保险公司债券投资中的信用风险度量

这类模型通过简约形式直接着眼于信用风 险。由于风险债券是有违约可能的，因此要提供 一个高于无风险利率的收益率，亦即风险溢酬。
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我们将风险债券收益率高于无风险利率的部分称 之为信用价差。在得到风险债券在某时刻的价格 或收益率的信息后，我们就可以利用上面的模型 计算出违约强度，并进一步计算出其在各个水平 上的违约概率。
级的变化；L(x,y）为组合的预期损失函数。
（三）CVaR风险度量的决策模型
设计思路：设L (x, y )：Rn ×Rm→R表示一个投
资组合的损失函数，该函数是离散的。决策向量
x∈X（投资组合的可行集，满足一定的条件），
x可理解为风险资产的组合系数或权重。随机向量
y∈Rm,，y代表能影响损失的市场不确定性，如资 产价格。由y引起的损失L (x, y )是R上服从某一分
数为：
I
∑ F（x , y) = (1− R) * yi * xi i=1
（4-3）
可接受的最大风险限度为w ，引入虚拟变量 ,
（4-4）
则建立模型为：
min F (x, y,γ )
γ ∈ R(x, y)
∑ γ
+
1 q(1 − α )
q g =1
zg
≤
w
（4-5）
N
∑ s.t.
(1 − R) * yi * xi ) − γ ≤ z
对于一种到期日为T的风险债券，它总是有可 能违约的。在一个违约事件中，如果债权人每单 位面值可以收回R∈[0,1]部分，则称R为违约支付 率，对每一种债券来说，R是一个常数。于是在债 权到期日T，债券的价值：
P (T ,T ) = I (τ ≥T ) + R * I（τ ≤T） （2-6） 假定所有偿付额在T时刻进行结算，令P （t,T） 表示有违约可能的风险债券在t时刻的价格，则
CVaR的经济含义为损失超过VaR的条件均 值，它反映了损失超过约定概率水平 下的VaR 值 时可能遭受的平均潜在损失的大小，即
CVaR = E[L | L ≥ K * ]
= VaRα + E[L(x, y) − VaRa | L(x, y) ≥ VaRα ] （3-2）
其中， x = (x1, x2 ,…, xn )为各种资产的投资权重 向量；y = ( y1, y2 ,…, yn )为引起组合价值发生损失的 市场因子，例如可以理解为资产价格，或信用等
− Ns
= k] =
1 λk (t − s) k e −λ(t−s) k!
（2-2）
则称 为一个违约强度为 的泊松过程。
于是，若将债务人的违约时间看作是泊松过 程发生首次跳跃的时间，则违约概率：
P[τ ≤ T ] = 1 − e−λt
（ 2- 3）
在已知企业在[0，t]内未发生违约的情况下，
其在时间[t, s]t≤s≤T内不发生违约的概率为：
EL =LGD ×PD
（4-1）
其中，LGD(Loss Given Default)为违约后损失 率，即
LGD =1-R
（4-2）
PD即为违约概率。
假定企业持有N 种风险债券，计算各投资比
例和投资风险，使得投资产生的风险最小。第i种
风险债券上的投资比例为 ， 为第i种风险债券
的违约概率，于是信用风险债券组合期望损失函
（3-7）
式中，μ为期望回报率。
令（ x*，β *）为上述优化问题的解，则F（α x *，β *) 为最优的CVaR，最优的投资组合为 ，相应的 VaR为 。
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四、债券组合的CVaR信用风险度量
（一）债券组合决策模型建立的思路
本文将用于证券投资组合的单期模型用于风 险债券的研究，对存在违约可能的风险债券的信 用风险进行度量。根据前面对CVaR值的定义， 将CVaR方法应用于风险债券组合的信用风险管 理上，将投资者的风险限制在某一灾难性水平之 下，并利用结构模型预测了风险债券未来的价 格，通过风险债券的期望价格和预测价格的偏差 来衡量损失。这对于解决债券的风险值问题具有 重要的意义，对于解决风险债券的信用风险管理 也是一种尝试。
为了便于处理式（3-5），我们将式中包括的VaR
值以 取代，从而定义一个更简单的函数：
∑ F（α x
,β)
=
β
+1 1−α
(L(x,
y∈R
y) −
β ) p(y)
（3-6）
来代替
决策模型：有了上述定义，则一个考虑期望
回报约束的均值-投资组合优化模型可以描述为：
min
x∈X
CVaRa
(
x,
y)
s.t. xT y ≤ −u
水平 下的VaR（Value at Risk，风险价值）定义为
Var α (r) = − inf{z | P[r ≤ z] ≥ α}
= −Fr−1 (α )
（3-1）
其中Fr−1 (α )为 的累积分布函数 Fr = P[r ≤ z] 的
广义逆函数。
（二）CVaR风险度量方法
VaR模型的一个不足是模型只重于问题中所处 的百分位数而忽略了低于这个水平会出现什么情 况，不能解释风险测量方式本身在交易行为中的 影响。为了弥补这一不足，条件风险价值—CVaR 的风险度量技术被引入并得到广泛应用。
ϕα (x) = VaRα + E[L(x, y) −VaRα | L(x, y) ≥ VaRα ]
= E[L(x, y) | L(x, y) ≥ βα (x)]
∑ = 1
L(x, y) p(y)
1−α L(x,y)≤βα (x)
（3-5）
在实际应用中，投资者需求解决的主要是低
于给定的VaR值时的风险损失值管理问题。因此，
个部分。即：
E[ dP ] = P
(rt
+ π )dt
（2-1）
其中 表示无风险利率，P表示一个给定到期 为T的风险债券的价格， 表示风险债券在t时候的 信用价差。
在这一理论基础上，我们可以在信用风险 分析中使用无风险利率的标准建模技术和评估方 法。
我们后面将采用Jarrow和Tumbull提出的一种 离散形式的简约模型进行分析和论述。
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违约风险价差进行定价。结构模型假定违约可以 被投资者完全预见，这显然与金融实践不相吻 合。特别是近年来，随着现代风险环境的变化， 国际金融市场的波动加剧，尤其是继金融危机 后，一系列突发性违约事件的发生，导致一些以 结构模型为投资决策理论基础的金融机构遭受巨 额损失，甚至破产倒闭，经典的结构化模型受到 了严峻挑战。近年来，Jarrow和Tumbull (1995)、 Lando(1998)、Du e(1999)、Mandan 和Unal(2000) 等提出一种新的信用风险定价方法——基于违约 强度的简约模型(Reduced Form)。
P (t,T ) = E[e−r(T−t)P (T ,T ) | Ft ] = P[τ ≥ T ]* e−r(T −t) + P[τ ≤ T ]* e−r(T −t) * R = e−r(T −t) *[e−λ (T −t) + R * (1 − e−λ(T −t) )] = e−r(T −t)[R + (1 − R) * e−λ(T −t) ] （2-7）
P[τ ≤ s | τ ≥ t]] = 1 − e−λ(s−t)
（2-4）
因此，在这个强度过程中就可以估计出这些 有违约可能的债券的价值。
对于每一个不同的债券，违约支付率是固定的
设无风险利率为r，到期日为T，则在t时刻无 风险零息票债券的价格应该为：
P(t,T ) = e −r(T −t)
（2-5）
（二）信用风险简约模型泊松过
程(poissonporeess)
∑ 泊松过程：令 N = I (Ti ≤ t)表示在[0， i
t]时间内到来的违约事件的个数，对于s ≤ t，若
增量Nt − N s独立且服从参数为λ(t − s)的泊松分
布，即
P[ N t
布的随机向量，假定y的概率密度函数为p (y)，则 对任一给定x，损失函数的分布也随之确定，令
χ（x , β ) = ∑ p( y) L( x,y)≤β
（3-3）
为与x对应的损失的累积分布函数，而相应的在概
率置信水平α∈（0，1）下，损失对应的α-VaR
和α-CVaR分别定义为：
（3-4）
βα (x) = min{β ∈ R : χ(x,β) ≥ α}
是本文的研究对象。本文试图以简约模型为理论 基础，以CVaR为工具，对基于强度的信用风险评 估方法的理论和应用进行探讨。
二、信用风险简约模型的估价理论
（一）信用风险简约模型的概述 目前国外信用风险债券的估价理论大致可以 分为两类：结构模型理论、简约模型理论。 结构模型理论是20世纪70年代Merton以 Black-Scholes的期权定价理论为基础而建立的基 于公司价值的模型。该模型以企业的实际资本结 构为基础，利用期权定价理论为固定收益工具的
三、VaR与CVaR风险度量方法
（一）CVaR的基础—VaR风险度量方法
VaR（在险价值），是指在给定的置信度内和 既定时期内，在正常的市场条件下用于评估和计 量任何一种金融资产或资产组合所面临的市场风 险大小和可能遭受的潜在最大价值损失。其数学 定义如下：
设α ∈ (0,1)为给定的概率水平，则收益 在
所谓简约，实指对导致违约事件背后的经
济学背景的简化。简约模型将违约看作是不可预
期的随机事件，违约事件发生的概率在模型中被
称为违约强度，它代表在某一给定的时期内违约
发生的频率，但我们感兴趣的只是它的第一次发
生，在这一分析框架中，违约事件遵循一个非连