高中数学竞赛试卷

高中数学竞赛试卷

考生注意：1.本试卷共三大题（19个小题），全卷满分150分。2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。3.解题书写不要超出装订线。4.不能使用计算器。

一、 选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1．命题甲：10031002≠≠y x 或；命题乙：2005≠+y x ，则命题甲是命题乙的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件 2，如果圆222n y x =+至少覆盖函数n x

x f πsin 3)(=的一个最大点和一个最小点，则正

整数n 的最小值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为（ ）

A ．43

B ．32

C ．53

D ． 10

9 4．对于,R x ∈ 函数)()2()2(x f x f x f =-++，则它是周期函数，这类函数的最小正周期是（ ）

A ．4

B ．6

C ．8

D ．12

5．函数)(x f y =的图象为C ，而C 关于直线1=x 对称的图象为1C ，将1C 向左平移1个单后得到的图象为2C ，则2C 所对应的函数为（ ）

A ．)(x f y -=

B ．)1(x f y -=

C ．)2(x f y -=

D ．)3(x f y -=

6．当b a ,是两个不相等的正数时，下列不等式中不成立的是（ ）

A ．2)1()1)(1(ab

ab b b a a +>++ B ．2)22()1)(1(b a b a b b a a +++>++ C ．b a b a b a b a ++>++222233 D ． 2

23

322b a b a b a b a -->-- 7．记xy

y x A xy )1)(1(22--=，若abc c b a =++，则ab ac bc A A A A ++=的值为（ ） A ．3 B ． 3- C ． 4 D ．4-

8．某个货场有2005辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装的货物总数为34箱，为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（ ）

A ．17043

B ．17044

C ．17045

D ． 17046

9．若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（ ）

A ．64

B ．66

C ．68

D ．70

10．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n 把钥匙依次分给n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为（ ）

A ．1

B ． n

C ． 21+n

D ． 2

1-n 二、填空题：(本小题共4小题，每小题6分，共24分，把答案填在题中横线上)

11．设R x ∈，对于函数)(x f 满足条件35)1(2

42-+=+x x x f ，那么对所有的R x ∈， =-)1(2x f _______________;

12．一张坐标纸对折一次后，点)4,0(A 与点)0,8(B 重叠，若点)8,6(C 与点),(n m D 重叠， 则=+n m _______________;

13．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为______;

14．集合X 中的元素是正整数，且有性质：若X x X x ∈-∈12,则，这样的集合X 共有 _____________个。

三、解答题：（本大题5小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

15．（本小题满分12分）数列}{n a 满足n n n n n a b N n a a a a +=∈+==+11,,,21211， n n n n b b b P b b b S 2121,=+++=，试求n n S P +2的值。

16．（本小题满分12分）已知D 是面积为1的三角形ABC ∆的 边AB 上的任意一点，E 是边AC 上任意一点，连结DE ，F 是线段DE 上的任意一点，设

,,,z DE DF y AC AE x AB AD ===且21=

-+x z y ，试求三角形BDF 的面积的最大值。

C

E B D A

17．（本小题满分12分）过点)4,223(+P 作一条直线和轴轴、y x 分别相交于N M 、两点，试求MN ON OM -+的最大值。（其中O 为坐标原点）

18．（本小题满分16分）若正数c b a ,,满足b

a c c a

b

c b a +-+=+求证4117-≥+c a b

19．（本小题满分14分）从岳阳到郴州的快速列车包括起始和终点共有六站，将这六站分别记为A,B,C,D,E,F,有一天张兵和其他18位旅客乘同一车厢离开岳阳，这些人中有些是湖北人，其他的是湖南人，认识所有同车厢旅客的张兵观测到：除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢上的湖南人的数目与下车旅客的数目相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢。张兵又进一步观测到，当火车离开车站B 时，车厢内有12名旅客；当火车离开车站D 时，还有7名旅客在这一车厢内；当他准备在F 站下车时，还有5名旅客在这一车厢内。试问开始时火车的这一节车厢有多少湖北人，有多少湖南人？且在旅途中这些数目如何变化？