高等数学下册复习题模拟试卷和答案.

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高数下册试题及答案

高数下册试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。

A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3D. 3x^2 - 3x答案：A2. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 若函数f(x) = e^x，则f'(x)等于：A. e^xB. e^(-x)C. x * e^xD. 1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知曲线y = x^2 + 2x + 1，求该曲线在x = 1处的切线斜率。

答案：42. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。

答案：1/x3. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。

答案：1/34. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15，求f'(x)。

答案：3x^2 - 12x + 9三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值。

答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。

令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 11/3。

计算f''(x) = 6x - 12，可以判断x = 1处为极大值点，x = 11/3处为极小值点。

极大值为f(1) = 0，极小值为f(11/3) = -2/27。

2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2 - 2x + 1) dx。

答案：首先求原函数F(x) = x^3 - x^2 + x。

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分)1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为Cxy =．7．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共18分每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程．解:设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分）所求平面方程为 032=++z y x （6分） 2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解: πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分）⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ （6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π三、解答题（共35分每题7分)1．设vue z =，而22y x u +=,xy v =,求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ （6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分）2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定,求yz x z ∂∂∂∂,．解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -=,xz F y -=,xy e F zz -= （5分）xye yzF F x z zz x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂．（7分) 3．计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解:添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d （5分）ππ=-⋅=022 （7分)4．设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关,其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ,求)(x f ．解：由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+，即xe xf x f =-')()( （3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=，（6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x． (7分)5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解：因为)!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ （3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= （6分) 故该级数收敛．（7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分）0d 3-=⎰⎰⎰Ωv （6分）34213π⋅⋅=π2=． (7分) 五、（6分)在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=，令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分）由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅．由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大．（6分）六、（8分)求级数∑∞=1n nnx 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→nn a a R n n n n ,故收敛半径为1=R ．（2分) 当1-=x 时,根据莱布尼茨判别法，级数收敛; 当1=x 时，级数为调和级数,发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ,即∑∞==1)(n nnx x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分）再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分）七、（5分)设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ．解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ （2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分）由于上式右边可导,所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ,故3=C ．因此所求的函数为 )1(ln 3)(+=x x f ．(5分）八．（5分）已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解,xxe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为)(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解，从而有x x x x e C e C xe e y --++='2212, x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题（共30分每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=,则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π．4。

大学高数下册试题及答案

大学高数下册试题及答案《高等数学》测试题一一、选择题1．设有直线及平面，则直线A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交. 2．二元函数在点处A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝A．； B．；C．D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝A．7；B．；C．；D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式A．；B．；C．；D．. 二、填空题1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则0 ；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数； 5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 . 三、设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，则解出从而四、已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：，从而五、计算累次积分）. 解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比较方便，七．计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性从而八、计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、设二阶连续可导函数，适合，求．解：由已知即十一、求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。

令，则由推出，的坐标为附加题：1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解：从而收敛区间为，3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。

高等数学下考试题库(含答案)

精品文档n 02《高等数学》试卷1 （下）•选择题（3分10）n 1n A. p 1B. p 1C. p 1D. p 18.幕级数n x的收敛域为（).n 1nA. 1,1 B1,1C.1,1 D. 1,1A. a b 0B. a b 0C. a b 0D. a b 05屈数z 33x y3xy 的极小值是（）.A.2B. 2C.1D. 1z =( ).6.设zxsin y ，贝U —y1, 4昴A. 一B. ——C. <2D.42.2 2a 与b 垂直的充要条件是（ 4.两个向量 17.若p 级数—收敛，则（）1.点 M 1 2,3,1 到点 M 2 2,7,4 的距离M 1M 2A.3B.4C.5D.62.向量a i 2j k,b2ij ，则有（A. a // bB. a 丄 bC. a 4 -D. ： a,b3屈数y1 x2 y 2 1的定义域是A. x, y 1 x 2B. x,y 1 x 2C. x, y 1x 2D x, y 1x 29.幕级数x n在收敛域内的和函数是（)n 0 21 A.1 x2 2C ・-1 x1D.-2 xB・2 x10・微分方程xy yin y0的通解为（)•xB・ xxD. y eA. y cey e C. y cxe填空题（4分5）2•函数 z sin xy 的全微分是 ____________________________________1 4.^^的麦克劳林级数是 ___________________________________2 x5.微分方程y 4y 4y 0的通解为三.计算题（5分6）1.设 z e u sin v ,而 u xy, v xy ，求-^,x zy2.已知隐函数z z x, y由方程x C222y z4x 2z 50确定，求,x y/ 2 23.计算 sin 、x y d ，其中D2 2x 2 2y 4 .D 四•应用题（10分2）1•一平面过点A 0,0,3且垂直于直线 AB ，其中点B 2, 1,1，则此平面方程为 _________________________ 532^33•设 z x y 3xy2/ 小 zxy 1，贝U ------x y4•如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（ R 为半径）2x5•求微分方程y 3y e 在y xo 0条件下的特解1•要用铁板做一个体积为2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省?2..曲线y f x上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的求此曲线方程2倍，且曲线过点1,3一.选择题 CBCAD ACCBD 二填空题1.2x y2z 6 0.2. cos xy ydx xdy .3.6x 2y9y 2 1 .三.计算题Z xy, e xsin x y cos x y yz2.— X 2 X J 1 zy2y z 1 .z 2 23.dsind 6 216 34.- R 3 . 33x 2x5. y e e四.应用题1. 长、宽、高均为3 2m 时，用料最省1 2 2. y x .3《高数》试卷2 （下）一.选择题（3分10）1.点 M 1 4,3,1，M 2 7,1,2 的距离 M 1M 2 （）.2.设两平面方程分别为 x 2y 2z 1 0和 x y 5 0，则两平面的夹角为（试卷1参考答案4.1n2n5. yC i C 2X e2x.z xy .1. e ysin x xcos x y A. 12B. 13C. 14D. 15A. 6B.4C. 3D.?3.函数 z arcs in x 2 y 2的定义域为（ A. x, y 0B. x,y 0 y 2 1C. x, y 0 x 2D. x,y 0 x 2 4•点P 1, 2,1 到平面 x 2y 2z 0的距离为（ A.3 B.4 C.5 D.6 5屈数z 2xy 3x 2 2y 2的极大值为（） A.0 B.1 C. 1 1 D.- 26.设z2 小 x 3xy y 2，则—1 x 1,2 ( ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数 ar n 是收敛的，则（）.n 0A. r 1B. r 1C. ” 1D. r8.幕级数 n 1 x n 的收敛域为 ( )n 0A. 1,1B. 1,1C. 1,1D.1,1sin na 9.级数 4 疋（）. n 1 nA.条件收敛B.绝对收敛 c.发散 10.微分方程xy yl ny 0的通解为（ A. y e cx B. x — y ceC. y x e 二填空题（4分 5) x 3 1.直线l 过点A 2,2, 1且与直线y t)•D. D.不能确定 xy cxe平行，则直线I 的方程为2t2.函数z e xy 的全微分为3•曲面z 2x2 4y2在点2,1,4 处的切平面方程为 _______________________________________________ 14. 12的麦克劳林级数是__________________________ •1 x25•微分方程xdy 3ydx 0在y x11条件下的特解为________________________________ •三•计算题（5分6）1. 设a i 2j k,b2j 3k ,求a b.四.应用题（10分2）2.设z u2v uv2，而u xcosy,v xsin y，求—z3.已知隐函数z z x,y3由x 3xyz 2确定，求5.求微分方程y 3y2ax（a 0）所围的几何体的体积4a2与圆柱面x2 2 y2y 0的通解.1.试用二重积分计算由y x,y 2 x和x 4所围图形的面积.2.如图，以初速度v。

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《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）.A.3 B 。

4 C 。

5 D 。

62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（）.A 。

a ∥bB 。

a ⊥b C.3,π=b a D 。

4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.A 。

(){}21,22≤+≤y x y x B 。

(){}21,22<+<y x y xC 。

(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4。

两个向量a 与b垂直的充要条件是（）.A 。

0=⋅b a B.0 =⨯b a C 。

0 =-b a D.0 =+b a5。

函数xy y x z 333-+=的极小值是（ )。

A.2 B.2- C 。

1 D.1- 6。

设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝( ).A 。

22B.22-C.2 D 。

2-7。

若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（）. A 。

p 1< B 。

1≤p C 。

1>p D.1≥p8。

幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（）。

A 。

[]1,1-B ()1,1- C.[)1,1- D 。

(]1,1-9。

幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是( ）.A.x -11 B 。

x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）。

A 。

xce y = B 。

xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5)1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2。

函数()xy z sin =的全微分是______________________________。

高等数学下考试题库（附答案）

⾼等数学下考试题库（附答案）《⾼等数学》试卷1（下）⼀.选择题（3分?10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+C.(){}21,22≤+y x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（）.A.0=?b aB.0 =?b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极⼩值是（）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则4,1πyz ＝（）.A.22 B.22- C.2 D.2- 7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=??02在收敛域内的和函数是（）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分⽅程0ln =-'y y y x 的通解为（）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =⼆.填空题（4分?5）1.⼀平⾯过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平⾯⽅程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6）1.设v e z usin =，⽽y x v xy u +==,，求.,yz x z 2.已知隐函数()y x z z ,=由⽅程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z 3.计算σd y x D+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱⾯所围成的⽴体的体积（R 为半径）.四.应⽤题（10分?2）1.要⽤铁板做⼀个体积为23m 的有盖长⽅体⽔箱，问长、宽、⾼各取怎样的尺⼨时，才能使⽤料最省？ .试卷1参考答案⼀.选择题 CBCAD ACCBD ⼆.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=??cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=??cos sin . 2.12,12+=??+-=??z yy z z x x z . 3.?=πππρρρ?202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应⽤题1.长、宽、⾼均为m 32时，⽤料最省.2..312x y =《⾼数》试卷2（下）⼀.选择题（3分?10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平⾯⽅程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平⾯的夹⾓为（）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+C.()?≤+≤20,22πy x y x D.()?<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平⾯0522=--+z y x 的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数2 2232y x xy z --=的极⼤值为（）.A.0B.1C.1-D.21 6.设223y xy x z ++=，则()=??2,1xz （）.A.6B.7C.8D.9 7.若⼏何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（）.A.1≤rB. 1≥rC.1D.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定⼆.填空题（4分?5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线??-==+=t z t y t x 213平⾏，则直线l 的⽅程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲⾯2242y x z -=在点()4,1,2处的切平⾯⽅程为_____________________________________.三.计算题（5分?6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ?2.设22uv v u z -=，⽽y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z 4.如图，求球⾯22224a z y x =++与圆柱⾯ax y x 222=+（0>a ）所围的⼏何体的体积.四.应⽤题（10分?2） 1.试⽤⼆重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的⾯积.试卷2参考答案⼀.选择题 CBABA CCDBA. ⼆.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=??-=?? . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=??+-=??. 4.-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应⽤题1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《⾼等数学》试卷3（下）⼀、选择题（本题共10⼩题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k 3、点P （-1、-2、1）到平⾯x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ,分别为（） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆⼼在原点，半径为R ，⾯密度为22y x +=µ的薄板的质量为（）（⾯积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n⼆、填空题（本题共5⼩题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹⾓为z y x =-+=-1321___________。

高等数学下册复习题模拟试卷和答案(简单实用共七套题)

高等数学（下）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =+的定义域为（2）已知函数arctanyz x =，则zx∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y ydy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（）A. L 平行于πB. L 在π上C. L 垂直于πD. L 与π斜交（2xyz +=(1,0,1)-处的dz =（）A.dx dy +B.dx ++D.dx -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dvΩ+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（） A.225300d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰D. 2252d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（）A. 2B. 1C. 12D. （5）微分方程3232xy y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（） A.B.()xax b xe + C.()xax b ce ++D.()x ax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分）1、求过直线1L :12311x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程2、已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， zy ∂∂ 3、设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy⎰⎰4、求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()yL xy x dx x e dy ++-⎰，其中L 为摆线sin 1co s x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面z =与上半球面z =(10)' 2、（1）判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）模拟试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数ln(1)z x y =--的定义域为；（2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)ex dx f x y dy⎰⎰＝；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1B 之间的一段弧，则L=⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设(,)z f x y =是由方程333z xyz a -=确定，则zx∂=∂（）；A. 2yzxy z - B. 2yzz xy - C. 2xzxy z - D. 2xyz xy - （3）微分方程256xy y y xe'''-+=的特解y *的形式为y *=（）；A.2()xax b e+ B.2()xax b xe+ C.2()x ax b ce ++ D.2()xax b cxe++（4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（）； A222000sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.22000ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.200ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x∞=-∑，则其收敛半径（）.2B. 1C. 12 D.三．计算题（每题8分，共48分）5、求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、已知(sin cos ,)x yz f x y e+=，求zx ∂∂， zy ∂∂ .7、设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDy dxdyx⎰⎰ .8、求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x xLe y y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程32(1)1yy x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n nnn π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1nn xn ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷三一．填空题（每空3分，共15分）1、函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = .4、定积分1200621(sin )xx x dx -+=⎰ .5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx=.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的间断点（A ）可去（B ）跳跃（C ）无穷（D ）振荡2、积分10⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是。

高等数学下册试题及答案解析.docx

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题 3 分，共计24 分）1、z =log a ( x2y 2 )( a 0) 的定义域为D=。

2、二重积分ln( x2y 2 )dxdy 的符号为。

|x| |y| 13 、由曲线y ln x 及直线x y e 1 ， y 1 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4L 的参数方程表示为x(t)(x),则弧长元素ds。

、设曲线y(t)5 、设曲面∑为x2y 29 介于z0 及 z 3 间的部分的外侧，则（x2y21)ds。

6、微分方程dyy tany的通解为。

dx x x7、方程y( 4) 4 y0 的通解为。

8、级数1的和为。

n1n(n1)二、选择题（每小题 2 分，共计16 分）1、二元函数z f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处可微的充分条件是（）（A）f ( x, y)在(x0, y0)处连续；（B）f x( x, y)，f y( x, y)在( x0, y0)的某邻域内存在；（ C）z f x (x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 ) y 当( x) 2(y) 20 时，是无穷小；（ D）lim z f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y0。

22x0(x)( y) y02、设u yf ( x)xf (y), 其中 f 具有二阶连续导数，则x2u y 2 u等于（）y x x 2y 2（A）x y ；（ B）x；(C) y；(D)0。

3、设： x 2y 2z21, z0, 则三重积分I zdV 等于（）（ A ） 4 2d2 d1 3sin cos dr ；r 02 dd 1 dr ；（ B ）r 2 sin0 022 d13sin cos dr ；（ C ）dr0 02d 13sin cos dr 。

（ D ）dr0 04、球面 x 2 y 2z 2 4a 2 与柱面 x 2 y 22ax 所围成的立体体积 V=（）（A ） 4 2d2 a cos 4a2r 2dr ；（B ） 4 2d2 a cos r 4a2r 2dr ；（C ） 8 2d2 a cos r 4a2r 2dr ；（D ）2d2a cos r 4a2r 2dr 。

高数模拟试卷2及答案

第二学期期末考试模拟试卷2课程名称：高等数学闭卷 A 卷 120分钟一、填空题(每小题3分，共15分)1．设u=x 4+y 4-4x 2y 2 ，则u x x =12x 2-8y 2 2．设u=xy+y/x ，则u y = x+1/x3．函数z=x 2+4xy-y 2+6x-8y+12的驻点是 (1, -2)4．设幂级数∑∞=0n nn xa的收敛半径是4，则幂级数∑∞=+012n n nx a的收敛半径是 R=25．设Σ是柱面x 2+y 2=4介于1≤z ≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz 轴的一侧，则⎰⎰∑++dxdyz y x 222= 0二、单选(每小题2分，共8分)1、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的：(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。

答（A ） 2、微分方程y x y y ''=''+'满足条件y’(2)=1, y(2)=1的解是 (A) y=(x-1)2 (B) y=(x+1/2)2-21/4 (C) y=1/2(x-1)2+1/2 (D) y=(x-1/2)2-5/4答（C ）3、若方程0=+'+''qy y p y 的系数p+qx=0，则该方程有特解 (A) y=x (B) y=e x (C) y=e – x (D) y=sin x 答（A ）4、微分方程x y y sin ='+'''的一个特解应具有形式答（D ） (A) Asin x (B) Acos x (C) Asin x +Bcos x (D) x(Asinx+Bcosx) 三、解答下列各题1． (本小题6分)利用二重积分计算由曲面z=x 2+y 2，y=1，z=0，y=x 2所围成的曲顶柱体的体积。

高等数学下考试题库(附答案)

高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。

高等数学下册试卷及答案

高等数学〔下册〕考试试卷〔一〕一、填空题〔每题 3 分，共计 24 分〕1、 z = log a(x 2 + y 2 )(a > 0) 的定义域为 D=。

2、二重积分jj ln(x2+ y 2 )dxdy 的符号为。

|x|+|y|共13、由曲线 y = ln x 及直线 x + y = e +1，y = 1 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线 L 的参数方程表示为〈 (a 共 x 共 b), 则弧长元素 ds =。

5 、设曲面 ∑ 为 x 2 + y 2 = 9 介于 z = 0 及 z = 3 间的局部的外侧，则jj (x 2+ y 2+ 1)ds = 。

xdy y y1、二元函数 z = f(x,y) 在 (x 0 , y 0 ) 处可微的充分条件是〔〔A 〕 f(x,y) 在(x 0 , y 0 ) 处连续；〔B 〕 f x ,(x, y) ， f y ,(x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 的*邻域存在；〔C 〕编z - f x ,(x 0 , y 0 )编x - f y ,(x 0 , y 0 )编y 当 (编x)2 +(编y)2 ) 0 时，是无穷小；〔D 〕 lim编z - f x ,(x 0 , y 0 )编x - f y ,(x 0 , y 0 )编y = 0。

编x)0(编x)2 + (编y)2y x ?x 2 ?y 2〔A 〕 x + y ；〔B 〕 x ； (C) y ； (D)0 。

3、设 Q ：x 2 + y 2 + z 2 共1,z > 0, 则三重积分 I =jj zdV 等于〔〕Qj6、微分方程= + tan 的通解为。

dx x x7、方程 y (4) - 4y = 0 的通解为。

8、级数 xw 1 的和为。

二、选择题〔每题 2 分，共计 16 分〕2、设 u = yf(x) + xf(y), 其中 f 具有二阶连续导数，则 x 2u + y?2u等于〔〕 n=1n(n + 1) 编y)0〕(x = Q(t) ly =v(t)〔A 〕4jd9j dQ j 01r 3 sinQ cosQdr ；〔B 〕j2 d9jdQ j 01r 2 sinQdr ；〔C 〕j2d9j dQ j 01r 3 sinQ cosQdr ；〔D 〕j2d9jdQ j 01r 3 sinQ cosQdr 。

高等数学下期末试题(七套附答案)

高等数学（下）试卷-、填空题（每空3分，共15分）1 1z 二-（1） ___________________________________________________________ 函数 .x yX - y的定义域为 _____________________________________________________z = arcta n 》—=（2）已知函数x ，贝y 汉 _____________________22y、 [dW 2 f （x, y ）dx （3 ）交换积分次序， '0 ' y = ___________________（4）已知L 是连接（0,1）＞（1,0）两点的直线段，则L（x y）ds 二 __________（5） __________________________________________________________________ 已知微分方程 y ： 2y • -3y = 0，则其通解为 ____________________________________二、选择题（每空3分，共15分）zSz(1)A. x 3y 2z 1 = 0设直线 L 为 2x-y "Oz ，3"，平面二为4x-2y • z -2=0L 平行于二 (2) ( 设 ) A . dxdy C. L 垂直于兀是由方程xyz• x yz =、2确定，则在点B. L 在二上B dx + 72dyC^dx + ddy，则（）D. L 与二斜交（1,0^1）处的 dz二（3）已知l ■■是由曲面4z^25（x 2 y 2）及平面在柱面坐标系下化成三次积分为（）2二 2 3 5 [d 。

[ r dr 「dzA $0 』0 』0z = 5所围成的闭区域，将 D.dx-V2dy2 2(x y )dvQB. 2二4 35d 「0r dr .0dz… 2 3r drJ 0』0C.5 5 dz r2D.2 25d 「°rdr _dz（4）已知幕级数 -，则其收敛半径A. 2B. 1（5）微分方程y ；3y ' 2y =3x -2e x 的特解 C. 2y”的形式为y=D.B (ax+b)xe x(ax b) ce xA.D (ax +b) +cxe x三、计算题(每题8分，共48分) x -1 y _2 z _3 x 2 求过直线L 1:10 Ty-1 C.1、且平行于直线L2:2z11的平面方程\ I x 2dxdyD2、已知z = f（xy2,x2y），求，：：y2 23、设D二｛（x，y）x y M｝，利用极坐标求4、求函数f(x,y)二e2x(x y2 2y)的极值"x = t —si nt5、计算曲线积分L (2xy 3sinX*彼-e)dy其中L为摆线yd cost从点0(°, 0)到A(二,2)的一段弧6、求微分方程xy * y = xe x满足yT的特解四•解答题(共22分)2xzdydz+ yzdzdx—z dxdy1、利用高斯公式计算住n J3的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛;O0n瓦nx(2)在X，(-11)求幕级数n4高等数学(下)试卷二- •填空题(每空3分，共15分)J4x_y2z = 2 ~(1) ______________________________________________ 函数In(1 - x -y )的定义域为_____________________________________________________________ ；(2) 已知函数z二e xy，则在(Z 1)处的全微分dz=___________________ ；e In x亠 1 dx「f (x, y)dy(3 )交换积分次序，'1 0= __________________ ;2(4 )已知L是抛物线y = X上点0( 0 , 0与点B( 1 , 1之间的一段弧，则L ： yds =-------------------- ?(5)已知微分方程y “ - 2y ' y = 0，则其通解为_____________________________ .二•选择题(每空3分，共15分)x y 3z = 0(1)设直线L为x-y-z^O ，平面二为x-y-zJ"，则L与二的夹角为( )；兀兀兀A. 0B. 2C. 3D. 43 小是由方程z_3xyz_a:z(2 ) 严X 1 3确定，则汶(设);yz yz xz xy2 2 2 2其中V由圆锥面z - X2y2与上半球面z二〔2 -x? - /所围成的立体表面的外侧(10 ) □0■- ( _1)2、( 1)判别级数心(&)的和函数(6)A. xy _ zB. z_xy C. xy-zD.z—xy(3)微分方程y -5/ 6^xe2x的特解y的形式为y ();2、°°ITn 」 n,"2sin 飞1、（ 1）（ 6 ）判别级数n生 3的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；inz —（2）（ 4 ）在区间（一1,1）内求幕级数n^ n的和函数.ii2xdydz ydzdx zdxdy（12 ）利用高斯公式计算二，'为抛物面z = X 2 • y 2 （ 8 z 乞的下侧A. (ax +b)e 2xB. (ax +b)xe 2xC. (ax +b) +ce 2x (4)已知丨■■是由球面三次积分为(2-a 2dr 2sin d r drA 02：-；[d T 『d ®『rdr2 2 2 2xy z =a 所围成的闭区域，将）；D. (ax + b) + cxe 2x...dvQ在球面坐标系下化成B.2adr 2d 「 rdrD.a2r dr（5）已知幕级数Q0Zn 42n 1x n2n，则其收敛半径 B. 1二(C. 2D. 2（每题8分,共 48 分)6、7、且与两平面二1 ：x 2z =1 和.z■:y:z已知 z 二 f(sin xc°sy,e x y)，求：:x ，设 D 二{(x, y) X 2 y 2乞 1,0 乞 y 乞 X}, 8、求函数f (x, y)二 L 为沿上半圆周y6、求微分方程四.解答题（共22分）二2： y-3z =2平行的直线方程. y11arctan dxdy 利用极坐标计算 Dx.2 2 X5y-6x 10y 6的极值.c 知叭夂栽八于斗瞥 I (e x siny —2y)dx + (e x c°sy — 2)dy 其中9、利用格林公式计算 L ，其中2 2 2 (x-a) y =a,y _0、从 A(2a,0)到。

高等数学下册复习题答案

当( x , y ) (0,0)时, P , Q ,
P Q , 均为连续函数 , 所以原点在 L外时, 积分为零 y x
P Q 的充分必要条件为 , 我们得到a 1 y x
当a 1时 , 原点在L内时, 作一原点为中心 , 半径为r的圆周c , 使c 包含在L内, 在介于L , c之间的区域用格林公式

D D
z Σ1 Σ Σ2 x y
3dV 5 3 4 5 8
十二、周期为 2的函数f ( x )在一个周期的表达式 x 1, x 0 f ( x) 2 x , 0 x 3 它的和函数为s( x ), 求s( ), s(0), s( ) 2
2x 1 1 2 ( 1 )n ( 1 n1 )( x 2 )n , 1 x 3 x x 2 n 0 4
八、设n是曲面2 x 2 3 y 2 z 2 6在点P (1,1,1)处指向外侧的法向量，求函数 u 1 6 x 2 8 y 2 在点P处的梯度及沿方向 n 的方向导数 z
f ( ) f ( ) 1 2 解：s( ) , 2 2 f (0 ) f (0 ) 0 1 0 2 1 s( 0) , 2 2 2 3 s( ) s( 2 ) s( ) f ( ) 1 2 2 2 2 2
给(1)(2)(3)分别乘
x, y, z
,比较可得
x2 y2 z2 2 2 2 a b c
代入(4)得所求点为 x
a b c ,y ,z . 3 3 3
十. 已知L是平面上不通过原点的任意一条简单闭曲线,取正向,问 a 为何值时, 积分 xdx aydy L x 2 y 2 0 为什么? x ay P 2 xy Q 2axy P ( x, y) 2 Q ( x , y ) , x y2 x 2 y 2 y ( x 2 y 2 ) 2 x ( x 2 y 2 ) 2

高数(下)模拟题答案

高数（下）试题（一）解答一、1．0；2．1a b ⋅= 、3πθ=；3．1x >；4．/2xy y =；5．10m =；6．(,)cos cos df x y y xydx x xydy =+；7．13x ≤<；8．312()x y c c x e -=+；二、 B ；A ；B ；A ；A ；C ；A ；D ；A ；C ；三、解：所求平面法向量为：11122111i jkn i j ==-+-故所求平面方程为：(1)(1)00x y x y ---=⇒-=．四、解：两边对x 求偏导得：(1)zz z z z yz yz e yz xy x x x xy z e xy ∂∂∂=+⇒==∂∂∂--；两边对y 求偏导得：(1)zz z z z xz xz e xz xy y y y xy z e xy ∂∂∂=+⇒==∂∂∂--．五、解：222222222244164(4)(4)Dx y x y x y dxdy x y dxdy x y dxdy +≤≤+≤+-=--++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2224220224442202(4)(4)2(2)2(2)8647244d r rdr d r rdrr r r r ππθθπππππ=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰⎰六、解：因为1(1)nn n a ∞=-∑发散，若lim 0n n a →∞=，则由交错级数可知，必有1(1)n n n a ∞=-∑收敛；故lim 0n n a →∞≠，由于0n a ≥，lim 0n n a →∞∴>，1lim lim11n n n n n u a →∞→∞∴=<+；故级数11()1nn n a ∞=+∑收敛．七、解：1(1)n a n n =+ ，1(1)lim lim1(1)(2)n n n na n n a n n +→∞→∞+==++，1;1R ρ∴== 又1x =±时，级数收敛，故收敛区间为[1,1]-；记12111()()()(1)1n n nn n n x x x S x S x S x n n n n ∞∞∞=====-=-++∑∑∑，则有： 1111'(),(11)1n n S x x x x ∞-===-<<-∑，10()ln(1)1xdxS x x x ∴==---⎰；又2211()(())',(11)11n n n n x xxS x xS x x x n x ∞∞===⇒==-<<+-∑∑ 20()ln(1)1xxdx xS x x x x ∴==----⎰，2ln(1)0,()1x x S x x -∴≠=--； ln(1)1ln(1),0()0,0x x x S x xx -⎧+--≠⎪∴=⎨⎪=⎩，又11,lim lim(1)11n n n x S S n →∞→∞===-=+．八、解：设圆柱体的高为h ，底面半径为r ，222()2hr R +=，又体积为2V r h π=；则拉格朗日函数为2222(,)()4h L r h r h R r πλ=+--，令2222220102()02Lrh r r Lr h h L h R r πλπλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪∂⎪=--=⎪∂⎩，解得2222,336h R r h R === 由实际问题可知，这样求得的h ，r 可使得圆柱体的体积最大．模拟试题（二）解答一、1．极小值；2．220(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dy ππππ-+⎰⎰⎰⎰；3．90；4．4；5．3(1)e e π-；6．1q >；二、C ；B ；D ；A ；B ；D ；B ；三、解：因为(3)(75)0(1)(4)(72)0(2)a b a b a b a b ⎧+⋅-=⎨-⋅-=⎩由(1)得22716150(3)a a b b +⋅-= ；由(2)得2273080(4)a a b b -⋅+= ；由(3),(4)得22b a b =⋅ 且有22b b = ，1cos 2a b a b θ⋅∴==⋅，3πθ=．四、解：设曲线方程为，设00(,)x y 为其上任一点，则切线方程为：'00()()y y f x x x -=-，切线必过原点，则有'000()y f x x -=-⋅；故曲线满足的微分方程为：dy y dy dx y cx dx x y x =⇒=⇒=；又曲线过点1(2,1)22xc y ⇒=⇒=．五、证明：设,,u tx v ty w tz ===，两边对t 求导得：1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w-∂∂∂++=∂∂∂ 两边乘以t 得：(,,)k f f f tx ty tz kt f x y z u v w∂∂∂++=∂∂∂ 即 (,,)f f f u v w k f u v w u v w ∂∂∂++=∂∂∂，(,,)f f f x y z kf x y z x y z∂∂∂∴++=∂∂∂．六、21n n a ∞=∑ 收敛，而211n n ∞=∑收敛，2211()n n a n ∞=+∑收敛；又2212n n a a n n +≥⋅，由比较判别法可知1n n a n∞=∑绝对收敛．七、432dx x y ay y =+为一阶线性微分方程，先求3dx x ay y = 33dx dy x cy x y =⇒=，令3'32()()3()dx x c y y c y y c y y dy=⋅⇒=⋅+；代入原方程得：'342()2()c y y y c y y c ⋅=⇒=+．故原方程的通解为：2353()x y c y y cy =+⋅=+；又53(0)20224y c c =⇒=+⋅⇒=-，即求得特解为534x y y =-．八、解：切向量为2{1,2,3}t t 垂直于{1,2,1}，则有211430,13t t t t ++=⇒=-=-，故所求之点为(1,1,1)--和111(,,)3927--．九、解：过点(1,1,1)作垂直于平面1x y z ++=的直线方程得：111111x y z ---==；用参数表示成：1;1;1x t y t z t =+=+=+，则此直线与平面的交点即为所求：2(1)(11)(1)13t t t +++++=⇒=-，投影坐标为：111(,,)333．十、解：特征方程为312300,1r r r r ⋅-=⇒==±，方程的通解为123xx c c ec e -++；又"(0)0,'(0)2,(0)0y y y ===，由此可解出10c =，21c =-，31c =；故满足要求的积分曲线为：x x y e e -=-+．模拟试题（三）解答一、1．76；2．2'3ln 3sin 1'sin 3xy y z F z x xz yz y F xy yz z ∂--=-=∂+；3．12S u -；4．(3,2)-，(1,0)； 5．3；6．32；7．12cos sin y C x C x =+；8．3322dx dy +；9．4(1)e π-；二、 C ；A ；D ；A ；C ；C ；C ；C ；C ；三、解：222()cos sin 111ax axax du u u dy u dz y z e e ae a x x dx x y dx z dx a a a αααααα-=+⋅+=+⋅++++．四、解：0!n xn x e n ∞==∑，121!x n n e x x n -∞=-∴=∑，111()(1)!x n n d e nx dx x n -∞=-∴=+∑；又因为211()x x x d e xe e dx x x --+=，所以12111()(1)!x n x x n d e nx xe e dx x n x -∞=--+∴==+∑ 当取1x =时，111(1)!1n n e e n ∞=-+==+∑．五、解：因为22(3412288)169x y z d ++-=设2222(,,,)(3412288)(1)96x F x y z x y z y z λλ=+--+++-，则有22216(3412288)0488(3412288)204(3412288)201096xy z F x y z x F x y z y F x y z z x F y z λλλλ⎧=++-+=⎪⎪=++-+=⎪⎨=++-+=⎪⎪=++-=⎪⎩，解得：72,3,16x y y z λ===± 得点的坐标为13(9,,)88和13(9,,)88---把点13(9,,)88和13(9,,)88---代入距离公式得：121232013,,13d d d d ==<，故最近点为13(9,,)88，最远点为13(9,,)88---．六、解：22(1)01(1)!lim1(1)n n n n n+→+++ 七、解：因为112231111()nn ii n n n i S a aa a a a a a a a +++==-=-+-++-=-∑故n S 单调递增，且有上界11a C -，所以n S 有极限，即原级数收敛．八、解：1．(2)()242240A B a b a b ab ba λλλλ⋅=++=+++=+=2λ∴=-2．6S A B =⨯=(2)()2226A B a b a b a b b a λλλ∴⨯=+⨯+=⨯+⨯=-=所以1λ=-或5λ=．九、1．04πθ≤≤，12r ≤≤；22440101sin cos r I d arctg rdr d rdrr ππθθθθθ∴==⎰⎰⎰⎰2222401()413342216464d rdr ππππθθ-==⋅==⎰⎰； 2．02πθ≤≤ ，01r ≤≤；1122220(1)(1)(1)(221)44I d ln r rdr ln r d r ln πππθ∴=+=++=-⎰⎰⎰．模拟试题（四）解答一、1．4a =-；2．32-；3．（1，－2，－3）；4．22x y -；5．[1,1]-；6．sin y x c =+； 7．220nn n a x ∞=∑；8．11001xI dx e dy e ==-⎰⎰；9．外积为零或a b λ= ；10．aR b =；二、 A ；A ；D ；B ；B ；C ；A ；C ；A ；C ；三、证明：'z f x ∂=∂ ，2"'zf x yϕ∂=⋅∂∂，''z f y ϕ∂=⋅∂，22"z f x ∂=∂； 222z z z z x x y y x∂∂∂∂∴⋅=⋅∂∂∂∂∂．四、解：2211x x y y yyx I dy e dx ydy e dy==⎰⎰⎰⎰ 2111100111(1)(1)222y x yy y yyedy y e dy ye dy y e ==-=-=--=⎰⎰⎰．五、解：六、解：设方程为660x y z D +-+=，即166x y zD D D ++=-- 11,6666D DD D ⋅⋅=∴=±；故所求方程为660x y z D +-±=．七、解：111222ABC S a b a c b c ∆=⨯=⨯=⨯即sin sin sin ab C ac B bc A ==；所以原式得证．八、解：1121(1)22n n n n a n a n ++⋅=→+⋅ ，2R ∴= 当2x =-时，11(2)2n n n n -∞=-⋅∑收敛；当2x =时，1122n nn n -∞=⋅∑发散即收敛区间为[2,2]-；设11()2n n n x S x n -∞==⋅∑，则两边求积分得：012()2212nx n n xx x S x dx x x ∞====--∑⎰ 22(),22(2)S x x x ∴=-≤≤-．九、解：设cos ,sin x y θθ==，并且θ是从π变到0，得sin (sin )cos cos d d πθθθθθθπ--=⎰．模拟试题（五）解答一、1．22221x y a b+≤；2．5、103、2；3．(0,0)；4．/2xy y =；5．1-、2y ；6．332；7．(1,1,2)；8．4e ；9．221x ce -+；10．0a b ⋅=二、 D ；C ；D ；C ；B ；A ；B 或C ；A ；D ；C ；三、解：210sin sin x x Dxx ds dx dy x x=⎰⎰⎰⎰112001100sin ()(1)sin 1(1)cos (1)cos cos 01sin1xx x dx x xdxxx d x x x xdx =-=-=-=--=-⎰⎰⎰⎰四、解：因为22(,)xy z f x y e =-121222xy xy zf x f ye xf ye f x ∂=⋅+⋅=+∂ 21112221222[(2)]()[(2)]xy xy xy xy xy zx f y f xe e xye f ye f y f xe x y∂=⋅-+⋅+++⋅-+⋅∂∂ 222111222242()(1)xy xy xy xyf e x y f e xy f xye f =-+-+++．五、解：因为(1)n a n n =+，1(1)(2)limlim 1(1)n n n na n n a n n +→∞→∞++==+，1;1R ρ∴==又1x =±时，级数发散，故收敛区间为(1,1)-；记11(1)()n n n n xs x ∞-=+=∑，两边积分得，01(1)()xn n n x s x dx ∞=+=∑⎰211()1xx n n x s x dxdx xx∞+===-∑⎰⎰，2//323()()1(1)x x s x x x -==-- 故31(23)(1)()(1)nn x x n n xxs x x ∞=-+==-∑．六、解：因为2222(26);6(26)6x y z d d x y z +--==+--设2222(,,,)(26)(21)F x y z x y z x y z λλ=+--+++-，则有2224(26)402(26)202(26)20210x y zF x y z x F x y z y F x y z z F x y z λλλλ=+--+=⎧⎪=+--+=⎪⎨=-+--+=⎪⎪=++-=⎩，解得：12x y z ==-=± 把点(1/2,1/2,-1/2)和(-1/2,-1/2,1/2)代入距离公式得：122646,33d d ==，故最近点为(1/2,1/2,-1/2)，最远点为(-1/2,-1/2,1/2)．七、/24621(arctan )11x x x x x==-+-++3572460arctan (1)357xx x x x x x x dx x =-+-+=-+-+⎰当1x =时，111arctan11357=-+-+1(1)111arctan111213574n n n π∞=-∴=-+-+=-=-+∑ ．八、解：直线的方向向量为：1443215ij kl i j k =-=-----方程为325431x y z +--==．。

高等数学下册复习题模拟试卷和答案

高等数学下册复习题模拟试卷和答案高等数学（下）模拟试卷一一、填空（每空3分，共15分）11?x?yx?y的定义域为（1）函数zy？Z那是阿肯斯吗？X（2）已知函数z??（3）交换积分次序，20岁？2yy2f（x，y）dx＝（4）已知l是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则二、选择题（每空3分，共15分）（x？y）ds？l（5）已知微分方程y2y??3y?0，则其通解为十、3岁？2z？1.0（1）将直线L设置为？2倍？Y10z？3.0，飞机？4X？2岁？Z2.0，然后（）a.l平行于?b.l在?上c.l垂直于?d.l不?斜交（2）设（）a、 dx？戴布。

dx？2dyc。

2dx？2码。

dx？2天（3）已知？表面4Z？25（x？Y）和平面Z？由5包围的封闭区域将被转换成柱坐标系中的三次积分，即（）a2?0252?04xyz?是由方程x2?y2?z2?2确定，则在点(1,0,?1)处的dz?222(x?52?y2)dv?d??r3dr?dz002502rb.Dr3dr？dz002？二万二千五百c.2.0d？？r3dr？5dzd然后是它的收敛半径（）0d？？rdr？DZ（4）已知幂级数1a.2b.1c.2d.十、2（5）微分方程y3y？？2岁？3倍？2E的特解y的形式是？（）a。

xxx(ax?b)xe(ax?b)?ce(ax?b)?cxeb.c.d.三、计算题（每题8分，共48分）x?2y?1zx?1y?2z?3ll11的平面方程0?1且平行于直线2：21、求过直线1:1?z?z22z?f(xy,xy)，求?x，?y2、已知3.设定d?{(x,y)x?y?4}，利用极坐标求2x222x？？dxdyd4、求函数f(x,y)?e(x?y?2y)的极值十、T辛特？（2xy？3sinx）dx？（x？e）dy？5.计算曲线积分L，其中L是摆线？Y1.成本从点算起2yo(0,0)到a(?,2)的一段弧xy？1的特解6、求微分方程xy??y?xe满足x?1四、回答问题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz？yzdzdx？zdxdy22z？十、Y其中，所述锥面不22z?2?x?y?)半球面所围成的立体表面的外侧(102、（1）判别级数n?1?(?1)?n?1n3n?1的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6?）（2）在X里？（？1,1）功率系列N？一nxn的和函数（6?）高等数学（第二部分）模拟试卷2一．填空题（每空3分，共15分）4x？y2z？22ln（1？X？Y）的结构域为；（1）功能xy（2）已知函数z?e，则在(2,1)处的全微分dz?；（3）交易所整合令，e1dxlnx0f(x,y)dy2＝；)点B（1,1）之间的弧，然后（4）我们知道l是抛物线y？X（0,0）上的点olyds；（5）已知微分方程y2y？？Y0，一般解决方案为2、多项选择题（每个空白3分，共15分）xy3z0（1）设直线l为?x?y?z?0，平面?为x?y?z?1?0，则l不?的夹角为（）；a、 0b。

高等数学下册试卷及答案

高等数学下册试卷及答案高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、z=loga(x+y)的定义域为D={(x,y)|x+y>0}。

2、二重积分∬|x|+|y|≤1 2ln(x+y)dxdy的符号为负。

3、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=1所围图形的面积用二重积分表示为∬(e+1-x)dx dy，其值为e-1.4、设曲线L的参数方程表示为{x=φ(t)。

y=ψ(t)} (α≤t≤β)，则弧长元素ds=√[φ'(t)²+ψ'(t)²]dt。

5、设曲面∑为x+y=9介于z=0及z=3间的部分的外侧，则∫∫∑(x²+y²+1)ds=18√2.6、微分方程y'=x/(y²+1)的通解为y=1/2ln(y²+1)+1/2x²+C。

7、方程y''-4y=tanx的通解为y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-1/2cosxsinx。

8、级数∑n=1∞1/(n(n+1))的和为1.二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数z=f(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是（B）f_x'(x,y)，f_y'(x,y)在(x,y)的某邻域内存在。

2、设u=yf(x)+xf(y)，其中f具有二阶连续导数，则x²+y²等于（A）x+y。

3、设Ω：x+y+z≤1.z≥0，则三重积分I=∭ΩzdV等于（D）∫0^1∫0^(1-z)∫0^(1-x-y)zdxdydz。

4、球面x²+y²+z²=16a²与柱面x²+y²=2ax所围成的立体体积V=（C）8∫0^π/2∫0^(2acosθ)∫0^√(16a²-r²)rdzdrdθ。

注：原文章中第一题的符号“>”应该是“≥”，已进行更正。