4坐标系中的旋转变换(2016年)
旋转的力旋转变换的认识
旋转的力旋转变换的认识旋转是物体围绕某一中心点或轴线进行的转动运动。
在自然界和人类日常生活中，旋转现象无处不在。
旋转不仅是一种基本的物理现象，也是许多领域中重要的概念，如力学、电磁学、光学等等。
本文将探讨旋转的力以及旋转变换的认识。
一、旋转的力力是物体产生运动或形态变化的原因。
在旋转现象中，旋转的力是使物体发生转动的力量。
旋转的力可分为两种情况：外力和内力。
外力是指作用在物体上并使其围绕某一中心点或轴线进行旋转的力量。
外力通常通过作用在物体上的力矩来实现。
力矩是力在转动物体上的产生力矩大小与力臂长度的乘积。
当外力与物体的力臂垂直时，力矩最大；当外力与物体的力臂平行时，力矩为零。
根据牛顿第一定律，旋转的物体会保持其旋转状态，直到受到力矩的影响而改变。
内力是物体内部分子或分子团的相互作用力。
在旋转现象中，内力的存在会影响物体的转动。
例如，一个刚性物体的内部分子间的作用力可以导致物体整体进行旋转。
此外，内力还可以改变物体的转动轴线或转动速率。
旋转的力与直线运动的力有一些不同之处。
在直线运动中，力可以直接作用在物体的质心上，而在旋转中，力必须作用在物体上的某一点上才能产生转动效果。
这一点被称为转动轴。
通过合理施加外力，可以改变旋转的角速度和转动轴的位置。
这也是旋转变换的重要概念。
二、旋转变换的认识旋转变换是指将一个坐标系中的向量或物体转换到另一个坐标系中的过程。
旋转变换通常涉及到旋转轴、旋转角度和旋转中心等要素。
在二维平面中，旋转变换可以通过旋转矩阵来表示。
旋转矩阵是一个二阶方阵，用于描述二维平面上点的旋转变换。
旋转矩阵的每个元素与旋转角度、旋转中心和旋转轴等因素相关。
在三维空间中，旋转变换也可以通过旋转矩阵来表示。
旋转矩阵是一个三阶方阵，用于描述三维空间中点或物体的旋转变换。
旋转矩阵的构造方法和二维平面中的类似，但需要更多的参数来描述旋转变换。
旋转变换有许多应用领域，如计算机图形学、航空航天技术、机器人学等。
苏教版选修4《极坐标系中的旋转变换》说课稿
苏教版选修4《极坐标系中的旋转变换》说课稿引言《极坐标系中的旋转变换》是苏教版选修4中的一篇数学课文，本篇课文通过介绍极坐标系中的旋转变换，旨在帮助学生理解极坐标系的概念及其在几何图形中的应用。
通过本课文的学习，学生将能够掌握极坐标系中的旋转变换的基本概念、方法和相关运算，并能够运用所学知识解决实际问题。
一、学情分析本节课内容适用于高中数学选修课程，学生已经掌握了直角坐标系和极坐标系的基本概念及其转换关系。
对于旋转变换这一概念，学生可能有一些模糊的认识，但他们已经学习了平面向量相关内容，对于向量的旋转有一定的了解。
因此，本课将通过对比向量的旋转和极坐标系中的旋转变换，帮助学生更深入地理解极坐标系中的旋转变换。
二、教学目标通过本节课的学习，学生将能够： 1. 理解极坐标系中的旋转变换的概念； 2. 掌握极坐标系中的旋转变换的基本方法；3. 能够运用极坐标系中的旋转变换解决几何问题；4. 培养学生的逻辑思维和几何推理能力。
三、教学重点与难点1. 教学重点•极坐标系中的旋转变换的概念和基本方法；•运用极坐标系中的旋转变换解决几何问题。
2. 教学难点•极坐标系中的旋转变换与向量的旋转的比较；•运用极坐标系中的旋转变换解决复杂的几何问题。
四、教学过程步骤一：导入与引入（5分钟）1.引导学生回顾直角坐标系与极坐标系的基本概念及其转换关系；2.提问：在直角坐标系中，我们学过向量的旋转，那在极坐标系中是否也存在旋转变换？3.引入本节课的话题：我们今天要学习的是《极坐标系中的旋转变换》。
步骤二：学习与讲解（20分钟）1.讲解极坐标系中的旋转变换的概念与基本方法：–给出旋转变换的定义：极坐标系中，以原点为中心，逆时针旋转一个角度θ，得到的新坐标称为旋转变换；–引导学生进行基本的旋转变换操作，帮助理解旋转变换的方法和过程；–通过实例演示，让学生掌握极坐标系中的旋转变换的基本运算规则。
2.比较向量的旋转和极坐标系中的旋转变换：–将直角坐标系中的向量旋转和极坐标系中的旋转变换进行对比，帮助学生更好地理解两者之间的关系和差异。
旋转变换(一)旋转矩阵
旋转变换（一）旋转矩阵1. 简介计算机图形学中的应用非常广泛的变换是一种称为仿射变换的特殊变换，在仿射变换中的基本变换包括平移、旋转、缩放、剪切这几种。
本文以及接下来的几篇文章重点介绍一下关于旋转的变换，包括二维旋转变换、三维旋转变换以及它的一些表达方式（旋转矩阵、四元数、欧拉角等）。
2. 绕原点二维旋转首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转，三维中是绕着某一个轴进行旋转。
二维旋转中最简单的场景是绕着坐标原点进行的旋转，如下图所示：如图所示点v 绕原点旋转θ角，得到点v’，假设v点的坐标是(x, y) ，那么可以推导得到v’点的坐标（x’, y’)(设原点到v的距离是r，原点到v点的向量与x轴的夹角是ϕ )x=rcosϕy=rsinϕx′=rcos(θ+ϕ)y′=rsin(θ+ϕ)通过三角函数展开得到x′=rcosθcosϕ−rsinθsinϕy′=rsinθcosϕ+rcosθsinϕ带入x和y表达式得到x′=xcosθ−ysinθy′=xsinθ+ycosθ写成矩阵的形式是：尽管图示中仅仅表示的是旋转一个锐角θ的情形，但是我们推导中使用的是三角函数的基本定义来计算坐标的，因此当旋转的角度是任意角度（例如大于180度，导致v’点进入到第四象限）结论仍然是成立的。
3. 绕任意点的二维旋转绕原点的旋转是二维旋转最基本的情况，当我们需要进行绕任意点旋转时，我们可以把这种情况转换到绕原点的旋转，思路如下：1. 首先将旋转点移动到原点处2. 执行如2所描述的绕原点的旋转3. 再将旋转点移回到原来的位置也就是说在处理绕任意点旋转的情况下需要执行两次平移的操作。
假设平移的矩阵是T(x,y)，也就是说我们需要得到的坐标v’=T(x,y)*R*T(-x,-y)（我们使用的是列坐标描述点的坐标，因此是左乘，首先执行T(-x,-y)）在计算机图形学中，为了统一将平移、旋转、缩放等用矩阵表示，需要引入齐次坐标。
直角坐标系中的几何变换方法总结
直角坐标系中的几何变换方法总结直角坐标系是我们在数学和物理学中经常使用的一种坐标系统。
在直角坐标系中，我们可以通过坐标点的位置来描述一个点的位置。
然而，在实际问题中，我们经常需要对坐标系进行一些变换，以便更好地解决问题。
本文将总结一些常见的几何变换方法，帮助读者更好地理解和应用直角坐标系。
一、平移变换平移变换是指在直角坐标系中将一个图形沿着某个方向移动一定的距离。
平移变换不改变图形的形状和大小，只改变了它的位置。
在直角坐标系中，我们可以通过将图形中的每个点的坐标增加或减少相同的数值来实现平移变换。
例如，如果我们要将一个图形沿着x轴正方向平移3个单位，我们可以将每个点的x坐标加3。
二、旋转变换旋转变换是指在直角坐标系中将一个图形绕着某个点或某个轴旋转一定的角度。
旋转变换不改变图形的大小和形状，只改变了它的方向。
在直角坐标系中，我们可以通过将图形中的每个点绕着旋转中心进行旋转来实现旋转变换。
旋转的角度可以用弧度或度数来表示。
例如，如果我们要将一个图形绕着原点逆时针旋转90度，我们可以使用旋转矩阵来计算每个点的新坐标。
三、缩放变换缩放变换是指在直角坐标系中将一个图形沿着某个方向放大或缩小一定的比例。
缩放变换改变了图形的大小，但不改变它的形状和方向。
在直角坐标系中，我们可以通过将图形中的每个点的坐标乘以相同的比例因子来实现缩放变换。
例如，如果我们要将一个图形沿着x轴方向放大2倍，我们可以将每个点的x坐标乘以2。
四、对称变换对称变换是指在直角坐标系中将一个图形关于某个点、某个直线或某个平面进行对称。
对称变换不改变图形的大小和形状，只改变了它的位置。
在直角坐标系中，我们可以通过将图形中的每个点的坐标关于对称中心进行对称来实现对称变换。
例如，如果我们要将一个图形关于x轴进行对称，我们可以将每个点的y坐标取负值。
五、剪切变换剪切变换是指在直角坐标系中将一个图形沿着某个方向进行拉伸或压缩。
剪切变换改变了图形的形状，但不改变它的大小和方向。
旋转矩阵、欧拉角、四元数理论及其转换关系
旋转矩阵、欧拉⾓、四元数理论及其转换关系1. 概述旋转矩阵、欧拉⾓、四元数主要⽤于表⽰坐标系中的旋转关系，它们之间的转换关系可以减⼩⼀些算法的复杂度。
本⽂主要介绍了旋转矩阵、欧拉⾓、四元数的基本理论及其之间的转换关系。
2、原理2.1 旋转矩阵对于两个三维点p1(x1,y1,z1)，p2(x2,y2,z2)，由点 p1 经过旋转矩阵 R 旋转到 p2，则有注：旋转矩阵为正交矩阵RR^T=E任意旋转矩阵：任何⼀个旋转可以表⽰为依次绕着三个旋转轴旋三个⾓度的组合。
这三个⾓度称为欧拉⾓。
三个轴可以指固定的世界坐标系轴，也可以指被旋转的物体坐标系的轴。
三个旋转轴次序不同，会导致结果不同。
2.2 欧拉⾓欧拉⾓有两种：静态：即绕世界坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴保持静⽌，所以称为静态。
动态：即绕物体坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴随着物体做相同的转动，所以称为动态。
使⽤动态欧拉⾓会出现万向锁现象；静态欧拉⾓不存在万向锁的问题。
对于在三维空间⾥的⼀个参考系，任何坐标系的取向，都可以⽤三个欧拉⾓来表现。
参考系⼜称为实验室参考系，是静⽌不动的。
⽽坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转⽽旋转。
如图1，设定xyz-轴为参考系的参考轴。
称xy-平⾯与XY-平⾯的相交为交点线，⽤英⽂字母（N）代表。
zxz顺规的欧拉⾓可以静态地这样定义：α是x-轴与交点线的夹⾓，β是z-轴与Z-轴的夹⾓，γ是交点线与X-轴的夹⾓。
图中三个欧拉⾓分别为：(α,β,γ)；蓝⾊的轴为：xyz轴红⾊的轴为：XYZ轴绿⾊的线为交线：Nα∈[0,2π],β∈[0,π],γ∈[0,2π]很可惜地，对于夹⾓的顺序和标记，夹⾓的两个轴的指定，并没有任何常规。
科学家对此从未达成共识。
每当⽤到欧拉⾓时，我们必须明确的表⽰出夹⾓的顺序，指定其参考轴。
实际上，有许多⽅法可以设定两个坐标系的相对取向。
欧拉⾓⽅法只是其中的⼀种。
此外，不同的作者会⽤不同组合的欧拉⾓来描述，或⽤不同的名字表⽰同样的欧拉⾓。
坐标系及其变换-完成
(2-23)
(2-20)式两端矩阵非对角线上对称元素相等，得
oz
ay
2
x
s
in
a x n z 2 y sin
ny
ox
2 z
s
in
(2-24)
由此解出等效旋转角 的正弦为
si n 1 2( o z a y ) 2 ( a x n z ) 2 ( n y o x ) 2 (2-25)
n
y
oy
ay
p
y
nz 0
oz 0
az 0
pz 1
nx ny nz p • n
则T的逆阵为 T 1 ox oy oz p •o (2-14)
a0x
ay 0
az 0
p•a
1
式中 p、n、o、a表示T的各列矢量；” ”•表示二矢量的数量积。
5.一般旋转变换
所谓一般旋转变换，即其旋转轴线不与参考系任何轴 线重合，而是参考系中某一矢量，这一矢量的方向用其上
o y cos
1 cos
(2-28)
z sgn( n y o x )
ax
cos
1 cos
式中 sgn—符号函数，当括弧内差值为正时取正号，
否则取负号。
3.相对变换
• 如上所述，一个齐次坐标可分解为平移及旋转 变换，根据这些平移和旋转是相对什么坐标系 去实现的，就导出了不同相对变换的概念，前 面只提及相对于参考系的变换，实际上还可相 对于变换过程中当前坐标系来实现变换。
(1)坐标系的相对变换
1) 相对于参考系的相对变换——始终相对于一 2) 个相同的参考系的变换
R( o ,)tYCR (z,)o Xt (2-18)
坐标系坐标系变换
xs VxL xw WxL VxR VxL WxR WxL ys VyB yw WyB VyT VyB WyT wyB
xs
VxR WxR
VxL WxL
(xw
WxL) VxL
5）其他变换
▪ 此外，还有数据库坐标到屏幕坐标的变换和屏幕坐标到数据库坐标 的变换。这两个变换是用来进行人机交互编辑并将编辑好的图形数 据送回数据库的。变换原理同上
空间数据的坐标变换
1）窗口区→视图区
▪ 用户可以在用户坐标系下指定任意的感兴趣的区域输出到设备上， 这个区域称为窗口区。窗口区是用户图形的一部分
相应的向量形式为：
x, y
x,
y
cos sin
sin
cos
空间数据的坐标变换
2）图形的几何变换
▪ 二维图形几何变换的齐次坐标表示
齐次坐标技术是从几何学中发展起来的，它实质上是用n+1维向 量来表示n维向量(合并矩阵乘法和加法) 。采用了齐次坐标技术 ，可把图形变换表示成图形的点集矩阵与某一变换矩阵进行矩阵 乘，从而借助计算机的高速计算得到变换后数据（采用统一的计 算形式实现平移、缩放和旋转）。
[
x
,
y
]
0
S
y
空间数据的坐标变换
2）图形的几何变换
▪ 二维图形几何变换的一般表示
旋转变换 x A cos( ) A (cos cos sin sin)
x cos y sin
y A sin( ) A(sin cos cos sin ) x sin y cos
0 0 1
几何形的旋转和切变变换
几何形的旋转和切变变换几何形的旋转和切变变换是数学中常见的几何操作，它们在许多领域中都有广泛的应用，包括计算机图形学、物理学、工程学等。
在本文中，我们将探讨旋转和切变的基本概念、公式以及其在实际应用中的意义。
旋转变换是将一个几何形体绕着某个中心点旋转一定角度的操作。
我们常用极坐标系来描述旋转变换，其中原点代表旋转中心，角度表示旋转的程度。
假设我们有一个点P(x,y)，要将它绕着中心点O旋转θ角度后的新坐标为P'(x',y')，那么有以下公式：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ这些公式通过三角函数来描述坐标的变化。
通过改变θ的值，我们可以实现对几何形体的不同旋转效果。
切变变换是将一个几何形体沿着某个方向进行平移的操作。
它可以分为水平切变和垂直切变两种。
水平切变是将几何形体的每个点在水平方向上进行平移，而垂直切变则是在垂直方向上进行平移。
具体的切变公式如下：水平切变：x' = x + shx * yy' = y垂直切变：x' = xy' = y + shy * x其中shx和shy分别表示水平和垂直方向的切变系数。
通过改变切变系数的大小，我们可以实现对几何形体在平移方向上的不同变换效果。
旋转和切变变换在计算机图形学中有着广泛的应用。
比如，在计算机游戏中，我们经常需要对角色的模型进行旋转和切变，以实现动画效果。
同时，在CAD软件中，旋转和切变变换也被用于设计和编辑图形对象，使其具有更好的可视化效果。
除了计算机图形学，旋转和切变变换还在物理学和工程学等领域中发挥着重要作用。
在物理学中，我们可以通过旋转和切变变换来描述刚体在空间中的运动轨迹，从而研究其力学行为。
在工程学中，旋转和切变变换可以应用于材料力学、流体力学等领域，来研究材料的变形和流体的运动。
综上所述，几何形的旋转和切变变换在数学中具有重要的地位和广泛的应用。
[算法]计算中表示旋转的几种方法
![[算法]计算中表示旋转的几种方法](https://img.taocdn.com/s3/m/0833f411a7c30c22590102020740be1e650ecc11.png)
[算法]计算中表⽰旋转的⼏种⽅法如何表⽰旋转，可能的表⽰⽅法有：（1）轴-⾓(axis-angle)表⽰法。
⽅便转换，⼏何意义明显（2）欧拉⾓表⽰法（3）旋转矩阵（rotation matirces)法（4）四元数法第⼀种所谓轴-⾓表⽰法，是说任何的旋转情况都归类为下⾯这种情况，即⼀个旋转将向量x旋转为x′，⼀定是绕⼀个旋转轴ˆn‘旋转了θ度，因此，任何⼀个旋转都可以表⽰为⼀个旋转轴(x,y,z)和⼀个⾓度θ这⾥有通过Rodrigues formula:⼀种常见的写法改写成：IIRC,这⾥应该是⽤了叉乘矩阵和单位矩阵的⼀个减法做的变换。
第三种是旋转矩阵法，从代数的⾓度理解旋转矩阵，那就是空间之间的变换，同时，结合上⾯两种表⽰法，也可以有另外的理解。
⾸先是空间之间的变换。
想象我们有两个三维线性空间的直⾓坐标系，⼀个^u1,^u2,^u3，⼀个\hat{u_1}^',\hat{{u_1}^'},\hat{{u_1}^'}，其中\hat{{u}^'}是ˆu经过某种旋转变换得到的像，那么由线性代数的知识，在^u1,^u2,^u3坐标系下表⽰\hat{{u_1}^'},\hat{{u_1}^'},\hat{{u_1}^'}的坐标将坐标写成矩阵，实际上就描述了这⼀旋转的矩阵：其次是所谓轴-⾓表⽰法。
轴-⾓表⽰的旋转可以写成rot(ˆn,θ),的形式，将叉乘矩阵带⼊上⾯的Rodrigues Formula，即可得到对应的矩阵形式。
⾄于欧拉⾓法，其实就是三个矩阵相乘。
Processing math: 100%。
直角坐标系中点的旋转研究
直角坐标系中点的旋转研究一、问题提出旋转作为中学几何变换的重要变换之一，在数学的应用中随处可见，在很多几何辅助线的作法上都运用到旋转变换的思想。
特别在求解和证明有关等腰直角三角形、正三角形、正方形和探究角、线段、面积等问题时更是用到旋转的思想方法。
本文结合中考20题型，以直角坐标系为载体，将旋转变换应用到点的旋转中，求解点在旋转不同角度后的坐标求解。
二、问题研究1.旋转180度传统的旋转变换角度主要考察的180度和90度，本文先由中心对称图形出发，即从旋转180度开始。
已知：),(y x P 关于原点对称的点为P ′（-x,-y ）什么是P 点关于原点的对称点，课本是这样叙述的：连接PO ，并延长，以O 点为圆心，以PO 为半径画图交PO 延长线于P ′点，则P ′与P 关于O 中心对称中心对称的概念是某图形绕着某点顺时针或逆时针旋转180度，与另一个图形重合，则两个图形关于那个点中心对称。
其实从作题思路来看，可以通过全等的方法来证明作轴X PA ⊥, 轴X B P ⊥′, 则OB P Δ≌Δ′POA (AAS 或ASA).因此，通过全等解题的思想，可以把问题多样化分类讨论，运用相同的方法解决不同的问题。
例如：求P （4,3）关于（1，0）中心对称的点的坐标由AC P PAB ′ΔΔ≌可得AC=AB=3，3==′PB C PP ′∴(-2，-3)所以，点旋转180度后的求解，主要利用了全等的解题方法。
其实，可以发现A P PA ′=,即A 为P P ′的中点，观察P （4,3），A （1,0），P ′（-2，-3）的横纵坐标之间的关系 可以发现：02)3-(3,12)2-(4=+=+由中心对称引入中点公式 我们是否可以猜想 A(1,1y x ), B(2,2y x ) 的中点坐标为C （2,22121y y x x ++）如右图所示：过A 作平行于x 轴的直线与过B 作平行y 轴的直线相交于M 点， 过C 作BM CL AM CN ⊥⊥,由中位线性质AM CL BM CN 21,21== 1212-,-∴y y BM x x AM ==2)-(212121∴211211x x x x x AM x AM x x A C +=+=+=+= 2)-(212121∴211211y y y y y BM y BM y y A C +=+=+=+= )2,2(2121y y x x C ++∴那么反过来，已知A （x,y ）关于P （m,n ）中心对称的点为B ，那么B 点的坐标为______解：设B （00,y x ）由中点公式m x x =+20，x m x -2∴0= n y y =+20，y n y -2∴0=当旋转角度由180度到90度的时候，解决问题的方法还是和以前一样么？例如：若P （-3,2）绕原点O （0，0）顺时针旋转90度，得P ′，求P ′坐标。
备考2023年中考数学一轮复习-图形的变换_平移、旋转变换_坐标与图形变化﹣旋转-综合题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-图形的变换_平移、旋转变换_坐标与图形变化﹣旋转-综合题专训及答案坐标与图形变化﹣旋转综合题专训1、(2016天津.中考真卷) 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．（1）如图①，若α=90°，求AA′的长；（2）如图②，若α=120°，求点O′的坐标；（3）在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）2、(2015大连.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OB=2，双曲线y=经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上．若AB的对应线段CB恰好经过点O．（1）求点B的坐标和双曲线的解析式；（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由．3、(2017松北.中考模拟) 平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．（1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度；（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形．4、(2017安徽.中考模拟) 如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣4，﹣1）．①作出△ABC关于原点O中心对称的图形；②将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．5、(2015泉州.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，点A（， 1）、B（2，0）、O（0，0），反比例函数y=图象经过点A．（1）求k的值（2）将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上？6、(2017江西.中考模拟) 已知三个全等的等边三角形如图1所示放置，其中点B、C、E在同一直线上，（1）写出两个不同类型的结论；（2）连接BD，P为BD上的动点（D点除外），DP绕点D逆时针旋转60°到DQ，如图2，连接PC，QE，①判断CP与QE的大小关系，并说明理由；②若等边三角形的边长为2，连接AP，在BD上是否存在点P，使AP+CP+DP的值最小，并求最小值．7、(2017历下.中考模拟) 在△ABC中，AB=AC，∠ABC=90°，D为AC中点，点P是线段AD上的一点，点P与点A，点D不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接A1B1、BB1（1）如图①，当0°＜α＜90°，在α角变化过程中，请证明∠PAA1=∠PBB2．（2）如图②，直线AA1与直线PB、直线BB1分别交于点E，F．设∠ABP=β，当90°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图③，当α=90°时，点E、F与点B重合．直线A1B与直线PB相交于点M，直线BB′与AC相交于点Q．若AB= ，设AP=x，求y关于x的函数关系式．8、(2017新泰.中考模拟) 已知如图1菱形ABCD，∠ABC=60°，边长为 3，在菱形内作等边三角形△AEF，边长为2 ，点E，点F，分别在AB，AC上，以A为旋转中心将△AEF顺时针转动，旋转角为α，如图2（1）在图2中证明BE=CF；（2）若∠BAE=45°，求CF的长度；（3）当CF= 时，直接写出旋转角α的度数．9、(2016聊城.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A1B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B3C3，写出△A2B3C3的各顶点的坐标．10、(2016张家界.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．11、(2016张家界.中考真卷) 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2）、B（﹣2，1）、C（1，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．（1）△A1B1C1是△ABC绕点逆时针旋转度得到的，B1的坐标是；（2）求出线段AC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．12、(2016百色.中考真卷) △ABC的顶点坐标为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，2），以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，点B′、C′分别是点B、C的对应点．（1）求过点B′的反比例函数解析式；（2）求线段CC′的长．13、(2017兰州.中考模拟) 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．①将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；②将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．14、(2016兰州.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y= 的图象上．（1）求反比例函数y= 的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP = S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．15、如图，在平面直角坐标系中，A(3，3)，B(4，0)，C(0，﹣1)．（1）以点C为旋转中心，把ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形C；（2）在（1）的条件下，①点A经过的路径的长为（结果保留π）；②则此时B'点的坐标为．坐标与图形变化﹣旋转综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
坐标旋转变换公式推导
坐标旋转变换公式推导在我们学习数学的过程中，坐标旋转变换公式就像是一个神秘的魔法，能让图形在坐标系中奇妙地转动起来。
今天，咱们就一起来揭开它神秘的面纱，好好推导推导这个神奇的公式。
话说有一天，我在教室里给学生们讲这个知识点。
我刚在黑板上写下“坐标旋转变换公式”这几个字，下面就传来一阵小小的嘀咕声。
“这听起来好难啊！”一个学生皱着眉头说。
我笑了笑，心里想着，得让他们感受到这其实没那么可怕。
咱们先从最简单的情况说起。
假设在平面直角坐标系 xOy 中，有一个点 P(x, y) ，现在我们要把这个坐标系绕着原点 O 逆时针旋转一个角度θ ，得到新的坐标系 x'Oy' 。
那点 P 在新坐标系中的坐标 (x', y') 会是多少呢？为了搞清楚这个，咱们先来看看旋转前后点 P 到原点 O 的距离 r 是不变的。
根据勾股定理，r = √(x² + y²) 。
接下来，咱们看看角度的关系。
在原来的坐标系中，点 P 与 x 轴正半轴的夹角是α ，那么tanα = y / x 。
旋转之后，新的角度是α + θ 。
那么在新坐标系中，x' = r cos(α + θ) ，y' = r sin(α + θ) 。
根据三角函数的和角公式，cos(α + θ) = cosα cosθ - sinα sinθ ，sin(α + θ) = sinα cosθ + cosα sinθ 。
因为cosα = x / r ，sinα = y / r ，所以x' = r (cosα cosθ - sinα sinθ) = x cosθ - y sinθ ，y' = r (sinα cosθ + cosα sinθ) = x sinθ + y cosθ 。
这就是坐标旋转变换的公式啦！讲完这些，我看了看学生们的表情，还是有一些迷茫。
于是我又在黑板上画了一个具体的例子，一个点 (3, 4) ，旋转 45 度。
四元数转旋转矩阵右手坐标系-概述说明以及解释
四元数转旋转矩阵右手坐标系-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以写成以下样式：1.1 概述概述部分将简要介绍本文的主题以及研究背景，引起读者的兴趣。
四元数在计算机图形学、机器人学和航天导航等领域中被广泛应用。
它是一种用于表示三维旋转的数学工具，相比于传统的欧拉角，四元数具有更好的数学性质和计算效率。
然而，在实际应用中，我们经常需要将四元数转换为旋转矩阵来表达旋转变换。
右手坐标系是一种常见的坐标系，被广泛应用于计算机图形学、物理学和工程学等领域。
与左手坐标系相比，右手坐标系具有更加直观和自然的性质。
因此，将四元数转换为旋转矩阵时，针对右手坐标系进行推导和分析有着重要的意义。
本文旨在探讨四元数转旋转矩阵在右手坐标系中的应用。
在正文部分，我们将介绍四元数的基本定义和性质，以及右手坐标系的定义和特点。
接着，我们将详细推导四元数转旋转矩阵的原理，并给出相关的数学推导过程。
在结论部分，我们将讨论四元数转旋转矩阵在右手坐标系中的具体应用，并进行结果分析和总结。
通过对四元数转旋转矩阵的研究和分析，我们可以深入理解四元数的几何含义以及其在三维旋转中的应用。
同时，对于研究和开发基于右手坐标系的计算机图形学、机器人学和航天导航系统等领域的人员来说，本文也将提供实用的参考和指导。
1.2文章结构文章结构部分的内容应包括文章的主要章节和各章节的标题。
根据目录中提到的主要章节，可以编写如下内容：1.2 文章结构本文将按照以下章节展开：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 四元数的定义和基本性质2.2 右手坐标系的定义和特点2.3 四元数转旋转矩阵的原理及推导3. 结论3.1 四元数转旋转矩阵在右手坐标系中的应用3.2 结果分析与讨论3.3 总结通过以上章节的安排，文章将依次介绍四元数、右手坐标系和四元数转旋转矩阵的相关内容，并最终得出结论和总结。
1.3 目的本文的目的是研究和探讨四元数转旋转矩阵在右手坐标系中的应用。
数学公式知识：平面点、线、面的平移与旋转变换
数学公式知识：平面点、线、面的平移与旋转变换平面点、线、面的平移与旋转变换在数学中，平台点、线、面是基础概念之一，我们可以通过对它们进行平移和旋转变换，来丰富它们的应用价值，提高数学问题的解决效率。
一、平面点和平移变换平面点是平面几何中最基本的元素，用两个坐标数（x，y）可以表示一个二维平面上的点。
当我们需要将某个平面点进行平移变换时，我们需要定义一个向量来表示平移的距离和方向（dx，dy），然后对点坐标进行平移，即：P'(x',y')=P(x,y)+T(dx,dy)其中T(dx,dy)表示平移向量，P'(x',y')表示变换后的新点坐标，P(x,y)表示待变换的原点坐标。
例如，如果我们需要将点P1（2,3）平移3个单位向量，则新坐标为：P1' (5,6)=P1(2,3)+T(3,3)二、平面直线和平移变换经过两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)的直线，可以通过斜率和截距表示，即：y=kx+b其中，k为斜率，b为截距。
当我们需要对直线进行平移时，我们可以直接对截距进行变换，即：y=kx+b+dy例如，对于直线y=2x+1，我们需要向下平移2个单位，则新的直线方程为：y=2x+1-2=2x-1三、平面图形的旋转变换在平面几何的研究中，旋转变换是非常常见的一种方法。
当我们需要对平面图形进行旋转时，比较麻烦的就是如何对图形的每一个坐标进行变换。
为了解决这个问题，我们需要通过矩阵运算来实现平面图形的旋转。
设P(x,y)是平面上的一个点，以原点为中心顺时针旋转角度θ后，点P'（x',y'）的坐标可以表示为矩阵乘法的形式：x' cosθ sinθ xy' =-sinθ cosθ * y其中，cosθ和sinθ是以θ为单位的正弦和余弦函数值，分别对应旋转矩阵中的第一行一和第二行一的数值。
例如，如果我们需要将点P1(2,3)绕（0，0）点逆时针旋转60°，则新坐标为：x' cos60° sin60° 2y' =-sin60° cos60° * 3=(-1.5,2.6)四、平面直线和旋转变换平面直线是由坐标系中两个点及其坐标所直接定义的，因此，如果需要对直线进行旋转，就需要借助于坐标系的旋转变换。
高考数学中的坐标变换解析技巧
高考数学中的坐标变换解析技巧高考数学是考生必须面对的一项大考，而其中数学部分又是很多人感到头痛的难点。
尤其是在坐标系中的几何变换题目，常常让考生们懵逼。
今天，我将从解析的角度，为大家分享一下高考数学中的坐标变换技巧。
一、平移变换平移变换是最基本的一种坐标变换，它将一个图形沿着平行方向移动到另一个位置。
在二维坐标系中，平移变换可以用向量表示。
对于平面上一个点 P（x，y）和向量 a（u，v），它的平移点就是P′（x+u，y+v）。
其中向量 a 就是平移向量，它的起点和终点分别是两个点。
那么，在高考数学中，我们如何应用平移变换呢？举个例子，如果给出两个平面上的点 A（2，3），B（4，6），让我们求通过A、B 两点的一条直线上所有点的坐标，则可以通过平移变换来解决。
我们可以将点 A 平移到坐标系原点，此时点 B 就成了向量（2，3），然后我们再将向量（1，3）的所有倍数加到向量（2，3）上以获得直线上所有点的坐标。
最后再将所有坐标加上向量（2，3）即可得到直线上所有点的坐标。
二、旋转变换旋转变换指的是将一个图形绕坐标系的某个点旋转一定角度后，得到一个新的图形。
在二维坐标系中，旋转变换可以用矩阵表示。
对于任意一个点 P（x，y）和平面内的旋转中心 O（a，b），若点P 绕图形中心 O 逆时针旋转θ 角度，则点 P 的新坐标为：x' = (x - a)cosθ - (y - b)sinθ + ay' = (x - a)sinθ + (y - b)cosθ + b在高考数学中，我们经常遇到的旋转变换题目就是要求我们将某个图形按照一定的角度旋转后，再求出旋转后图形上某一点的坐标。
例如，如果给出一个点 P（2，3），它绕点 O（1，1）逆时针旋转 60 度后所得的新坐标是多少，我们可以通过上述公式进行计算。
三、对称变换对称变换具有两种，分别是关于 x 轴和 y 轴的对称变换。
它们可以分别表示为 Sx 和 Sy，它们分别将一个点的横纵坐标分别关于 x 轴或 y 轴取相反数得到新的点的坐标。
数学中的几何变换与坐标系
数学中的几何变换与坐标系几何变换与坐标系是数学中的重要概念，它们在几何学和代数学中有广泛的应用。
通过几何变换，我们可以改变图形的位置、形状和大小，而坐标系则为我们提供了一种描述和确定图形位置的方法。
本文将介绍几何变换的基本类型以及与之相关的坐标系。
一、平移平移是最简单的几何变换之一，它通过沿着某个方向将图形上的点移动一定的距离。
平移可以改变图形的位置，但不改变其形状和大小。
在平面几何中，我们可以使用平移矢量来描述平移变换，它包括水平方向上的平移距离和垂直方向上的平移距离。
在坐标系中，可以使用坐标表示点的位置。
假设一个点的坐标为(x, y)，进行平移变换后，新点的坐标为(x + a, y + b)，其中，a和b分别是平移矢量的水平和垂直分量。
二、旋转旋转是将图形围绕某个旋转中心按一定角度进行转动的几何变换。
旋转可以改变图形的位置、形状和方向。
在平面几何中，我们可以使用旋转角度来描述旋转变换，正角度表示逆时针旋转，负角度表示顺时针旋转。
在坐标系中，可以使用旋转矩阵来进行坐标点的旋转变换。
假设一个点的坐标为(x, y)，按照逆时针旋转α度后，新点的坐标为(x', y')，则有以下公式：x' = x * cosα - y * sinαy' = x * sinα + y * cosα其中，cosα和sinα分别表示旋转角度α的余弦和正弦值。
三、缩放缩放是改变图形大小的几何变换，它可以将图形的各个部分按一定比例进行扩大或缩小。
缩放可以改变图形的形状、大小和方向。
在平面几何中，我们可以使用缩放因子来描述缩放变换。
在坐标系中，可以使用缩放矩阵来进行坐标点的缩放变换。
假设一个点的坐标为(x, y)，按照水平方向和垂直方向的缩放因子分别为sx和sy进行缩放后，新点的坐标为(x', y')，则有以下公式：x' = x * sxy' = y * sy四、镜像镜像是图形相对于某个轴线进行对称的几何变换，它可以改变图形的位置和方向，但不改变其形状和大小。
高考数学中的坐标系变换
高考数学中的坐标系变换高考中的数学考试一直是众多考生心中的重头戏。
数学中有一个重要的知识点就是坐标系变换，它在解决各种几何、代数和数学物理问题时有着广泛的应用。
本文将为您介绍高考数学中的坐标系变换，旨在帮助广大考生更好地掌握这一知识点。
一、坐标系的概念在数学中，坐标系是指由两条数轴（即x轴和y轴）构成的平面。
一般来说，我们将x轴称为横轴，y轴称为纵轴，它们分别表示不同的变量。
在二维坐标系中，每一个点都可以用(x,y)表示，其中x表示点在横轴上的位置，y表示点在纵轴上的位置。
如图1所示，点A的坐标就是(3,4)。
[图1]二、坐标系基本变换坐标系变换是指在平面上对坐标轴进行移动、旋转和翻转等操作，而不改变平面上的点的集合。
下面分别介绍几种常见的坐标系变换：1. 平移变换平移变换是指将整个坐标系在平面上按照某个方向进行移动，不改变平面上的点的集合。
如果将坐标系沿x轴正方向平移a个单位，沿y轴正方向平移b个单位，那么以前坐标系中的点(x,y)在新坐标系中表示为(x-a, y-b)。
如图2所示，通过将坐标系沿x轴正方向平移3个单位，并沿y轴正方向平移2个单位，点A的坐标就变成了(4,6)。
[图2]2. 旋转变换旋转变换是指将整个坐标系在平面上按照某个角度进行旋转，不改变平面上的点的集合。
如果将坐标系逆时针旋转θ个角度，那么以前坐标系中的点(x,y)在新坐标系中表示为(x*cosθ-y*sinθ, x*sinθ+y*cosθ)。
如图3所示，通过将坐标系逆时针旋转45度，点A的坐标就变成了(-0.71,5.66)。
[图3]3. 翻转变换翻转变换是指将整个坐标系在平面上按照某个轴进行翻转，不改变平面上的点的集合。
如果将坐标系绕x轴进行翻转，那么以前坐标系中的点(x,y)在新坐标系中表示为(x,-y)；如果将坐标系绕y轴进行翻转，那么以前的坐标系中的点(x,y)在新坐标系中表示为(-x,y)。
如图4所示，通过将坐标系绕y轴进行翻转，点A的坐标就变成了(-3,4)。
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1. (2016 广西河池市) 】．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（1,3）．将线段OA 绕原点O 逆时针旋转30°，得到线段OB ，则点B 的坐标是（ ）A ．(0,2)B ．(2,0)C ．（1,―3）D ．（―1,3）答案：】．答案A逐步提示作AC ⊥x 轴于点C ，根据勾股定理求出OA 的长，根据正切的概念求出∠AOC 的度数，再根据旋转变换即可得解.详细解答解：过点A 作AC ⊥x 轴于点C .∵点A 的坐标为（1,3），∴OC ＝1，AC ＝3．∴OA ＝12＋ (3)2＝2.∵tan ∠AOC ＝AC OC＝3,∴∠AOC ＝60°.∴将线段OA 绕原点O 逆时针旋转30°得到线段OB 时，点B 恰好在y 轴上.∴点B 的坐标是(0,2) .故选择A.解后反思本题通过作垂线，将点的坐标转化为线段的长度，应用勾股定理求斜边的长，应用特殊角的三角函数值求出特殊角的度数，再根据旋转的方向和角度确定所求点的位置，最后写出其坐标.关键词 图形旋转的特征、特殊角三角函数值的运用、点的坐标20160926210454015732 4 坐标系中的旋转变换 选择题 基础知识 2016/9/262. (2016 广西贺州市) 】．如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A ′B ′，那么A （﹣2，5）的对应点A ′的坐标是（ ）A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）答案：】．考点坐标与图形变化-旋转．分析由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论．解答解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，∴AO=A′O．作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，∴∠ACO=∠A′C′O=90°．∵∠COC′=90°，∴∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′，∴∠AOC=∠A′OC′．在△ACO和△A′C′O中，，∴△ACO≌△A′C′O（AAS），∴AC=A′C′，CO=C′O．∵A（﹣2，5），∴AC=2，CO=5，∴A′C′=2，OC′=5，∴A′（5，2）．故选：B．点评本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键。
20160926195312687961 4 坐标系中的旋转变换选择题基础知识2016/9/263. (2016 广东省茂名市) 】．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y=x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y=x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A8的横坐标是．答案：】．考点坐标与图形变化-旋转；一次函数图象与几何变换．分析先求出点A2，A4，A6…的横坐标，探究规律即可解决问题．解答解：由题意点A2的横坐标（+1），点A4的横坐标3（+1），点A6的横坐标（+1），点A8的横坐标6（+1）．故答案为6+6．点评本题考查坐标与图形的变换﹣旋转，一次函数图形与几何变换等知识，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，由规律解决问题，属于中考常考题型．三、20160926163457343134 4 坐标系中的旋转变换 填空题 双基简单应用 2016/9/264. (2016 山东省临沂市) 】．如图，将等边△ABC 绕点C 顺时针旋转120°得到△EDC ，连接AD 、BD ，则下列结论：①AC=AD ；②BD ⊥AC ；③四边形ACED 是菱形.其中正确的个数是(A) 0 .(B) 1 . (C) 2 .(D) 3 .答案：】．D20160926132328296162 4 坐标系中的旋转变换 选择题 基础知识 2016/9/265. (2016 辽宁省丹东市) 】．】．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC 沿x 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB 2C 2，并直接写出点B 2、C 2的坐标．ED C B A答案：】．】．考点作图-旋转变换；作图-平移变换．分析（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．解答解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．20160926113336812114 4 坐标系中的旋转变换应用题基础知识2016/9/266. (2016 山东省聊城市) 】．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A1B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B3C3，写出△A2B3C3的各顶点的坐标．答案：】．答案(1)、图形见解析；A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）；(2)、图形见解析；A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；(3)、图形见解析；A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）.解析试题分析：(1)、利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；(2)、根据关于原点对称的点的坐标特征求解；(3)、利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．试题解析：(1)、如图，△A1B1C1为所作，因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），考点：(1)、坐标与图形变化-旋转；(2)、坐标与图形变化-平移20160926105557507087 4 坐标系中的旋转变换应用题基础知识2016/9/267. (2016 山东省济南市) 】．京剧脸谱、剪纸等图案蕴含着简洁美、对称美，下列选取的图片中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）答案：】．答案D解析A、B是轴对称图形但不是中心对称图形，C是中心对称图形但不是轴对称图形，所以A、B、C选项都不正确；D既是轴对称图形又是中心对称图形，所以D选项正确；故答案选D．20160926103459773498 4 坐标系中的旋转变换选择题基础知识2016/9/268. (2016 青海省西宁市) 如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在x轴上，OB在y轴上，点A，B 的坐标分别为（，0），（0，1），把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，则点O′的坐标为．答案：考点翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．分析作O′C⊥y轴于点C，首先根据点A，B的坐标分别为（，0），（0，1）得到∠BAO=30°，从而得出∠OBA=60°，然后根据Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，得到∠CBO′=60°，最后设BC=x，则OC′=x，利用勾股定理求得x的值即可求解．解答解：如图，作O′C⊥y轴于点C，∵点A，B的坐标分别为（，0），（0，1），∴OB=1，OA=，∴tan∠BAO==，∴∠BAO=30°，∴∠OBA=60°，∵Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，∴∠CBO′=60°，∴设BC=x，则OC′=x，∴x2+（x）2=1，解得：x=（负值舍去），∴OC=OB+BC=1+=，∴点O′的坐标为（，）．故答案为：（，）．点评本题考查了翻折变换及坐标与图形的性质的知识，解题的关键是根据点A和点B的坐标确定三角形为特殊三角形，难度不大．20160925152128437802 4 坐标系中的旋转变换填空题基础知识2016/9/259. (2016 内蒙古呼伦贝尔市) 】．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积是．答案：】．考点旋转的性质．分析在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB=5，由旋转的性质可知AD=A′D，设AD=A′D=BE=x，则DE=5﹣2x，根据旋转90°可证△A′DE∽△ACB，利用相似比求x，再求△A′DE的面积．解答解：Rt△ABC中，由勾股定理求AB==5，由旋转的性质，设AD=A′D=BE=x，则DE=5﹣2x，∵△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，∴∠A′=∠A，∠A′DE=∠C=90°，∴△A′DE∽△ACB，∴=，即=，解得x=，∴S△A′DE=DE×A′D=×（5﹣2×）×=，故答案为：．点评本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及旋转的性质．关键是根据旋转的性质得出相似三角形，利用相似比求解．20160925142202328972 4 坐标系中的旋转变换填空题基础知识2016/9/2510. (2016 内蒙古呼伦贝尔市) 】．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（）A．B．C．4 D．5答案：】．考点翻折变换（折叠问题）．分析设BQ=x，则由折叠的性质可得DQ=AQ=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BQD中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．解答解：设BQ=x，由折叠的性质可得DQ=AQ=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△BQD中，x2+32=（9﹣x）2，解得：x=4．故线段BQ的长为4．故选：C．点评此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．20160925142202125534 4 坐标系中的旋转变换 选择题 基础知识 2016/9/2511. (2016 江苏省宿迁市) 】．已知△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，D 是边AB 上一动点（A 、B 两点除外），将△CAD 绕点C 按逆时针方向旋转角α得到△CEF ，其中点E 是点A 的对应点，点F 是点D 的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G 是边AB 上一点，且BG =AD ，连接GF ．求证：GF ∥AC ；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE 与DF 相交于点M ．①当点M 与点C 、D 不重合时，连接CM ，求∠CMD 的度数；②设D 为边AB 的中点，当α从90°变化到180°时，求点M 运动的路径长．答案：】．答案（1）证明见解析；（2）①135°；②2． 解析试题分析：（1）欲证明GF ∥AC ，只要证明∠A =∠FGB 即可解决问题．（2）①先证明A 、D 、M 、C 四点共圆，得到∠CMF =∠CAD =45°，即可解决问题．∵2∠CAE +∠ACE =180°，2∠CDF +∠DCF =180°，∴∠CAE =∠CDF ，∴A 、D 、M 、C 四点共圆，∴∠CMF =∠CAD =45°，∴∠CMD =180°﹣∠CMF =135°．②如图3中，O 是AC 中点，连接OD 、CM ．∵AD =DB ，CA =CB ，∴CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°，由①可知A 、D 、M 、C 四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M 在以AC 为直径的⊙O 上，运动路径是弧CD ，∵OA =OC ，CD =DA ，∴DO ⊥AC ，∴∠DOC =90°，∴CD 的长=901180π⨯=2π，∴当α从90°变化到180°时，点M 运动的路径长为2π．考点：几何变换综合题．20160925111800203601 4 坐标系中的旋转变换应用题基础知识2016/9/25。