理解对数的概念

2.2
对数函数
2．2.1 对数与对数运算
第1课时 对 数
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【课标要求】 1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质．
2．掌握指数式与对数式的互化．
【核心扫描】 1．指数式与对数式的互化．(重点) 2．对数的底数与真数的范围．(易错点) 3．对数性质及对数恒等式．(难点)
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新知导学 1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为
底N的 对数 ，记作x＝ logaN .a叫做对数的底数，N叫 做 真数 ． 温馨提示：对数符号logaN只有在a>0，a≠1且N>0时才 有意义．
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2．特殊对数
常用对数：以10为底数的对数，记作 lg N .
同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数．
2．对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对
数恒等式的应用．
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易错辨析
忽视对数中底数的取值范围致错
【示例】 已知log2(logx4)＝1，求x的值． [错解] 由log2(logx4)＝1，得logx4＝2. ∴x2＝4，从而x＝±2. [错因分析] 在对数logaN中，底数a>0且a≠1.本题的求解中 忽略对数中底数的限制条件，导致增解． [正解] 由log2(logx4)＝1，得logx4＝2， ∴x2＝4.又x>0，且x≠1，∴x＝2.
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【活学活用 1】 将下列指数式化为对数式， 对数式化为指数式： (1) 解 x＝6；(2)ln e＝1；(3)43＝64. (1)( 3)6＝x.(2)e1＝e.(3)log464＝3. 对数基本性质的应用
类型二
【例 2】 求下列各式中 x 的值： (1)log2(log4x)＝0； * (2)log3(lg x)＝1； (3)log(
提示
不是．指数式与对数式互化公式 ax ＝ N⇔x ＝ logaN 的
பைடு நூலகம்
成立条件是 a>0 ， a≠1 且 N>0 ，不满足条件不能互化．如 ( － 3)2＝9就不能写成log(－3)9＝2. 探究点3 alogaN＝N(a>0，a≠1，N>0)成立吗？为什么？ 提示 成立．设ab＝N，则b＝logaN，∴ab＝alogaN＝N.
2－1)
1 ＝x， 2＋ 1
1 ∴( 2－1) ＝ ＝ 2－1，∴x＝1. 2＋ 1
x
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[规律方法]
1.对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.
2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后
才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，
逐层使用对数的性质． 【活学活用2】 将例2中“(1)”换成“log8(lg(log2x))＝0”，把 “(2)”换成 “lg(ln x)＝1”，分别求x的值． 解 (1)log8(lg(log2x))＝0，∴lg(log2x)＝1，
④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 ( )．
解析
答案
对于②，(－2)3＝－8不能化为对数式，∴②不正
C
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确，其余正确．
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是 A．e0＝1 与 ln 1＝0 B． 1 1 1 ＝ 与 log8 ＝－ 2 2 3
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互动探究
探究点1 幂运算和对数运算有什么关系？
提示 在关系式 ax ＝ N 中，已知 a 和 x 求 N 的运算称为求幂运
算，而如果已知a和N，求 x，就是对数运算，两个式子实质 相同而形式不同，互为逆运算．
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探究点2 是不是任何指数式都可以化为对数式？
2－1)
1 ＝x. 2＋1
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[思路探索] 合理运用题中提供的信息，结合对数的性质及对 数、指数的关系求解． 解 (1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1，
∴x＝41＝4. (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000. (3)∵log(
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类型一
指数式与对数式的互化
【例 1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 1 － (1)2 ＝ ；(2)3a＝27；(3)10 1＝0.1； 128
－7
(4)
32＝－5；(5)lg 0.001＝－3.
[思路探索] 利用 ax＝N⇔x＝logaN(a>0，a≠1，N>0)互化． 解 (3)lg 1 (1)log2 ＝－7.(2)log327＝a. 128
∴log2x＝10，∴x＝210.
(2)lg(ln x)＝1，∴ln x＝10，∴x＝e10.
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类型三
对数恒等式的简单应用
[思路探索] 利用指数幂的运算性质和对数恒等式化简求 值．
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[ 规律方法 ]
1. 对数恒等式 alogaN＝ N 要注意格式： (1) 它们是
1－ － 0.1＝－1.(4)2 5＝32.(5)10 3＝0.001.
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[规律方法]
1.解答此类问题的关键是要搞清a，x，N在指数
式和对数式中的位置．
2．若是指数式化为对数式，关键是看清指数是几，再写成 对数式；若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写 成指数式．
[ 防范措施 ]
1. 对数的表达式 x ＝ logaN 中底数 a 须满足 a>0 且
a≠1，只有满足这一条件式子才能够成立，在解题时要时时 记住这一点．
2．理解对数的定义，灵活进行指数与对数的相互转化．
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课堂达标 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数；
自然对数：以e为底数的对数，记作 ln N ，其中e＝2.718 28… 3．对数与指数之间的关系 x＝N⇔x＝log N a a 当a>0，a≠1时， .
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4．对数的基本性质 性质1 负数和0 没有对数
性质2
性质3
1的对数是 0 ，即loga1＝ 0 (a>0且a≠1)
底数的对数是 1 ，即logaa＝ 1 (a>0且a≠1)