保险公司债券投资中的信用风险度量

个部分。即：
E[ dP ] = P
(rt
+ π )dt
（2-1）
其中 表示无风险利率，P表示一个给定到期 为T的风险债券的价格， 表示风险债券在t时候的 信用价差。
在这一理论基础上，我们可以在信用风险 分析中使用无风险利率的标准建模技术和评估方 法。
我们后面将采用Jarrow和Tumbull提出的一种 离散形式的简约模型进行分析和论述。
P (t,T ) = E[e−r(T−t)P (T ,T ) | Ft ] = P[τ ≥ T ]* e−r(T −t) + P[τ ≤ T ]* e−r(T −t) * R = e−r(T −t) *[e−λ (T −t) + R * (1 − e−λ(T −t) )] = e−r(T −t)[R + (1 − R) * e−λ(T −t) ] （2-7）
这类模型通过简约形式直接着眼于信用风 险。由于风险债券是有违约可能的，因此要提供 一个高于无风险利率的收益率，亦即风险溢酬。
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我们将风险债券收益率高于无风险利率的部分称 之为信用价差。在得到风险债券在某时刻的价格 或收益率的信息后，我们就可以利用上面的模型 计算出违约强度，并进一步计算出其在各个水平 上的违约概率。
− Ns
= k] =
1 λk (t − s) k e −λ(t−s) k!
（2-2）
则称 为一个违约强度为 的泊松过程。
于是，若将债务人的违约时间看作是泊松过 程发生首次跳跃的时间，则违约概率：
P[τ ≤ T ] = 1 − e−λt
（ 2- 3）
在已知企业在[0，t]内未发生违约的情况下，
其在时间[t, s]t≤s≤T内不发生违约的概率为：
（3-7）
式中，μ为期望回报率。
令（ x*，β *）为上述优化问题的解，则F（α x *，β *) 为最优的CVaR，最优的投资组合为 ，相应的 VaR为 。
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四、债券组合的CVaR信用风险度量
（一）债券组合决策模型建立的思路
本文将用于证券投资组合的单期模型用于风 险债券的研究，对存在违约可能的风险债券的信 用风险进行度量。根据前面对CVaR值的定义， 将CVaR方法应用于风险债券组合的信用风险管 理上，将投资者的风险限制在某一灾难性水平之 下，并利用结构模型预测了风险债券未来的价 格，通过风险债券的期望价格和预测价格的偏差 来衡量损失。这对于解决债券的风险值问题具有 重要的意义，对于解决风险债券的信用风险管理 也是一种尝试。
布的随机向量，假定y的概率密度函数为p (y)，则 对任一给定x，损失函数的分布也随之确定，令
χ（x , β ) = ∑ p( y) L( x,y)≤β
（3-3）
为与x对应的损失的累积分布函数，而相应的在概
率置信水平α∈（0，1）下，损失对应的α-VaR
和α-CVaR分别定义为：
（3-4）
βα (x) = min{β ∈ R : χ(x,β) ≥ α}
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保险公司债券投资中的信用风险度量
■ 文 / 杨建华
摘 要：随着国内债券品种的增加，债券的信用风险对资产安全的威胁已经变为现实。金融市场震荡 加剧，债券信用风险之间的相关性增强，对债券资产组合的信用风险度量十分必要。本文试图以简约模型 (Reduced Form)为理论基础，以CVaR为工具，讨论债券组合的信用风险度量方法。
所谓简约，实指对导致违约事件背后的经
济学背景的简化。简约模型将违约看作是不可预
期的随机事件，违约事件发生的概率在模型中被
称为违约强度，它代表在某一给定的时期内违约
发生的频率，但我们感兴趣的只是它的第一次发
生，在这一分析框架中，违约事件遵循一个非连
续的过程。这种方法的最终目的就是要将信用价
差看作附加于无风险利率期限结构之上的另外一
EL =LGD ×PD
（4-1）
其中，LGD(Loss Given Default)为违约后损失 率，即
LGD =1-R
（4-2）
PD即为违约概率。
假定企业持有N 种风险债券，计算各投资比
例和投资风险，使得投资产生的风险最小。第i种
风险债券上的投资比例为 ， 为第i种风险债券
的违约概率，于是信用风险债券组合期望损失函
是本文的研究对象。本文试图以简约模型为理论 基础，以CVaR为工具，对基于强度的信用风险评 估方法的理论和应用进行探讨。
二、信用风险简约模型的估价理论
（一）信用风险简约模型的概述 目前国外信用风险债券的估价理论大致可以 分为两类：结构模型理论、简约模型理论。 结构模型理论是20世纪70年代Merton以 Black-Scholes的期权定价理论为基础而建立的基 于公司价值的模型。该模型以企业的实际资本结 构为基础，利用期权定价理论为固定收益工具的
三、VaR与CVaR风险度量方法
（一）CVaR的基础—VaR风险度量方法
VaR（在险价值），是指在给定的置信度内和 既定时期内，在正常的市场条件下用于评估和计 量任何一种金融资产或资产组合所面临的市场风 险大小和可能遭受的潜在最大价值损失。其数学 定义如下：
设α ∈ (0,1)为给定的概率水平，则收益 在
为了便于处理式（3-5），我们将式中包括的VaR
值以 取代，从而定义一个更简单的函数：
∑ F（α x
,β)
=
β
+1 1−α
(L(x,
y∈R
y) −
β ) p(y)
（3-6）
来代替
决策模型：有了上述定义，则一个考虑期望
回报约束的均值-投资组合优化模型可以描述为：
min
x∈X
CVaRa
(
x,
y)
s.t. xT y ≤ −u
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违约风险价差进行定价。结构模型假定违约可以 被投资者完全预见，这显然与金融实践不相吻 合。特别是近年来，随着现代风险环境的变化， 国际金融市场的波动加剧，尤其是继金融危机 后，一系列突发性违约事件的发生，导致一些以 结构模型为投资决策理论基础的金融机构遭受巨 额损失，甚至破产倒闭，经典的结构化模型受到 了严峻挑战。近年来，Jarrow和Tumbull (1995)、 Lando(1998)、Du e(1999)、Mandan 和Unal(2000) 等提出一种新的信用风险定价方法——基于违约 强度的简约模型(Reduced Form)。
对于一种到期日为T的风险债券，它总是有可 能违约的。在一个违约事件中，如果债权人每单 位面值可以收回R∈[0,1]部分，则称R为违约支付 率，对每一种债券来说，R是一个常数。于是在债 权到期日T，债券的价值：
P (T ,T ) = I (τ ≥T ) + R * I（τ ≤T） （2-6） 假定所有偿付额在T时刻进行结算，令P （t,T） 表示有违约可能的风险债券在t时刻的价格，则
数为：
I
∑ F（x , y) = (1− R) * yi * xi i=1
（4-3）
可接受的最大风险限度为w ，引入虚拟变量 ,
（4-4）
则建立模型为：
min F (x, y,γ )
γ ∈ R(x, y)
∑ γ
+
1 q(1 − α )
q g =1
zg
≤
w
（4-5）
N
∑ s.t.
(1 − R) * yi * xi ) − γ ≤ z
ϕα (x) = VaRα + E[L(x, y) −VaRα | L(x, y) ≥ VaRα ]
= E[L(x, y) | L(x, y) ≥ βα (x)]
∑ = 1
L(x, y) p(y)
1−α L(x,y)≤βα (x)
（3-5）
在实际应用中，投资者需求解决的主要是低
于给定的VaR值时的风险损失值管理问题。因此，
在模型的求解过程中，在一定的条件下，将 组合优化问题转化为一个大型的线性规划问题， 可以利用软件提供的线性规划大型算法进行求 解。这是本文前面的理论模型得以实际运用的具 体途径。
（二）CVaR风险量化的应用模型
损失函数：在巴赛尔新协议中，信用风险债 券的预期损失率等于违约后损失率与违约概率的 乘积：
水平 下的VaR（Value at Risk，风险价值）定义为
Var α (r) = − inf{z | P[r ≤ z] ≥ α}
= −Fr−1 (α )
（3-1）
其中Fr−1 (α )为 的累积分布函数 Fr = P[r ≤ z] 的
广义逆函数。
（二）CVaR风险度量方法
VaR模型的一个不足是模型只重于问题中所处 的百分位数而忽略了低于这个水平会出现什么情 况，不能解释风险测量方式本身在交易行为中的 影响。为了弥补这一不足，条件风险价值—CVaR 的风险度量技术被引入并得到广泛应用。
CVaR的经济含义为损失超过VaR的条件均 值，它反映了损失超过约定概率水平 下的VaR 值 时可能遭受的平均潜在损失的大小，即
CVaR = E[L | L ≥ K * ]
= VaRα + E[L(x, y) − VaRa | L(x, y) ≥ VaRα ] （3-2）
其中， x = (x1, x2 ,…, xn )为各种资产的投资权重 向量；y = ( y1, y2 ,…, yn )为引起组合价值发生损失的 市场因子，例如可以理解为资产价格，或信用等
关键词：信用风险 简约模型 在险价值 Abstract：Credit risk has always been an important concern for investors while investing bonds. With the increases of domestic bond categories, how to deal with growing credit risk bond investment brings about to asset portfolio has become a practical issue. To establish risk management system, it is a priority and must to measure credit risk of bond portfolio, especially in a financial market which the relativities of bond credit risk are tightening. In this article, based on the Reduced Form Theory, with CVaRs we proposed an approach to measure portfolio credit risk. Key Words：Credit Risk Reduced Form CVaR
级的变化；L(x,y）为组合的预期损失函数。
（三）CVaR风险度量的决策模型
设计思路：设L百度文库(x, y )：Rn ×Rm→R表示一个投
资组合的损失函数，该函数是离散的。决策向量
x∈X（投资组合的可行集，满足一定的条件），
x可理解为风险资产的组合系数或权重。随机向量
y∈Rm,，y代表能影响损失的市场不确定性，如资 产价格。由y引起的损失L (x, y )是R上服从某一分
一、引言
随着保险公司投资水平的提高和监管机构管 理方式的转变，对投资品种的限制不断放宽。在 监管放松、投资范围扩大的过程中，保险公司在 债券投资中的信用风险逐渐被放大。主动加强信 用风险控制，完善风险预警管理的工作必须未雨 绸缪，逐步建立信用风险计量模型，提高风险定 量管理水平十分必要。
本文以保险公司债券投资作为研究对象还有 一个重要原因，保险公司逐渐变成国内债券市场 上越来越重要的机构投资者，他们多以债券组合 作为主要的投资方式，而债券组合的信用风险正
（二）信用风险简约模型的主要假设及推导
风险债券的违约时间或破产时间服从泊松过
程(poissonporeess)
∑ 泊松过程：令 N = I (Ti ≤ t)表示在[0， i
t]时间内到来的违约事件的个数，对于s ≤ t，若
增量Nt − N s独立且服从参数为λ(t − s)的泊松分
布，即
P[ N t
P[τ ≤ s | τ ≥ t]] = 1 − e−λ(s−t)
（2-4）
因此，在这个强度过程中就可以估计出这些 有违约可能的债券的价值。
对于每一个不同的债券，违约支付率是固定的
设无风险利率为r，到期日为T，则在t时刻无 风险零息票债券的价格应该为：
P(t,T ) = e −r(T −t)
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