全国高考数学复习微专题：传统不等式的解法
高考数学不等式的解法知识点
高考数学不等式的解法知识点高考数学不等式的解法知识点在年少学习的日子里，大家都背过各种知识点吧？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢？以下是店铺帮大家整理的高考数学不等式的解法知识点，仅供参考，希望能够帮助到大家。
不等式的解法：(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对进行讨论：(2)绝对值不等式：若，则 ; ;注意：(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。
(3).含有多个绝对值符号的不等式可用按零点分区间讨论的方法来解。
(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;(5)不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
(6)解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为 (或更多)但含参数，要讨论。
不等式与不等式组1.定义：用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
2.性质：①不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号方向不变。
②不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
③不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
3.分类：①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
不等式的解法和应用
不等式的解法和应用不等式的解法和应用是数学中的重要内容，尤其在奥数中更是常见。
以下是关于不等式解法和应用的一些知识点：不等式的解法1.图像法：通过绘制不等式所代表的图形，在数轴上表示出不等式的解集。
这种方法直观易懂，尤其适用于一元一次不等式。
2.代数法：通过代数运算，如移项、合并同类项、因式分解等，将不等式化为标准形式，然后确定解集。
这种方法适用于各种类型的不等式。
不等式的应用1.最值问题：不等式在求最值问题中有广泛应用。
例如，在给定条件下，求某个表达式的最大值或最小值。
这类问题通常涉及到基本不等式的应用，如均值不等式、柯西不等式等。
2.比较大小：不等式可以用于比较两个数或表达式的大小。
例如，在比较分数大小时，可以通过通分、化简等方法将问题转化为不等式求解。
3.实际应用：不等式在日常生活和实际应用中也有广泛的应用。
例如，在经济学中，可以用不等式来描述资源的分配问题；在物理学中，可以用不等式来描述物体的运动规律等。
常见的不等式类型1.一元一次不等式：形如ax + b > 0（或< 0）的不等式，其中a 和b 是常数，a ≠ 0。
2.绝对值不等式：形如|x| < a（或≤ a）的不等式，其中a 是常数。
3.分式不等式：形如(ax + b) / (cx + d) > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c、d 是常数，且c ≠ 0。
总之，不等式的解法和应用涉及的知识点非常广泛，需要系统学习和掌握。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的解法和方法。
常见不等式的解法知识点总结
常见不等式的解法知识点总结一、基本不等式性质：1.改变不等式方向：对于不等式a<b，如果将两边同时取反，即将其转化为-a>-b，不等式方向会改变。
2.加减同一个数：对于任意实数a，b和c，如果a<b，那么a+c<b+c；如果a>b，那么a-c>b-c。
3.乘除同一个正数：对于任意正数a，b和c，如果a<b，那么a*c<b*c；如果a>b，那么a/c>b/c。
但是，当乘除同一个负数时，不等号方向会反转。
4.取倒数：当一个不等式两边同时取倒数时，不等号的方向会改变。
二、一元一次不等式的解法：1. 用常数计算法：对于形如 ax+b>0 或 ax+b<0 的一元一次不等式，我们可以先计算出 a 的正负性或者大小关系，然后根据 a 的正负性或者大小关系，确定不等式的解集。
2. 画数轴法：对于形如 ax+b>0 或 ax+b<0 的不等式，我们可以在数轴上画出关于 x 的对应的一次方程的解集，然后根据不等号的方向，确定不等式的解集。
3.分析法+图解法：对于一元一次不等式，我们可以通过手工计算和图解的方法，找出不等式的解集。
三、一元二次不等式的解法：1. 变形法：对于形如 ax^2+bx+c>0 或 ax^2+bx+c<0 的一元二次不等式，我们可以通过变形，将其转化为一元二次方程的解法。
首先，我们将不等式转化为一元二次方程，然后通过求解一元二次方程的解来确定不等式的解集。
2. 区间取值法：对于形如 ax^2+bx+c>0 或 ax^2+bx+c<0 的一元二次不等式，我们可以使用区间取值法。
首先，我们求出一元二次函数的零点，然后根据一元二次函数的开口方向和零点的位置，确定不等式的解集。
四、绝对值不等式的解法：1.绝对值的定义：首先，我们需要了解绝对值的定义，即，x，表示x的绝对值，其定义如下：当x≥0时，x，=x；当x<0时，x，=-x。
高考数学必考之传统不等式的解法
高考数学必考之传统不等式的解法一、基础知识1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图像，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图像与x 轴的交点 2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画。
如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观察图像，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分 ()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式 3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠ （3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()0f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式 （1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解： ① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同 ② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理 5、指对数不等式的解法：（1）先讲一个不等式性质与函数的故事在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：a b a c b c >⇒+>+，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上c ），将相同的变换视为一个函数，即设()f x x c =+，则()(),a c f a b c f b +=+=，因为()f x x c =+为增函数，所以可得：()()a b f a f b >⇔>，即a b a c b c >⇒+>+成立，再例如：0,0,c ac bca b c ac bc >>⎧>⇒⎨<<⎩，可设函数()f x cx =，可知0c >时，()f x 为增函数，0c <时，()f x 为减函数，即()()()()0,0,c f a f b a b c f a f b >>⎧⎪>⇒⎨<<⎪⎩ 由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中的一种基本关系符号，用于表示两个数的大小关系。
解不等式就是找到使不等式成立的数值范围，即满足不等式条件的数值。
在解不等式时，我们需要注意不等式的不同类型，包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。
下面将分别介绍这些类型不等式的解法。
一元一次不等式的解法：一元一次不等式的一般形式为：ax + b > c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
我们可以按照以下步骤来解一元一次不等式：1. 将不等式转化为等价的形式，即去掉不等号，得到ax + b = c。
2. 根据已知条件和不等式的类型，确定不等号方向。
3. 利用正、负数的性质，将不等式中的未知数系数与常数项分离，得到x > c/a的形式。
4. 根据解集的要求，确定解的范围，即x的取值范围。
一元二次不等式的解法：一元二次不等式的一般形式为：ax^2 + bx + c > 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一元二次不等式的一种常用方法是利用因式分解和区间判断法，具体步骤如下：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax^2 + bx + c = 0。
2. 根据已知条件和不等式的类型，确定不等号方向。
3. 利用因式分解将二次项拆解，得到(x + m)(x + n) > 0的形式。
4. 根据区间判断法，确定(x + m)(x + n)的符号性质，并绘制出二次函数的图像。
5. 根据二次函数图像和解集的要求，确定不等式的解集。
绝对值不等式的解法：绝对值不等式的一般形式为：|ax + b| > c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解绝对值不等式的一种常用方法是利用绝对值的性质和分情况讨论，具体步骤如下：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax + b > c或ax + b < -c。
2. 将不等式分为两种情况讨论：- 当ax + b > c时，得到ax + b - c > 0的形式，利用绝对值的非负性质得到ax + b - c = ax + b - c > 0，即ax + b - c = ax + b > c。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中的一种重要的关系，用于描述数值之间的大小关系。
解不等式是找到使得不等式成立的数的范围。
在解不等式的过程中，我们需要运用一些基本的不等式性质和方法。
本文将介绍常见的不等式类型以及相应的解法。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单也是最基本的一类不等式。
一元一次不等式的一般形式为ax + b > 0（或ax + b < 0），其中a和b是已知的实数，x是未知数。
对于一元一次不等式ax + b > 0（或ax + b < 0）而言，我们需要找到x的取值范围使得不等式成立。
解决这类不等式的基本思路是将其转化为等价的方程，并找出使得方程成立的x的取值范围。
例如，对于不等式2x + 3 > 0，我们可以将其转化为等价的方程2x+ 3 = 0，然后解这个方程，得到x = -1.5。
由于方程的根是-1.5，此时不等式成立。
因此，不等式2x + 3 > 0的解集为x > -1.5。
二、一元二次不等式一元二次不等式是包含一元二次函数的不等式。
一元二次不等式的一般形式为ax^2 + bx + c ≥ 0（或ax^2 + bx + c ≤ 0），其中a、b、c是已知的实数，x是未知数。
要解决一元二次不等式，我们首先需要确定函数的零点。
通过求出函数的根及其对应的函数值，可以得到函数在不同区间上的符号。
根据函数值的符号，我们可以确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 4 > 0，我们可以通过将其转化为等价的方程x^2 - 4x + 4 = 0，并解这个方程得出x = 2。
由于该方程只有一个根且为重根，函数在x = 2的值等于零。
因此，函数在x < 2和x > 2两个区间上的值不为零，不等式成立。
因此，不等式x^2 - 4x + 4 > 0的解集为x < 2或x > 2。
三、绝对值不等式绝对值不等式是包含绝对值函数的不等式。
不等式的解法及知识点
不等式的解法及知识点
不等式解法有哪些？对此想了解不等式的朋友可以来看看，下⾯由店铺⼩编为你准备了“不等式的解法及知识点”，仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的内容资讯！
不等式的解法及知识点
不等式的解法
不等式的解法：1、找出未知数的项、常数项，该化简的化简。
2、未知数的项放不等号左边，常数项移到右边。
3、不等号两边进⾏加减乘除运算。
4、不等号两边同除未知数的系数，注意符号的改变。
不等式知识点
拓展阅读：不等式的基本性质
1.如果x>y，那么y<X;如果Yy;(对称性)
2.如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)
3.如果x>y，⽽z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同⼀个整式，不等号⽅向不变;
4.如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以(或除以)同⼀个⼤于0的整式，不等号⽅向不变;
5.如果x>y，z<0，那么xz<YZ, p 即不等式两边同时乘以(或除以)同⼀个⼩于0的整式，不等号⽅向改变;
6.如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;
7.如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;
8.如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)，x的n次幂<Y的N次幂(N为负数)。
高考数学复习 第七章 第二节 不等式的解法课件 理
【例2】 设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围； (2)若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围. [解题指导](1)对于x∈R，f(x)<0恒成立，可转化为函数f(x)的图象 总是在x轴下方，可讨论m的取值，利用判别式求解. (2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处 理方法：方法一是利用二次函数区间上的最值来处理；方法二是 先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般方法二比较简单.
不等式组xx－ －ab>>00，或xx－－ab<<00，；
一 元 二 次 不 等 式 (x － a)(x － b)<0
可
以
转
化
为
x－a>0， x－b<0
或
x－a<0， x－b>0.
这样就将一个一元二次不等式问题化归为一个一元一次不等式组
问题.
x－a (2)x－b>0
型不等式的解法：
不等式xx－ －ab>0 与(x－a)(x－b)>0 同解；
c>0(a>0)的解集
x<x1}
xx≠－2ba
_R_
ax2 ＋ bx ＋
c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}
∅
_∅_
知识点二 其它类型不等式的解法
(x－a)(x－b)>0 型和xx－－ab>0 型不等式的解法
(1)(x－a)(x－b)>0 型不等式的解法：
一元二次不等式(x－a)(x－b)>0 可以转化为一元一次
②当 a>1 时，1a<1，所以(*)⇒1a<x<1； ③当 0<a<1 时，1a>1，所以(*)⇒1<x<1a. 综上所述：当 a<0 时，解集为xx<1a，或x>1； 当 a＝0 时，解集为{x|x>1}； 当 0<a<1 时，解集为x1<x<1a； 当 a＝1 时，解集为∅；当 a>1 时，解集为x1a<x<1
高中数学——“不等式的解法”归类专题(参考)
“不等式的解法”专题一．整式不等式的解法步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解1. 一元一次不等式ax >b 解的讨论： 当a>0时解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,a b ，当a<0时解集为,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭当a=0且b<0时解集为R ，当a=0且b ≥0时，解集为Φ；2. 一元二次不等式我们总可化为ax 2+bx+c>0和ax 2+bx+c+<0(a>0)两形式之一，记△=b 2-4ac 。
跟踪训练1.若01,a <<则不等式()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解是 2. x 的取值范围是3. 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．4.解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()二．分式不等式的解法先移项通分化为一边为()()f xg x ，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式，即： ()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩跟踪训练 1.下列不等式与012≤+x x同解的是（ ） (A)01≤+xx (B)0)1(≤+x x (C) 0)1lg(≤+x (D)21|1|≤+x x 2. 不等式x x<1的解集为 .3. 不等式1213≥--xx 的解集为（ ） (A){x |43≤x ≤2} (B) {x |43≤x <2} (C) {x |x >2或x ≤43} (D){x |x ＜2} 4. 不等式21≥+x x的解集为 .5.解不等式237223x x x -≥+- 巩固训练不等式(x －2)2·(x －1)>0的解集为 . 不等式(x ＋1) ·(x －1)2≤0的解集为 .1. 不等式(x 2－2x －3)(x 2－4x +4)<0的解集为（ ） A .{x | x <－1或x >3} B .{x | －1<x <3}C .{x | x <－3或x >1}D .{x | －1<x <2或2<x <3} 2.与不等式023≥--xx 同解的不等式是 （ ） A.(x －3)(2－x )≥0 B.lg(x －2)≤0 C.032≥--x xD.(x －3)(2－x )>0 3.不等式12x x-≥的解集为（ ） A. [1,0)- B. [1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1](0,)-∞-+∞U含绝对值的不等式1.应用分类讨论思想去绝对值；2.应用数形结合思想；3.应用平方法（要求不等式两端同号）基础训练1. 不等式|8－3x|＞0的解集是（ ）A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 2.不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）.C. (4,0)-D. (4,2)(0,2)--U3. 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为指数、对数不等式的解法解指数、对数不等式的一些常用方法：（1） 同底法：能化为同底数先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底是参数时要注意分类讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件 （2） 转化法：多用于指数不等式，通过两边取对数转化为对数不等式（3） 换元法：多用于不等式两边均有统一的组合形式，或取对数后再换元，注意所换“元”的范围 （4） 数形结合 基础训练 1. 不等式2261xx +-<的解集为2.不等式1(33>的解集为 3. 不等式2log (2)0x -≤的解集为 4.函数()f x =为5. 不等式20.20.2log (23)log (31)x x x +->+的解集为6. 不等式0.51log x x ->的解集为 巩固训练 1.已知当94x =时，不等式22log (2)log (23)a a x x x x -->-++成立，则不等式的解集为 2.设1232,(2)()log (1),(2)x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 3. 已知集合22{228,},{log 1,}x A x x Z B x x x R -=≤≤∈=>∈，则()R A C B ⋂的元素个数为_____个5 若关于x 的方程2222x xxxa ---=+有解，求实数a 的取值范围6 已知0,1a a >≠，若2log 2log a a <，求实数a 的取值范围不等式解法六种典型例题典型例题一（整式不等式） 例1. 解不等式：（1）015223>--x x x ； （2）0)2()5)(4(32<-++x x x说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”。
高中数学知识点不等式的性质及解法
高中数学知识点不等式的性质及解法高中数学中，不等式的性质及解法是一个重要的知识点。
它涉及到不等式的基本性质、不等式的加减乘除、不等式的等价变形以及一元一次不等式、一元二次不等式等不等式类型的解法。
下面将详细介绍不等式的性质及解法。
一、不等式的性质1.两边加减同一个数不等号方向不变。
2.两边乘除同一个正数不等号方向不变，同一个负数不等号方向改变。
3.如果两个不等式成立，则它们的和、差、乘积、商仍然成立。
4.如果两个不等式的符号方向相反，求和时不等式方向不确定，求差时等式方向不确定，求积时反而求商时等式方向相反。
5.无论何时，两边加上相等的数，不等式的大小不变。
二、一元一次不等式对于一元一次不等式，常规的解法是将其转化为等价的不等式进行求解。
具体步骤如下：1. 化简：将不等式中的所有项移到一边，化简为标准形式ax+b<0或ax+b>0。
2.等价变形：根据不等式的性质，进行乘除法或加减法，将不等式变形为更简单的形式。
3.解不等式：根据等价变形后的不等式，确定x的取值范围。
三、一元二次不等式对于一元二次不等式，可以利用抛物线的性质进行求解。
具体分为以下几种情况：1.一元二次不等式的根在抛物线的两侧，此时，可以通过求解抛物线与x轴的交点来确定不等式的解集。
2.一元二次不等式的根在抛物线上，此时，可以通过根的位置确定抛物线在不等式中的符号。
3.一元二次不等式的根在抛物线的一侧，此时，可以根据抛物线的开口方向来确定不等式的解集。
四、综合应用在实际问题中，不等式的应用非常广泛，比如在经济学、物理学、生物学等领域中的一些实际问题往往可以转化为不等式进行求解。
这时候，除了要掌握不等式的基本性质和解法外，还需要注意问题的本质，合理进行变量的定义和范围的确定。
综上所述，不等式的性质及解法在高中数学中占据很重要的地位。
掌握不等式的基本性质，熟悉不等式的加减乘除运算，能够灵活运用不等式的等价变形以及一元一次不等式、一元二次不等式的解法，对于提高解题能力和培养数学思维都非常有帮助。
高考数学冲刺攻略不等式的解法与证明
高考数学冲刺攻略不等式的解法与证明高考数学冲刺攻略：不等式的解法与证明高考数学中，不等式是一个重要的考点，其解法与证明在解题中常常发挥关键作用。
在高考冲刺阶段，掌握不等式的解法与证明技巧，对于提高数学成绩至关重要。
一、不等式的基本性质在学习不等式的解法之前，我们先来回顾一下不等式的基本性质：1、对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a 。
2、传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c ，则 a ＞ c 。
3、加法性质：若 a ＞ b，则 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
4、乘法性质：若 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；若 a ＞ b 且 c ＜0 ，则 ac ＜ bc 。
这些基本性质是我们解决不等式问题的基础，必须牢记于心。
二、一元一次不等式的解法一元一次不等式的一般形式为 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中 a ≠ 0 ）。
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但需要注意不等式两边乘以或除以负数时，不等号方向要改变。
例如，解不等式 2x 5 ＞ 7 ，首先将常数项移到右边得到 2x ＞ 12 ，然后两边同时除以 2 ，得到 x ＞ 6 。
再比如，解不等式－3x ＋ 4 ＜ 10 ，先移项得到－3x ＜ 6 ，由于系数－3 为负数，所以两边同时除以－3 时，不等号方向改变，得到 x ＞－2 。
三、一元二次不等式的解法一元二次不等式的一般形式为 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c＜ 0 （其中a ≠ 0 ）。
解一元二次不等式的关键是求出对应的一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c＝ 0 的根。
我们可以通过判别式Δ ＝ b² 4ac 来判断方程根的情况：当Δ ＞ 0 时，方程有两个不同的实根 x₁和 x₂，此时不等式的解集在“两根之外”或“两根之间”，具体取决于不等式的符号。
当Δ ＝ 0 时，方程有一个重根 x₀，不等式的解集为x ≠ x₀。
高三数学艺术生数学复习资料：不等式的解法全国通用
不等式的解法2009-9-24一、不等式的性质： a>b ⇔a+c>b+c ；c>0时，a>b ⇔ac>c ；c<0 时a>b ⇔ac<bc 二、解不等式的本质及方法：三、不等式解法举例：1、一元一次不等式：练习1：解关于x 的不等式01>-mx 。
2、一元二次不等式:（请自己总结求解步骤） （1）设a>0，方程ax 2+bx+c=0的两个根为x 1,x 2 (x 1> x 2)，则不等式ax 2+bx+c>0的解集为{x| x>x 1, 或x< x 2} 不等式ax 2+bx+c<0的解集为{x| x 2< x<x 1} （2）利用二次函数的图像求解。
练习2：解不等式（1）06x x 2<-- （2）0322>+--x x（3）0222>+-x x （4）022<++x x练习2：已知不等式ax 2+bx+c>0的解集为｛x|1<x<3｝,则不等式cx 2+bx+a<0的解集为练习3：若不等式0222>+-ax ax 恒成立，则a 的取值X 围是。
3、含绝对值的不等式：设a>0，则不等式｜x|>a 的解集为｛x|x>a,或x<-a ｝； 不等式｜x|<a 的解集为｛x| -a< x<a ｝ 练习4：解不等式（1）1≤|2x+5|<7 （2）2||2<-x x （3）|||1|x x >-4、分式不等式：（转化为整式不等式）（1）()()()()00f x f x g x g x >⇔⋅>（2）()()()()()00f x g x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ 练习5：解不等式 （1）302x x -≥-（2）2113x x ->+ （3）132132>+-+x x x四、巩固练习1、不等式1-|1-2x|>0的解集是 （） A.{x|0<x<1}B.{x|-1<x<1}C.{x|0<x<2} D.{x|-1<x<2}2、不等式2-x-x 2≤0的解集是 （） A.{-2<x<1} B.{x|-2≤x ≤1}C.{x|x<-2,或x>1} D.{x|x ≤-2,或x ≥1} 3、不等式311<+<x 的解集为（ ）（A ）()2,0 （B ）())4,2(0,2 - （C ）()0,4- （D ）())2,0(2,4 --4、不等式012262≥---x x x 的解集是 （） (A)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥<≤-23212|x x x 或(B)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-≤23212|x x x 或 (C)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-≤22123|x x x 或(D)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-232|x x 5、已知2|32|≤-x 的解集与{}0|2≤++b ax x x 的解集相同，则 （）(A)45,3-==b a (B)45,3=-=b a (C) 45,3==b a (D)417=+b a6、关于x 的不等式x 2-(m+2)x+2m+1>0的解集是R ，则实数m 的取值X 围（ ） A.m<0,或m>4 B.0<m<4C.m ∈R D.m ∈Ф7、函数y=lg(2x －x 2)的定义域是 （ ）A ．（0，2）B ．[0，2]C ．（－∞，0）∪（2，+∞）D ．（－∞，0）∪)2[∞+，8、如果log a 3＞log b 3＞0，那么a ，b 之间的关系是 （ ） A ．0＜a ＜b ＜1 B ．1＜a ＜b C ．0＜b ＜a ＜1 D ．1＜b ＜a 9、不等式x 2+3x+2<4x+14的解集是_____________。
高三数学一轮复习——不等式的解法3
1 • x 2 • (5 − x 2 ) < 1 4
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{
(5 − x ) x > 0
2 2
等价吗？ 等价吗？
{x
1 2 2 • x • (5 − x ) < 1 4
{
5 − x2 > 0
2 2 2
且
x≠0
( x ) − 5x + 4 > 0
− 5<x<0
2
{ x < −2
∴ 数轴
− 5< x<0
t > 8或 t < −
5
x +1
+ 256 < 5 • (2 )
所以原不等式的解 集为：
{x
x > 2}
(舍去)
2 x +1 > 8 = 23
x +1 > 3
∴
x>2
想一想，你能不能解出来？
例4:解不等式：
1 log 1 (5 − x ) + log 2 2 + 2 > 0 x 2
2
或
1 log 2 5 − x2
log a x − 1 > 3 − log a x
解:
（a>0,且a≠1) 且
{ {
原不等式等价于:
3 − loga x ≥ 0
或
log a x − 1 > (3 − log a x) 2 ∴ log a x > 2 2 3 − log x < 0 即: log a x > log a a
∴2 < log a
不等式的解法3 不等式的解法
无理不等式，指数、对数 无理不等式，指数、 不等式的解法
不等式的解法
不等式的解法不等式的解法数学基础中常见的课题。
在学习数学的过程中，熟练掌握不等式的解法，对于研究多类型问题及深层次的分析具有重要的意义。
不等式是一类比较性语句，它表达的是两个数之间的大小关系。
不等式的求解可以分为四个基本步骤：1. 不等式转换：一般形式的不等式可以转换成简单的不等式，以减少求解的难度。
2.解不等式：理解不等式的性质，根据不等式的表达式，推断不等式的左右两端的关系，如大于等于、小于等于等。
3.解不等式：根据不等式表达式，采用结合律、交换律、分配律和逆乘法等来进行求解。
4.论解集：根据不等式双边解集的关系，求出不等式的解集，并作出对应表示法。
不等式的求解方法多种多样，在不同类型的不等式解法中有不同的方法可以采用，比如变量消去法、代数运算法、分段求解法等，每种方法都有其特殊之处，在实际解决问题时可以根据具体的问题情况，选择合适的求解方法。
变量消去法是不等式的最基本求解方法，它的基本思想是对不等式中的变量进行计算，得出另一个变量，然后根据另一个变量将不等式化简，最后求解得到推出不等式的解。
例如，若有不等式 x+y=2，则计算得到 x=2-y，代入不等式中得到 2-y+y=2，最后得到 2=2，即y=0, x=2，即不等式 x+y=2解集是 {(x,y)=(2,0)}。
代数运算法是求解不等式的一种方法，其基本思想是将不等式中的变量逐一消去，保留有解的算式，最后求解得出不等式的解。
例如，若有不等式 3x-2>5，则用3x-2=5+6的方式把不等式转换成有解的算式，即 3x=11，除以3得出 x=11/3，即不等式3x-2>5解集为 { x| x> 11/3}。
分段求解法是不等式的一种求解方法，其基本思想是将不等式中的变量根据不等式的性质，分段判断变量的取值范围，以确定不等式的解集。
例如，若有不等式 x>2，则将x的取值范围分段为x<2和x>2，显然，在x>2的情况下，不等式 x>2立，因此不等式 x>2解集为 { x| x>2 }。
不等式的解法和应用
不等式的解法和应用不等式是数学中常用的一种描述两个数或者两个算式大小关系的工具。
解决不等式问题需要掌握一些基本的解法和技巧，并能够应用于实际问题中。
本文将介绍不等式的解法和应用。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似。
例如要解不等式3x + 5 > 10，可以按照以下步骤进行：1. 首先将不等式转化为等价的方程。
将不等式中的大于号改为等号，得到：3x + 5 = 10。
2. 解方程，得到x = 5/3。
3. 最后根据不等式的性质，确定解集。
由于原不等式中不等号是大于号，所以解集为x > 5/3。
二、一元一次不等式组的解法一元一次不等式组是由多个一元一次不等式组成的方程组。
解决一元一次不等式组的关键是找到所有不等式的交集，也就是满足所有不等式的解。
例如解决以下一元一次不等式组：2x + 7 > 53x - 4 < 101. 首先解决每个不等式，得到：x > -1x < 42. 然后求出交集，即满足所有不等式的解。
由于x既要大于-1又要小于4，所以解集为-1 < x < 4。
三、二元一次不等式的解法二元一次不等式可以由两个变量表示，常用的方法是绘制平面图形。
例如解决以下二元一次不等式：2x + 3y ≤ 10x - y > 11. 首先将不等式转化为等式，得到：2x + 3y = 10x - y = 12. 然后绘制平面图形。
以x轴表示x变量，y轴表示y变量，绘制两个方程的直线。
3. 接下来根据不等式的符号绘制阴影部分。
对于第一个不等式2x + 3y ≤ 10，只需要将直线上方的区域进行阴影处理。
对于第二个不等式x - y > 1，需要将直线下方的区域进行阴影处理。
4. 最后求出交集部分，即满足所有不等式的解。
根据图形，确定交集部分，得到最终的解集。
四、不等式在实际问题中的应用举例不等式在解决实际问题中起到了重要的作用，下面以两个例子来说明。
方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式
方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式不等式是数学中常见的一类问题，解决不等式问题需要掌握一些方法和技巧。
本文将介绍不等式的解法以及基本不等式。
一、不等式的解法1.同加同减法：对于不等式a<b，可以在两边同时加上（或减去）同一个数得到新的不等式，即：a+c<b+ca-c<b-c2.同乘同除法：对于不等式a<b，可以在两边同时乘上（或除以）同一个正数得到新的不等式，即：a*c<b*c，c>0a/c<b/c，c>0需要注意的是，当同乘或同除的数为负数时，不等号的方向需要颠倒，即：a*c>b*c，c<0a/c>b/c，c<03.倒置不等号：对于不等式a<b，如果两边同时乘以-1，不等号的方向需要颠倒，即：-a>-b4.分类讨论：对于一些复杂的不等式，可以通过分类讨论的方法进行求解。
根据不等式中出现的变量或系数的范围，将不等式分为几个情况进行讨论，然后逐一解决。
5.代换法：对于一些复杂的不等式，可以通过代换一些变量来简化问题。
选择合适的代换变量，使得不等式中的形式更加简单，从而更容易求解。
二、基本不等式基本不等式是不等式求解中常用且重要的技巧，掌握了基本不等式可以更方便地求解复杂的不等式问题。
以下是几个常用的基本不等式：1.平均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，平均值不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)即算术平均数大于等于几何平均数。
2.均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，有下列不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ (√a1 + √a2 + ... + √an) / √n 即算术平均数大于等于几何平均数。
3.柯西-施瓦茨不等式：对于任意一组实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有下列不等式成立：(a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)即两组数的乘积之和的平方不超过各自平方和的乘积之和。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解48---不等式的解法
不等式的解法
考纲解读 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 2．通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 4．会用统对值的几何意义，求解下列类型号的不等式： ax + b ≤ c ， ax + b ≥ c ， x − a + x − b ≥ c
且 ②若
∆
=
0
，解集为
x
|
x
∈
R
x
≠
−
b 2a
.
③若 ∆ < 0 ，解集为 R .
(2) 当 a < 0 时，二次函数图象开口向下.
①若 ∆ > 0 ，解集为{x | x1 < x < x2}
②若 ∆ ≤ 0 ，解集为 ∅
四、简单的一元高次不等式的解法 简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下. 例如，解一元高次不等式 f (x) > 0 （1）将 f (x) 最高次项系数化为正数 （2）将 f (x) 分解为若干个一次因式或二次不可分因式（ ∆ < 0 ） （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根
{ 或 } ③当 a > a2 ，得 0 < a < 1时，解集为 B = x | x > a x < a2
{ } { } （2） A = x | x2 + 3x + 2 < 0 ，即 A = {x | −2 < x < −1} ， B = x | x2 − 4ax + 3a2 < 0 ⇒
高考数学几种常见解不等式的解法
高考数学几种常见解不等式的解法题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法高考要求不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式重难点归纳解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论典型题例示范讲解例1已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0时nm n f m f ++)()(＞0 (1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数；(2)解不等式 f (x +21)＜f (11-x )；(3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围命题意图本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力知识依托本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时，x +21∈［－1，1］，11-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方技巧与方法(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f (x )转化成“1”是点睛之笔(1)证明任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈［－1，1］，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=2121)()(x x x f x f --+·(x 1－x 2) ∵－1≤x 1＜x 2≤1，∴x 1+(－x 2)≠0，由已知2121)()(x x x f x f --+＞0，又 x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在［－1，1］上为增函数(2)解∵f (x )在［－1，1］上为增函数，∴-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 解得 {x |－23≤x ＜－1，x ∈R } (3)解由(1)可知f (x )在［－1，1］上为增函数，且f (1)=1，故对x ∈［－1，1］，恒有f (x )≤1，所以要f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，即要t 2－2at +1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )=t 2－2at ，对a ∈［－1，1］，g (a )≥0，只需g (a )在［－1，1］上的最小值大于等于0，g (－1)≥0，g (1)≥0，解得，t ≤－2或t =0或t ≥2∴t 的取值范围是{t |t ≤－2或t =0或t ≥2}例2设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ?［1，4］，求实数a 的取值范围命题意图考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系知识依托本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想错解分析 M =?是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a 的不等式要全面、合理，易出错技巧与方法该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗解 M ?［1，4］有两种情况其一是M =?，此时Δ＜0；其二是M≠?，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2－a －2)(1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =??［1，4］(2)当Δ=0时，a =－1或2当a =－1时M ={－1}?［1，4］；当a =2时，m ={2}?［1，4］(3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M =［x 1，x 2］，M ?［1，4］?1≤x 1＜x 2≤4?>?≤≤>>?0,410)4(,0)1(且且a f f 即>-<>>->+-210071803a a a a a 或，解得 2＜a ＜718，∴M ?［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718) 例3解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1) 解原不等式可化为 2)2()1(--+-x a x a ＞0，①当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解由于2111211a a a -=-<<-- ∴原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞) ②当a ＜1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2) ＜0同解由于21111a a a -=---, 若a ＜0，211211a a a -=-<--,解集为(12--a a ，2)；若a =0时，211211a a a -=-=--，解集为?；若0＜a ＜1，211211a a a -=->--,解集为(2，12--a a )。
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传统不等式的解法一、基础知识1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图像，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图像与x 轴的交点 2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x L ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画。
如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观察图像，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分 ()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式 3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠ （3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()0f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式 （1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解： ① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同 ② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理 5、指对数不等式的解法：（1）先讲一个不等式性质与函数的故事在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：a b a c b c >⇒+>+，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上c ），将相同的变换视为一个函数，即设()f x x c =+，则()(),a c f a b c f b +=+=，因为()f x x c =+为增函数，所以可得：()()a b f a f b >⇔>，即a b a c b c >⇒+>+成立，再例如：0,0,c ac bca b c ac bc >>⎧>⇒⎨<<⎩，可设函数()f x cx =，可知0c >时，()f x 为增函数，0c <时，()f x 为减函数，即()()()()0,0,c f a f b a b c f a f b >>⎧⎪>⇒⎨<<⎪⎩ 由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。
增函数→不变号，减函数→变号在这种想法的支持下，我们可以对不等式的变形加以扩展，例如：a b >，则11,a b的关系如何？设()1f x x =，可知()f x 的单调减区间为()(),0,0,-∞+∞，由此可判断出：当,a b 同号时，11a b a b>⇒<（2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是xy a=还是()log 0,1a y x a a =>≠，其单调性只与底数a 有关：当1a >时，函数均为增函数，当01a <<时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与1的大小，规律如下：1a >时，x y >log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y >log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔<⇔<>进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了 （3）对于对数的两个补充① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数。
可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁 例如：()22.5log =？2.52222.5 2.51 2.5log 2log 2log =⨯=⨯==某些不等式虽然表面形式复杂，但如果把其中一部分视为一个整体，则可对表达式进行简化，进而解决问题，例如：()223240x x -⋅->，可将为2x 视为一个整体，令2x t =，则0t >，则不等式变为()()23404104t t t t t -->⇒-+>⇒>，24x ∴>，两边可同取以2为底对数2log 42x >= 6、利用换元法解不等式（1）换元：属于化归时常用的一种方法，本质是研究对象的选取，不受题目所给字母的限制，而是选择合适的对象能把陌生问题进行化归，转化为能够解决的问题。
如上一个例子中，通过将2x视为整体，从而将不等式转化为一元二次不等式进行求解（2）在换元的过程中，用新字母代替原来的字母和式子，将问题转化为新字母的问题，从而要先了解新字母的取值范围。
即若换元，则先考虑新元的初始范围 （3）利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式 ③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围二、典型例题：例1：解下列一元二次不等式：（1）2340x x --< （2）2410x x -+> （3）2450x x -+> （4）24x --解（1）2340x x --<()()410x x ⇔-+<即()234f x x x =--与x 轴的交点为1,x x =-=由图像可得满足()0f x <的x 的范围为14x -<<∴ 不等式的解集为()1,4-（2） 令()241f x x x =-+，则()0f x = 可解得：422x ±==± 作图观察可得：2x <-或2x >+∴ 不等式的解集为((),22-∞-++∞U（3）令()245f x x x =-+，则()0f x =中，0∆<则()f x 与x 轴无公共点，即恒在x 轴上方，x R ∴∈注：由（1）（2）我们发现，只要是0a >，开口向上的抛物线与x 轴相交，其图像都是类似的，在小大根之间的部分()0f x <，在小大根之外的部分()0f x >，发现这个规律，在解一元二次不等式时便有了更为简便的口诀 ① 让最高次项系数为正② 解()0f x =的方程，若方程有解，则()0f x >的解集为小大根之外，()0f x <的解集为小大根之间，若方程无解，则作出图像观察即可（4）解：先将最高次项系数变为正数：22430430x x x x --+<⇔+-> 方程2430x x +-=的根为422x -±==-±∴ 不等式的解集为((),22-∞---+∞U例2：解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x ---> （2）()(12x x +-（1）解：()()()()123f x x x x =--- 则()0f x =的根1231,2,3x x x === 作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞U（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-U小炼有话说：在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可。
穿根法的原理：它的实质是利用图像帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图像中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分。
以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图像上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了。
所以图像的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化。
例3：解下列分式不等式：（1）2103x x -≥+ （2）2243068x x x x -+≤-+ 解：（1）不等式等价于()()()21301,,3230x x x x -+≥⎧⎡⎫⇒∈+∞-∞⎨⎪⎢+≠⎣⎭⎩U ∴不等式的解集为()1,,32⎡⎫+∞-∞⎪⎢⎣⎭U（2）不等式等价于()()()()()()222436801324024680x x x x x x x x x x x x ⎧-+-+≤----≤⎧⎪⇒⎨⎨≠≠-+≠⎩⎪⎩且 解得：123424x x x x ≤≤≤≤⎧⎨≠≠⎩或且∴不等式的解集为[)[)1,23,4U例4：（1）2113x x -≥+ （2）221x x +≥+ （3）21612xx x ≥-+分式不等式在分母符号不定的情况下，千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等号方向是否改变），通常是通过移项，通分，将其转化为()()0f x g x >再进行求解 解：（1）212111033x x x x --≥⇒-≥++ ()()430404330x x x x x x -+≥⎧-∴≥⇒⇒≥⎨++≠⎩或3x < ∴不等式的解集为()[),34,-∞+∞U（2）221x x +≥+ ()()()221212200001111x x x x x xx x x x x -++--⇒-+≥⇒≥⇒≥⇒≥++++()()110101110x x x x x x x +-≥⎧-≤≤≥⎧∴⇒⎨⎨≠-+≠⎩⎩或∴不等式的解集为(][)1,01,-+∞U（3）思路：观察发现分母()22612330x x x -+=-+>很成立，所以考虑直接去分母，不等号的方向也不会改变，这样直接就化为整式不等式求解了 解：221612612xx x x x x ≥⇒≥-+-+ ()()27120340x x x x ∴-+≤⇒--≤ 34x ∴≤≤∴不等式的解集为[]3,4例5：解不等式：（1）23x x x +≤ （2）22x x x x--> 解：（1）方法一：所解不等式可转化为22234033023x x x x or x x x x x x x x x⎧+≥-≤-≥⎧⎪-≤+≤⇒⇒⎨⎨≤≤+≤⎪⎩⎩ 02x ∴≤≤方法二：观察到若要使得不等式23x x x +≤成立，则300x x ≥⇒≥，进而2x x +内部恒为正数，绝对值直接去掉，即只需解23x x x +≤即可。