4-2洛必达法则

e
1
例12
求 lim (cot x )
x 0 1 ln x
.
型
0
1 ln x
解 取对数得 (cot x )
e
1 ln(cot x ) ln x
,
1 1 2 1 lim ln(cot x ) lim cot x sin x 1 x 0 x 0 ln x x x 1, 原式 e 1 . lim x 0 cos x sin x
g( x ), x x0 g1 ( x ) , x x0 0,
在以 x0 与 x 为端点的区间上 ,
则有
f1 ( x ), g1 ( x )满足柯西中值定理的条, 件
f ( x ) f ( x ) f (a ) f ( ) g' ( ) g( x ) g( x ) g(a )
思考题 2
设 lim f ( x ) lim F ( x ) 0 ，且在点 a 的某邻域中
xa xa
（点 a 可除外） f ( x ) 及F ( x ) 都存在， 且F ( x ) 0 , ，
f ' ( x) f ( x) 则 lim 存在是 lim ' 存在的（B ）. x a F ( x ) x a F ( x )
(在x与x0之间 )
f ( ) f ( x ) im A, 当x x0时, x0 , lim A, l x 0 g' ( ) x x0 g' ( x )
f ( x) f ( ) lim lim A. x x0 g ( x ) x0 g' ( )
cos x 1 3x2
x 0
sin x 1 lim . x 0 6 x 6
洛必达法则 II
若函数 f ( x) 和 g ( x) 满足：
型
(1) lim f ( x) lim g ( x)
x x0 x x0
(2) 在点 x0 的某去心邻域内均可导， g '( x) 0 且
例1
(1 x ) 1 求 lim . x 0 x
解 原式 limBiblioteka Baidu
(1 x ) x 0 1
0 型 0
1
.
例2
x3 3 x 2 求 lim 3 . 2 x 1 x x x 1
2
0 型 0
3x 3 6x 3 解 原式 lim 2 lim . x 1 3 x 2 x 1 x 1 6 x 2 2
4.2 洛必达法则
解决两个无穷小量之比的极限或两 个无穷大量之比的极限的简单而有 效的一种方法.
记号
两个无穷小量之比的极限式称为
0 型未定式 0
两个无穷大量之比的极限式称为
型未定式
洛必达法则 I
0 型 0
若函数 f ( x) 和 g ( x) 满足：
(1) lim f ( x) lim g ( x) 0
将如下三种未定式转化为
0 型
0 0 ln 0 取对数 1 ln 1 0 ln 0
0
0 .
例10
求 lim x .
x x 0
0 型
0
x ln x
0 型
x 0
解
原式 lim e
x 0
e
lim x ln x
x
e x e x lim x 0 cos x
2
用了两次洛必达法则
例5
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 与其它求极限方法结合使用，效果更好.
求 lim sin x x x tan x
2
x 0
.
先用无穷小量代换
解 原式 lim
sin x x x
3
x 0
lim
1 x 1 x2
型
e
e
0
ln x lim x 0 1 x
e
x 0
lim

运用罗必达法则
1
例11
求 lim x
x 1 1 1 x
.
1 型
1 ln x 1 x

0 型 0
ln x lim x 1 1 x
解
原式 lim e
x 1
e
洛必达法则
e
1 lim ( x ) x 1 1
1 原式 lim (1 cos x ) 1. x x
小结
洛必达法则
0 ,1 , 型
0 0

型
f g 1 g 1 f (1 g ) (1 f )
0 型 0 型
f e
g
g ln f
0 型
f f g 1g
思考题 1
1、设 lim f ( x ) 是不定型极限，如果 f ( x ) 的极限不
x x0 x x0
(2) 在点 x0 的某去心邻域内均可导， g '( x) 0 且
f '( x) (3) lim A (或 ) x x0 g '( x ) f ( x) f '( x) 则有 lim lim A (或 ). x x0 g ( x) x x0 g '( x)
例3

求 lim 2
x
arctan x 1 x .
0 型 0
1 2 x2 解 原式 lim 1 x lim 1. 2 x 1 x 1 x 2 x
例4
e e 2 求 lim . x 0 1 cos x
x x
0 型 0
x
e e 解： 原式＝ l i m x0 sin x
1 x 1 (1 x ) x ] , 当x 0 [ 三、讨论函数 f ( x ) , e 1 e 2 , 当x 0
在点 x 0处 的连续性.
f '( x) (3) lim A (或 ) x x0 g '( x )
f ( x) f '( x) 则有 lim lim A (或 ) . x x0 g ( x ) x x0 g '( x )
关于洛必达法则 II 之注
在洛必达法则 II 中， 极限过程可换为 x x , x x , x , x - ,
－ 0 0
或 x .
例6
ln sin ax 求 lim . x 0 ln sin bx
型
a cos ax sin bx cos bx 解 原式 lim lim 1. x 0 b cos bx sin ax x 0 cos ax
例7
tan x 求 lim . tan 3 x x
g( x ) g ( x )
存在，是否 f ( x ) 的极限也一定不存在？举例说明. g( x )
思考题 1 之解答
不一定． 例 f ( x ) x sin x ,
g( x ) x
f ( x ) 1 cos x 显然 lim lim 极限不存在． x g ( x ) x 1 f ( x) x sin x 但 lim lim 1 极限存在． x g ( x ) x x
关于洛必达法则 I 之注
在洛必达法则 I中， 极限过程可换为 xx , xx 或 x .
0 － 0
, x , x - ,
洛必达法则 I 的证明
证 定义辅助函数
f ( x ), x x0 f1 ( x ) , x x0 0,
在 U 0 ( x0 , ) 内任取一点 , x
注
（1） 洛必达法则有时并不总是有效的. 比如，试用洛必达法则求下列极限：
e e lim x x e e x
x
x
（2）用洛必达法则过程中要及时化简, 并灵活 结合其他求极限方法.
0 (3) 洛必达法则只用于 型 和 0
型
例13
求 lim
x0
1 x 1 sin x sin x
型
0 化为 0
解
x sin x 原式 lim x 0 x sin x
型
x sin x lim 2 x 0 x 1 cos x lim x 0 2x sin x lim 0. x 0 2
无穷小量代换 运用洛必达法则
未定式的变形(3)
[ f ( x)]g( x ) e g( x) ln f ( x ) 通过
0 型 0
型
未定式的变形(1)
设 lim f ( x ) 0, lim g( x )
0
g( x ) f ( x ) g( x ) 1 f ( x)
0 0 0
f ( x ) g( x )
f ( x) 1 g( x )
未定式的变形(2)
3
x sin x 原式 lim 3 x 0 x ( 1 x 1 sin x )
lim x sin x 2x3 1 . 12
x 0
例14 (洛必达法则失效的例题)
x cos x 求 lim . x x
1 sin x lim(1 sin x ). 解 原式 lim x x 1 极限不存在 洛必达法则失效。
1 1 0 0
00 00
通过通分或分子有理化及其它变换转化为:
0 型 0
型
例8
求 lim x e .
x 2 x
0 型
2 2x 解 原式 lim lim x 0 x e x e x
例9
1 1 求 lim( ). x 0 sin x x
（A）充分条件；
（B）必要条件；
（C）充分必要条件； （D）既非充分也非必要条件 .
e e lim x 0 x sin x
x
sin x
x
lim
2x x2 2x x
lim(e x )
x x 0
1 sin 2 x
已知f ( x)正值且二阶可导，f (0) f '(0) 1, f (sin x) 1 求 lim x 0 ln f ( x)
2
型
cos 3 x lim cos x x
2
sin x cos 3 x 解 原式 lim x sin 3 x cos x
2
3 sin3 x lim 3 sin x x
2
其它类型的未定式
0 型 型
1 型

0 型
0
型
0
这些类型的未定式可化为下列洛必达法则可解 决的类型: