矩阵对策
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矩阵对策的最优纯策略
,m α，
,
,n β；则分别为
},m α和},n β。
当局中人Ⅰ选定纯策略i α和局中人Ⅱ选定纯策略后，就形成了一个纯局)j ，这样的纯局势共有m n ⨯个。
对任一纯局势赢得值为ij a ，称
12122
212n n m m mn a a a a a ⎤⎥⎥⎥⎥⎦
为局中人Ⅰ的赢得矩阵。
局中人Ⅱ的赢得矩阵就是当局中人Ⅰ，Ⅱ的策略集12,S S 及局中人Ⅰ的赢得矩阵对策也就给定了，记为{}12,,G S S A =。
在齐王赛马的例子中，齐王的赢得矩阵
},
,m α，
},n β，max ）
成立，记其值为）成立的纯局势()
,i j αβ**
在纯策略意义下的解（或鞍点）
},m α，},n S β，
1,2,
,,m x ∑1,2,
,,n y ∑分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略集分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略（或策略），对
),m x 可设想成当两个局中人多次重复进行对策
12,,
,m ααα的频率。
若只进行一次时对策，混合
对策可设想成局中人Ⅰ对各纯策略的偏爱程度。
求解混合策略的问题有图解法，迭代法、线性方程组法和线性规划法，在。
第1章 矩阵对策
策被称为矩阵对策）.对策按如下方式进行，局中人 1 选择行 i ∈ M ，局中人 2 选择列 j ∈ N ，
此时局中人 1 和 2 是同时并且独立地进行选择.因此局中人 1 获得支付 aij ，局中人 2 获得支
( ) 付 −aij .如果支付是一个负数， 那么可以认为是局中人的实际损失.
记具有支付矩阵 A 的对策 Γ 为 ΓA ，并且根据矩阵的维数，称之为 (m × n) 对策.如果
果它被隐藏在那里）的概率为 0 < βi ≤ 1 ，i = 1, 2, , n .如果找到目标，局中人 1 获得收益 为α .在其中隐藏和搜索物体的坑的编号是局中人的策略，局中人 1 的支付等于期望收益与
寻找目标时所付出的努力之差.隐藏和搜索目标的问题可以转化为矩阵对策，其支付矩阵为
⎡αβ1 −τ1 −τ1 −τ1
选择进行攻击的目标（局中人 1）和防卫目标（局中人 2）的问题可以转化为矩阵对策，
其支付矩阵为
⎡β1τ1 τ1
A
=
⎢ ⎢
τ2
β2τ 2
⎢
⎢ ⎣
τn
τn
τ1 ⎤
τ2
⎥ ⎥
⎥
β
nτ
n
⎥ ⎦
例 1.1.5 （离散型搜索对策）有 n 个坑，局中人 2 在 n 个坑中之一隐藏物体，局中人
1 希望找到它.在寻找第 i 个坑时局中人 1 付出的努力为τi > 0 ，在第 i 个坑中找到目标（如
m −1 > n ，则 a10 = n +1+1 = n + 2 ， a11 = n −1+1 = n ， a1 j = n − j +1−1−1 = n − j −1，
2 ≤ j ≤ n .一般情况下（对任意的 m 和 n ）元素 aij ， i = 0, m ， j = 0, n 以及支付矩阵可以
此时局中人 1 和 2 是同时并且独立地进行选择.因此局中人 1 获得支付 aij ，局中人 2 获得支
( ) 付 −aij .如果支付是一个负数， 那么可以认为是局中人的实际损失.
记具有支付矩阵 A 的对策 Γ 为 ΓA ，并且根据矩阵的维数，称之为 (m × n) 对策.如果
果它被隐藏在那里）的概率为 0 < βi ≤ 1 ，i = 1, 2, , n .如果找到目标，局中人 1 获得收益 为α .在其中隐藏和搜索物体的坑的编号是局中人的策略，局中人 1 的支付等于期望收益与
寻找目标时所付出的努力之差.隐藏和搜索目标的问题可以转化为矩阵对策，其支付矩阵为
⎡αβ1 −τ1 −τ1 −τ1
选择进行攻击的目标（局中人 1）和防卫目标（局中人 2）的问题可以转化为矩阵对策，
其支付矩阵为
⎡β1τ1 τ1
A
=
⎢ ⎢
τ2
β2τ 2
⎢
⎢ ⎣
τn
τn
τ1 ⎤
τ2
⎥ ⎥
⎥
β
nτ
n
⎥ ⎦
例 1.1.5 （离散型搜索对策）有 n 个坑，局中人 2 在 n 个坑中之一隐藏物体，局中人
1 希望找到它.在寻找第 i 个坑时局中人 1 付出的努力为τi > 0 ，在第 i 个坑中找到目标（如
m −1 > n ，则 a10 = n +1+1 = n + 2 ， a11 = n −1+1 = n ， a1 j = n − j +1−1−1 = n − j −1，
2 ≤ j ≤ n .一般情况下（对任意的 m 和 n ）元素 aij ， i = 0, m ， j = 0, n 以及支付矩阵可以
第十三讲 对策矩阵解法
4
矩阵对策解法
• 矩阵对策模型给定后，各局中人面临的问 题：如何选取对自己最为有利的纯对策略， 以谋取最大的赢得？
5
矩阵对策的纯策略
例1：设有一矩阵对策G={S1, S2; A}，其中
6 3 A 9 3 1 2 1 0 8 4 10 6
求最优纯策略？
取大则取2 max min aij= 2
i j
取小则取2 min max aij= 2
j
i
7
矩阵对策的纯策略
定义1 设G={S1, S2; A}为一矩阵对策，其中 S1={α1, …,αm}，S2={β1, …,βn}， A=(aij)m×n。若
max min aij min max aij
7 1 8 3 2 4 A 16 1 3 3 0 5
9
答案
1
2
3
min ai j
j
α1 α2 α3
max ai j
i
-7 3 16 -3 16
1 2 -1 0 2*
-8 4 -3 5 5
-8 2* -3 -3
7 1 8 3 2 4 A 16 1 3 3 0 5
16
矩阵对策实例
这一储量问题可以看成是一个对策问题，把采购员当作局中人Ⅰ，他 有三个策略：在秋天时买10吨、15吨与20吨，分别记为 1 , 2 ,3 把大自然看作局中人Ⅱ(可以当作理智的局中人来处理)，大自然(冬季 气温)有三种策略：出现较暖的、正常的与较冷的冬季，分别记为 1 , 2 ,3 把该单位冬季取暖用煤实际费用(即秋季购煤时的用费与冬季不够时 再补购的费用总和)作为局中人Ⅰ的赢得，得矩阵如下：
矩阵对策问题及其解法
矩阵对策问题及其解法背景对策论研究具有竞争性质的现象。
有权决定⾃⾝⾏为的对策参加者称为局中⼈，所有局中⼈构成集合I，在⼀局对策中可供剧中⼈选择的⼀个实际可⾏的完整的⾏动⽅案成为策略，对于任意剧中⼈i∈I，都有⾃⼰的策略集S i。
⼀局对策中由各剧中⼈选定的策略构成的策略组称为局势s=(s1,...,s n)，⽽全体局势集合S=S1×...×S n。
局势决定了对策的结果，对局势s∈S，局中⼈i可以得到收益H i(s)，也称为局中⼈i的赢得函数。
矩阵对策即⼆⼈有限零和对策，是⼀类较为简单的对策模型。
矩阵对策基础我们假设，局中⼈ I 有纯策略α1,...,αm，局中⼈ II 有纯策略β1,...,βn，⼆者各选择⼀个纯策略则构成m×n个纯局势 (αi,βj)，将 (αi,βj)下 I 的赢得值记为a i,j，设矩阵A=[a i,j]，称为 I 的赢得矩阵或 II 的⽀付矩阵。
局中⼈ II 的赢得矩阵就是 −A T。
最优纯策略若纯局势 (a i∗,b j∗) 满⾜max i minj a i,j=minjmaxi a i,j=a i∗,j∗则称为矩阵对策 {S1,S2;A} 的最优纯策略。
显然，最有纯策略在赢得矩阵中对应的元素⼀定满⾜，其是所在⾏的最⼩元素，也是所在列的最⼤元素，即矩阵的鞍点。
混合策略当纯策略不存在时，我们希望给出⼀个选取不同策略的概率分布。
我们记 I,II 的概率分布向量分别为x,y，所有概率分布向量构成的集合为S1,S2，则局中⼈ I 的赢得函数为E(x,y)=x T Ay。
纯策略是混合策略的特例。
若混合局势 (x∗,y∗) 满⾜max x miny E(x,y)=minymaxx E(x,y)=E(x∗,y∗)则称为矩阵对策 {S1,S2;A} 的最优混合策略。
同样，混合策略 (x∗,y∗) 是最有混合策略的充要条件也是 (x∗,y∗) 是函数E(x,y) 的鞍点。
12矩阵对策
博弈论的本质 博弈论的基本概念 矩阵对策的解 矩阵对策的混合扩充 矩阵对策的求解
对策与优化
Monty Hall悖论 悖论
参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆 参赛者会看见三扇关闭了的门， 汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车， 汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另 外两扇门后面则各藏有一只山羊。 外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇 但未去开启它的时候， 门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇 门的其中一扇，露出其中一只山羊。 门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参 赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是换另一扇门 赛者要不要换另一扇仍然关上的门。 是否会增加参赛者赢得汽车的机率？ 是否会增加参赛者赢得汽车的机率？
英式拍卖法 一级密封价格拍卖法 二级密封价格拍卖法
机制设计
有七个人曾经住在一起，每天分一大桶粥。 有七个人曾经住在一起，每天分一大桶粥。要命的 粥每天都是不够的。一开始， 是，粥每天都是不够的。一开始，他们抓阄决定谁 来分粥，每天轮一个。于是乎每周下来， 来分粥，每天轮一个。于是乎每周下来，他们只有 一天是饱的，就是自己分粥的那一天。 一天是饱的，就是自己分粥的那一天。后来他们开 始推选出一个道德高尚的人出来分粥。 始推选出一个道德高尚的人出来分粥。强权就会产 生腐败，大家开始挖空心思去讨好他，贿赂他， 生腐败，大家开始挖空心思去讨好他，贿赂他，搞 得整个小团体乌烟障气。 得整个小团体乌烟障气。然后大家开始组成三人的 分粥委员会及四人的评选委员会， 分粥委员会及四人的评选委员会，但他们常常互相 攻击，扯皮下来，粥吃到嘴里全是凉的。 攻击，扯皮下来，粥吃到嘴里全是凉的。
对策论的发展
税收与拉弗曲线 拍卖机制的设计 二手车市场信息 逆向选择的信贷 机制设计的合作
对策与优化
Monty Hall悖论 悖论
参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆 参赛者会看见三扇关闭了的门， 汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车， 汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另 外两扇门后面则各藏有一只山羊。 外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇 但未去开启它的时候， 门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇 门的其中一扇，露出其中一只山羊。 门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参 赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是换另一扇门 赛者要不要换另一扇仍然关上的门。 是否会增加参赛者赢得汽车的机率？ 是否会增加参赛者赢得汽车的机率？
英式拍卖法 一级密封价格拍卖法 二级密封价格拍卖法
机制设计
有七个人曾经住在一起，每天分一大桶粥。 有七个人曾经住在一起，每天分一大桶粥。要命的 粥每天都是不够的。一开始， 是，粥每天都是不够的。一开始，他们抓阄决定谁 来分粥，每天轮一个。于是乎每周下来， 来分粥，每天轮一个。于是乎每周下来，他们只有 一天是饱的，就是自己分粥的那一天。 一天是饱的，就是自己分粥的那一天。后来他们开 始推选出一个道德高尚的人出来分粥。 始推选出一个道德高尚的人出来分粥。强权就会产 生腐败，大家开始挖空心思去讨好他，贿赂他， 生腐败，大家开始挖空心思去讨好他，贿赂他，搞 得整个小团体乌烟障气。 得整个小团体乌烟障气。然后大家开始组成三人的 分粥委员会及四人的评选委员会， 分粥委员会及四人的评选委员会，但他们常常互相 攻击，扯皮下来，粥吃到嘴里全是凉的。 攻击，扯皮下来，粥吃到嘴里全是凉的。
对策论的发展
税收与拉弗曲线 拍卖机制的设计 二手车市场信息 逆向选择的信贷 机制设计的合作
矩阵对策纯策略意义下的解
此而来。通常把矩阵对策记为
G＝{Ⅰ,Ⅱ;S1,S2;A} 或
G＝{S1,S2;A}
例：G={S1,S2,A} S1={α1,α2,α3,α4} S2={β1,β2, β3}
-6 1 -8 A= 3 2 4
9 -1 -10 -3 0 6
对于G＝{S1,S2;A}， 若有等式
max min aij＝min max aij＝ai*j*
aij*≤ai*j*≤ai*j
例如
65 15 A= 8 5 02
65 2 -1 55 62
7.3 矩阵对策混合策略意义下的解
先看一个简单的例子: A= 3 6 54
一般地，设矩阵对策G＝{S1,S2;A}，其中 S1＝{α1,α2,…,αm}，S2＝{β1,β2,…,βn}， A＝（aij）m×n
为各局中人的最优混合策略。例
(2)线性规划法
当对策的值大于0时,可利用
线性规划法求解矩阵对策。构造
两个线性规划问题
min z＝∑xi i
∑i aijxi≥1 (j=1,2,…,n)
xi≥0
(i=1,2,…,m)
max w＝∑j yj
∑j aijyj≤1 (i=1,2,…,m)
பைடு நூலகம்
yj≥0
(j=1,2,…,n)
7.2 矩阵对策纯策略意义下的解
矩阵对策就是二人有限零和对策。设两个局中人为Ⅰ、
Ⅱ，它们各自的策略集为
S1＝{α1,α2,…,αm} S2＝{β1,β2,…,βn} 当局中人Ⅰ选定纯策略αi，局中人Ⅱ选定纯策略βj后，就 形成了一个纯局势(αi,βj)，这样的纯局势共有m·n个。
对任一纯局势(αi,βj)，记局中人Ⅰ的赢得值为aij，则得 矩阵 A=（aij），称为矩阵人Ⅰ的赢得矩阵。由于是零和对 策，则矩阵人Ⅱ的赢得矩阵为-A。矩阵对策的名称正是由
(优选)矩阵对策的解法详解.
矩阵对策的解法
3.1 公式法、图解法和方程组法
1. 2×2 对策的公式法
2×2 对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为2×2 阶的, 即
A
a11 a21
a12
a22
如果 A 有鞍点, 则很快可求出各局中人的最优纯策略; 如果
A 没有鞍点,则可证明各局中人最优混合策略中的 xi* , yj* 均 大于零。于是, 由定理 6 可知, 为求最优混合策略可求下列
（5）确定经过点 P 的两相交直线，根据两相交直线列出对应方程 组，求出 y*.
（6）根据定理6的结论计算 x* 的值。
2020/7/19
10
例14
用图解法求解矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A} , 其中
2 7
A
6
6
11 2
2020/7/19
11
2020/7/19
12
例 15
求解赢得矩阵A 的矩阵对策
A 4 1
8
3 5
4 5
2 7
2020/7/19
13
2020/7/19
14
3. 线性方程组方法
根据定理4 , 求解矩阵对策解( x*, y* ) 的问题等价于求解不 等式组，又根据定理5 和定理6 , 如果假设最优策略中的 xi* 和 yj* 均不为零, 即可将上述两个不等式组的求解问题转化 成求解下面两个方程组的问题:
(1) i
i
aij xi v, j 1,2,...,n
xi 1
(2)
j j
aij y j v,i 1,2,...,m yj 1
2020/7/19
15
3. 线性方程组方法
例16
求解矩阵对策——“齐王赛马”
3.1 公式法、图解法和方程组法
1. 2×2 对策的公式法
2×2 对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为2×2 阶的, 即
A
a11 a21
a12
a22
如果 A 有鞍点, 则很快可求出各局中人的最优纯策略; 如果
A 没有鞍点,则可证明各局中人最优混合策略中的 xi* , yj* 均 大于零。于是, 由定理 6 可知, 为求最优混合策略可求下列
（5）确定经过点 P 的两相交直线，根据两相交直线列出对应方程 组，求出 y*.
（6）根据定理6的结论计算 x* 的值。
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10
例14
用图解法求解矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A} , 其中
2 7
A
6
6
11 2
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2020/7/19
12
例 15
求解赢得矩阵A 的矩阵对策
A 4 1
8
3 5
4 5
2 7
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13
2020/7/19
14
3. 线性方程组方法
根据定理4 , 求解矩阵对策解( x*, y* ) 的问题等价于求解不 等式组，又根据定理5 和定理6 , 如果假设最优策略中的 xi* 和 yj* 均不为零, 即可将上述两个不等式组的求解问题转化 成求解下面两个方程组的问题:
(1) i
i
aij xi v, j 1,2,...,n
xi 1
(2)
j j
aij y j v,i 1,2,...,m yj 1
2020/7/19
15
3. 线性方程组方法
例16
求解矩阵对策——“齐王赛马”
《运筹学教程》胡云权 第五版 运筹学--6对策论--矩阵对策
13
矩阵对策的纯策略
4、矩阵对策的鞍点与解 多鞍点与无鞍点对策 例: 设有一矩阵对策如下，求它的解。
6 5 6 5
A 1 4 2 1 8 5 7 5
0 2 6
2
局势（α1, β2），（α1, β4），（α3, 均构成鞍点，此对策有多个解。
β2）（α3,
β4） 14
矩阵对策的纯策略
5、矩阵对策纯策略的性质
作业
P385 习题 • 12.2 • 12.3 • 12.4
16
矩阵对策的混合策略
1、混合策略
对于 G {S1, S2; A}
局中人Ⅰ有把握的赢得至少为 v1
max i
min j
aij
局中人Ⅱ有把握的支付至多为 v2
min max
j
i
aij
一般为 v1 v2 ，特别地当 v1 v2 时，则称对策 G 在
yS
* 2
xS1*
20
矩阵对策的混合策略
5、最优混合策略
定义 4：设 G* {S1*, S2*; E} 是矩阵对策 G {S1, S2; A}的混合扩充。
如果
maxmin E(x,
xS1* yS2*
y)
m in m ax E ( x,
yS2* xS1*
y)
，其值为 VG
，则称
VG 为
对策 G* 的值，相应的混合局势 (x*, y*) 称为在混合策略意义下的
44
22
23
对策的值（局中人
I
的赢得期望值）VG
9 2
。
矩阵对策的解法
24
图解法
仅适用于赢得矩阵为2×n或m×2阶的矩阵对策问题。
数学建模案例分析--对策与决策方法建模2矩阵对策模型
§2 矩阵对策模型具有竞争或对抗性质的现象称为对策行为。
在对策行为中，各方面要达到自己的目标，必须考虑对手的各种可能行动方案，从而选出对自己的最有利的策略。
在一个对策行为中，有权决定自己的行动方案的对策参加者称为局中人。
一般在一个对策中至少有两个局中人，我们把只有两个局中人的对策称为二人对策，而多于两个局中人的对策称为多人对策。
策略是指在一个对策中，可供局中人采用的实际可行的完整方案。
每个局中人策略的全体集合称为策略集。
每个局中人从自己的策略集中选择一个策略，便构成一个局势。
当局势确定了，则对策的结果就确定了。
对每个局中人而言，就是或胜或负、名次的前或后、财物的收入或支出等等。
这些结果可以用数字来表示，于是我们得到在全部局势集合上的一个实值函数，用它来描述每个局势完结后局中人的得失，这个函数称为赢得函数。
在任一局势中，全体局中人的赢得函数值和等于零时，称为零和对策。
其实，如果每种对策组合的结果是一个和具体对策组合无关的常数，也都可以作为零和对策。
一般二人有限零和对策的赢得函数可用表格形式表示出来，这个表格又可用矩阵A 来表示。
在对策模型G 中，设甲、乙为两个局中人，甲和乙的策略集分别为},,,{211m S ααα =和},,,{212n S βββ =，当甲选定策略i α，而乙选定策略j β时，就有了局势),(j i βα，对此局势局中人甲的赢得函数值为ij a ，我们称n m ij a A ⨯=)(为局中人甲的赢得矩阵。
因此也称G 为一个矩阵对策，记为};,{21A S S G =。
为了不和后面的有关概念混淆，以后称策略为纯策略，称局势为纯局势。
对于一个矩阵对策，在什么情况下，对策双方才能选出对自己的最有利的策略？即存在最优纯策略的条件是什么？下面通过一个例子加以阐述。
如果两家电视台可能播放的节目分别为四个、三个、甲台节目收视率（%）如下表所示：表1 甲台节目收视率（%）为获得最大收视率，他们各自会采取什么样的对策呢？分析情况可以用通过下表表示。
矩阵对策的基本理论
解：采购员为局中人Ⅰ，他有三个策略：在秋季购煤 100 吨，150 吨和 200 吨，分别记 为α1、α2、α3；大自然为局中人Ⅱ，它也有三个策略，“选择”冬季气候较暖、正常、较冷， 分别记为 β1、β2 和 β3。以冬季取暖购煤的实际费用作为局中人Ⅰ的赢得，它等于秋季购煤 费用和冬季用煤不够时再补购的费用之和，赢得矩阵为
A
a21
a22
a2n
am1 am2 amn
（12-3）
为局中人Ⅰ的赢得 矩阵。由于对策为零和的，故局中人 Ⅱ的赢得矩阵为-A。
当局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集 S1, S2 及局中人Ⅰ的赢得矩阵 A 确定后，一个矩阵对策就给定
了。因此将矩阵对策表示为 G S1，S2；A.
矩阵对策的最优纯策略
x E m
x
x , x ,, x
12
m
T
,
x i
0, i
1,,
m,
m
x i
i 1
1
S 2
y
E
n
y
y , y ,, y
12
n
T,
y j
0,
j
1,
n,
n
j 1
y j
1
S 和S 1
2
分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略集；
x
S
1
和y
S
2
分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ
的混合策略；当
x
S 1
和y
S
2
其中， T G1
和T G 2
分别为局中人 I 和 II 的策略集。
运筹学
使自己的赢得尽可能的小，理性的选择就应该是从各自可能出现的最不利的情形中争取尽可
能好的结果。
A
a21
a22
a2n
am1 am2 amn
（12-3）
为局中人Ⅰ的赢得 矩阵。由于对策为零和的，故局中人 Ⅱ的赢得矩阵为-A。
当局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集 S1, S2 及局中人Ⅰ的赢得矩阵 A 确定后，一个矩阵对策就给定
了。因此将矩阵对策表示为 G S1，S2；A.
矩阵对策的最优纯策略
x E m
x
x , x ,, x
12
m
T
,
x i
0, i
1,,
m,
m
x i
i 1
1
S 2
y
E
n
y
y , y ,, y
12
n
T,
y j
0,
j
1,
n,
n
j 1
y j
1
S 和S 1
2
分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略集；
x
S
1
和y
S
2
分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ
的混合策略；当
x
S 1
和y
S
2
其中， T G1
和T G 2
分别为局中人 I 和 II 的策略集。
运筹学
使自己的赢得尽可能的小，理性的选择就应该是从各自可能出现的最不利的情形中争取尽可
能好的结果。
矩阵对策的基本原理
f ( x, y ) f ( x , y ) f ( x , y)
* * * *
(10 5)
则称(x*, y*)为函数f 的一个鞍点。
10
例8 求对策的解。设矩阵对策 G={S1，S2；A} 为矩阵对策，其中 S1 1 , 2 ,, m ， S2 1 , 2 ,, n ，赢 得矩阵为
* * ( , (10-1)式成立的纯局势 i j )为G在纯策略 * * 的解(或平衡局势)， i 与 j 分别称为局中 人 I、II的最优纯策略。
成立，记VG=ai*j*。则称VG为对策G的值，称使
7
例7 求解矩阵对策 G={S1，S2；A}，其中
7 1 8 3 2 4 A 16 1 3 5 3 0
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
1
为局中人I的赢得矩阵(或局中人II的支付矩阵)。由 于假定对策为零和的，故局中人II的赢得矩阵就是 -A。通常，将一个矩阵对策记成 G={I，II；S1，S2；A} 或 G={S1，S2；A}
例：齐王赛马
1 1
2
2
1
2
2
1
12
例9 某单位采购员在秋天要决定冬季取暖用 煤的储量问题。已知在正常的冬季气温条件下 要消耗15吨煤，在较暖与较冷的气温条件下要 消耗10吨和20吨。假定冬季时的煤价随天气寒 冷程度而有所变化，在较暖、正常、较冷的气 候条件下每吨煤价分别为100元，150元和200 元，又设秋季时煤价为每吨100元。在没有关 于当年秋季准确的气象预报的条件下，秋季储 煤多少吨能使单位的支出最少？
6 1 A 8 0
5 4 5 2
对策论第2,3节 矩阵对策的基本定理与解法
存在前提：
max min aij = min max aij= v
i
j
ji
ห้องสมุดไป่ตู้
又称（ 2 ，3 ）为对策G={s1,s2,A}的鞍点。值 V为G的值。
定义9-1：对给定的矩阵对策
G = S1，S2；A 若等式
max min aij= min max aij
i
j
j
i
成立，则称这个公共值为对策G的值，记 为VG，而达到的局势（ i， j ）称为对 策G在纯策略意义下的解，记为（ I*， j *）而I*和 j *分别称为局中人I和局中 人II的最优纯策略。
第2,3节 矩阵对策理论与求解方法
一、矩阵对策的最优纯策略
•在甲方赢得矩阵A=[aij]m*n中： aij代表甲方取策略i,乙方取策略j, 这一局势
下甲方的益损值，此时乙方的益损值为-aij（零 和性质）。 •在讨论各方采用的策略是必须注意一个前提就 是对方是理智的。这就是要从最有把握取得的 益损值情况考虑。
显然 ai2 a12 a1j ai2 a32 a3j 对 I=1,2,3 j=1,2,3 都成立： a12 = a32 =5 由定理5-1，对策值=5，对策的解：（ 1 , 2 ） 和（ 3 , 2 ）
例3：某单位采购员在秋天时要决定冬天取暖 用煤的采购量。已知在正常气温条件下需要用 煤15吨，在较暖和较冷气温条件下需要用煤10 吨和20吨。假定冬季的煤价随着天气寒冷的程 度而变化，在较暖、正常、较冷气温条件下每 吨煤价为100元、150元、200元。又秋季每 吨煤价为100元。在没有关于当年冬季气温情 况下，秋季应购多少吨煤，能使总支出最少？
E（X，Y）= xi aij yj=XAYT 称为局中人I期望赢得，而局势（X，Y）称为“混合 局势”，局中人I，II的混合策略集合记为S1*， S2*。
10-矩阵对策
(X*,Y*) —— 对策G在混合策略意义下的解 E(X*,Y*) —— 对策G的值，记为 v* ，即 v*= max min E(X,Y) = min max E(X,Y) = E(X*,Y*)
X Y Y X
这样，对策在纯策略意义下的解(α* , β*)就成为(X*, Y*) 的一种特殊情况。
20
24
第10章
矩阵对策
6
第10章
矩阵对策
10.1 基本概念
则 S1 与 S2 构成 m×n 个局势 令 (αi , βj ) ,
i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · ·, n
aij ——甲方关于局势 (αi , βj ) 的赢得 则所有 aij 构成一个矩阵 A = ( aij )m×n 称为甲方的赢得矩阵。 由于甲、乙双方得失总和恒为零，所以A还可称为 乙方的损失矩阵，而 –A 即乙方的赢得矩阵。
19
第10章
矩阵对策
10.1 基本概念
(4) 若有X*∈S1*, Y*∈S2*, 使 E(X*,Y*) = max min E(X, Y) = min max E(X, Y)
X Y Y X
则
X* —— 甲方的最优混合策略 Y* —— 乙方的最优混合策略 简称最优策略；而
如例2 : X*= (0, 1, 0)T α 2 Y*= (0, 0, 1, 0)Tβ 3
5
第10章
矩阵对策
10.1 基本概念
三、矩阵对策的基本模型
在二人有限零和对策中，设以甲方、乙方表示两个
局中人， 以 S1 = {α1,α2 , · · · , αm } S2 = {β1,β2 , · · · , βn } 分别表示甲方、乙方的策略集，
第 11.2 节 矩阵对策的基本定理
2014-5-24
2
当局中人Ⅰ选定纯策略 i 和局中人Ⅱ选定纯策略 j 后, 就 形成了一个纯局势(i , j )。这样的纯局势可构成 m× n 矩 阵。对任一纯局势(i , j ) , 记局中人Ⅰ的赢得值为 aij , 则称 矩阵 A = ( aij )mn 为局中人 I 的赢得矩阵(或为局中人 II 的支 付矩阵)，这样，局中人 II 的赢得矩阵即为 –A。 矩阵对策常记为：G = {I, II; S1, S2; A}或 G = { S1, S2; A}
j
综上可得
即
2014-5-24
aij* max aij* ai* j* min ai* j ai* j
i j
aij* ai* j* ai* j
11
定义2 设 f ( x, y)为一个定义在 x∈ A 及 y ∈ B 上的实 值函数, 如果存在 x* A, y* B, 使得对一切 x A 和 y B, 有 f ( x, y* )≤ f ( x* , y* )≤ f ( x* , y) 则称 ( x* , y* ) 为函数 f 的一个鞍点。 矩阵对策的解与鞍点
第11 章 对策论基础
第 2 节 矩阵对策的基本定理
2. 1 矩阵对策的数学模型
二人有限零和对策
二人零和对策就是矩阵对策, 是指只有两个参加对策的局中 人, 每个局中人都只有有限个策略可供选择。在任一局势下, 两个局中人的赢得之和总是等于零, 即双方的利益是激烈对 抗的。
矩阵对策的表示
设局中人Ⅰ有 m 个纯策略 1 , 2 , ⋯ , m , 局中人Ⅱ有 n 个 纯策略 1 , 2 , ⋯ , n , 则局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集分别为 S1 = {1 , 2 , ⋯ , m} S2 = {1 , 2 , ⋯ , n}
《运筹学》胡运权清华版-12-02矩阵对策基本定理
《运筹学》胡运权清华版 -12-02矩阵对策基本定理
运筹学中，矩阵对策是重要的决策分析工具。通过这个矩阵对策基本定理， 我们能够更好地理解并应用它在实际问题中。
Байду номын сангаас
矩阵对策的背景和定义
矩阵对策是一种决策分析方法，通过建立决策者与对手之间的策略矩阵，来 寻求最佳决策方案。它在解决有限决策问题中具有广泛的应用。
矩阵对策在实际问题中有广泛的应用，如在市场竞争、资源分配、风险管理 等领域。通过矩阵对策的应用，我们能够做出更明智和有效的决策。
矩阵对策在经济领域的案例分 析
矩阵对策在经济领域有着丰富的案例分析。通过深入研究这些案例，我们可 以更好地理解和应用矩阵对策的方法和技巧。
矩阵对策的优势和局限性
矩阵对策具有许多优势，如能够考虑多个因素和决策变量，以及能够量化和 比较各种策略。然而，它也存在一些局限性，如对信息和参数的需求较高。
矩阵对策的基本定理
矩阵对策的基本定理可以帮助我们确定最佳对策和策略组合。通过对矩阵对 策进行精确分析，我们能够得到优化的决策结果。
矩阵对策的解决方法
矩阵对策有多种解决方法，如通过优化算法和约束条件来求解最优解。同时， 可以利用计算机模拟和博弈理论等工具来辅助分析和决策。
矩阵对策在实际问题中的应用
结论和总结
矩阵对策是一种强大的决策分析工具，能够帮助我们做出更明智和优化的决 策。通过学习和应用矩阵对策，我们能够提高决策的准确性和效果，从而更 好地解决现实生活和工作中的问题。
运筹学中，矩阵对策是重要的决策分析工具。通过这个矩阵对策基本定理， 我们能够更好地理解并应用它在实际问题中。
Байду номын сангаас
矩阵对策的背景和定义
矩阵对策是一种决策分析方法，通过建立决策者与对手之间的策略矩阵，来 寻求最佳决策方案。它在解决有限决策问题中具有广泛的应用。
矩阵对策在实际问题中有广泛的应用，如在市场竞争、资源分配、风险管理 等领域。通过矩阵对策的应用，我们能够做出更明智和有效的决策。
矩阵对策在经济领域的案例分 析
矩阵对策在经济领域有着丰富的案例分析。通过深入研究这些案例，我们可 以更好地理解和应用矩阵对策的方法和技巧。
矩阵对策的优势和局限性
矩阵对策具有许多优势，如能够考虑多个因素和决策变量，以及能够量化和 比较各种策略。然而，它也存在一些局限性，如对信息和参数的需求较高。
矩阵对策的基本定理
矩阵对策的基本定理可以帮助我们确定最佳对策和策略组合。通过对矩阵对 策进行精确分析，我们能够得到优化的决策结果。
矩阵对策的解决方法
矩阵对策有多种解决方法，如通过优化算法和约束条件来求解最优解。同时， 可以利用计算机模拟和博弈理论等工具来辅助分析和决策。
矩阵对策在实际问题中的应用
结论和总结
矩阵对策是一种强大的决策分析工具，能够帮助我们做出更明智和优化的决 策。通过学习和应用矩阵对策，我们能够提高决策的准确性和效果，从而更 好地解决现实生活和工作中的问题。
《运筹学教程》胡云权第五版运筹学-6对策论-矩阵对策
矩阵对策的基本原理
矩阵对策的基本原理是将决策问题抽象为一个决策矩阵，其中行表示决策方 案，列表示决策因素。通过对矩阵进行分析和计算，找到最优的决策方案。
矩阵对策的应用领域
矩阵对策可以应用于各种决策问题，包括但不限于供应链管理、投资组合优化、资源分配、人力资源管理等领 域。
矩阵对策的解决方法
矩阵对策可以通过数学方法和算法来求解，例如线性规划、整数规划、动态规划等。不同的决策问题可能需要 不同的解决方法。
案例分析：矩阵对策在实际问题中的应用
本节将通过案例分析展示矩阵对策在实际问题中的应用。我们将介绍一个具体的决策问题，并演示如何使用矩 阵对学习，你已经了解了矩阵对策的基本原理、应用领域和解决方法。希望本节内容对你在运筹学领域 的学习和应用有所帮助。
《运筹学教程》胡云权第 五版运筹学-6对策论-矩 阵对策
本节将介绍运筹学中的矩阵对策，包括其概述、基本原理、应用领域、解决 方法以及在实际问题中的应用。
运筹学简介
运筹学是一门研究在资源有限的情况下如何做出最佳决策的学科。它应用数学方法和模型来协助管理者进行决 策和优化。
矩阵对策概述
矩阵对策是一种运筹学方法，通过构建决策矩阵来帮助管理者进行决策。它 可以同时考虑多个决策因素和多种决策方案，从而找到最佳决策。
矩阵对策
i j
max aij 对局中人 II，求 min j i
若 max min aij min max aij a i
i j j i
*
j*
策略 i ， j 为I，II 的最优策略
这一对策 的值为 V a i
j
几个术语
局势 对策的解
最优纯策略
对策的值 鞍点 e. g. 2 （续）求解取暖购煤问题
两人零和对策
对抗对策（antagonistic game）
矩阵对策（matrix game）
二．实际问题中的矩阵对策模型
e. g. 1 扩大销售模型
公司I，公司II 的同一产品竞争市场份额，各有三种办 法扩大销售额（由于市场需求一定，一家扩大，意味 另一家缩减），三种方法比如：①改进包装；②广告； ③降价．公司I 的三种策略表示为 1 , 2 , 3 ，公司II 的三种策略为 1 , 2 , 3 ，在不同策略下销售量增长百 分比不同．下表中表示公司I 的增长率，而公司II 的即 为相反数
e. g. 6 （续）求最优策略与值
作业
P206,
Ex 6. 3：1，2
1=急转 2 =不转
1
给急转弯者以1 分，不转弯者以5 分 局中人II 局中人I 局 =急转 1 中 人 2=不转 II
3 5
1 =急转 2=不转
1 0
0
II 的支付矩阵
此对策中，若两者都想得5 分，则发生惨祸， 全部玩完．实际上两人最好的做法是同时停车 或转弯，各得3 分． Remark 此例已不是 2 人有限零和对策问题（因为在 每个对局中，双方支付的代数和不为零）， 称为双矩阵对策．
e. g. 2 取暖购煤问题 某公司在秋末需决定冬季取暖用煤问题．根据气温 情况，用煤量和煤价均不同，可用下表表示： 正常气温 较冷气温 较暖气温 需求量15 吨 需求量20 吨 需求量10 吨 200元／吨 250元／吨 150元／吨
max aij 对局中人 II，求 min j i
若 max min aij min max aij a i
i j j i
*
j*
策略 i ， j 为I，II 的最优策略
这一对策 的值为 V a i
j
几个术语
局势 对策的解
最优纯策略
对策的值 鞍点 e. g. 2 （续）求解取暖购煤问题
两人零和对策
对抗对策（antagonistic game）
矩阵对策（matrix game）
二．实际问题中的矩阵对策模型
e. g. 1 扩大销售模型
公司I，公司II 的同一产品竞争市场份额，各有三种办 法扩大销售额（由于市场需求一定，一家扩大，意味 另一家缩减），三种方法比如：①改进包装；②广告； ③降价．公司I 的三种策略表示为 1 , 2 , 3 ，公司II 的三种策略为 1 , 2 , 3 ，在不同策略下销售量增长百 分比不同．下表中表示公司I 的增长率，而公司II 的即 为相反数
e. g. 6 （续）求最优策略与值
作业
P206,
Ex 6. 3：1，2
1=急转 2 =不转
1
给急转弯者以1 分，不转弯者以5 分 局中人II 局中人I 局 =急转 1 中 人 2=不转 II
3 5
1 =急转 2=不转
1 0
0
II 的支付矩阵
此对策中，若两者都想得5 分，则发生惨祸， 全部玩完．实际上两人最好的做法是同时停车 或转弯，各得3 分． Remark 此例已不是 2 人有限零和对策问题（因为在 每个对局中，双方支付的代数和不为零）， 称为双矩阵对策．
e. g. 2 取暖购煤问题 某公司在秋末需决定冬季取暖用煤问题．根据气温 情况，用煤量和煤价均不同，可用下表表示： 正常气温 较冷气温 较暖气温 需求量15 吨 需求量20 吨 需求量10 吨 200元／吨 250元／吨 150元／吨
10矩阵对策
max V 7 x1 + 3 x 2 ≥ V 4 x1 + 6 x 2 ≥ V x1 + x 2 = 1 x i ≥ 0, i = 1,2
其意义是： 其意义是 ： 甲在每个乙的策略下的期望赢得 都不少于V 都不少于V
17
1.基本概念 1.基本概念
同样， 为乙的最优损失， 为用策略i 同样 ， 设 U 为乙的最优损失 ， yi 为用策略 i 的概 则有： 率，则有：
3. 混合策略 b1 b2 例4 a1 7 4 A= a2 3 6
max 7 6 min min 4 3 找不到鞍点， 找不到鞍点， 因此在纯策略 意义下无解 max
解决办法： 解决办法：双方只能以某一 概率选取自己的策略， 概率选取自己的策略，所以 叫混合策略
13
1.基本概念 1.基本概念
12
− 1 − 1 − 1 1 − 1
1
−1 −3 −1 −1 −1 1
1
1 −1 −3 −1 −1 −1
1
−1 1 −1 −3 −1 −1
1
−1 −1 1 −1 −3 −1
1
− 1 − 1 − 1 1 − 1 − 3
1 无纯策略
1.基本概念 1.基本概念
max V
s.t.
∑a
i =1 m
i =1
m
ij
x i ≥ V , j = 1,2,..., n
=1
16
∑x
i
xi ≥ 0, i = 1,2,..., m
1.基本概念 1.基本概念
例如，上例中， 为甲的最优赢得， 例如，上例中，设V为甲的最优赢得，xi为用策 的概率，则有： 略i的概率，则有：
其意义是： 其意义是 ： 甲在每个乙的策略下的期望赢得 都不少于V 都不少于V
17
1.基本概念 1.基本概念
同样， 为乙的最优损失， 为用策略i 同样 ， 设 U 为乙的最优损失 ， yi 为用策略 i 的概 则有： 率，则有：
3. 混合策略 b1 b2 例4 a1 7 4 A= a2 3 6
max 7 6 min min 4 3 找不到鞍点， 找不到鞍点， 因此在纯策略 意义下无解 max
解决办法： 解决办法：双方只能以某一 概率选取自己的策略， 概率选取自己的策略，所以 叫混合策略
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1.基本概念 1.基本概念
12
− 1 − 1 − 1 1 − 1
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−1 −3 −1 −1 −1 1
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1 −1 −3 −1 −1 −1
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−1 1 −1 −3 −1 −1
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−1 −1 1 −1 −3 −1
1
− 1 − 1 − 1 1 − 1 − 3
1 无纯策略
1.基本概念 1.基本概念
max V
s.t.
∑a
i =1 m
i =1
m
ij
x i ≥ V , j = 1,2,..., n
=1
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∑x
i
xi ≥ 0, i = 1,2,..., m
1.基本概念 1.基本概念
例如，上例中， 为甲的最优赢得， 例如，上例中，设V为甲的最优赢得，xi为用策 的概率，则有： 略i的概率，则有：
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4、优超原理
定义： 若A中第i, k 行有aij akj , j 1 n 称 i 优超于 k 。 记 i k 若A中第j, l列有aij ail , i 1 m 称 j 优超于l 记 j l 。
例： A
1 0 2 2 3 1
局中人乙的最优策略为d2，
对策值V=1
(2) 多鞍点与无鞍点对策
例 设有一矩阵对策如下，求它的解。
6 1 A 8 0 5 4 5 2 6 2 7 6 5 - 1 5 2
局势 ( s1 , d 2 ) ( s1 , d 4 ) ( s3 , d 2 ) ( s3 , d 4 ) 均构成鞍点， 此对策有多个解。
4．收益期望函数
对于一个混合局势(x,y)，用
E ( x , y ) xi ( aij y j ) aij xi y j x T Ay
i 1 j 1 i 1 j 1
m
n
m
n
表示局中人甲在混合局势(x,y)时的收益期望值。 5．混合策略对策模型 对于一个纯策略对策 G ( S , D, A) ，我们用
归一化
1 x x' , w
1 y y' z
例： “剪刀、石头、布” 游戏，
1 1 0 A 1 0 1 1 1 0
A+2
m i n z x1 x2 x3 2 x1 x2 3 x3 1 1 1 1 T 3 x1 2 x2 x3 1 求解 X ( , , ) st x1 3 x2 2 x3 1 6 6 6 xi 0( i 1, 2, 3) 归一化 1 1 1 T X ( , , ) 3 3 3 1 1 1 T 同理， Y ( , , ) 3 3 3
G* ( S * , D* , E ) 表示一个混合策略矩阵对策及
G的一个混合扩充。
二、混合策略对策的解 1．混合策略分析
* * * G ( S , D , E) 对于混合策略对策
局中人甲的策略决策模型为：
* max f ( x ) max min E ( x , y ) E ( x , y ) x x* * * * xS xS yD
称为i的劣策略(Dominated strategy)。
' i
'' i
例： B1 Ⅰ A1 A2 1， 0 0， 3
Ⅱ
B2 1， 2 0， 1 B3 0， 1 2， 0
劣策略
可按如下思路寻找均衡解： 首先找出某个局中人的劣策略（如果存在），剔除该劣 策略，得到新的博弈；再剔除该新博弈中的某个中人的 劣策略。重复进行，直至只剩下唯一的策略组合为止， 这个剩下的策略称为重复剔除的占优均衡（Iterated dominance equilibrium）。
定义：如果对应所有的 si，s
i ' i
i 是i的严格最优选择，即
ui ( s , si ) ui ( s , si ) si , s s
' i
i
则称 si 是i的占优策略(Dominant strategy)。 s 定义：如果对应所有的i， i 是i的占优策略,则称策略组合
例： 矩阵对策赢得矩阵如下，试求它的解。
3 6 A 5 4
解： 3,4 4 VL maxminaij max
5,6 5 VU minmaxaij min
j i
i
j
i 2
j 1
故：该对策无鞍点，即无解。
例：齐王赛马为无鞍点对策
田忌 齐王
1
2
3
2 1 3
2 3 3
3 1 3 2
' 性质1：若G ( S1 , S2 , A)中， i k，构造新的G ' ( S1' , S2 , A' ) ' 其中S1'是S1去掉 k，S2 ＝S2，A'是A中去掉k 行，则：
① VG VG '
β1 β2 β3 β4 β5 β6 （上中下） （上下中） （中上下） （中下上） （下上中） （下中上）
α1 （上中下） α2 （上下中） α1 （中上下） α1 （中下上） α1 （下上中） α1 （下中上）
3 1
1 3
1 1
1 1
-1 1
1 -1
1
-1 1 1
-1
1 1 1
3
1 1 -1
1
3 -1 1
A
'
根据性质3，则X * (0,0,1,0), Y * (1,0,0,0), VG* 2
§3 混合策略对策
一、混合策略对策的基本概念
无鞍点对策的求解方法是采用混合策略，混合策略就 是局中人考虑以某种概率分布来选择他的各个策略。
1．混合策略
T x ( x , x , , x ) , xi 1, xi 0, m维概率向量 1 2 m i 1 m
二、纳什均衡
均衡（Equilibrium）是所有局中人的最优策 略的组合，一般记为：
s ( s ,, s ,, s )
s 是第i个局中人在均衡情况下的最优战略，即 其中，
i
1
i
n
ui ( s , si ) ui ( s , si ) s s
' i ' i
i
前提： 对策双方均理智 结论： 最不利中选最有利
s1 3 A s 2 6 s3 - 5
1 0 -1
2 - 3 4
问：双方局中人采用何策略最佳。
解：可用下述表格表示上述寻找最优纯策略过程:
d1 s1 s2 s3 3 6 -5 6 d2 1 0 -1 1 d3 2 -3 4 4
i i j
（2）局中人乙对每个策略dj的评价值为
dj
* j
评价
g (d j ) max a ij
i
故局中人乙选择策略模型为：
d ming(d j ) minmaxaij Vmin
j j i
3. 纯策略对策模型的解
(1) 鞍点与解 对于一个对策 G S , D, A ，如果有
* maxminaij minmaxaij aij i j j i
V a 称为对策G 之值。 例 上例中 G S , D, A
* ij
则称局势 ( si , d j ) 为对策G的一个鞍点，
*
*
3 A 6 - 5
1 0 -1
2 - 3 4
局势 ( s1 , d 2 )构成一个鞍点， 局中人甲的最优策略为s1 ,
（Ⅰ）
m in
w x1 ' x2 ' xm '
m aij xi ' 1, j 1,2, , n s.t i 1 xi ' 0, i 1,2, , m
（Ⅱ） max
z y1 ' y2 ' yn '
n aij y j ' 1, i 1,2, , m s.t. j 1 y j ' 0, j 1,2, , n
前提假设：“理性”是所有局中人的共同知识 （Common Knowledge）
例：求下面博弈的重复剔除的占优均衡解
0 4 3 1 2 2 3 2 0 4
2 1 2 4
对于A ' min max aij max min aij 2, 即对策解是（ 3 , 1）VG 2。
j i i j
2 3 4 （2） 0
局中人乙的策略决策模型为：
* * min g ( y ) min max E ( x , y ) E ( x , y ) y y合策略矩阵对策的线性规划解法
若所有aij>0（否则，可取一充分大M>0，使得aij +M>0）， 则可用下述两规划 来求解混合策略：
二人有限零和对策
§2 纯策略对策
一、纯策略与混合策略
纯策略是指确定的选择某策略；而混合策略 则指以某一概率分布选择各策略。 二、纯策略对策的解 1. 引例
D d1 , d 2 , d 3 ，其赢得矩阵为： d1 d 2 d 3
例
设一对策 G S , D, A，其中 S s1 , s2 , s3 ，
i
（ si ( s1 , , si 1 , si 1 , , sn ) 表示除 i 之外
所有局中人的策略组成的向量。)
均衡的层次：
占优策略均衡 重复剔除的占优均衡 （纯策略）纳什均衡 混合策略纳什均衡
弱 强
条 件
1. 占优策略均衡
坦白
II 不坦白
考虑“囚犯困境”问题： 坦白 (9, 9) (0, 10) I 不坦白 ( 10, 0) ( 1, 1) 不论同伙选择什么策略，每个囚徒的最优策略是“坦白”。
s ( s ,, s )
1
n
为占优策略均衡。
小猪
2. 重复剔除的占优均衡
考虑智猪博弈问题：
按
等待
大 按 猪 等待
5， 1
9，-1
4，4
0， 0
“等待”是小猪的占优战略，而大猪无占优战略。
定义：令
则
s
' i
s 和 s 为局中人i的两个策略，如果 ' '' ui ( si , si ) ui ( si , si ) si
称为局中人甲的一个混合策略，即局中人甲选择 策略si的概率为xi 。 同理可定义乙的混合策略。