椭圆中的蝴蝶定理及其应用
椭圆中的蝴蝶定理是什么？
椭圆中的蝴蝶定理是什么？
蝴蝶定理起源于圆，并可推广至圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线），椭圆中的蝴蝶定理是高考中最常见的情况，对综合分析能力要求甚高。
一·何谓蝴蝶定理：
1815年，英国伦敦出版社，著名的数学科普刊物《男士日记》上刊登了如下的命题：
以上问题的图形，像一只翩翩起舞的蝴蝶，这正是该命题被称之为“蝴蝶定理”的原因。
由于蝴蝶定理意境优美，结论简洁，内涵丰富，两百多年来引无数数学家为之流连忘返，浮想联翩。
时至今日，人们不仅发现了蝴蝶定理的六十多种证明方法，而且还给出了定理的各种变形与推广。
二·蝴蝶定理的证明：
蝴蝶定理的证明方法非常之多，但利用曲线系方程来证明蝴蝶定理干净简洁，内涵丰富。
另外，如果将圆的方程换成圆锥曲线（椭圆、双曲线或抛物线）的方程，则得到对应这些曲线中的蝴蝶定理。
三·蝴蝶定理的推广：
对蝴蝶定理的探索与研究至今仍然没有结束，由人称它为欧氏平面几何里的一颗璀璨明珠。
四·典型高考题示例：
蝴蝶定理在高考数学中曾多次出现，下面仅举一例进行说明：
蝴蝶定理，butterfly thearem，古典欧氏几何最精彩的结果之一。
1815年首次被一个自学成才的中学教师W·霍纳以初等方式证明。
足可见，高等的东西用初等方法解决未必完全不可能。
以上，祝你好运。
高三数学二轮复习冲刺：蝴蝶定理及应用
蝴蝶定理背景下的解析几何与应用1.蝴蝶定理：AB 是二次曲线Ω的一条弦，O 是AB 的中点，过O 作Ω的两条弦CD 和EF ，其中E C ,位于AB 的同一侧，直线CF 和DE 分别交AB 于点Q P ,，则有OQ OP =.2.斜率形式结论1:B A 、分别为椭圆)(1:2222b a by a x E >=+的左、右顶点，)0,(t T 为x 轴上一定点，过M 直线交椭圆于D C ,两点，连接BD AC ,，那么ta t a k k BD AC +-=.证明：过T 作x PQ ⊥轴，交椭圆于Q P ,交BD AC ,于,,N M 由椭圆对称性可知：TQ TP =：进而据蝴蝶定理可知：TN TM =，于是可得：t a t a AT BT BTNT AT MT NBT MAT k k BD AC +-===∠∠=tan tan .结论2[1]：设抛物线)0(2:2>=p px y C 的弦AB 过定点)0)(0,(>m m M ，过点M 作非水平线l 交C 于Q P ,两点，若直线AP 与x 轴交于定点)0,(n ，直线BQ AP ,的斜率21,k k 存在且非零，则nm k k =213坎迪定理如图，过圆的弦AB 上任意一点M 引任意两条弦CD 和EF ，连接CF ED 、交AB 于P 和Q ，则MBMA MQ MP 1111-=-.坎迪定理的推广设AB 是二次曲线的任意一条弦，M 为AB 上任意一点，过M 作任意两条弦CD 和EF ，连接ED 、CF 交直线AB 于P 和Q .（1）若Q P 、位于M 两侧，则MBMA MQ MP 1111-=-；（2）若Q P 、位于M 同一侧，BM AM <，则MB MA MQ MP 1111-=+.二．典例分析例1（2020一卷）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.解析：依上述蝴蝶定理的内容：由于31=PD P A k k 过E 作x MN ⊥轴，交DP AP ,与N M ,点，交椭圆于H G ,.显然E 为椭圆弦GH 的中点，由蝴蝶定理：EN EM =，3133tan tan =+-===∠∠=E E PD P A x x AE BE BENE AE NE NEB MAE k k ，23=E x 例2．在平面直角坐标系中，已知圆()22:236M x y ++=，点()2,0N ，Q 是圆M 上任意一点，线段NQ 的垂直平分线与半径MQ 相交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E 。
蝴蝶定理的八种证明及三种推广
蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。
设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。
则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，又MADMCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。
又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。
证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。
对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--化简上式后得ME=MF 。
蝴蝶定理的证明与推广
蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。
这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。
这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。
最基本的叙述为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：
从向和作垂线，设垂足分别为和。
类似地，从向和作垂
线，设垂足分别为和。
证明蝴蝶定理
现在，由于
从这些等式，可以很容易看出：
由于 =
现在，
因此，我们得出结论：，也就是说，是的中点。
关于椭圆中的蝴蝶模型问题的探究与思考
关于椭圆中的蝴蝶模型问题的探究与思考作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2024年第06期［摘要］蝴蝶模型在解析几何中十分常见，开展模型解读、挖掘模型本质、总结模型问题十分必要. 文章以椭圆中的蝴蝶模型为例，开展模型深度探究，并结合教学实践，提出教学建议.［关键词］解析几何；蝴蝶模型；特征；考点；解法蝴蝶模型解读蝴蝶模型是解析几何的重点模型，从外形来看，模型形如两个三角形对顶角相接，因形似蝴蝶的翅膀，故称为蝴蝶模型. 蝴蝶模型在解析几何中十分常见，是几何与函数相结合的典型代表. 探究解析需要把握模型特征，总结模型结论. 下面探究椭圆中的蝴蝶模型.1. 蝴蝶模型在图1所示的☉O中，△CFM和△DEM有共顶点M，两三角形的其他顶点F，C，D，E 位于☉O上. 蝴蝶模型中隐含着相应定理，即蝴蝶定理：点M是弦AB的中点，两条弦CD和EF过点M，连接DE，CF，与AB分别相交于点P，Q，则点M为线段PQ的中点.2. 本质探究高考中直接考查蝴蝶定理的情形并不多见，常将蝴蝶模型与解析几何相结合，对其赋予“数”与“形”的特征.蝴蝶模型背景下的椭圆综合题中，注重考查直线与椭圆的位置关系. 该类问题本质上是研究椭圆的内接四边形，即两对接三角形的四个顶点构成的四边形. 其中形如蝴蝶的四边形通常由椭圆的两条相交弦来构建. 在实际问題中，并不会直接给定弦，而是设定两条弦过定点，或由某固定线的斜率来确定.椭圆问题常围绕蝴蝶模型来构建，基于相交弦设定问题，如定点问题、定值问题、斜率问题等. 在具体求解时，注意分析模型特征，充分利用蝴蝶定理来推导条件，通过数形结合分析转化.典例探究椭圆中的蝴蝶模型问题多样，常见的有定点定值问题、斜率问题、弦长关系问题等. 下面结合实例具体探究，总结方法策略.1. 蝴蝶模型中的定点问题例1 在平面直角坐标系中，已知圆O：x2+y2=9，Q是圆O上任意一点，Q在x轴上的投影是点Q′，点P满足=，设点P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若A（-3，0），B（3，0），过直线x=9上任意一点T（不在x轴上）作两条直线TA，TB与曲线E分别相交于点C（x，y），D（x，y）（异于点A和B），求证：直线CD 过定点.解析本题为椭圆综合题，问（2）中的弦AB与CD相交于点K，构成了蝴蝶模型，可将其归为椭圆中的蝴蝶模型问题.（1）该问求曲线E的方程，设点P（x，y），Q（x，y），由=推知x=x，y=y，将其代入方程x+y=9，可得+=1. 所以，曲线E的方程为+=1.（2）该问求证直线CD过定点，可根据韦达定理，采用“整体代换”的方法解析，具体如下：设直线CD的方程为x=my+t（t≠0），与椭圆+=1联立，并整理得（5m2+9）y2+10mty+5t2-45=0，由韦达定理得y+y=，yy=，Δ=180（5m2+9-t2）>0.利用点坐标表示蝴蝶模型中两条弦所在直线的解析式，则AC：y=（x+3），当x=9时，y=；BD：y=（x-3），当x=9时，y=. 所以，=，化简得2xy-xy=3y+6y1①. 又xy+xy=2myy+t （y+y）=②. 综合①和②可得xy=+2y++1y2，xy=-2y+-1y2.在直线CD的方程y-y=（x-x）中，令y=0，则x==. 分析可知，当-4+-2=0，即t=1时，直线CD过定点（1，0）.评析上述为蝴蝶模型中的定点问题，解析时把握模型特征，采用传统的待定系数法来代换简化. 问题解析有两大关键点：一是把握蝴蝶模型中的两条特殊弦，结合相关点分设直线方程；二是灵活构造对称式方程，形成对应的方程组，巧妙化简求解.2. 蝴蝶模型中的斜率比值问题例2 已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F，F，M在椭圆C上，△MFF的周长为2+4，其面积的最大值为2，试解决下列问题.（1）求椭圆C的方程；（2）直线y=kx（k>0）与椭圆C相交于A和B，连接AF，BF，并延长交椭圆C于D和E，连接DE，则AB与DE的斜率之比是否为定值？说明理由.解析本题为椭圆中的蝴蝶模型问题，其中△ABF和△DEF共顶点F，由椭圆的两条相交弦构建.题设两问，第（1）问求椭圆C的方程，转化△MFF的周长和面积最值条件即可求出椭圆方程的特征参数. 第（2）问是关于蝴蝶模型中两条关键弦的斜率之比的问题，探索其值是否为定值，可采用“设而不求”“整体代换”的方法构建斜率之比.（1）已知△MFF的周长为2+4，则FF+MF+MF=2a+2c=2+4，其最大面积S=·2c·b=bc=2，解得a=，b=1，所以椭圆C的方程为+y2=1.（2）第一步，设定点坐标：设点A的坐标为（x，y），则点B的坐标为（-x，-y）.第二步，构建方程：推得直线AD的方程为x=y+2，将其代入椭圆C的方程，整理得［（x-2）2+5y］y2+4（x-2）yy-y=0①. 又+y=1，代入方程①，化简得（9-4x）y2+4（x-2）yy-y=0.第三步，斜率推导：设点D的坐标为（x，y），点E的坐标为（x，y），则yy=，所以y=，x=y+2.直线BE的方程可以表示为x=y+2，同理可得y=，x=y+2. 所以，直线DE的斜率为k===9·=9k，即k∶k=9∶1.评析上述蝴蝶模型中的斜率比值问题，属于解析几何中的斜率问题，探究解析时关注模型特点，采用“设而不求”“整体代入”的方法简化斜率比值. 问题突破有两大关键点：一是把握蝴蝶模型的相交弦的位置关系，推导所在直线的方程；二是充分利用类比推导简化的方法，整体代入化简直线斜率比值.实际上，可推广上述椭圆蝴蝶模型中的直线斜率比值结论，在求解相应问题时直接使用. 具体如下：如图4所示，在椭圆C：+=1（a>b>0）中，其左、右顶点为A，B，椭圆C的弦PQ过定点M（t，0），则k·k=3. 蝴蝶模型中的弦长关系问题例3 如图5所示，已知椭圆E：+=1（a>b>0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P，在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E相交于不同的两点A和B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E相交于不同的两点C和D，求证：MA·MB=MC·MD.解析本题同样为椭圆中的蝴蝶模型问题，椭圆的两条弦CD和AB构成蝴蝶模型. 本题第（2）问为核心之问，求证弦长之间的关系，涉及四条弦，探究解析可采用“联立方程”“整体代换”的策略，即设点的坐标，推导线段的长，再整理化简.（1）把握几何特征，可得a=2b，再结合P，在椭圆E上，可得椭圆E的方程为+y2=1.（2）设直线l的方程为y=x+m （m≠0），点A（x，y），B（x，y），联立直线与椭圆的方程，有y=x+m，+y2=1，整理得x2+2mx+2m2-2=0. 结合韦达定理得x+x=-2m，xx=2m2-2，且Δ=4（2-m2）>0，可知参数m的取值范围为（-，）. 由点M的坐标-m，推得直线OM的方程为y=-x，与椭圆的方程联立，有y=-x，x2+4y2-4=0，可得點C-，，D，-. 结合点的距离公式得MC·MD=（-m+）·（m+）=（2-m2），MA·MB=AB2=（x+x）2-xx=（2-m2），所以MA·MB=MC·MD，得证.评析上述蝴蝶模型中的弦长关系问题，证明弦长乘积相等. 解析采用的是“联立方程”“整体代换”的策略，即设点的坐标，联立直线与椭圆的方程，借助韦达定理推导参数条件，将弦长乘积问题转化为与坐标参数相关的代数问题. 问题解析有两个关键点：一是挖掘其中的隐含模型，即蝴蝶模型，把握模型中的两条弦的特点；二是联立方程，设而不求，简化运算过程.教学思考上述深入探究了椭圆中的蝴蝶模型，剖析模型特征，结合实例探究常见问题，并探索解题过程，总结破题关键点. 下面对教学探究提出几点建议.1. 解析模型特征，挖掘模型本质蝴蝶模型是高中几何中常见的模型，教学探究要注意模型特征的解析，挖掘模型本质，让学生认识、理解、掌握模型. 上述模型探究按照“特征解析-本质挖掘-考点探究”来开展，探究过程具有连贯性、系统性，循序渐进、逐步深入. 教学时需要注意两点：一是模型解析中的数形结合，即探究时结合直观的模型图象，引导学生关注其几何特征；二是挖掘本质立足知识考点，即引导学生挖掘、理解模型的本质，掌握对应的知识考点.2. 关注模型考点，总结解题方法教学时教师要深入剖析模型的知识重点，围绕模型开展考点探究，精选问题，总结解题方法. 上述蝴蝶模型的探究，围绕三大典例问题开展，分析了定点问题、斜率比值问题、弦长关系问题的破解思路，总结了相应的解题方法. 教学引导时要注意两点：一是解题过程中的思维引导，即引导学生思考，锻炼学生思维能力；二是解法的归纳总结，即开展解后反思，让学生充分认识问题，掌握解题策略.3. 渗透数学思想方法，提升学生综合素养模型问题的探究教学要注意渗透数学思想方法，以提升学生的综合素养. 以上述蝴蝶模型的探究为例，其涉及了数形结合、模型构建、方程思想等，教学可分三个阶段进行：第一，讲解数学思想方法的内涵，引导学生初步理解数学思想方法；第二，结合模型解析渗透数学思想方法，引导学生感悟数学思想方法，体会数学思想方法的作用；第三，升华数学思想方法，促使学生独立使用数学思想方法构建解题思路，提升学生的思维能力.。
蝴蝶定理的一些结论(根据李文杰老师手稿整理, 还没检查)
故
m
a2
a2
|BR| = a − , |BR| = + a, |M B| = m − a, |M A| = m + a,
m
m
从而
a2
|BR| |AR|
=
a− m a2
+a
=
m−a m+a
=
|M B| |M A|
=
kAC kBD
=
kAD . kBC
m
结论 9: (斜率等差模型)
kP A + kP B = 2kP R, kNA + kNB = 2kNR.
1
蝴蝶定理相关结论及证明
如图,
在椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a > b > 0)
中,
A, B
分别为左右顶点,
C(x1, y1),
D(x2, y2)
为
椭圆上两点, 直线 AC, DB 交于 P , 直线 AD, CB 交于 N , 直线 P N 与 x 轴交于 M (m, 0), 设
P (m, p), N (m, n), 则
y
D
A
MQ
N
O
x
B C
kAB =
y1 − y2 x1 − x2
=
y1 − y2 y12 − y22
2p
=
.
y1 + y2
2p 2p
从而
2p
AB
:
y
−
y1
=
y1
(x − + y2
x1)
=⇒
(y1 + y2)y = 2px + y1y2.
椭圆蝴蝶定理过定点斜率之比-概述说明以及解释
椭圆蝴蝶定理过定点斜率之比-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述椭圆蝴蝶定理是一种重要的数学定理，它研究了椭圆曲线上的点与过该点的切线之间的关系。
具体来说，该定理指出：过椭圆任意一点的切线斜率的平方与过该点的切线所形成的直线与椭圆的切线斜率的平方之比保持不变。
在本文中，我们将探讨这一定理并进一步研究其特殊情况——过定点斜率之比。
我们将通过介绍椭圆蝴蝶定理的基本原理和证明过程来解释这一定理的数学基础。
同时，我们还将介绍过定点斜率之比的定义和性质，并通过具体的示例来说明其应用。
通过研究椭圆蝴蝶定理过定点斜率之比，我们可以更深入地理解椭圆曲线的特性和几何性质。
这不仅对数学理论具有重要意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
例如，在密码学中，椭圆曲线密码学利用了椭圆曲线上的点操作进行加密和解密，而椭圆蝴蝶定理可以帮助我们更好地理解椭圆曲线加密算法的安全性。
通过本文的阅读，读者可以对椭圆蝴蝶定理过定点斜率之比有一个较为全面的了解，并进一步探索其研究意义和应用领域。
在开始正文之前，我们将首先介绍文章的结构以及我们的研究目的，以帮助读者更好地理解和阅读后续内容。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式来编写：本文将分为引言、正文和结论三个部分，以探讨椭圆蝴蝶定理过定点斜率之比的相关内容。
在引言部分，我们将对整篇文章进行一个简要的概述，介绍研究的背景和目的。
首先，我们将概述椭圆蝴蝶定理及其在数学中的重要性。
接着，我们将说明本文的结构和组织方式，让读者能够清晰地了解本文的内容安排。
最后，我们将明确本文的目的，即探讨通过椭圆蝴蝶定理求解过定点斜率之比，并进一步说明此研究的意义和应用。
正文部分将详细介绍椭圆蝴蝶定理和过定点斜率之比的相关理论。
首先，我们将介绍椭圆蝴蝶定理的定义和基本性质。
通过数学推导和几何解释，我们将阐述椭圆蝴蝶定理的重要意义，并提供实例来帮助读者更好地理解该定理的应用。
接着，我们将探讨过定点斜率之比的求解方法。
蝴蝶定理及其推广
蝴蝶定理及其推广本文介绍蝴蝶定理、坎迪定理及相关结论的解析法证明蝴蝶定理最开始是一个关于圆的定理，因其图形像一只翩翩起舞的蝴蝶，被称为蝴蝶定理，并可推广到了任意二次曲线之中，而坎迪定理是蝴蝶定理的一般形式。
圆中的蝴蝶定理蝴蝶定理的霍纳证法证法1.霍纳证法证明:作OU⊥AD,OV⊥BC,则U,V分别是AD,BC的中点注意到∠EUO=ZEMO=90°，从而E,M,O,U四点共圆，进而∠EOM=∠EUM，同理，可知∠FOM=ZFVM注意到△ADM∽△CBM，且U,V是这对相似三角形的对应点，那么∠AUM=∠CVM，即∠EOM=∠FOM，从而ME=MF，证毕。
证法2.单墫证法1983年，中国科技大学单墫教授给出一个简洁的解析法证明: 以M为原点，弦PQ所在直线为x轴，视圆O为单位圆，建立直角坐标系，如图:设圆O的方程为x²+(y-a)²=1，直线AB、CD的方程分别为y=k1x、y=k2x,由圆和直线组成的二次曲线系方程为:μ[x²+(y-a)²-1]+λ(y-k1x)(y-k2x)=0令y=0,则xE,xF满足方程(μ+λk1k2)x²+μ(a²-1)=0，由于x的系数为0，结合韦达定理可得xE+xF=0，即xE=-xF，故ME=MF外接图形为任意二次曲线的蝴蝶定理我们将圆换成一个任意的二次曲线，结论也是一样成立的:蝴蝶定理外接曲线型的推广证明:这里我们仍以单墫教授在上例的解析法证明思路:以M为原点，MP所在直线为x轴，设P(m,0),Q(-m,0)，且过这六点的圆锥曲线方程为:Ax²+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (1)将(m,0)和(-m,0)代入，得F=-Am²,D=0，不妨设A=1,则(1)化为:x²+Bxy+Cy²+Ey-m²=0设直线AB：x=k1y,CD:x=k2y,那么经过A,B,C,D的二次曲线系方程为:x²+Bxy+Cy2+Ey-m²+λ（x-k1y)(x-k2y)=0 (2)注意到两条直线是退化的二次曲线，当y=0时，方程(1+λ)x²=m²的两根即为xE，xF，由代数方程根与系数的关系，易知:x E+x F=0,故ME=MF。
抛物线蝴蝶定理
抛物线蝴蝶定理
蝴蝶定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD 和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
最为欧氏几何的最精彩结论，“蝴蝶定理”仅仅停留在圆中，那是不可能的，今天我们一起来探讨圆锥曲线中的“蝴蝶定理”。
它能为我们高考数学做哪些帮助呢？
事实上，通过射影变换，显然可以知道“蝴蝶定理”对于圆锥曲线的情形是非常适合的。
但是如果针对一般情形，高考题不可能考察到，因为那样会使计算量异常恐怖。
故对于高中数学，我们需要掌握两类“蝴蝶”模型就好，我们把它们称之为“横蝴蝶”和“竖蝴蝶”。
横蝴蝶
定理1：过椭圆短轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与短轴垂直的直线为相等的线段，即：PM=MQ 定理2：过双曲线虚轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与虚轴垂直的直线为相等的线段，即：PM=MQ 定理3：过抛物线对称轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与对称轴垂直的直线为相等的线段即：PM=MQ 竖蝴蝶
定理1：过椭圆长轴所在直线上任意一点T（t，0）的两条弦AB 和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段相等，即：NT＝TM 定理2：过双曲线实轴所在直线上任意一点T（t，0）的两条弦AB和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段相等，即：NT＝TM
定理3：过抛物线对称轴所在直线上任意一点T（t，0）的两条弦AB和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段相等，即：NT＝TM。
蝴蝶定理
1 探究蝴蝶定理在不同几何图形中的应用1、序言1.1蝴蝶定理简介蝴蝶定理是初等几何中一棵常青的生命之树，它最早现于西欧杂志《男士日记》（Gentleman's Diary ）39-40页上，因其在圆中形如一只舞动的蝴蝶而得名，“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号。
定理内容：如上图，圆O 中的弦AB 的中点G ，过点G 任作两弦CD 、EF ，弦ED 与CF 分别交AB 于P 、Q ，则PG=QG 。
这个命题出现后的四年一直都无人解答，直到1819年7月一位自学成才的英国数学教师霍纳用较繁琐的方法首先给出了蝴蝶定理的证明，其后一个半世纪，斯特温利用三角形面积构造的恒等式及面积公式S=½bcsinA 简捷地证明了它，而1985年杜锡录的《平面几何中的名题及其妙解》使蝴蝶定理在中国传开。
至今，关于蝴蝶定理的证法多得不胜枚举，其在初等几何中的应用也越来越广泛。
1.2研究的意义与价值现在几何图形的学习让学生感受到的只是纷繁复杂，几何就像是一把双刃剑，一方面帮助一部分学生在数学学习的道路上披荆斩棘，另一方面却让一部分学生厌恶几何，丧失对数学学习的兴趣。
蝴蝶定理的存在形象地展现了几何图形的数学美它把平面图形中最完美的图形——圆和大自然生命中的精灵——蝴蝶和谐地统一在一起，如果能改变传统的课堂讲授方式，如果把蝴蝶定理作为一个由学生自主探索、查阅资料、合作交流、动手实践、阅读自学完成的研究性课题，从而激发学生的几何学习兴趣，培养他们的创新精神和实践能力，可以说具有很高的教育价值。
1.3应用启示椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞，飞落到了北京数学高考试题的百花园。
2003年北京高考数学卷第18（III ）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明：如下图，椭圆的长轴A 1A 2与x 轴平行，短轴B 1B 2在y 轴上，中心为M （0，r ）（b ＞r ＞0）。
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线y=k 1x 交椭圆于两点C （x 1,y 1），D(x 2，y 2)（y 2＞0）；直线y=k 2x 交椭圆于两点G （x 3，y 3），H （x 4，y 4）（y 4＞0）。
第19讲 椭圆中的蝴蝶模型(解析几何)(解析版)
第19讲椭圆中的蝴蝶模型知识与方法蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一.这个命题最早出现在1815年,由W.G.霍纳提出证明.【蝴蝶定理】M是⊙O中弦AB的中点,过点M的两条弦CD,EF,连接DE,CF交AB于P,Q两点,则M是线段PQ 的中点.问题中的图形酷似圆中翩翩起舞的蝴蝶,因此而被冠之“蝴蝶定理".蝴蝶定理还可以推广到椭圆,甚至双曲线与抛物线中.高考中,直接考查圆锥曲线中的蝴蝶定理很少见，大多考查蝴蝶模型背景下的直线与椭圆的位置关系问题.此类问题的本质是研究椭圆的内接四边形, 其形如“蝴蝶”的四边形通常可以由椭圆的两条相交弦确定,在具体的问题中,此两弦要么过定点,要么某线斜率特定，由此便会呈现兼具一般解法又别具一格的定点、定值等问题,下面略举几例予以说明.典型例题类型 1：蝴蝶模型中的定点问题【例1】 在平面直角坐标系中,已知圆O:x 2+y 2=9,Q 是圆O 上任意一点,Q 在x 轴上的射影是点D , 点P 满足DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√53DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程;(2)若A(−3,0),B(3,0),过直线x =9上任意一点T (不在x 轴上）作两条直线TA,TB 与曲线E 分别 交于点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2)(异于A,B ),求证：直线CD 过定点. 【答案】(1)x 29+y 25=1; (2)见解析.【解析】(1) 设 P(x,y),Q (x 0,y 0), 因为: DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√53DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 x 0=x,y 0=√5, 代入圆 O:x 2+y 2=9 中,得x 29+y 25=1, 所以曲线 E 的方程为: x 29+y 25=1.(2)由对称性,定点在x 轴上. 解法1：设点表点 设点T 的坐标为(9,m) 直线TA 方程为:y−0m−0=x+39+3,即y =m 12(x +3), 直线TB 方程为: y−0m−0=x−39−3,即y =m 6(x −3).分别与椭圆x 29+y 25=1联立方程组,同时考虑到x 1≠−3,x 2≠3,解得:C (3(80−m 2)80+m 2,40m80+m 2),D (3(m 2−20)20+m 2,−20m20+m 2) 当x 1≠x 2时,直线CD 方程为:y+20m20+m 240m 80+m 2+20m20+m 2=x−3(m 2−20)20+m 23(80−m 2)80+m 2−3(m 2−20)20+m 2令y =0,解得:x =1.此时必过点K(1,0);当x 1=x 2时,直线CD 方程为: x =1,与x 轴交点为 K(1,0).所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 K(1,0).解法 2：设线表点显然AC 斜率存在,设AC 斜率为k ,则BD 斜率为2k ,直线TA 方程为:y =k(x +3),与椭圆 x 29+y 25=1联立方程组得(5+9k 2)x 2+54k 2x +81k 2−45=0,由韦达定理,x A ⋅x c =81k 2−459k 2+5,得x C =15−27k 29k 2+5,y C=30k9k 2+5; 直线TB 方程为:y =2k(x −3),与椭圆x 29+y 25=1联立方程组得(5+36k 2)x 2+216k 2x +324k 2−45=0， 由韦达定理,x B ⋅x D =324k 2−4536k 2+5,得x D =108k 2−1536k 2+5,y D =−60k 36k 2+5;(1)当x C =x D ,易得直线CD 为x =1,(2)当x C ≠x D ,k CD =y D −y C x D −x C =−15k 18k 2−5,所以直线CD 的方程为y −y C=−15k18k 2−5(x −x c ), 由对称性定点在x 轴上,方程中令y =0,化简得x =1, 所以直线MN 必过x 轴上的一定点K(1,0).【注】上述两种解法的关键是通过设点或设线，利用韦达定理表示出点C 和点D : C (3(80−m 2)80+m 2,40m80+m 2),D (3(m 2−20)20+m 2,−20m20+m 2)或C (15−27k 29k 2+5,30k9k 2+5),D (108k 2−1536k 2+5,−60k36k 2+5)在此条件下研究直线CD 过定点,研究的思路可以先由对称性,推断其在x 轴上，写出直线CD 的方程，令y =0,求出x 的值得定点,另一种更一般的思路是先设出定点,再转为多项式恒等解出定点.其过程如下: 设直线CD 经过定点(s,t).k CD =−10mm 2−40,直线CD 的方程为y −40m m 2+80=−10m m 2−40(x −3(80−m 2)m 2+80),也可表示为y −t =−10mm 2−40(x −s),则10mm 2−40⋅3(80−m 2)m 2+80+40mm 2+80=10mm 2−40s +t ，则10m ⋅3(80−m 2)+40m (m 2−40)=10ms (m 2+80)+t (m 2−40)(m 2+80)对m 恒成立， ∴s =1,t =0,定点为(1,0). 解法 3:韦达代换直线CD方程为:x=my+t(t≠0),与椭圆x29+y25=1联立方程组得(5m2+9)y2+10mty+5t2−45=0,由韦达定理,y1+y2=−10mt5m2+9,y1y2=5t2−455m2+9,Δ=180(5m2+9−t2)>0,AC:y=y1x1+3(x+3),x=9,y T=12y1x1+3,BD:y=y2x2−3(x−3),x=9,y T=6y2x2−3,所以:12y1x1+3=6y2x2−3,化简得:2x2y1−x1y2=3y2+6y1 ⋯(1)又x2y1+x1y2=2my1y2+t(y1+y2)=−90m5m2+9=9(y1+y2)t⋯(2)由(1)(2)可知:{x2y1=(3t+2)y1+(3t+1)y2x1y2=(6t−2)y1+(6t−1)y2在直线CD方程y−y1=y2−y1x2−x1(x−x1)中,令y=0则x=x1y2−x2y1y2−y1=(3t−4)y1+(3t−2)y2y2−y1当(3t−4)+(3t−2)=0,即t=1时,定点为(1,0).【注】在此解法中关键是处理非对称式: 2x2y1−x1y2=3y2+6y1.常见的处理解法是构造对称式x2y1+x1y2=9(y1+y2)t,再与2x2y1−x1y2=3y2+6y1构造方程组,解出x2y1,x1y2,从而化解式子x1y2−x2y1y2−y1.这种处理手法在《非对称韦达定理》章节有详细说明.类型2：蝴蝶模型中的斜率定比问题【例2】已知椭圆C:x 216+y212=1的左、右顶点分别为P,Q,过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,且直线l的斜率不为0.分别记直线AP和BQ的斜率为k1与k2,问是否存在常数λ,使得在直线l转动过程中,有k1=λk2恒成立?【答案】见解析.【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l:x =my +2, k 1=y 1x 1+4,k 2=y 2x 2−4,λ=k 1k 2=y 1(x 2−4)y 2(x 1+4)=x 2y 1−4y 1x 1y 2+4y 2用x =my +2消去y,得到λ=y 1(my 2−2)y 2(my 1+6)=my 1y 2−2y 1my 1y 2+6y 2(∗)联立{x =my +2x 216+y 212=1⇒(3m 2+4)y 2+12my −36=0由韦达定理得:y 1+y 2=−12m3m 2+4,y 1y 2=−363m 2+4,可得my 1y 2=3(y 1+y 2),代入(∗)式, 得到:λ=y 1+3y 23y 1+9y 2=13.解法2：设点解点F(2,0), 设A (x 0,y 0)(y 0≠0),则AB:x =x 0−2y 0+2,由直线AB 与椭圆方程联立,{ x =x 0−2y 0+2x 216+y 212=1⇒B (5x 0−16x 0−5,3y 0x 0−5) 所以k 1=k AP =y 0x 0+4,k 2=k BQ =3y 0x 0−55x 0−16x 0−5−4=3y 0x 0+4，从而k 1k 2=13. 解法3:三点共线+对偶式因为A,F,B 三点共线,故有y 1x 1−2=y 2x 2−2,整理可得x 1y 2−x 2y 1=2(y 2−y 1), 又由{x 1y 2+x 2y 1=−963m 2+4y 1+y 2=−12m3m 2+4,可得x 1y 2+x 2y 1=8(y 1+y 2) 所以由{x 1y 2−x 2y 1=2(y 2−y 1)x 1y 2+x 2y 1=8(y 1+y 2),解得{x 1y 2=3y 1+5y 2x 2y 1=5y 1+3y 2从而λ=x 2y 1−4y 1x 1y 2+4y 2=y 1+3y 23y 1+9y2=13类型3: 蝴蝶模型中的弦长关系问题【例3】已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P (√3,12)在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程;(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A,B ,线段AB 中点为M ,直线OM 与椭圆E 交于C,D ,求证:|MA||MB|=|MC ∥MD|. 【答案】(1)x 24+y 2=1(2)见解析.【解析】（1）椭圆E 的方程为x 24+y 2=1; (2)设直线l 的方程为y =12x +m(m ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由方程组{x 2+4y 2−4=0y =12x +m得: x 2+2mx +2m 2−2=0,则{x 1+x 2=−2mx 1x 2=2m 2−2Δ=4(2−m 2)>0,易知−√2<m <√2,点M (−m,m 2),直线OM:y =−12x ,由方程组{x 2+4y 2−4=0y =−12x得:C (−√2,√22),D (√2,−√22). ∴|MC ∥MD|=√52(−m +√2)⋅√52(m +√2)=54(2−m 2) |MA||MB|=14|AB|2=14[(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2]=516(x 1+x 2)2−4x 1x 2=54(2−m 2) ∴|MA||MB|=|MC||MD|.【注】此问题结构漂亮，结论优美，相仿于圆中的相交线定理.一般地,|MA|⋅|MB||MC|⋅|MD|=(1+k 2)a 2b 2a 4k 2+b 4,其中k 为直线AB斜率.强化训练1.如图,O 为坐标原点,椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距等于其长半轴长,M,N 为椭圆C 的上、下顶点,且|MN|=2√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点P(0,1)作直线l 交椭圆C 于异于M,N 的A,B 两点,直线AM,BN 交于点T .求证：点T 的纵坐标为定值3【答案】(1)x 24+y 23=1; (2)见解析.【解析】(1)由题意可知: 2c =a,2b =2√3,又a 2=b 2+c 2,有b =√3,c =1,a =2,故椭圆C 的方程为: x 24+y 23=1.(2)由题意知直线l 的斜率存在,设其方程为y =kx +1,联立直线方程和椭圆方程得{y =kx +13x 2+4y 2−12=0,消去y 得(4k 2+3)x 2+8kx −8=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1x 2≠0),则x 1+x 2=−8k 4k 2+3,x 1x 2=−84k 2+3又A,P,B 三点共线,则 y 1−1x 1=y 2−1x 2,即x 2y 1−x 1y 2=x 2−x 1.构造式子: x 2y 1+x 1y 2=2kx 1x 2+x 1+x 2=3(x 1+x 2),则{x 2y 1=2x 2+x 1x 1y 2=2x 1+x 2.又l BN :y =y 2+√3x 2⋅x −√3,l AM :y =y 1−√3x 1⋅x +√3由{y =y 2+√3x2⋅x −√3y =y 1−√3x 1⋅x +√3,√3y +√3=y 1−√3x 1y 2+√3=√3x x 1y 2+√3x 1∴y −√3y +√3=x y −√3x x 1y 2+√3x 1=x +(2−√3)x (2+√3)x 1+x 2=(2−√3)[(2+√3)x +x ](2+√3)x 1+x 2=2−√3解之,得y =3.故点T 的纵坐标为3.【注 1】此问题是例1的逆向问题,其中也再次用到了手法:据A,P,B 三点共线,可知x 2y 1−x 1y 2=x 2−x 1.构造式子:x 2y 1+x 1y 2=3(x 1+x 2), 则{x 2y 1=2x 2+x 1x 1y 2=2x 1+x 2. 【注 2】椭圆的内接四边形的对边交点落在定直线上等价于其对角线交点为定点.一般结论如下:结论1:椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点为A,B,T 为定直线x =t(t ≠0)上任意一点,直线TA,TB 分别与椭圆交于点M,N.则直线MN 恒过定点S (a 2t,0).结论2:过有心圆锥曲线mx 2+ny 2=1的中心O 的直线交曲线于A,B,T 为定直线l:mx 0x +ny 0y =1上任意一点,直线TA,TB 分别与椭圆交于点M,N ,则直线MN 恒过定点(x 0,y 0). 2.已知椭圆C:x 26+y 24=1与定点A(0,−2),经过点E(0,1),且斜率存在的直线l 交椭圆于Q,N 两点, 点B 与点Q 关于坐标原点对称,连接AB,AN .求证：存在实数λ,使得k AN =λk AB 恒成立?【答案】见解析【 解析】设l:y =kx +1,由{y =kx +12x 2+3y 2−12=0可知,(2+3k 2)x 2+6kx −9=0, 设N (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则{x 1+x 2=−6k2+3k 2x 1x 2=−92+3k 2,∴x 1y 2+x 2y 1=4(x 1+x 2) 又N,E,Q 三点共线,则y 2−1x 2=y 1−1x 1,即x 2y 1−x 1y 2=x 2−x 1.∴{x1y2=52x1+32x2x2y1=32x1+52x2,∵A(0,−2),B(−x2,−y2)则λ=k ANk AB =(y1+2)x2(y2+2)x1=x2y1+2x2x1y2−2x1=32x1+92x212x1+32x2=3∴存在实数λ=3,使得k AN=3k AB恒成立.【注】以上问题具有如下共同特征:(1)直线a与直线b的斜率之积为定值−b2a2;(2)直线d过坐标轴上一定点;(3)直线c与直线b的斜率之积为定值.3.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M在椭圆上,ΔMF1F2的周长为2√5+4,面积的最大值为2 .(1)求椭圆C的方程;(2)直线y=kx(k>0)与椭圆C交于A,B连接AF2,BF2并延长交椭圆C于D,E,连接DE,探索AB与DE的斜率之比是否为定值并说明理由.【答案】(1)x 25+y2=1;(2)见解析【解析】(1)|F1F2|+|MF1|+|MF2|=2a+2c=2√5+4,S=12×(2c)b=bc=2,得a=√5,c=2,b=1,所以椭圆C的方程为: x 25+y2=1.(2)设A(x0,y0),则B(−x0,−y0).直线AD:x=x0−2y0y+2，代入C:x 25+y 2=1得[(x 0−2)2+5y 02]y 2+4(x 0−2)y 0y −y 02=0 ，因为x 025+y 02=1,代入化简得(9−4x 0)y 2+4(x 0−2)y 0y −y 02=0,设D (x 1,y 1),E (x 2,y 2),则y 0y 1=−y 029−4x 0,所以y 1=−y 09−4x 0,x 1=x 0−2y 0y 1+2 ，直线BE:x =x 0+2y 0y +2, 同理可得y 2=y 09+4x 0,x 2=x 0+2y 0y 2+2.所以k DE =y 1−y2x 1−x 2=y 1−y 2x 0−2y 0y 1−x 0+2y 0y 2=y 1−y 2x 0y 0(y 1−y 2)−2y 1+y2y 0=1x 0y 0−2y 0⋅y 1+y2y 1−y 2=1x 0y 0−2y 0⋅4x 09=9×y0x 0=9k ,所以k DE :k =9:1【注】此问题可推广为如下一般结论:椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点为A,B.椭圆的弦过定点M(t,0),则k AP k AQ =(−b 2a 2)⋅a−ta+t ，k AP k BQ=a−t a+t. (定点在y 轴上时类似.)4.设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1的左、右顶点分别为A,B ,椭圆的弦PQ 过定点M(t,0),直线PQ 斜率为k 且 k ≠0,求kAP k BQ的值.【答案】k APkBQ=a−ta+t .【解析】设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)(x 2≠±a ),因点Q 在椭圆上有 x 22a 2+y 22b 2=1 有−b 2a 2=y 22x 22−a 2=y 2x2−a ⋅y 2x2+a=k AQ ⋅k BQ ，另有k AQ ⋅k AP =y 2x2+a ⋅y 1x1+a=y 1y 2(x1+a )(x 2+a )(∗)设直线PQ:y =k(x −t)与椭圆联立消去y ,得(a2k2+b2)x2+(−2ta2k2)x+a2(t2k2−b2)=0,左边为g(x)=(a2k2+b2)x2+(−2ta2k2)x+a2(t2k2−b2)=(a2k2+b2)(x1−x)(x2−x)令x=−a,得(x1+a)(x2+a)=g(−a)a2k2+b2代入(∗)式中,得k AQ⋅k AP=b2(t2−a2)k2a4k2+2a3tk2+a2t2k2−a2b2+a2b2由于k≠0且t≠a,化简得k AQ⋅k AP=b2(t2−a2)a2(t+a)2=−b2(a−t)a2(a+t)又因k AQ⋅k BQ=−b2a2,两式作商得: k APk BQ=a−ta+t.5．已知椭圆Γ的方程为x29+y25=1,经椭圆的左焦点F(−2,0)、斜率为k1(k1;k1≠0)的直线与椭圆交于A、B两点.设R(1,0),延长AR、BR分别与椭圆交于C、D两点, 直线CD的斜率为k2.则k1k2=【答案】47.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则直线l AR:x=x1−1y1y+1.代入椭圆方程消去x得5−x1y12y2+x1−1y1y−4=0.则y3=−4y15−x1.代入直线AR的方程得x3=5x1−9x1−5.于是C(5x1−9x1−5,4y1x1−5).同理,D(5x2−9x2−5,4y2 x2−5).则k2=4y1x1−5−4y2x2−55x1−9r−5−5x2−9r−5=4(y1x2−5y1−y2x1+5y2)16(x2−x1)因为A、F、B三点共线,所以y1x1+2=y2x2+2⇒y1x2−y2x1=2(y2−y1).故k2=74⋅y2−y1x2+x1=74k1⇒k1k2=47.。
公考几何五大定理——蝴蝶定理
公考几何五大定理——蝴蝶定理
蝴蝶定理是公共考试几何学中的一个重要定理，也被称为“巴斯卡定理”。
它是基于帕斯卡定理的一个推论，用于解决关于圆的切线和割线的性质问题。
蝴蝶定理的内容如下：
在一个圆内，任意取两个不相交的割线AB和CD，它们相交于点E。
连接AC和BD，它们相交于点F。
则AE × EB = CE × ED。
这个定理的名字来源于连接AE、BE、CE和DE的四条线段形成的形状，它们看起来像一只蝴蝶的翅膀。
蝴蝶定理的证明可以通过应用帕斯卡定理来完成。
首先，我们可以利用帕斯卡定理证明三个点A、E和D在同一直线上。
根据帕斯卡定理，我们可以得到：AD ∩ BE、AF ∩ CD和BF ∩ CE三个交点共线。
因此，我们可以得出结论：AE × EB = CE × ED。
蝴蝶定理的应用非常广泛，特别是在解决与圆相关的几何问题时。
例如，可以利用蝴蝶定理证明两条割线的交点与两条切线的交点共线，或者利用蝴蝶定理证明两条割线的交点与圆心共线等。
总结起来，蝴蝶定理是公共考试几何学中一个重要的定理，用于解决与圆的切线和割线的性质问题。
它是基于帕斯卡定理的一个推论，通过连接割线和相交点形成的四条线段，得到了一个重要的几何关系式。
_蝴蝶_型两个结论的应用
包时 的一 样多. 请 你用 有关的 几何 知识, 按 张大爷 的要
求设计出修路方案. (不计分界小路与直路的占地面积 )
图 10
图 11
写出设计方案, 并在图中画出相应的图形.
说明方案设计理由.
解析 ( 1 )画法 如图 12.
连接 EC, 过点 D 作 DF EC,
交 CM 于点 F. 连接 EF, EF 即
可将复杂图形求角度的问题转化为特殊图形角度和.
应用 1 利用 蝴蝶 型 转化为三 角形求角度
例 1 如 图 2所 示, A + B + C + D + E 等于
A. 180
B. 360
C. 540
D. 720
图2
解析 连接 CD, 可构 成如图 3阴
影所 示 的 蝴 蝶 型, 根 据 结 论 可 知
图9例4如图9所示ab是o的直径cd是圆弧ab上的三等分点如果o的半径是1p是线段ab上的任意一点362011年第1期初中版解题研究找出隐藏的圆巧解中考试题435241湖北省黄石市白沙中学罗峻作辅助线解几何题难在中考时作辅助圆解题更是难上加难
36
( 2011年第 1期 初中版 )
解题研究
蝴蝶 型两个结论的应用
A + B = 1 + 2, 所以 A + B
+ ECB + EDA + E = ECB +
EDA + 1+ 2 + E, 即 CDE 的
内 角 和. 因 为 CDE 的 内 角 和 为
180 , 故选 A.
图3
应用 2 利 用 蝴 蝶 型 转化
为四边形求角度.
例 2 如图 4所示, 试求 A +
椭圆的蝴蝶定理
椭圆的蝴蝶定理设椭圆的方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0），AB，CD是过椭圆内一点M的两条弦，设AB与CD相交于M点。
若直线AB、CD的斜率存在，设A(x_{1},y_{1})，B(x_{2},y_{2})，C(x_{3},y_{3})，D(x_{4},y_{4})，直线AB的方程为y - y_{M}=k_{1}(x - x_{M})，直线CD的方程为y-y_{M}=k_{2}(x - x_{M})。
将直线AB方程代入椭圆方程得：frac{x^2}{a^2}+frac{(k_{1}(x - x_{M})+y_{M})^2}{b^2}=1展开并整理得关于x的一元二次方程：(b^2+a^2k_{1}^2)x^2+2a^2k_{1}(y_{M}-k_{1}x_{M})x+a^2[(y_{M}-k_{1}x_{M})^2-b^2]=0由韦达定理x_{1}+x_{2}=-frac{2a^2k_{1}(y_{M}-k_{1}x_{M})}{b^2+a^2k_{1}^2}，x_{1}x_{2}=frac{a^2[(y_{M}-k_{1}x_{M})^2-b^2]}{b^2+a^2k_{1}^2}。
同理对于直线CD与椭圆方程联立后的韦达定理x_{3}+x_{4}=-frac{2a^2k_{2}(y_{M}-k_{2}x_{M})}{b^2+a^2k_{2}^2}，x_{3}x_{4}=frac{a^2[(y_{M}-k_{2}x_{M})^2-b^2]}{b^2+a^2k_{2}^2}。
椭圆中的蝴蝶定理结论：(MA× MB)/(MC× MD)=frac{(1 + k_{1}^2)|(x_{1}-x_{M})(x_{2}-x_{M})|}{(1 + k_{2}^2)|(x_{3}-x_{M})(x_{4}-x_{M})|}经过复杂的代数运算化简可得与圆中蝴蝶定理类似的比例关系。
蝴蝶定理椭圆证明
蝴蝶定理椭圆证明
蝴蝶定理椭圆证明
蝴蝶定理是由欧几里德在1772年所建立的数学定理，它同时也是几何学的一个重要结论。
它指出，任何给定的椭圆曲线（无论它的外形如何）和一个可以用此曲线上任意四点给出的四边形，这个四边形的面积总是一样的。
即所谓的“蝴蝶定理证明的椭圆”。
蝴蝶定理的证明可以分为以下几步：
首先，把椭圆上的四个点按顺时针或逆时针顺序排列，标记为A、B、C和D，其中C和D是椭圆上最远两个点。
其次，分别设定AB、CD两条对角线，将四边形ABDC分割成三个三角形，即ABC、CBD、ABD。
第三，根据勾股定理可以得出三角形ABC和三角形ABD的两个边长，以及两者之间的夹角之和。
接下来，利用余弦定理和勾股定理可以得出三角形CBD的边长，以及两者之间的夹角之和。
最后，根据上面所得的结果，使用面积公式算出四边形ABDC的面积，因此，就可以得出蝴蝶定理;椭圆上任意四点组成的四边形，其面积总是一样的。
至此，蝴蝶定理椭圆的证明就完成了，它不仅能够帮助我们理解椭圆的性质，而且也是几何学的一条重要的定理。
椭圆中的蝴蝶定理及其应用
2003年北京高考数学卷第18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF 交直线AB于P，Q，则有.证明：如图1，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系.设圆锥曲线的方程为(*)，设A（0，t），B（0，-t），知t，-t是的两个根，所以.若CD，EF有一条斜率不存在，则P，Q与A，B重合，结论成立.若CD，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）, D（x2，k1x2），E（x3，k2x3）, F（x4,k2x4），P（0，p），Q（0，q），,,同理, 所以将代入(*)得,又得, , 同理, ，所以，即.注:2003年高考数学北京卷第18（III）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长轴的弦的特殊情形.定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l∥AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有.证明：如图2，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系.设圆锥曲线的方程为(*)，设A（），B（），则切线MA的方程是，切线MB的方程是，得，所以.（下面与定理1的证明相同，略）特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上.性质1：过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，EF是其焦点轴，则直线CE、DF的连线交点G在直线l：上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴所在直线的交点时，l就是过焦点的直线.证明：如图3，过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则根据定理1，定理2得.过G做GH垂直焦点轴所在直线于H，得，设M（m，0），H（n，0），焦点轴长为2a，则有，得.注:性质1就是文[1]中的性质1，文[2]中的推论2.若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF看作与焦点轴平行的直线，于是得到性质2.性质2：过点M（m，0）做抛物线的弦CD，E是抛物线的顶点，直线DF与抛物线的对称轴平行，则直线CE、DF的连线交点在直线l：上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴的交点时，l就是过焦点的直线.注:2001年全国高考数学卷第18题，就是性质2中M为焦点的情形.性质2就是文[1]中的性质2，文[2]中的推论1.性质3：直线l：，过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，直线l与CD交于点I，则.证明：如图4，由定理1，定理2及性质1得：.性质4：过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD、EF，则直线CE、DF的连线交点G在直线l：上.证明：如图5，过G做GH垂直焦点轴所在的直线，由定理1，定理2得：，由性质3得，点I在直线l：上，所以点G在直线l：上.类似性质3、性质4得到性质5、性质6.性质5：直线l：，过点M（m，0）做抛物线的弦CD，直线l与CD交于点I，则.性质6：过点M（m，0）做抛物线的弦CD、EF，则直线CE、DF的连线交点G在直线l：上.注: 文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形，即取M为焦点时，直线CE、DF的连线交点G落在相应准线上.性质7：过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，则以C，D为切点的圆锥曲线的切线的交点G在直线l：上.证明：如图6，设切线CG交直线l于G1，连接G1D，若G1D与圆锥曲线有除D点外的公共点F，做直线FM交圆锥曲线于E，由性质4知CE与DF的交点在直线l上，所以C、E、G1三点共线，与CG1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G1D与圆锥曲线只有一个公共点D，G1D是圆锥曲线的切线，G1与G重合， G在直线l 上.性质8：过点M（m，0）做抛物线的弦CD，则以C，D为切点的圆锥曲线的切线的交点G在直线l：上.注:性质7、性质8也是性质4、性质6的一种极端情形，就是文[4]中的定理1.性质9：直线l：，过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，C、D在l上的射影为C1、D1，在焦点轴所在直线上的射影为C2、D2，则.证明：如图7，由性质3得：,所以.性质10：直线l：，过点M（m，0）做抛物线的弦CD，C、D 在l上的射影为C1、D1，在对称轴上的射影为C2、D2，则.注:性质9、10即文[5]中的定理1、2、3，文[5]中的推论也可由性质3、5直接推出.性质11：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF 交于点G，过G做GI∥AB，直线GI交FE于I，则.证明：如图8，直线CE与DF交直线AB于P，Q，由定理1得：, 所以.性质12：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M任作两条弦CD 和EF，直线CE与DF交于点G，过G做GI∥AB，直线GI交FE于I，则.性质11，12可认为是性质1，2，3，5的推广，从性质11，12出发可以得到类似性质4，6，7，8，9，10的结论，限于篇幅，本文不再给出。
椭圆蝴蝶定理高考解析几何
椭圆蝴蝶定理高考解析几何
椭圆蝴蝶定理（又称汤逊定理）是一个著名的几何定理，由英国数学家Thomas Taylor Todd提出。
它的核心思想是，椭圆的内角有着特殊的和，表示椭圆的一条曲线将分成四个等份，三个角是相等的，而四个角总和为360°。
该定理是几何学中重要的一部分，经常在高考中出现，有助于考生从宽广的视野准确把握几何问题中的重要细节。
一、椭圆蝴蝶定理的概念
椭圆蝴蝶定理显示，椭圆的内角有着特殊的角和，表示在椭圆上任意四点确定的曲线将被分为四个等份，其中三个角是等角的，四个角的总和为360°。
二、椭圆蝴蝶定理的证明
1、由反证法可知：设系统存在四点确定的椭圆曲线，其中三个内角之和不是360°，则给出这样椭圆曲线与定理矛盾，故系统不存在，即椭圆蝴蝶定理正确。
2、由定义：椭圆曲线是椭圆的四点拟合线段，它的四个角的总和是360的倍数。
三、椭圆蝴蝶定理的应用
1、椭圆蝴蝶定理在几何中可以用来解决一类衍生问题：求另外三个内角的大小，从而求另外一个内角的大小，从而求此曲线的方程，求曲线上一点到其他点的距离等。
2、椭圆蝴蝶定理在高考数学中也能发挥作用，考生可以从宽广的视野准确把握几何问题中的重要细节，例如：三角函数的求解、八角形的求解、分段函数的求解等。
椭圆蝴蝶定理证明
椭圆蝴蝶定理证明【整理】
蝴蝶定理
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职815年所给出的证法。
至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
用解析方法证明,
如果令椭圆的长轴，短轴相等，
则椭圆就变成了圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得，故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理。
“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花。
”。
椭圆蝴蝶定理
椭圆蝴蝶定理椭圆蝴蝶定理是一种数学定理，它是由美国数学家爱德华·洛伦兹提出的。
这个定理的名字源于其图形形状类似于一只蝴蝶。
这个定理的重要性在于它揭示了混沌现象的本质，深刻地影响了物理学、天文学、生物学、经济学等领域，成为了20世纪科学发展的重要里程碑之一。
椭圆蝴蝶定理的核心内容是：在一些动态系统中，微小的起始条件可能会导致非常不同的结果。
这种现象被称为混沌现象。
这个定理的图形形状是一个椭圆形，其中有两个点在椭圆的两个端点，这两个点之间的轨迹是一个蝴蝶形状。
这个定理的意义在于，如果我们有一个动态系统，它是一个非线性的微分方程，那么这个系统的起始条件只需要稍微改变一点，就可能导致完全不同的结果。
这个定理的发现对于科学界来说是一个重大的突破。
在过去的几百年中，科学家们一直试图找到一种简单的方法来描述自然现象，以便能够预测未来的变化。
然而，椭圆蝴蝶定理的发现表明，自然现象是非常复杂的，并且可能无法被简单地描述。
这个定理的发现也揭示了一些重要的科学原则，例如随机性和确定性之间的关系，以及微小变化的重要性。
椭圆蝴蝶定理的应用范围非常广泛。
它不仅对物理学和天文学有重要的影响，还对生物学、经济学等领域产生了深刻的影响。
例如，在生物学中，这个定理可以用来解释生态系统的演化，以及种群数量的变化。
在经济学中，这个定理可以用来描述市场行为和股票价格的波动。
在计算机科学中，这个定理可以用来解决密码学中的问题。
总之，椭圆蝴蝶定理是一项重要的数学成果，它揭示了自然现象的复杂性和混沌现象的本质。
它的应用范围非常广泛，对于科学界和人类社会的发展都产生了深远的影响。
虽然这个定理并不是完美的，但它为我们提供了一种新的思考科学问题的方法，这种思考方法可能会引领我们走向更加深入的科学研究。
专题7.26：蝴蝶定理、相交弦定理的研究与拓展
专题7.26：蝴蝶定理、相交弦定理的研究与拓展【探究拓展】探究1：蝴蝶定理已知圆O 内，M 是弦AB 的中点，CD 、GH 是过M 点的两条弦，连结CH 、DG 分别交AB 于P 、Q 两点，则MQ MP =.类比联想：椭圆内，蝴蝶定理还能成立吗？可从特例实验一下： （1）已知过椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的中心的两条弦CD 和GH ，连结HC 、GD 与长轴AB 分别交于点P 、Q. 思考：OQ OP =成立吗？（2）过椭圆12222=+by a x )0(>>b a 短轴上一点),0(m M 任作两条弦CD 、GH （D 在C 的上方，H 在G 的上方），CH 、GD 分别交直线0y y =于P 、Q.直线CD 、GH 的斜率分别为21k k 、.设),(11y x C ，),(22y x D ，),(33y x G ，),(44y x H .（1）思考：4343221211x x x x k x x x x k +=+ 成立吗？（2）思考：PM=MQ 还能成立吗？(过程中可以不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形).探究2：点圆位置关系已知圆O ：222r y x =+，则（1）点),(00y x M 在圆上⇔直线200r y y x x =+与圆O 相切于M ；（2）点),(00y x M 在圆外⇔直线200r y y x x =+与圆相交，且该直线为圆O 的切点弦所在直线；（3）点),(00y x M 在圆内⇔直线200r y y x x =+与圆相离，且该直线为圆在过),(00y x M 的弦AB 的两端点处切线的交点的轨迹.类比联想：点与椭圆的位置关系已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a ，完成下列命题，并作出判断和证明： （1）“点),(00y x M 在椭圆上⇔直线12020=+by y a x x 与椭圆________”还成立吗？ （2）“点),(00y x M 在椭圆外⇔直线12020=+b y y a x x 与椭圆________，且该直线为____________________________________________”还成立吗？；（3）“点),(00y x M 在椭圆内⇔直线12020=+by y a x x 与椭圆________，且该直线为椭圆内在过点),(00y x M 的弦的两端点处切线的交点轨迹”还成立吗？进一步思考1．类比联想：点与椭圆的位置关系的结论在双曲线中还能成立吗？抛物线呢？拓展1：设椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的离心率为21=e ，右焦点为)0,(c F ，方程 20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点),(21x x P 与圆222=+y x 的位置关 )系____________. 答案：点在圆内拓展2．过椭圆12222=+by a x )0(>>b a 长轴上一点)0,(m M 任作两条弦CD 、GH （D 在C 的上方，H 在G 的上方），CG 、HD 分别交直线m x =于P 、Q. 直线CD 、GH 的斜率分别为21k k 、. 求证：MQ MP =.更进一步，M 为椭圆焦点时，结论又如何？若直线CG 与HD 相交，交点在哪里？ 探究3：相交弦定理 设点),(00y x M 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 内一点，过M 作两条斜率分别为21k k 、（21k k ≠）的弦CD 、GH.则MH MG MD MC ⋅=⋅⇔021=+k k .【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
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2003年北京高考数学卷第18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到
圆锥曲线的若干性质.
定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF 交直线AB于P，Q，则有.
证明：如图1，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为(*)，设A（0，t），B（0，-t），知t，-t是的两个根，所以.
若CD，EF有一条斜率不存在，则P，Q与A，B重合，结论成立.
若CD，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）, D（x2，k1x2），E（x3，k2x3）, F（x4,k2x4），P（0，p），Q（0，
q），,
,同理, 所以
将代入(*)得,又得
, , 同理
, ，所以，即
.
注:2003年高考
数学北京卷第18
（III）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长轴的弦的特殊情形.
定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l∥AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有.
证明：如图2，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为(*)，设A（），B（），则切线MA的方程是，切线MB的方程是
，得，所以.（下面与定理1的证明相同，略）
特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上.
性质1：过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，EF是其焦点轴，
则直线CE、DF的连线交点G在直线l：上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴所在直线的交点时，l就是过焦点的直线.
证明：如图3，过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则根据定理1，定理2得.
过G做GH垂直焦点轴所在直线
于H，得，设M（m，0），H（n，0），焦点轴长为2a，则有，得.
注:性质1就是文[1]中的性质1，文[2]中的推论2.
若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF看作与
焦点轴平行的直线，于是得到性质2.
性质2：过点M（m，0）做抛物线的弦CD，E是抛物线的顶点，直
线DF与抛物线的对称轴平行，则直线CE、DF的连线交点在直线l：上.
特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴的交点时，l就是过焦点的直线.
注:2001年全国高考数学卷第18题，就是性质2中M为焦点的情形.性质2
就是文[1]中的性质2，文[2]中的推论1.
性质3：直线l：，过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，直线l与CD交于点I，则.
证明：如图4，由定理1，定理2及性质1得：.
性质4：过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD、EF，则直线CE、DF的连线交点G在直线l：上.
证明：如图5，过G做GH垂直焦点轴所在的直线，由定理1，
定理2得：，由性质3得，点I在直线l：上，所以点G在直线l：上.
类似性质3、性质4得到性质5、性质6.
性质5：直线l：，过点M（m，0）做抛物线的弦CD，直线l与CD交于点I，则.
性质6：过点M（m，0）做抛物线的弦CD、EF，则直线CE、DF的连线交点G在直线l：上.
注: 文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形，即取M为焦点时，直线CE、DF的连线交点G落在相应准线上.
性质7：过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，则以C，D为切点的圆锥曲线的切线的交点G在直线l：上.
证明：如图6，设切线CG交直线l于G1，连接G1D，若G1D与圆锥曲线有除D点外的公共点F，做直线FM交圆锥曲线于E，由性质4知CE与DF的交点在直线l上，所以C、E、G1三点共线，与CG1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G1D与圆锥曲线只有一个公共点D，G1D是圆锥曲线的切线，G1与G重合， G在直线l 上.
性质8：过点M（m，0）做抛物线的弦CD，则以C，D为切点的圆锥曲线的切线的交点G在直线l：上.
注:性质7、性质8也是性质4、性质6
的一种极端情形，就是文[4]中的定理1.
性
质9：直线l：，过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，C、D在l上的射影为C1、D1，在焦点轴所在直线上的射影为C2、D2，则.
证明：如图7，由性质3得：,所以.
性质10：直线l：，过点M（m，0）做抛物线的弦CD，C、D 在l上的射影为C1、D1，在对称轴上的射影为C2、D2，则.
注:性质9、10即文[5]中的定理1、2、3，文[5]中的推论也可由性质3、5直接推出.
性质11：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF 交于点G，过G做GI∥AB，直线GI交FE于I，则.
证明：如图8，直线CE与DF交直线AB于P，Q，由定理1得：, 所以.
性质12：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M任作两条弦CD 和EF，直线CE与DF交于点G，过G做GI∥AB，直线GI交FE于I，则.
性质11，12可认为是性质1，2，3，5的推广，从性质11，12出发可以得到类似性质4，6，7，8，9，10的结论，限于篇幅，本文不再给出。