布尔代数运算基础

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10.1 布尔函数 Boolean Functions
例: 证明：
yz x( xz) y( z 1) zx
=
y zx
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10.1 布尔函数 Boolean Functions
对偶式: 将表达式f中的 + 换成 · ，· 换成 +，0 换成 1， 1 换成 0，得到的表达式称为f的对偶式，记作f*。 对偶原理: 将恒等式两边的表达式替换为对偶式，恒等 式依然成立。
10 布尔代数 Boolean Algebra
1854 George Boole 《The Laws of Thought》 1938 Claude Shannon 源自网络，做过改动，不拥有版权
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10 布尔代数 Boolean Algebra
例：由两个开关共同控制一盏灯：当灯是关闭时，敲
击任何一个开关都可以开灯；当灯是打开时，敲击任

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10.1 布尔函数 Boolean Functions
设B={0, 1}, 则Bn={(x1,x2,…,xn)|, xi∈B, 1≤i≤n}是由0和1构
成的所有n元有序列的集合。从Bn到B的函数称为n元布尔
函数。
例：F(x,y)=x+y
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10.1 布尔函数 Boolean Functions
析取标准式：割集 合取标准式：径集
(5)分配律 a· (b+c)=(a· b)+(a· c), a+(b· c)=(a+b)· (a+c)
(6)同一律 a· 1=a, a+0=a
(7)支配律 a· 0=0,a+1=1 (8)互补律 a+a=1,a· a=0 (9)双重否定律 a=a (10)摩根律 a + b=a· b, a· b=a+b
(lub)。
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10.1 布尔函数 Boolean Functions
(a) a a (c) b
(b) b
c
(d)
d
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10.1 布尔函数 Boolean Functions
有界格
格
同一律 零一律
有补格
互补律
布尔代数
德· 摩根律 双重否定律
结合律 吸收律 交换律 幂等律
分配格
分配律
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何一个开关都可以关灯。
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10 布尔代数 Boolean Algebra
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10.1 布尔函数 Boolean Functions
布尔代数提供{0, 1}集合上的运算和规则。

补运算 布尔和 布尔积

0 1, 1 0 0 0 0, 0 1 1, 1 0 1, 1 1 1 0 0 0, 0 1 0, 1 0 0, 11 1
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10.1 布尔函数 Boolean Functions
布尔代数抽象的定义：∧,∨是B上的二元运算， 是一元运算，如果 a,b,c∈B,满足如下： H1:a∧b=b∧a,a∨b=b∨a H2:a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c) a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c) H3:B中有元素0和1, 对a∈B,a∧1=a,a∨0=a (同一律) (分配律) (交换律)
H4:a∈B,有a∈B,使a∨a=1,a∧a=0 (互补律)
则<B,∧,∨ , ,0,1>是布尔代数。
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10.1 布尔函数 Boolean Functions
定义:格是一个集合L上的偏序关系≤ ，其中每一对元素 a,bL都拥有一个最小上界和最大下界。用a∧b表示a
和b的最大下界(glb) ，用a∨b表示a和b的最小上界
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10 布尔代数 Boolean Algebra
代数常由3部分组成： 1.一个集合，叫做代数的载体。 2.定义在载体上的运算。 3.载体的特异元素，叫做代数常数。
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10 布尔代数 Boolean Algebra
定义:设S是集合,S×S到S的一个函数f: S×S→S称为S上的
一个二元代数运算,简称二元运算。
注：运算有存在性和唯一性的要求。 ①存在性，x,y∈S，f(<x,y>)要有结果，并且此结果∈S。 ②唯一性，x,y∈S，f(<x,y>)只能有一个ຫໍສະໝຸດ Baidu果∈S。
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10 布尔代数 Boolean Algebra
例：在I+上定义运算：*，+。 x,y∈I+ x*y=x,y的最大公约数，x+y=x,y的最小公倍数 6*8=2，6+8=24，12*15=3，12+15=60。
布尔表达式(关于变元x1,x2,…,xn)

0, 1, x1, x2,…, xn是布尔表达式； 如果E1和E2是布尔表达式，则E1, (E1+E2)和(E1· E2)是布 尔函数。

例：F(x,y,z)=x+y· z
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布尔代数恒等式
(1)交换律 a+b=b+a, a· b=b· a (2)结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3)幂等律 a+a=a, (4)吸收律 a+(a· b)=a a· a=a a· (a+b)=a (a· b)· c=a· (b· c)