2013年9月机械振动答案

2π 1 2π (1) x  A cos( t   ) ( 2) x  A cos( t   ) T 2 T
2π 1 ( 3) x  A cos( t   ) T 3
2π 3 (4) x  A cos( t   ) T 4

2.两位外星人A和B生活在一个没有自转，没有大气， 表面光滑的匀质球形小星球上。有一次他们决定进行 一场比赛，从他们所在的位置出发，各自采用航天技 术看谁能先达到星球的对径位置。A计划穿过星体直 径凿一条通道，采用自由下落方式到达目标位置；B 计划沿着紧贴着星球表面的空间轨道，象人造卫星一 样航行到目标位置。试问A和B谁会赢得比赛？



A1

旋转矢量法： A  2 A0

0   


12 )

o

A2

合振动方程： x  2 A0 cos(t 

A
A23

x

12

A3

5.一个质点被一根轻弹性绳系于固定点A，绳的固有长度为a，当悬 挂质点平衡后，绳的长度为a+b，今使质点从A点静止下落，求质 点落到最低点与A点间的距离以及此过程所用的时间。



6. 将复杂的周期性振动分解为一系列的 简谐振动之和，从而确定出该振动包含的频 ____________ 率成分以及各频率对应的振幅的方法，称为 频谱分析 ___________

7.上面放有物体的平台,以每秒5周的频率沿竖 0.01m 直方向做简谐振动,若平台振幅超过_________, 物体将会脱离平台.(g=9.8m/s)

4. 一质点在x轴上作简谐振动，A=4cm，T=2s， 其平衡位置取作坐标原点，若t=0时刻质点第一 次通过x=-2cm处，且向x轴正方向运动，则质点 第二次通过x=-2cm的时刻为 （ ）

A.1s

B.3s/2

6 )

C.4s/3

D.2s

5.一 质 点 同 时 参 与 两 个 频 同率 、 同 方 向 的 简 谐动 振， x1  4 cos(2t  7 x 2  3 cos(2t  ), 则 合 振 动 （） 6

A. A  1   

B. A  7   4 / 3

C . A  1   7 / 6

D. A  1    / 6

6. 一 质 点 做 简 谐 振 动 ， 动 振方 程 x  A cos(t   ) 当t  T / 2时 ， 其 速 率 为 A. C.  A sin  A cos （） B. D. A sin A cos
A

a
B C

b
c

解： （1）如图所示，A点为起始位置，B点为 绳长位置，C点为平衡位置，D点为最低点。 即：AB=a BC=b 令CD=c A-D运动过程中，机械能守恒。

D x

mg (a  b  c )  

b c

0

k (b  c ) kxdx  2

2
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mg  kb

c  b 2  2ab  b

9.一简谐振动的旋转矢量如图所示，振幅矢量 长2CM，则该简谐振动的初相位为______,  /4 振 动方程为 0 _______________ 。 .02 cos(t   / 4)
10.系统的共振角频率与系统自身性质以及 阻尼大小 有关。系统的_____ _________ 阻尼 越大，共振时 振幅值越低，共振圆频率越小。

（2）B向D运动过程中，以C点为坐标原点，在任意 位置x处，受力为 2

d x F  mg  k (b  x )   kx  m 2 dt

因此B以后的运动为简谐振动，B点处x0=-b,  0  2 ga

 0 2a   arctan  arctan x0 b
AB运动过程中，所需时间为t1

7.对一个作简谐振动的物体,下面哪种说法是 正确的？ ( )
A.物体处在运动正方向的端点时,速度和加速度都达到最大值 B.物体位于平衡位置且向负方向运动时,速度和加速度都为零 C.物体位于平衡位置且向正方向运动时,速度最大,加速度最小

D.物体处在负方向的端点时,速度最大,加速度为零

8. 当质点以 f频率作简谐振动时，它动能的 变化频率为（ ） A. f B. 2 f C. 4 f D. 0.5 f
A.振子仍作简谐振动，但周期<T B.振子仍作简谐振动，但周期>T C.振子仍作简谐振动，且周期仍为T

D.振子不再作简谐振动。

二. 填空题
1.已 知 振 动 方 程 为 x1  A cos(t   ), 振 子 质 量 为 m，

A 最 大 加 速 度 为 振幅为 A， 则 振 子 最 大 速 度 为 _____, 1 2  A系统总能量为 m  2 A2, ______, __________ 1 2 2 1 2 2 2 m  A m A , 平 均 势 能 为 平 均 动 能__________ __________ . 4 4

11. 固有频率为v0的弹簧振子，在阻尼很小的情 况下，受到频率为2的余弦策动力作用，做受迫 振动并达到稳定状态，振幅为A。若在振子经平 衡位置时撤去策动力，则自由振动的振幅A’与A A’= 2A 的关系是 __________
12.一物体质量为0.25kg，作简谐振动，弹簧 K=25，起始振动势能0.06J动能0.02J，则其振幅 为 0.08m ；动能=势能时位移为 0.06m ；经过平衡 位置时物体速度为 0.8m/s。
8.两 个 同 方 向 、 同 频 率 简 的谐振动，其合振动的 振 幅20cm， 与 第 一 个 简 谐 振 动 相 的位差  - 1 


6

,

，若第一个简谐振动振 的幅为 10 3cm。 则 第 二 个

10 cm , 第 一 、 二 两 个 简 谐 简谐振动的振幅为 ______

 / 2 __。 振动的相位差 1 -  2 为 __________

1 2 振动能量E  kA2 2

变小

4.一个质点同时参与 3个同方向、同频率简谐 振动 3 3 x1  A0 cos(t  ) x2  A0 cost x3  A0 sin t 4 2 2 求质点的合振动方程
解 ：x 3  3 A0 sint  2 3  A0 cos( - t )  2 2 3  A0 cos(t  ) 2 2

13.两个线振动合成为一个圆振动的条件是（1） 同频率 同振幅 _________ ；（2）_______ ；（3） 振动方向垂直 ； ______________ 相位差为（ 2k+1）π/2,( k=0, ±1, ±2,…) （4 ） ______________________

三、计算题
1、一个沿X轴做谐振动的弹簧振子，振幅为A,周期为T， 其振动用余弦函数表示。如果在t=0时，质点的振动状 态分别是： （1）x=-A；（2）过平衡位置向X轴正向运动； （3）x=A/2处向负方向运动；（4）过 x   2 A / 2处向 正向运动 。试求出相应的初相位，并写出振动方程
2. 一 简 谐 振 动 的 表 达 式 为 x  A cos(3t   ), 已 知 初始条件： x 0  0.04m 、 0  0.09m / s 1 ,
0

 37 0.05m ， 初 相 则振幅 A  _________   __________ .

系统自身 3. 无阻尼自由简谐振动的周期和频率由______ 所决定，对于给定的简谐振动，其振幅、初相 初始条件 决定。 由________
b φ c
D x B

mgt 1  m 2 ga

 t1 

2a g

BD运动过程中，所需时间为t2
C

t 2  2 - 
t  t1  t 2  2a  g  t2  b 2a ( 2  arctan ) g b

b 2a ( 2  arctan ) g b
（1）第一问，另一种解法 因B以后的运动为简谐振动，B点处x0=-b,  0  2 ga 至最低点D，即为最大位移处， 即为振幅
m

M

M Mm 解： （ 1 ） 下落前 T1  2 下落后 T2  2 k k 两种情况都有周期变大

m下落在 M上的瞬间，初始条件： x0  A1  0  0

 x0  A2 cos  A2  A1   0   A2 2 sin

1 2 振动能量E  kA 2
机械振动
一.选择题

1. 两个相同的弹簧，一端 固定，另一端分别悬挂 质量 m1 , m 2的两个物体。若振动周 期之比T1：T2  2 : 1, 则m1 : m 2  ( )

A. B.

2 :1 4 :1

C. D.

1:4 1: 2

2. 两 个 质 点 均 做 简 谐 振 ， 动振 幅 相 同 ， 第 一 个点 质的 振动方程 x1  A cos(t   ),当 第 一 个 质 点 由 正 位 回 移到 平 衡 位 置 时 ， 第 二 个点 质在 正 最 大 位 移 处 ，第 则二 个 质 点的振动方程为： ( )
3

T R A到 达 目 标 所 需 时 间 t A   R 2 GM
B在 万 有 引 力 下 做 圆 周 动 运 G Mm R
2

m 2  R

 

GM R

R R B到 达 目 标 所 需 时 间 tB   R  GM
t A  tB 比赛为 平局，无输赢

3. 一个水平面上的弹簧振子，弹簧劲度系数 为k，所系物体的质量为M，振幅为A。有一质 量为m的小物体从高度为h处自由下落。 （1）当振子在最大位移处，小物体正好落 在M上，并粘在一起，这时系统的振动周期﹑ 振幅和振动能量如何变化？ （2）如果小物体是在振子到达平衡位置时落 在M上，这些量又如何变化？
x

b φ

c

D

B C

2 2 2 A  x0  0 / 0  b 2  2ab  c


B. x 2  A cos(t     / 2) D. x 2  A cos(t     ) A. x 2  A cos(t     / 2) C . x 2  A cos(t    3 / 2)

3. 质点作周期为T，振幅为A的简谐振动，则 质点由平衡位置运动到离平衡位置A/2处所需 的最短时间是: （ ） A.T/4 B.T/6 C.T/8 D.T/12
解：M---星球质量，R--星球半径，m---A的质量 以星球中心为原点在直径通道上设置x轴，A在x 处受引力： GM m GMm F   x 2 3 x R
（注：只有半径为x的星球部分对A有引力）

对 照 f   kx k GMm R3

m T  2 k R T  2 GM

4.两个相同的弹簧以相同的振幅作谐振动， 当挂着两个质量相同的物体时其能量相同 ____， 当挂着两个质量不同的物体仍以相同的振幅 相同 不同 振动，其能量____ ，振动频率____ 。

5. 一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周期为T， 运动方程用余弦函数表示，若t=0时， (1)振子在负的最大位移处，则初位相为_____. (2)振子在平衡位置向正方向运动，则初位相为 - 2 。 _____ (3)振子在位移A/2处，向负方向运动，则初位  3 。 相为_____

9.两个振动方向相互垂直、频率相同的简谐振 动的合成运动的轨迹为一正椭圆，则这两个 分振动的相位差可能为（ ） A. 0或π/2 B. 0或3π/2 C. 0或π D. 3π/2 或 π/2

10．竖直弹簧振子系统谐振周期为T，将小 球放入水中，水的浮力恒定，粘滞阻力及弹 簧质量不计，若使振子沿铅直方向振动起来， 则： （ ）

不变

（ 2 ）周 期 变 大 m与M结 合 ， 初 始 条 件 ： x0  0  20  ? k M

 0   max  A11  A1
碰撞时动量守恒  20
A2 
2 x0

M kM   A Mm Mm



2  20

2 2

 20   2

M A1  A1 振幅变小 Mm