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函数的概念及定义域.值域基本知识点总结

函数概念

1.映射的概念

设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f :A^ B , f 表示对应法则

注意：（1）A中元素必须都有彖J1唯一；（2）B中元素不一定都有原彖，但原彖不一定唯一。

2.函数的概念

（1）函数的定义：

设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都

冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常

⑵函数的定义域、值域

在函数y = f(x\xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做两数值，函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。

(3)函数的三要素：定义域、值域和对丿应法则

3.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

(1).图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

(2).列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3).解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式來表示。

4.分段函数

在H变量的不同变化范围屮，对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。

(-)考点分析

考点1：映射的概念

例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ；

(2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ；

(3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x .

上述三个对应是A到B的映射.

例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM，a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个，A到B 的函数有个

例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件：对

(4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个

M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是()

考点2：判断两函数是否为同一个函数

例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数?

(1) /(X )= , g(x) = V?":

⑶ /(x) = 2n ^X^ , g(X )= (2“V7)2"T (/7GN 4);

(4) /(x) = Vx Jx + 1 , g(x) = Jx ，十 x ；

(5) /(x) = x 2 -2x -1, g(t) = t 2 -2r -1 考点3：求函数解析式

方法总结：(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则用待定系数法；

(2) 若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法；

(3) 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出/(%)

题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例1.已知二次函数/(X )满足/(2X + 1) = 4X 2-6X + 5,求/U)(三种方法)

| + V* | _ Y 2

例2. (09湖北改编)已知/(-—)=—v ，则/(X )的解析式可取为 l-x 1 + JC

题型2：求抽象函数解析式

例1.已知函数/⑴满足/U) + 2/(-) = 3x,求/⑴

函数的定义域

题型1:求有解析式的函数的定义域

(1) 方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的X 的取值范 围，实际操作时要注意：酚母不能为0；②对数的真数必须为正；酬次根式中被开方数应 为非负数；歿指数幕中，底数不等于0；矽分数指数幕中，底数应人于0；魁解析式由 儿个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦n 果涉及实际问题，还应使得实际 问题有意义，而11注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义 域不耍漏写。

(2) /(x) = W, g(x) = X

x > 0,

x < 0;

例1. (08 年湖北)函数/(x) = — ln(Vx2 -3x + 2 + V-x2 -3x + 4)的定义域为()

x

A. (-g,-4)U[2,+8);B・(一4,0)U(0,l)； C. [,—4,0)U(0,l]；D. [,-4,0) U (0,1) 题型2：求复合函数和抽象函数的定义域

例 1. (2007 •湖北)设 /(x)= lg A. (-4,0)U (0,4)； B ・(-4,-l)U (l,4)； C 、(-2-1)U (1,2)； D. (-4,-2)U (2,4) 例2.已知函数y = 的定义域为[a, b],求y = /(x + 2)的定义域

例3.己知j = /(x + 2)的定义域是[a,切，求函数y = /(x)的定义域

例4.已知y = f(2x-l)的定义域是(-2, 0),求y = /(2x + l)的定义域

考点5：求函数的值域

1.求值域的几种常用方法

(1)配方法：对于(可化为)“二次函数型”的函数常川配方法,

如求函数y = -sin 2 x-2cosx + 4 ,可变为 y = -sin 2 x-2cosx + 4 = (cosx-1)2 + 2 解

(2) 基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利川棊本函数的值域來求， 如函数y = log| (-x 2 +2x + 3)就是利用函数> =log! u 和u = -x 2 +2兀+ 3的值域來求。

2 2

(3) 判別式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。

(4) 分离常数法：常用來求“分式型”函数的值域。

3 Y

(5) 利用基本不等式求值域：如求函数y = — 的值域

x +4 (6) 利用函数的单调性求求值域：如求函数y = 2x 4-x 2+2(xe[-l,2])的值域

(7) 图象法：如呆函数的图象比较容易作出，则可根据图象点观地得出函数的值域

(8) 导数法一一一般适用于高次多项式函数，如求函数/(x) = 2X 3+4X 2-40X ,XG [-3,3] 的最小值。(一48)

,27

(9) 对勾函数法像y 二x+—，(m>0)的函数,m<0就是单调函数了 x 4

如求函数y = 2兀+ 1 %* — 2 兀

的值域[土单3,啤辽] 2 2 I X 丿 的定义域为(