高中数学教案：排列数与组合数

排列数与组合数课程目标知识提要排列数与组合数∙排列的定义一般地，从 n 个不同元素中取出 m （m⩽n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列（arrangement）．∙排列数及排列数的公式一般地，从 n 个不同元素中取出 m （m⩽n）个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号A n m表示．A n m=n n−1n−2⋯n−m+1,这里， n ， m∈N∗ ，并且 m⩽n ．这个公式叫做排列数公式． n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，这时公式中 m=n ，即有A n n=n×n−1×n−2×⋯×3×2×1.正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n! 表示．另外，我们规定 0!=1 ．所以排列数公式还可以写成 A n m=n！n−m！.∙ 组合的定义一般地，从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽n ）个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（combination ）． ∙ 组合数及组合数的公式从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽n ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 C n m表示．C nm=A n m A m m =n n −1 n −2 ⋯ n −m +1 m ！, 这里 n ，m ∈N ∗，并且（m ⩽n ）．这个公式叫做组合数公式．因为 A n m =n ！ n−m ！，所以组合数公式还可以写成C n m=n ！m ！ n −m ！,另外，我们规定 C n 0=1．∙ 组合数的性质性质 1：C n m =C n n−m； 性质 2：C n +1m =C n m +C nm−1． 精选例题排列数与组合数1. 某学生希望参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试，其中甲、乙两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考甲、乙这两所学校，则该学生不同的报考方法种数是 （用数字作答）．【答案】 16【分析】 由题意分两种情况，若报考的 3 所中，不含考试事件相同的两所，则有 C 43=4 种报考方法，若报考的 3 所中，含考试事件相同的两所中的一个，则有 C 21⋅C 42=12 种报考方法， 故该学生不同的报考方法种数 12+4=16 种．2. 某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有种不同的抽调方法．【答案】84【解】由于每队至少抽1辆，先从每队抽一辆车，则问题转化为从7个车队中抽3辆车，分类讨论．①3辆车都从1个队抽，有C71种；②3辆车从2个队抽，有A72种；③3辆车从3个队抽，有C73种．综上所述，共有C71+A72+C73=84种．3. 某车队有编号为1，2，3，4，5的5辆车，现为完成一件任务，需派三辆车按不同时间出车，其中若选取的车辆中有1号，4号时，则1号车一定要排在4号车的前面，则这样不同的派法共有种（用数字作答）．【答案】574. 某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有种．【答案】216【分析】先进行分组，从其余4列火车中任取2列与甲一组，不同的分法为C42=6（种）．由分步计数原理得不同的发车顺序为C42⋅A33⋅A33=216（种）．5. 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信．甲信箱中有10封，乙信箱中有20封，现有主持人抽奖确定幸运观众．若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有种不同的结果．【答案】5600【分析】由题意知本题是一个分两类计数问题：①幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有10×9×20= 1800（种）．②幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×10=3800（种）．因此共有不同结果1800+3800=5600（种）．6. 甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．【答案】 336【解】 对于 7 个台阶上每一个只站一人，则有 A 73 种；若有一个台阶有 2 人，另一个是 1 人，则共有 C 31A 72种， 因此共有不同的站法种数是 336 种．7. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有 种．【答案】 188. 已知 20C n +5n =4 n +4 ⋅C n +3n−1+15A n +32，则 n = ．【答案】 2【分析】 20C n +5n −4 n +4 C n +3n−1=20C n +55−4 n +4 C n +34=20 C n +55−C n +45 =20C n +44，所以 20C n +44=15A n +32，即20 n +4 n +3 n +2 n +14!=15 n +3 n +2 ，解得 n =2（n =−7 舍去）．9. 有 n 个球队参加单循环足球赛，其中 2 个队各比赛了三场就退出了比赛，这两队之间未进行比赛，这样到比赛结束共赛了 34 场，那么 n = ．【答案】 10【分析】 因为 2 个队各比赛了三场就退出了比赛，所以其余的 n −2 个队进行 了 34−2×3=28 场比赛，n −2 个队按照单循环进行比赛，共有 C n−22 场比赛，于是 C n−22=28 ，解得 n =10 ．10. 现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张．从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为 ．【答案】 544【分析】 由题意，不考虑特殊情况，共有 C 163 种取法，其中每一种卡片各取三张，有 4C 43种取法，故所求的取法共有 C 163−4C 43=560−16=544 种．(1)证明 C n 1+2C n 2+3C n 3+⋯+n C n n=n ⋅2n−1；【解】 方法 1： 因为k ⋅C n k =k ⋅n ! =n · n −1 ! =n C n−1k−1, 所以原式=n C n−10+n C n−11+⋯+n C n−1n−1=n C n−10+⋯+C n−1n−1 =n ·2n−1. 命题得证．方法 2：（倒序相加）：令 S =C n 1+2C n 2+3C n 3+⋯+n C n n，所以S =n C n n + n −1 C n n−1+ n −2 C n n−2+⋯+C n 1.因为 C n k =C nn−k ，且 C n 0=C n n，两等式相加， 2S =n C n n +n C n 1+n C n 2+⋯+n C n n−1+n C nn=n C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C nn =n ·2n .所以 S =n ⋅2n−1．命题得证．(2)证明 34 n<3n +3（n ∈N +，且 n ⩾2）．【解】 原不等式等价于 43 n>n +33．因为4 n= 1+1n=C n 0+C n 1·1+C n 2· 1 2+⋯+C n n1 n=1+n 3+C n 213 2+⋯+ 13 n>n +33,所以原不等式成立．12. 某乒乓球队共有男女队员 18 个，现从中选出男女队员各一人组成一对双打组合，由于男队员中有两人主攻单打项目，不参与双打组合，这样共有 64 种组合方式，则此队中男队员有多少人？【解】 设男队员有 x 人，则女队员有 18−x 人，去除 2 个主攻单打的男队员，男、女队员各选 1 人的方法有 C x−21C 18−x 1=64 种，由 x −2 18−x =64，解得 x =10，即此队中男队员有 10 人．13. 解不等式 A 8x <6A 8x−2．【解】 原不等式化为8! 8−x !<6×8!10−x !,从而得 x 2−19x +84<0,解得7<x <12.又∵x ⩽8,x −2⩽8,x ∈N 且x −2∈N ,∴3⩽x ⩽8,综上得 x =8，故原不等式的解集为 8 ．14. 六个人围成一圈做游戏，有多少种围法？【解】 六个人中某位固定，其他人共有 A 55 种方法，故总围法种数为 A 55=120 种．15. 设集合 I = 1,2,3,4,5 ．选择 I 的两个非空子集 A 和 B ，要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数，则不同的选择方法共有多少种？【解】 ∵A 、 B 没有公共元素，∴ 从 5 个元素中分别选出 2 个，3 个，4 个，5 个，再按从小到大排列，用隔板将各自分成两个集合，于是可得 C 52+C 53C 21+C 54C 31+C 55C 41=10+20+15+4=49（种）选择方法．16. 解不等式 2C x +1x−2<3C x +1x−1．【解】 因为 2C x +1x−2<3C x +1x−1，所以 2C x +13<3C x +12． 所以 2× x +1 x x−13×2×1<3× x +1 x2×1．又因为 x +1⩾3,x +1⩾2, 所以 x ⩾2．所以 x−13<32，所以 2⩽x <112，且 x ∈N ， 所以 x =2，3，4，5．所以不等式的解集为 2,3,4,5 ．17. 求值：(1) C 33+C 43+C 53+⋯+C 203；【解】原式=C 33+C 43+C 53+⋯+C 203=C 214=21×20×19×18=5985.(2) A 32+A 42+A 52+⋯+A 1002；【解】 因为 A n m =C n m ⋅A m m，所以A 32+A 42+A 52+⋯+A 1002=C 32⋅A 22+C 42⋅A 22+⋯+C 1002⋅A 22=A 22 C 33+C 32+C 42+⋯+C 1002−1 =A 22 C 43+C 42+⋯+C 1002−1 =A 22⋅ C 1013−1 =333298.(3) C 3n 38−n +C 21+n 3n．【解】 根据组合数性质可得0⩽38−n ⩽3n ,0⩽3n ⩽21+n ,解得 192⩽n ⩽212，因为 n ∈N ∗，所以 n =10．因此 C 3n 38−n +C 21+n 3n =C 3028+C 3130=C 302+C 311=30×292×1+31=466．18. 求证：A n +1m +1=A n m +n 2A n−1m−1．【解】 因为A n m +n 2A n−1m−1=n n −1 ⋯ n −m +1 +n 2 n −1 n −2 ⋯ n −m +1= n +1 n n −1 ⋯ n −m +1=A n +1m +1. 所以 A n +1m +1=A n m +n 2A n−1m−1．19. 一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【解】 根据题意要想 12 步登完只能有 6 步一次登一个台阶，另外 6 步一次登两个台阶，也即在 12 步中选出 6 步一次登一个台阶，剩下 6 步一次登两个台阶，所以共有 C 126=924 种不同的走法．20. 若 A 2n 4=120C n 2，其中 n ∈N ,n ⩾2，求 n 的值．【解】 由已知 A 2n 4=120C n 2，得2n ⋅ 2n −1 2n −2 2n −3 =120⋅n n −11×2,即 n 2−2n −3=0，解得 n =3 或 n =−1（舍）．课后练习1. 体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1，2，3 的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放法有 种．2. 设 a 、 b ∈ 1,2,3 ，则方程 ax +by =0 所能表示的不同的直线的条数是 ．3. 四个不同的小球放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有 种（用数字作答）．4. 若 C n m−1∶C n m ∶C n m +1=3∶4∶5 ，则 n −m = ．5. 某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的品种．现在餐厅准备了 5 种不同的荤菜，若要保证每位顾客有 200 种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 种．（结果用数值表示）6. 某学校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种．（用数字作答）7. 从 4 名教师与 5 名学生中选 3 人，其中至少要有教师与学生各 1 人，则不同的选法有 种．8. 已知 C n 2=C n 4，则 n = ；若 C n 4=A n 3，则 n = ；若 C n +17−C n 7=C n 8，那么n = ．9. 计算 C 72= ，C 75= ．10. 100 件产品中有 97 件合格品，3 件次品，从中抽取 5 件进行检验，都是合格品的抽法有 种，恰好有两件次品的抽法有 种（用组合数表示）．(1)求 7C 63−4C 74 的值；(2)设 m ,n ∈N ∗，n ⩾m ，求证：m +1 C m m + m +2 C m +1m + m +3 C m +2m +⋯+n C n−1m + n +1 C n m = m +1 C n +2m +2.12. 某足球联赛共有 12 个队参加，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？13. 4 个相同的红球和 6 个相同的白球放入袋中，现从袋中取出 4 个球． (1)若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？(2)取出一个红球记 2 分，取出一个白球记 1 分，若取出的 4 个球的总分不低于 5 分，则有多少种不同的取法？14. 证明： n C n k = k +1 C n k +1+k C n k ．(1)从 2，3，5，7，11 这五个数字中，任取 2 个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？ (2)某年全国足球甲级（A 组）联赛共有 14 队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛 1 次，共进行多少场比赛？ 16. 计算： (1) A 95+A 94A 106−A 105；(2)A 88−A 952A 85+4A 84．17. 一个口袋里装有 7 个白球和 1 个红球，从口袋中任取 5 个球． (1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？ (3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？ 18. 求和：(1) 1A 22+1A 32+1A 42+⋯+1A n +12；(2) 12!+23!+⋯+nn +1!．19. 一个口袋内有 4 个不同的红球，6 个不同的白球．(1)从中任取 4 个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记 2 分，取一个白球记 1 分，从中任取 5 个球，使总分不少于 7 分的取法有多少种？ 20. 证明：(1) C m +2n =C m n +2C m n−1+C m n−2； (2) C n +1m =C n m +C nm−1．排列数与组合数-出门考姓名成绩1. 6个人站成一排，其中甲、乙、丙3人必须按一定顺序站，有种排法．（以数字作答）2. 某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则一个学生的选课方案有种．（以数字作答）3. 若将由1，2，x这三个不同数字组成的无重复三位数的各位数字相加，和为42，则x等于．4. C50+C51+C52+C53+C54+C55=5. 若n n−1n−2⋯k=A n x，则x=．6. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有．（用数字作答）7. 已知C15m=C15m−3，则m=．8. 为做好 2008 年北京奥运会的服务工作，志愿者中心决定从6男2女共8个志愿者中选派4人参加A、B两项培训，每项2人，且A项培训至少要有一名女志愿者参加，则不同的选派方法有种．9. 从3张不同的纪念邮票选出2张，粘贴到2张不相同的明信片上，那么共有种不同的贴法．10. 设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集的个数为T，则TS 的值是．k（其中k⩽min m,n）．11. 证明：C m0C n k+C m1C n k−1+C m2C n k−2+⋯+C m k C n0=C n+m12. 判断下列问题是排列问题还是组合问题？(1)从1，2，3，⋯，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，⋯，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？13. 要从10个人中选出4个人去参加某项活动，其中甲乙必须同时参加或者同时不参加，问共有多少种不同的选法？4=140A n3，求n的值．14. 已知A2n+115. 解不等式C n4>C n6．16. 解不等式：A9x>6A9x−2．17. 证明：A 11+2A 22+3A 33+⋯+n A n n = n +1 !−1．18. 将 6 名腰鼓队员排成一个三角形阵，如图，有多少种不同的排法？19. 计算：A 95+A 94A 106−A 105．20. 求解下列问题：(1)用排列数表示 55−n 56−n … 69−n n ∈N ∗ 且 n <55 ；(2)计算 2A 85+7A 84A 88−A 95 ；(3)解方程： A 2x +14=140A x 3 ．。