数学建模系列-常用模型-PPT
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数学模型讲PPT课件
0.6 0.4
0.2
0
（2）调用ode45函数求方程的根,（to=0,tf=12） -0.2
-0.4
[T,Y] = ode45('eg202',[0 12],[0 1 1]);
-0.6
plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.',T,Y(:,3),'.');
-0.8
-1
0
2
4
6
8
10
二．数据的输入输出
• 2． pause函数：暂停程序的执行。
• 调用格式： pause(延迟秒数) • 注：如果省略延迟时间，直接使用pause，则将暂停程 序，直到用户按任一键后程序继续执行。
• 3． disp函数：命令窗口输出函数。
• 调用格式： disp(输出项)
• 注：输出项为字符串或矩阵。
用ezplot命令： ezplot('x^3',[-3,3]);
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
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-1
0
1
2
3
4
5
6
7
x3
25 20 15 10
5 0 -5 -10 -15 -20 -25
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
②画出隐函数 ex sin(xy) 0 在 [-2,0.5]，[0,2] 上的图形
Y= dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
数学建模课堂PPT(部分例题分析)
和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
市场需求等。
概率论中的随机过程和数理统计 中的回归分析在金融、保险等领
域有广泛应用。
概率论与数理统计
概率论与数理统计是研究随机现 象的数学分支，用于对不确定性
和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
例题三：股票价格预测模型
要点一
总结词
要点二
详细描述
描述如何预测股票价格的走势
股票价格预测模型旨在通过分析历史数据和市场信息，来 预测股票价格的走势。该模型通常采用时间序列分析、回 归分析、机器学习等方法，来建立股票价格与相关因素之 间的数学关系。例如，可以使用ARIMA模型或神经网络模 型来预测股票价格的走势。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的适用范围。例如，逻 辑回归模型适用于二分类问题，而K均值聚类模型则适用 于无监督学习中的聚类问题。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
例题三：股票价格预测模型
总结词
分析模型的假设条件和局限性
详细描述
股票价格预测模型通常基于一些假设条件，如假设股票 价格是随机的或遵循一定的规律。然而，在实际情况下 ，股票价格受到多种因素的影响，如公司业绩、宏观经 济状况、市场情绪等。因此，这些模型可能存在局限性 ，不能完全准确地预测股票价格的走势。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
市场需求等。
概率论中的随机过程和数理统计 中的回归分析在金融、保险等领
域有广泛应用。
概率论与数理统计
概率论与数理统计是研究随机现 象的数学分支，用于对不确定性
和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
例题三：股票价格预测模型
要点一
总结词
要点二
详细描述
描述如何预测股票价格的走势
股票价格预测模型旨在通过分析历史数据和市场信息，来 预测股票价格的走势。该模型通常采用时间序列分析、回 归分析、机器学习等方法，来建立股票价格与相关因素之 间的数学关系。例如，可以使用ARIMA模型或神经网络模 型来预测股票价格的走势。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的适用范围。例如，逻 辑回归模型适用于二分类问题，而K均值聚类模型则适用 于无监督学习中的聚类问题。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
例题三：股票价格预测模型
总结词
分析模型的假设条件和局限性
详细描述
股票价格预测模型通常基于一些假设条件，如假设股票 价格是随机的或遵循一定的规律。然而，在实际情况下 ，股票价格受到多种因素的影响，如公司业绩、宏观经 济状况、市场情绪等。因此，这些模型可能存在局限性 ，不能完全准确地预测股票价格的走势。
数学建模简单13个例子 ppt课件
数学建模简单13个例子
1、从包汤圆（饺子）
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）
今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？
问题
圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。若 分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。
S
s s … s (共n个)
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行员， 护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇 合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎 样航行，才能与航母汇合。
数学建模简单13个例子
Y
P(x,y)
记v2/ v1=a通常a>1
航母
则 |BP|2a2|AP|2 即：
A(0,b)
θ1
x2 (y b )2 a 2[x2 (y-b )2]
v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可
另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线
拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来
黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。
第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停
得住车。
第二步，黄灯亮的时间应当让已过线
的车顺利穿过马路，DFra bibliotek即T 至少应当达到 （L数+学建D模）简单/13v个。例子
数学建模简单13个例子
4、爬山问题
某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5 时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5 时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的 同—地点，为什么?
解法一： 将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两人 同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功，因为两 人同时出发，同时到达目的地，又沿向一路径反向运 动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人在 两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。
1、从包汤圆（饺子）
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）
今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？
问题
圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。若 分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。
S
s s … s (共n个)
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行员， 护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇 合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎 样航行，才能与航母汇合。
数学建模简单13个例子
Y
P(x,y)
记v2/ v1=a通常a>1
航母
则 |BP|2a2|AP|2 即：
A(0,b)
θ1
x2 (y b )2 a 2[x2 (y-b )2]
v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可
另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线
拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来
黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。
第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停
得住车。
第二步，黄灯亮的时间应当让已过线
的车顺利穿过马路，DFra bibliotek即T 至少应当达到 （L数+学建D模）简单/13v个。例子
数学建模简单13个例子
4、爬山问题
某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5 时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5 时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的 同—地点，为什么?
解法一： 将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两人 同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功，因为两 人同时出发，同时到达目的地，又沿向一路径反向运 动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人在 两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。
《数学建模》PPT课件
( x2
x1)
f
f (x2 ) (x2 ) f
2 1 ( x1) 22
1
f
( x1 )
f
(x2 )
3
f
( x1 ) x1
f (x2 ) x2
2 (12 f (x1)f (x2 ))1/2
如函数的导数容易求得，一般首先考虑使用三次插值
法，因为它具有较高效率。对于只需要计算函数值的方
法中，二次插值法是一个很好的方法，它的收敛速度较
优化模型
（2）多项式近似法 该法用于目标函数比较复杂的情 况。此时寻找一个与它近似的函数代替目标函数，并用 近似函数的极小点作为原函数极小点的近似。常用的近 似函数为二次和三次多项式。
二次内插涉及到形如下式的二次函数数据拟合问题：
mq() a2 b c
其中步长极值为：
b
2a
完整版课件ppt
求解单变量最优化问题的方法有很多种，根据目标函 数是否需要求导，可以分为两类，即直接法和间接法。 直接法不需要对目标函数进行求导，而间接法则需要用 到目标函数的导数。
完整版课件ppt
4
优化模型
1、直接法 常用的一维直接法主要有消去法和近似法两种： （1）消去法 该法利用单峰函数具有的消去性质进行
反复迭代，逐渐消去不包含极小点的区间，缩小搜索区 间，直到搜索区间缩小到给定允许精度为止。一种典型 的消去法为黄金分割法(Golden Section Search）。黄金 分割法的基本思想是在单峰区间内适当插入两点，将区 间分为三段，然后通过比较这两点函数值的大小来确定 是删去最左段还是最右段，或同时删去左右两段保留中 间段。重复该过程使区间无限缩小。插入点的位置放在 区间的黄金分割点及其对称点上，所以该法称为黄金分 割法。该法的优点是完整算版课法件p简pt 单，效率较高，稳定性好5 。
数学建模常用方法介绍ppt课件
遗传算法一般步骤
1. 完成了预先给定的进 化代数 2. 种群中的最优个体在 连续若干代后没有改进 3. 平均适应度在连续若 干代后基本没有改进
竞赛中的群体思维方法
✓平等地位、相互尊重、充分交流 ✓杜绝武断评价 ✓不要回避责任 ✓不要对交流失去信心
竞赛中的发散性思维方法
➢ 借助于一系列问题来展开思路
与模糊数学相关的问题（二）
模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造 模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来 确定其分类关系
模糊层次分析法—两两比较指标的确定
模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素 制约的事物或对象作出一个总的评价，如产 品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植 适应性的评价等，都属于综合评判问题。由 于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性 和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评 判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效 果
3. 合并距离最近的两类为一个新类 4. 计算新类与当前各类的距离（新类与当
前类的距离等于当前类与组合类中包含 的类的距离最小值），若类的个数等于 1，转5，否则转3 5. 画聚类图 6. 决定类的个数和类。
统计方法（判别分析）
➢ 判别分析—在已知研究对象分成若干类型，并已取 得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础 上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样 品进行判别分类。
这个问题与什么问题相似？ 如果将问题分解成两个或几个部分会怎样？ 极限情形（或理想状态）如何？ 综合问题的条件可得到什么结果？ 要实现问题的目标需要什么条件？
➢ 借助于下意识的联想（灵感）来展开思路
抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想 综合所得到的联想和猜想，得到一些结论 进一步思考找出新思路和方法
数学建模案例PPT课件
第12页/共41页
建模示例五：轮廓模型
轮廓模型是以量纲模型为基础，利用量 的比例关系而构造简单数学模型的一种方法。 因为这种比例关系比较粗糙，因而成为轮廓 模型。
（货物的包装成本）在超市中可以看到许 多商品（如面粉、白糖、奶粉等）都以包装 的形式出售，同一种商品的包装也经常有大 小不同的规格，出售的价格也高低不同。下 表是一些例子。
第24页/共41页
四、数学建模的特点
第25页/共41页
五、数学建模的分类
1）按变量的性质分：
离散模型
确定性模型
线性模型
连续模型
随机性模型
非线性模型
单变量模型 多变量模型
2）按时间变化对模型的影响分
静态模型 动态模型
参数定常模型 参数时变模型
第26页/共41页
3）按模型的应用领域（或所属学科）分 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、 生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、 数量经济学模型、数学社会学模型等。
下面计算南北方向车辆在此路口滞留 的时间y1.
第9页/共41页
在一个周期中,从南北方向到达路口的车辆数为V,该
周期中南北方向亮红灯的比率是t/T,需停车等待的车辆
数是V t/T.这些车辆等待时间最短为0(刚停下,红灯就转
换为绿灯),最长为t(到达口时,绿灯刚转换为红灯),由假
设2"车流量均匀"可知,它们的平均等待时间是t/2.由此可
➢ 1987年改为 Mathematical Contest in Modeling, 其缩写
【数值模拟】
H V
取"问题背景"中调查的数据,即T=88,H=30,V=24,
数学建模实例ppt课件
B
的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。 建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计：
（1）湖水何时到达污染高峰；
（2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
28
湖泊污染问题分析
设湖水在t时的污染程度为C(t)， X
即每立方米受污染的水中含有Cm3 A
的化学物质和(1-C)m3的清洁水。用
23
几何关系
dy tg y at
dx
x
即 x dy y at dx
24
如何消去时间t?
1、求导：
2、速度与路程的关系： x 得：
（这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型
25
追线模型：
x
d2y dx2
k
1 dy 2 dx
由已知，T (0) 37 , T (t) 29 , T (t 1) 27 可得微分方程的特解：
T (t) 16 4 t 21 3
由T (t) 29，代入解得 t 2.4094
因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。
图1 尸体的温度
下降曲线
4
建立微分方程的常用方法
1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，
19
（1）问题分析与模型的建立
1、放射性衰变的这种性质还可描述为“放射性物 质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量 成比例”。而C14的比例数为每年八千分之一。
2、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间；所
以，我们问题实际上就是：“这人死去多久了？”
若设t为死后年数，y(t)为比例数，则y(t)=C14/C12
常见的数学模型ppt课件
静态优化模型
• 现实世界中普遍存在着优化问题 • 静态优化问题指最优解是数(不是函数) • 建立静态优化模型的关键之一是根
据建模目的确定恰当的目标函数 • 求解静态优化模型一般用微分法
整理版课件
1
问题
3.1 存贮模型
配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
b p*
• a ~ 绝对需求( p很小时的需求)
a p*
思考：如何得到参数a, b?
整理版课件
26
3.5 血 管 分 支
背 机体提供能量维持血液在血管中的流动
景
给血管壁以营养
克服血液流动的阻力
消耗能量取决于血管的几何形状
在长期进化中动物血管的几何形状 已经达到能量最小原则
问 研究在能量最小原则下，血管分支处 题 粗细血管半径比例和分岔角度
整理版课件
4
模型假设
1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量
为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；
4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。
建模目的
设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。
~火势蔓延速度, ~每个队员平均灭火速度.
模型 应用
c1, t1, x
c3 , x
c2 x 为什么?
c1,c2,c3已知, t1可估计, ,可设置一系列数值
由模型决定队员数量x
整理版课件
23
问题
3.4 最优价格
• 现实世界中普遍存在着优化问题 • 静态优化问题指最优解是数(不是函数) • 建立静态优化模型的关键之一是根
据建模目的确定恰当的目标函数 • 求解静态优化模型一般用微分法
整理版课件
1
问题
3.1 存贮模型
配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
b p*
• a ~ 绝对需求( p很小时的需求)
a p*
思考：如何得到参数a, b?
整理版课件
26
3.5 血 管 分 支
背 机体提供能量维持血液在血管中的流动
景
给血管壁以营养
克服血液流动的阻力
消耗能量取决于血管的几何形状
在长期进化中动物血管的几何形状 已经达到能量最小原则
问 研究在能量最小原则下，血管分支处 题 粗细血管半径比例和分岔角度
整理版课件
4
模型假设
1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量
为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；
4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。
建模目的
设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。
~火势蔓延速度, ~每个队员平均灭火速度.
模型 应用
c1, t1, x
c3 , x
c2 x 为什么?
c1,c2,c3已知, t1可估计, ,可设置一系列数值
由模型决定队员数量x
整理版课件
23
问题
3.4 最优价格
数学建模系列-常用模型
性能，并根据评估结果进行模型优化或调整。
03
CATALOGUE
支持向量机模型
模型定义
线性分类器
支持向量机是一种线性分类器，通过找到一个超平面来分隔两个类 别的数据点。
核函数
支持向量机使用核函数将输入空间映射到一个高维特征空间，使得 线性分类器在高维空间中更容易找到分隔超平面。
间隔最大化
支持向量机旨在最大化间隔，即最小化分类错误的距离，以提高分类 器的泛化能力。
模型建立
数据预处理
对数据进行标准化或归一化处理，以确保不同特征的尺度不会影 响模型的性能。
核函数选择
选择合适的核函数，如线性核、多项式核、径向基函数等，以适 应不同的数据分布和问题类型。
参数调整
调整模型参数，如惩罚系数和核函数的参数，以获得最佳的分类 效果。
模型应用
二分类问题
支持向量机适用于解决二分类问题，如垃圾邮件分类、人脸识别 等。
05
CATALOGUE
主成分分析模型
模型定义
主成分分析（PCA）是一种常用的多 元统计分析方法，它通过线性变换将 多个相关变量转化为少数几个不相关 的变量，这些不相关的变量称为主成 分。
主成分分析旨在减少数据集的维度同 时保留数据集中的主要变化模式，以 便更好地理解数据的结构和关系。
模型建立
确定数据集
模型应用
总结词
K-均值聚类模型广泛应用于数据挖掘、模式识别、图 像处理等领域，可以用于市场细分、异常检测、分类 问题等。
详细描述
K-均值聚类模型的应用非常广泛，例如在市场细分中 ，可以将消费者按照购买行为、偏好等特征进行分类 ，帮助企业更好地理解客户需求和市场趋势。在异常 检测中，可以通过观察聚类结果中的离群点，发现数 据中的异常值。在图像处理中，可以将图像分割成不 同的区域，对每个区域进行特征提取和分析。此外， K-均值聚类模型还可以用于分类问题中，将数据点划 分为不同的类别。
数学建模常用的模型
经济学、社会学、生态学等领域中的动态过程
10
图论模型
解决最短路径、最小生成树、最小费用最大流等问题的模型
城市规划、电路设计、通信网络优化等领域
11
现代智能算法
包括神经网络、遗传算法、蚁群算法等，用于解决复杂优化问题
机器学习、数据挖掘、自动化设计等
金融、保险、风险管理等领域
4
优化模型
求解在满足一定约束条件下的最优解，包括线性规划、非线性规划等
经济计划、工程设计、生产管理等领域
5
统计模型
对数据进行统计分析，包括分布检验、均值T检验、方差分析等
数据分析、市场研究、来自动调整模型参数，以实现对新数据的预测和分类
数学建模常用的模型
序号
模型类型
描述
应用场景
1
代数模型
使用代数方程来描述系统的行为，通常用于连续变化过程的研究
物理学、工程学、生物学等领域，如流体动力学、电磁场理论等
2
微分方程模型
描述连续变化过程的模型，常用于物理、化学等领域
物理学中的运动规律、化学中的反应速率等
3
概率模型
使用概率论和统计方法来描述系统中的随机现象和不确定性
图像处理、语音识别、自然语言处理等人工智能领域
7
网络和图论模型
使用节点和边来描述系统的结构，常用于研究系统的连接关系和流动问题
社交网络分析、物流优化、交通网络设计等
8
离散事件仿真模型
通过模拟离散事件来模拟系统的行为，常用于研究系统的动态性能和效率
供应链管理、排队系统、生产调度等领域
9
动态模型
描述系统随时间变化的行为，包括微分方程模型、差分方程模型等
10
图论模型
解决最短路径、最小生成树、最小费用最大流等问题的模型
城市规划、电路设计、通信网络优化等领域
11
现代智能算法
包括神经网络、遗传算法、蚁群算法等，用于解决复杂优化问题
机器学习、数据挖掘、自动化设计等
金融、保险、风险管理等领域
4
优化模型
求解在满足一定约束条件下的最优解，包括线性规划、非线性规划等
经济计划、工程设计、生产管理等领域
5
统计模型
对数据进行统计分析，包括分布检验、均值T检验、方差分析等
数据分析、市场研究、来自动调整模型参数，以实现对新数据的预测和分类
数学建模常用的模型
序号
模型类型
描述
应用场景
1
代数模型
使用代数方程来描述系统的行为，通常用于连续变化过程的研究
物理学、工程学、生物学等领域，如流体动力学、电磁场理论等
2
微分方程模型
描述连续变化过程的模型，常用于物理、化学等领域
物理学中的运动规律、化学中的反应速率等
3
概率模型
使用概率论和统计方法来描述系统中的随机现象和不确定性
图像处理、语音识别、自然语言处理等人工智能领域
7
网络和图论模型
使用节点和边来描述系统的结构，常用于研究系统的连接关系和流动问题
社交网络分析、物流优化、交通网络设计等
8
离散事件仿真模型
通过模拟离散事件来模拟系统的行为，常用于研究系统的动态性能和效率
供应链管理、排队系统、生产调度等领域
9
动态模型
描述系统随时间变化的行为，包括微分方程模型、差分方程模型等
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若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标 函数
45
MinZ
cijxij
j1 i1
约束 每人最多入选泳姿之一 每种泳姿有且只有1人
条件
4
xij 1, i 1,5
j1
5
xij 1, j 1,4
i1
32
模型求解 输入LINDO求解
MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 +… … +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54
22
4.计算总排序权向量并做一致性检验
计算最下层对最上层总排序的权向量。 利用总排序一致性比率
C R a 1 C1 Ia2C2 Iam CmI a 1R1 Ia2R2 Iam Rm I CR0.1
进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进 行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比
j 1
m
a jbnj bn
j 1
20
层次总排序的一致性检验
设 B层 B1,B2,对上,B 层n( 层)中因A素
Aj(j1,2,,m )
的层次单排序一致性指标为
CI
，随机一致性指为
j
RI，j
则层次总排序的一致性比率为：
C R a 1 C1 Ia2C2 Iam CmI a 1R1 Ia2R2 Iam Rm I
性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上
层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，
引起的判断误差越大。因而可以用 n数值的大小来衡量
A 的不一致程度。
定义一致性指标
CI n
n 1
其中 n为 的A对角线元素之和，也为 的A特征根之和。
16
定义随机一致性指标 RI
随机构造500个成对比较矩阵 A1,A2,,A500
率 CR较大的成对比较矩阵。
23
三 层次分析法建模举例
1 旅游问题 2 (1)建模
Z
A1
A2 A3 A4 A5
B1
B2
B3
A1,A2,A3,A4,A5
分别分别表示景色、费用、 居住、饮食、旅途。
B1, B2, B3
分别表示苏杭、黄山、桂林。
24
（2）构造成对比较矩阵
1
A
2 1
4
1
2 1 1
A1
A2
Am
a1,a2,,am
B层n个因素对A中 上因 层素 Aj 为
B1
B 2
Bn
的层次单排序为
b 1 j,b 2 j, ,b nj(j 1 ,2 , ,m )
19
B层的层次总排序为： B1 : a1b11 a2b12 amb1m
即 B层第 个i因素对
B2 : a1b21 a2b22 amb2m
层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)这是 一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。 过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两 种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者 以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近 年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析 的数学工具之一。
nn
a11
a21 an1
a12 a22 an2
a1n a2n ann
9
10
旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z的影响 两两比较结果如下：
1 1/2 4 21 7 1/4 1/7 1 1/3 1/5 2 1/3 1/5 3
33 55 1/2 1/3 11 11
A1,A2,A3,A4,A5
数学建模常用模型
1
模型Ⅰ：层次分析法
2
问题1 选择旅游地 现有三个旅游胜地可供选择，分别为苏
杭、黄山、桂林，下面将作出旅游地的选 择。
3
面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后 作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法 解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了 一种能有效处理这类问题的实用方法。
7
4 7 1
3
5 1 2
3
5 1
3
1 3
1 5
2
1
1
1
1
3
1
1
3 5
1 2 5
B1
1 2
1
2
1 5
1 2
1
1
B2 3
1 3 1
1
8 1
3
8 3 1
1
1
3
B3
1 1
1 1
3
3 3 1
1 3 4
1
B4
3
1
1
1 4
1
1
1
B5 1
1 1
1
4 1
4
表明 A通过了一致性验证。
26
对成对比较矩阵 B1,B2,B3,可B4以,B5
求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：
k1 234 5
k 1 0.595 0.082 0.429 0.633 0.166
k 2 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166 k 3 0.129 0.682 0.142 0.175 0.668 k 3.005 3.002 3 3.009 3 CI k 0.003 0.001 0 0.005 0
分别表示 景色、费用、 居住、饮食、 旅途。
11
由上表，可得成对比较矩阵
1
1 2
4
3
3
2 1 7 5 5
A
1 4
1 7
1
1 1 2 3
1 3
1 3
1 5
1 5
2 3
1 1
1
1
旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。
问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？
若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大
特征根对应的归一化特征向量作为权向量 w，则
Aww
w w 1 ,w 2 , ,w n
这样确定权向量的方法称为特征根法.
定理： n阶互反阵 的A最大特征根
当且仅当 时n， 为A一致阵。
，n
15
由于 连续的依赖于 a，ij 则 比 大的n越多， 的不A一致
4
层次分析法（AHP）具体步骤：
✓明确问题 ✓递阶层次结构的建立 ✓建立两两比较的判断矩阵 ✓层次单排序 ✓层次综合排序
5
层次分析法的基本步骤
1 建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为目标层，最下
面为方案层，中间是准则层或指标层。 若上层的每个因素都支配着下一层的所有因 素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结 构，否则称为不完全层次结构。
要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定
在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把 n个因素对上
层某一目标的影响程度排序）
上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。
用 a ij 表示第 i 个因素相对于第 j个因素的比较结果，则
a ij
1 a ji
A aij
A则称为成对比较矩阵。
4 4 1
25
(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验
成对比较矩阵 A的最大特征值 5.073
该特征值对应的归一化特征向量
0 . 2 ,0 6 . 4 ,0 3 7 . 0 ,0 5 5 . 0 ,0 5 9 . 1 9 10
则 CI5.07350.018 51
RI1.12
故 CR 0.0180.0160.1 1.12
6
建立选择旅游地层次结构
选择
旅游地
景
费
居
饮
旅
色
用
住
食
途
苏杭、
黄山、桂林
目标层Z 准则层A 方案层B
7
Z
A1
A2 A3 A4 A5
B1
B2
B3
A1,A2,A3,A4,A5
分别分别表示景色、费用、 居住、饮食、旅途。
B1, B2, B3
分别表示苏杭、黄山、桂林。
8
2 构造成对比较矩阵
设某层有 n个因素， X x 1 ,x 2 , ,x n
w
2
A w1
w w
n 1
w1 w2 1
w1
w w
n 2
wn
wn w2
1
13
即， aikakjaij i,j1 ,2,,n
但在例2的成对比较矩阵中，a237,a212,a134
a23a21a13
在正互反矩阵 A中，若
aika则kj称a为ij 一致阵A。
一致阵的性质：
1. aija 1 ji,aii1,i,j1,2,,n
RI k 0.58 0.58 0.58 0.58 0.58
计算 CR 可k 知 B1,B2,B3,B 通4过,B一5致性检验。
27
（4）计算层次总排序权值和一致性检验
B 1 对总目标的权值为： 0 .5 90 .2 56 0 .0 3 80 .4 27 0 .4 5 20 .0 955 0 .6 30 .0 39 0 .1 9 60 .1 61 0 .0 3
2. A的各行成r比 an例 Ak， 1 则
3. A的最大特征根λ （ n,其 值余 ） n1-个 为
特征根均 0。 等于
4. A的任一列(行)都是对应于特征根 的n特征向量。 14