量子力学课件：4.1 态的表象
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4.1 态的表象
注：只有连续谱的情况，即只有 a q ，即为 a q 。
同一个态可以在不同的表象中用波函数来描 写，所取的表象不同，波函数的形式也不同，但 它们描写同一态。
三、Hilbert Space（希尔伯特空间）
1.位形空间
一矢量A 在直角坐标系、球坐标系和柱坐标系中的表示分别为：
A A x , A y , A z A A r , A , A A A , A , A z
n
n
4 2 n 2 Cn sin x cos x sin xdx 0 a a a a 1 1 1n 3n 2 2
a
所以C1
1 2
，C3
1 2
， C n 0n 1,3
C1
1 2
， C3
1 2
， C n 0n 1,3
mn
n n n
2
a a
mn
m n mn
ˆ Q
本征函数的正 交归一性
其中 x , t dx 是 t 时刻测量粒子位置在 x x dx 范围所得结果
2
n
的几率，而 a n t 是在 x, t 所描写的态中测 Q 所得结果为 Q n 的
2
几率。 x, t a n t 互相决定，二者都描写同一状态。
坐标表象
求此函数在能量表象中的表示。
4 2 x sin x cos x a a a 解：一维无限深势阱中粒子的本征解为：
2 2n 2 En 2 a 2
n
2 n sin x a a
0xa
n 1,2,
x
4 x x 2 2 sin cos2 sin x cos x a a a a a a 1 3 1 1 sin a x sin a x 2 3 2 1 a
同一个态可以在不同的表象中用波函数来描 写，所取的表象不同，波函数的形式也不同，但 它们描写同一态。
三、Hilbert Space（希尔伯特空间）
1.位形空间
一矢量A 在直角坐标系、球坐标系和柱坐标系中的表示分别为：
A A x , A y , A z A A r , A , A A A , A , A z
n
n
4 2 n 2 Cn sin x cos x sin xdx 0 a a a a 1 1 1n 3n 2 2
a
所以C1
1 2
，C3
1 2
， C n 0n 1,3
C1
1 2
， C3
1 2
， C n 0n 1,3
mn
n n n
2
a a
mn
m n mn
ˆ Q
本征函数的正 交归一性
其中 x , t dx 是 t 时刻测量粒子位置在 x x dx 范围所得结果
2
n
的几率，而 a n t 是在 x, t 所描写的态中测 Q 所得结果为 Q n 的
2
几率。 x, t a n t 互相决定，二者都描写同一状态。
坐标表象
求此函数在能量表象中的表示。
4 2 x sin x cos x a a a 解：一维无限深势阱中粒子的本征解为：
2 2n 2 En 2 a 2
n
2 n sin x a a
0xa
n 1,2,
x
4 x x 2 2 sin cos2 sin x cos x a a a a a a 1 3 1 1 sin a x sin a x 2 3 2 1 a
第4章态和力学量的表象
三维氢原子
( r , , ) R ( r ) Y ( , )
nlm nl lm
2.态在表象中的矩阵表示
①坐标表象 r ,t可按按坐标的本征函数 任意波函数 展开 r ' r
r , t a r ' , t r ' r d ' 成立的条件 r , t a r , t
( r ,t )和 un(r)都是归一化的 设
* a ( t ) ( r , t ) u ( r ) d n n
2 * | ( r , t ) | d 1 a ( t ) a ( t ) 1 n n
n
| an (t) |
2
a ( t ), a ( t ), a ( t ), , a ( t ), 1 2 3 n
ˆ rr ( ) rr ( ) ( r )( r r ) r r r
即坐标算符在坐标表象中的对应于确定值 的本征函数，是以坐标为变量的δ函数
②动量和能量算符
一维
三维
x 1 ip x p ( x ) p ( x ) ( x ) e x p x p x p x x 2
n
*矩阵表示
*归一化条件 1 *由无限多个本征函数构成了无限维函数空间 ——Hilbert空间
a1(t) a 2 (t) , a n (t) a q ( t )
*Hermite矩阵
* * * * ( a ( t ), a ( t ), , a ( t ), a ( t )) 1 2 n q
量子力学第四章表象
第四章 表象理论4.1 态的表象变换和态的矩阵表示1．态的表象变换将F 表象中的态函数对力学量算符ˆQ 在F 表象中的本征函数组展开，则展开系数就是在Q 表象中的态函数。
这就是将F 表象中的态函数变换到Q 表象中的态函数的方法。
为了便于求出展开系数，通常要求ˆQ的本征函数组为幺正基组。
以从r 表象变换到Q 表象为例。
r 表象中的态函数为(,)r t ϕ [或()r ϕ]。
设ˆQ的本征值为分立谱Q n ，对应的本征函数为()n r φ 。
当各Q n 都无简并时，(,)r t ϕ 对()n r φ的展开式为：(,)()()n n nr t a t r ϕφ=∑（4.1-1） 若Q n 表示几个对易力学量算符本征值的集合，则上式中的n 应表示几个对应的量子数的集合。
当Q n 存在简并时，展开式为：(,)()()iiin n n r t a t r ϕφ=∑（4.1-2）其中i 为描写简并的角标。
下面只讨论无简并的情况。
在（4.1-1）式中，a n (t)是Q n 与t 的函数，a n (t)相当于a(Q n ,t)的简写。
当Q n 在整个展开系数中变动。
由于Q n 为分立谱，所以函数关系a n (t)-Q n 不是连续的。
a n (t)就是(,)r t ϕ 变换到Ｑ表象中的态函数。
例如，将r表象中的某态函数(,,)r ϕθϕ对2ˆL 与ˆzL 的共同本征函数组(,)lm Y θφ展开： 0(,,)()(,)llm lm l m lr C r Y ϕθφθϕ∞==-=∑∑ （4.1-3）上式相当于（4.1-1）式中的n 表示两个量子数lm 的集合。
上式中的()lm C r 就是在2L 与z L 共同表象中的态函数。
2．本征态的排序本征态的排序可以化为对应的本征值的排序。
若本征值无简并，则参与排序的本征值没有相同者；若本征值有简并，则参与排序的本征值有相同者，其相同本征值的个数应与该本征值的简并度相同。
量子力学 态和力学量的表象
果在 x x dx 范围内的几率。 在 x, t 所描写的态中测量粒子动量所得结 | c p, t |2 dp ： 果在 p p dp 范围内的几率。 可以看出：当 x, t 已知，就可完全确定 c p, t 。 反之， 当 c p, t 已知，就可完全确定 x, t 。
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
第四章 表象理论1
(4.2-6)
因此算符 在Q表象中是一个矩阵, （4.2-6）式也可简写为:
称为矩阵元。
(4.2-7)
说明: 力学量算符 于表象基矢
在 表象中的矩阵元 依赖
2. 厄密矩阵 对其取复共轭得到 根据厄密算符的定义
故有:
(4.2-8)
(4.2-8)式表示算符在Q表象中的表示是一个厄密矩阵 。
补充： 1、转置矩阵：矩阵A的行列互换，所得的新矩阵称 为矩阵A的转置矩阵，用符号 表示。 即：如果,则由(43) 得到(4.1-5)
在动量表象中, 粒子具有确定动量p’ 的波函数是以动 量p为变量的函数: 同理可得: 在坐标表象中, 粒子具有确定坐标x’ 的波函数是以坐标x 为变量的函数: 坐标算符的本征值方程为:
(4.1-6)
2. 一般情况 在任意力学量Q 的表象中, 假设具有分立的本征值, 对应的本征函数是 :
体系的归一化条件 写成矩阵形式： 对表象的理解: (1) 状态ψ : 态矢量
(4.1-13)
(2) Q表象: 坐标系 (无限维希耳伯特空间)。
(3) 本征函数: (4) 基矢量的分量。
坐标系的基矢量。 是态矢量ψ 在表象中沿各
态矢 在 表象基矢上的分量
构成了 在 表象中的
表示 ，由于
构成的空间维数可以是无穷的，甚至是不
故有：
内容小节
1、表象：量子力学中状态和力学量的具体表示方式 2、ψ(x,t) 态在动量表象中的表示：
其中： 3、ψ(x,t) 态在Q表象中的波函数是：
4、力学量F在Q表象中的表示 力学量F在Q表象中的表示是一个矩阵：
其中矩阵元： 算符在自身表象中是一个对角矩阵。
§4.3 量子力学公式的矩阵表述
量子力学4-1
∗ n
引入记号
Fnm h ∂ = ∫ u ( x )F x , um ( x )dx i ∂x
∗ n
4.2-4
4.2-3式改写为 式改写为
bn (t ) = ∑ Fnm am (t )
m
4.2-5
此式就是4.2-1式在 表象中的表示式。 式在Q表象中的表示式 此式就是 式在 表象中的表示式。
c ( p, t ) dp为Ψ ( x , t )所描写的态中测量粒子 动量的结果在
2
p → p + dp范围内的几率。 范围内的几率。
由上面讨论可知， 已知， 完全确定， 由上面讨论可知，若 Ψ ( x , t )已知， c ( p, t )完全确定，反之亦 中的波函数， 中的波函数。 中的波函数， c ( p, t )是同一状态在动量表象 中的波函数。
h ∂ ∑ bm (t )∫ u ( x )um ( x )dx = ∑ am (t )∫ u ( x )F x , i ∂x um ( x )dx m m
∗ n
4.2-2 4.2-3
h ∂ bn (t ) = ∑ ∫ u ( x )F x , um ( x )dxam (t ) m i ∂x
Ψ ( x , t ) = ∑ an (t )un ( x ) + ∫ aq (t )uq ( x )dx
∗ an (t ) = ∫ Ψ ( x, t )un ( x)dx ∗ aq (t ) = ∫ Ψ ( x, t )uq ( x)dx
n
4.1-14
∗ ∗ an (t )an (t ) + ∫ aq (t )aq (t )dq = 1 ∑ n
ˆ ˆ 表象的基； 任意算符Q的本征函数系 — —Q表象的基；
引入记号
Fnm h ∂ = ∫ u ( x )F x , um ( x )dx i ∂x
∗ n
4.2-4
4.2-3式改写为 式改写为
bn (t ) = ∑ Fnm am (t )
m
4.2-5
此式就是4.2-1式在 表象中的表示式。 式在Q表象中的表示式 此式就是 式在 表象中的表示式。
c ( p, t ) dp为Ψ ( x , t )所描写的态中测量粒子 动量的结果在
2
p → p + dp范围内的几率。 范围内的几率。
由上面讨论可知， 已知， 完全确定， 由上面讨论可知，若 Ψ ( x , t )已知， c ( p, t )完全确定，反之亦 中的波函数， 中的波函数。 中的波函数， c ( p, t )是同一状态在动量表象 中的波函数。
h ∂ ∑ bm (t )∫ u ( x )um ( x )dx = ∑ am (t )∫ u ( x )F x , i ∂x um ( x )dx m m
∗ n
4.2-2 4.2-3
h ∂ bn (t ) = ∑ ∫ u ( x )F x , um ( x )dxam (t ) m i ∂x
Ψ ( x , t ) = ∑ an (t )un ( x ) + ∫ aq (t )uq ( x )dx
∗ an (t ) = ∫ Ψ ( x, t )un ( x)dx ∗ aq (t ) = ∫ Ψ ( x, t )uq ( x)dx
n
4.1-14
∗ ∗ an (t )an (t ) + ∫ aq (t )aq (t )dq = 1 ∑ n
ˆ ˆ 表象的基； 任意算符Q的本征函数系 — —Q表象的基；
量子力学第四章 态和力学量表象
就是Ψ(x,t)所描写状态 在Q表象中的表示。
am * (t )an (t ) mn
mn
an * (t )an (t )
n
由此可知，| an| 2 表示 在Ψ(x,t)所描述的状态 中测量Q得Qn的几率。
写成 矩阵形式
a1(t )
共轭矩阵
a2(t)
a1(t)*
a2(t)* an(t)*
1 2
nlm,100
exp(
i
E1t
)
1 2
nlm,211
exp(
i
E2t)
Cnlm (t)
1 2
nlm,100
exp(
i
E1t
)
1 2
nlm,211
exp(
i
E2t)
C100(t)
C200 (t )
1 2
exp(
i
E1t )
0
C210 (t ) C211(t )
C211
（二）能量表象
选取能量算符的本征函数 n (x)作基底，则
(x,t) Cn (t) n (x)
n
其中
Cn (t)
n
(
x)
(x,
t
)dx
能量表象波函数
例如
在中心力场中，任意波函数
(r,,,t)
1 2
R10Y00
exp(
i
E1t)
1 2
R21Y11
exp(
i
E2t)
Cnlm (t) Rnl (r)Ylm ( ,) (r, ,,t)d
(t
)
0Leabharlann 1 2exp(i
E2t)
4.态和力学量的表象
例1：矢量 的性质(大小和方向)与所选的坐标系无关 直角坐标系： ，极坐标系： 例2：态Y描述的体系性质(能量、动量等)与所选的表象无关 A表象(un(x))：
B表象(vn(x)) ：
当描写态和力学量的时候，不用具体的表象，而用狄拉克引用的 一套与表象无关的符号，称为狄拉克符号(Dirac notation) 狄拉克符号中的态 普通情况：右矢(bra) 代表 ，左矢(ket) 代表 在坐标表象中： 在Q表象(un(x))中： 特殊情况：加入波函数符号或本征值或相应量子数，区别不 同的态，如
占有数表象
的本征值是n，对应的本征态是 ，该态表示n个能量为 的粒子，称 为粒子数算符 以 为基矢的表象称为占有数表象 占有数表象中的算符
占2/2
作业
4.1，4.2，4.3
作1/1
例：d势阱
普通的性方程
最适当的表象依赖于具体的问题
动2/2
算符的矩阵表示
Q的表象(只有分立本征值Qn，本征函数是un(x))下的算符
厄密算符在Q表象中的表示是厄密矩阵
算符Q在自身的表象中是对角矩阵——求解薛定谔方程
算1/2
Q的表象(只有连续本征值q，本征函数是uq(x))下的算符
态的表象
动量表象中，具有确定动量p'的波函数是以p为变量的d函数 例4：坐标表象中，位置固定的粒子(坐标x')波函数
坐标表象中，具有确定坐标x'的波函数是以x为变量的d函数 例5：动量表象中的坐标算符 动量表象中，动量算符就是自身 对易关系在不同的表象中都一样
量子力学4态和力学量的表象
(x,t) 2dx 1
C( p,t) 2dp 1
C( p,t) 2 dp 是 (x, t)所描写的态中测量粒子动量在 p dp
范围的几率.C( p, t)与 (x, t) 描述的是同样的态,C( p, t)
为在动量表象中的波函数。
2、推广到一般情况
在任意力学量 Q 的表象中，态的表示：(x,t)
的表象不同波函数形式也不同, 但它们描写同一态。
经典力学 矢量
( Ax , Ay , Az )
普通三维空间
特定坐标系 i , j,k
比较：
量子力学
态矢量
a1 (t) a2 (t)
an (t)
希尔伯特（Hilbert）空间
特定 Q 表象
本征函数 u1 (x), u2 (x), ,un (x),
A1 A2
R(
)
A1 A2
R(
)
cos sin
sin cos
R( ) 有什么性质？
det R 1
R~R RR~ 1 (真正交矩阵)
R R RR 1 幺正矩阵
同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。
二. 态的表象与表象变换
表象: 态和力学量的具体表示方式。
量子力学中，量子态可看成Hilbert空间一矢量。
a
1
(t
)
a2 (t)
an (t)
a
1
(t)a1 (t)
a2
(t)a2
(t)
对于即有分立谱又有连续谱的情况：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dx n
an (t) (un (x), (x,t))
aq (t) (uq (x), (x,t))
态和力学量的表象
§4.1 态的表象表示
1．坐标表象
ˆ 本征方程 以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。以一维的 x 坐标为例。算符 x
是
ˆδ ( x − x ′) = x ′δ ( x − x ′) x
本征函数是 δ ( x − x ′). 量子态ψ ( x ′, t ) 总可按 x 的本征函数系展开，得
它的共轭矩阵是
（4.1.10）
ψ + = (a1* (t ), a 2 * (t ), L a n * (t ), L)
归一化条件是
（4.1.11）
ψ +ψ = 1
(4.1.10)式是波函数ψ 在 Q 表象中的表示。 现在对上述态的表象表示作些说明：
（4.1.12）
① 对 希尔伯特空间，空间的维数等于完备、正交、归一的本征函数系中本征函数的个数，它可 以是有限维的，也可以是无穷维的，而且空间的基底既可以是个实向量也可以是个复函数。态矢量 是个复矢量。
§4.2
算符的表象表示
h ∂ ) 作用后变为另一波函数Φ ( x, t ) ， 即 i ∂x
ˆ 的本征态，满足 ②若ψ (r , t ) 刚好是 Q
r
ψ (r , t ) = a(t )u k (r )
由于 uk ( r ) 已归一，故有 a n (t ) = 1 ,代入(4 .1 .9)式，得
r
r
(4.1.13)
r
2
r * r a n (t ) = ∫ a (t )uk ( r )dr = a (t )δ nk
ˆ 表象中用相应的连续的列矩阵表示。 波函数ψ (r , t ) 在 Q
④ 总结上述 ，可以给出下述对应关系 量子态 ↔ 希尔伯特空间中的态矢量； 波函数 ↔ 态矢量在特定基底中的分量，可用列矩阵或用函数表示；
第十七讲 态的表象和算符的矩阵表示
Q2 0 0 Qn 0
Fnm
ˆ un * ( x ) Fum ( x )dx
ˆ [ un ( x )( Fum ( x )) * dx] * ˆ [ um * ( x ) Fun ( x )dx] *
~ Fmn * Fnm *
( F ) nm
所以厄密算符的矩阵 表示是一厄密矩阵。
（2）力学量算符在自身表象中的形式
( x , t )
C ( p, t ) p ( x )dp
C ( p, t ) * C ( p, t )dpdp p * ( x ) p ( x )dx
C ( p, t ) p * ( x ) ( x , t )dx
C ( p, t ) * C ( p, t )dpdp ( p p )
ˆ Qun ( x ) Qn un ( x )
结论：
算符在自身表象中是一 对角矩阵，对角元素就 是算符的本征值。
Q的矩阵形式
ˆ Qnm un * ( x )Qum ( x )dx Qm un * ( x )um ( x )dx Qm nm
Q1 0 Q 0
a (t )u ( x) a (t )u ( x)dq
q n
归一化则变为：
|an(t)|2 是在 Ψ(x,t) 态中测量力学量 Q 所得结果为 Qn 的几率；
a
n
a1 ( t ) a2 (t ) an (t ) a (t ) q
m
ˆ bm (t ) un * um ( x )dx [ un * F ( x , i x )um ( x )dx]am ( t )
量子力学专题--态的表象
（二）力学量表象
推广上述讨论： x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象， 因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力 学量 Q 表象。
问题
那末，在任一力学量Q表象中， Ψ(x,t) 所描写的态又如何表示呢？
（1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况
（1）具有分立本征值的情况
a2(t)
a1(t ) * a2 (t ) * an (t ) *
an
(t
)
an (t ) * an (t ) 1
n
（2）含有连续本征值情况
例如氢原子能量就是这样一种力学量，
即有分立也有连续本征值。
设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为：
Q1, Q2, ..., Qn, ..., q u1(x), u2(x), ..., un(x), ..., uq(x)
思考
• 力学量的表象如何表示？即算符在各种表 象下的表示。
量子力学 表象
基本矢量
不同表象波函数
→
u1(x), u2(x),..., un(x), ...
a1(t), a2(t),..., an(t), ...
量子状态Ψ(x,t)
态矢量
坐标系 不同坐标系的一组分量 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，
x → x + d x 范围内的几率。
|C(p,t)| 2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在
p → p + d p 范围内的几率。
Ψ(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。 Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。
第四章 态和力学量的表象
章 >> 第一节§4.1 态的表象一.矢量的表示矢量基矢是矢量在坐标系中的表示。
对另一坐标系,是矢量在坐标系中的表示，同一矢量在不同坐标系中表示有什么关系?有什么性质？(真正交矩阵)幺正矩阵同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。
二.态的表象与表象变换表象: 态和力学量的具体表示方式。
量子力学中，量子态可看成Hilbert空间一矢量。
, 是波函数和力学量在坐标表象中的表示，这种表示方法并不是唯一的。
（一）.态的表象1．特例动量本征函数组成完全基任意态利用：是所描写的态中测量粒子动量在范围的几率. 与描述的是同样波函数。
2推广到一般情况在任意力学量的表象中,态的表示：分立本征值：本征函数：是态中测量力学量所得结果为的几率。
为态在表象中的表示。
用矩阵表示：同一态可以在不同表象中用波函数来描写，所取的表象不同波函数形式也不同, 但它们描写同一态。
经典力学量子力学矢量态矢量普通三维空间希尔伯特（Hilbert）空间特定坐标系特定表象本征函数（二）态的表象变换态矢量在力学量的完备基下,即在表象下表象:另一力学量的完备基下,表象:二表象之间的的关系：左乘取标积,对积分即：矩阵表示幺正矩阵同一个量子态在表象中的不同表示的关系通过一幺正矩阵S相联系。
[证明]即：。
§4.2 力学量算符的矩阵表示与表象变换一.力学量的矩阵表示设一力学量作用于态得到另一态在坐标表象中在任一表象下本征值:两边左乘对积分利用正交归一性是算符在表象中的表示力学量算符为厄密算符: 即厄密算符在表象中的矩阵特点：利用厄密算符性质即即: 力学量算符的矩阵表示为厄密矩阵。
算符在自身表象的矩阵：算符在其自身表象中是一对角矩阵。
如具有连续本征值，本征函数为在坐标表象中例:求一维谐振子的坐标,动量及Hamilton量在能量表象中的矩阵表示。
[解]线性谐振子的能级为对应的能量本征函数，利用公式(1)(2)(3)二．力学量的表象变换力学量算符在表象中: 算符的本征函数在表象中: 算符的本征函数§4.3 量子力学中一些关系式的矩阵表示态矢量和力学量算符已用矩阵表示出来，也就是说态矢量和力学量算符在一确定的表象下可用矩阵表示。
§4 态和力学量的表象
1．平均值公式 将 Ψ ( x, t ) 按 Q 的本征函数展开，
Ψ ( x , t ) = ∑ a n (t )u n ( x)
n ∗ ∗ Ψ ∗ ( x, t ) = ∑ an ( t )u n (x ) n
(4.3.1a) (4.3.1b)
F = ∫ Ψ ∗ ( x, t ) F ( x,
h ∂ ) Ψ ( x, t ) dx i ∂x ∧ h ∂ ∗ = ∫ ∑ am (t ) u ∗ ( x ) F ( x, ) an (t ) u n ( x )dx m i ∂x mn
或简写为
F = Ψ + FΨ
(4.3.4)
2. 本征值方程
F ( x,
∧
h ∂ ) Ψ( x, t ) = λΨ ( x , t ) i ∂x
矩阵形式可由(4.2.7)式中令Φ = λΨ 得出
FΨ = λΨ
(4.3.5)
显示地写出为
F11 F21 M Fn1 M
F12 L F1n F22 L F2n M M Fn 2 L Fnn M L
(4.2.3)
引进记号
Fnm = ∫ u ∗ n ( x ) F (x ,
∧
h ∂ )u m ( x ) dx i ∂x
(4.2.4)
(4.2.3)可写为
bn ( t ) = ∑ Fnma m (t )
m
(4.2.5)
(4.2.5)就是(4.2.1)在 Q 表象中的表示，将它写为矩阵的形式
b1 ( t ) F11 b2 ( t ) F21 M =L bn ( t ) Fn1 M L F12 F22 L Fn2 L L F1m L F2m L L L Fnm L L L a1 ( t ) L a 2t ) L M L am ( t ) L M
量子力学(第四章)
5
③同一个态可以在不同的表象中表示，表象不 同一个态可以在不同的表象中表示， 波函数的形式也不同，但它们完全等价。 同，波函数的形式也不同，但它们完全等价。 坐标表象：ψ ( x, t ) 坐标表象： 动量表象： Φ ( p, t ) 动量表象：
RETURN
6
§ 4.2
算符的矩阵表示
一、算符在一般表象中的表示 二、算符在自身表象中的表示 三．算符表示矩阵的性质
H mn ˆ ψ dx = E ψ *ψ dx = (n + 1 )hω δ = ∫ψ m H n n∫ m n mn 2
*
1 2 0 ( H mn ) = 0 M
0 3 2 0 M
0 0 L 0 0 L hω 5 0 L 2 M M M
∫u
* m
un dτ = δ mn
3
可知量） 任何一个态ψ （可知量）可按该基矢展开
ψ = ∑ anun
* 展开系数 an (t ) = ∫ψ un dτ 上的投影, 其中 a n 是矢量ψ 在基 un 上的投影,这一 组数 (a1, a2 ,L, an ,L)就是矢量 ψ 在Q表象中的表 示,记为一矩阵形式
† Fmn = Fnm* = Fmn
F† = F
结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。 结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。
12
[例题] 求一维谐振子的坐标 ，动量 及哈密顿 例题] 求一维谐振子的坐标x，动量p及哈密顿 在能量表象中的矩阵表示。 量H在能量表象中的矩阵表示。 在能量表象中的矩阵表示 [解 ] 利用厄米多项式的递推关系 xmn = ∫ψ m* xψ n dx
n
a1 (t ) a 2 (t ) ψ = M a n (t ) M
第四章态和力学量的表象用优品ppt
组成 完备系
任一状态 可按其展开： 展开系数
(r,t)(21)3/2 C(P,t)eiPrd3P
构成付 里叶变
C(P,t)(21)3/2 (r,t)eiPrd3r
换与逆 变换
从数学上讲，知道其一, 必可唯一地求出另一。
从物理角度看，(r,t) 描述粒子状态，那么C (P,t)
也可用于描述粒子同一状态。
Hilbert空间：满足态迭加原理的状态全体构成的复 线性空间
态矢量： Hilbert空间中的矢量，即体系的状态波 函数视为一个矢量称为态矢量（简称态矢）
注意： 由于波函数必须归一化，因而态矢的大小一 定，不同的态矢只是方向不同。
力学量算符 Q ˆ的正交归一完备函数系 { un (x) }
构成Hilbert空间中的一组正交归一完备基底。
值的几率
§4.1 态的表象（续５）
归一化条件 (r,t)2d3r1
an (t) 2 1
n1
(q,t)(q,t)1 （归一化条件的矩阵
表述形式）
注 以上讨论可推广到 Q 有连续谱的情况。
Ex.1. 粒子处于一维无限深势阱的基态：
1x
2sinx
aa
0xa
求该态在动量和能量表象中的表示形式。
§4.1 态的表象（续６）
上的投影。 3．选取不同力学量表象，就是选取不同完备正交基
底，态矢的表述具有不同矩阵形式，这就是态的不同 表象波函数。
§4.1 态的表象（续１5）
作业
４．１ ４．２
4.2 算符的矩阵表示
力学量算符在坐标表象与动 量表象中的表示
坐标表象
xˆ x
Pˆ x i
x
动量表象
xˆ i p x
4.1态的表象
是态矢量Ψ 是态矢量 Ψ 在 Q 表象中沿各基矢方 向上的“ 分量” 向上的 “ 分量 ” 。 Q 表象的基矢有 无限多个， 无限多个，所以态矢量所在的空间 是一个无限维的抽象的函数空间， 是一个无限维的抽象的函数为Hilbert空间。
则可证
1 = ∫ Ψ*(x, t)Ψ(x, t)dx = ∫ C( p, t)*C( p, t)dp
(4.1-4)
C(p,t) 物理意义
|Ψ(x,t)| 2d x 是在Ψ(x,t)所描写的状态中， 测量粒子的位置所得结果在 x → x + d x 范 围内的几率。 |C(p,t)| 2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测 是在Ψ(x,t)所描写的状态中， Ψ(x,t)所描写的状态中 量粒子的动量所得结果在 p → p + d p 范围内 的几率。 的几率。
=
∑∑
m n
a m * ( t ) a n ( t )δ mn
=
∑
n
a n * ( t )a n ( t )
(4.1-9)
由此可知， Ψ(x,t)所描述的状态 由此可知，| an| 2 表示 在Ψ(x,t)所描述的状态 中测量Q 的几率。 中测量Q得Qn的几率。
ˆ a n ( t ) : Q 取 Q n的 几 率 。
( 4 . 1 2 )
1
+∞
−
i p ⋅r ℏ
(4.1-3)
dp
Ψ( x, t) =
∫
C ( p , t )ψ p ( x )dp
展开系数
C ( p, t ) = ∫ ψ p * ( x )Ψ ( x , t )dx
假设 Ψ(x,t) 是归一化波函数， 是归一化波函数， 也是归一。 则 C(p,t) 也是归一。
4.1态的表象
第四章 态和力学量的表象量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。
§4.1 态的表象一． 动量表象在坐标表象中，动量的本征函数()()px i p e x 2121πψ= （4.1.1）根据展开假定，任意状态()t x ,ψ可以按()()px i p e x 2121πψ=展开：()()()dp x t p c t x p ψψ⎰=,, （4.1.2）()()()dx x t x t p c p ∙⎰=ψψ,, （4.1.3）设()t x ,ψ是归一化的波函数，则可以证明；()()1,,22==⎰⎰dp t p c dx t x ψ （4.1.4）()t x ,ψ和()t p c ,描写的是同一状态。
()t x ,ψ是坐标表象中的描述；()t p c ,是在动量表象中的描述。
如果()t x ,ψ所描写的是具有动量为p '的自由粒子的状态，即()()t E i p p e x t x '-'= ψψ,；则()()()()t E i p t E i p P P e p p dx x ex t p c ''-∙-'-'==⎰ δψψ, （4.1.5）所以，在动量表象中，粒子具有确定动量p '的波函数是以动量p 为变量的δ函数。
同样，在坐标表象中，对应于确定值x '的本征函数是()x x '-δ。
坐标算符x 的本征值方程为 ()()x x x x x x '-'='-δδ （4.1.6）二． Q 表象中设Q 具有分立的本征值， ,,,,21n Q Q Q 。
对应的本征函数是()()() ,,,,21x u x u x u n 。
任意状态()t x ,ψ按Q 的本征函数展开 ()()()x u t a t x n nn ∑=,ψ （4.1.7）()()()dx x u t x t a n n ∙⎰=,ψ （4.1.8） 设()t x ,ψ已归一化，()()()()()()()()()∑∑∑⎰⎰====∙∙∙∙n n nm nm m n n m n m n m t a t a t a dx x u x u t a t a dx x x 21δψψ ()12=∑nn t a （4.1.9） 而数列()()() ,,,,21t a t a t a n （4.1.10） 就是()t x ,ψ在Q 表象中的表示。
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量子力学 表象
基本矢量
不同表象波函数
→
u1(x), u2(x),..., un(x), ...
a1(t), a2(t),..., an(t), ...
量子状态Ψ(x,t)
态矢量
坐标系 不同坐标系的一组分量 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，
同样
x 在自身表象即坐标表象中对应
有确定值 x’本征函数是
δ(x'-x)。
这可由本征 值方程看出：
所以，在动量表象中， 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量
p为变量的δ- 函数。
换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 个δ函数。
x ( x x) x ( x x)
所以
x ( x) ( x x)
u1(x), u2(x), ..., un(x), ... 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
波函数
a1 (t )
a2(t)
an(t)
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方 向上的“分量”。Q表象的基矢有 无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空 间，称为Hilbert空间。
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...，
相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开：
(x, t) an(t)un( x)
n
若Ψ, un都是归一化的，
则 an(t) 也是归一化的。
证：
1 *( x, t)( x.t)dx
动量表象 C(p,t)=δ(p'-p)exp[-iE't/] C(p)=δ(p'-p)
pδ(p'-p)=p'δ(p'-p)
这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量 A在直角坐标系由三分量Ax Ay Az 描述； 在球坐标系用三分量Ar A A 描述。 Ax Ay Az 和 Ar, A, A 形式不同，但描写同一矢量A。
an (t ) un * ( x )( x, t )dx
aq (t ) uq * ( x )( x, t )dx
则
(x, t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq
n
归一化则变为：
an *(t)an (t) aq *(t)aq (t)dq 1 n
|an(t)|2 是在 Ψ(x,t) 态中测量力学量 Q 所得结果为 Qn 的几率；
（二）力学量表象
推广上述讨论： x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象， 因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力 学量 Q 表象。
问题
那末，在任一力学量Q表象中， Ψ(x,t) 所描写的态又如何表示呢？
（1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况
（1）具有分立本征值的情况
an(t) un *(x)(x.t)dx
a1(t), a2(t), ..., an(t), ...
[ am (t)um ( x)]* an(t)un( x)dx
m
n
am * (t )an (t ) um * ( x)un ( x)dx
mn
就是Ψ(x,t)所描写状态 在Q表象中的表示。
在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵 表示：
|aq(t)|2dq 是在Ψ(x,t) 态中
a1 (t )
测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。
a2(t)
a1(t)*
a2(t)*
an(t)*
a
n
(
t
)
归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1
aq (t )
aq (t ) *
am * (t )an (t ) mn
mn
an * (t )an (t )
n
由此可知，| an| 2 表示 在Ψ(x,t)所描述的状态 中测量Q得Qn的几率。
写成 矩阵形式
a1(t )
a2(t)
an(t)
共轭矩阵
a1(t)* a2(t)* an(t)*
归一化可写为
a1(t )
波函数也可以选用其它变量的函数， 力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。
表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。
以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。
（一）动量表象
在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如 何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。
第四章 态和力学量的表象
§1 态的表象
到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数 表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学 量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式 在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标 系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、 柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。
思考
• 力学量的表象如何表示？即算符在各种表 象下的表示。
（三）讨论
同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同， 波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。
动量本 征函数
不含时 动量本 征函数
本征 方程
坐标表象 Ψp'(x,t)=[1/(2π)]1/2exp[i(p'x-E't)/] ψp'(x)= [1/(2π)]1/2 exp[ip'x/]
p ψp'(x)=p'ψp'(x)
动量本征函数：
p(x)
1 e ipx /
2
组成完备系，任一
命题
假设 Ψ(x,t) 是归一化波函数， 则 C(p,t) 也是归一。
证
1 *( x, t)( x, t)dx
状态Ψ可按其展开
展开系数
[ C( p, t) p ( x)dp]*[ C( p, t) p( x)dp]dx
( x, t) C( p, t) p ( x)dp C( p, t) p *( x)( x, t)dx
x → x + d x 范围内的几率。
|C(p,t)| 2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在
p → p + d p 范围内的几率。
Ψ(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。 Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。
若Ψ(x,t) 描写的态是具有确 定动量 p’ 的自由粒子态，即：
则相应动量表象中的波函数：
( x, t ) p ( x)e iE pt /
p 2
E p 2
C( p, t) p * ( x)( x, t )dx p * ( x) p ( x)eiE pt /dx
eiE pt / p * ( x) p ( x)dx e iE pt / ( p p)
a2(t)
a1(t ) * a2 (t ) * an (t ) *
an
(t
)
an (t ) * an (t ) 1
n
（2）含有连续本征值情况
例如氢原子能量就是这样一种力学量，
即有分立也有连续本征值。
设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为：
Q1, Q2, ..., Qn, ..., q u1(x), u2(x), ..., un(x), ..., uq(x)
C( p, t)*C( p, t)dpdp p *( x) p( x)dx C( p, t)*C( p, t)*C( p, t)dp
C(p,t) 物理意义
|Ψ(x,t)| 2d x 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在