最新第四章-概率统计模型

查标准正态0.分 32 1布e表 t22dt： 5， x5000.32
2
8 50
x5000.325051份 6
问题的推广
现实情况：每天的需求并不完全是随机的，如 周末或重大事件期间销量会上升，天气不好时 销量会下降。 解决途径一：利用历史数据； 解决途径二：利用时间序列分析方法； 解决途径三：利用Monte Carlo数值模拟。
算例
若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为 1元，退回 价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的 正 态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入
最高？
P P P 11 2Pa b 2 b c 101 .70 5 .70.6 55 3 P 18 5， P28 3
P1P(Rx)＝85P(R55000x5500)085，
结果解释
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
a b
b c
取n使
0 np (r)d r P 1 ,n p (r)d r P 2
p
P1 a b P2 b c
a-b ~售出一份赚的钱 b-c ~退回一份赔的钱
P1 P2
0
n
r
通常，a-b>b-c, R接近正态分布，n>E(R)
为什么用随机分布模型?
需求R是随机的
由于收入是需求的非线性函数，日平均收入 ES(n)不是简单地由日平均需求E(R)决定
n
G ( n ) E ( S ( n ) ) [ ( a b ) r ( b c ) ( n r ) ] f( r ) ( a b ) n f( r )
r 0
r n 1
R的随机分布对最优决策有影响
dG
?
n
(ab)n(p n) (bc)p(r)dr
dn
0
(ab)n(p n)n(ab)p(r)dr
n
(b cwenku.baidu.com0p (r)d r (a b )np (r)dr
dG 0 dn
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
a b
b c
又 d 2 G ( c a )p (n ) 0 ， 所 以 确 实 为 极 大 值 点 。 d n 2
F '(y) f (b(y), y)b(y) f (a(y), y)a(y)
b( y)
a(y) fy (x, y)dx
求解
为简化计算
将r视为连续变量 f (r)p(r)(概率密度
G ( n ) 0 n [ a b ( ) r ( b c ) n ( r ) p ( r ] ) d n ( a r b ) n ( r ) d p
准 随机因素的主要来源——每天需求量 备 为 R ，概率 P(R=r)=f(r), r=0,1,2…
建 • 设每天购进 n 份(不随机)，日平均收入为 G(n) 模 • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,
日收入为
S(n) (ab)R ( a( bb )n c)(nR),R R n n
第四章-概率统计模型
确定性因素和随机性因素 确定性是理想化的，随机性是现实中必然存在的
1. 随机因素可以忽略
2. 随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现
确定性模型
3. 随机因素影响必须考虑
随机性模型
4.1 报童的诀窍
假设《新民晚报》 平均每天零售 500份，报亭每 天应该预定多 少份？
4.1 报童的诀窍
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
问 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 题 每天购进多少份可使收入最大？
购进太多卖不完退回赔钱
分 析
购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量
存在一个合 适的购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的数学期望
若收入是需求的线性函数，日平均收入可用日 平均需求来表示，就不必用随机模型。
怎样运用随机分布模型？
关键：搞清楚随机性的主要来源是什么？ 这个主要来源设为一个随机变量(如报童模型中 每天的需求量R)
这个随机变量的分布是容易得到的； 其他随机变量(如收入)可以写成它的函数。
来源变量也可以考虑多个，但是如果他们不独 立，是很难处理的。
■商家根据自己的实际情况对消费者进行额外补 偿，如店铺优惠券、现有商品5折销售等；
■对于未发货的“超卖”订单，支持进行全额退 款；
■对于所有“超卖”订单，买家都可获得商品价 格30%、最多500元的天猫积分。其中，最后一条是 天猫首次就“超卖”明确表示赔付。
4.2 机票超售(overbook )策略
Monte Carlo模拟
若明天需求量依赖于气温T, R=500+-|T-20|, N(0,50^2), U(5,15), 与独立 Matlab程序(明天T=5)求得n0=371(近似). a=1;b=0.75;c=0.6; T=5; N=1000; e=normrnd(0,50,1,N); d=unifrnd(5,15,1,N); R=500+e-d*abs(T-20); S0=0;for n=100:800, S=mean(((a-b)*R-(b-c)*(n-R)).*(R<=n)+(a-b)*n*(R>n)); if S>S0, S0=S;n0=n;end; end;n0,S0
习题
1.1国际市场上每年对某种商品的需求量为一个随 机变量（单位：千吨），根据预测，它服从 [2,4]上的均匀分布，并已知每售出1千吨此种商 品，可以挣得外汇3千万美元，但若售不出去， 而屯售于仓库，每年需花费保养费每千吨为1千 万美元，问应组织多少货源可使平均收益达到 最大？
天猫补救“超卖”
2013阿里巴巴双11成交350 亿，9小时超过美国“网络 星期一”全天 ! 天猫方面承认“双11”当天因流量巨大，导致其系统商 品库存数据与商家的前后台数据对接不准，确有少 部分订单出现“超卖”。为此，天猫在致歉的同时 给出3条补救意见――
n
G ( n ) E ( S ( n ) ) [ ( a b ) r ( b c ) ( n r ) ] f( r ) ( a b ) n f( r )
r 0
r n 1
求 n 使 G(n) 最大
n=E(R) ？？？
变限积分求导公式
b( y)
F(y) f (x, y)dx a( y)