体育比赛中的数学问题

体育比赛中的数学

体育比赛中的数学是组合问题的重要组成部分，主要结合逻辑推理考察孩子的分析能力和思维的灵活性，走美杯每年都会考到本知识点，这个内容也是2015年四年级学而思杯很可能考到的内容，家长可以让孩子看这个资料适当预习下，咱们这讲内容会在春季下半册书上学习。

一、对单循环赛、淘汰赛的认识

在体育比赛中，每两个人之间都要赛一场并且只赛一场，称这样的比赛为单循环赛。例如：有n 个队参加比赛，其中每个队都要和其他队各赛一场，即每个队都赛了(n- 1) 场。每一场比赛都被算在两个(n- 1) 中，也就是说在n 个(n- 1) 每一场比赛都计算了两次。那么一共进行了n ⨯(n- 1) ÷ 2 场比赛。

练习1 （2008 年第四届“IMC 国际数学邀请赛”（新加坡）初赛）学校进行乒乓球选拔赛，每个选手都要和其它所有选手各赛一场，一共进行了36 场比赛，有（）人参加了选拔赛。

A、8

B、9

C、10

分析：36 ⨯ 2 =72 （场）。如果有n 个选手，那么n ⨯(n- 1) =72。两个连续的自

然数乘积为72，n =9 。

在体育比赛中，规定每一场赛事中败者淘汰胜者晋级，称这类比赛为淘汰赛。在淘汰赛中，每一轮淘汰掉一半选手，直至产生最后的冠军。n 个队进行淘汰赛，每进行一场比赛就要淘汰一个队，最后只剩下冠军，也就是说其它选手都被淘汰

掉了，决出冠军需要进行(n- 1) 场比赛。

练习 2 16 个人进行淘汰赛，

（1）决出冠军需要进行几场比赛？冠军一共参加了几场比赛？

（2）要决出前三名需要进行几场比赛？分析：（1）第

16 ÷2 =8 （场），8 名胜利者晋级！

第二轮：8 ÷2 =4 （场），4 名胜利者晋级！

第三轮：4 ÷2 =2 （场），2 名胜利者晋级！

第四轮：2 ÷2 = 1 （场），决出冠军！

要决出冠军共需要进行8 +4 +2 + 1 = 15 （场）。在每一轮比赛中，冠军都参加了其中一场比赛，冠军一共参加了1 ⨯ 4 =4 场比赛。

（2）第四轮比赛中的两位选手分别是1、2 名，3、4 名应该是第三轮中淘汰的两位选手，他们之间要再进行一场比赛才能定出来名次。决出前三名供需15 + 1 = 16 场比赛。

二、比赛中的积分

若规定比赛中胜积2 分，负积0 分，平局积1 分。从比赛结果看，每一场比赛中，若能出现胜者，对手就一定是败者，双方一共积了2 +0 = 2 分；若能出现平局，比赛的双方共积了1 +1 = 2 分。从以上分析可见，每一场比赛后，所有选手的总积分都会增加2 分。若进行了m 场比赛，比赛的总积分一定是2 m 。

若规定比赛中胜积3 分，负积0 分，平局积1 分。每一场比赛中，若有胜负，双方共积3 +0 =3 分；若能出现平局，比赛双方共积2 分，由此可见，其中每出现一场平局，总积分就会减少1 分。若进行了m 场比赛，比赛的总积分在2 m 到3 m之间。

练习 3 （09 年迎春杯决赛）A,B,C,D,E,F 六个足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场．胜者得3 分，负者得0 分，平局每队各得1 分．比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，获得第3 名的队得了8 分，那么这次比赛中共有场平局．

分析：每个队参加了6 - 1 =5 场比赛，共进行了6 ⨯ 5 ÷2 =15场比赛，比赛的总积

分在2 ⨯ 15 =30到3 ⨯ 15 =45之间。第三名参加了 5 场比赛共获8 分，8 =3 +3 + 1 + 1 +0 ，两胜两平一负。有两平，说明15 场比赛中至少有两场平局；有两胜一负，说明15 场比赛中至多有12 场平局。每出现一场平局总分就会减少1 分，那么总分最多是45 -2 =43 分，最少是45 -12=33 分。

若第一名的总分为15 分，15 - 8 =7 ，这不可能是公差的2 倍；第一名的总分应为大于8 的偶数!

（1）若第一名总分为12 分，12 - 8 =4 ，公差为4 ÷ 2 =2 。各位选手的得分分别是：12、10、8、6、4、2。12 + 10 + 8 +6 +4 +2 =42 。符合条件！

（2）若第一名总分为10 分，各位选手的得分分别是：10、9、8、7、6、5。

10 +9 + 8 +7 +6 +5 =45 。不符合条件！

根据以上分析知，总分为42 分。出现一场平局，总分就会减少1 分，45 -42 =3分，共出现了3 场平局！

则规

定胜一局得2 分，平一局得1 分，负一局得0 分。比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？

分析：每名选手都赛了3 场。总场数是4 ⨯ 3 ÷2 =6 场。总积分是6 ⨯ 2 =12分。因为各人得分不同且没有人全胜，4 + 3 +2 + 1 = 10 <12，故他们的积分不会出现这种情况。因为没有人全胜，所以得分最高的选手是两胜一平，总分为5 分。另外的三局比赛中：如果全都是平局，则四人的得分只能分别是：5、3、2、2。矛盾。如果有两局是平局，则四人得分分别是：5、4、2、1。符合条件。

那么至少有3 局平局。

三、体育比赛中的逻辑推理

练习 4 （走美杯）甲乙丙丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜者得2 分，平局各得1 分，输者得0 分。结果甲第一，乙、丙并列第二，那么乙得几分？

分析：每人都要赛4 - 1 =3 场，一共进行了4 ⨯ 3 ÷2 =6场比赛。每一场两人的总积分一定是2 分，最后的总积分是2 ⨯ 6 =12分。每人的总得分在0~6 之间。若第一名的甲得6 分，12 -6 =6，又因为乙丙并列，那么乙丙只能各得3 分，丁得0 分。

若乙丙的得分是其他情况时，如下表

所以乙的得分只能是3 分。

练习 5 （走美杯）12 个对参加一次足球比赛，每两个队都比赛一场，每场比赛中，胜队得3 分，负队得0 分，平局则各得1 分。比赛完毕后，获得第三名和第四名的两个队的得分最多可以相差多少分？

分析：假设甲乙丙是前三名。要使得第三名与第四名的得分相差最多，那么第三名的得分要尽量多同时第四名的得分尽量少。第三名在后面九名选手比赛

时全胜得分较多，但他的得分最多不超过第二名，也就是说第三名与第一、二名并列时得分最高。此时他们之间的三场比赛应该是各胜一场：甲胜乙、乙胜

丙、丙胜甲。前三名的得分均为3 +9 ⨯ 3 =30 分。

第四名的得分最少不少于第五名，那么第四名与后面所有的选手并列时得分最少，此时他们之间的比赛全为平局。各得8 分。所以第三名与第四名之间最多相差30 - 8 =22 分。