一次不定方程及方程的整数解问题-1

一次不定方程及方程的整数解问题-1

一次不定方程（组）及方程的整数解问题

【写在前面】

不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.

【本讲重点】

求一次不定方程（组）的整数解

【知识梳理】

不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理：

设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有： 定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；

定理2 若),(0

y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为

特解），则⎩⎨

⎧-=+=at

y y bt x x 00

,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.

定理3 若),(0

y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，

则),(0

cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.

求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤：

（1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解；

（4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入

命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：

（1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式.

【学法指导】

【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13

105=+y x .

【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.

【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ， 观察得到⎩

⎨

⎧==1

,

1y x 是4

3=+y x 的一组整数解（特解），

根据定理2 ，)(1,

31是整数t t

y t x ⎩

⎨

⎧-=+=是原方程的所有整数解.

（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，

∴根据定理1，原方程的无整数解.

【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.

【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）

11

145=-y x .

答案：（1）无整数解；（2）)(51,145是整数t t

y t x ⎩⎨

⎧-=-= 【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.

【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.

【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.

由原方程可得7

5323075314210719213y

y y y y x -+

-=-+-=-=， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.

∴方程的通解为)(72,

1925是整数t t

y t x ⎩

⎨

⎧-=+=.

其中

⎩⎨

⎧>->+0

72,01925t t ∴

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->7

2,1925t t ∴7

2

1925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨

⎧==⎩⎨

⎧==.

2,25.

9,

6y x y x 或

【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来.

【实践】求方程2654731=+y 的正整数解. 答案： x=4,y=3.

【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.

【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.

【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程 3783654=+y x ，即2123=+y x .

又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易

知⎩

⎨

⎧==9

,1y x 是一个特解，通解为)(99,

21是整数t t y t x ⎩

⎨⎧-=+= 由题意可知⎩

⎨

⎧≥-≥+0

99,

021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地