以EB 、EC 、EZ 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示：P ⎝⎭，()C，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22CP ⎛=⎝⎭，22DC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 面PBE 的一个法向量为()10,1,0=n ， 设面PCD 的法向量为()2,,x y z =n，则有00xx y +==，设平面PCD 与平面PBE 所成锐二面角为θ，与12,n n 互补，则cos θ， 故平面PCD 与平面PBE 所成二面角的余弦值为11． 3．【答案】（1）详见解析；（2． 【解析】证明：（1）先在图1中连结DP ，在Rt ADE △中，由AD BC ==，DE得1tan2DAE ∠=，在RtPCD △中，由DC AB ==，PC BC BP ====， 得1tan 2PDC ∠=，∴tan tan PDC DAE ∠=∠，则PDC DAE ∠=∠，∴90DOE ∠=︒，从而有AE OD ⊥，AE OP ⊥，即在图2中有'AE OD ⊥，AE OP ⊥， ∴AE ⊥平面'POD ，则AE D P ⊥'；解：（2）延长AE ，BC 交于点Q ，连接'D Q ，根据公理3得到直线'D Q 即为l ， 再根据二面角定义得到2π'3D OP ∠=．在平面'POD 内过点O 作底面垂线， 以O 为原点，分别为OA ， OP ，及所作垂线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,D '-，()1,0,0E -，()11,0,0Q -，()3,4,0C -， ('11,1,D Q =-，()2,4,0EC =-，('1,ED =-，设平面D EC '的一个法向量为(),,x y z =n ，由240'0EC x y ED x y⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n ，取1y =，得2,1,⎛= ⎝⎭n ． ∴l 与平面'D CE 所成角的正弦值为'15cos ,'5'D Q D Q D Q⋅==⋅n nn ． 4．【答案】（1）1PA =或PA ；（2．【解析】（1）取AD 中点O ，BC 中点M ，连结OP ，OM ，∵PA PD =，∴OP AD ⊥， 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，OP 平面PAD ，平面PAD 平面ABCD AD =，∴OP ⊥平面ABCD ，∴OP OA ⊥，OP OM ⊥， 又∵ABCD 是正方形，∴OA OM ⊥，以O 为原点OA ，OM ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -（如图），则1,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,1,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()()0,0,0P c c >，则1,1,2PB c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,0,0CB =，设平面PBC 的一个法向量为()1111,,x y z =n ，则有1111120x y cz x ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩，取11z =，则1y c =，从而()10,,1c =n ，设PA 与平面PBC 所成角为α，∵1,0,2PA c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴111sin cos ,PA PA PA α⋅====⋅n n n 234c =或213c =， ∴1PA =或PA =． （2）由（1）知，1PAAB ≥=，∴1PA =，c ， 由（1）知，平面PBC 的一个法向量为()10,,1c ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭n ，设平面PCE的一个法向量为()2x y z =，，n ，而11,,02CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,1,2PC ⎛=- ⎝⎭，∴102102x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩取1x =，则2y =，z =(2=n ，设二面角B PC E --的平面角为β，∴12cos cos ,β===n n ， 根据图形得β为锐角，∴二面角B PC E --．。
高三立体几何大题专题（用空间向量解决立体几何类问题）
1【知识梳理】一、空间向量的概念及相关运算1、空间向量基本定理、空间向量基本定理如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p xa yb zc =++u r r r r,,a b c r r r称为基向量。
称为基向量。
2、空间直角坐标系的建立、空间直角坐标系的建立分别以互相垂直的三个基向量k j i ρρρ,,的方向为正方向建立三条数轴：x 轴，y 轴和z 轴。
则轴。
则a xi y j zk =++r r r r（x,y,z ）称为空间直角坐标。
）称为空间直角坐标。
注：假如没有三条互相垂直的向量，需要添加辅助线构造，在题目中找出互相垂直的两个面，通过做垂线等方法来建立即可。
建立即可。
3、空间向量运算的坐标表示、空间向量运算的坐标表示(1)若()()111222,,,,,a x y z b x y z ==r r ，则：()121212,,a b x x y y z z ±=±±±r r()111,,a x y z λλλλ=r 121212a b x x y y z z ⋅=++r r 错误!未找到引用源。
121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===r r r r222111a a a x y z =⋅=++r r r ．a b ⋅r r =a rcos ,b a b 〈〉r r r ．cos ,a b a b a b ⋅〈〉=r r r r r r121212222222111222cos ,x x y y z za b a b ab x y z x y z ++⋅〈〉==++⋅++r r r r r r (2)(2)设设()()111222,,,,,A x y z B x y z ==则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---u u u r r r(3)()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则()()()222212121d x x y y z zAB =AB =-+-+-u u u r二、应用：平面的法向量的求法：1、建立恰当的直角坐标系、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n =（x ，y ，z ）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a =（a1，a2, a3） b =（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n*a =0 ②n*b =05、解方程组，取其中一组解即可。
(完整版)立体几何解答题的建系设点问题
立体几何解答题的建系设点问题一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面z z 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即xOy 为轴与底面的交点z 2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：,x y （1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上,x y （2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件,x y （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），+这个过程不能省略。
3、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直④ 直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）：① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若，则222AB AC BC +=AB AC ⊥（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类1、能够直接写出坐标的点（1） 坐标轴上的点，规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出(),,0x y 0z =坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同）()'11,,A x y z ()22,,0A x y 1212,x x y y == 由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。
高中数学立体几何大题一-建系(没有1题2题)
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
但立体几何大题题型一：基础题型3(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．(1)证明 如图所示，连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF .在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3. 由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC . 又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322，从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG .又AC ∩FG ＝G ，可得EG ⊥平面AFC .因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .(2)解 如图，以G 为坐标原点，分别以GB →，GC →的方向为x 轴，y轴正方向，|GB →|为单位长度，每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
但建立空间直角坐标系Gxyz ，由(1)可得A (0，－3，0)，E (1,0，2)， F ⎝⎛⎭⎫－1，0，22，C (0，3，0)， 所以AE →＝(1，3，2)，CF →＝⎝⎛⎭⎫－1，－3，22.故cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →||CF →|＝－33.所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33. 4. 如图，在四棱锥P ABCD 中，侧面P AD 是正三角形，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2BC ＝2，CD ＝3，平面P AD ⊥底面ABCD ，若M 为AD 的中点，E 是棱PC 上的点．(1)求证：平面EBM ⊥平面P AD ；(2)若∠MEC ＝90°，求二面角P BM E 的余弦值． 解：(1)证明：∵M 是AD 的中点， 且AD ＝2，∴MD ＝1， 又∵AD ∥BC ，BC ＝1，∴四边形MBCD 为平行四边形． ∵∠ADC ＝90°，DC ∥MB ， ∴∠AMB ＝90°，即BM ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ， ∴BM ⊥平面P AD .∴平面EBM ⊥平面P AD .(2)∵△P AD 是正三角形，M 为AD 中点， ∴PM ⊥AD .又∵平面P AD ⊥平面ABCD ， ∴PM ⊥平面ABCD .如图，以M 为原点，以MA ，MB ，MP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系M xyz ，每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
(完整版)立体几何解答题的建系设点问题
立体几何解答题的建系设点问题一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。
3、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直：① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）：① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若222AB AC BC +=，则AB AC ⊥ （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点（1） 坐标轴上的点，规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考 2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果()'11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。
2020高考数学----立体几何中的建系设点问题
第63炼 立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。
一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。
但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直 底面两条线垂直），这个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直：① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）：① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若222AB AC BC +=，则AB AC ⊥（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下：x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例： 则可快速写出,H I 点的坐标，位置关系清晰明了111,,0,,1,022H I ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果()'11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。
用向量法解立体几何题，建系求点是关键
用向量法解立体几何题，建系求点是关键发布时间：2021-08-17T17:13:25.967Z 来源：《中小学教育》2021年11期4月作者：梁业兴[导读] 利用空间向量法解立体几何题，可把抽象的空间图形关系转化为具体的数量运算梁业兴中山市龙山中学广东省中山市 528471摘要：利用空间向量法解立体几何题，可把抽象的空间图形关系转化为具体的数量运算，并有很强的规律性和可操作性，但在实际教学中发现，学生对某些几何体存在建系求点上的困难.本文主要通过实例探讨解决问题的办法.关键词：立体几何、向量法、建系求点向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，是具有几何形式和代数形式的“双重身份”的概念，是沟通代数与几何的桥梁.将空间向量引入高中数学，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.解题时，只需建立合适的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，然后化为向量问题，通过进行向量运算，即可转化为几何问题.在这里，建系求点将是解决问题的关键.一、问题的提出学生用向量法解如下高考真题（例1）时容易求错或无法求出点P的坐标.二、问题分析学生用向量法解立体几何题主要的错误有两个：一是建系不合理，二是求错甚至不会求点的坐标.主要原因有两个方面：一方面是图形认知障碍.平面几何图形反映图形的真实情况，但在立体几何中，由于是用斜二侧画法画成的直观图，图形往往不能反映原形的真实结构和全部特点.例如在“水平放置的平面图形的直观图画法”中，正方形、矩形在水平放置后呈平行四边形，以及在图中看上去明显不垂直的两条线段却偏要证明他们互相垂直，明显是锐角的实际上却是一个钝角等；另一方面是缺乏空间想象能力.由于空间想象能力是一个比较复杂、抽象的思维过程，想象能力从二维到三维的拓展难度较大，在实际教学中，学生往往不易建立空间概念，在脑海中难以形成较为准确、直观的几何模型，不能灵活运用一些重要元素之间的位置关系，没掌握一些解题技巧（如局部图形建立平面直角坐标系作平面化处理），造成点的坐标求错，甚至求不出来等.三、解决问题之建系方法研究学生建系不合理，主要集中在x轴与y轴的建立，原因就是对图形的认知有障碍.所以主要方法就是把图形还原——局部平面化处理.画出底面的平面图，把建x，y轴的问题放在平面几何里完成.分析：作底面平面图如图3，图4，图5所示.由此平面图可以比较清楚地看到以那两条互相垂直的直线分别为x 轴、y 轴为宜，且方便写出平面内各点的坐标.可以看到建系的方法并不唯一，要根据题意选用一个合适的坐标系.点评：平面内常见的垂直关系有:菱形、正方形的对角线；等腰、等边三角形的中线与底边（三线合一）；直径所对圆周角的两边；或在某个三角形中知道两边一角，先用余弦定理求出第三边，再用勾股定理证明线线垂直等.四、解决问题之求点方法研究（一）垂线法在空间直角坐标系中，有些点的坐标可以通过向坐标平面或坐标轴作垂线，再求出垂线段的长，从而写出点的坐标.点评：点E为线段PD的三等分点，个别学生可能会类比中点坐标公式，容易犯“将P、D坐标相加除以3得到E点坐标”这样的错误.此题还可以用下面的向量法解决.（二）向量法在空间直角坐标系中，利用两向量相等，可以求出点的坐标.点评：在线上是否存在一个点满足某个要求的题型通常可以利用三点共线设，再利用向量相等用表示出未知点的坐标，再根据已知条件待定.利用向量相等对处理比较难作垂线或容易作错垂线的题目来说，效果更好.如例3.（三）待定系数法设出所求点的坐标，再利用题目给出的已知条件，如：线段的长度、线线角、线面角、面面角等，列出方程组，解方程组即可求出所求点的坐标.用向量法来解决例1，如下：证明：（1）连接 AC 、BD，设AC 与BD相交于点O，则AC⊥BD.以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为 x 轴、y 轴建立如图11所示的空间直角坐标系，由图观察可知，此二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.点评：因为底面ABCD是菱形，对角线 AC 与 BD 互相垂直，所以可以以对角线的交点O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为 x 轴、y轴建立空间直角坐标系，那么点P的坐标将是解决问题的关键.这里采用待定系数法，根据题目给出的线段的长度：，列方程组求解即可求出P点的坐标，使得问题迎刃而解.参考文献[1]徐晓宇,屈黎明.向量法解立体几何题的点坐标求法——2017年高考浙江卷立体几何解答题的方法总结. 《数学教学》,2018（8）：33~36.[2]卢学渊.向量法解立体几何题时动点的设法.《数学学习与研究：教研版》，2012（11）：107~107.。
高考数学立体几何建系范围最值-含解析
立体几何建系范围最值学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为线段1A D 的中点，N 为线段1CD 上的动点，则直线1CD 与直线MN 所成角的正弦值的最小值为（）A B C D 2．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点M 为1CC 的中点，点P 为底面1111D C B A 上的动点，满足BP AM ⊥的点P 的轨迹长度为（）A ．B ．C ．D ．3．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，正方形1111,ABCD A B C D 的心分别是1O ，2O ，且,,,EFGH 分别是棱1111,,,AD BC A B C D 上的动点（含端点），其中,E F 关于点1O 对称，,G H 关于点2O 对称，EF GH ⊥，则下列结论错误的是（）A ．若四点,,,E F G H 都在球O 上，则球O 表面积的最大值为12πB ．若四点,,,E F G H 都在球O 上，则球O 体积的最小值为823C ．四面体EFGH 的所有棱长都相等D ．直线EG 与HF 所成角的余弦值的取值范围是10,3⎡⎤⎢⎣⎦4．已知A ､B ､C ､D ､E 是空间中的五个点，其中点A ､B ､C 不共线，则“DE 平面ABC ”是“存在实数x ､y ，使得DE x AB y AC =+的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知圆柱12O O 的轴截面是边长为2的正方形，AB 为圆1O 的直径，P 为圆2O 上的点，则()PA PB AB +⋅的最大值为（）A ．4B ．C ．5D ．6．如图所示，在棱长为1的正方形1111ABCD A B C D -中，点P 是1AA 的中点，点M ，N是矩形11BB D D 内（包括边界）的任意两点，则PM PN ⋅的取值范围是（）A ．15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A ．若1113A P AC =，则直线AP平面1BC D B ．若1112A P AC =，则直线AP平面1BC D C ．若1113A P AC =，则直线BP ⊥平面1ACD D ．若1112A P AC =，则直线BP ⊥平面1ACD 8．如图，棱长为3的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体表面BCC 1B 1上的一个动点，E ，F 分别为BD 1的三等分点，则||||PE PF +的最小值为（）A ．B ．2C ．1D 9．正四面体ABCD 的棱长为1，点P 是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅取得最小值时，点P 到AD 的距离为（）A ．12B ．12C ．12D ．410．已知三棱锥A BCD -的所有棱长均为2，E 为BD 的中点，空间中的动点P 满足PA PE ⊥，PC AB ⊥，则动点P 的轨迹长度为（）A ．1116πB ．8C ．2D 11．如图，平面OAB ⊥平面α，OA α⊂，OA AB =，120OAB ∠=︒．平面α内一点P 满足PA PB ⊥，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则tan θ的最大值是（）A B ．15C ．24D ．1312．如图，在三棱锥P ABC -中，5AB AC PB PC ====，4PA =，6BC =，点M 在平面PBC 内，且AM =，设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为（）A ．5B ．5C ．25D 13．已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -底面ABCD 内一动点，且满足2PA PB =，设1PD 与平面ABCD 所成的角为θ，则θ的最大值为（）A ．4πB ．3πC ．6πD ．2π14．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，F 为线段1BC 的中点，E 为线段11A C 上的动点，则下列四个结论正确的是（）A ．存在点E ，使EF ∥BDB ．三棱锥1B ACE -的体积随动点E 变化而变化C ．直线EF 与1AD 所成的角不可能等于60 D ．存在点E ，使EF ⊥平面11AB C D15．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，11AA =，O 是AC 的中点，点P 在线段11A C 上，若直线OP 与平面1ACD 所成的角为θ，则cos θ的取值范围是（）A ．,33⎥⎣⎦B ．33⎣⎦C ．43⎥⎣⎦D ．3733⎢⎣⎦16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面ABCD 所成的角为π4，底面ABCD 为直角梯形，,22π,1ABC BAD AD PA BC ∠=∠====，点E 为棱PD 上一点，满足()01PE PD λλ=≤≤ ，下列结论错误的是（）A ．平面PAC ⊥平面PCD ；B ．点P 到直线CDC ．若二面角E ACD --的平面角的余弦值为3，则13λ=；D ．点A 到平面PCD 二、多选题17．已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，11AA =，M 为AB 的中点，点P 在线段1BC 上，则下列结论正确的是（）A ．直线1//BC 平面1A MCB ．A 和P 到平面1A MC 的距离相等C ．三棱锥1P A MC -的体积为3D ．不存在点P ，使得1AP AC ⊥三、填空题18．若向量()1,1,a t t =+ ，()1,,1b t t =- ，其中t ∈R ，则a b -的最小值为______．参考答案：1．C【分析】建立空间直角坐标系，通过1CN CD λ=表示出点N 坐标，利用数量积求出夹角余弦值的范围，进而得出答案.【详解】以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()()()()111,0,1,0,2,0,0,2,2,0,0,2M C C D ，()10,2,2CD =-，()10,2,2C D =-- ，设1CN CD λ=(0≤λ≤1)得：()0,22,2N λλ-+，()1,22,21MN λλ∴=--+-，111cos<,>MN C DMN C D MN C D ⋅=⋅=，∴1cos<,>3MN C D ≤=，则1sin<,>MN C D ≥ 故选：C.2．B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点P 的轨迹为线段即可得结果.【详解】分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()6,0,0A ，()6,6,0B ，()0,6,3M ，设(),,6P x y ，[][]0,6,0,6x y ∈∈，则()6,6,3AM =-，()6,6,6BP x y =-- ，由BP AM ⊥得()()6666360x y --+-+⨯=，即3y x =-，由于[][]0,6,0,6x y ∈∈，所以[]3,6x ∈，[]0,3y ∈，所以点P 的轨迹为面1111D C B A 上的直线：3y x =-，[]3,6x ∈，即图中的线段EF ，由图知：EF =故选：B.3．C【分析】根据题意，球心O 在线段12O O 上，且O 是线段12O O 的中点，故以线段12O O 的中点O 为坐标原点，如图建立直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】解：因为,,,E F G H 分别是棱1111,,,AD BC A B C D 上的动点（含端点），其中,E F 关于点1O 对称，,G H 关于点2O 对称，，若四点,,,E F G H 都在球O 上，则球心O 在线段12O O 上，且O 是线段12O O 的中点，故以线段12O O 的中点O 为坐标原点，如图建立直角坐标系，其中x 轴，y 轴分别与平面11ABB A ，平面11BCC B 垂直，不妨设()()()()()[]0,0,0,,1,1,,1,1,1,,1,1,,1,1,1O E m F m G m H m m ------∈-，()()()2,2,0,2,2,0,1,1,2EF m GH m EG m m ∴=-=--=-+，()1,1,2HF m m =-+-，球O的半径R =，球O 表面积()22442S R m ππ==+∴当1m =±时，S 取最大值12π，选项A 正确；当0m =时，球O的半径R =∴球OB正确；EF EG == ，故当1m =±时，EF EG = ，当1m ≠±时，EF EG ≠ ，选项C 错误；设直线EG 与FH 所成角222141,cos 10,333EG FH m m m EG FHαα⋅-⎡⎤===-∈⎢++⎣⎦⋅，选项D 正确.故选：C 4．A【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合向量共面的判定定理即可得出答案.【详解】若DE //平面ABC ，则,DE AB AC ,共面，故存在实数x ､y ，使得DE x AB y AC =+.若存在实数x ､y ，使得DE x AB y AC =+ ，则DE ，AB ，AC共面则DE //平面ABC 或DE ⊂平面ABC.所以“DE //平面ABC ”是“存在实数x ､y ，使得DE x AB y AC =+的充分而不必要条件.故选：A.5．A【分析】根据已知条件作出图形，利用向量的线性运算及数量积公式，结合锐角三角函数即可求解.【详解】如图所示由题意可知2AB =，1PO =，因为1O 为AB 的中点，所以()112PO PA PB =+,所以()111122||cos ,4,PA PB AB PO AB PO AB PO AB PO AB +⋅=⋅=⋅⋅= ，当12AP O O ∥时，1,PO AB 取最小值，此时1cos ,PO AB 所以()PA PB AB +⋅的最大值为4.故选:A.6．B【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，连接OP ，OM ，ON ，根据向量的线性运算可得12PM PN OM ON ⋅=+⋅ ，再分析OM ON ⋅的范围求解即可.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，连接OP ，OM ，ON ．由正方体的性质可知，OP OM ⊥ ，OP ON ⊥，那么()()2PM PN PO OM PO ON PO PO ON OM PO OM ON ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ，又2PO = ，所以12PM PN OM ON ⋅=+⋅ .当OM 与ON 反向，且112OM ON BD === OM ON ⋅ 有最小值，此时131244PM PN ⋅=-=- ；当OM 与ON 同向，且112OM ON BD === OM ON ⋅ 有最大值，此时135244PM PN ⋅=+= ，即PM PN ⋅ 的取值范围为15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：B 7．A【分析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，1为单位长度，利用直线和平面法向量的关系判断各选项即可.【详解】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,0,0A ，()11,0,1A ,()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，1(0,0,1)D ,则()10,0,1AA = ，()11,1,1AC =-- ，()0,1,0BA =- ，()1,1,0DB = ，()10,1,1DC =，(1,1,0)AC =-,1(1,0,1)AD =- 当1113A P AC = 时，()()1111111120,0,11,1,1,,33333A AP A A P AA A C ⎛⎫=+=+=+--=- ⎪⎝⎭，设平面1BC D 的法向量为(),,m x y z =，则100m DB x y m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取1x =，则1y =-，1z =，则()1,1,1m =-u r 为平面1BC D 的一个法向量，因为1120333AP m ⋅=--+= ，所以AP m ⊥ ，又因为AP ⊄平面1BC D ，所以直线AP 平面1BC D ，故A 正确，B 不正确．当1113A P AC = 时，()()()1111111220,1,00,0,11,1,1,,33333BP BA AA A P BA AA A C ⎛⎫=++=++=-++--=-- ⎝⎭，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则100n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =则1y =，1z =，则()1,1,1n =为平面1ACD 的一个法向量，因为BP 与n不共线，所以直线BP 与平面1ACD 不垂直，故C 不正确；当1112A P AC = 时，()()()1111111110,1,00,0,11,1,1,,22222BP BA AA A P BA AA A C ⎛⎫=++=++=-++--=-- ⎝⎭，因为BP 与n不共线，所以直线BP 与平面1ACD 不垂直，故D 不正确．故选：A ．8．D【解析】过F 作F 关于平面11BCC B 的对称点'F ，连接'EF 交平面11BCC B 于点0P ，证明此时的0P 使得||||PE PF +最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，||||PE PF +的最小值为'EF .【详解】过F 作F 关于平面11BCC B 的对称点'F ，连接'EF 交平面11BCC B 于点0P .可以证明此时的0P 使得||||PE PF +最小：任取1P (不含0P )，此时1111''PE PF PE PF EF +=+>.在点D处建立如图所示空间直角坐标系，则()()10,0,3,3,3,0D B ，因为E ，F 分别为BD 1的三等分点，所以()()1,1,2,2,2,1E F ,又点F 距平面11BCC B 的距离为1，所以()'2,4,1F ,||||PE PF +的最小值为'EF =故选：D 9．A【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取AD 的中点为E ，214PA PD PE ⋅=- ，可得当PE 的长度最小时，PA PD ⋅取得最小值，求出球心O 到点E 的距离d ，可得点P 到AD的距离为d r -.【详解】因为四面体ABCD 是棱长为1的正四面体，所以其体积为112113212⨯⨯⨯⨯.设正四面体ABCD 内切球的半径为r ，则1124113212r ⨯⨯⨯⨯⨯=，得r 如图，取AD 的中点为E ，则()()PA PD PE EA PE ED ⋅=+⋅+221()4PE PE EA ED EA ED PE =+⋅++⋅=- .显然，当PE 的长度最小时，PA PD ⋅取得最小值.设正四面体内切球的球心为O ，可求得4OA OD ==.因为球心O 到点E 的距离24d =，所以球O 上的点P 到点E 的最小距离为41212d r -=-=，即当PA PD ⋅ 取得最小值时，点P 到AD 故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点P 到AD 的距离为球心O 到点E 的距离减去半径.10．C【分析】将正四面体A BCD -放入正方体，建立空间直角坐标系，求得P 点满足的方程，判断出P 点的轨迹为圆，求得圆的半径，由此计算出圆的周长也即P 的轨迹长度.【详解】正四面体A BCD -，建立空间直角坐标系如图所示，)(22,,22E C B ⎛ ⎝，设(),,P x y z，()22,,,,22PE x y z AP x y z ⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭，),PC x y z =- .由于PA PE ⊥，PC AB ⊥，所以00AP PE PC AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即))0x x y y z z y ⎧⎫⎛⎫++=⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨-=，即2222220220x x y y z z y z ⎧-++-=⎪⎨⎪+=⎩，即222344240x y z y z ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-++-=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩，22222234424x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示球心为442⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，半径为R.0y z +=表示垂直于yAz 平面的一个平面.所以P 的轨迹是上述平面截球面所得圆.球心⎝⎭到平面0y z +=的距离为14d ==，所以截得的圆的半径4r ===，所以截得的圆，也即P点的轨迹的长度为2242r πππ=⨯=.故选：C【点睛】空间中求动点轨迹长度，可考虑采用坐标法求得动点轨迹方程，结合轨迹方程求得轨迹的长度.11．A【分析】如图建立空间直角坐标系，令1OA AB ==，即可得到A 、B 的坐标，设(),,0P x y ，根据PA PB ⊥，则0AP PB ⋅= ，即可得到()2312x y y ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，再求出平面OAB 的法向量，依题意根据正弦函数、正切函数的单调可知，要求tan θ的最大值，即可求sin θ的最大值，利用空间向量法表示出线面角的正弦值，再根据函数的性质求出sin θ的最大值，从而根据同角三角函数的基本关系求出tan θ；【详解】解：如图以平面α为xoy 平面，平面OAB 为yoz 平面，建立如图所示空间直角坐标系，令1OA AB ==，则()0,1,0A，30,,22B ⎛ ⎝⎭，显然平面OAB 的法向量可以为()1,0,0n =r ，设(),,0P x y ，则(),,0OP x y = ，(),1,0AP x y =-，3,22PB x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，因为PA PB ⊥，所以()23102AP PB x y y ⎛⎫⋅=-+-⨯-= ⎪⎝⎭ ，即()2312x y y ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，因为直线OP 与平面OAB 所成角为θ，因为0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，显然2θθ≠，即0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，因为sin y x =与tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭均单调递增，要求tan θ的最大值，即可求sin θ的最大值，所以sin θ====，所以当156y =-时()max1sin 5θ=，又cos θ=sintan cos θθθ==故选：A12．D【分析】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，证明出PO ⊥平面ABC ，然后以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设BM mBP nBC =+，其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，求出363m n +-的最大值，利用空间向量法可求得cos α的最大值.【详解】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，5AB AC == ，D 为BC 的中点，则AD BC ⊥，6BC = ，则3BD CD ==，4AD ∴=，同理可得4PD =，PD BC ⊥，PD AD D = ，BC ∴⊥平面PAD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，因为4PA PD AD ===，所以，PAD △为等边三角形，故O 为AD 的中点，BC ⊥ 平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，则BC PO ⊥，PO AD ⊥ ，AD BC D = ，PO ∴⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，因为PAD △是边长为4的等边三角形，O 为AD 的中点，则sin 60OP PA ==则()0,2,0A -、()3,2,0B 、()3,2,0C -、(0,0,P ，由于点M 在平面PBC 内，可设(()()3,2,6,0,036,2,2BM mBP nBC m n m n m =+=--+-=--- ，其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，从而()()()3,4,036,2,336,42,2AM AB BM m n m m n m =+=+---=---，因为AM = ()()222336421215m n m m --+-+=，所以，()()22233616161423m n m m m --=-+-=--+，故当12m =时，216161m m -+-有最大值3，即()23633m n +-≤，故363m n +-≤，即363m n +-所以，cos cos ,AM BC AM BC AM BCα⋅=<>=⋅故选：D.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.13．A【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，且设点(,,)P x y z ，根据已知条件并结合两点间的距离公式求得动点P 的轨迹方程，要使得1PD 与底面ABCD 所成的角θ最大，从而点P 在 ENF上，且在QD 上，再由直线与平面的夹角可得1tan 1DD DPθ==，从而可得出θ最大值.【详解】解：以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，设(,,)P x y z ，则(0,2,0)A ，因为||2||PA PB =，=即22221639x y z ⎛⎫+++=⎪⎝⎭，所以点P 的轨迹为以点20,,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭为球心，43为半径的球与正方体表面的交线，即为如图的 EMG， GSF ， ENF ，要使得1PD 与底面ABCD 所成的角最大，则1PD 与底面ABCD 的交点R 到点D 的距离最短，从而点P 在 ENF上，且在QD 上，则41042333DP DQ =-=-=，从而1tan 1DD DP θ==，所以θ的最大值为4π.故选：A．14．D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量来表达出EF ，BD，1AD ，从而判断AC 选项；求出平面11AB C D 的法向量()0,1,1n =-r ，判断EF 与()0,1,1n =-r的关系，判断D 选项；B 选项可以判断出11AC ∥平面1ACB ，从而得到E 到平面1ACB 的距离不变，所以1E ACB V -为定值，不随E 的变动而变动，故三棱锥1B ACE -的体积不随动点E 变化而变化，B 选项错误.【详解】以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则()1,2,1F ，()0,0,0D ，()2,2,0B ，()2,0,0A ，()10,0,2D ，()12,2,2B ，因为E 为线段11A C 上运动，设(),2,2E m m -（02m ≤≤），则()1,,1EF m m =--，()2,2,0BD =-- ，若EF ∥BD ，则EF tBD =（0t ≠），则有10t -=⨯，显然无解，故A 错误；因为11A C ∥AC ，AC ⊂平面1ACB ，11A C ⊄平面1ACB ，故11A C ∥平面1ACB ，因为E 为线段11A C 上运动，故E 到平面1ACB 的距离不变，所以1E ACB V -为定值，不随E 的变动而变动，故三棱锥1B ACE -的体积不随动点E 变化而变化，B 错误；()12,0,2AD =-，设直线EF 与1AD 所成角为θ，则1cos cos ,AD EF θ== 1cos 2θ=，解得：1m =，故当E 为11A C 中点时，此时直线EF 与1AD 所成的角为60°，故C 错误；设平面11AB C D 的法向量为(),,n x y z = ，则10220n DA x n AB y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1y =得：1z =-，故()0,1,1n =-r ，因为当1m =时，()()1,,10,1,1m m --=-即EF n =，故EF ⊥平面11AB C D ，故D 正确.故选：D 15．D【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得sin θ的取值范围，由此求得sin θ，即可得解.【详解】以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()1,1,0O ，()10,0,1D ，设()(),2,102P a a a -≤≤，则()()()11,1,1,2,0,1,2,2,0OP a a AD AC =--=-=-uu u r uuu r uuu r，设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =则120220n AD x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩ ，令1x =，得()1,1,2n = 所以sin n OPn OPθ⋅==⋅r uu u r r uu u r由于02a ≤≤，1,⎡⎣，⎤⎥⎣⎦，2sin ,3θ∴=⎣⎦，222sin 93θ⎡⎤∴∈⎢⎣⎦，2171sin ,39θ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，由于0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以cos ,33θ∈⎢⎣⎦故选：D16．D【分析】A 选项，作出辅助线，证明出AC ⊥BC ，结合PA ⊥平面ABCD 可得线线垂直，从而证明线面垂直，最后证明出面面垂直；B 选项，求出点P 到直线CD 的距离即为PC 的长度，利用勾股定理求出答案；C 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；D 选项，过点A 作AH ⊥PC 于点H ，证明AH 的长即为点A 到平面PCD 的距离，求出AH 的长.【详解】A 选项，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故∠PBA 即为PB 与底面ABCD 所成的角，π4PBA ∠=，因为π2∠=∠=ABC BAD ，所以PA =AB =1，因为2,1AD PA BC ===，取AD 中点F ，连接CF ，则AF =DF =AB =CF =BC ，则四边形ABCF 为正方形，∠FCD =∠FCA =45°，所以AC ⊥CD ，又因为AP AC A ⋂=，所以CD ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD ，A正确；由A 选项的证明过程可知：CD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC所以CD ⊥PC ，故点P 到直线CD 的距离即为PC 的长度，其中1PA AB BC ===由勾股定理得：AC PC ==B 正确；以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,1,0C ，()0,0,1P ，()0,2,1E λλ-，其中平面ACD 的法向量为()0,0,1m = ，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z = ，则()2100n AE y z n AC x y λλ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩ ，令1y =得：2,11z x λλ==--，所以21,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，设二面角E AC D --的平面角为θ，显然cos θ=3，其中3cos ,3m n = ，解得：13λ=或1λ=-，因为01λ≤≤，所以13λ=，C 正确；过点A 作AH ⊥PC 于点H ，由于CD ⊥平面APC ，AH ⊂平面APC ，所以AH ⊥CD ，因为PC CD C = ，所以AH ⊥平面PCD ，故AH 即为点A 到平面PCD 的距离，因为PA ⊥AC ，所以AP AC AH PC ⋅==D 选项错误故选：D17．ABD【分析】连接11,A C AC 交于点O ，连接OM ，证得1//OM BC ，进而得到1//BC 平面1A MC ，可判定A 正确；证得AN NP =，结合斜线与平面所成的角相等，可判断B 正确；先证明CM AB ⊥，并求出CM 的长度，1//BC 平面1A MC ，所以,B P 到平面1A MC 的距离是一样的，所以11P A MC B A MC V V --=，继而算出答案，可得C 是错误的；假设存在点P ，使得1AP AC ⊥，令[]1(1),0,1AP AB AC λλλ=+-∈ ，结合10AC AP ⋅> ，可判定D 正确.【详解】对于A 中，如图所示，连接11,A C AC 交于点O ，连接OM ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以其侧面都是矩形，所以O 为1AC 的中点，又因为M 是AB 的中点，所以1//OM BC ，由OM ⊂平面1A MC ，且1BC ⊄平面1A MC ，所以1//BC 平面1A MC ，所以A 正确；对于B 中，在1ABC ，因为AP 交OM 于点N ，1//OM BC ，AM MB =，所以AN NP =，因为AN 与PN 与平面1A MC 成角相等，所以A 和P 到平面1A MC 的距离相等，所以B 正确；对于C 中，因为底面是正三角形，且M 为AB 的中点，所以CM AB ⊥，所以CM =因为1//BC 平面1A MC ，且P 在1BC 上，所以1111111113326P A MC B A MC A BMC BMC V V V S AA ---===⋅=⨯⨯= ，故C 错误对于D 中，假设存在点P ，使得1AP AC ⊥，令[]1(1),0,1AP AB AC λλλ=+-∈ ，可得1111(1)AC AP AC AB AC AC λλ⋅=⋅+-⋅ ，易得1AC 和AB 所成角为锐角，1AC 和1AC uuu r 所成角为锐角，所以1110,0AC AB AC AC ⋅>⋅> ，所以1111(1)0AC AP AC AB AC AC λλ⋅=⋅+-⋅> ，，所以不存在点P ，使得1AP AC ⊥，所以D 正确.故选：ABD18．2【分析】由向量的坐标，根据模长公式的表达式，结合二次函数的性质即可求解最小值.【详解】因为()=21,1,a b t t a b ---∴- ，,故当1t =时，模长最小为2.故答案为：2。
立体几何中的建系设点讲解学习
（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来
由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的 点，其投影为 ，而 所以 ，而其到底面的距离为 ，故坐标为
以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：
3、需要计算的点
（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点
3、常用的空间直角坐标系满足 轴成右手系，所以在标 轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直 底面两条线垂直），这个过程不能省略。
二、典型例题：
例1：在三棱锥 中， 平面 ， ， 分别是棱 的中点， ，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标
例2：在长方体 中， 分别是棱 上的点， ， ，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标。
例3：如图，在等腰梯形 中， ， ， 平面 ，且 ，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。
小炼：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即 轴），对于 轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴。
例4：已知四边形 满足 ， 是 中点，将 翻折成 ，使得平面 平面 ， 为 中点
思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。
例5：如图，已知四棱锥 的底面是菱形，对角线 交于点 ，且 平面 ，点 为 的三等分点（靠近 ），建立适当的直角坐标系并求各点坐标
高中数学讲义立体几何中的建系设点问题
OyxzF E GHIJ O yxzA'C'BB'C D'A微专题63 立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。
一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。
但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直②两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直③两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直④直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）：①正方形，矩形，直角梯形②等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）③菱形的对角线相互垂直④勾股定理逆定理：若222ABACBC ，则ABAC（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类1、能够直接写出坐标的点（1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下：x 轴：,0,0x y 轴：0,,0y z 轴：0,0,z规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为（2）底面上的点：坐标均为,,0x y ，即竖坐标0z ，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：则可快速写出,H I 点的坐标，位置关系清晰明了111,,0,,1,022H I2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果'11,,A x y z 在底面的投影为22,,0A x y ，那么1212,x x y y （即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。
高中数学立体几何建系方法
立体几何建系方法熟悉几个补形建系的技巧基本模型：长方体 ；下面几个多面体可考虑补成长方体建系： （1）三棱锥P ABC -,其中,2PA ABC ABC π⊥∠=.特点：BC PAB ⊥面；四个面均为直角三角形。
建系方法：（2）四棱锥P-ABCD,其中,PA ABCD ⊥面ABCD 为矩形。
建系方法：（3）正四面体A-BCD 建系方法：（4）两个面互相垂直建系方法1、（2011年高考重庆卷文科20) 如题（20）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥====（Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。
PA BCA CDP2、（06山东），已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=2,PB⊥PD.(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；3、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（Ⅱ）设AA1＝AC＝2AB，求二面角A1－AD－C1的大小．A BCD EA1B1C14．如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点． （Ⅰ）证明：AE PD ⊥； （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值 为2E AF C --的余弦值．5、（08安徽）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点.（1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （2）求点B 到平面OCD 的距离.P BECD FA。
空间向量之建系设点问题
另外要注意：解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先确定题目中是 否给出垂直条件，如果没有直接给出，还需证明所用坐标轴两两垂直 (即 一个线面垂直 + 底面两条线垂直)， 这个过程不能省略.
2.与垂直相关的定理与结论: (1)线面垂直 ①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面 垂直； ②两条平行线，如果其中一条与平面垂直， 那么另外一条也与这个平面 垂直； ③两个平面垂直， 则其中一个平面上垂直于交线的直线与另一个平面垂 直； ④直棱柱: 侧棱与底面垂直.
2.在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD = 2，QD = QA = 5 ，QC = 3. (1)证明：平面QAD⊥平面ABCD； (2)求二面角B-QD-A的余弦值.
3.已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA = AD = DC = 1 BC = 2，E是BC 2
的中点，将△BAE翻折成△B1AE，使平面B1AE⊥平面AECD. (1)求四棱锥B1-AECD的体积； (2)求平面B1AD与平面B1CE所成角的正弦值.
1.如图，在三棱台DEF-ABC中，AB = 2DE，G，H分别为AC，BC的中点 . (1)求证：BD∥平面FGH； (2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF = DE，∠BAC = 45°，求平面FGH 与平面ACFD所成角的大小.
2.如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1C1C与底面ABC垂直.∠ABC = 90°，BC = 2，AC = 2 3 ，且AA1⊥A1C，AA1 = A1C. (1)求侧面AA1B1B与底面ABC所成二面角的大小； (2)求顶点C到侧面AA1B1B的距离.
可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常
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Oyxz FEGH IJ O yx z A'C'B B'C D'A 第63炼 立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。
一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。
但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直：① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若222AB AC BC +=，则AB AC ⊥（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下：x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例： 则可快速写出,H I 点的坐标，位置关系清晰明了111,,0,,1,022H I ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果()'11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。
如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。
例如：正方体中的'B 点，其投影为B ，而()1,1,0B 所以()'1,1,B z ，而其到底面的距离为1，故坐标为()'1,1,1B以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：3、需要计算的点① 中点坐标公式：()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则AB 中点121212,,222x x y y z z M +++⎛⎫⎪⎝⎭，图中的,,,H I E F 等中点坐标均可计算② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求'A 点的坐标，如果使用向量计算，则设()',,A x y z ，可直接写出()()()'1,0,0,1,1,0,1,1,1A B B ，观察向量''AB A B =，而()0,1,0AB = ，()''1,1,1A B x y z =--- 101110101x x y y z z -==⎧⎧⎪⎪∴-=⇒=⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩()'1,0,1A ∴二、典型例题：例1：在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=，,,D E F 分别是棱,,AB BC CD 的中点，1,2AB AC PA ===，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标 PA ⊥平面90BAC ∠= ∴以,,AP AB AC 为轴建立直角坐标系坐标轴上的点：(0,0,0A中点：:D AB 中点1,0,02⎛⎫⎪⎝⎭:E BC 中点11,,022⎛⎫⎪⎝⎭:F PC 中点10,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述：()()()11111,0,0,0,1,0,0,0,2,,0,0,,,0,0,,12222B C P D E F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭小炼有话说：本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进行详细书写。
这些过程在解答题中可以省略。
例2：在长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1,BC CC 上的点，2CF AB CE ==，1::1:2:4AB AD AA =，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标思路：建系方式显而易见，长方体1,,AA AB AD 两两垂直，本题所给的是线段的比例，如果设1,2,4AB a AD a AA a ===等，则点的坐标都含有a ，不便于计算。
对待此类问题可以通过设单位长度，从而使得坐标都为具体的数。
解：因为长方体1111ABCD A B C D -1,,AB AD AA ∴两两垂直∴以1,,AB AD AA 为轴如图建系，设AB 为单位长度112,4,1,2AD AA CF CE ∴====()()()()()()()11111,0,0,1,2,0,0,2,0,1,0,4,0,0,4,1,2,4,0,2,4B C D B A C D()31,,0,1,2,12E F ⎛⎫⎪⎝⎭例3：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，1,60AD DC CB ABC ===∠=，CF ⊥ 平面ABCD ，且1CF =，建立适当的直角坐标系并确定各点以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系方案一：（选择BC 为轴），连结AC 可知120ADC ∠= ∴在ADC 中2222cos 3AC AD DC AD DC ADC =+-=AC ∴=由1,60AC BC ABC ==∠=可解得2,90AB ACB =∠=AC BC ∴⊥ CF ⊥平面ABCD ,CF AC CF BC ∴⊥⊥以,,AC CF BC 为坐标轴如图建系：())()10,1,0,,,0,0,0,12B AD F ⎫-⎪⎝⎭方案二（以CD 为轴）过C 作CD 的垂线CM CF ⊥平面ABCD ,CF CD CF CM ∴⊥⊥∴以,,CD CF CM 为坐标轴如图建系：（同方案一）计算可得：22CM AB ==()()31,0,,0,0,1,0,0,0,122A B D F ⎫⎫∴--⎪⎪⎝⎭⎝⎭小炼有话说：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即z 轴），对于,x y 轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴，本题中的两个方案就是选过垂足C 的直线为轴建立的坐标系。
例4：已知四边形ABCD 满足1,2AD BC BA AD DC BC a ====∥，E 是BC 中点，将BAE 翻折成1B AE ，使得平面1B AE ⊥平面AECD ，F 为1B D 中点思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。
本题在翻折时，BAE 是等边三角形，四边形AECD 为60的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根BD据平面'B AE ⊥平面AECD ，结合'B AE 是等边三角形，可取AE 中点M ，则可证'B M ⊥平面AECD ，再在四边形AECD 找一组过M 的垂线即可建系 解：取AE 中点M ，连结'B M'B AE 是等边三角形 'B M AE ∴⊥平面'B AE ⊥平面AECD'B M ∴⊥平面AECD ，连结DM '',B M ME B M MD ∴⊥⊥四边形AECD 为60的菱形 ADE ∴为等边三角形DM AE ∴⊥',,B M MD ME ∴两两垂直如图建系，设AB 为单位长度'11333,0,0,,0,0,0,,0,1,,0,0,0,22222A E D C B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭F 为'B D 中点 330,,44F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭例5：如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线,AC BD 交于点,4,3,4O OA OB OP ===，且OP ⊥平面ABCD ，点M 为PC 的三等分点（靠近P ），建立适当的直角坐标系并求各点坐标思路：由OP ⊥平面ABCD ，可得OP 作为z 轴，在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性质，选取,OB OC 作为,x y 轴。
在所有点中只有M 的坐标相对麻烦，对于三等分点可得13PM PC =，从而转化为向量关系即可求出M 坐标解：OP ⊥平面ABCD ,OP OB OP OC ∴⊥⊥菱形ABCD OB OC ∴⊥ ,,OP OB OC ∴两两垂直以,,OP OB OC 为坐标轴如图建系可得：()()()()()0,0,4,3,0,0,0,4,0,0,4,0,3,0,0P B C A D -- 设(),,M x y z 由13PM PC =可得：13PM PC = ()(),,4,0,4,4PM x y z PC =-=-MFA B'EDCMA EDC00443348433x xy yz z⎧⎧⎪⎪==⎪⎪⎪⎪∴=⇒=⎨⎨⎪⎪⎪⎪-=-=⎪⎪⎩⎩480,,33M⎛⎫∴ ⎪⎝⎭小炼有话说：（1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来例6：如图所示的多面体中，已知正方形ABCD与直角梯形BDEF所在的平面互相垂直，EF BD∥，,ED BD⊥1AD EF ED===，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标思路：题目已知面面垂直，从而可以找到DE与底面垂直，再由底面是正方形，可选,AD DC 为,x y轴，图中F点坐标相对麻烦，可以用投影法和向量法计算得到解：平面EFBD⊥平面ABCD又因为直角梯形BDEF ED DB∴⊥ED∴⊥平面ABCD正方形ABCD AD BD∴⊥,,ED DA DC∴两两垂直以,,DE DA DC为轴建立直角坐标系坐标轴上的点：)()(,,A C E底面上的点：)BF点两种确定方式：①可看其投影，落在BD中点处22⎛⎫⎪⎝⎭，且高度为1，所以F22⎛⎫⎪⎝⎭②设(),,F x y z()(),,1,2,EF x y z DB∴=-=12EF DB=222210xy Fz⎧=⎪⎪⎛⎫⎪∴=⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪-=⎪⎪⎩综上所述：)()()),,0,0,1,,22A C EB F⎛⎫⎪⎝⎭例7：如图，在三棱柱111ABC A B C-中，H是正方形11AA B B的中心，11AA C H=⊥平面11AA B B，1C H =思路：1C H ⊥平面11AA B B ，从而1C H 可作z 轴，只需在平面11AA B B 找到过H 的两条垂线即可建系（两种方案），对于坐标只有C 坐标相对麻烦，但由11C C A A =可以利用向量进行计算。