数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子

数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子

例1：求极限 .1sin ...212sin 1sin lim ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡++++++∞→n n n n n n n πππ [分析]由于是求数列的极限，即∑=∞→+n i n i n n i 11sin lim π

，其分子和分母同时都在变

化，这时可以尝试把分母变成不变的，即此题中将分母中含有i 的项略去，同时配合放缩法进行求解。由于原数列分母随着i 趋向到n ，分母都会小

于()1+n ,他的倒数，即()11+n 小于除了第一项的其他项，所以

∑∑==∞→∞→+≤+n i n i n n i

n n i n n i 111sin lim 1sin lim π

π。 同理，原数列分母随着i 趋向到n ，分母都会大于()n ，他的倒数，即()

n 1都会大于其他项，所以∑∑==∞→∞→≤+n i n i n n n n i i

n n i 11sin lim 1sin lim π

π 由于是无穷多项进行相加，运算过程可以相当于积分的运算即：

令n i x =，1

1+=n dx (最左边的式子)，n dx 1=(最右边的式子)，得：⎰∑⎰≤+≤=∞→10110)sin(1sin lim )sin(dx x i

n n i dx x n i n ππ

π 即：ππ

π21sin lim 21≤+≤∑=∞→n i n i

n n i 所以原题的极限为：π2. 例2：利用夹逼定理证明().211...2111lim 2

+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-∞→k k k n n n n k n n [分析]观察到括号中的表达式：⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--+-+-k n n n n k 1...2111都是连续减的形式，一般情况是想办法把它变换成加的形式。观察到表达式：

⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-k n n n n k 1 (2)

111中有k 个n 1相加，所以可以分别和后面k 个相减项相结合可以得到：⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k n n n n n n 11...211111，所以可以得到：()∑=+k

i i n n i 1，同上面例题一样，分子和分母同时都在变动，可以尝试把分母固定不变。所以可得：

所以可得：

所以根据夹逼定理可以得到：原式的极限为：()21k

k +