16两角和与差
两角和与差的正、余弦公式、正切公式、二倍角公式
1.已知tan 2α=，则tan 2α的值为 ． 【答案】43-【分析】222tan 224tan 21tan 123ααα⨯===---. 2．已知P （－3，4）为角α终边上的一点，则cos （π+α）= ．【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】35【分析】∵P （－3，4）为角α终边上的一点，∴x =－3，y =4，r =|OP |=5，∴cos （π+α）=－cos α=x r -=35--=35，故答案为35． 3．已知cos(α－β)=35，sin β=513-且α∈（0，π2），β∈（π2-，0），则sin α= ．【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．【答案】3365【分析】∵α∈（0，π2），β∈（π2-，0），∴α－β∈（0，π）， 又cos （α－β）=35，sin β=513-，∴sin （α－β）=21cos ()αβ--=45，cos β=21sin β-=1213，则sin α=sin[（α－β）+β]= sin （α－β）cos β+cos （α－β）sin β=45×1213+35×（513-）=3365．故答案为3365. 4.若0≤x ≤π2，则函数y =cos （x -π2）sin （x +π6）的最大值是 ．【考点】两角和与差的正余弦公式的应用．【答案】234+ 【分析】y =sin x （sin x 32⋅+12cos x ）=322sin x +12sin x cos x =()31cos 24x -+14sin2x =12sin （2x -π3）+34， ∵0≤x ≤π2，∴-π3≤2x -π3≤2π3，∴max y =12+34=234+. 5.已知过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），则tan （α+β）=________．【考点】平面的法向量． 【答案】1【分析】∵过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），∴－1－3tan β=0，12-tan α=－1．∴1tan 3β=-，tan α=2． ∴tan （α+β）=12tan tan 3111tan tan 123αβαβ-+==-+⨯，故答案为1． 6.在ABC △中，已知BC =8，AC =5，三角形面积为12，则cos2C = ．【考点】三角形面积公式，二倍角公式的应用． 【答案】725【分析】∵已知BC =8，AC =5，三角形面积为12， ∴12⋅BC ⋅AC sin C =12,∴sin C =35,∴cos2C =122sin C -=1-2×925=725. 7.某种波的传播是由曲线()()()sin 0f x A x A ωϕ=+>来实现的，我们把函数解析式()()sin f x A x ωϕ=+称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波()()11sin f x x ϕ=+与()()22sin f x x ϕ=+叠加后仍是“1类波”，求21ϕϕ-的值；（2）在“A 类波“中有一个是()1sin f x A x =，从 A 类波中再找出两个不同的波()()23,f x f x ，使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后()()()1230f x f x f x ++=，并说明理由．（3）在()2n n n ∈N,≥个“A 类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明． 【考点】两角和与差的正弦函数；归纳推理．【解】（1）()()()()1212sin sin f x f x x x ϕϕ+=+++ =1212(cos cos )sin (sin sin )cos x x ϕϕϕϕ+++，振幅是221212(cos cos )(sin sin )ϕϕϕϕ+++=()1222cos ϕϕ+-，则()1222cos ϕϕ+-=1，即()121cos 2ϕϕ-=-，所以122π2π,3k k ϕϕ-=±∈Z ． （2）设()()21sin f x A x ϕ=+，()()32sin f x A x ϕ=+， 则()()()()()12312sin sin sin f x f x f x A x A x A x ϕϕ++=++++=()()1212sin 1cos cos cos sin sin 0A x A x ϕϕϕϕ++++=恒成立， 则121cos cos 0ϕϕ++=且12sin sin 0ϕϕ+=， 即有：21cos cos 1ϕϕ=--且21sin sin ϕϕ=-，消去2ϕ可解得11cos 2ϕ=-， 若取12π3ϕ=，可取24π3ϕ=（或22π3ϕ=-等），此时，()22πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()34πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（或()32πsin 3f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭等）， 则()()()1231313sin sin cos sin cos 02222f x f x f x A x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+-++--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以是平波．（3）()1sin f x A x =，()22πsin f x A x n ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()34πsin f x A x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，…， ()()21πsin n n f x A x n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这n 个波叠加后是平波．8. (4分)已知sin α=3cos α，则cos 21sin 2αα=+ ________．【参考答案】 12-【测量目标】 运算能力/能根据法则准确的进行运算和变形. 【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦.【试题分析】 由已知先求tan α，因为sin α=3cos α，所以tan α=3，把所求的式子中的三角函数利用二倍角公式进行化简，然后化为正切形式，即可求值:222222cos 2cos sin 1tan 1911sin 2cos 2sin cos +sin 12tan tan 1692ααααααααααα---====-++++++.9.若tan （α－π4）=14，则tan α=______． 【参考答案】 53【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【考点】 两角和与差的正切函数.【试题分析】 ∵tan （α－π4）=14， ∴πtan tan4π1tan tan4αα-+=tan 11tan αα-+=14，解得tan α=53．故答案为53． 10.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos 4B =. (1)求2sin 2cos2A CB ++的值； (2)若3b =，求ABC △面积的最大值. 【考点】余弦定理，二倍角的正弦、余弦. 【解】(1)因为3cos 4B =,所以7sin 4B =, 又22π1sin 2cos2sin cos cos 2sin cos (1cos )222A CB B B B B B B +-+=+=+- =73113724488+⨯⨯+=. (2)由已知可得：2223cos 24a cb B ac +-==, 又因为3b =，所以22332a c ac +-=, 又因为223322a c ac ac +=+≥， 所以6ac ≤，当且仅当6a c ==时，ac 取得最大值.此时11737sin 62244ABC S ac B ==⨯⨯=△. 所以△ABC 的面积的最大值为374. 11.已知1sin 4θ=，则sin 2()4θπ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦__________. 【答案】78-【分析】27sin 2()cos 212sin 48θθθπ⎡⎤-=-=-+=-⎢⎥⎣⎦.12. 已知α为第二象限的角，sin α=35，则tan2α=_______________. 【答案】247-【分析】因为α为第二象限的角，又sin α=35，所以cos α=45-，tan α=sin cos αα=34-，tan2α=22tan 1tan αα-=247-.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 13.若△ABC 的内角A 满足sin2A =23，则sin A +cos A 等于（ ） A.153 B.153- C.53 D.53-【答案】A 【分析】∵0＜A ＜π，0＜2A ＜2π，又sin2A =23，即2sin A cos A =23，∴0＜A ＜π2, 2(sin cos )A A +=53，sin A +cos A =153，故选A. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 14.已知sin θ+cos θ=15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是___________. 【答案】725-【分析】由已知sin θ+cos θ=15①，2sin θcos θ= 2425-，又π2≤θ≤3π4，∴cos θ＜0，sin θ＞0. 2(cos sin )θθ-=4925，则sin θ－cos θ=75②，由①②知cos2θ=22cossin θθ-=725-. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.15.已知0＜α＜π2，sin α=45.（1）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；（2）求tan(α－5π4)的值.【解】∵0＜α＜π2，sin α=45，∴cos α=35，tan α=43.（1）22sin sin2cos cos2αααα++=222sin2sin cos2cos sinααααα+-=22tan2tan2tanααα+-=2244()23342()3+⨯-=20；（2）tan(α－5π4)=tan11tanαα-+=413413-+=17.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.16.已知x∈(π2-,0)，cos x=45，tan2x=（）A.724B.724- C.247D.247-【答案】D【分析】sin x=35-，tan x=34-，tan2x=22tan1tanxx-=247-，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.17.cos20cos351sin20︒︒-︒=（）A.1B. 2C.2D.3【答案】C【分析】cos20cos351sin20︒︒-︒=22cos10sin10cos35(cos10sin10)︒-︒︒︒-︒=cos10sin10cos35︒+︒︒=2sin55cos35︒︒=2，故选C.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.18.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c =62，则a、b、c大小关系是（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC. c＜b＜aD. a＜c＜b【答案】D【分析】由题意知，a =2sin59°，b =2sin61°，c =2sin60°，所以a＜c＜b，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.19.tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°=_____________.【答案】3【分析】tan60°= tan(20°+40°)=tan20+tan401tan20tan40︒︒-︒︒=3，∴3－3tan20°tan40°=tan20°+tan40°，移向即可得结果为3. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 20.已知sin2θ+cos 2θ=233，那么sin θ =______,cos2θ =___________. 【答案】13，79【分析】2(sin cos )22θθ+=1+ sin θ=43，sin θ=13，cos2θ=1－22sin θ=79. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 21.若1tan 1tan αα+-=2008，则1cos 2α+tan2α=_______________.【答案】2008【分析】1cos 2α+tan2α=1sin 2cos 2cos 2ααα+=1sin 2cos 2αα+=222(cos +sin )cos sin αααα-= cos +sin cos sin αααα-=1+tan 1tan αα-=2008.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 22.计算：sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=________.【答案】2+3【分析】sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=sin80cos15sin15cos10︒︒︒︒=cos15sin15︒︒=2+3．【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.23．求值：(1)sin6°sin42°sin66°sin78°;(2)22sin 20cos 50︒+︒+sin20°cos50°.【解】原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°=sin 6cos 6cos12cos 24cos 48cos 6︒︒︒︒︒︒=1sin12cos12cos 24cos 482cos6︒︒︒︒︒=1sin 24cos 24cos 484cos6︒︒︒︒=1sin 48cos 488cos6︒︒︒=1sin 9616cos6︒︒=1cos616cos6︒︒=116; (2)原式＝1cos 401cos1001(sin 70sin 30)222-︒+︒++︒-︒ ＝1+111(cos100cos 40)sin 70224︒-︒+︒-=31sin 70sin 30sin 7042-︒⋅︒+︒=34.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 24.已知tan α、tan β是方程2x -5x +6=0的两个实根，求22sin ()αβ+-3sin ()αβ+cos ()αβ++2cos ()αβ+的值． 【解】由韦达定理得tan α+tan β=5，tan α·tan β=6，所以tan(α+β)=tan tan 1tan tan αβαβ+-⋅=－1.原式=[22sin ()αβ+－3sin(α+β)cos(α+β)+2cos ()αβ+]/[22sin ()cos ()αβαβ+++]=222tan ()3tan()1tan ()1αβαβαβ+-++++=213(1)111⨯-⨯-++=3.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.。
两角和与差的正弦余弦正切公式(精选.)
两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点)2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点)3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1两角和与差的余弦公式阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________．【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0.【答案】0教材整理2两角和与差的正弦公式阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题．1．公式2.重要结论－辅助角公式y＝a sin x＋b cos x x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θsin θ(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．()(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．()(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.()解：(1)√.根据公式的推导过程可得．(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理3两角和与差的正切公式阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．()(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．()(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．()解：(1)√.当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立．(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )．(3)√.当α≠k π＋π2(k ∈Z )，β≠k π＋π2(k ∈Z )，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．【答案】 (1)√ (2)× (3)√[小组合作型]灵活应用和、差角公式化简三角函数式(1)(2016·济宁高一检测) sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．32(2)化简求值： ①1＋tan 75°1－tan 75°； ②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)；③(2016·遵义四中期末)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°.(1)化简求值应注意公式的逆用．(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．解：(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17° ＝sin （17°＋30°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17° ＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.【答案】 C(2)①原式＝tan 45°＋tan 75°1－tan 45°tan 75°＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3. ∴原式＝－ 3. ②设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0. ∴原式＝0.③原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°·tan 40°＝ 3. ∴原式＝ 3.1．公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tanβ，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示出或求出第三个．2．化简过程中注意“1”与“tan π4”、“3”与“tan π3”、“12”与“cos π3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化．[再练一题] 1．化简求值：(1)cos 61°cos 16°＋sin 61°sin 16°； (2)sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°； (3)1＋tan 12°tan 72°tan 12°－tan 72°. 解：(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos 45°＝22. (2)原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12.(3)原式＝1＋tan 12°tan 72°tan 12°－tan 72°＝－1tan （72°－12°）＝－33.给值求值(2016·普宁高一检测)已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＝513，求sin(α＋β)的值. 【导学号：00680069】 可先考虑拆角，π＋α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α，然后再利用sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)求值．解：因为π4<α<34π，所以π2<π4＋α<π.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝45. 又因为0<β<π4，34π<34π＋β<π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫34π＋β＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＝ －⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝6365.1．本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系．如本题中巧用β＝(α＋β)－α这一关系．2．常见角的变换为(1)2α＋β＝(α＋β)＋α，2α－β＝(α－β)＋α； (2)α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫α2－β， α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＋β；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋β＝π2＋(α＋β)； (4)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－β＝π2＋(α－β)． [再练一题]2．已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan β＝－13，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos(α＋β)．解：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π，3π2， cos α＝－45，所以sin α＝－35.因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，tan β＝－13，所以cos β＝－31010，sin β＝1010. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1010＝31010. 给值求角已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋β的值．sin α，sin β→求cos α，cos β→求cos （α＋β）→ 确定α＋β的范围→求α＋β的值解：∵sin α＝55，α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝25 5.又sin β＝1010，β为锐角， ∴cos β＝1－sin 2β＝31010.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22.又α，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2， ∴0<α＋β<π， 因此α＋β＝π4.1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．[再练一题]3．若把本例题的条件改为“α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210”，试求角α的大小．解：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)， 由cos(α－β)＝35，知sin(α－β)＝45. 由sin β＝－210，知cos β＝7210. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝22. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，∴α＝π4.[探究共研型]辅助角公式的应用探究1 函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈Z )的最大值为2对吗？为什么？ 【提示】 不对．因为sin x ＋cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22 cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4. 所以函数的最大值为 2.探究2 函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值等于多少？ 【提示】 因为y ＝3sin x ＋4cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫35sin x ＋45cos x ，令cos φ＝35，sin φ＝45，则y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝5sin(x ＋φ)， 所以函数y 的最大值为5.探究3 如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式．【提示】 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫a a 2＋b2sin x ＋ba 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba 确定，或由sin φ＝b a 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b2共同确定)．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________.可先用公式S α±β将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)形式再求最大值对应的x 值．解：函数为y ＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin x cos π3－cos x sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3， 当0≤x <2π时，－π3≤x －π3<5π3，所以当y 取得最大值时，x －π3＝π2，所以x ＝5π6. 【答案】 5π61．对于形如sin α±cos α，3sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式．2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则．[再练一题]4．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2，2]B ．[]－3，3C ．[－1，1]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32解：f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6 ＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]． 故选B ． 【答案】 B[构建·体系]1．(2016·清远期末)化简：sin 21°cos 81°－cos 21°·sin 81°等于( )A ．12 B ．－12 C ．32D ．－32解：原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32.故选D ． 【答案】 D2．已知α是锐角，sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．－210 B ．210 C ．－25D ．25解：因为α是锐角，sin α＝35， 所以cos α＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝22×45－22×35＝210.故选B ．【答案】 B3．函数y ＝sin x －cos x 的最小正周期是( ) A ．π2 B ．π C ．2πD ．4π解：y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4，所以T ＝2π. 【答案】 C4．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________．解：3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1. 【答案】 15．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. 解：∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0， ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.学业分层测评[学业达标]一、选择题1．若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2解：(1＋tan α)(1＋tan β) ＝1＋(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β ＝1＋tan π4·(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2. 【答案】 C2．cos α－3sin α化简的结果可以是( )A ．12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－αB ．2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αC ．12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α D ．2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α 解：cos α－3sin α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos αcos π3－sin αsin π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π3. 【答案】 B3．(2016·北京高一检测)在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( )A ．255B ．－255C ．55D ．－55解：因为cos B ＝1010且0<B <π， 所以sin B ＝31010又A ＝π4，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin π4cos B ＋cos π4sin B ＝22×1010＋22×31010＝255. 【答案】 A4．若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋α＝( ) A ．－210 B ．210 C ．－7210D ．7210解：因为sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，所以cos α＝45，故cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋5π4＝cos αcos 5π4－sin αsin 5π4＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－35×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝－210.【答案】 A5．若sin α＝35，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为( )A ．43B ．－43C ．7D ．17解：由sin α＝35，且α是第二象限角，可得cos α＝－45，则tan α＝－34，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7. 【答案】 C 二、填空题6．计算1－tan 15°3＋tan 60°tan 15°＝________.解：原式＝tan 45°－tan 15°3（1＋tan 45°·tan 15°） ＝13tan(45°－15°)＝13. 【答案】 137．若sin(α＋β)＝15，sin(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.解：由题意得sin αcos β＋cos αsin β＝15，①sin αcos β－cos αsin β＝35，② ①＋②得sin αcos β＝25，③ ①－②得cos αsin β＝－15，④ ③÷④得tan αtan β＝－2.【答案】 －2 三、解答题8．设方程 12x 2－πx －12π＝0的两根分别为α，β，求cos αcos β－3sin αcos β－3cos αsin β－sin αsin β的值．解：由题意知α＋β＝π12， 故原式＝cos(α＋β)－3sin(α＋β)＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6－（α＋β） ＝2sin π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－π6＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin π4cos π6－cos π4sin π6 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32－22×12＝6－22.9.如图3－1－1，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255.图3－1－1(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝tan （α＋β）＋tan β1－tan （α＋β）tan β＝－3＋121－（－3）×12＝－1，又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2， ∴α＋2β＝3π4.[能力提升]1．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)的值为( )A ．2 3B ． 3C ．1D ．0解：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3x ＋π3＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3x ＋π3－π3＝2sin π3x ，因为周期为6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0 ，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝0.【答案】 D2．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．解：因为π2<β<α<3π4， 所以π<α＋β<3π2，0<α－β<π4. 所以sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.word. 所以cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β） ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45. 则sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665.最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。
高一知识梳理两角和与差公式
两角和与差的公式 第一部分： 两角和与差的余弦公式 1、实例引入（1）2160cos =︒、2245cos =︒ ，而︒-︒=︒456015，那么等式︒-︒=︒45cos 60cos 15cos 是否成立？（2）对于任意角α、β，βα-的余弦如何用α和β的三角比来表示？2、公式推导设α、β是两个任意角.在直角坐标系的单位圆中作出两角α、β，射线OA 、OB 分别为其终边，与单位圆相交于A 、B 两点，其坐标分别为)sin ,(cos ααA ，)sin ,(cos ββB .方法一、将角的终边OA 、OB 都绕O 旋转β-角，分别转到A O '和B O '的位置，则))sin(),(cos(βαβα--'A ，)0,1(B '.根据两点间距离公式，有)sin sin cos (cos 22)sin (sin )cos (cos ||22βαβαβαβα+-=-+-=AB )cos(22)(sin ]1)[cos(||222βαβαβα--=-+--=''B A因为AOB ∆绕O 旋转β-角得到B O A ''∆，所以||||B A AB ''=从而βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-也可以将角的终边OA 、OB 都绕O 旋转α-角，则同理可得αβαβαβsin sin cos cos )cos(+=-，一方面由诱导公式可知)cos()cos(βααβ-=-，所以得到βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-.另一O xy A )sin ,(cos αα)sin ,(cos ββB )0,1(B '))sin(),(cos(βαβα--'A Oxy方面，由于α、β表示任意角，所以用α替换β，β替换α公式仍成立.从而得到βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-.这个公式叫做两角差的余弦公式, 它对任意角α和β都成立.在两角差的余弦公式中，用β-代替β.可得到两角和的余弦公式：βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (-=+.3、强调特征（帮助学生记忆）两角和与差的余弦公式在结构上的特征为：1、公式左边是复角的余弦，右边是单角的余弦之积以及正弦之积的和与差；2、左右两边的加减号互异. 4、例题解析例1、利用两角和与差的余弦公式，求︒15cos 、︒75cos 的值.训练、化简：)60sin(sin )60cos(cos αααα-︒--︒例2、求︒︒+︒︒40cos 10cos 50cos 80cos 的值.训练 已知三角形ABC ，求证：B A B A C cos cos sin sin cos -=小结（1）本节课使用数形结合的数学思想方法，借助单位圆推导了两角差的余弦公式.还通过变量替换的方法，得到了两角和的余弦公式.（2）能够应用所学公式进行求值运算和化简，以及简单 三角恒等式证明.思考题：求证下列恒等式：（1）ααπsin )2cos(=-；（2）ααπcos )2sin(=-证明三角恒等式：（1）ααπsin )2cos(=-；（2）ααπcos )2sin(=-.进一步得到ααπcot )2tan(=-、ααπtan )2cot(=-，即ααπsin )2cos(=- ααπcos )2sin(=- ααπcot )2tan(=- ααπtan )2cot(=-用α-替换上述各式中的α，则可得到如下各式ααπsin )2cos(-=+ ααπcos )2sin(=+ ααπcot )2tan(-=+ ααπtan )2cot(-=+将上述两组公式称为第五、六组诱导公式.第二部分：两角和与差的正弦公式公式推导讨论，进行推导.))2cos(())(2cos()sin(βαπβαπβα--=+-=+βαβαβαπβαπsin cos cos sin sin )2sin(cos )2cos(+=-+-= ))2cos(())(2cos()sin(βαπβαπβα+-=--=-βαβαβαπβαπsin cos cos sin sin )2sin(cos )2cos(-=---=称βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+；βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-为两角和与差的正弦公式，它们对任意角α、β成立.[说明]其中使用了第五组诱导公式.3、强调特征（帮助学生记忆）两角和与差的正弦公式在结构上的特征为（1）公式左边是复角的余弦，右边是单角的正余弦交叉相乘的和与差； （2）左右两边的加减号相同.4、例题解析 例1、 求)3cos()12cos()6cos()125cos(απαππαπα--+++的值.例2、已知53cos -=ϕ，),2(ππϕ∈，求)6sin(πϕ+.例3、已知：53cos sin =+βα，54sin cos =-βα，求)sin(βα-例4、求证：αββαβα22cos cos )sin()sin(-=-+例5、已知32sin =α，43cos -=β，判断βα-是第几象限角.四、小结（1）通过化归和变量替换的的数学思想推导了两角和与差的正弦公式. （2）能够应用两角和与差的正弦公式解决求值、化简、证明等三角问题.第三部分：两角和与差的正切公式（1）两角和与差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ ① βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ②其中，①式可在②式中用β-替换β而得.（2）两角和与差的正弦公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+， βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-正弦公式可以通过诱导公式，将)sin(βα+转化为cos[()]2παβ-+，继而应用余弦公式推得.问题：如何用αtan 以及βtan 表示)tan(βα+？2、公式推导学生思考、独立完成.βαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=+分子、分母分别除以βαcos cos （0cos cos ≠⋅βα），并化简得βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ③思考1、两角差的正切公式具有怎样的形式？思考2、两角和与差的正余弦公式对任意角成立，两角和与差的正切公式也如此吗？提出你的理由.3、强调特征（帮助学生记忆）（1）等号的左边是复角的正切.右边为分式，分子是两单角的正切之和或差，分母是1减去两单角的正切之积.（2）分子中和或差与等号左边相同，分母则与等号左边相异.4、例题解析 例1、 已知31tan =α，2tan -=β，求下列三角比的值：例2、运用两角和的正切公式，求︒-︒+75tan 175tan 1的值.例3、化简)3tan(tan 3)3tan(tan απααπα-+-+例4、已知αtan 、βtan 是方程03522=-+x x 的两个根，求)tan(βα+ 及)tan(βα-.。
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式是指在给定两个角的情况下，通过公式计算它们的和或差的三角函数值的关系式。
这些公式在解决三角函数的实际问题和简化计算中起着重要的作用。
本文将介绍两角和与差的三角函数公式的基本知识点，包括公式的推导、证明和应用。
一、两角和与差的三角函数公式的推导1.两角和的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的和公式如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以通过将和角的正弦、余弦和正切分别展开为各自的和差形式，然后进行合并得到。
以正弦和公式为例，我们可以化简如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB由正弦的和差公式可得：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB= (sinAcosB + cosAsinB)(cosAcosB – sinAsinB)/(cosAcosB –sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cosAcosB – sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cos^2A - sin^2B)= sinAcos^2B - sinAsin^2B + cos^2AsinB - cosBsinA/(cos^2A - sin^2B)= sinA(cos^2B - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)2.两角差的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的差公式如下：sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)同样，这些公式也可以通过将差角的正弦、余弦和正切展开为各自的差和比值形式，然后进行合并得到。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(高中数学)
＝cos 2c0o°s 2s0in°30°＝sin 30°＝12.
解决给角求值问题的方法 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后 局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形， 否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正 负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时 要逆用或变用公式．
30°)
＝－1t＋anta4n5°45－°ttaann3300°°
1－ ＝－
3 3＝
3－2.
1＋
3 3
sin 47°－sin 17°cos 30°
(3)
sin 73°
＝sin（17°＋30°co）s 1－7°sin 17°cos 30°＝
sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30° cos 17°
所以 cos (α＋β)＝cos π4＋β－π4－α
＝cos π4＋β·cos π4－α
＋sin π4＋βsin π4－α
＝－12× 23＋
23×－12＝－
3 2.
又因为π2<α＋β<π，
所以 α＋β＝56π.
1．(2019·北京清华附中月考)若 tan α＝3，tan β＝43，则 tan(α－β)
1．已知 cos α＝－45，且 α∈π2，π，则 tanπ4－α＝(
)
A．－17
B．－7
C．17
D．7
解析：选 D.由 cos α＝－45，且 α∈π2，π，得 sin α＝35，所以 tan α＝csoins αα＝－34， 所以 tanπ4－α＝1t＋antaπ4n－π4ttaannαα＝1－1－－3434＝7.故选 D.
三角恒等变换两角和与差的正弦余弦正切公式两角和与差的正切公式
xx年xx月xx日
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• 引言 • 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 • 两角和与差的正切公式推导 • 两角和的正弦、余弦、正切公式 • 两角差的正弦、余弦、正切公式
01
引言
课程背景
数学是研究数量、 结构、变化和空间 等概念的学科
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta\cos\alpha\sin\beta$
两角和与差的正弦公式证明
1. 证明 $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\co s\alpha\sin\beta$
2. 证明$\sin(\alpha\beta)=\sin\alpha\cos\beta\cos\alpha\sin\beta$
又因为cos(π/2-x)=sinx，sin(π/2-x)=cosx，代入上式 得sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny。
两角和的正弦应用举例
举例1
已知一个直角三角形的两个锐角分别为 30度和45度，求两锐角和的正弦值。
VS
解
首先计算出这两个锐角的正弦值分别为 1/2和1/√2，然后利用两角和的正弦公式 计算两锐角和的正弦值为： sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin 45°=1/2×√2/2+√3/2×√2/2=(√2+√6)/ 4。
两角和的正切公式
两角和的正切公式为：tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
该公式是三角恒等变换中的基本公式之一，可以用来将两角和的正切表示为两角 正切的和除以两角正切的积减1的形式。
5.两角和与差、二倍角公式
5.两角和与差、二倍角公式一、相关概念及知识点 1.两角和与差的三角函数()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ ()βαβαβαs in c o sc o s s in s in -=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()βαβαβαs in s in c o s c o s c o s+=- 2.二倍角公式： αααcos sin 22sin =22222cos sin12sin 2cos 11tan cos22tan tan2αααααααα-=-=--==以下公式不作要求 3. 半角公式2cos 12sin αα-±=2c o s 12c o s αα+±=t a n 2α=ααααs in c o s 1c o s 1s in -=+4. 万能公式：22tan 2sin 1tan 2ααα=+ 221t a n 2c o s 1t a n 2ααα-=+22t a n 2t a n 1t a n 2ααα=-5. 积化和差：()()[]βαβαβα-++=sin sin 21c o s sin ()()[]βαβαβα--+=s in s in 21s in c o s ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=c o s c o s 21s in s in 6. 和差化积：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2c o s 2s in 2s in s in y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2s in 2c o s 2s in s in y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2cos 2cos 2cos cos y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-2s in 2s in 2c o s c o s y x y x y x重要结论：1．sin α±cos α)4πα±．sin()2.tan tan tan()(1tan tan )cos cos αβαβαβαβαβ±±=±=3．a sin α＋b cos α（α＋φ（α－φ1），． 4．tan α＋cot α＝sec α·csc α＝2sin 2α． 5．tan α－cot α＝－2ctg2α．6．cot α±cot β＝sin()sin sin βααβ±． 7．(sin α±cos α)2＝1±sin2α.8．21cos sin 22αα-=. 9．21cos cos 22αα+= .10.αααααcos3cos 43cos ,sin 4sin 33sin 33-=-= 11.1tan tan().1tan 4απαα±=± 二、重点难点两角和与差、二倍角公式三、课前预习1、下列各式中，值为12的是 （ ） A 、1515sin cosB 、221212cossin ππ- C 、22251225tan .tan .-D2、命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 （ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 3、若02πβα<<<且45513cos(),sin()αβαβ+=-=，那么2cos α的值是（ ） A 、6365 B 、6365- C 、3365 D 、5665或1365-4、已知,αβ为锐角且cos αβ==，则αβ+的值等于＿＿＿＿。
两角和差公式与解三角形
一、两角和与差的正弦、余弦和正切1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α－β): cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C(α＋β): cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S(α＋β): sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S(α－β): sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T(α＋β): tan(α＋β)＝； (6)T(α－β): tan(α－β)＝。
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α: sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C2α: cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)T2α: tan 2α＝。
3.有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos2α＝, sin2α＝；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2,sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4。
4.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a, b 为常数), 可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ), 其中φ可由a, b 的值唯一确定。
两个技巧(1)拆角、拼角技巧: 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－。
(2)化简技巧: 切化弦、“1”的代换等。
三个变化(1)变角: 目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角, 其手法通常是“配凑”。
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的, 其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等。
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形, 使其更贴近某个公式或某个期待的目标, 其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
cos
12
(α－β)＝ ，
13
sin
3
(α＋β)＝－ ，则
5
π
3π
3π
π
(2)∵ ＜β ＜ ，∴－ ＜－β ＜－ .
2
4
4
2
π
3π
π
π
又∵ ＜α＜ ，∴－ ＜α－β ＜ .
2
4
4
4
π
∵α＞β，∴α－β＞0，∴0＜α－β ＜ .
4
∵ cos
12
(α－β)＝ ，∴
13
sin (α－β)＝ 1 −
144
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[学习要求] 1.会推导两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推
导出两角差的正弦、正切公式.
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1. cos (α－β)＝ cos α cos β＋ sin α sin β .
5
＝ .
169
13
cos 2α的
π
3π
π
3π
3π
∵ ＜α＜ ， ＜β＜ ，∴π＜α＋β＜ .
2
4
2
4
2
∵ sin
3
(α＋β)＝－ ，∴
5
cos (α＋β)＝－ 1 −
9
4
＝－ ，
25
5
∴ cos 2α＝ cos [(α－β)＋(α＋β)]＝ cos (α－β) cos (α＋β)－
sin (α－β) sin
两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法 此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的 某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样 就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定 取该角的哪一种三角函数值．
规律方法 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之 间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌 握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函 数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二 给角求值问题
【例 2】 求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式
考研数学备考：两角和差公式
考研数学备考：两角和差公式考研复习的路上总会遇上许多复习问题，今天小编就帮助各位考研党整理一下比较常见的复习问题，下面由小编为你精心准备了“考研数学备考：两角和差公式”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！考研数学备考：两角和差公式1、两角和与差的三角函数公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)2、二倍角公式：二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)sin2α=2sinαcosαcos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]3、半角公式：半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)4、万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]万能公式推导：附推导：sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......* (因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。
三角函数两角和差公式大全
三角函数两角和差公式大全这篇文章给大家分享三角函数两角和差公式、三角函数积化和差公式、三角函数和差化积公式，一起看一下具体内容。
三角函数两角和与差公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cossinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)三角函数积化和差公式sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2三角函数和差化积公式sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)三角函数解题思路求三角函数值的问题，可依循三种途径：1.先化简再求值，将式子化成能够利用题设已知条件的最简形式;2.从已知条件出发，选择合适的三角公式进行变换，推出要求式的值;3.将已知条件与求值式同时化简再求值。
暑假专题复习：精细解读高中数学【两角和(差)范围】问题
暑假专题复习：精细解读高中数学【两角和（差）范围】问题今天老师为大家准备的是：高中数学中【两角和（差）范围】问题，这也是考试中的一个高频考点和难点啦！一、合理选用公式来确定例1、已知α，β均为锐角，sinα=，求α+β的值。
解析：由已知条件有cosα=，且0＜α+β＜π。
又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ注：若本题选择正弦的和角公式，会因为一、二象限角的正弦值均为正，而得出两个结果，导致解题失误，这就需要注意公式的合理选用。
若将本例改为：设α是锐角，，且，求α+β的值，则选用正弦和角公式合理。
二、借用其他三角函数来确定合理选用公式，仅对两角和（差）的范围在相邻两个象限时起作用，而对于其它情形，可通过两角和（差）的两个三角公式，来确定两角和（差）的范围。
例2、已知，且α，β都是第二象限角，试确定2α+β所在象限。
解析：由条件α，β都是第二象限角，则有因为2α+β，2α－β都可能落在三个象限，单独使用正（余）弦和差角公式，从值的符号都不能决定2α+β，2α－β的象限，但同时使用正弦、余弦的和差角公式，即可解决。
由cos(2α+β)=cos2αcosβ－sin2αsinβ知2α+β在一、四象限。
又sin(2α+β)=sin2αcosβ+cos2αsinβ知2α+β在一、二象限。
综上知2α+β在第一象限。
三、挖掘隐含条件来确定例3、已知cos(α－β)=都是锐角，求cos(α+β)的值。
解析：由已知条件有因为0＜sin2α=，所以0＜2α＜，所以0＜α＜。
①又因为0＜β＜，所以＜-β＜0 。
②由①、②得＜α-β＜。
又因为cos（α-β）=，所以。
=。
从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)评析：本例通过0＜sin2α=，发现了隐含条件：0＜α＜，将α-β的范围缩小为，进而由cos(α-β)=,将α-β的范围确定为，从而避免了增解。
两角和与差公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式基础知识・自主学习n知识梳理i.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos( a—3 = cos acos 3+ sin «sin 3 (C( a 3)cos( a+3 = cos_acos_ 3— sin_ ocsin…3 (C(a+ ^)sin( a— 3= sin_ ocos_ 3— cos_asin_ 3 (S(a—3)sin( a+ 3= sin_ ocos_ 3+ cos_ asin_ 3 (S(a+3)tan a— tan 3 十tan(a— 3 = : ； (T( a—3))1 + tan atan 3一tan a+ tan 3 ，十tan( a+ 3 = ~I ? " (T(a+ 3))1— tan atan 32 •二倍角公式sin 2 a= 2sin_ 久cos_ a;2. 2 2 ・ 2cos 2 a= cos a— sin a= 2cos a— 1 = 1 一2sin a;- 2ta n atan 2 a= .1 — tan a3.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、用等.如T(引可变形为tan a±an 3= tan( a±®(1 ?tan_ atan__®,tan a+ tan 3 tan a— tan 3 ,tan aan 3= 1 —= —「“ tan( a+ 3) tan( a— 3)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1)存在实数a, 3,使等式sin( a+ 3)= sin a+ sin 3成立.( V )⑵在锐角厶ABC中，sin As in B和cos Acos B大小不确定.(X )(3)公式tan(a+ 3)= tana+tan3可以变形为tan a+ tan 3= tan( a+ 3)(1 —tanaan逆用和变形3),且对任意1 — tan aan 3角a, 3都成立.(X )⑷存在实数a,使tan 2 a= 2tan a( V )⑸设sin 2 a= —sin a, a€ (才，n ,则tan 2 a= , 3.( V )a€ R , Sin a+ 2COS a=冷0，贝V tan 2 a 等于（）tan （0+ ：= ?，贝V sin 0+ cos 0=,10 53sin 0=— cos 0, 即 I s in 2 0+ cos 20= 1, 且B 为第二象限角,•'sin 0+ cos A — 4. （2014课标全国n ）函数f （x ） = sin （x + 2册—2sin $cos （x +妨的最大值为考点自测4 A ・3 3 3 B.4 C —4 答案 解析 '•Sin a+ 2cos 10 a=〒,.2 : •sin a+ 4sin ocos a+ 4cos 2 5 i a= 2・ 化简得：4sin 2 a=— 3cos 2 a, sin 2 a 3 ,, •an 2a = co?2r —7 故选 C. Sin a+ cos a 1 , =2 贝y tan 2 a 等于（ ） a — COS a4 D.4 答案 解析 sin a+ cos a 由 sin a — cos a1tan a+1 11等式左边分子、分母同除 cos a 得， =~，解得tan a=— 3,2tan a — 1 2则tan 2 a=^f = 3・ 1 — tan a 4解析'•tan•an 0= — 3 解得 sin 0=£°, cos _ 3何0=—10 .1. （2013浙江）已知3. （2013课标全国n ）设B 为第二象限角，若答案答案 1解析 ・.f(x) = sin(x + 2 册—2sin(j)cos(x + 册 =sin[(x + 册 + 册—2sin (jcos(x + 妨=sin(x + ©cos 0+ cos(x + ©sin 2sin gos(x+ ⑥ =sin(x + ©cos ©— cos(x + ©sin © =sin [(x + © — © = sin x, ••f(x)的最大值为1.题型分类・深度剖析题型一三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan a, tan B 是方程x 2— 3x + 2= 0的两根,C. 1 D . 3n n n 、 1⑵右 o< a<2, — 2< B <0 , cosq + a=3, c°s(：—弓=F,则 cos( a+ f)等于( )A.答案(1)A(2)C解析(1)由根与系数的关系可知tan a+ tan B= 3, tan dan f= 2. tan a+ tan B 3•'ta n(a+ f)= = =— 3.1 — tan dan B 1 — 2故选A.(2)cos( a+ nn B=cos[(4+ a)—(4— 2)]tan(a+ B)的值为( )C.5 .3n tan a+ 1 1(1) ：tan( a+-)= = 1,4 1 — tan a7•'COS a=- |sin aF ..・22乂・ Sin a+ COS a= 1 , •-S^a= 25.•'t an3 sin aa =—4 = COs a ，,n 、 z n 3 n 、.，nB =cosq+ acos(4— 2)+ si n£+ a)s in(4—n••0v n n 3 n 则右+ av&，•■si n(：+ a =欝.则 n <n —3<n则 4 4 2n 卫 6 则 sin(4-2)=苜.故曲+护1丿押冷=攀故选C.思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立•使用中要注意观察角之间的和、 差、倍、互补、互余等关系. 跟踪训练1n n 1(1)若 a (n ，n, tan( a+ 4)= 7，则 sin a 等于()A.: 4B.4 3 C•― 34D •― 5⑵计算:1+ 笃(2° - sin 10 (士 — tan5 )答案 (1)A ⑵宁解析n3又=€(2, n, /sin a= 5.cos 10 0sin 20 2sin 10「sin 10 cos 10 ° 2sin 202sin 10 °cos 10 °2sin 30。