解析函数的级数展开
求函数解析形式的六种常用方法
求函数解析形式的六种常用方法
在解析函数的形式时，有多种方法可以使用。
以下是六种常用的方法：
1. 泰勒级数展开：泰勒级数是将函数表示为无穷级数的形式。
通过给定函数在某个点的各阶导数，可以使用泰勒级数来近似表示函数的解析形式。
2. 分段定义：对于某些函数，可以将其定义分为不同的部分，每个部分的解析形式很简单。
通过将这些部分组合在一起，可以得到整个函数的解析形式。
3. 几何方法：对于一些几何关系较为明显的函数，可以使用几何方法来求解其解析形式。
例如，对于直线或者曲线上的点，可以通过几何关系来推导函数的解析形式。
4. 求导和积分：对于已知函数的导数和积分形式，可以通过对函数进行导数和积分运算来逆推函数的解析形式。
这种方法常用于已知函数的导数和积分形式比较简单的情况。
5. 已知特殊点和性质：如果已知函数在某些特殊点上的性质，例如零点、最大值、最小值等，可以利用这些特殊点和性质来推导函数的解析形式。
6. 函数逼近：当无法直接求得函数的解析形式时，可以使用函数逼近的方法来近似表示函数。
例如，可以使用插值方法或者最小二乘法来逼近函数的解析形式。
这些方法可以在不涉及法律复杂性的前提下，帮助求解函数的解析形式。
每种方法都有其适用的情况，具体使用哪种方法取决于函数的属性和已知信息。
数学分析中的级数展开
数学分析中的级数展开在数学分析中，级数展开是一种重要的数学工具，用于将一个函数表示为无穷级数的形式。
级数展开在数学和物理学中有广泛的应用，可以帮助我们理解函数的性质和行为。
本文将介绍级数展开的基本概念、常见的级数展开方法以及一些实际应用。
一、级数展开的基本概念级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，即将函数表示为一系列项的和。
通常情况下，我们希望将一个函数展开成幂级数的形式，即形如∑an(x-a)n的级数。
其中，an是系数，x是变量，a是展开点。
二、常见的级数展开方法1. 泰勒级数展开泰勒级数展开是最常见的级数展开方法之一。
它将一个函数在某个展开点附近展开成幂级数的形式。
泰勒级数展开的公式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)2/2! + f'''(a)(x-a)3/3! + ...2. 麦克劳林级数展开麦克劳林级数展开是泰勒级数展开的一种特殊情况，展开点为0。
麦克劳林级数展开的公式为：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x2/2! + f'''(0)x3/3! + ...3. 幂级数展开幂级数展开是将一个函数展开成幂级数的形式，不限于泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
幂级数展开的公式为：f(x) = ∑an(x-a)n三、级数展开的实际应用级数展开在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 函数逼近级数展开可以将一个复杂的函数逼近为一个简单的级数，从而方便计算和分析。
例如，利用泰勒级数展开可以将一个非线性函数逼近为一个多项式函数，从而简化计算。
2. 解析几何级数展开在解析几何中有重要的应用。
例如，利用幂级数展开可以将一个复杂的曲线或曲面表示为一系列简单的项的和，从而方便研究其性质和行为。
3. 物理学级数展开在物理学中有广泛的应用。
解析函数的幂级数展开的题及答案
解：可直接求出函数 1 z 在 z 0 的各阶导数值，
f (0) 1 f '(0) (1 z )
1z 0源自z 0f ''(0) ( 1)(1 z ) 2
( 1)
f ( n ) (0) ( 1) ( n 1)(1 z ) n
zn (1) 3 (并讨论在收敛圆周上的敛散性)； n 1 n n ( z 1) (2) (并讨论在 z 0, 2 点处的敛 n n 1
散性).
n 1 1， an lim 解:(1) 因为 lim 所以该级 3 n a n n n 1 数的收敛半径为 R 1 ；在收敛圆周上,幂级数变为: ein n3 , 易知该级数绝对收敛因而也收敛. n 1 2
3
n 1 1， an lim (2) 易得: lim 故该级数 n a n n n 1 的收敛半径为 R 1 . 因 z 0, 2 均位于收敛圆周上， 故需要进一步讨论起敛散性．对于 z 0, 原级数变为
(1) 交错级数 ， （由交错级数的 Lebniz 判别法） n n 1 易知其收敛但不绝对收敛．对于 z 2, 该幂级数变为
z
所以：
ez 1 2 1 1 3 1 2 z 1 1 z 1 1 z , z 1. 1 z 2! 2! 3!
10
例4.7：证明级数 z 在 z r (0 r 1)上一致收敛 .
n n 1
证： z r n，且级数 r n (0 r 1)收敛
例：用唯一性定理证明 2 z cos2 z 1. sin 解： f1 ( z ) sin 2 z cos2 z f 2 ( z) 1 f1 ( z )与f 2 ( z )在全平面上解析，而在 实轴上f1 ( x) f 2 ( x) 故在全平面上 1 ( z ) f 2 ( z ),即 f sin 2 z cos2 z＝ 1
幂级数展开式常用公式 csdn
幂级数展开式常用公式一、概述幂级数展开是微积分中非常重要的一个概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，往往需要根据实际情况来拟定幂级数展开式，以便进行进一步的分析和计算。
本文将介绍一些幂级数展开式的常用公式，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
二、常见的幂级数展开式1. $e^x$的幂级数展开式可以利用泰勒公式得到$e^x$的幂级数展开式：$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$这个幂级数在实际计算中有着广泛的应用，特别是在微积分和概率论中。
2. $\sin x$的幂级数展开式$\sin x$函数的幂级数展开式为：$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$3. $\cos x$的幂级数展开式$\cos x$函数的幂级数展开式为：$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$4. $\ln(1 + x)$的幂级数展开式$\ln(1 + x)$函数的幂级数展开式为：$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$5. $(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式当$\alpha$为实数时，$(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式为：$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots$$这个幂级数展开式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
解析函数的级数展开形式的一种确定方法
瑚
（ 在 环ｌ ３＜ ， 数 开 式 ６ 圆 ＜ ～ Ｉ 内 级 展 型 为∑ｃ ） ） ｌ ＋ 一 （３
， 丽 ＝ （ 一 （ １ 争 咖 １ １）
＝
（ 若 域 ＜ Ｉ 或Ｋｚ 或Ｉｌ 其 式 式 ３ 环 为ｏｌ ＜ ） ： Ｒ ＩＩ ＝＞ 展 形 为∑ｃ ｒ
。
通 过分 析 ， 们可 得 出 如下 确 定 级 数展 式 形 式 的具 体 方法 ： 我
（解析 为 域｝ ，展 为 勒 数∑ ｚ ｒ， １ 域 圆 ＝ ｌ 则 开 泰 级 （ｏ ） 一 —） “
（ ） 定 函 数 的解 析 圆环 域 ， 据 圆 环 域 确 定 其 相 应 的 罗 朗 展 式 ２确 根
埘
（若 域 ＜ Ｉ 或ｒ Ｉ 其 式 式 ４ 环 为ｏ１ （ ＜ ＜ 展 形 为∑Ｃ －） ） ｚ 尺 ｌ Ｒ ｎ － ０ａ
以 下我 们 将用 一 个 具 体 例 子对 我 们 的结 论 加 以说 明。
＝
｝ 毒 一巧 ） （ １ １
争 去 上￣ ） （ 专 Ｚ 击 －＝ ３㈠
＝
击熹 “ 主 （＋ 击） 刍 丢
一
的 正确 性 。 开形 式 判定 之后 ， 点 是 系数 的计 算 ， 们可 按 直 接 计算 展 重 我 系 数 的 办法 进 行 ， 通 常 情 况 下 都 是 采 用 间 接 的方 法 ， 利用 已 有 的 但 即 级 数 展 式 与幂 级 数 的 性 质 ， 以及 一 些 运 算 技 巧 来 求 出 ， 就需 要 对 函 这 数 形式 进 行 适 当 的变 形 ， 然后 作 相 应代 换 。本 文 就此 问 题 作 了 一 些研 究． 并给 出 了完 全可 行 的 确定 级 数 展式 形 式 的 方法 。
解析函数展开成Laurent级数的方法研究
解析函数展开成Laurent级数的方法研究将一个解析函数展开成Laurent级数，一般需要以下方法：
1. 找出函数的极点和其阶次：通过求解函数的极点，可以确定展开式中的每个幂次项对应的系数和在哪些点上有奇点。
极点的阶次也直接决定了Laurent级数中负次幂的系数。
在实践中，可以通过求导数或求反函数等方法来找到函数的极点。
2. 在每个奇点的附近做局部展开：对于一个函数$f(z)$，如果它在某个点$z_0$处存在奇点，那么可以在奇点附近做局部展开：$f(z) = \\sum_{n=-\\infty}^\\infty a_n(z-z_0)^n$，其中
$a_n$是展开式中$n$次幂项的系数。
3. 根据极点阶次确定展开式中的系数：由于Laurent级数包含正次幂和负次幂，因此需要在每个奇点处分别确定展开式中正次幂项和负次幂项的系数。
其中，正次幂项的系数可以通过泰勒级数展开求得，而负次幂项的系数可以通过计算函数的残数得到。
4. 最终得到Laurent级数的形式：将每个奇点处的局部展开式合并起来，可以得到完整的Laurent级数展开式。
需要注意的是，Laurent级数展开式可能不是唯一的，因为不同的局部展开式可能存在重叠部分。
因此，在实际计算中需要对不同的展开式进行比较和选择。
专题二 微积分问题专题(解析解及级数展开求和)
解 由题意知，前 5 年的总产量为
Q( t )
5 0
3 2 ( 70 t 1 0 t dt ) 10
clear syms t Q Q=int(70+10*t-3/10*t^2,t,0,5)
例 已知某产品的边际成本和边际收入分别为
C ( x ) x 2 4 x 6, R( x ) 105 2 x
– 格式2： L= limit( fun, x, x0, ‘left’ 或 ‘right’)
• 例: 求极限
• >> syms x a b; >> f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x); >> L=limit(f,x,inf)
• 例:求极限
>> syms x; >> limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
>> m=1:10000000; s1=sum(1./((3*m-2).*(3*m+1)));%数值计算方法 >> format long; s1
例:求
>> syms m n; limit(symsum(1/m,m,1,n)log(n),n,inf)
>> vpa(ans, 70) % 显示 70 位有效数字
例：求
x sin x I1 dx 1 cos x 1 cos x
和
cos x x2 I2 2x ln 2 x
并画出 I1 x sin x dx 的积分曲线族
syms x C fx=(x+sin(x))/(1+cos(x)); I1=int(fx,x)+C ezplot(fx,[-2,2]) hf=ezplot(fx,[-2,2]); xx=linspace(-2,2); plot(xx,subs(fx,xx),'k','LineWidth',2) hold on for c=0:6 y=inline(subs(I1,C,c)); plot(xx,y(xx),'LineStyle','--'); end legend('函数曲线','积分曲线族',8)
数学物理实验第三节(泰勒级数展开)
可求得收敛半径为1，由此可得
m m
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m (1 z ) 1 1 z z z ... 2! 3! 1! z 1
9
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m (1 z ) 1 1 z z z ... 2! 3! 1! z 1
1 f ( ) f ( z ) ( z z0 ) d k 1 2i CR1 ( z0 ) k 0
k
根据柯西公式
f
(n)
n! • f ( ) ( z) d n 1 l 2i ( z )
上式就是以z0为
中心的泰勒级数
f ( z)
k 0
解： 多值函数f(z)＝lnz的支点在 z 0, 而现在的展开中心
z0＝1不是支点，在它的邻域上，各个单值分支相互独立，各自
是一个单值函数，可按照单值函数的展开方法加以展开。 展开系数计算如下：
f ( z ) ln z , f (1) ln1 n2 i ( n Z ) 1 , f (1) 1 z 1! f ( z ) 2 ，f (1) 1 z 2! (3) f ( z ) 3 , f (3) (1) 2! z 3! (4) (4) f ( z ) 4 , f (1) 3! z f ( z )
2
（1）
z z0 z z0 z z0 1 1 ... 1 z z z0 z z 0 0 0 1 z0
代入（1）可得
1 1 t t ... t ... 1 t
依次进行下去，可得到与前完全一样的展开式，这样就证明了 解析函数可以展开为唯一的泰勒级数，泰勒级数与解析函数有 密切的关系。
数学中的复变函数理论知识点
数学中的复变函数理论知识点复变函数理论是数学中的一个重要分支，研究了以复数为自变量和因变量的函数。
在复变函数理论中，有许多重要的知识点需要了解和掌握，本文将就其中的一些重要知识点进行介绍和解析。
一、复数与复平面复变函数理论的基础是复数与复平面。
复数是由实数和虚数组成，形如z=a+bi，其中a、b均为实数，i为虚数单位。
复平面是将复数与二维平面相对应，将实部与虚部分别映射到x轴和y轴上。
二、复数的运算复数的加减法、乘除法都遵循一定的规律，其中加减法是按照实部和虚部分别相加减，乘除法运用复数的乘法公式进行计算。
复数的求模运算是取复数与原点的距离，可以用勾股定理来表示。
三、复变函数的定义复变函数是将复数映射为复数的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部，x和y是复数z=a+bi的实部和虚部。
复变函数的定义域和值域都是复数集。
四、解析函数与调和函数解析函数是指在某个区域内处处可导的函数，也叫全纯函数。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，即其二阶偏导数的混合二次导数等于零。
五、柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复变函数理论的重要定理之一，它表明解析函数的实部和虚部满足一组偏微分方程。
这个方程系统包括两个方程，分别是实部对应的方程和虚部对应的方程。
六、留数定理和留数求和公式留数定理是解析函数在奇点处的留数与曲线积分的关系，利用留数定理可以计算闭合曲线内的曲线积分。
留数是解析函数在奇点处的留下的一个特殊数值。
留数求和公式则是通过计算留数之和来求解曲线积分。
七、解析函数的级数展开解析函数可以用级数展开表示，其中最常用的是泰勒级数展开和劳伦茨级数展开。
泰勒级数展开适用于解析函数在某个点附近的展开式，劳伦茨级数展开适用于解析函数在圆环区域的展开式。
八、奇点与极点奇点是指函数在某个点上的值无限大或无定义的点，包括可去奇点、极点和本性奇点三种类型。
极点是一种特殊的奇点，是当该点的函数值趋于无穷大时的奇点。
解析函数的泰勒展开及洛朗展开
洛朗级数的收敛性
洛朗级数的收敛性取决于函数在圆环 域内的性质。如果函数在圆环域内解 析且满足一定的条件，则洛朗级数在 该圆环域内收敛。
洛朗级数的收敛性可以通过比较判别 法、根值判别法等方法进行判断。如 果洛朗级数的通项满足一定的条件， 则该级数收敛。
常见函数的洛朗展开
一些常见的函数在特定的圆环域内可以展开成洛朗级数。例如，函数$f(z) = frac{1}{z}$在圆环域$0 < |z| < infty$内可以展开 成洛朗级数$frac{1}{z} = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n z^{-(n+1)}$。
计算复变函数的值
通过泰勒展开，可以将一个复杂的复 变函数表示为一个简单的多项式形式， 从而方便计算函数在某一点的数值。
VS
利用洛朗展开，可以将一个在某一点 不解析的复变函数表示为一个在该点 解析的函数与一个在该点不解析但已 知的函数之和，进而计算该点的函数 值。
证明复变函数的等式与不等式
泰勒展开和洛朗展开可以将复变函数表示为 幂级数形式，通过比较相应项的系数，可以 证明两个复变函数之间的等式或不等式关系 。
PART 04
解析函数在复平面上的性 质
REPORTING
WENKU DESIGN
解析函数的零点与奇点
零点
解析函数的零点是指在该点上函数值为零的点。零点可以是孤立的，也可以是连续的。 例如，多项式函数的零点就是其根。
奇点
解析函数的奇点是指在该点上函数不解析的点，即函数在该点上没有定义或者不可微。 奇点可以是孤立的，也可以是连续的。常见的奇点类型包括可去奇点、极点和本性奇点。
REPORTING
WENKU DESIGN
展开形式的差异
复变函数的解析函数与无穷级数展开
复变函数的解析函数与无穷级数展开复变函数在数学领域是一个重要的研究对象。
在解析函数的概念与无穷级数展开方面有着广泛的应用和研究。
本文将从这两个方面来介绍复变函数的相关内容。
一、解析函数的概念解析函数是指在某一区域内连续且可导的函数。
具体而言，对于一个复变函数f(z)，如果它在某一区域内连续且对任意一点z都可导，那么该函数就是解析函数。
解析函数具有以下一些重要的性质：1. 解析函数的实部和虚部都是一阶连续可微的函数；2. 解析函数满足柯西-黎曼方程，即实部和虚部的偏导数满足一定的关系；3. 解析函数的导函数也是解析函数。
通过解析函数，我们可以进行复变函数的各种运算和分析。
例如，我们可以根据柯西-黎曼方程来求解复积分，通过对解析函数进行泰勒级数展开来计算函数的各种近似值，还可以通过解析函数来解决一些工程问题和物理问题。
二、无穷级数展开无穷级数展开是指将一个函数表示为一个无穷级数的形式。
在复变函数中，泰勒级数和劳伦特级数是常用的无穷级数展开方法。
1. 泰勒级数展开泰勒级数是指将一个函数展开成幂级数的形式，其中的系数由函数在某一点的导数确定。
对于一个解析函数f(z)，它在点a处的泰勒级数展开形式为：f(z) = f(a) + f'(a)(z-a) + f''(a)(z-a)^2/2! + f'''(a)(z-a)^3/3! + ...泰勒级数的收敛域与函数的性质相关，在某些情况下可以覆盖整个复平面。
通过截断泰勒级数，我们可以得到一个函数在某一点的局部近似值。
2. 劳伦特级数展开劳伦特级数是指将一个函数展开成正负幂次项交替出现的级数。
对于一个解析函数f(z)，它在点a处的劳伦特级数展开形式为：f(z) = Σ[Res(f, z_k)/(z-z_k)],其中，Res(f, z_k)表示函数f(z)在点z_k的留数。
劳伦特级数的收敛域是以展开点为圆心的某一圆环，这取决于函数在展开点附近的奇点情况。
解析函数的泰勒级数展开
1
( ) = a + a1 ( z 0 )+ a ( z 0) … 1 1 两边乘以 2 i z 1 a0 1 a1( z0 ) 1 a2 ( z0 )2 1 ( ) 2i z 2i z 2i z 2i z
n p
Sn p Sn
k 成立。 k n 1
说明从n＞N后面项的和为一小数，所以收敛。 证明见高等数学教材。
6
（3） 复数项级数的收敛定义 如果复数项级数 k 的部分和序列
k
s 有极限S，即
n
s1 1
s2 1 2
这时极限S称为这级数的和
k 1 k
( z z 0) ( z z 0)
k 1
k
ak 1 lim ( z z0 ) 1 k a k
收敛半径为
绝对收敛。 即
a z z0 lim k k a k 1
ak R lim k a k 1
18
2）Cauchy法求收敛半径 k k ak z z 0 ＜1对收敛。 lim K 收敛半径为 R = lim a
25
三、幂级数性质
1、幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛 证明 收敛圆半径为R, 做比收敛圆稍微缩小的圆周C R1 ,半径为R1 ∵
k a ( z z 0) ≤ a k R1
k k
由 a k R 构成的常数项级数
k 1
a R
k 0 k
k
1
则有
a R = lim a R = lim a a R
2 k
、 ….
1
2
2 k
解析函数的Taylor展式
第四章 解析函数的幂级数表示方法
§1 、复级数的基本性质
1.复级数的基本性质 2.复函数项级数
§3 、解析函数的Taylor展式
1. Taylor定理 2. f (x)在z=a的泰勒展式的收敛
半径的确定 3.一些初等函数的泰勒展式 4.解析函数的幂级数展开
0,N N , s.t. 对一切 ,
均有 fn1 z fn2 z fn p z
推论(优级数准则):若 fn z Mn, n 1, 2,
,z E 而 Mn 收敛, 则 n1
复函数项级数 fn z 在点集 E上绝对收敛且一致收敛.
n1
n1
定理4.6：设级数 fn z 的各项均在点集 E上连续, 并且一致收敛于 f z , n 1 则和函数 f z fn z 也在 E上连续 。 n1
定理4.7: 设级数 fn z 的各项在曲线 C上连续,并且在C 上一致收敛于 f z , n 1
但非一致收敛 。
§2 幂级数
1.幂级数的敛散性
1.1 基本概念
定义: 具有 cn z an c0 c1 z a c2 z a2 n0
(4.3) cn zn c0 c1z c2z2 n0
a 形式的复函数项级数称为幂级数.其中 c0 , c1, c2 和 都是复常数.
n 1
M n 称为 fn z 的优级数.
n1
n 1
例4:证明 1 zn zn1 在 z r 1 上一致收敛. n1 证明: 因为 zn zn1 z n z n1 rn rn1 2rn1;
导数与函数的级数展开解析
导数与函数的级数展开解析在微积分中，导数和级数展开是两个基本且重要的概念。
导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，而级数展开则是将函数表达为无穷级数的形式。
本文将对导数与函数的级数展开进行详细解析。
一、导数的定义及计算导数是函数在某一点的变化率，可以用极限的概念进行定义。
设函数y=f(x)，则在点x处的导数为：f'(x) = lim┬(h→0) (f(x+h) - f(x))/h这个公式表示了函数在点x处的瞬时变化率。
我们可以通过这个公式来计算函数在某一点的导数。
例如，对于多项式函数f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x，可以通过求导得到导函数：f'(x) = 6x^2 - 8x + 3二、级数展开的概念及应用级数展开是将函数表达为无穷级数的形式，可以用于近似计算和函数性质研究。
级数展开的基本思想是使用一组基函数来逼近原函数，通过不断增加基函数的项数，逐渐接近原函数。
常用的级数展开包括泰勒级数和傅里叶级数。
泰勒级数是一种将函数表达为无穷多项式的展开形式，通常用于近似计算。
而傅里叶级数是将周期函数表达为正弦函数和余弦函数的无穷级数，可以用于信号处理和振动分析等领域。
三、泰勒级数展开泰勒级数是将函数在某个点处展开成无穷多项式的形式。
设函数f(x)在点a处具有各阶导数，其泰勒级数展开为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...在实际计算中，我们通常只考虑前几项的展开，并且使用函数在某个特定点的导数来进行计算。
四、傅里叶级数展开傅里叶级数将周期函数展开为正弦函数和余弦函数的无穷级数。
设函数f(x)的周期为2π，则其傅里叶级数展开为：f(x) = a₀/2 + Σ[┬(n=1)ⁿ⁺⁽⁺⁾](aₙcos(nx) + bₙsin(nx))其中，a₀、aₙ和bₙ为系数，可以通过函数的积分计算得到。
04_解析函数的幂级数展开
可交换性： 绝对收敛级数经改变项的位 置后构成的级数仍绝对收敛，而且与原 级数有相同的和. 若复数项级数 p 与 q 都绝对收敛，其 和分别为S 和 ，则它们的Cauchy乘 积 p q (p q p q ) (p q p q p q ) 也是绝对收敛的，且为S 。
孤立奇点的分类
孤立奇点分类：可去奇点、极点和本性 奇点
极点与零点的关系
第六节 解析函数在无穷远点的性态
定义
若 函 数 f ( z ) 在 无 穷 远 点 z 的 某 邻 域 R | z | 内 解 析 则 称 为 f ( z )的 孤 立 奇 点 .
从 函 数 的 极 值 看 ， z 是 f ( z )的 可 去 奇 点 ， 极 点 或 本性奇点的充分必要条件分别是：
2内 收 敛
于 f 2 ( z ). D 1与 D 2 有 一 公 共 区 域 ， 如 图 所 示 阴 影 区 域 ， 且 在 这 个 公 共 区 域 重 两 级 数 相 等 ， 所 以 f 2 ( z ) 为 f 1 ( z )的 解 析 延 拓 函 数 .事 实 上 ， 它 们 不 过 是 同 一 解 析 函 数 域 中 的 T a ylo r 级 数 而 已 . 1 1 z 在不同
第四章 解析函数的幂级数展开
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
复数项级数与复变项级数 幂级数 解析函数的Taylor级数展开 解析函数的Laurent级数展开 孤立奇点 解析函数在无穷远点的性态 解析延拓
第一节 复数项级数与复变项级数
复数项级数概念
设有复数列 z ( k
k
k
k
k 1
解析函数的级数展开
定理 4.1.2 (比较判别法) 假设存在自然数N, 使得当 j > N 时
若(实正项)级数
∑M
j =0
∞
| c j |≤ M j .
j
收敛, 则复级数
∑ c 也收敛.
j =0 j
∞
1 + 2i 例 4.1.1 证明级数 ∑ j 收敛. j = 0 ( j + 1)
∞
证明:
1 + 2i 1 + 2i 1 + 2i 1 + 2i ∑ ( j + 1) j = (1 + 2i) + 2 + 9 + 64 + L j =0
称为 f (z ) 在点 z0 处的泰勒级数. 当 z0 = 0 时称其为 f (z ) 的 马克劳林 (Maclaurin) 级数. 由高阶导数的柯西积分公式, 泰勒级数的系数可表示为 z0 点 的邻域内某一简单闭曲线 Γ 上的积分表示. f ( j ) ( z0 ) f (ς ) 1 = ∫Γ (ς − z0 ) j +1 dς j! 2πi
为 S n , 即 S n = ∑ c j . 若部分和序列 {S n }∞=1有极限S, 则称级 n 数收敛于S, 记为 S = ∑ c j . 一个级数若不收敛则称为发散.
j =1
∞ ∞ ∞
n∑ c = ∑ (a源自j =1 j j =1j
+ ib j ) = S = a + ib ⇔ ∑ a j = a, ∑ b j = b.
z → z0
lim ∑ f n ( z ) = f ( z0 ) = ∑ f n ( z0 ) = ∑ ( lim f n ( z )).
n =1 n =1 n =1 z → z0
解析函数的级数展开形式的一种确定方法
解析函数的级数展开形式的一种确定方法从古至今，解析函数的级数展开形式的确定一直是数学中最具挑战性也是最重要的一部分。
在解析函数中，级数展开形式是极其重要的，它具有重要的运算、分析、求解数学问题的作用，并在研究函数分析、计算数学、高等数学及其他学科中有广泛的应用。
级数展开形式指的是用多个项级数的形式表示一个函数，它可以准确表示某函数在某一点附近的特性，更能更加准确地表达函数的行为特性。
级数展开形式也可以帮助我们很快确定一个函数的格局。
例如，在一维空间里，函数的形状是一个双曲线，而在多维空间里，函数的形状是一个圆锥。
解析函数的级数展开形式的确定，主要包括三种方法：第一种方法是利用函数本身的性质来分析级数展开形式。
函数本身有一定的性质，例如函数的对称性，函数的单调性，函数的解析性等，由这些性质可以帮助我们推算出函数的级数展开形式，从而确定函数的形式。
第二种方法是借助不同的函数综合来求解函数的级数展开形式。
这种方法也很有效，它是利用一些相关综合函数来求解函数的级数展开形式，比如利用傅里叶级数来求解函数的级数形式，利用Laplace 变换来求解函数的级数形式，等等。
第三种方法是利用拟合技术来求解函数的级数展开形式，拟合技术可以给出函数的级数展开形式，即求出相应的未知系数，从而确定函数的级数形式。
解析函数的级数展开形式的确定不仅受到函数本身的性质的影响，而且也受到计算技术在解析函数中的影响。
在现代计算机技术发达的今天，计算函数级数展开形式可以使用先进的数值分析方法，如数值积分，数值微分，数值差分，各种解析技术多种多样，为解析函数的级数展开形式提供了更多的可能性。
从以上可以看出，解析函数的级数展开形式的确定有多种方法，其中以利用函数本身的性质来分析级数展开形式，和借助不同的函数综合来求解函数的级数展开形式，以及采用拟合技术来求解函数的级数展开形式，是相对比较常用也是通用的方法，我们可以根据不同的解析函数，为它确定合适的级数展开形式。
谈解析函数级数展开式的一些应用
谈解析函数级数展开式的一些应用引言函数级数展开式是数学分析中重要的概念，在理论上，它可以把大多数实数函数精确地用一系列有限项或无穷项的级数表达出来，从而为研究分析实数函数提供了有效的方法。
近些年来，函数级数展开式被广泛应用于众多领域，例如数值分析、物理学、金融建模、生物统计和图像处理等。
下面，我们将讨论函数级数展开式的应用，具体如下：一、数值分析数值分析是计算机科学中的一个重要分支，它主要是研究各种数值解法，即计算微积分中的诸如积分、微分方程等复杂概念。
函数级数展开式在数值分析中应用极为广泛，可以提供更加准确和有效的计算结果。
例如，函数级数展开式可以用来求解微分方程，根据展开式可以得出及时准确的数值解。
二、计算物理学物理学是研究物质的性质和变化规律的科学，函数级数展开式在计算物理学中也有着重要的应用。
函数级数展开式可以把一些复杂的物理现象表示为有限项或无穷项的级数形式，这一点在研究物理过程中特别有用。
例如，函数级数展开式可以用来解释光的衰减及传播特性，其展开式可以把光的衰减表达为一系列精确的数学表达式，使得研究者可以更加清楚地了解光的衰减情况。
三、金融建模金融建模是将金融经济数据和金融交易进行建模的研究过程，函数级数展开式的应用也可以更好地帮助金融领域的研究工作。
函数级数展开式可以将复杂的金融交易流程进行有效的描述，并通过有限项或无穷项的展开式对金融数据进行分析，使得金融建模更加精准和深入。
四、生物统计生物统计是研究生物学数据的一个重要分支，它关注于从海量的生物学数据中提取有效统计信息，为研究者提供有统计学意义的决策。
函数级数展开式可以用来描述复杂的生物学数据，对复杂的生物过程进行精确描述，从而使研究者能够更好地研究和理解生物系统。
五、图像处理图像处理是研究处理图像信息的一个重要领域，函数级数展开式在图像处理中也可以发挥重要作用。
函数级数展开式可以用来描述图像中特定的细节，并对图像做出更加准确和快速的处理，从而提高处理效率。
解析函数的泰勒展开
n=0
或者 : f (z)在圆 z − a < R 内的泰勒展开。
注意：a是f (z)的解析点。
∑ f (z)
+∞
n=0
f
(n)(a n!
)
(
z
− a)n。
推论1：f (z)在任一解析点 a 的泰勒展式是唯一的.
证明：假设f (z)在某个解析点a有两个泰勒展式：
∑ ∑ = f (z)
+∞
an(z − a)n ,= f (z)
=
∑ +∞
(1+ i)n −(1−i)n 2i(n!)
z
n=
+∞
(
n=0
n=0
2)n n!
(sin
nπ
4
)z
n
。
#
复合函数泰勒展开 例. 将 cos z3展为z 的幂级数.
∑ 解
cos
z
3
=
+∞
∑
n=0
(−1)n
( z3 )2n (2n)!
=
+∞
n=0
(−1)n
(2n)!
z 6 n。
#
例求
1 1+ z4
∑+∞
=
ea n!
(
z
−
a
)n，
z−a
<
n=0
+∞。
#
n=0
ez 在z = 0 的泰勒展式为
∑ ez
+∞
=
n=0
zn n!
=1 +
z
+
z2 2!
+
z3 3!
+
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n 1
条件是级数的实部
a
n 1
n
和虚部
b
n 1
n
都收敛.
定理 4.1.3
S a ib ，则
设 n an ibn
(n 1, 2, ) ，且
n 1
n
收敛于 S 的充分必要条件是 lim
n
a
n 1
n
a
且 lim
n
b
n 1
n
b.
定理 4.1.4
级数
n 1
n
收敛的必要条件是
lim n 0
n
.
例4.1.1 考察级数
1 i n 2 n 1 n
的敛散性.
【解 】
由定理4.1.2 知，只需讨论级数的实部级数
lim S n S
n
(4.1.2)
记作
S n
n 1
(4.1.3)
定义4.1.3 级数发散
若部分和数列
Sn 无有限的极限，则称
n 1
n
级数发散
4.1.2 复数项级数的判断准则
定理 4.1.1 柯西收敛准则 对于复数项级数，存在 类似于实数项级数收敛的充分必要条件. 级数 (4.1.1)收敛 的充分必要条件是对于任意给定的 0, 存在自然数 N 使得 当 n N 时，
|
2)
k n 1
n p
f k ( z ) |
(4. 2.
一致收敛
如果对于任意给定的 0 ，存在一个与 z 无关的 自然数 N， 使得对于区域 D 内(或曲线 L 上 )的一切 z 均 有: 当 n N 时，
|
k n 1
n p
f k ( z ) |
(p 为任意正整数 )
(4.2.1)
该级数前n项和 Sn ( z )
f
k 0
n
k
( z ) 称为级数的部分和.
定义 4.2.2 如果对于 D 内某点 z0 ，数项级数
f
n 0
n
( z0 ) 收敛，则称 z0 点为 f n ( z ) 的一个收敛点，
n 0
若级数在区域 D 内的每一点都收敛，则称该级数在 D 内收敛 ;收敛点的集合称为
f
(3)
( p)
( z ) f n( p ) ( z ) ( z D, p 0,1, 2, )
n 0
(4.2.6)
n 0
f n( p ) ( z ) 在 D 内一致收敛于 f ( p) ( z) .4.3Biblioteka 幂级数4.3.1 幂级数概念
定义 4.3.1 幂级数概念 当 fn ( z) cn ( z z0 )n 或 fn ( z) cn z n 时，就得到函数项级数的特殊情况.
(1)n (1)n i i 是收敛的，但由于 n n n 1 n 1
(1)n 1 | i| n n 1 n 1 n
即为调和级数，故发散.
另外，若有
n an ibn
，则
| a |, | b
n 1 n
n 1
n
| | n | a b | an |+ | bn |
f
n 0
n
( z ) 的收敛域. 若级数
f
n 0
n
( z0 ) 发散，则称 z0 点为级数的 发散点，发散点的
集合称为
f
n 0
n
( z ) 的发散域 .
如果级数
f
n 0
n
( z ) 在 D 内处处收敛，则其和一定是 z 的函
数，记为 S ( z ) ，称为
f
n 0
n
( z ) 在 D 内的和函数. 即对任意的
定义 4.2.1 复变函数项级数
设
{ fn ( z)},(n 0,1, 2,...) 是定义在区域D上的复变函数
序列，则称表达式
f
n 0
n
( z ) f 0 ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z) f n ( z)
为复变函数项级数（简称复函数项级数）.
n 1 z 1 n z lim Sn lim n n 1 z 1 z n 0
根据维尔斯特拉判别法，显然级数
n z 在闭圆 n 1
| z | r (r 1) 上满足 | z n | r n 即存在优级数 r n ，故
n0
在该闭圆内一致收敛.
n0 n
n
在点 z z0 , ( z0 0) 收敛，那么对满足
z z0 的 z ， 级数必绝对收敛且一致收敛. 如果
在点 z z0 处级数发散，那么对满足 z z0 的
z ，级数必发散.
【证明】 若级数
n n
n c z 根据收敛的必要条件， n 0 收敛， n 0
n 1
n
1 2 n
(4.1.1)
称为复数项无穷级数. 前n项和 Sn 1 2 n 称为级数的部分和.
定义4.1.2 级数收敛
若部分和复数列 {Sn } 存在有限极限，则称无穷级数
n 1
n
收敛，而这极限值称为该级数的和, 即
1 n 1 n
和虚部级数
1 n n 1 2
1 n 1 n
的敛散性. 因为级数 发散，故原级数发散.
定义4.1.4 绝对收敛级数
若级数
n 1
n
收敛，称原级数
n 1
n
为绝对收敛级数.
定义4.1.5 条件收敛级数
若复数项级数
n 1
n
收敛，但级数
n 1
n
(4.1.6)
也绝对收敛，且收敛于： S L SL
例4.1.2 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还 是绝对收敛？
(1)
(8i) n 0 n !
n
；
【解】
(1) 因
8i 8n n! n!
n
由正项级数的比值判别法知
8n b b2 4ac 收敛，故级数 2a n 0 n !
n 0
一致收敛 .
定理 4.2.2
设级数
f
n 0
n
( z ) 的各项
在区域 D 内连续，并一致收敛于 f ( z ) ，则 其和函数 f ( z )
f
n 0
n
( z ) 也在 D 上连续.
定理 4.2.3
设级数
f
n 0
n
( z ) 的各项在曲
线 C 上连续，并且在 C 上一致收敛于 f ( z ) ，则 沿 C 可以逐项积分
n 2 n c z c c z c z c z n 0 1 2 n n 0
有 lim cn z0 0 ，因而存在正数 M，使对所有的 n 有
n cn z0 M
如果 z z0
|z| q 1 ，而 ，那么 | z0 |
z cn z c z Mq n . z0
n n n 0
n
由于 Mq n 为公比小于 1 的等比级数， 故收敛，
n 0
从而根据正项级数的比较法知
(2)当 | z | 1 时，| z |n 1 . 所以一般项 n z 不可能以零为极限， 从而级数发 散.
定义 4.2.4 闭一致收敛 设 f n ( z), (n 0,1, 2, ) 在区域 D 内有定 义，若
f
n 0
n
( z ) 在 D 内的任意一个有界闭区域
G 上都一致收敛，则称级数 f n ( z ) 在 D 内闭
(4.2.3)
则称级数
f
n 0
n
( z ) 在 D 内 (或曲线 L 上)一致收敛.
定理 4.2.1 维尔斯特拉斯( Weierstrass) 判别法 （又称为 M －判别法） 对于复函数序列 { fn ( z)} ，存在正数列 {M n } ，使 对一切 z，有
| fn ( z) | M n (n 0,1, 2, )
而正项级数 且一致收敛 .
(4.2.4)
M
n 0
n
收敛，则复函数项级数
f
n 0
n
( z ) 绝对收敛
这样的正项级数
M
n 0
n
称为复函数项级数
f
n 0
n
( z)
的强级数 (或优级数 )， 上述 M 判别法 又称为优级数 (强级 数)判别法 .
例 4.2.1
讨论复级数
n z 的收敛性，并讨论该级数在闭圆 n0
(8i)n n 0 n !
绝对收敛.
(2)
(1) 1 n 2n i n 1
n
(2) 因
(1) n n 1
n
，
1 n n 1 2
都收敛，故原级数收敛，但因
(1) n n n 1
为条件收敛，所以原级数为条件收敛.
4.2 复变函数项级数