线性子空间
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命题1 设 V1 , V2 ≤ V , 则: (1) V1 ∩ V2 ≤ V ; (2) V1 + V2 = {v1 + v2 | v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 } ≤ V .
证 (1) ∀ x , y ∈ V1 ∩ V2 ⇒ x , y ∈ V1 ; x , y ∈ V2 ⇒ x + y ∈ V1 ; x + y ∈ V2 ⇒ x + y ∈ V1 ∩ V2 ;
定义1 令V1 , V2 ≤ V . 若子空间V1 + V2中的零向量 的表示 是惟一 的,即 x1 + x2 = 0 ( x1 ∈ V1 , x2 ∈ V ) ⇒ x1 = x2 = 0, 则称和 V1 + V2 为V1和V2 直和, 记为V1 ⊕ V2 .
评注 : (1) V1 + V2中零向量的表示惟一等同于其中每个 向 量的 表示也 是唯 一的,即 x1 + x2 = y1 + y2 ( x1 , y1 ∈ V1 ; x2 , y2 ∈ V2 ) ⇒ x1 = y1 , x2 = y2 .
(2)
总之, (α i ,0) ( m 个 ) + (0, β j )( n 个 ) 为 V × W 的基. dim(V × W ) = dimV + dim W
定理1 令V1 , V2 ≤ V , dimV1 和 dimV2 都有限,则 dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 ∩ V2 ).
span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] ≡ {k1 x1 + ⋅ ⋅ ⋅ + km xm | k1 , ⋅ ⋅⋅, kn∈ F } 为子空间, 称 x1 , ⋅ ⋅⋅, xm 的生成子空间.
span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ]也用 L[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] 表示.
一、子空间的基本结论
n
Aα ∈ R( A),
A(α − Aα ) = Aα − A2α = Aα − Aα = 0 ⇒ α − Aα ∈ N ( A).
(2) R( A) ∩ N ( A) = {0} :
α ∈ R( A) ∩ N ( A) ⇒ α = Aβ , Aα = 0 ⇒ 0 = Aα = A2 β = Aβ = α
§1.5 线性子空间
线性子空间的定义(回顾): 线性子空间的定义(回顾):
∅ ≠ W ⊆ V 为 V 的 子空间 , 记为W ≤ V : (1) ∀ x1 , x2 ⇒ x1 + x2 ∈ W ; (2) ∀ x ∈ W , k ∈ F ⇒ kx ∈ W .
生成子空间 span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ]： 若 x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ∈ V , 则
x1 + x2 = 0 ( x1 ∈ V1 , x2 ∈ V2 ) ⇒ x1 = − x2 ∈ V1 ∩ V2 ) ⇒ x1 = − x2 = 0
证
(1) ⇒ (2) :
(2) ⇒ (3) :
向量组α1 , ⋅ ⋅⋅, α m , β 1 L , β n能线性表示 V1 + V2 中的每 个 向量是 明显 的的基 ⋅ ( k1α 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + km α m ) + ( l1 β 1 + L + ln β n ) = 0
证 令 σ : V1 × V2 → V1 + V2 , (v1 , v2 ) a v1 + v2 :
例行公事, 容易验证 σ 为满的线性映射;
从而 dim(V1 × V2 ) = dim R(σ ) + dim N (σ ),
dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2 ) + dim N (σ ). 若 dim N (σ ) = dim(V1 ∩ V2 ), 定理得证.
定 义2
令 T 为线 性空间 上的 线性变 换 , W ≤ V .
若 T (W ) = {T ( w ) | w ∈ W } ⊆ W , 则称 W 为 V 的 一个不变子空间. 此时，也 T 为 W 上的线性变换.
例 3 设为 T 线性 空间V 上 的线 性变换 , 且 向量α 使得 T m −1 (α ) ≠ 0, T m (α ) = 0 ( m ≥ 1), 则 W = span[α , T (α ), L , T m −1 (α )] 是 m 维不 变子空 间.
下面我们讨论 N (σ ).
若 ( v1 , v2 ) ∈ N (σ ) ⊆ V1 × V2 , 则 v1 + v2 = 0 ⇒ v2 = − v1 ∈ V1 ∩ V2 ⇒ (v1 , v2 ) = (v1 , − v1 ), v1 ∈ V1 ∩ V2 . 反之, 若 (v , − v ), v ∈ V1 ∩ V2 , 有 (v , − v ) ∈ N (σ ). N (σ ) = {( v , − v ) | v ∈ V1 ∩ V2 } ⊆ V1 × V2 , dim N (σ ) = dim{(v , − v ) | v ∈ V1 ∩ V2 } = dim(V1 ∩ V2 ).
Ar ×r A= 0 0 . Bs× s
证 证 明与 命题5类 似,略 .
例3 令 A ∈ F n×n , A2 = A. 求证 F n = R( A) ⊕ N ( A).
证 (1) F n = R( A) + N ( A) :
α ∈ F ⇒ α = Aα + (α − Aα );
∀ x ∈ V1 ∩ V2 , k ∈ F ⇒ x ∈ V1 , x ∈ V2 , k ∈ F ⇒ kx ∈ V1 , kx ∈ V2 ⇒ kx ∈ V1 ∩ V2
(2) (略 )
命题2 对于 生成 子空间 ,下列基 本结论 成立 : (1) dimspan[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xn ] = rank{ x1 , ⋅ ⋅⋅, xn }; (2) span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] = span[ y1 , ⋅ ⋅⋅, yn ] 的充分必要 条件为向量组x1 , ⋅ ⋅⋅, xm 和y1 , ⋅ ⋅⋅, yn 等价 ; (3) span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] + span[ y1 , ⋅ ⋅⋅, yn ] = span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm , y1 , ⋅ ⋅⋅, yn ]
F n = R( A) ⊕ N ( A).
三、方阵的特征子空间
定义3 令 A ∈ Cn×n , λ ∈ C. 若 Vλ = { x ∈ Cn | Ax = λ x } ≠ {0}, 则称Vλ 为 A 的对应特征值 λ 的特征子空间.
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二、子空间的直和
命题3 令V , W 都为数域 F 上的线性空间. 在集合 V × W = {(v , w ) | v ∈ V , w ∈ W } 上 定义加 法和 数乘为 : (v1 , w1 ) + (v2 , w2 ) = (v1 + v2 , w1 + w2 ), k ( v , w ) = ( kv , kw ), 则 V × W 也是 F 上的线性空间, 且当 dimV , dim W 都有限时, dim(V × W ) = dimV + dim W .
同样可得到 k1 = L = km −1 = 0.
dim W = m .
命题5 若 T 为线性空间V 上的线性变换, ε 1 , ⋅ ⋅⋅, ε r 为不变子空间 W 的基, ε 1 , ⋅ ⋅⋅, ε r , ε r +1 , L , ε n 为 V 的 基,则 T 在 ε 1 , ⋅ ⋅⋅, ε r , ε r +1 , L , ε n 下的矩阵为 Ar ×r X r ×( n− r ) A= . Y( n− r )×( n− r ) 0 证 由 条件 ,
(证 明 略)
例1 令V1 = span[e1 , e 2 ], V2 = span[e 2 , e 3 ] ≤ R 3 , 则 V1 ∩ V2 = {ke 2 | k ∈ R}, V1 + V2 = R 3 .
注意 : dimV1 + dimV2 = 2 + 2 = 4 ≠ dim(V1 + V2 ) = 3.
注意 : 这里的线性空间V × W 称V 和W 的外直和.
证 设 α1 ,L ,α m 和 β 1 ,L , β n 分别为 V 和W 的基:
V × W 是 F 上 的线性 空间是 明显的 .
(1)
( ∑ kiα i , ∑ l j β j ) = ( ∑ kiα i , 0) + (0, ∑ l j β j ) = ∑ ki (α i , 0) + ∑ l j (0, β j ); ∑ ki (α i , 0) + ∑ l j (0, β j ) = 0 ⇒ ( ∑ kiα i , ∑ l j β j ) = 0 ⇒ ∑ kiα i = 0, ∑ l j β j = 0 ⇒ ki = 0, l j = 0.
(2) 同样可以定义V1 ⊕ L ⊕ Vm .
命题4
令V1 , V2 ≤ V , 则下列各项等价 :
(1) V1 ∩ V2 = {0}. (2) V1 ⊕ V2 . (3) 若 α 1 , ⋅ ⋅⋅, α m 和 β 1 , ⋅ ⋅⋅, β n 分别为V1和 V2的基, 则 α 1 , ⋅ ⋅⋅, α m , β 1 L , β n 为 V1 + V2 的基 ⋅ (4) dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2 . 通过(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1)完成证明.
证 T (W ) = span[T (α ), T 2 (α ), L , T m −1 (α ), T m (α )]
= span[T (α ), T 2 (α ), L , T m −1 (α )] ⊆ span[α , T (α ), T 2 (α ), L , T m −1 (α )];
k0α + k1T (α ) + L + km −1T m −1 (α ) = 0 ⇒ k0T m −1 (α ) + k1T m +1 (α ) + L + km −1T 2 m −1 (α ) = 0 ⇒ k0T m −1 (α ) = 0 ⇒ k0 = 0;
例2 若α 1 , α 2 , ⋅ ⋅⋅, α m 在线性空间V 中线性无关, 则 L(α1 , α 2 , ⋅ ⋅⋅, α m ) = L(α 1 ) ⊕ L(α 2 ) ⊕ ⋅ ⋅ ⋅⊕ L(α m ).
三、线性变换的不变子空间
在 研究线 性空 间 V 上的线 性变换 T 时 , V 的维 数越 小 越方便 研究 . 特别是 ,在用归 纳法研 究线 性变换 时 ,很 希望 线性变 换T 成为 一个维 数更小 的子 空间 W 上的一个线性变换. 因此, 我们引入不变子空间.
命题6 若 T 为线性空间V 上的线性变换, V 为不变 子空间 W1 , W2 的直和: V = W1 ⊕ W2 ; α 1 , ⋅ ⋅⋅, α r 和
β 1 , ⋅ ⋅⋅, α s 分别为 W1 , W2 的基,则 T 在基 α1 , ⋅ ⋅⋅, α r , β 1 , ⋅ ⋅⋅, α s 下的矩阵为
⇒ k1α1 + ⋅ ⋅ ⋅ + km α m = l1 β 1 + L + ln β n = 0 ⇒ k1 = ⋅ ⋅⋅ = km = l1 = L = ln = 0 向量组α1 , ⋅ ⋅⋅, α m , β 1 L , β n 线性无关.
(3) ⇒ (4) : 明显. (4) ⇒ (1) : 由前面的定理, V1 ∩ V2 = {0}.
T (ε 1 ) = a11ε 1 + L + ar 1ε r + 0ε r +1 + L + 0ε n LLLL T (ε r ) = a1r ε 1 + L + arr ε r + 0ε r +1 + L + 0ε n T (ε ) = ∗ε + L + ∗ ε + ∗ε + L + ∗ε r +1 r r +1 n 1 LLLL T (ε ) = ∗ε + L + ∗ ε + ∗ε + L + ∗ε n r r +1 n 1 A X T(ε1 , ⋅⋅⋅, ε r , εr+1 , L, εn ) = (ε1 , ⋅⋅⋅, εr , εr+1 , L, εn ) r×r 0 Y
证 (1) ∀ x , y ∈ V1 ∩ V2 ⇒ x , y ∈ V1 ; x , y ∈ V2 ⇒ x + y ∈ V1 ; x + y ∈ V2 ⇒ x + y ∈ V1 ∩ V2 ;
定义1 令V1 , V2 ≤ V . 若子空间V1 + V2中的零向量 的表示 是惟一 的,即 x1 + x2 = 0 ( x1 ∈ V1 , x2 ∈ V ) ⇒ x1 = x2 = 0, 则称和 V1 + V2 为V1和V2 直和, 记为V1 ⊕ V2 .
评注 : (1) V1 + V2中零向量的表示惟一等同于其中每个 向 量的 表示也 是唯 一的,即 x1 + x2 = y1 + y2 ( x1 , y1 ∈ V1 ; x2 , y2 ∈ V2 ) ⇒ x1 = y1 , x2 = y2 .
(2)
总之, (α i ,0) ( m 个 ) + (0, β j )( n 个 ) 为 V × W 的基. dim(V × W ) = dimV + dim W
定理1 令V1 , V2 ≤ V , dimV1 和 dimV2 都有限,则 dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 ∩ V2 ).
span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] ≡ {k1 x1 + ⋅ ⋅ ⋅ + km xm | k1 , ⋅ ⋅⋅, kn∈ F } 为子空间, 称 x1 , ⋅ ⋅⋅, xm 的生成子空间.
span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ]也用 L[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] 表示.
一、子空间的基本结论
n
Aα ∈ R( A),
A(α − Aα ) = Aα − A2α = Aα − Aα = 0 ⇒ α − Aα ∈ N ( A).
(2) R( A) ∩ N ( A) = {0} :
α ∈ R( A) ∩ N ( A) ⇒ α = Aβ , Aα = 0 ⇒ 0 = Aα = A2 β = Aβ = α
§1.5 线性子空间
线性子空间的定义(回顾): 线性子空间的定义(回顾):
∅ ≠ W ⊆ V 为 V 的 子空间 , 记为W ≤ V : (1) ∀ x1 , x2 ⇒ x1 + x2 ∈ W ; (2) ∀ x ∈ W , k ∈ F ⇒ kx ∈ W .
生成子空间 span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ]： 若 x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ∈ V , 则
x1 + x2 = 0 ( x1 ∈ V1 , x2 ∈ V2 ) ⇒ x1 = − x2 ∈ V1 ∩ V2 ) ⇒ x1 = − x2 = 0
证
(1) ⇒ (2) :
(2) ⇒ (3) :
向量组α1 , ⋅ ⋅⋅, α m , β 1 L , β n能线性表示 V1 + V2 中的每 个 向量是 明显 的的基 ⋅ ( k1α 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + km α m ) + ( l1 β 1 + L + ln β n ) = 0
证 令 σ : V1 × V2 → V1 + V2 , (v1 , v2 ) a v1 + v2 :
例行公事, 容易验证 σ 为满的线性映射;
从而 dim(V1 × V2 ) = dim R(σ ) + dim N (σ ),
dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2 ) + dim N (σ ). 若 dim N (σ ) = dim(V1 ∩ V2 ), 定理得证.
定 义2
令 T 为线 性空间 上的 线性变 换 , W ≤ V .
若 T (W ) = {T ( w ) | w ∈ W } ⊆ W , 则称 W 为 V 的 一个不变子空间. 此时，也 T 为 W 上的线性变换.
例 3 设为 T 线性 空间V 上 的线 性变换 , 且 向量α 使得 T m −1 (α ) ≠ 0, T m (α ) = 0 ( m ≥ 1), 则 W = span[α , T (α ), L , T m −1 (α )] 是 m 维不 变子空 间.
下面我们讨论 N (σ ).
若 ( v1 , v2 ) ∈ N (σ ) ⊆ V1 × V2 , 则 v1 + v2 = 0 ⇒ v2 = − v1 ∈ V1 ∩ V2 ⇒ (v1 , v2 ) = (v1 , − v1 ), v1 ∈ V1 ∩ V2 . 反之, 若 (v , − v ), v ∈ V1 ∩ V2 , 有 (v , − v ) ∈ N (σ ). N (σ ) = {( v , − v ) | v ∈ V1 ∩ V2 } ⊆ V1 × V2 , dim N (σ ) = dim{(v , − v ) | v ∈ V1 ∩ V2 } = dim(V1 ∩ V2 ).
Ar ×r A= 0 0 . Bs× s
证 证 明与 命题5类 似,略 .
例3 令 A ∈ F n×n , A2 = A. 求证 F n = R( A) ⊕ N ( A).
证 (1) F n = R( A) + N ( A) :
α ∈ F ⇒ α = Aα + (α − Aα );
∀ x ∈ V1 ∩ V2 , k ∈ F ⇒ x ∈ V1 , x ∈ V2 , k ∈ F ⇒ kx ∈ V1 , kx ∈ V2 ⇒ kx ∈ V1 ∩ V2
(2) (略 )
命题2 对于 生成 子空间 ,下列基 本结论 成立 : (1) dimspan[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xn ] = rank{ x1 , ⋅ ⋅⋅, xn }; (2) span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] = span[ y1 , ⋅ ⋅⋅, yn ] 的充分必要 条件为向量组x1 , ⋅ ⋅⋅, xm 和y1 , ⋅ ⋅⋅, yn 等价 ; (3) span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] + span[ y1 , ⋅ ⋅⋅, yn ] = span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm , y1 , ⋅ ⋅⋅, yn ]
F n = R( A) ⊕ N ( A).
三、方阵的特征子空间
定义3 令 A ∈ Cn×n , λ ∈ C. 若 Vλ = { x ∈ Cn | Ax = λ x } ≠ {0}, 则称Vλ 为 A 的对应特征值 λ 的特征子空间.
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二、子空间的直和
命题3 令V , W 都为数域 F 上的线性空间. 在集合 V × W = {(v , w ) | v ∈ V , w ∈ W } 上 定义加 法和 数乘为 : (v1 , w1 ) + (v2 , w2 ) = (v1 + v2 , w1 + w2 ), k ( v , w ) = ( kv , kw ), 则 V × W 也是 F 上的线性空间, 且当 dimV , dim W 都有限时, dim(V × W ) = dimV + dim W .
同样可得到 k1 = L = km −1 = 0.
dim W = m .
命题5 若 T 为线性空间V 上的线性变换, ε 1 , ⋅ ⋅⋅, ε r 为不变子空间 W 的基, ε 1 , ⋅ ⋅⋅, ε r , ε r +1 , L , ε n 为 V 的 基,则 T 在 ε 1 , ⋅ ⋅⋅, ε r , ε r +1 , L , ε n 下的矩阵为 Ar ×r X r ×( n− r ) A= . Y( n− r )×( n− r ) 0 证 由 条件 ,
(证 明 略)
例1 令V1 = span[e1 , e 2 ], V2 = span[e 2 , e 3 ] ≤ R 3 , 则 V1 ∩ V2 = {ke 2 | k ∈ R}, V1 + V2 = R 3 .
注意 : dimV1 + dimV2 = 2 + 2 = 4 ≠ dim(V1 + V2 ) = 3.
注意 : 这里的线性空间V × W 称V 和W 的外直和.
证 设 α1 ,L ,α m 和 β 1 ,L , β n 分别为 V 和W 的基:
V × W 是 F 上 的线性 空间是 明显的 .
(1)
( ∑ kiα i , ∑ l j β j ) = ( ∑ kiα i , 0) + (0, ∑ l j β j ) = ∑ ki (α i , 0) + ∑ l j (0, β j ); ∑ ki (α i , 0) + ∑ l j (0, β j ) = 0 ⇒ ( ∑ kiα i , ∑ l j β j ) = 0 ⇒ ∑ kiα i = 0, ∑ l j β j = 0 ⇒ ki = 0, l j = 0.
(2) 同样可以定义V1 ⊕ L ⊕ Vm .
命题4
令V1 , V2 ≤ V , 则下列各项等价 :
(1) V1 ∩ V2 = {0}. (2) V1 ⊕ V2 . (3) 若 α 1 , ⋅ ⋅⋅, α m 和 β 1 , ⋅ ⋅⋅, β n 分别为V1和 V2的基, 则 α 1 , ⋅ ⋅⋅, α m , β 1 L , β n 为 V1 + V2 的基 ⋅ (4) dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2 . 通过(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1)完成证明.
证 T (W ) = span[T (α ), T 2 (α ), L , T m −1 (α ), T m (α )]
= span[T (α ), T 2 (α ), L , T m −1 (α )] ⊆ span[α , T (α ), T 2 (α ), L , T m −1 (α )];
k0α + k1T (α ) + L + km −1T m −1 (α ) = 0 ⇒ k0T m −1 (α ) + k1T m +1 (α ) + L + km −1T 2 m −1 (α ) = 0 ⇒ k0T m −1 (α ) = 0 ⇒ k0 = 0;
例2 若α 1 , α 2 , ⋅ ⋅⋅, α m 在线性空间V 中线性无关, 则 L(α1 , α 2 , ⋅ ⋅⋅, α m ) = L(α 1 ) ⊕ L(α 2 ) ⊕ ⋅ ⋅ ⋅⊕ L(α m ).
三、线性变换的不变子空间
在 研究线 性空 间 V 上的线 性变换 T 时 , V 的维 数越 小 越方便 研究 . 特别是 ,在用归 纳法研 究线 性变换 时 ,很 希望 线性变 换T 成为 一个维 数更小 的子 空间 W 上的一个线性变换. 因此, 我们引入不变子空间.
命题6 若 T 为线性空间V 上的线性变换, V 为不变 子空间 W1 , W2 的直和: V = W1 ⊕ W2 ; α 1 , ⋅ ⋅⋅, α r 和
β 1 , ⋅ ⋅⋅, α s 分别为 W1 , W2 的基,则 T 在基 α1 , ⋅ ⋅⋅, α r , β 1 , ⋅ ⋅⋅, α s 下的矩阵为
⇒ k1α1 + ⋅ ⋅ ⋅ + km α m = l1 β 1 + L + ln β n = 0 ⇒ k1 = ⋅ ⋅⋅ = km = l1 = L = ln = 0 向量组α1 , ⋅ ⋅⋅, α m , β 1 L , β n 线性无关.
(3) ⇒ (4) : 明显. (4) ⇒ (1) : 由前面的定理, V1 ∩ V2 = {0}.
T (ε 1 ) = a11ε 1 + L + ar 1ε r + 0ε r +1 + L + 0ε n LLLL T (ε r ) = a1r ε 1 + L + arr ε r + 0ε r +1 + L + 0ε n T (ε ) = ∗ε + L + ∗ ε + ∗ε + L + ∗ε r +1 r r +1 n 1 LLLL T (ε ) = ∗ε + L + ∗ ε + ∗ε + L + ∗ε n r r +1 n 1 A X T(ε1 , ⋅⋅⋅, ε r , εr+1 , L, εn ) = (ε1 , ⋅⋅⋅, εr , εr+1 , L, εn ) r×r 0 Y