九年级数学上册第21章二次根式知识归纳新版华东师大版
最新华东师大版九年级数学上册第21章二次根式PPT
归纳小结
（1）乘法法则：
a b ab;(a 0,b0)
（2）乘法法则的逆用：
ab a b;(a 0,b0)
二次根式的除法
4= 9
49 = 100
25
=
64
4 9 49 100 25 64
一般地, 有
a
a
____b____, (a
0, b
0)
b
二次根式的除法法则: 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除的商，
计算： ( 10 )2 (3 3)2
解： ( 10)2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2
10 27 17
一般地，根据算术平方根的意义
a2
a
a（a 0）， a（a 0）.
化简：
(1) 8
(2) (5)2
解：(1) 8 22 2 2 2 (2) (5)2 52 5
平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
本课学习目标：
• （1）二次根式的概念 • （2）根号内字母的取值范围 • （3）二次根式的性质
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1. 表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 . 4. a≥0, a ≥0 . ( 双重非负性) 5.既可表示开方运算,又可表示运算的结果.
1 3
27=
1 3
27=
9=3
积的算术平方根
试一试：请根据算术平方根填空：
九年级上册数学21章22章知识点
九年级上册数学21章22章知识点一、二次根式（第 21 章）（一）二次根式的概念形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中\（a\）叫做被开方数。
要理解二次根式，需要注意以下几点：1、二次根式必须含有二次根号“＼（＼sqrt{｝＼）”。
2、被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{20}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（＼（x\）为任意实数）都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
（二）二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。
2、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））times\sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）3、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼sqrt{9} ＝ 3\）（三）二次根式的运算1、二次根式的加减法先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并。
例如，＼（＼sqrt{8} ＋＼sqrt{18} ＝ 2\sqrt{2} ＋ 3\sqrt{2} ＝5\sqrt{2}＼）2、二次根式的乘除法乘法：＼（＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq 0\））除法：＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））（四）二次根式的化简化简二次根式就是把被开方数中的完全平方数因子开出来。
九年级数学上册 第21章 二次根式知识归纳 华东师大版
1 / 11 / 1 第21章 二次根式
1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式．
2. 二次根式的性质：
（1）=2)(a （a ≥0）；（2a 0(a≥0)；（3）⎪⎩
⎪⎨⎧<=>==)0___()0___()0___(____2a a a a
3. 二次根式的乘除：
计算公式：___(0,0)
___(0,0)a b a b a a b b ⎧≥≥⎪⎨=≥>⎪⎩
乘法运算：除法运算： 4. 概念： 1.2.⎧⎨⎩最简二次根式：(1) (2) (3)
同类二次根式：
5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 )
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式．
6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：
根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母．
7. 二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．
（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．
（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．。
华师版九年级上册数学最全最实用知识点大全
b a ba ba a ab a b a a a --=+==1,,1 第21章 二次根式1.二次根式：形如a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（2）二次根式的乘除法=（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）． 6.实数的大小比较和估计值（1）大小比较的方法：平方法、倒数法、作差法。
（2）实数的估计值，例如：__5的整数部分是2_______________-7.绝对值、二次根式、平方的和为0，那么每个加数分别为0第22章 一元二次方程1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
a b ab b ba a=（＞0）（＜0）0 （=0）；提公因式法：完全平方公式： 平方差公式： 十字相乘法：212121212211211(3)()4,(4)___________,(5)_____x x x x x x x x x x x x -=+-⋅+=+=(1)n a x b±=2222,;();,a x a mx n p x n p a b a ==±+=+=±=±若x 则若，则m 若则=b2224()24b ac b ax bx c a x a a-++=++22,102m n x x m m n --=--是的两个根，求的值2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法： （2） 因式分解法：（3） 两边同时加上一次项系数一半的平方）四开方．（4）公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2－4ac ≥0时，x ＝____________. ( 5)换元法:2222(21)3(21)40,()3()40x x x x x x +-+-=----=3.配方法：将二次三项式配方：4.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式是__________．(1)b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (2)b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (3)b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根． 5.一元二次方程根与系数的关系（1）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________，x 1x 2＝__________.注意：(1)222121212()2x x x x x x +=+-⋅（2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅；注意：代入降次法也是常考题型，例： 6.一元二次方程的应用(审、设、列、解、验、答)（1）图形（面积、体积）问题（2）经济问题(3)增长率问题第23章 相似三角形1.比例线段在四条线段d c b a ,,,中，如果a ︰b=c ︰d ，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，比例中项：若a ︰b=b ︰c ，则b 叫a 、c 的比例中项，此时有2b ac = 2.比例的性质 （1）a c ad bcb d=⇔=，*注意等积式和比例式的转化. （2）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么ba n f db m ec a =++++++++ ，注意：*（1）“设k 法”是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3）黄金分割：如果点C 把线段AB 分成两条线段，使得AC BCAB AC=,那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点，他们的比值叫做黄金比，等于___________ 3.三角形相似的判定定理的预备定理 定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆． 4. 三角形相似的判定定理（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． （3）三边对应成比例的两个三角形相似．B(3)DBAD CBAE AD DEAC AB BC==AD AE DEAB AC BC==AD AE DEAB AC BC==（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似。
九年级数学上册第21章二次根式章末复习上课课件华东师大版.ppt
A. -1
B. 1
C. 2 x1 0 + y)2 = y = -1 0
4. 化简： 27 1 12 ___-_2_____ . 2 3
27 1 12 2 3
3 3 1 (2 3) 2 3 (2 3)(2 3)
3 (2 3) 2
5. 计算： (1)(3 48 2 27) 3； (2)(3)0 27 1 2 1 . 3 2 解：(1)(3 48 2 27) 3 (12 3 6 3) 3
为 （A ）
2x–1 > 0
A. x 1 2
C. x 1 2
B. x 1 2
D. x 1 2
2. 下列运算正确的是（ D ） 33
A. 25= 5 5
B. 4 3 27 1 3
C. 18 2=9
9 =3
D. 24 3 6 2
24 3 36 6 2
3. 若 x 1 1 x ( x y)2， 则 x - y 的 值为 （C ）
1
=
x( x 1)2
x = ( x 1)2
x 2 1， x 1 2， ( x 1)2 2，原式 1 .
2
课堂小结
本堂课你能完整地回顾本章所学的有关二 次根式的知识吗？ 能熟练进行二次根式的有关 运算吗？
你还有哪些困惑与疑问？
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
值为3 ______.
分析 a 5 ，(b 2)2都是非负数
利用非负数
的性质可得 a 5 0 b 2 0
a 5 b 2
a+b=3
例3 已知 m 1 2 3
m2 2m 1 m2 m
的值.
，求1 2m m2 m1
九年级数学上册第21章二次根式本章总结提升新版华东师大版
本章总结提升
解：(a－a b－a＋b b)÷aa2－＋bb2 ＝a（（a＋a－bb））－（ba（＋ab－）b）÷aa2＋ －bb2 ＝（a－ba）2＋（ba2 ＋b）·aa2－ ＋bb2 ＝a＋1 b. 当 a＝1－ 3，b＝1＋ 3时，原式＝12.
加减法
混
合
运算
乘法
运
乘法公式仍适用
算
除法
本章总结提升
整合提升
问题1 二次根式的概念
当 x 是怎样的实数时， x在实数范围内有意义？为什么要强调 x 是这样的实数？
例 1 2017·绵阳使代数式 x1＋3＋ 4－3x有意义的整数 x 有 ( B)
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
本章总结提升
【归纳总结】二次根式可以进行加、减、乘、除、乘方、 开方等运算，其混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相 同，还是先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果能 用乘法公式，就要使用乘法公式，以使运算简便．
本章总结提升
问题4 与二次根式有关的代数式求值
化简求值问题的一般要求是什么？分母有理化的依据是什么？ 例 4 化简求值：(a－a b－a＋b b)÷aa2－ ＋bb2，其中 a＝1－ 3，b＝ 1＋ 3.
本章总结提升
【归纳总结】二次根式可以进行加、减、乘、除、乘方、 开方等运算，其混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相 同，还是先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果能 用乘法公式，就要使用乘法公式，以使运算简便．
＝c＋a－1.
本章总结提升
问题3 二次根式的运算
二次根式的运算种类及各自的法则是什么？它的混合运算的
顺序如何？乘法公式在运算时起了什么作用？
最新华师大版初三数学上册第21章 二次根式 全单元ppt课件
（3）二次根式的值
定义 二 次 根 式
a （a≥0）
a 0(a 0)
性质 （即 a 表示一个非负数）
a
2
a a 0 ;
a2 （ a a 0）
21.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法与积的算术平方根
两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？怎样运算？
让我们从研究乘法开始． 请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该是多少？
2
7= ？
特殊化，从能开得尽方的二次根式乘法运算开始思考！
讲授新课
一 二次根式的乘法法则及运算
计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律？
1.
4×
9
6 =____
4 9 _____ 6
如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是
b 3
.
b-3
你认为下列各代数式有哪些共同特点？
a 2500
2
s π
b3
表示一些正数的算术平方根．
知识归纳 二次根式的定义
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根 式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数.
两个必备特征 理解要点： ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开数a ≥0
x 1
的值.
当x=5时，
x 1 5 1 4 2.
思考：当x是怎样的实数时， x2在实数范围内有意义？ x为全体实数.
2 a 2 b 3 ( c 4 ) 0, 2.（1）若
则a-b+c=___ ；
(2)设y 1 x + x 1+2015,试求x 2 y的值.
九年级数学上册 21.1 二次根式讲授素材 (新版)华东师大版
二次根式我们已遇到的，，，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：新课：二次根式定义：式子叫做二次根式.对于请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：（1）式子只有在条件a≥0时才叫二次根式，是二次根式吗?呢?若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.（2）是二次根式，而，提问学生：2是二次根式吗?显然不是，因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式．下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答．例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式?分析：，，，、、、四个是二次根式. 因为a是实数时，a＋10、a2-1不能保证是非负数，即a＋10、a2-1可以是负数(如当a＜-10时，a＋10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜0），因此，与不是二次根式.例2 x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义?解：略．说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子有意义．例3 当字母取何值时，下列各式为二次根式：（1）(2)(3)(4)分析：由二次根式的定义，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式．解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2＋b2≥0，∴当a、b为任意实数时，是二次根式.（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0时，是二次根式.（3），且x≠0，∴x＞0，当x＞0时，是二次根式.（4），即，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x＞2.当x＞2时，是二次根式.例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：（1）；（2）；（3）；（4）分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，.即：只有在条件a≥0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零．解：（1）由2a＋3≥0，得.（2）由，得3a-1＞0，解得.（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|＋0.1＞0，于是，式子是二次根式. 所以所求字母x的取值范围是全体实数．(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0．(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)1．式子叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式．2．式子中，被开方数(式)必须大于等于零．。
华师大版九年级数学上册 第21章单元知识梳理
跟踪训练
C
B
跟踪训练
B
A
跟踪训练
跟踪训练
跟踪训练
跟踪训练
跟踪训练
跟踪训练
跟踪训练
跟踪训练
中
x的取值范围由x+2≥0得x≥-2.故选B;
名师讲解
• 【例1】（2）若x、y为实数，且
=0，则
(x+y)2018的值为
;
• 【解答】 本题考查二次根式与绝对值的非负性.两个非负式子 的和为0，则这两个式子必定都为0，即x=-2,y=3,所
以（x+y）2018=1;
• 【例1】（3）
名师讲解
• 【解答】
跟踪训练
C
D
跟踪训练
A
x≤2 0
跟踪训练
名师讲解
• 要点二：二次根式的化简及其混合运算
•2； （2）A不是同类项，不能合并；B
C正确；D （ 3）2 3 ，故选C；
82 2 ，
• 【例2】
名师讲解
• 【解答】
（3）原式= (m n)2 5mn 22 5(1) 3 ； （4）原式=2a2-6-a2+6a+6=a2+6a，代入值得4 2 -3.
第二十一章 二次根式
单元知识梳理
知识结构
名师讲解
• 要点一：二次根式的定义、性质及非负性的考查
• 【例1】（1）函数y= （）
中，自变量x的取值范围是
• A.x>-2
B.x≥-2
C.x≠-2 D.x≤-2
• 【解答】本题考查含二次根式的函数中自变量的取值范围，由
于二次根式 中a的取值范围是a≥0,∴y=
华东师大版九年级上册 第21章二次根式知识点总结
二次根式章节知识点：1”称为二次根号，a 称为被开方数．特征：2来说，被开方数a 必须是一个非负数，即a ≥0. 3a =；()20a a =>.4、二次根式乘除法计算：ab b a =⨯，ba b a =÷ 5、分母有理化，通过适当的变形把分母化成有理数的过程；须注意保持分子、分母同时乘以相同的因式．分母是单项式，用a a =2)(分母是多项式，用平方差公式6、最简二次根式：①根号中不含分母②分母中不含根号③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式7、二次根式加减法计算：先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式。
同类二次根式概念：化简成最简二次根式后，被开方数相同合并同类二次根式：系数相加减，被开方数不变常用的二次根式：√8=√4×2=√4×√2=2√2 √12=√4×3=√4×√3=2√3√18=√9×2=√9×√2=3√2 √27=√9×3=√9×√3=3√3√32=√16×2=√16×√2=4√2 √48=√16×3=√16×√3=4√3√50=√25×2=√25×√2=5√2 √75=√25×3=√25×√3=5√3√72=√36×2=√36×√2=6√2 √108=√36×3=√36×√3=6√3√98=√49×2=√49×√2=7√2√20=√4×5=√4×√5=2√5√28=√4×7=√4×√57=2√7√12=√1×22×2=√2√4=√22 √13=√1×33×3=√3√9=√33 √15=√1×55×5=√5√25=√55 √18=√1×28×2=√2√16=√24 √1=√1×10=√10√100=√10√112=1√12=12√3=12×√33=√36 √118=√18=3√2=13×√22=√26。
最新华东师大版九年级数学上册第21章二次根式复习课件
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
Байду номын сангаас
D.-1
题型3:利用二次根式的性质化简 (3)实数a,b在数轴上对应点的位置，如图所示， 化简 ：
(4)(3 2 4 5)2
(5)(2 3 5)2 (2 3 5)2
(6)(3 10 )2005 (3 10 )2005
探索性练习：
（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里 打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
2 2 2 2, 3 3 3 3
33
88
4 4 4 4 , 5 5 5 5
叫做二次根式
２．二次根式的识别：（１）．被开方数 a 0
（２）．根指数是２
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
① 15
② 3a
③ x 100
④ a2 b2 ⑤ a2 1 ⑥ 144
⑦ a2 2a 1 ⑧ 3 5
二次根式的性质
（1）． a 0 （ａ 0）
（2）． ( a )2 a
练习：把下列二次根式化为最简二次根式。
(1) 12 (2) 48
(3) 125 (4) 800
(5) 3 2
(6) 1 8
(7) 3 3 5
(8) 0.4
(9) 3 24
1 ( 10) 4 1
2
(12)：x 1 ______. x
( 11) x 2
华东师大版九年级上册第21章《二次根式》全章课件(共99张PPT)
∴ (3.14-π)2 = |3.14-π |=π-3.14.
评析：在计算时，为确保计算的正确性，计算
形如 a2 的二次根式时,先要写成 a2 =|a|的形式, 再看底数a的符号，防止出现当a<0时， a2 =a
这样的错误。
巩固认识
1、化简下列各式: (1) ( 3 2 )2 + ( 2 3 )2
小结
本节课要掌握：
1、 a b ab (a≥0,b≥0)
2、 ab a b (a≥0,b≥0)
对于二次根式的乘法及积的算 术平方根的化简要灵活运用
课后练习
认真完成导学案的“课后练习题案”.
华东师大版九年级上学期 第21章 《二次根式》
2.2二次根式的乘除法
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
3、设a、b、c为△ABC的三边，化简：
(a+b+c)2 + (a-b-c)2 + (c-b+a)2
华东师大版九年级上学期 第21章 《二次根式》
2.1二次根式的乘除法
学而不疑则怠，疑而不探则空
知识回顾
1、二次根式 a(a≥0)是非负数，
a
2
a
.当a≥0时， a2
=
a
；
当a＜0时， a2 = -a .
1 x
※拓展应用
已知 2 a，3 b， 用含a、b的代数式表示 96.
2 a, 3 b, 96 16 6 4 6 4 2 3 4ab.
比一比，看谁更快！
一、计算：
(1) 8 27 ; 6 6 (2) (3) 1 54 1 6 3
125
1 20
5 2
华师大版数学九上21.1二次根式word知识拓展
二次根式方程，想说爱你不容易一、二次根式方程的解法(1)两边平方法用两边平方法解无理方程的一般步骤是：「G)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程：(ii)解这个有理方程；(iii)”把有理方程的根代入原方程进行检验，如■•果适合，就是原方程的根，如果不适合“就是增根，必须舍去.在上述步骤中，两边平方「是关键，能根必须代入原方程进行.(2)换元法用换元法解无理方程，就是把适当的根号下。
台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数后再求「原来的未知「数.二、例题类型类型一：两边平方法例1：解方程V3x2 + 1 - 1 = -3x解：+ 1 - 1 = -3x「变形为E+1=1-3X两边平方3”+1 = (1 - 3x)2.•・ 3x2 + 1 = 1 - 6A + 9x26x2 -6x = 06x(x - 1) = 0解得Xj = 0, x2 = 1经检验：x = 1是增根，原方程解为x二0。
例2：解方程如-17 = 0解：2x-\=x~x2一2x + l = 0 (X_l)2 =0•Xj = X = 1经检验，=X2 = 1是原方程的解例3：解方程厶+ 7 - V2x-3 =2 解.x + 7 = (2 +』2x -3)~x + 7 = 4 + 2x - 3 + 4j2x-3•一x + 6 = 4丁2兀一3•••36+ X2-12X =16(2X-3)••/. x2一44x + 84 = 0••• (x-42) (x-2) =0•刃=42 , x2 =2经检验："=42为增根舍去.・.勺=2是原方程的r解淡型二：换元法原方程变形为例4：用换元法解方程: 9 + x9 + x/. y1 -y-2 = 0(j-2Xy + l) = o= 2, y2 =-llx + 9八x + 9 .Ijj = 2H寸，J ----- = 2, --------- = 4, x + 9 = 4xV x x解得X = 3当〉'2 = T时，彳宁 =-1，此方程无解经检验x = 3是原方程的根。
九年级数学上册第21章二次根式章末复习新版华东师大版
式化简（化为最简二次根式），再把同类二次 根式合并.
二次根式运算的结果应尽可能化简.
课堂小结
本堂课你能完整地回顾本章所学的有关二 次根式的知识吗？ 能熟练进行二次根式的有关 运算吗？
你还有哪些困惑与疑问？
教学反思
本节课通过学习归纳本章内容，以二次根式 的概念及其有意义的条件、二次根式的性质及应 用、二次根式的化简与运算等知识点为支撑，力 求以点带面，查漏补缺，让学生对本章知识了然 于胸，此外通过例题加以分析，加强对重点知识 的训练，使学生在全面掌握知识点的前提下抓住 重点.
章末复习
华东师大版九年级上册
• 复习目标： Biblioteka 握本章重要知识，能熟练运用二次根式的 有关运算法则进行运算.
• 复习重点： 回顾本章知识点，构建知识体系.
• 复习难点： 利用二次根式的有关运算法则、性质解决实 际问题.
二次根式 的意义
知识结构
二次根式 的性质
二次根式 的化简
二次根式 的运算
（2）二次根式的加减 二次根式相加减，通常应先将各个二次根
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1 第21章 二次根式
1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式．
2. 二次根式的性质：
（1）=2)(a （a ≥0）；（2
（3
）⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>==)0___()
0___()0___(____2a a a a
3. 二次根式的乘除：
计算公式：___(0,0)
___(0,0)a b a b ⎧≥≥⎪⎨=≥>⎪⎩
4. 概念： 1.2.⎧⎨⎩最简二次根式：(1) (2) (3)
同类二次根式：
5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 )
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式．
6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：
根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母．
7. 二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．
（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．
（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．。