2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(十五)数学(理科)
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(十九)理科数学试题
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十九）数学（理科）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1z i =-+（i 是虚数单位），则z 的模为（ ）A. 0B. 1C.D. 2 【答案】C【解析】【分析】根据模长的定义求得结果.【详解】1z i =-+== 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.2.已知全集U =R ，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =，则()U A B =（ ）A. {1,0,1}-B. {1,0,1,2}-C. {|2}x x <D. {|12}x x -<【答案】A【解析】【分析】 根据补集定义求得U C B ，再利用交集定义求得结果. 【详解】{}2U C B x x =< (){}1,0,1U AC B ∴=- 本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算问题，属于基础题.3.命题“α∃∈R ，sin 0α=”的否定是（ ） A. α∃∈R ，sin 0α≠B. α∀∈R ，sin 0α≠C. α∀∈R ，sin 0α<D. α∀∈R ，sin 0α> 【答案】B【解析】【分析】根据特称量词的否定得到结果.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠本题正确选项：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题.4.下列函数中，既是奇函数又在(),-∞+∞上单调递增的是（ ）A. sin y x =B. y x =C. 3y x =-D. )ln y x = 【答案】D【解析】【分析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除,,A B C 选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得D 正确.【详解】sin x 不是单调递增函数，可知A 错误； x x -=，则函数y x =为偶函数，可知B 错误；3y x =-在(),-∞+∞上单调递减，可知C 错误；)ln ln ln x x ⎫==-⎪⎭，则)ln y x =为奇函数；当0x ≥时，x 单调递增，由复合函数单调性可知)lny x =在[)0,+∞上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(),-∞+∞上单调递增，则D 正确.本题正确选项：D 【点睛】本题考察函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S S =2，则数列{}n a 的公比q =（ ）A. -1B. 1C. ±1D. 2 【答案】C【解析】【分析】分别在1q =和1q ≠列出4S 和2S ，构造方程求得结果.【详解】当1q =时，41124222S a a S ==⨯=，满足题意当1q ≠时，由42S S =2得：()()421112111a q a q q q --=--，即212q +=，解得：1q =-综上所述：1q =±本题正确选项：C【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略1q =的情况造成求解错误. 6.过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ,Q 两点,F 是椭圆的一个焦点,则PFQ △的周长的最小值为（ ）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】D【解析】【分析】 记椭圆的另一个焦点为1F ,则1QF PF =,由1+2PF PF a =,PQ 2b ≥,即可求出PQF ∆周长的最小值．【详解】如图所示,记椭圆的另一个焦点为1F,则根据椭圆的对称性知道:1QF PF = ,2PQ PO =,设(cos ,sin )P a b θθ ,则222222222=cos +sin =()cos +PO a b a b b θθθ-,又因220a b ->,2cos 0θ≥, 所以22PO b ≥,即PO b ≥,22PQ PO b =≥．所以PQF ∆的周长为122210818QF PF PQ PF PF PQ a PQ a b ++=++=+≥+=+= 故选：D【点睛】本题考查椭圆内焦点三角形的周长的最值问题,熟练掌握椭圆的第一定义是解本题的关键,属于基础题．7.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（ ）A. 18种B. 9种C. 6种D. 3种【答案】A【解析】【分析】 先确定1号盒子的选择情况，再确定2、3、4号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解．【详解】由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2、3、4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有111332118C C C ⋅⋅⋅=种．故答案选A ． 【点睛】本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题． 8.为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的1000人，其服用后开始有药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量x （分钟），这个区间上的人数为y （人），易见两变量x ，y 线性相关，那么一定在其线性回归直线上的点为（ ）A. ()1.5,0.10B. ()2.5,0.25C. ()2.5,250D. ()3,300【答案】C【解析】【分析】 写出四个区间中点的横纵坐标，从而可求出 2.5x =，250y =，进而可选出正确答案.【详解】解：由频率分布直方图可知， 第一个区间中点坐标，111.0,0.101000100x y ==⨯=， 第二个区间中点坐标，222.0,0.211000210x y ==⨯=，第三个区间中点坐标，333.0,0.301000300x y ==⨯=，第四个区间中点坐标，444.0,0.391000390x y ==⨯=， 则()12341 2.54x x x x x =+++=，()123412504y y y y y =+++=， 则一定在其线性回归直线上点为(),x y ()2.5,250=. 故选:C.【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了线性回归直线方程的性质.本题的关键是利用线性回归直线方程的性质，即点(),x y 一定在方程上.9.单位正方体111ABCD A B C O -在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点(),,0M a a ，()0,,1N b ，其中01a <≤，01b ≤≤，设由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E ，那么（ ）A. 对任意点M ，存在点N 使截面E 为三角形B. 对任意点M ，存在点N 使截面E 为正方形C. 对任意点M 和N ，截面E 都为梯形D. 对任意点N ，存在点M 使得截面E 为矩形【答案】A【解析】【分析】由题意可得：动点(),,0M a a 且01a <≤，即动点在线段1OB （除端点O ）上的动点，()0,,1N b 且01b ≤≤，即动点N 在线段DC 上的动点，M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E 都过直线1OB ，可以通过特殊点即端点来判断即可.【详解】由题意可得：动点(),,0M a a 且01a <≤，即动点M 在线段1OB （除端点O ）上的动点，()0,,1N b 且01b ≤≤，即动点N 在线段DC 上的动点，所以任意点M ，由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E 都过直线1OB ，当点N 与C 重合时，截面E 为三角形，因此A 选项正确；当点N 与D 重合时，截面E 为矩形，当点N 不与端点C 、D 重合时，截面E 为等腰梯形，所以,B C 选项错误；只有当点N 与D 重合时，截面E 为矩形，所以D 选项错误；故选：A【点睛】本题考查了用不同的平面去截正方体所得到的截面，考查了学生的空间想象能力，属于一般题. 10.设4log 3a =，5log 2b =，8log 5c =，则（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】B【解析】【分析】 由4lg 27log 3lg 64a ==，8lg 25log 5lg 64c ==比较a 、c 的大小，利用中间量12比较b 、c ，从而得解． 【详解】 27464lg 27log 3log lg 64a ===，25864lg 25log 5log lg 64c ===， ∴ 3548log log > ，即a c > ，2<，5>，∴581log 2c =>=251log 2b =<= ， ∴5285log log >，即c b > ，∴352485log log log >> ，即a c b >>．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了对数函数单调比较大小，解题关键是找到合适的中间变量进行大小比较，有一定难度．11.已知F 是双曲线22:22-1x y E a b = (0,0)a b >>左焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线与曲线E 的两条渐近线依次交于A ，B 两点，若A 是线段FB 的中点，且C 是线段AB 的中点，则直线OC 的斜率为（ ）A. C. - D. 【答案】D【解析】【分析】 联立直线和渐近线方程求得,A B 纵坐标，根据2B A y y =可得,a b 之间的关系，从而可用a 表示出,A B 坐标，利用中点坐标公式得到C ，从而求得斜率.【详解】由题意知，双曲线渐近线为：b y x a =±设直线方程为：)y x c =+由)3y x c b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：A c y a b =；同理可得：B c y a b = A 是FB 中点 2B A y y ∴=b ⇒=2c a ⇒==A y ∴=，B y = 12A x a ⇒=-，B x a = 24A B C x x a x +∴==，2A B C y y y +==C OC C y k x ∴== 本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够通过中点的关系得到关于交点纵坐标之间的关系，从而求解出,,a b c 之间的关系.12.函数11()sin x x f x e e a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为( ) A. 20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 20,π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. (0,2] D. (0,2)【答案】A【解析】【分析】函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，由()10ϕ=，()10g =，可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，()g x 的单调，根据单调性得到()x ϕ与()g x 的大致图象，从图形上可得要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，即可解得实数a 的取值范围．【详解】解：函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于：函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，()10ϕ=，()10g =，∴函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，又11()x x g x e e --'=--，且10x e ->，10x e ->，11()x x g x e e --∴'=--在R 上恒小于零，即11()x x g x e e --=-在R 上为单调递减函数，又()sin x a x ϕπ= (0)a >是最小正周期为2，最大值为a 的正弦函数，∴可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-的大致图象如图：∴要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，()1cos a a ϕπππ'==-， ()111112g e e --'=--=-，2a π∴--，解得2a π， 又0a >，∴实数a 的范围为20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于难题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，则角A 的大小为____．【答案】3π【解析】【分析】根据正弦定理化简角的关系式，从而凑出cos A 的形式，进而求得结果.【详解】由正弦定理得：222a b c bc =+-，即222b c a bc +-= 则2221cos 22b c a A bc +-== ()0,A π∈ 3A π∴=本题正确结果：3π 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.14.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则不等式(21)(2)f x f x ->-的解集为____．【答案】()(),11,-∞-+∞ 【解析】【分析】利用偶函数关于y 轴对称，又由()f x 在[0,)+∞上单调递增，将不等式(21)(2)f x f x ->-转化为212x x ->- ，即可解得(21)(2)f x f x ->-的解集． 【详解】 函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，∴(21)(2)f x f x ->-可转化为(21)(2)f x f x ->-， 又()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴ (21)(2)212f x f x x x ->-⇔->-，两边平方解得：(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ ，故(21)(2)f x f x ->-的解集为(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．15.已知各项都为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若()241n n S a =+，则n a =____. 【答案】21n -【解析】【分析】利用11n n n a S S ++=-得到递推关系式，整理可知12n n a a +-=，符合等差数列定义，利用()21141S a =+求出1a 后，根据等差数列通项公式求得结果. 【详解】由题意得：()21141n n S a ++=+ 则()()2211144411n n n n n S S a a a +++-==+-+ 即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=+-=+{}n a 各项均为正数，即10n n a a ++≠ 12n n a a +∴-=由()21141S a =+得：11a =∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列()11221n a n n ∴=+-⨯=-本题正确结果：21n -【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用11n n n a S S ++=-证明出数列为等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得结果.16.A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 的距离为2，C 是劣弧AB （包含端点）上一动点，若OC OA OB λμ=+ (,)R λμ∈，则λμ+的取值范围为___.【答案】1,3⎡⎢⎣⎦.【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，其中AB 与y 轴垂直，故C 的坐标可以用,λμ表示为2μλ⎛- ⎝⎭，由C 在单位圆上可得λμ+的取值范围． 【详解】如图以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A ，B 两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直，A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 3所以点132A ⎛- ⎝⎭ ，点132B ⎛ ⎝⎭， 故13,22OA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，13,22OB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，即3,22OA λλλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22OB μμμ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以 3(),22OC OA OB μλλμλμ⎛⎫-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 又 C 是劣弧AB （包含端点）上一动点, 设点C 坐标为(,)x y ，故112231x y ⎧-≤≤⎪⎪≤≤ ， 因为 3()(,)2OC OA OB x y μλλμλμ⎛-+=+==⎝⎭， 33()1λμ+≤≤ ，解得：231λμ≤+≤， 故λμ+的取值范围为23⎡⎢⎣⎦．【点睛】本题考查向量线性运算中的最值问题，可根据图形的的特点建立合适的平面直角坐标系，把向量的最值问题转化为函数的最值问题．三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数21()3cos cos 2f x x x x ωωω=-+(0)>ω，1x ，2x 是函数()f x 的零点，且21x x -的最小值为2π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若13235f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，15521213f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求cos()αβ-的值. 【答案】(Ⅰ) 1ω= (Ⅱ) ()56cos 65αβ-= 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出()sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据周期求得ω；(Ⅱ)根据()f x 解析式可求解出cos α，sin β；再利用同角三角函数关系求出sin α，cos β；代入两角和差余弦公式求得结果.【详解】(Ⅰ)()211cos 21cos cos 22222x f x x x x x ωωωωω+=-+=-+12cos 2sin 226x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 21x x -的最小值为2π 22T π∴=,即22T ππω== 1ω∴= (Ⅱ)由(Ⅰ)知：()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭123sin sin cos 233625f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1555sin sin sin 2126613f πππβββπβ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5sin 13β∴= 又,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin 5α∴=，12cos 13β= ()3124556cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ∴-=+=⨯+⨯=【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型. 18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理巾. 附：()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-+≈，(22)0.9544P X μσμσ-+≈，(33)0.9974P X μσμσ-+≈.【答案】（Ⅰ）0.0013 （Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ），要求得正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率，化为(3,3)μσμσ-+的形式，然后求解即可;（Ⅱ）由（Ⅰ）可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率为0.0013，可求得随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的． 【详解】解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ，由题意可知(,)X N 25005．由于=-⨯48550035，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知()(()..P X P X <=--⨯≤≤+⨯≈⨯=1148515003550035000260001322.(Ⅱ)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（Ⅰ）可知，随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率约为....-⨯==⨯6000130001300000016916910，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.【点睛】本题主要考查了正态分布中3σ 原则，考查基本分析应用的能力，属于基础题． 19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点.（I ）若E 为1AB 上的一点，且DE 与直线CD 垂直，求11EBAB 的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，设异面直线1AB 与CD 所成的角为45°，求直线DE 与平面11AB C 成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）25【解析】 【分析】（Ⅰ）取AB 中点M ,连接CM MD ，，证明DE CMD ⊥ ，即可说明1DE AB ⊥，由底面为正方形，可求得EB AB =1114; （Ⅱ）以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面11AB C 的法向量为n ，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解． 【详解】（Ⅰ）证明：取AB 中点M ,连接CM MD ，,有//MD AB 1,因为AC BC =，所以CM AB ⊥, 又因为三棱柱111ABC A B C =为直三棱柱， 所以ABC ABB A ⊥11平面平面, 又因为=ABCABB A AB 11平面平面,所以CM ABB A ⊥11平面， 又因为11DE ABB A ⊂平面 所以CM DE ⊥ 又因为,DE CD CDMD D ⊥=,CD ⊂平面CMD ,CM ⊂平面CMD ,所以DE CMD ⊥平面，又因为MD ⊂平面CMD , 所以DE MD ⊥, 因为//MD AB 1， 所以1DE AB ⊥,连接1A B ,设11A B AB O ⋂=，因为11ABB A 为正方形，所以11A B AB ⊥,又因为,,DE AA B B A B AA B B ⊂⊂平面平面11111 所以1//DE A B , 又因为D 为1BB 的中点， 所以E 为1OB 的中点, 所以EB AB =1114. （Ⅱ）如图以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AB a =,由（Ⅰ）可知CDM ∠=45， 所以AB a =122， 所以DM CM a ==2,所以(,,),(,,),(,),(,,),(,,)A a B a a C a a D a a E a a ---111300*********,所以(,,),(,,),(,,)AB a a B C a a DE a a =-==1111122002022， 设平面11AB C 的法向量为()x,y,z =n ，则1110,0AB n B Cn ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,0x y x -+=⎧⎪⎨=⎪⎩ 则n 的一组解为(2,2,1)n =-．所以cos ,DE DE DE →⋅===52n n n所以直线DE 与平面11AB C . 【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．20.已知抛物线2:2C x py =(0)p >，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 交于点M .（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值. 【答案】(Ⅰ) 2p = (Ⅱ) 最小值4. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据抛物线的性质即可得到结果；(Ⅱ)由直线垂直可构造出斜率关系，得到124x x =-，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得m ；联立两切线方程，可用k 表示出M ，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值. 【详解】(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为：2p y =- 焦点到准线的距离为2，即2p =. (Ⅱ)抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '= 设()11,A x y ，()22,B x y ，()21111:42x x l y x x -=- ()22222:42x x l y x x -=-由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =- 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx mx y=+⎧⎨=⎩所以2440x kx m --= 216160k m ∆=+>，12124,44x x k x x m +==-=-，所以1m =即:1l y kx =+联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：21x k y =⎧⎨=-⎩，即：()2,1M k - M 点到直线l的距离d ==()241AB k ==+所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥当0k =时，MAB ∆面积取得最小值4【点睛】本题考查抛物线的性质的应用、抛物线中三角形面积最值的求解，关键是能够将所求面积表示为关于斜率的函数关系式，从而利用函数最值的求解方法求出最值. 21.已知1x =是函数2()ln 2xf x ax x x =+-的极值点. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求证：函数()f x 存在唯一的极小值点0x ，且()07160f x <<. （参考数据：ln 20.69≈，4516e 7<，其中e 为自然对数的底数） 【答案】(Ⅰ) 14a = (Ⅱ)见证明 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据'(1)0f =，求得实数a 的值，通过导数验证函数单调，可知时14a =极值点为1x =，满足题意；(Ⅱ)由(Ⅰ) 函数()f x 的极小点值位于(2,)+∞ ，此时()g x 的零点位于,x ∈（）0742，且此0x 为()f x 的极小点值点，代入()g x ，()f x 中，化简即可得到()f x 关于0x 的二次函数，求解二次函数在区间,（）742上的值域即可证明结论．【详解】解：(Ⅰ)因为'()ln f x ax x =--122，且1x = 是极值点， 所以'()f a =-=11202，所以14a = . 此时'()ln x f x x =--122 ，设()'()g x f x = ，则'()x g x x x-=-=11222 .则当02x << 时，'()()g x g x <，0 为减函数. 又(1)()ln g g ==-<，102202， 所以在01x <<时，()0>g x ，()f x 为增函数；12x << 时，()0<g x ，()f x 为减函数.所以1x =为()f x 的极大值点，符合题意.（Ⅱ）当2x > 时，'()0g x >，()g x 为增函数，且()ln g =->342202，(2)0g < 所以存在(),x x ∈=（）,00240g 当02x x << 时，()0<g x ，()f x 为减函数；0x x > 时，()0>g x ，()f x 为增函数，所以函数()f x 存在唯一的极小值点0x .又()ln g =-757242 ，已知e <54167 ，可得()ln e <⇒<54775422 ， 所以()g <702，所以x <<0742 ，且满足ln x x --=001022.所以()ln ()x x x f x x x x =+-=-+∈，2200000007042416.其中0()0f x >也可以用如下方式证明：()ln (ln )x x f x x x x x x =+-=+-2114242 ，设()ln x h x x =+-142 ， 则'()x h x x x -=-=11444.则当04x << 时，'()0h x < ，()h x 为减函数；当4x > 时，'()0h x >，()h x 为增函数. 所以()()ln h x h ≥=->342202所以在()0f x > ，所以0()0f x >【点睛】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点处理问题，从而可将证明问题转化为某一个区间内二次函数值域问题的求解，考查了学生基本计算能力以及转化与划归思想，属于难题．四、选做题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过原点且倾斜角为02παα⎛⎫<⎪⎝⎭.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线2l 过原点且倾斜角为3πα+，设直线1l 与曲线1C 相交于O ，A 两点，直线2l 与曲线2C 相交于O ，B 两点，当α变化时，求AOB 面积的最大值.【答案】(Ⅰ) 2sin ρθ= (Ⅱ) +324【解析】 【分析】(Ⅰ)法一：将1C 化为直角坐标方程，根据对称关系用2C 上的点表示出1C 上点的坐标，代入1C 方程得到2C 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将y x =化为极坐标方程，根据对称关系将1C 上的点用2C 上的点坐标表示出来，代入1C 极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用1l 和2l 的极坐标方程与12,C C 的极坐标方程经,A B 坐标用α表示，将所求面积表示为与α有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.【详解】(Ⅰ)法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=， 设曲线2C 上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y ，所以00x y y x =⎧⎨=⎩ 又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=法二：由题可知，y x =的极坐标方程为：4πθ=()R ρ∈， 设曲线2C 上一点(),ρθ关于4πθ= ()R ρ∈的对称点为()00,ρθ， 所以0024ρρθθπ=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=(Ⅱ)直线1l 的极坐标方程为：θα=，直线2l 的极坐标方程为：3πθα=+设()11,A ρθ，(),B ρθ22 所以2cos θαρθ=⎧⎨=⎩解得12cos ρα=，32sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1211sin sin sin cos 23322AOB S ππρρααααα∆⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23πααα⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭因为：02πα≤<，所以42333πππα≤+< 当232ππα+=即12πα=时，sin 213πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，AOB S ∆+34【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中ρ的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解.【选修4-5：不等式选讲】23.选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x a =+++.（Ⅰ）当1a =-时，求不等式()2f x x >的解集；（Ⅱ）当不等式()1f x >的解集为R 时，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) (,1)-∞ (Ⅱ) 0a <或2a >【解析】【分析】(Ⅰ)根据x 的范围得到分段函数()f x 的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；(Ⅱ)由绝对值三角不等式得到()f x 的最小值，则最小值大于1，得到不等式，解不等式求得结果.【详解】(Ⅰ)1a =-时，()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时，22x x ->，即0x < 1x ∴<-当11x -≤≤时，22x >，即1x < 11x ∴-≤<当1x >时，22x x >，无解综上，()2f x x >的解集为(),1-∞(Ⅱ)()11f x x x a a =+++≥-当1a -≤-，即1a ≥时, 1a x -≤≤-时等号成立；当1a ->-，即1a <时, 1x a -≤≤-时等号成立 所以()f x 的最小值为1a - 即11a ->0a ∴<或2a >【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.。
河北省衡水中学2021届高三高考猜题卷(一)数学(理)试题
河北省衡水中学2021年高三高考猜题卷（一）数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}2|250,Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 2．已知i 是虚数单位，复数512i i -的虚部为（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i 3．某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0,1,2,3，第五个值丢失，但该样本的平均数为1，则样本方差为（ ）A ．2B ．65 CD．54．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则C 的焦距等于（ ）A ．4 B．C ．2 D．5．若不等式组0,{2,10x y x kx y ≥≥-+≥表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（ ）A ．15B ．14C ．12D ．15或146．已知sin 2cos αα-=tan2α= A ．34 B ．34- C ．43 D ．43- 7．九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，根据这一问题的思想设计了如下所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为( )A ．4B ．5C ．7D ．11 8．如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若2BC BF =，且3AF =，则抛物线的方程为（ ）A ．232y x =B ．29y x =C ．292y x =D ．23y x = 9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是 （ ）A ．B ．C ．D ．10．在ABC ∆中，()2,?cos 1AB AC BC A π==-=，则cos A 的值所在区间为（ ） A ．()0.4,0.3-- B ．()0.2,0.1-- C ．()0.3,0.2-- D ．()0.4,0.511．已知函数()2x x e a f x e=-，若对任意的12,[1,2]x x ∈，且12x x ≠时，1212[()()]()0f x f x x x -->，则实数a 的取值范围为（ ）A ．22[,]44e e - B ．22[,]22e e - C ．22[,]33e e - D ．22[,]e e -二、填空题12．已知(x +1)2(x +2)2016=a 0+a 1(x +2)+a 2(x +2)2+...+a 2018(x +2)2018，则a 12+a 222+a 323+...+a201822018的值是_______. 13．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A ，B ，C ，D ，E 这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种．14．已知函数()sin f x x =，若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()112m m f x f x -+-=（2m ≥，*N m ∈），则m 的最小值为__________．15．已知等腰直角ABC 的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ADC 折起，使二面角B AD C --的大小为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________．三、解答题16．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1,S 2,S 4成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =(−1)n−14n a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．17．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AE ⊥平面CDE ，已知2,AE DE F ==为线段DF 的中点.（I ）求证：BE 平面ACF ；（II ）求平面BCF 与平面BEF 所成锐二面角的余弦角.18．龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示.该景区自2015年春建成，试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人.某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（I）完成表一中的空位①~④，并作答题纸中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下的游戏的人数.(II)完成表二，并判断能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关；(表二）（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++） （III ）按分层抽样（分50岁以上与50岁以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含50岁）的人数为ξ，求ξ的分布列.19．给定椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F 的距离（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N . ①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥； ②求证：线段MN 的长为定值.20．已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈. (I ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值;(II)讨论方程0f x 的解的个数，并说明理由.21．已知曲线C 的极坐标方程是24cos 6sin 12ρρθρθ=+-，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）. （1）写出直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系； （2）将曲线C 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D ，设曲线D 经过伸缩变换','2,x x y y =⎧⎨=⎩得到曲线E ，设曲线E 上任一点为(),M x y12y +的取值范围.22．设函数()f x x a =- a R ∈ .(Ⅰ)当5a = 时，解不等式()3f x ≤ ；(Ⅱ)当1a = 时，若x R ∃∈，使得不等式()()1212f x f x m -+≤-成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．D【解析】{}{}25|250,N |0,N 0,1,22Q x x x x x x x ⎧⎫=-≤∈=≤≤∈=⎨⎬⎩⎭ ，所以满足P Q ⊆ 的集合P 有328= 个，故选D.2．B【解析】 因为()()()()512512*********i i i i i i i i i ++===-+--+ ，所以复数512i i-的虚部为1 ，故选B.3．A【解析】设丢失的数据为a ，则这组数据的平均数是()012351a ++++÷= ，解得1a =- ，根据方差计算公式得()()()()()2222221110111213125s ⎡⎤=--+-+-+-+-=⎣⎦ ，故选A. 4．C【解析】由题意知，取双曲线C 的渐近线0bx ay -=，焦点(),0F c ，bc b c ==⇒=22c c a a =⇒=，则2222c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得2c =，故选C.5．D【解析】试题分析：由题意可知2y x =与10kx y -+=垂直或10kx y -+=与0x =垂直，所以0k =或12k =-， 0k =时三角形面积是14， 12k =-时2y x =与10kx y -+=交点24,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，三角形面积为15考点：线性规划点评：线性规划题目结合图形分析6．A【解析】sin 2cos 2αα-=，225sin 4cos 42sin cos αααα∴-+=. 化简得：4sin23cos2αα=.3tan24α∴=.故选A. 点睛：三角化简求值合理利用22sin ?1cos αα+=和tan sin cos ααα=. 7．A【解析】起始阶段有23m a =-，1i =，第一次循环后，()223349m a a =--=-，2i =；第二次循环后，()2493821m a a =--=-，3i =；第三次循环后，()282131645m a a =--=-，4i =；接着计算()2164533293m a a =--=-，跳出循环，输出3293m a =-.令329335a -=，得4a =.选A.8．D【分析】分别过点,A B 作准线的垂线，分别交准线于点,E D ，设||BF a =，根据抛物线定义可知||BD a =，进而推断出BCD ∠的值，在直角三角形中求得a ，进而根据//BD FG ，利用比例线段的性质可求得p ，则抛物线方程可得.【详解】解：如图分别过点,A B 作准线的垂线，分别交准线于点,E D ，设||BF a =，则由已知得：||2BC a =， 由定义得：||BD a =，故30BCD ∠=， 在直角三角形ACE 中，||3,||33AF AC a ==+， 2||||AE AC ∴=，336a ∴+=，从而得1a =， //BD FG ，123p ∴=求得32p =， 因此抛物线方程为23y x =， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握. 9．D 【解析】试题分析：依次还原几何体，可以得出A,B,C 中的三视图是同一个三棱锥，摆放的位置不同而已，而D 和它们表示的不是同一个三棱锥.考点：本小题主要考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力. 点评：解决此类问题的关键在于根据三视图还原几何体. 10．A 【分析】先设BC a =，由题意得到1cos 0A a=-<，在ABC ∆ 中，2AB AC ==，结合余弦定理得到32118810a a ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x a -=，得()32881f x x x =-+，用导数方法研究其单调性，再根据零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】设BC a = ，()cos 1BC A π⋅-= ，1cos 0,A a∴=-< 在ABC ∆ 中，22222228182,cos ,22288a a a AB AC A a +---====∴-=⨯⨯ ， 化为32118810a a ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x a-= ，则()32881f x x x =-+ ，()22416,f x x x '=- 可得()f x 在(),0-∞ 上递增，()0.4 1.4 1.2810f -=-⨯+< ，()0.30.0640f -=> ()cos 0.4,0.3A ∴∈-- ，故选A. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记函数零点存在定理，利用导数方法研究函数单调性，以及余弦定理即可，属于常考题型. 11．B 【解析】由题意得|()|y f x = 在[1,2] 上单调递增;当0a ≥ 时,()f x 在[1,2] 上单调递增,所以由2(1)002e f a ≥⇒≤≤ ;当0a < 时, |()|()f x f x =,由()02x x e af x x e=⇒='=+因此()f x 的单调增区间为)+∞ ,所以由2102e a ≤⇒-≤< ;综上实数a 的取值范围为22,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,选B.12．(12)2018【解析】取x =−2可得a 0=0；取x =−32可得12a 1+122a 2+123a 3+⋅⋅⋅+122018a 2018=122(12)2016=122018，应填答案122018。
衡水中学2021高三理科数学周测题含答案
B ． 2 AB - 1 AC⎨ ⎩学 校 : 准 考 证 号:姓名:（在此卷上答题无效）工作秘密★启用前衡水市第二中学周测题4.13理 科 数 学本试卷共 5 页。
满分 150 分。
注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A ={x x ≥1} ， B = {x ( x - 4)( x + 2)≥0}，则 A ． {x -2≤x ≤1}B ． {x 1≤x ≤4}C ．{x -2＜x ＜1}D ．{x x ＜4}2. 等差数列{a n } 的前 n 项和为S n ，若a 4 = 4 ， S 13 = 104 ，则a 10 = A ．10 B ．12 C ．16D ． 20⎧x - y ≥0, 3. 设 x , y 满足约束条件⎪x - 2 y ≤0, 则 z = 2x + y 的最大值是⎪ y -1≤0, A ．0 B ．3 C ．4 D ．5 4.(2x -1)( x + 2)5的展开式中， x 3 的系数是 A ． 200B ．120C ． 80D ． 405. 某市为了解居民用水情况，通过抽样得到部分家庭月均 用水量的数据，制得频率分布直方图（如图）．若以频率代替概率，从该市随机抽取 5 个家庭，则月均用水量在8～12吨的家庭个数 X 的数学期望是 A ． 3.6B ． 3C ．1.6D ．1.56．在△ABC 中， DC = 2BD ，且 E 为 AC 的中点，则 DE =A ． - 2 AB + 1 AC 3 6 3 6 C. - 1 AB - 1 AC 3 6 D.2 AB + 5AC 3 67. 若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是 A ． (1, 2)B ． (1, 3)C.( 2, +∞)D.( 3, +∞)R ( A B ) =8.某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2 ，高为3 的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是A.16π9 B.8π9 C.16π27 D.8π279.已知f (x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于f (x)的结论：①f (x)是周期函数；②f (x)满足f (x)=f (4 -x)；③f (x)在(0, 2)单调递减；④f (x)= cosπx是满足条件的一个函数．2其中正确结论的个数是A．4 B．3 C．2 D．110.设抛物线E：y2 = 6x 的弦AB 过焦点F ，AF = 3 BF ，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A'，B'，则四边形AA'B'B 的面积等于A．4 B．8 C．16 D．3211.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系. 图2 为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3 是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬图1至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角23︒41 23︒57' 24︒13' 24︒28' 24︒44'正切值0.439 0.444 0.450 0.455 0.461年代公元元年公元前2000 年公元前4000 年公元前6000 年公元前8000 年A．公元前2000 年到公元元年B．公元前4000 年到公元前2000 年C．公元前6000 年到公元前4000 年D．早于公元前6000 年12．在满足0 <x <y ≤4 ，x y i =y x i 的实数对(x i , y i )（i = 1, 2,⋅⋅⋅n,⋅⋅⋅）中，使得i i i ix1+x2+⋅⋅⋅+xn-1< 3xn成立的正整数n 的最大值为A．5 B．6 C．7 D．933 3 3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）0.92．（5分后）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系就是c （）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b3．（5分后）未知a＞1，a．0＜x＜1b．1＜x＜0，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）c．2＜x＜0d．2＜x＜14．（5分）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0与x轴所围站图形的面积为（）5．（5分）曲线a．4b．2c．1d．36．（5分）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴7．（5分后）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）a．f（x）=x3b．f（x）=+xc．f（x）=3xd．f（x）=3+x38．（5分后）设f（x）就是奇函数，对任一的实数x、y，存有f（x+y）=f（x）+f （y），当x＞0时，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上（）a．有最大值f（a）b．有最小值f（a）c．有最大值d．存有最小值9．（5分）已知函教f（x）=asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜a）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）a．[6kπ，6kπ+3]，k∈zb．[6k3，6k]，k∈zc．[6k，6k+3]，k∈zd．[6kπ3，6kπ]，k∈z1页10．（5分）若不等式lg≥（x1）lg3对任意x∈（∞，1）恒成立，则a的取值范围就是（）a．（∞，0]b．[1，+∞）c．[0，+∞）d．（∞，1]11．（5分后）设f（x）就是定义在r上的函数，其Auron函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2021，则xx不等式ef（x）＞e+2021（其中e为自然对数的底数）的边值问题为（）a．（2021，+∞）b．（∞，0）∪（2021，+∞）c．（∞，0）∪（0，+∞）d．（0，+∞）12．（5分后）设立函数f（x）=sin，若存有f（x）的极值点x0满足用户x0+[f（x0）]＜m，则m的值域222范围就是（）a．（∞，6）∪（6，+∞）b．（∞，4）∪（4，+∞）c．（∞，2）∪（2，+∞）d．（∞，1）∪（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分后）若非零向量，满足用户|+|=||=2||，则向量与+的夹角为．14．（5分后）设立函数y=f（x）在r上加定义，对于任一取值的正数p，定义函数2，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2x1，p=2，则下列结论不成立的是：．①fp[f（0）]=f[fp（0）]；②fp[f（1）]=f[fp（1）]；③fp[fp （2）]=f[f（2）]；④fp[fp（3）]=f[f（3）]．15．（5分后）未知f（x）就是定义在r上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2x+|，若函数y=f（x）a在区间[3，4]上加10个零点（互不相同），则实数a的值域范围就是．16．（5分后）未知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，a=2且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则△abc面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）2217．（10分）已知a∈r，命题p：“?x∈[1，2]，xa≥0”，命题q：“?x∈r，x+2ax+2a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，谋实数a的值域范围．18．（12分后）在△abc中，内角a，b，c面元的边分别为a，b，c，未知sinc+sin （ba）=sin2a，a≠．2（ⅰ）求角a的取值范围；（ⅱ）若a=1，△abc的面积s=x，c为钝角，求角a的大小．19．（12分后）未知函数f（x）=e+ax1（e为自然对数的底数）．（ⅰ）当a=1时，谋过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围起的三角形的面积；2（ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒设立，谋实数a的值域范围．20．（12分）已知函数f（x）满足2f（x+2）f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax当x∈（4，2）时，f（x）的最大值为4．（ⅰ）求实数a的值；2页，（ⅱ）设b≠0，函数，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），并使f（x1）g（x2）=0，谋实数b的值域范围．21．（12分后）未知函数f（x）=x+3+ax+b，g（x）=x+3+lnx+b，（a，b为常数）．（ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，5），求b的值；（ⅱ）设立函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）x=xf′（x）存有唯一求解，谋实数b的值域范围；（ⅲ）令f（x）=f（x）g（x），若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．22．（12分后）未知函数，（ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并推论与否存有极值；（ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（ⅲ）证明：（n∈n+，n≥2）．3页2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）（2021?重庆三模）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）【分析】求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出两集合的交集即可．【解答】解：由a中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即a=[1，+∞）；由b中的不等式解得：4＜x＜4，即b=（4，4），则a∩b=[1，4）．故选：b．【评测】此题考查了关连及其运算，熟练掌握关连的定义就是求解本题的关键．2．（5分）（2021?东城区二模）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c 的大小关系是c（）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．0.9【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.1＞1，∴b＜a＜c．故选：c．【评测】本题考查了指数与对数函数的单调性，属基础题．3．（5分）（2021?南昌校级二模）已知a＞1，，则f（x）＜1设立的一个充份不必要条件就是0.9（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜1【分析】谋出来不等式的边值问题即为不等式设立的充要条件；据当子集a?子集b且b?a时，a就是b的充份不必要条件．【解答】解：f（x）＜1成立的充要条件是∵a＞12∴x+2x＜0∴2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是1＜x＜0故选项为b【评测】本题考查不等式的边值问题就是不等式的充要条件；据子集之间的关系推论条件关系．4．（5分）（2021春?玉溪校级期末）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0【分析】根据分段函数的定义域，算出f（1）的值，再根据分段函数的定义域展开代入解；4页【答疑】求解：函数2，f（1）=π+1＞0，∴f（f（1））=0，可得f（0）=π，∴f（f（f（1）））=π，故选c；【评测】此题主要考查函数值的解，就是一道基础题；5．（5分）（2021春?进贤县校级月考）曲线a．4b．2c．1d．3上的积分可求出答案．上的积分，与x轴所围站图形的面积为（）【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤【解答】解：面积等于cosx的绝对值在0≤x≤即s==3=3=3，故选：d．【评测】本题主要考查余弦函数的图象和用定分数谋面积的问题．属于基础题6．（5分）（2021?开封模拟）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．【解答】解：由2xz．由x=kπ，k∈z，解得函数y=cos（x）的对称轴为：x=kπ，k∈z．=k，k∈z，解得函数y=sin（2x）的对称轴为：x=+，k∈k=0时，二者存有相同的对称轴．由2x由x=kπ，k∈z，可解得函数y=sin（2x=k）的对称中心为：（）的对称中心为：（kπ+，0），k∈z．，0），k∈z．，k∈z，可解得函数y=cos（x故2函数没相同的对称中心．故选：a．【评测】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属基本知识的考查．7．（5分后）（2021?厦门演示）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）5页。
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(十五)物理试题
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十五）物理试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
选择题部分一、选择题（本题共13小题，每小题3分，共39分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.下列各组单位都属于国际单位制中的基本单位的是（）A. 牛顿，米B. 安培，摩尔C. 焦耳，千克D. 库伦，秒【答案】B【解析】【详解】国际单位制中的基本单位有7个，分别为时间单位“秒”、长度单位“米”、质量单位“千克”、电流单位“安培”、温度单位“开尔文”、物质的量单位“摩尔”和发光强度单位“坎德拉”，所以B正确，ACD错误。
河北省衡水市衡水中学2021届高三数学试题模拟合辑含详解
（Ⅰ）当 t 0 时，求 f x 的弹性区间 D； （Ⅱ）若 f x 1 在（Ⅰ）中的区间 D 上恒成立，求实数 t 的取值范围.
5
数学参考答案 _210210
一、选择题
1.B【解析】因为 A {x∣0 x 2}, B {x∣0 x 4} ， C {0, 2, 4, 6,} ，所以 A B {x∣0 x 4} ，所以
B. g(x) 的最小正周期为
C.点
8
,
0
是
g(x)
图象的一个对称中心
D. g(x) 的最大值为 5
12. 已 知 函 数
f
(x)
sin(
x
)
0,|
|
2
在区间
2
,
2 3
上至少存在两个不同的
x1, x2
满足
f
x1
f
x2 1 ，且
f
x
在区间
3
,
12
上具有单调性，点
6
的答案是 S1, S3 , S2 成等差数列. 如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.
4
22.（12 分）
定义可导函数 y f x 在 x 处的弹性函数为 f (x) x ，其中 f (x) 为 f (x) 的导数.在区间 D 上，若函数
f (x)
f x 的弹性函数值大于 1，则称 f x 在区间 D 上具有弹性，相应的区间 D 也称作 f x 的弹性区间. （1）若 r(x) ex x 1 ，求 r x 的弹性函数及弹性函数的零点；
1 2
x
第15题 导数与函数的最值-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类(新高考全国Ⅰ卷)(含答案解析)
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数为增函数，设 ， 可得 ，从而可得 ，构造函数 ，利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】函数 ，每段函数均为增函数，
当 时， ，
当 时， ，
所以函数在整个定义域内为增函数，
若 ，且 ，
则 与 一个大于 ，一个小于 ，
不妨设 ，则 ，
可得 ，即 ，
三、以例及类
（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）
一、单选题
(2021湖北省恩施高中、郧阳中学、十堰一中2021届高三下学期仿真模拟)
1.设函数 在 上存在最小值(其中 为自然对数的底数， )，则函数 的零点个数为（）
A.0B.1C.2D.无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】求出导函数 ，分类讨论得函数有最小值时 的范围，然后由判别式判断 零点个数．
所以 ，
设 ，
，
当 时， 为减函数；
当 时， 为增函数；
故 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数求出函数的最值，解题的关键是将等式转化为 ，构造函数 ，考查了运算求解能力.
（2021广东省高三二模）
3.已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为 的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最大值为（）
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性与极值．解题基础是掌握单调性与导数的关系．解题关键是对“存在”、“任意”等词语的正确理解，掌握相应命题的求解方法．
（2021河北省衡水中学高三下学期三调）
5.已知实数 满足 ，当 取最小值时， 的值为（）
A. B，
时， ， ， ， ，
，B错误，
2021届河北衡水中学新高考原创预测试卷(一)数学
2021届河北衡水中学新高考原创预测试卷（一）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填涂在答题卡上．）1、已知集合{1,3,4,5},{}A B x x m ==≥，若{3,4,5}A B ⋂=，则m 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞ B ．(1,3] C ．(1,3) D ．[1,3]2、已知复数z 满足：(12)i z +=（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．1BCD ．5 3、某中学新招聘了3位物理老师，他们将有两人被安排到高一级任教6个不同的班别，其中每位老师教3个班，另一人被安排到高二年级，任教3个不同的班别，则不同的安排方法有（ ） A ．6种 B ．60种 C ．120种 D ．1200种4、某中学为推进智能校园建设，拟在新校区每个教室安装“超短距”投影仪，如图：投影仪安装在距离墙面20cm 处，其发射的光线可以近似的看作由一个点S 发出，光线投影在墙面上的屏幕AB 上，已知AB 高度为120cm ，光线上界SA 的俯角为45︒，则投影仪的垂直视角的余弦值cos ASB ∠=（ ）A B C ．35 D ．455、2021年高考实行选择性考试，其中物理和历史中选考1科（必须选1科而且只能选1科），再在化学、生物、政治、地理中选考2科（必须选2科而且只能选2科）．某中学选考物理的考生199人，选考历史的考生251人，未选化学的考生310人，既选物理又选化学的考生80人，则既选历史又选化学的考生人数为（ ）A ．40B ．50C ．60D ．806、新型冠状病毒肺炎的潜伏期X （单位：日）近似服从正态分布：()2~7,X N σ，若(3)0.872P X >=，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（ ）A ．0.372B ．0.256C ．0.128D ．0.7447、在ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，P 是直线EF 上一个动点，若AP AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）A ．12 B ．13 C ．1 D ．148、已知函数2sin ()21A xf x x =++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）A ．2B ．4C ．1D ．0二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有两项及以上是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的不得分．把答案填涂在答题卡上．）9、已知双曲线E 的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的标准方程可以是（ ）A ．22124x y -=B ．22124y x -=C ．2212y x -=D ．2212y x -= 10、已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．4A =B ．1b =C ．2ω=D ．6πϕ=11、已知实数0m >，0n >，则下列判断必然成立的是（ ） A ．4m n n m +的最小值为1 B ．4sin sin m m+的最小值为4 C ．若1m n +=，则m n ⋅的最大值为14D ．2()m n mn +的最大值为412、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足以下条件：①(2)(2)f x f x -=+，②()f x 在区间(0,2]内单调递增，③(1)0f =，则以下判断正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数，最小正周期是8 B ．()f x 的图象关于直线2x =对称 C ．()f x 在区间(5,5)-上有9个零点 D ．当(3,1)x ∈--时()0f x >三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡上．） 13、已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若2379a a a ++=，则7S =_______14、曲线ln y x x =⋅上点(1,0)处的切线方程为_______15、斜率为1的直线经过双曲线2213y x -=的一个焦点并与双曲线交于,A B 两点，则||AB =______16、三棱锥P ABC -的底面ABC 的等边三角形，若1,2PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_______四、解答题（本大题共6小题，共80分．答案写在答题卡上．）17、（10分）ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22()a bc b c +=+ （1）求角A ；（2）若1,3b c ==，D 为BC 中点，求中线AD 的长．18、（12分）已知等比数列{}n a 中11a =，123,,1a a a -成等差数列 （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2(1)log nn n b a =-⋅，试求数列{}n b 的前n 项和n S ．19、（12分）某高校为了解玩手杋游戏对个人心理健康的影响，用随机抽样的形式对在校学生100人进行了抽样调查，结果显示被抽查的100人中，日均玩游戏3小时以上人数为20人，其中出现心理问题人数为14人，日均玩游戏3小时以下的学生中，出现心理问题的人数是未出现心理问题人数的14． （1）经过计算完成以下22⨯列联表（2）据上表，判断是否有99.9%的把握认为“日均游戏3小时以上”和“出现心理问题”有关？附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，附表：（3）以本次调查得到的频率为概率，在校园里随机调查3人，设日均玩游戏3小时以上人数为X ，求X的分布列和数学期望．20、（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是一个边长为2的菱形，且3ABC π∠=，PA ⊥平面ABCD ，||2PA =，Q 是线段AP 上一点，且||AQ m =．（1）若1m =，求证：//PC 平面QBD ；（2）设直线QD 与平面PAB 所成角为α，求sin α的取值范围． 21、（12分）已知函数(),()ln()xf x x eg x x a =⋅=+（1）讨论()f x 单调性，若有极值，求出极值及相应的x 的值； （2）已知()()f x g x >对任意(,)x a ∈-+∞成立，求a 的取值范围．22、（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为：12(2,0),(2,0)F F -，P 为椭圆E上除长轴端点外任意一点，12PF F 周长为12． （1）求椭圆E 的方程；（2）作12F PF ∠的角平分线，与x 轴交于点(,0)Q m ，求实数m 的取值范围．数学参考答案及详解一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填涂在答题卡上．） 1、答案：B详解：画数轴辅助解题，显然13m <≤ 考点：集合——集合的运算 2、答案：A详解：法一：由(12)i z +=得：z ====||1z ===法二：||,||112|12|z z i i ====++考点：复数——复数的概念，几何意义及运算 3、答案：B详解：首先从3位老师中选出一位133C =任教高二，余下两个老师中，指定其中一个从6个班选3个来任教3620C =，所以不同的安排方法有：32060⨯=种考点：概率与统计——排列组合 4、答案：D详解：法一：∵QAS 为等腰直角三角形，∴20cm QA =，∴140cm QB =，SB =∴sin1010QSB QSB ∠==∠==∴()4cos cos 45cos cos45sin sin 45255ASB QSB QSB QSB ︒︒︒∠=∠-=∠+∠==法二：依题意得：120,SA AB SB ===2224cos5ASB ∠==法三：从图上过点A 作AQ SB ⊥，用刻度尺量出SQ 和SA 的长度则cos SQASB SA∠=，易得cos 0.8ASB ∠≈考点：解三角形——解三角形的实际应用 5、答案：C详解：显然总人数为450人，选化学的人数：450310140-=，所以既选历史又选化学的人数为：1408060-=考点：统计与概率——统计6、答案：C详解：根据对称性知，(11)(3)1(3)0.128P X P X P X ≥=≤=->= 考点：统计与概率——正态分布 7、答案：A详解：法一：∵P 在EF 上，若AP mAE nAF =+，则1m n +=1122AP mAB n AC =+，即11,22m n λμ==，∴11()22m n λμ+=+= 法2：令角90A ︒=，1AB AC ==，令P 为EF 中点，以A 为原点，AB 为y 轴正半轴，AC 为x 正半轴建立平面直角坐标系．则11,,(0,1),(1,0)44AP AB AC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由AP AB AC λμ=+得14λμ==，∴12λμ+=考点：平面向量 8、答案：B 详解：设2sin ()1A xg x x =+，显然()g x 为奇函数，则()g x 的最大值为2M -，最小值为2m -，由奇函数对称性知，两者相加为0，即2(2)0M m -+-=，∴4M m += 考点：函数性质——奇偶性的应用二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有两项及以上是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的不得分．把答案填涂在答题卡上．） 9、答案：ACD详解：A 、C 、D 的渐近线都是y =，B 的渐近线是y x =考点：圆锥曲线——双曲线定义及方程 10、答案：BC 详解：周期115:212122T T πππ=-=，解得：T π=，2ω=，24(2)6A =--=， ∴3,24(2)2A b ==+-=，∴1b =，将5,412π⎛⎫⎪⎝⎭代入3sin(2)1y x ϕ=++，解得3πϕ=-考点：三角函数——三角函数的图象与性质 11、答案：AC详解：14m n n m +≥=当4m n n m=即2n m =时取得最小值1，A 正确， B ：当m π=时4sin 1(4)5sin m m+=-+-=-，B 错误 C ．当2124m n m n +⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当12m n ==时取得最大值14，C 正确 D ．2()44m n mn mn mn +≥=，4是2()m n mn+的最小值，D 错误 考点：不等式——基本不等式 12、答案：AB详解：由(2)(2)f x f x -=+知函数关于直线2x =对称，B 正确，定义在R 上的奇函数有(0)0f =，有对称中心(0,0)，由于有对称轴有对称中心，所以函数必为周期函数，周期428T =⨯=，A 正确，画函数草图知()f x 在区间(5,5)-零点有7个，C 错，当(3,1)x ∈--时()0f x <，D 错 考点：函数——函数的图象与性质三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡上． 13、答案：21详解：2371399a a a a d ++=+=，∴133a d +=，()7117217321S a d a d =+=+= 考点：数列——等差数列的基本运算 14、答案1y x =-详解：ln 1,(1)1y x k y ''=+==，切线方程为1y x =- 考点：导数——导数的运算、导数的几何意义 15、答案：6详解：双曲线2213y x -=的其中一个焦点为(2,0)，直线l 方程为2y x =-代入双曲线方程得：223(2)30x x ---=得22470x x +-=，21||2x x a -===，21||6AB x =-= 考点：圆锥曲线——双曲线与直线的关系 16、答案：5π详解：由PA PB PC 、、及底面边长知PA 垂直底面ABC ，等边三角形ABC 的外接圆半径为1如图所示，球的轴截面中PA 垂直小圆直径AQ ，∴PQ 为球的直径，2R ==245S R ππ==考点：立体几何——球的有关计算四、解答题（本大题共6小题，共80分．答案写在答题卡上．） 17、详解：（1）由22()a bc b c +=+得：222b c a bc +-=- 2分由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +--===- 4分 ∴23A π=5分 （2）取AB 中点E 连结DE ，则DE 为ABC 中位线 在AED 中13,,223DE AE DEA π∠=== 7分 由余弦定理得22219372cos 4444AD DE AE DE AE DEA ∠=+-⋅⋅=+-= 9分∴2AD =10分（第二问多种解法，请酌情给分）考点：解三角形——正弦定理余弦定理的综合运用 18、解：（1）∵123,,1a a a -成等差数列 ∴132112,1a a a a +-==代入得322a a =，即2q = 3分∴1112n n n a a q --== 5分（2）2(1)log (1)(1)n nn n b a n =-⋅=-- 6分法一：1231n n n S b b b b b -=+++++12310(1)1(1)2(1)(2)(1)(1)(1)n n n S n n -=⨯-+⨯-+⨯-++--+-- ①23410(1)1(1)2(1)(2)(1)(1)(1)n n n S n n +-=⨯-+⨯-+⨯-++--+-- ② 7分①-②得：2312(1)(1)(1)(1)(1)n n n S n +=-+-++---- 8分211(1)(1)2(1)(1)2n n n S n ++---=---1111(1)(1)121(1)(1)4244n n n n n n S +++----=--=-- 12分法二：当n 为偶数时(1)n b n =-，当n 为奇数时(1)n b n =-- 7分 当n 为偶数时01234(2)(1)2n nS n n =+-+-+--+-=9分 当n 为奇数时101234(2)(1)2n n S n n -=+-+-++---=- 11分 ∴ 21 2n nn S n n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数 12分考点：数列——等差数列、等比数列、数列求和问题、数列综合运用19、解：（1）在日均游戏3小时以上20人中，出现心理问题14人，未出现心理问题：20146-=（人） 日均玩游戏3小时以下80人，其中出现心理问题人数180165⨯=（人），未出现心理问题801664-=（人） 完成表格：4分（无计算过程扣1分）（2）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2100(6414166)20803070⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯2100(6414166)20803070⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 7分210080020803070⨯=⨯⨯⨯19.05≈∴()20.001P K k ≥=∴有99.5%的把握认为“日均游戏3小时以上”和“出现心理问题”有关．8分 （3）由题意知日均玩游戏3小时以上的概率为：200.2100p == 9分X 可取0，1，2，333(0)(1)0.512P X C p ==-=1123(1)(1)0.384P X C p p ==-=2213(2)(1)0.096P X C p p ==-=333(3)0.008P X C p === 11分()00.51210.38420.09630.0080.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 12分 考点：统计与概率——独立性检验、二项分布、数学期望与方差20、证明：（1）连接AC BD M ⋂=，连接QM∵1m =∴Q 为AP 中点在菱形ABCD 中，M 为AC 中点∴MQ 为APC 的中位线∴//MQ PC 3分MQ ⊂平面QBDPC ⊄平面QBD∴//PC 平面QBD 6分（2）取CD 中点E 连接AE ，在ADE 中2,1,3AD ED ADE π==∠=余弦定理得：AE =∴AE CD ⊥又∵//CD AB∴AE AB ⊥∴AB AE AP 、、两两互相垂直以A 为原点，AB AE AP 、、分别为x 、y 、z 正半轴建立空间Rt 坐标系如图所示． 8分则((0,0,),()D Q m QD m -=--显然平面PAB 的法向量为(0,1,0)n =3sin |cos ,|4QD n α=<>=+ 10分∵Q 在线段AP 上∴02m ≤≤∴sin 42α∈⎣⎦ 12分考点：立体几何——平行类问题、空间向量应用21、解：（1）()xf x x e =⋅定义域为R ； ()(1)x f x x e '=+⋅，令()0f x '= 2分得1x =- 3分当(,1)x ∈-∞-时()0,()f x f x '<单调递减当(1,)x ∈-+∞时()0,()f x f x '>单调递增 5分当1x =-时min 1()(1)f x f e=-=- 6分 （2）设()()h x f x x =-，则()x h x x e x =⋅-()(1)1x h x x e '=+-显然(0)0h '=，当0x <时()0h x '<，当0x >时()0h x '>∴min ()(0)0h x h ==即()f x x ≥①，当且仅当0x =时，()f x x = 8分设()()H x x g x =-则()ln()H x x x a =-+，定义域为(,)a -+∞ 1()1H x x a'=-+，令()0H x '=得 1x a =-显然：当1x a <-时()0H x '<，当1x a >-时()0H x '>∴min ()(1)1H x H a a =-=-即()1x g x a ≥+-②，当且仅当1x a =-时()1x g x a =+- 10分综合①②得：()()1f x x g x a ≥≥+-即()()1f x g x a ≥+-（当且仅当10x a =-=时取等号）要使()()f x g x >则需()1()g x a g x +-> 即1a <a 的取值范围是(,1)-∞ 12分 （其它解法酌情给分）考点：导数——导数综合应用22、解：（1）∵12PF F 周长为12∴21248a =-=4,a b ==∴椭圆E 的方程为2211612x y += 4分（2）在12PF F 中1(,)PF a c a c ∈-+即1(2,6)PF ∈ ∵PQ 为12F PF ∠的角平分线 ∴1212QF QFPF PF = 由合比性质得121212122122QF QF QF QF c PF PF PF PF a +====+ 6分 即111(1,3)2QF PF =∈ ∵1(2)2QF m m =--=+∴2(1,3)m +∈∴(1,1)m ∈- 12分（多种解法，酌情给分）考点：圆锥曲线——椭圆的定义与方程、直线与椭圆位置关系．。
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(十六)数学(理)试题
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十六）数学（理科）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|2A x x x =>，{}|13B x x =≤≤，则AB =（ ）A. {}|01x x ≤<B. {0x x <或}1x ≥ C. {}|23x x <≤ D. {1x x ≤或}3x >【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式得到集合A ，根据并集的概念即可得出结果. 【详解】∵{}{222A x xx x x ==>或}0x <，{}|13B x x =≤≤，∴AB ={0x x <或}1x ≥，故选：B .【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合间并集的运算，属于基础题. 2.复数z 满足()()21i 3i z ++=+，则z =（ ） A. 1B.C.D. 2【答案】A 【解析】 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案. 【详解】因为复数z 满足()()213z i i ++=+， ∴()()()()313422221112i i ii z i i i i +-+-=-=-=-=-++-， 则1z =， 故选：A .【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题.3.(101-的二项展开式中，x 的系数与4x 的系数之差为（ ）A. 220-B. 90-C. 90D. 0【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出x 的系数与4x 的系数，再求其差即可.【详解】∵(101-的二项展开式中，通项公式为()21101r rrr TC x +=⋅-，故x 的系数与4x 的系数之差为2810100C C -=， 故选：D .【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.4.设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为( )A. 3B. 4C. 18D. 40【答案】C 【解析】不等式20{30230x x y x y +≥-+≥+-≤所表示的平面区域如下图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18.考点：线性规划.5.设函数()()2sin cos cos 2f x x x x =++，则下列结论错误的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为π B. ()y f x =的图像关于直线8x π=对称C. ()f x 21D. ()f x 的一个零点为78x π=【答案】D 【解析】 【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可根据()sin y A ωx φ=+的图象与性质判断出各选项的真假. 【详解】因为()()2sin cos cos 21sin 2cos 21224f x x x x x x x π⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为π，()f x 21，A 、C 正确； 当8x π=时，sin 2184ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以()y f x =的图象关于直线8x π=对称，B 正确；因为718f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以78x π=不是函数()f x 的零点，D 错误． 故选：D .【点睛】本题主要考查利用二倍角公式，辅助角公式进行三角变换，以及函数()sin y A ωx φ=+的图象与性质的应用，属于中档题.6.已知()33log log 2a =，()23log 2b =，32log 2c =，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b a c <<【答案】A 【解析】 【分析】首先得出30log 21<<，然后利用对数函数和指数函数的性质求解即可. 【详解】∵30log 21<<，∴()33log log 20<，即0a <， ∴()230log 21<<，即01b <<， ∵332log 2log 41c ==>，∴a b c <<， 故选：A .【点睛】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用.7.已知点()3,2A -在抛物线C ：22x py =（0p >）的准线上，过点A 的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，记抛物线的焦点为F ，则BF =（ ） A. 6 B. 8C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由点()3,2A -在准线上可知p 的值，从而确定抛物线的方程，设点B 的坐标为2,8m m ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，通过对抛物线方程求导，可得点直线AB 的斜率，再通过A 、B 两点的坐标也可求得AB k ，于是建立关于m 的方程，解之可得m 的值，最后利用抛物线的定义即可得解.【详解】抛物线()2:20C x py p =>的准线方程为2p y =-， ∵点()3,2A -在准线上，∴22p-=-即4p =， 抛物线的方程为28x y =，即218y x =，设点B 的坐标为2,8m m ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，对218y x =求导可得，14y x '=，∴直线AB 的斜率为14m ，由()3,2A -、2,8m B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知221843AB m k m m =+-=，解之得，8m =或2-（舍负）， ∴点()88B ，，由抛物线的定义可知，48102BF =+=， 故选：C .【点睛】本题考查抛物线的定义、准线方程等，还涉及利用导数求抛物线上某点处切线的斜率，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题.8.盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ） A.35B.79C.715D.3145【答案】A 【解析】 【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：13925P =⨯，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：23759P =⨯，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.【详解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球， 从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个， 若取出的是红色球，再从盒中取出一个球， 则此时取出黄色球的概率为：13295152P =⨯=， 若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球， 则此时取出黄色球的概率为：23775915P =⨯=，∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1221573155P P P =+=+=， 故选：A .【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.9.2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%.下图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：（同比=(本期数-去年同期数)/去年同期数100%⨯，环比=(本期数-上期数)/上期数100%⨯下列结论中不正确的是（ ）A. 2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B. 2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C. 2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上D. 2019年3月份的居民消费价格全年最低 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知中的图表，结合同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案. 【详解】由折线图知：从2019年每月环比增长率看，2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长，故A 正确；在B 中，从2019年每月的同比增长率看，2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些，故B 正确； 在C 中，从2019年每月的同比增长率看，从4月份以后每月同比增长率都在2.5%以上，进而估计出2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上，故C 正确；在D 中，不妨设1月份消费价格为a ，故可得2月份价格为()11% 1.01a a +=；同理可得3月份价格为()1.0110.4% 1.00596a a -=； 4月份价格为()1.0059610.1% 1.00696596a a +=；5月份价格和4月份价格相同；6月份价格为()1.0069659610.1% 1.00595899404a a -=，而后面每个月都是增长的.故1月份的价格是最低的，故D 错误. 故选：D .【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，属于基础题.10.已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点，O 为坐标原点，1F ，2F 为曲线C 左右焦点.若2OP OF =，且满足21tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】点P 在双曲线C 的右支上，且满足2OP OF =，即有O 为12PF F △外接圆的圆心，即有1290F PF ∠=︒，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到.【详解】点P 在双曲线C 的右支上，且满足2OP OF =，即有O 为12PF F △外接圆的圆心， 即有1290F PF ∠=︒，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， ∵21tan 3PF F ∠=，所以213PF PF =， 则13PF a =，2PF a =，由2221212PF PF F F +=，即()22234a a c +=，即有2252c a =，e ，故选：C .【点睛】本题主要考查双曲线的定义和性质，考查勾股定理的运用，运用平面几何中直径所对的圆周角为直角是解题的关键，属于中档题.11.已知A ，B ，C 是球O 的球面上的三点，60AOB AOC ∠=∠=︒，若三棱锥O ABC -体积的最大值为1，则球O 的表面积为（ ） A. 4π B. 9πC. 16πD. 20π【答案】C 【解析】 【分析】作出草图，易得AOB 和AOC △均为等边三角形，当面AOC ⊥面AOB 时，三棱锥O ABC -的体积最大可求出球的半径R ，进而可得球的表面积. 【详解】设球的半径为R ，如图所示，∵60AOB AOC ∠=∠=︒，∴AOB 和AOC △均为等边三角形，边长为R ， 由图可得当面AOC ⊥面AOB 时，三棱锥O ABC -的体积最大， 此时311331132228V R R R R =⨯⨯⨯⨯⨯==，解得2R =， 则球O 的表面积为24216S ππ=⨯=， 故选：C .【点睛】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.12.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中,把到定点()1,0F a -,()2,0F a 距离之积等于2a （0a >）的点的轨迹称为双纽线C .已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点,下列说法中正确的有（ ） ①双纽线C 关于原点O 中心对称； ②022a ay -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个； ④PO 的最大值为2a . A .①②B. ①②④C. ②③④D. ①③【答案】B 【解析】 【分析】对①,设动点(,)C x y ,把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程,显然成立； 对②,根据12PF F △的面积范围证明即可.对③,易得若12PF PF =则P 在y 轴上,再根据()00,P x y 的轨迹方程求解即可.对④,根据题中所给的定点()1,0F a -,()2,0F a 距离之积等于2a ,再画图利用余弦定理分析12PF F △中的边长关系,进而利用三角形三边的关系证明即可.【详解】对①,设动点(,)C x y ,由题可得C 22222[()][()]x a y x a y a ,把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程显然成立.故①正确； 对②,因为()00,P x y ,故12121212011||||sin ||22PF F SPF PF F PF F F y =⋅⋅∠=⋅. 又212||||PF PF a ⋅=,所以2120sin 2a F PF a y ∠=⋅,即012sin 22a ay F PF =∠≤,故022a a y -≤≤.故②正确； 对③, 若12PF PF =则()00,P x y 在12F F 的中垂线即y 轴上.故此时00x =,22222[()][()]x a y x a y a ，可得00y =,即()0,0P ,仅有一个.故③错误；对④,因为12POF POF π∠+∠=,故12cos cos 0POF POF ∠+∠=,即222222112212||||||||||||02||||2||||OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=⋅⋅, 因为12||||OF OF a ==,212||||PF PF a ⋅= 故2222122||2||||OP a PF PF +=+.即()22212122||2||||2||||OP a PF PF PF PF +=-+⋅, 所以()22122||||||OP PF PF =-.又1212||||||2PF PF F F a -≤=,当且仅当12,,P F F 共线时取等号. 故()()222122||||||2OP PF PF a =-≤,即22||2OP a ≤,解得||2OP a ≤.故④正确.故①②④正确. 故选：B【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的性质判定,因为该方程较复杂,故在作不出图像时,需要根据题意求出动点的方程进行对称性的分析,同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.属于难题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.设命题p ：()0,x ∀∈+∞，21e 12xx >+，则p ⌝为___________. 【答案】()00,x ∃∈+∞，0201e 12x x ≤+【解析】 【分析】根据全称命题否定是特称命题求解.【详解】因为命题p ：()0,x ∀∈+∞，21e 12xx >+，是全称命题， 所以其否定是特称命题，即：()00,x ∃∈+∞，0201e12x x ≤+. 故答案为：()00,x ∃∈+∞，0201e12x x ≤+. 【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，所以基础题.14.已知函数()()21sin 12x x x f x x+++=，若()3f a =-，则()f a -=___________.【答案】4 【解析】 【分析】化简()f x 成奇函数加一个常数的结构,再求解()()f x f x +-的值即可.【详解】由题, ()()221sin 1sin 11222x x x x x x f x x x +++++==+,设()2sin 12x x x g x x ++=,则()()()()()()22sin 1sin 122x x x x x x g x g x x x-+--+++-===---为奇函数.故()()()()11122f x f xg x g x +-=++-+=.故()()14f a f a -=-=. 故答案为：4【点睛】本题主要考查了奇函数的性质运用,需要将所给的函数分离出奇函数加常数的结构,再利用奇函数的性质求解.属于中档题.15.在面积为1的平行四边形ABCD 中，6DAB π∠=，则AB BC ⋅=___________；点P 是直线AD 上的动点，则22PB PC PB PC +-⋅的最小值为___________.【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】由平行四边形的面积为1可得2AB AD ⋅=，根据向量数量积的定义即可得出AB BC ⋅的值；由于222PB PC PB PC BC PB PC +-⋅=+⋅，取BC 的中点Q ，连接PQ ，则2PB PC PQ +=，()()2214PB PC PB PCPB PC ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦，再利用基本不等式的性质即可得出结果. 【详解】∵平行四边形ABCD 的面积为1，即sin 1AB AD DAB ⋅∠=， ∴2AB AD ⋅=，故3cos 232AB BC AB BC DAB ⋅=⋅∠=⨯=. ()2222PB PC PB PC PC PB PB PC BC PB PC +-⋅=-+⋅=+⋅，取BC 的中点Q ，连接PQ ，则2PB PC PQ +=，()()2214PB PC PB PC PB PC ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦， ∴()()2222221344PB PC P BC PB PC BC BC P P Q B C ⎡⎤+--=⎢⎥⎣+⋅++⎦= 22323334ABCD S BC PQ BC PQ ≥=⋅≥=⋅四边形，此时PQ BC ⊥，32PQ BC =， 故答案为：3，3.【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题.16.数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子滚动一周为1.753米）.该小组在操场上选定A 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为37°；推动自行车直线后退，轮子滚动了10卷达到B 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为53°.测量者站立时的“眼高”为1.55m ，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为___________米.（精确到0.1） 参考数据：3sin 375︒≈，sin 5345︒≈【答案】31.6 【解析】 【分析】由题意画出简图，设CD h =，即可得43h BC ≈、34h AC ≈，利用17.53AB BC AC ==-即可得解. 【详解】由题意画出简图，如图：由题意可得53CAD ∠=，37CBD ∠=，10 1.75317.53AB =⨯=，所以sin 37tan tan 37cos3734CBD ∠≈==，sin 53cos37tan tan 53cos5433sin 37CAD ∠===≈，设CD h =，则在Rt BCD 中，4tan 3CD hBC CBD =∠≈，在Rt ACD 中，3tan 4CD hAC CAD =∠≈， 所以717.5312AB BC AC h -≈==，解得30.05h ≈， 所以该建筑的高度约为30.05 1.5531.6+=米. 故答案为：31.6.【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，关键是把实际问题转化为数学模型，属于基础题.三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （0n S ≠），满足1S ，2S ，3S -成等差数列，且123a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()1311nn n n a b a a +-=++，求数列{}n b 的前n项和nT . 【答案】（1）()2nn a =-.（2）()()112221n n n T ++-+=--+ 【解析】 【分析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意结合等差数列、等比数列的性质转化条件可得()()21121a q q a q -+=+、2211a q a q =，即可得解；（2）由题意()()1112121n nn b +=--+-+，利用裂项相消法即可得解.【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，依题意得()1322S S S +-=， 所以()()23122a a a a -+=+即()()21121a q qa q -+=+，因为10a ≠，所以2320q q ++=，解得1q =-或2q =-，因为0n S ≠，所以2q =-，又因为123a a a =，所以2211a q a q =即12a q ==-，所以()2nn a =-；（2）题意可得()()()()()()()111322*********n n nn n n n n b +++-----==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()1112121nn +=--+-+，则()()()()()()12231111111212121212121n n n T +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+-+-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()11122112121n n n +++-+=--=--+-+. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了利用裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，3PA PD ==，6PB PC ==，90APB CPD ∠=∠=︒，点M ，N 分别是棱BC ，PD 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）69【解析】 【分析】（1）取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，由平面几何知识可得//NQ BM 且NQ BM =，进而可得//MN BQ ，由线面平行的判定即可得证；（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ，取EF 的中点为O ，连接OP ，建立空间直角坐标系后，求出平面PCD 的一个法向量为n 、直线MN 的方向向量MN ，利用sin cos n MN n MN n MNθ⋅=⋅=⋅即可得解.【详解】（1）证明：取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，如图：又点N 是PD 的中点，则//NQ AD 且12NQ AD =， 又点M 是BC 的中点，底面ABCD 是矩形， 则12BM AD =且//BM AD ， ∴//NQ BM 且NQ BM =，∴四边形MNQB 是平行四边形，∴//MN BQ ， 又MN ⊄平面PAB ，BQ ⊂平面PAB ，∴//MN 平面PAB ；（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ， 则PF AB ⊥，PE PF P =，∴AB ⊥平面 PEF ，又AB平面ABCD ，∴平面 PEF ⊥平面ABCD ，∵3PA PD ==，6PB PC ==，90APB CPD ∠=∠=︒， ∴3AB CD ==，2PE PF ==，2BE CF ==，1AE DF ==.设平面PAB ⋂平面PCD l =，可知////l CD AB ， ∵平面PAB ⊥平面PCD ，∴90EPF ∠=︒，∴2EF =，取EF 的中点为O ，连接OP 、OM ，则OP ⊥平面ABCD ，1OP =， ∴OM 、OF 、OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OM ，OF ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,O xyz -，如图所示，则()0,0,1P ，()2,1,0C ，()1,1,0D -，()2,0,0M ，111,,222N ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴()2,1,1PC =-，()1,1,1PD =--，511,,222MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则由020n PD x y z n PC x y z ⎧⋅=-+-=⎨⋅=+-=⎩，令1y =可得()0,1,1n =.设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，则sin cos 2n MN n MN n MNθ⋅=⋅===⋅ ∴直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为9. 【点睛】本题考查了线面平行的判定及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.19.已知椭圆C：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，且过点()2,1.（1）求椭圆C 的方程；（2）过坐标原点的直线与椭圆交于M ，N 两点，过点M 作圆222x y +=的一条切线，交椭圆于另一点P ，连接PN ，证明：|PM PN =.【答案】（1）22163x y +=（2）见解析【解析】【分析】（1，且过点()2,1，由c a =，22411a b +=，结合222a b c =+求解.（2）当直线PM 的斜率不存在时，可得直线PM 的方程为x =x=. 当直线PM 斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+，根据直线PM 与圆相切，得到||m =()11,M x y ，()22,P x y ，则()11 ,N x y --，联立22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，由弦长公式求得 PM ，然后由两点间的距离公式，将韦达定理代入求得PN 即可.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，因为椭圆的离心率为2，且过点()2,1.所以2c a =，22411a b +=，又222a b c =+， 解得26a =，23b =，所以椭圆C 的方程为：22163x y +=.（2）①当直线PM 的斜率不存在时，依题意，可得直线PM的方程为x =或x = 若直线PM：x =，直线MN ：y x =，可得M，(N，P，则PM =，PN =，所以PM PN =； 其他情况，由对称性，同理可得PM PN =.②当直线PM 斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+， ∵直线PM 与圆222x y +=相切， ∴圆心O 到直线PM=||m =设()11,M x y ，()22,P x y ，则()11 ,N x y --，联立22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元y ，整理得()222124260k x kmx m +++-=，则122412km x x k +=-+，21222612m x x k-=+.∴12212PM x k=-==+，∵PN =，()12122242221212km m y y k x x m k m k k -⎛⎫+=++=+= ⎪++⎝⎭，∴PN ==.∵m =，∴PN PM ==. 综上可知PM PN =成立.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆，直线与圆的位置关系以及弦长问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.20.2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年,也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点.作为制造业城市,佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置,聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心,走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路.在推动制造业高质量发展的大环境下,佛山市某工厂统筹各类资源,进行了积极的改革探索.下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x （520x ≤≤）（件）与相应的生产总成本y （万元）的四组对照数据.工厂研究人员建立了y 与x 的两种回归模型,利用计算机算得近似结果如下：模型①：31733x y =+模型②：68160y x =-.其中模型①的残差（实际值－预报值）图如图所示：（1）根据残差分析,判断哪一个模型更适宜作为y 关于x 的回归方程？并说明理由；（2）市场前景风云变幻,研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格q （万元）是一个与产量x 相关的随机变量,分布列为：q1402x -1302x -1002x -P 0.50.40.1结合你对（1）的判断,当产量x 为何值时,月利润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到0.1）？ 【答案】（1）模型①更适宜作为y 关于x 的回归方程,见解析（2）产量为11件时,月利润的预报期望值最大,最大值是774.8万元. 【解析】 【分析】(1)作出模型②的残点图,再对比①的残点图分析即可.(2)根据题意作出Y 的分布列,进而得出其数学期望()3213217332x x E Y x =--+-,再求导分析其单调性求出最大值即可.【详解】（1）模型②的残差数据如下表： x 5 7 9 11 y200 298431609 ˆe2018- 21-21模型②的残点图如图所示.模型①更适宜作为y 关于x 的回归方程,因为：理由1：模型①这个4个样本点的残差的绝对值都比模型②的小.理由2：模型①这4个样本的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄. 理由3：模型①这4个样本的残差点比模型②的残差点更贴近x 轴. （2）设月利润为Y ,由题意知Y qx y =-,则Y 的分布列为：Y2314017323x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭2313017323x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭2310017323x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭P 0.50.40.1()2323231211401731301731001732322352310x x x x x x E Y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋅+---⋅+---⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3213217332x x x =--+-.设函数()3213217332x x f x x =--+-,()0,x ∈+∞,()2132f x x x '=--+,令()0f x '=,解得11x =或12x =-（舍）,当()0,11x ∈时,()0f x >′,则()f x 单调递增；当()11,x ∈+∞时,()0f x <′,则()f x 单调递减. 则函数()f x 的最大值()4649116f =,即产量为11件时,月利润的预报期望值最大,最大值是774.8万元. 【点睛】本题主要考查了根据题意作出分布列求解数学期望最值的问题.同时也考查了求导分析函数单调性与最值的问题,属于中档题. 21.已知函数()sin f x x a x =-（x a ≥）.（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）若14a <-，证明：()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一的极值点x ，且()00012f x x x π>--. 【答案】（1）{}|22,a k a k k Z πππ-≤≤∈.（2）见解析 【解析】 【分析】（1）计算()0f a ≥得到22k a k πππ-≤≤，再证明当22k a k πππ-≤≤（k Z ∈）时，()0f x ≥，先sin x ≥（0x ≥），讨论22k a k πππ-≤≤和2x k π≥两种情况，计算得到证明.（2）求导得到()cos f x x '=-，()()321sin 4g x x x a '=-+-，得到存在唯一实数00,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g t '=，存在唯一实数0,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g x =，得到()()00000011sin 2cos 2cos f x x x x x x +=+->，得到证明.【详解】（1）由()0f a ≥，得sin 0a -≥，即sin 0a ≤，解得22k a k πππ-≤≤，k Z ∈， 以下证明，当22k a k πππ-≤≤（k Z ∈）时，()0f x ≥.sin x ≥（0x ≥）. 若1x >1sin x >≥； 若01x ≤<x ≥.令()sin g x x x =-（0x ≥），可知()1cos 0g x x '=-≥，函数单调递增， 故()()00g x g ≥=，即sin x x ≥（0x ≥），sin x ≥（0x ≥）.若22k a k πππ-≤≤（k Z ∈），则当2a x k π≤≤时，sin 0x ≤，0sin x ≥≥，即()0f x ≥； 当2x k π≥sin x ≥（0x ≥），()sin 2sin x k x π≥-=.故当22k a k πππ-≤≤（k Z ∈）时，()0f x ≥.综上，所求a 的取值范围是{}|22,a k a k k Z πππ-≤≤∈. （2）()cos f x x '=-，令()cos g x x =-，()()321sin 4g x x x a '=-+-，∵14a <-，∴()g x '是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，又()00g '<，32110242g a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故存在唯一实数00,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g t '=，当()0 0,x t ∈时，()0g x '<，()g x 递减；当0,2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 递增.又14a <-，则14a ->12>，1>， ∴()010g =<，1110322g π⎛⎫⎪⎛⎫⎪==-< ⎪⎪⎝⎭⎪⎭，02g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭. 故存在唯一实数0,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00cos 0g x x =-=. 当()00,x x ∈时，()()0f x g x '=<，()f x 递减； 当0,2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f x g x '=>，()f x 递增. 所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭有唯一极小值点0x ，且极小值为()00sin f x x =. 又由()00cos 0g x x =-=012cos x =，∴()0001sin 2cos f x x x =-.又()()00000011sin 2cos 2cos f x x x x x x +=+->.以下只需证明，即证00112cos 2x x π>-，0002cos 2x x π<<-.∵00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴00002cos 2sin 2222x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-<-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则()()0000000111sin 2cos 2cos 2f x x x x x x x π+=+->>-，所以()00012f x x x π>--. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，极值点问题，证明不等式，先算后证是解题的关键.请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （2）设点M 的极坐标为()4,0，射线θα=（02πα<<）与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，若4AMB π∠=，求tan α的值.【答案】（1）1C 是圆心为()0,2，半径为2的圆.4sin ρθ=；（2）1tan 2α=. 【解析】 【分析】（1）由曲线1C 的参数方程消去参数t ，得到曲线1C 的直角坐标方程，再由222,sin x y y ρρθ=+=，得到曲线1C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρθ，()2,B ρθ，θα=.可得4cos 4sin AB OB OA αα=-=-，4sin BM α=.由4AMB π∠=，得AB BM =，即求tan α的值.【详解】（1）1C 是圆心为()0,2，半径为2的圆.1C ∴的直角坐标方程为()2224x y +-=，即2240x y y +-=.222x y ρ=+，sin y ρθ=，得24sin 0,4sin ρρθρθ-=∴=.1C ∴的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）设()1,A ρθ，()2,B ρθ，∵θα=，∴4sin OA α=，4cos OB α=，4cos 4sin AB OB OA αα=-=-，4OM =，∴4sin BM α=，∵4AMB π∠=，∴AB BM =，则4cos 4sin 4sin ααα-=，即cos 2sin αα=，所以1tan 2α=. 【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化，考查极坐标系下求极角，属于中档题. 23.已知函数()2cos 15f x x a a =+-+-，a ∈R . （1）若()08f >，求实数a 的取值范围； （2）证明：对x ∀∈R ，()151f x a a≥--+恒成立. 【答案】（1）{}|06x a x <>或.（2）见解析 【解析】 【分析】（1）将0x =代入函数，列出不等式，再根据零点分段法即可求出实数a 的取值范围； （2）根据不等式恒成立问题的解法可知，只要()min 1112cos a x a---+≤即可， 亦即1112a a-++≥，再根据绝对值三角不等式以及基本不等式即可证出． 【详解】（1）∵()02158f a a =+-+->，即156a a -+->.当5a ≥时，不等式化为1565a a a -+->⎧⎨≥⎩，解得6a >；当15a <<时，不等式化为15615a a a -+->⎧⎨<<⎩，此时a 无解；当1a ≤时，不等式化为1561a a a -+->⎧⎨≤⎩，解得0a <.综上，原不等式的解集为{}|06x a x <>或. （2）要证明对x ∀∈R ，()151f x a a≥--+恒成立.只需证明对x ∀∈R ，12cos 11x a a ≥---+恒成立.即证明()min 1112cos a x a ---+≤， ∵()min 2cos 2x =-，1112a a---+≤-，即1112a a -++≥.∵111111112a a a a a a aa -++≥-++=+=+≥，所以原命题得证． 【点睛】本题主要考查利用零点分段法求解含有两个绝对值的不等式，基本不等式，绝对值三角不等式的应用，以及不等式恒成立问题的解法应用，意在考查学生的转化能力，分类讨论意思的应用能力，属于中档题．。
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷(五)数学(理)试题
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（五）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合()(){}120A x x x =+-<，{}13B x x =<<，则AB =（ ）． A. {}12x x << B. {}23x x << C. {}13x x -<< D. {}11x x -<< 【答案】A【解析】【分析】化简集合A ，根据集合的交集运算即可求解.【详解】()(){}120(1,2)A x x x =+-<=-，{}13B x x =<< (1,2)A B ∴=故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的交集，属于容易题.2.已知()1i 3i z -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）．A. 3B. 3iC. 3-D. 3i - 【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算，求出复数z ，写出复数的虚部即可.【详解】()1i 3i z -=+,23(3)1123i i i z i i i+-+∴=+=+=--, ∴ z 的虚部为-3,故选：C【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的概念，属于容易题.3.已知角()02παα≤<终边上一点的坐标为7π7πsin,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，则α=（ ）． A. 5π6 B. 7π6 C. 4π3 D. 5π3【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义求tan α，结合角的范围写出角即可. 【详解】由诱导公式知，71sin sin()sin 6662ππππ=+=-=-，7πcos cos()cos 6662πππ=+=-=-，所以角()02παα≤<终边上一点的坐标为1(,2-， 故角的终边在第三象限，所以tan α=由02πα≤<知，43πα=故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，特殊角的三角函数，属于容易题.4.各项均不相等的等差数列{}n a 的前5项的和55S =-，且3a ，4a ，6a 成等比数列，则7a =（ ）．A. 14-B. 5-C. 4-D. 1- 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的求和公式及通项公式，解方程即可求出.【详解】因为55S =-， 所以154552a d ⨯+=-， 即121a d +=-，因为3a ，4a ，6a 成等比数列，所以2436()a a a =，即2(1)1(13)d d -+=-⨯-+，解得1d =-或0d =（数列各项不相等，舍去），所以734145a a d =+=--=-，故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了运算能力，属于中档题. 5.设a 、b 、c 依次表示函数()121f x x x =-+，()12log 1g x x x =-+，()112xh x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）． A. a b c <<B. c b a <<C. a c b <<D. b c a << 【答案】D【解析】【分析】 根据题意可知，12121,log ,()2x y x y x y ===的图象与1y x =-的图象的交点的横坐标依次为,,a b c ，作图可求解. 【详解】依题意可得，12121,log ,()2x y x y x y ===的图象与1y x =-的图象交点的横坐标为,,a b c ，作出图象如图：由图象可知，b c a <<，故选：D【点睛】本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象，函数零点，数形结合的思想，属于中档题. 6.已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M ，N 所在的直线为l ，则下列命题正确的是（ ）A. 在α内存在直线与直线l 异面B. 在α内存在直线与直线l 相交C. 在α内存在直线与直线l 平行D. 存在过直线l 的平面与α平行【答案】A【解析】【分析】利用M 、N 是不在α内的任意两点，可得直线l 与平面α平行或相交，进而可判断直线与平面内直线的位置关系.【详解】M 、N 是不在α内任意两点，则直线l 与平面α平行或相交，若l 与平面α平行，则在α内不存在直线与直线l 相交，所以B 错误：若直线l 与平面α相交，则不存在过直线l 的平面与α平行，所以D 错误：若直线l 与平面α相交，则在α内都不存在直线与直线l 平行，所以C 错误；不论直线l 与平面α平行还是相交.在α内都存在直线与直线l 异面，所以A 正确.故选：A .【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题.7.()322x x --的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）．A. 9B. 9-C. 3D. 3- 【答案】D【解析】【分析】变形()32332(2)(1)x x x x --=--，根据二次展开式的通项公式求解即可. 【详解】()32332(2)(1)x x x x --=--,∴含4x 的项为032212121212034333333(1)(2)(1)(2)3C x C x C x C x C x C x x ⋅-+-⋅-+-⋅=-，故选：D【点睛】本题主要考查了二项展开式，二项展开式的系数，考查了运算能力，属于中档题.8.如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）．A. 63πB. 57πC. 48πD. 39π【答案】C【解析】【分析】 由已知中的三视图可得:该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，画出直观图，数形结合可得答案.【详解】该几何体直观图为底面半径为3，高为4的圆柱中挖去一个圆锥，如图所示，该几何体的表面积为222323433448S ππππ=⋅+⋅⋅+⋅+=,故选：B【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积，圆锥的表面积，简单几何体的三视图，属于中档题.9.有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（ ）．A. 47B. 37C. 27D. 17【答案】A【解析】【分析】先求出基本事件总数3856n C ==，取出的编号互不相同包含的基本事件个数1118643332c c c m A ==,由此能求出取出的编号互不相同的概率.【详解】有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个,基本事件总数3856n C ==， 取出的编号互不相包含的基本事件个数1118643332c c c m A ==， 则取出的编号互不相同的概率是324567m p n ===， 故选：A 【点睛】本题主要考查了概率的求法，查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.10.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，与圆222x y a +=相切的直线1PF 交双曲线C 于点P （P 在第一象限），且212PF F F =，则双曲线C 的离心率为（ ）． A. 103 B. 53 C. 32 D. 54【答案】B【解析】【分析】先设PF 1与圆相切于点M ,利用|PF 2|= |F 1F 2|,及直线PF 1与圆x 2 + y 2 = a 2相切，可得a ，c 之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值.【详解】设PF 1与圆相切于点M ,如图，因为212PF F F =，所以12PF F △为等腰三角形，N 为1PF 的中点， 所以1114F M PF =， 又因为在直角1F MO 中，2222211F MFO a c a =-=-， 所以1114F M b PF == ①， 又12222PF PF a c a =+=+ ②，222c a b =+ ③，由①②③可得2222c a c a +⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即为4()c a c a -=+，即35c a =， 解得53c e a ==， 故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，属于中档题.11.已知函数()1sin cos ,4f x x x x ωωω⎛⎫=+>∈ ⎪⎝⎭R ，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ω的取值范围是（ ）． A. 15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 15,44⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】【分析】化简函数为())4f x x πω=+，由题意利用正弦函数的图象的对称性和周期性，求得ω的取值范围. 【详解】因为()sin cos )4f x x x x πωωω=+=+ 1,4x ω⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭R ， 若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭, 则1222πππω⋅-， 即124ω<≤， 由42x k ππωπ+=+得对称轴方程4,k x k Z ππω+=∈,所以42k πππω+≤且(1)4k πππω++≥，k Z ∈，解得152,24k k k Z ω+≤≤+∈, 当0k =时，1524ω≤≤，满足124ω<≤， 故ω的取值范围是1524ω≤≤， 故选：A【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性和周期性，属于中档题.12.设函数()()ln 2f x x k =++，函数()y g x =的图象与211x y e -=+的图象关于直线1x =对称．若实数1x ，2x 满足()()12f x g x =，且122x x -有极小值2-，则实数k 的值是（ ）．A. 3B. 2C. 1D. 1-【答案】B【解析】【分析】先求出()y g x =，根据()()12f x g x t ==得122x x -，构造函数122()x x h t -=，利用导数求极小值即可建立方程，求解即可.【详解】设(,)P x y 为函数()y g x =的图象上任意一点，则关于直线1x =对称点为(2,)P x y '-在函数211x y e -=+的图象上，所以212211xx y e e --=+=+，即()21xe y g x =+=，令()()12f x g x t ==，则21t x e k -=-，22ln(1)x t =-，所以212222ln(1)2()t x x e t k h t --=---=， 则22()2(1)1t h t e t t -'=->-， 令()0h t '=，得2t =，当12t <<时，()0h t '<，函数()h t 为减函数，当2t <时，()0h t '>，函数()h t 为增函数，所以当2t =，()h t 有极小值(2)222h k =-=-，解得2k =，故选：B【点睛】本题主要考查了函数的对称性，利用导数求函数的极小值，根据极小值求参数，属于难题. 二、填空题：13.已知1a →=，2b →=，且2a b a →→→⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，则向量a →与b →的夹角为______． 【答案】2π3【解析】【分析】 根据向量夹角公式及向量的数量积运算性质即可求解.【详解】212a b a a b a a b →→→→→→→→⎛⎫⋅-=⋅-=⋅-=- ⎪⎝⎭, 1a b →→∴⋅=-，11cos ,22a a ba b b →→→→→→⋅⋅-<>===-， 0,a b π→→≤<>≤，2,3a b π→→∴<>=， 故答案为：2π3 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算性质，向量的夹角公式，属于中档题.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21n n a S n *-=∈N ，则4a =______． 【答案】8【解析】【分析】根据数列和与通项之间的关系，可证明{}n a 为等比数列，求出n a ，即可求出4a .【详解】1n =时，11121a S a -==2n ≥时，21n n a S -=，1121n n a S ---=，两式相减得：120n n a a --=，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n a ()n *∈N ， 3428a ∴==，故答案为：8【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，等比数列的通项公式，递推关系式，属于中档题.15.焦点为F 的抛物线2:4C x y =的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则PA PF 的最大值为______．【解析】【分析】 根据抛物线定义转化为||||PA MP 取最大值，利用三角函数知直线AP 倾斜角最大时，即直线与抛物线相切时，||||PAMP取最大值，联立方程利用判别式为0即可求解.【详解】根据题意，过P做PM与准线垂直，垂足为M，如图：设MPA PAFθ∠=∠=则||||1||||cosPA PAPF MPθ==若||||PAPF取得最大值，必有cosθ取得最小值，则θ取得最大值，此时AP与抛物线相切,设直线AP的方程为(1)y k x=+联立24(1)y xy k x⎧=⎨=+⎩消去y得：22(1)4k x x+=即224210x xk⎛⎫+-+=⎪⎝⎭由224240k⎛⎫∆=--=⎪⎝⎭，解得：1k=或1k=-（舍去），由tan1kθ==，0θπ≤<知，4πθ=，所以||||PAPF22=，2【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线相切，直线的倾斜角、斜率，属于中档题.16.如图，在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，22AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △，设M 为线段1A C 的中点．则在ADE 翻折过程中，给出如下结论：①当1A 不在平面ABCD 内时，//MB 平面1A DE ； ②存在某个位置，使得1DE A C ⊥； ③线段BM 的长是定值；④当三棱锥1C A DE -体积最大时，其外接球的表面积为13π3． 其中，所有正确结论的序号是______．（请将所有正确结论的序号都填上） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①取DC 的中点N ，连接NM 、NB ，；MN ∥A 1D ，NB ∥DE ，所以面MNB ∥面A 1DE ，所以MB ∥面A 1DE ； ②用反证法，假设存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，在△CDE 中，由勾股定理易知，CE ⊥DE ，再由线面垂直的判定定理可知，DE ⊥面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与已知相矛盾；③由①可知，可得MN 、NB 和∠MNB 均为定值，在△MNB 中，由余弦定理可知，MB 2＝MN 2+NB 2﹣2MN •NB cos ∠MNB ，所以线段BM 的长是定值；④当体积最大时，平面1A DE ⊥平面BCDE ，可得EC ⊥平面1A DE ，设外接球球心为O ,半径为R ,根据球的性质可知22211R OO O E =+，即可求出半径，计算球的表面积.【详解】①取DC 的中点N ，连接NM 、NB ，如图，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ，且MN ∩NB ＝N ，A 1D ∩DE ＝D ，所以面MNB ∥面A 1DE ，所以MB ∥面A 1DE ，即①正确； 且MN ＝11A D 2＝定值；NB ∥DE ，且NB ＝DE ＝定值，所以∠MNB ＝∠A 1DE ＝定值， ②假设存在某个位置，使DE ⊥A 1C ．由AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°可求得DE ＝1，3CE =，所以CE 2+DE 2＝CD 2，即CE ⊥DE ，因为A 1C ∩CE ＝C ，所以DE ⊥面A 1CE ，因为A 1E ⊂面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与已知相矛盾，即②错误；③由①可知，MN ∥A 1D 且MN ＝11A D 2＝定值；NB ∥DE ，且NB ＝DE ＝定值，所以∠MNB ＝∠A 1DE ＝定值，由余弦定理得，MB 2＝MN 2+NB 2﹣2MN •NB cos ∠MNB ，所以BM 的长为定值，即③正确；④当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，三棱锥1C A DE -体积最大，此时因为EC DE ⊥,DE 是平面1A DE 与平面DEC 的交线，所以EC ⊥平面1A DE ，设正三角形1A DE 中心为1O ,棱锥外接球球心为O ,半径为R ，则OE OC =，设NB 与EC 交于Q ，连接OQ ，1O E ，如图：易知1//OO EC ，1OQ O E =，由题意可知1A DE △为边长为1的等边三角形，3CE =, 则有12331323O E =⨯⨯=,11322OO QE EC ===，所以22222113313(()3212R OO O E =+=+=，故球的表面积为21343S R ππ==，即④正确. 故答案为：①③④．【点睛】本题考查空间中线面的位置关系，理清翻折前后不变的数量关系和位置关系，以及熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()cos 4cos a B c b A =-． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若4b =，点M 在线段BC 上，且2AB AC AM →→→+=，AM →=，求ABC 的面积．【答案】（Ⅰ）1cos 4A =【解析】 【分析】（Ⅰ）根据正弦定理转化为三角函数化简即可求解；（Ⅱ）2AB AC AM →→→+=两边平方化简可得c ，代入三角形面积公式即可求解.【详解】（Ⅰ）因为()cos 4cos a B c b A =-， 由正弦定理得：()sin cos 4sin sin cos A B C B A =-，即sin cos sin cos 4sin cos A B B A C A +=，可得sin 4sin cos C C A =， 在ABC 中，sin 0C ≠，所以1cos 4A =． （Ⅱ）∵2AB AC AM →→→+=，两边平方得：22224AB AB AC AC AM →→→→→+⋅+=，由4b =，AM →=1cos 4A =， 可得：212416464c c +⋅⋅+=⨯，解得2c =或4c =-（舍）．又sin A ==ABC 的面积14224S =⨯⨯⨯= 【点睛】本题主要考查了正弦定理，数量积的运算，三角形面积公式，属于中档题.18.某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价i x 和月销售量()1,2,3,4,5i y i =的数据进行了统计，得到如下表数据：（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程ˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 参考数据：51392i ii x y==∑，521502.5i i x ==∑．【答案】（Ⅰ） 3.240ˆy x =-+（Ⅱ）可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据参考数据由回归系数公式计算ˆb，再由ˆˆa y bx =-计算ˆa ，即可写出回归直线方程； （Ⅱ）由回归直线方程预测7x =时的估计值，检测即可知是否理想； （Ⅲ）写出销售利润，利用二次函数求最值即可. 【详解】（Ⅰ）因为()11110.5109.59105x =++++=，()1568101185y =++++=． 所以23925108ˆ 3.2502.5510b-⨯⨯==--⨯，所以()ˆ8 3.21040a=--⨯=， 所以y 关于x 的回归直线方程为： 3.240ˆyx =-+． （Ⅱ）当7x =时，ˆ 3.274017.6y=-⨯+=，则17.6180.40.5-=<， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）设销售利润为M ，则()()()5 3.240511M x x x =--+<≤23.256200M x x =-+-，所以8.75x =时，M 取最大值，所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．【点睛】本题主要考查了线性回归方程，利用线性回归方程解决实际问题，二次函数求最值，属于中档题.19.如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，1π3B BA ∠=．（Ⅰ）证明：11B C AC ⊥；（Ⅱ）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为11A C 的中点，求1B C 与平面1AB M 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）226【解析】 【分析】（Ⅰ）根据等边三角形可知1B D AB ⊥，CD AB ⊥，可得AB ⊥平面1B CD ，进而可求1B C ⊥平面1ABC ，即可求证11B C AC ⊥；（Ⅱ）以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式计算即可.【详解】证明：（Ⅰ）取AB 中点D ，连接1B D ，CD ，1BC ．如图，∵三棱柱的所有棱长均为2，1π3B BA ∠=， ∴ABC 和1ABB △是边长为2的等边三角形，且11B C BC ⊥． ∴1B D AB ⊥，CD AB ⊥．∵1B D ，CD ⊂平面1B CD ，1⋂=B D CD D ， ∴AB ⊥平面1B CD ．∵1B C ⊂平面1B CD ，∴1AB B C ⊥． ∵AB ，1BC ⊂平面1ABC ，1AB BC B =，∴1B C ⊥平面1ABC ， ∴11B C AC ⊥．（Ⅱ）∵平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ， 由（Ⅰ）知1B D AB ⊥， ∴1B D ⊥平面ABC ．则DB ，1DB ，DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴， 建立空间直角坐标系．则()0,0,0D ，()1,0,0A -，(13B ，()3,0C ，(13,3C -，(13A -∵M 为11A C 的中点，∴3332M ⎛- ⎝，∴(13,3B C →=-，(13AB →=，1332AM →⎛=- ⎝，设平面1AB M 的法向量为(),,n x y z =，则130133022AB n x z AM n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1z =，得()3,3,1n →=--． 设1B C 与平面1AB M 所成的角为α，则1143226sin 613B C nB C nα→→→→⋅===⋅⋅∴1B C 与平面1AB M 所成角的正弦为13． 【点睛】本题主要考查了线线、线面垂直的判定与性质，线面角的向量求法，考查了空间想象力及运算能力，属于中档题.20.已知函数()()()22ln f x a x ax x a =++-∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）设()2323g x x x =-，若(]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）310x y --=（Ⅱ）1a ≥- 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出斜率，写出切线方程；（Ⅱ） 由题意问题转化为求()()12min min f x g x ≥，利用导数分别求函数的最小值，建立不等关系即可求解.【详解】（Ⅰ）当0a =时，()22ln f x x x =-，()14f x x x'=-， 则()12f =，()13f '=，故曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为310x y --=． （Ⅱ）问题等价于(]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()()12min min f x g x ≥．由()2323g x x x =-得()222g x x x '=-， 由()2220g x x x '=-≥得01x ≤≤，所以在[]0,1上，()g x 是增函数，故()()min 00g x g ==．()f x 定义域为()0,∞+，而()()()()()22121221122x a x a x ax f x a x a x x x++-⎡⎤++-⎣⎦'=++-==． 当2a ≤-时，()0f x '<恒成立，()f x 在(]0,1上是减函数， 所以()()()min 12101f x f a a ==+≥⇒≥-，不成立； 当2a >-时，由()0f x '<，得102x a <<+；由()0f x '>，得12x a >+，所以()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递减．若112a >+，即21a -<<-时，()f x 在(]0,1是减函数， 所以()()()min 12101f x f a a ==+≥⇒≥-，不成立； 若1012a <≤+，即1a ≥-时，()f x 在12x a =+处取得最小值， ()()min 111ln 222f x f a a a ⎛⎫==++- ⎪++⎝⎭， 令()()()11ln 212h a a a a =++-≥-+， 则()()()221130222a h a a a a +'=+=>+++在[)1,-+∞上恒成立， 所以()h a 在[)1,-+∞是增函数且()()min 10h a h =-=， 此时()min 102f x f a ⎛⎫=≥⎪+⎝⎭成立，满足条件．综上所述，1a ≥-．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，利用导数研究函数的最小值，转化思想，属于难题. 21.点(),M x y 与定点()1,0F 的距离和它到直线4x =的距离的比是常数12． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 上异于A ，B 的点P 满足直线AP 的斜率为32-． （ⅰ）求直线BP 的斜率； （ⅱ）求ABP △面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）（ⅰ）12（ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用已知条件可得等式，化简可得曲线C 的轨迹方程;（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,A x y ，则点()11,B x y --,利用点差法即可求解；（ⅱ）由题意转化为2ABP OAP S S =△△，由弦长公式及点到直线的距离求出2ABP OAP S S =△△，利用二次函数求最值即可.【详解】12=，两边平方并化简得223412x y +=，即点M 的轨迹C 的方程为：22143x y +=．（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,A x y ，则点()11,B x y --，满足2211143x y +=， ①设点()22,P x y ，满足2222143x y +=， ②由①－②得：()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=，∵121232AP y y k x x -=-=--，1212BP y y k x x +=+，∴121212BP y y k x x +==+．（ⅱ）∵A ，B 关于原点对称， ∴2ABP OAP S S =△△，设直线3:2AP y x m =-+，代入曲线22:143x y C +=化简得：223330x mx m -+-=，设()11,A x y ，()22,P x y ，由>0∆得：212m <，12x x m +=，21233m x x -=，12AP x =-==， 点O到直线AP 的距离d =，∴1222ABP OAPS S AP d m ==⨯⨯⋅==△△，∴ABPS ==△，当26m =时，∴ABP S △取到最大值【点睛】本题主要考查了椭圆的轨迹方程，点差法，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积，属于难题.（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），将曲线1C 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线2C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线():0OM θαρ=≥分别与曲线1C 、2C 交于点A ，B （A ，B 均异于坐标原点O ），若AB =α的值．【答案】（Ⅰ）2cos ρθ=．2sin ρθ=．（Ⅱ）()π2π12k k α=+∈Z 或()5π2π12k k α=+∈Z ． 【解析】 【分析】（1）化参数方程为普通方程，再利用公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=化极坐标方程； （2）根据极坐标的极径的意义可知12AB ρρ=-，化简即可求解. 【详解】（Ⅰ）∵()221cos 1cos 11sin sin x x x y y y ϕϕϕϕ=+-=⎧⎧⇒⇒-+=⎨⎨==⎩⎩． ∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=．因曲线1C 是圆心为()1,0，半径为1的圆，故曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y +-=．∴曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）设()1,A ρα，()2,B ρα，则12π2sin cos 4AB ρρααα⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭所以π1sin 42α⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，因为π2π2π2k k α<<+，所以()ππ2π46k k α-=±∈Z ． 所以()π2π12k k α=+∈Z 或()5π2π12k k α=+∈Z ． 【点睛】本题主要考查了参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，极径的几何意义，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>．（Ⅰ）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+；（Ⅱ）若()f x 的值域为[)2,+∞，证明：111211a b ab++≥++． 【答案】（Ⅰ）{}02x x <<．（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）分区间讨论去掉绝对值号即可求解； （Ⅱ）根据绝对值不等式可得2a b +=，变形()()114a b +++=，利用基本不等式即可求证.【详解】（Ⅰ）当1a b ==时，不等式为112x x x -++<+，当1x <-时，不等式化为2223x x x -<+⇒>-，此时不等式无解； 当11x -≤<时，不等式化为220x x <+⇒>，故01x <<；当1x ≥时，不等式化为222x x x <+⇒<，故12x ≤<． 综上可知，不等式的解集为{}02x x <<．（Ⅱ）()f x x a x b a b =-++≥+，∵()f x 的值域为[)2,+∞，且0a >，0b >，故2a b +=． 故()()11111111111411a b a b ab a b ab⎛⎫++=+++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ 11112411b a a b ab++⎛⎫=+++ ⎪++⎝⎭21221124a b ⎛⎛⎫≥++=+= ⎪ +⎝⎭⎝（当且仅当1a b ==时取等号）． 【点睛】本题主要考查了分类讨论解不等式，基本不等式的运用，属于中档题.。
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(十三)理科数学
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十三）数学试卷（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（共12小题）.1.设全集为{}2|1log 3A x x =≤≤，{}2|340B x x x =--<，则AB 等于（ ）A. ()1,2-B. (]1,8-C. []4,8D. [)2,4【答案】D 【解析】 【分析】解对数不等式得集合A ，解一元二次不等式得集合B ，再由交集定义计算． 【详解】∵{}28|A x x =≤≤，{}|14B x x =-<<，∴{}|24x x A B =≤<.故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查对数函数性质，掌握对数函数性质是解题关键． 2.设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（）A. 若120z z -=，则12z z =B. 若12z z =，则12z z =C. 若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D. 若12=z z ，则2212z z =【答案】D 【解析】试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真；对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真； 对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z ，则22221122a b a b +=+，222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．3.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误．．的一个是（ ）A. 甲的极差是29B. 甲的中位数是24C. 甲罚球命中率比乙高D. 乙的众数是21【答案】B 【解析】 【分析】通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A 对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D 错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C 对． 【详解】由茎叶图知甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A 对甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为2224232+=故B 不对 甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C 对 乙的数据中出现次数最多的是21，所以D 对 故选B ．【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．4.定义在R 上的函数1()()23x m f x -=-为偶函數，21(log )2a f =，131(())2b f =，()c f m =，则A. c a b <<B. a c b <<C. a b c <<D. b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数得到0m =，明确函数的单调性，综合利用奇偶性与单调性比较大小即可. 【详解】∵1()()23x mf x -=-为偶函数，∴0m =，即1()()23xf x =-，且其在[)0,+∞上单调递减，又1310()21<<，∴()()13211(())(log 02))2(1c b f f a f f f m ==>=>==故选：C【点睛】本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查转化思想，属于中档题.5.设函数()4cos f x x x =--的导函数为()g x ，则()g x 图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数()g x ，然后研究()g x 的性质，用排除法确定正确选项．【详解】因为()4cos f x x x =--，所以()3'sin 4f x x x =-，所以()3sin 4g x x x =-，所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误. 故选：D.【点睛】本题考查导数的运算，考查由函数解析式选择函数图象，解题时可根据解析式确定函数的性质，利用排除法得出正确选项．6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝51，则2a 10﹣a 11＝（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 6【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的的前n 和公式，可求出9a ，再利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】∵S 17＝51，∴()117172a a +=51，a 1+a 17＝6＝2a 9，解得a 9＝3，则2a 10﹣a 11＝a 9＝3.故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 7.执行如图所示的程序框图，若输出的n ＝6，则输入的整数p 的最大值为（ ）A. 7B. 15C. 31D. 63【答案】C 【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S 的值，并输出满足退出循环条件时的n 值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果.【详解】程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环Sn 循环前，0,1S n ==第一次循环后，是，1,2S n ==， 第二次循环后，是，3,3S n ==， 第三次循环后，是，7,4S n ==。
2021届河北衡中同卷新高考仿真考试(十五)数学(理)试题
2021届河北衡中同卷新高考仿真考试（十五）数学（理）试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 60分） 第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集U =R ，集合{|13}A x x =<<，{|230}B x x =-≥，则()U A C B ⋂=（ ） A. 3(,)2-∞ B. (1,)+∞ C. 3(1,)2D. 3[,3)2【答案】C 【解析】由题意得3{|230}{|}2B x x x x =-≥=≥， ∴3{|}2UB x x =<， ∴33(){|1}(1,)22UA B x x ⋂=<<=．选C ． 2.已知x ，y R ∈，i 为虚数单位，且1xi y i -=-+，则()()1(i x yi --= ) A. 2 B. 2i -C. 4-D. 2i【答案】B 【解析】【分析】根据对应关系求出x ，y 的值，结合复数的运算求出代数式的值即可． 【详解】由1xi y i -=-+，得：11yx -=-⎧=⎨⎩，所以1x =，1y =，所以()()()()1112i x yi i i i --=--=-， 故选B ．【点睛】本题考查了复数的运算，考查对应思想，是一道常规题．复数a bi +与i c d +相等的充要条件是a c =且b d =．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解． 3.阅读如图所示程序框图，运行相应的程序.当输入的[]2,4x ∈-时，则输出y 的范围是（ ）A. []8,4-B. []0,24C. [](]2,46,24-D. []2,24-【答案】D 【解析】分析：利用程序框图和分段函数进行求解． 详解：当21x 时，223214x ≤+≤，则024y ≤≤；当14x ≤≤时，26y -≤≤； 综上所述，输出y 的范围为[0,24][2,6][2,24]⋃-=-．点睛：本题考查程序框图等知识，意在考查分类讨论思想的应用能力和基本计算能力．4.已知P 为ABC ∆所在平面内一点，0AB PB PC ++=，2AB PB PC ===，则ABC ∆的面积等于（ ） A. 3 B. 23C. 33D. 43【答案】B 【解析】【详解】根据条件得知点P 在三角形中位线的延长线上，三角形ABC 是以B 为直角的直角三角形， 记AC 中点为O 点，OBPC 按这一顺序构成平行四边形的四个边，并且是菱形，边长为2， 故BC 为23，此时三角形面积为12232 3.2S =⨯⨯= 故答案为B ．5.【2018届浙江省温州市一模】如图，正四面体ABCD 中，P Q R 、、在棱AB AD AC 、、上，且12AP CR AQ QD PB RA ===，，分别记二面角A PQ R A PR Q A QR P ------，，的平面角为αβγ、、，在（ ）A. βγα>>B. γβα>>C. αγβ>>D. αβγ>>【答案】D 【解析】ABCD 是正四面体，P Q R 、、在棱AB AD AC 、、上，且12AP CR AQ QD PB RA ===，，可得γ为钝角，,αβ为锐角，设P ACD 到的距离为1h P QR ，到的距离为1d Q ABC ，到的距离为2h Q PR ，到的距离为2d ，设正四面体的高为h ,可得121211=,,32h h h h h h =<，由余弦定理可得QR PR <，由三角形面积相等可得到12d d >，所以可以推出1212,h h sin sin d d γβ=<=所以γβαβγ∴>，故选D. 【方法点睛】本题主要考查二面角的求法，属于难题.求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角，本题很巧妙的应用点到面的距离及点到线的距离求得二面角的正弦值，再得到二面角的大小关系.6.已知函数()sin2cos2f x x x =+，将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心是（ ）A. 3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 5,08π⎛⎫⎪⎝⎭D. 3,04π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】先对函数()f x 化简，然后利用三角函数的平移关系求出()g x 的解析式，结合三角函数的对称性进行求解即可．【详解】()sin2cos224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到数()y g x =的图象， 即()22444g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24x k ππ-=，得28k x ππ=+，k ∈Z ，当1k =时，5288x πππ=+=，即函数()g x 的一个对称中心为5,08π⎛⎫⎪⎝⎭， 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换和性质，求出函数()g x 的解析式以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键．7.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为（ ） B.8C.6332D.94【答案】D 【解析】由题意可知：直线AB 的方程为3)4y x =-，代入抛物线的方程可得：2490y --=，设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则所求三角形的面积为1324⨯94，故选D.考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.8.函数22()(44)log x x f x x -=-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【详解】 【分析】 ∵()()()()2244log x xx f x f x --=--=-∴()f x 为奇函数，排除A ，C21112log 3224f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1224f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1142f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除D ， 故选B点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．9.设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[]0,2x ∈时，()22x f x =-，若函数()()log (1)a g x f x x =-+（0a >，1a ≠）在区间(]1,9-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,)(7,)9⋃+∞B. 1(,1)(1,3)9⋃C. 11(,)(3,7)95⋃D. 11(,)(5,3)73⋃【答案】C 【解析】试题分析：由(2)(2)f x f x -=+得函数()f x 的图象关于直线2x =对称，又()f x 是偶函数，即图象关于直线0x =对称，因此它还是周期函数，且周期为2(20)4T =⨯-=，函数()g x 的零点个数就是函数()y f x =与曲线的图象交点的个数，如图由奇偶性和周期性作出()y f x =的图象，作出的图象，由图象知，两图象只有三个交点，则有1{log 32log 72a a a ><>或01{log 51log 91a a a <<>-<-，解得37a <<或1195a <<．故选C ．考点：函数的零点．【名师点睛】本题考查函数零点，函数()f x 的零点，就是方程()0f x =的解，也是函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标，它们个数是相同的，因此有解决零点个数问题时，常常进行这方面的转化，把函数零点转化为函数图象交点．在转化时在注意较复杂的函数是确定的（没有参数），变化的是比较简单的函数，如基本初等函数，大多数时候是直线，这样变化规律比较明显，易于观察得出结论．本题解法是数形结合思想的应用．10.设函数2()ln 2f x x x x =-+，若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[(2),(2)]k a k b ++，则k 的取值范围是（ ）A.92ln2[1,]4+B.92ln2(1,)4+C.92ln2[1,]10+D.92ln2(1,]10+【答案】D 【解析】【分析】判断f（x）的单调性得出f（x）＝k（x+2）在[12，+∞）上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k的范围．【详解】f′（x）＝2x﹣lnx+1，f″（x）＝21x -，∴当x12≥时，f″（x）≥0，∴f′（x）在[12，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（12）＝2﹣ln12＞0，∴f（x）在[12，+∞）上单调递增，∵[a，b]⊆[12，+∞），∴f（x）在[a，b]上单调递增，∵f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+2），k（b+2）]，∴()() ()()22f a k af b k b⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，∴方程f（x）＝k（x+2）在[12，+∞）上有两解a，b．作出y＝f（x）与直线y＝k（x+2）的函数图象，则两图象有两交点．若直线y＝k（x+2）过点（12，9142+ln2），则k 92210ln +=， 若直线y ＝k （x +2）与y ＝f （x ）的图象相切，设切点为（x 0，y 0），则002000000(2)221y k x y x x lnx x lnx k=+⎧⎪=-+⎨⎪--=⎩，解得01x =，k ＝1． ∴1＜k 92210ln +≤， 故选D ．【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 11.已知,a b 是实数，若圆22111x y 与直线()()1120a x b y +++-=相切，则+a b 的取值范围是 （ ）A. 2⎡-+⎣B. (),2222,⎡-∞-++∞⎣C. (),⎡-∞-⋃+∞⎣D. (]),22⎡-∞-⋃++∞⎣【答案】B 【解析】由题设圆心(1,1)C 到直线()()1120a x b y +++-=的距离1d ==，即1=，也即222()2()2a b a b a b +=++++，因为2221()2a b a b +≥+，所以221()2()2()2a b a b a b +-+-≥+，即2()4()40a b a b +-+-≥，解之得2a b +≥+或2a b +≤-B ．1=，然后再依据问题的特征与欲求目标之间的联系，借助基本不等式2221()2a b a b +≥+建立了不等式221()2()2()2a b a b a b +-+-≥+，最后通过解不等式使得问题获解． 12.下列说法正确的是（ ）A. 若命题0:p x R ∃∈，20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∉，210x x -+≥B. 已知相关变量(),x y 满足回归方程24y x =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均增加4个单位C. 命题“若圆()()22:11C x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则实数[]0,1m ∈”为真命题D. 已知随机变量()22X N σ~，，若()0.32P X a <=，则()40.68P X a >-=【答案】C 【解析】若命题0:p x R ∃∈，20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∈，210x x -+≥;已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ24yx =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均减少4个单位; 命题“若圆()()22:11C x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则101,11m m m ⎧≤⎪∴≤≤⎨-≤⎪⎩为真命题; 已知随机变量()22X N ，σ~，若()0.32P X a <=，则()40.32P X a >-=;所以选C.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题-第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若,x y 满足约束条件11y xx y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-的最大值是__________．【答案】12【解析】 【详解】 【分析】 ,画出约束条件11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的可行域，如图，平移直线2y x z =-，当直线经过点C 时，直线在y 轴上的截距最小，2z x y =-有最大值，由1y x x y =⎧⎨+=⎩可得1122C ⎛⎫⎪⎝⎭，，2z x y =-有最大值为1112222⨯-= ，故答案为12.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14.多项式1(21)n x x-+展开式中所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项为__________． 【答案】141 【解析】 【详解】 【分析】由121nx x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中所有项的系数之和为64可得：264n =，则6n = 6121x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式中的常数项可分为4种情况 6⑴个括号都取1⑵1个括号取2x ，1个括号取1x -，4个括号都取1， ⑶2个括号取2x ，2个括号取1x -，1个括号取1，⑷3个括号取2x ，3个括号取1x-，∴展开式中的常数项为()()()23112223336564631212121141C C C C C C +-+-+-=15.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“仅有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出__________钱（所得结果四舍五入，保留整数）． 【答案】17 【解析】依照钱的多少按比例出钱，所以丙应该出钱180180100=17560+350+1801090⨯≈，故填17.16.已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则方程()12f x =-在区间[]3,5-内的所有零点之和为_____________． 【答案】4 【解析】 ∵函数()1f x +是奇函数∴函数()1f x +的图象关于点()0,0对称∴把函数()1f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则()()2f x f x -=-.又∵1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()1f x f x -=，从而()()21f x f x -=-- ∴()()1f x f x +=-，即()()()21f x f x f x +=-+=∴函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称. 画出函数()f x 的图象如图所示：∴结合图象可得()12f x =-区间[]3,5-内有8个零点，且所有零点之和为12442⨯⨯=. 故答案为4.点睛：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222cos cos sin sin sin B C A A B -=+. （1）求角C 的大小；（2）若A=6π，△ABC 的面积为M 为BC 的中点，求AM.【答案】(1) 2;3C π=(2) 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出cos C 的值，可求角C 的大小；（2）求得()6B AC A ππ=-+==，ABC ∆为等腰三角形，由三角形面积公式可求出CB CM 、的值，再利用余弦定理可得出AM 的值. 【详解】(1)∵222cos cos sin sin sin B C A A B -=+∴()2221sin 1sin sin sin sin B C A A B ---=+（） ∴222sin sin sin sin sin C B A A B -=+由正弦定理得：222c b a ab -=+即222a b c ab +-=-∴22211cos 222a b c C ab 即+-=-=-∵C 为三角形的内角，∴23C π= (2)由（1）知23C π=，∴()6B AC A ππ=-+==∴△ABC 为等腰三角形，即CA=CB 又∵M 为CB 中点 ∴CM=BM 设CA=CB=2x 则CM=BM=x1sin 2CABSCA CB C =⋅⋅=∴12222x x ⋅⋅⋅=x=2 ∴CA=4,CM=2由余弦定理得：=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18.2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布 2.5PM 数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI ），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量.（Ⅰ）若某日播报的AQI 为118，已知轻度污染区AQI 的平均值为74，中度污染区AQI 的平均值为114，求重度污染区AQI 的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI 的分布，11月份仅有一天AQI 在[170,180)内.①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI 为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到AQI 不小于180的天数为X ，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（Ⅰ）172（Ⅱ）①35②见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）设重度污染区AQI 的平均值为x ，利用加权平均数求出x 的值； （Ⅱ）①由题意知11月份AQI 小于180的天数，计算所求的概率即可；②由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【详解】（Ⅰ）设重度污染区AQI 的平均值为x ，则742114521189x ⨯+⨯+=⨯，解得172x =. 即重度污染区AQI 平均值为172.（Ⅱ）①由题意知，AQI 在[)170,180内的天数为1，由图可知，AQI 在[)50,170内的天数为17天，故11月份AQI 小于180的天数为11718+=， 又183305=，则该学校去进行社会实践活动的概率为35. ②由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()30181233020401015C C P X C ===，()21181233045911015C C P X C ===， ()12181233029721015C C P X C ===，()031812330113203C C P X C ===，则X 的分布列为X0 1 2 3P2041015 4591015 2971015 11203数学期望EX = 204459297110123101510151015203⨯+⨯+⨯+⨯ 65=. 【点睛】本题考查了平均数与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是基础题． 19.已知多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，EF CE ⊥，且2AC =，1AE EC ==，2BCEF =，//AD EF .（1）求证：平面ACE ⊥平面ADEF ；（2）若AE AD ⊥，直线AE 与平面ACF 3AD 的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）2AD = 【解析】【详解】试题分析：(1)由题意结合线面垂直的判断定理可得CE ⊥平面ADEF ，然后利用面面垂直的判断定理即可证得平面ACE ⊥平面ADEF .(2)建立空间直角坐标系，结合题意利用夹角公式可得求得直线AE 与平面ACF 的夹角的正弦值3sin θ=，据此可得2AD =. 试题解析： （1）∵2AC =，1AE EC ==，∴222AC AE CE =+，∴AE EC ⊥；又EF CE ⊥，AE EF E ⋂=，∴CE ⊥平面ADEF ； 因为CE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面ADEF . （2）因为平面ACE ⊥平面ADEF ， 平面ACE平面ADEF AE =，AE AD ⊥，所以AD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC AD ⊥； 以A 为原点，,AC AD 所在直线分别为,x y 轴， 过点A 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设2AD a =，则()0,0,0A ，()2,0,0C，22,,22F a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22,0,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面ACF 的一个法向量(),,m x y z =， 因为()2,0,0AC =，22,,22AF a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴20220x x ay z ⎧=⎪⎨-+=⎪，取2z =，1y a =， 则10,,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22,0,22AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设直线AE 与平面ACF 的夹角为θ，故23sin ||||12AE m AE m aθ⋅===+， 解得1a =（1a =-舍去），故2AD =.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F，且点1,2⎛- ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于,A B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）x 轴上存在点5(,0)4Q【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义求出a 的值，进而可求b 的值，即可得到椭圆的标准方程； （2）先利用特殊位置，猜想点Q 的坐标，再证明一般性也成立即可 【详解】（1）由题意知，1c =根据椭圆的定义得：2a == 即a =∴2211b =-=，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=（2）假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716QA QB ⋅=-恒成立． ① 当直线l的斜率为0时，A ，(B．则7,0)(,0)16m m ⋅=-解得54m =±． ②当直线l 的斜率不存在时，(1,2A ，(1,2B-．则7(1,(1,2216m m -⋅--=-解得54m =或34m =③ 由①②可知当直线l 的斜率为0或不存在时，54m =使得7·16QAQB=-成立． 下面证明54m =，即5(,0)4Q 时7·16QAQB=-恒成立． 设直线l 的斜率存在且不为0时，直线l 方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ,22(,)B x y ，由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222(21)4220k x k x k +-+-=∴22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 11(1)y k x =-，22(1)y k x =-∴[]212121212·(1)(1)2()1y y k x k x k x x x x =--=-++22222222241212121k k k k k k k ⎡⎤--=-+=⎢⎥+++⎣⎦∴·QA QB =112212121255525(,)(,)()44416x y x y x x x x y y -⋅-=-+++ 222222225425721421162116k k k k k k --=-⋅++=-+++ 综上所述：在x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得7·16QAQB=-恒成立． 考点：1．直线与圆锥曲线的关系；2．椭圆的标准方程21.已知函数(3)()(0,)x x e af x x a R x-+=>∈.（1）当34a >-时，判断函数()f x 的单调性； （2）当()f x 有两个极值点时，若()f x 的极大值小于整数m ，求m 的最小值. 【答案】（1）()f x 为(0,)+∞上的减函数（2）3 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，法一、结合二次函数的图象与性质判断导函数的符号，求出函数的单调性即可；法二、令2()(33)xh x x x e a =-+--，则2()()xh x x x e '=-+，结合函数的单调性求出()h x 的极大值，即可得到结论；（2）令2()(33)xh x x x e a =-+--，则2()()xh x x x e '=-+，根据函数的单调性得到()0h x =有两个实数根12,x x （12x x <），取出实数a 的取值范围，进而求出()f x 的极大值222222()33ax af x x x -=-+，进而得出实数m 的取值范围.详解】（1）由题()()()()2'223333(0)x x x x e x e x x e a x x e a f x x x x⎡⎤-+-----+--⎣⎦==>.方法1：由于()2233330,10,3344x x x x e x x e -+-≤-<-<-<-+-<-， 又34a >-，所以()2330xx x e a -+--<，从而()0f x '<， 于是()f x 为()0,∞+上的减函数.方法2：令()()233xh x x x e a =-+--，则()()2xh x x x e '=-+，当01x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1x >时，()0h x '<，()h x 为减函数. 故()h x 在1x =时取得极大值，也即为最大值. 则()()max 1h x h e a ==--.由于34a >-，所以()()max 10h x h e a ==--<， 于是()f x 为()0,∞+上的减函数.（2）令()()233xh x x x e a =-+--，则()()2xh x x x e '=-+，当01x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1x >时，()0h x '<，()h x 为减函数. 当x 趋近于+∞时，()h x 趋近于-∞.由于()f x 有两个极值点，所以()0f x '=有两个不等实根， 即()()2330xh x x x e a =-+--=有两不等实根12,x x （12x x <）.则()()00,10,h h ⎧<⎪⎨>⎪⎩解得3a e -<<-.可知()10,1x ∈，由于()10h e a =-->，332233330244h e a e ⎛⎫=--<-+< ⎪⎝⎭，则231,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.而()()2222222330x xx e af x x --='-+=，即222233x ae x x =-+-（#）所以()()()22223x x e x af f x x -+==极大值，于是()22222233ax af x x x -=-+，（*）令22122(1)2t x x t t =-⇒=+-<<-，则（*）可变为()21111t g t a at t t t==++++， 可得121131t t -<<-++，而3a e -<<-，则有()213111t g t a a t t t t==<++++，下面再说明对于任意233,1,2a e x ⎛⎫-<<-∈ ⎪⎝⎭，()22f x >. 又由（#）得()222233x a ex x =-+-，把它代入（*）得()()2222x f x x e =-， 所以当231,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2221x f x x e =-' 0<恒成立， 故()()2222x f x x e =-为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的减函数，所以()32231222f x f e ⎛⎫>=> ⎪⎝⎭. 所以满足题意的整数m 的最小值为3.点睛：本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值；（2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.【答案】（1）（2）(0,.【解析】【分析】（1）将直线l 极坐标方程转化成直角坐标，设出P 点坐标，利用点到直线的距离公式及辅助角公式，根据余弦函数的性质，即可求得点P 到直线l 的距离的最大值；（2）由题意可知：t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>4<，即可求得a 的取值范围.【详解】（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(cos sin )2ρθρθ-=-,化成直角坐标方程得)2x y -=-∴直线l 的方程为40x y -+=，依题意，设,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离d ==)6t π=+， 当26t k ππ+=，即26t k ππ=-，k Z ∈时，max d =故点P 到直线l的距离的最大值为（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>)40t ϕ++>（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故a取值范围(0,. 【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，利用参数方程求曲线上的点到直线距离的最值，恒成立问题的转化，属于简单题目.[选修4-5：不等式选讲]23.已知定义在R 上的函数()*2f x x m x m N =--∈，，且()4f x <恒成立. （1）求实数m 的值；（2）若()()()()0,10,13f f αβαβ∈∈+=，，，求证：4118αβ+≥.【答案】（1）1m =；（2）见解析.【解析】【分析】(1)由题得24x m x --<恒成立，即|2m|＜4即得m 的值.(2)由题得12αβ+=，再利用基本不等式求()41412αβαβαβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭的最小值，即不等式得证.【详解】（1）∵222x m x x m x m --≤--=,要使24x m x --<恒成立，则2m <，解得22m -<<.又∵*m N ∈，∴1m =.（2）∵()()0,10,1αβ∈∈，，.∴()()22223f f αβαβ+=-+-=，即12αβ+=，∴()414142252518βααβαβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4βααβ=，即13α=，16β=时取等号，故4118αβ+≥. 【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查不等式的证明，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.。
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河北省衡水中学2021届高三数学上学期五调考试试题 理（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知()2sin 3απ+=-，则cos2=α（ ） A.79 B. 19-C.19D. 59-【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式求得2sin 3α=，再由余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得()2sin sin 3απα+=-=-，即2sin 3α=， 又由2221cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，410S =，则6S 等于（ ） A. 12 B. 18C. 24D. 42【答案】B 【解析】 【分析】根据24264,,S S S S S --成等差数列列方程组，解方程求得6S 的值. 【详解】由于{}n a 是等差数列，故24264,,S S S S S --成等差数列，所以()422642S S S S S -=+-，即()62104410S -=+-，解得618S =.故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和的性质，考查方程的思想，属于基础题. 3.2021年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2021 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，202X 年编号为 2，…，2021年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7y x =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是( )①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测 2021 年公共图书馆业机构数约为3192个 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据ˆb和2R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb 的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关， 又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确； 由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确. 故选D.【点睛】回归直线方程中ˆb的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强. 4.函数2cos 1()22x xx f x --=-的部分图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及03x π<<时，()0f x >进行排除即可得解. 【详解】因为2cos 1()22x xx f x --=-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，所以B ，D 错误， 当03x π<<时，()0f x >，所以C 错误.故选A.【点睛】本题主要考查了识别函数图像，一般从以下几个方面进行选择即可：奇偶性，定义域，特殊值，极限值，属于基础题.5.已知1F ，2F 为椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. 1(0,]2B. 2(0,2C. 3(0,3D. 1(,1)2【答案】C 【解析】 【分析】用,,a b c 表示出21212,BF BF F F ⋅，解出不等式得出e 的范围. 【详解】由椭圆定义可知：12BF BF a ==，12OF OF c ==，则1sin cOBF e a∠==， 所以22121cos 12sin 12F BF OBF e ∠=-∠=-，因为2121214BF BF F F ⋅≥，即222(12)e a c -≥， 22(12)e e -≥，即213e ≤.303e ∴<≤. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题. 6.若()421ax x -+的展开式中5x 的系数为56-，则实数a 的值为A. 2-B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】将三项的多项式的幂的形式组合成两项的幂的形式，运用两次二项式展开式的通项公式得出()421ax x -+的通项公式()24tr tr t r C C a x --，令25r t -=，解此不定方程得出t ,r 的值，得到关于a 的方程，可得解. 【详解】()()442211ax xx ax ⎡⎤-+=+-⎣⎦,所以()421x ax ⎡⎤+-⎣⎦的展开式的通项为()()()()2221444rr tttrr t r tr tr r r T C x ax C C x ax C C a x --+=-=-=-，其中0,1,2,3,4;0,1,r t r ==，令25r t -=，所以1,3t r =⎧⎨=⎩或34t r =⎧⎨=⎩， 当13t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()314312C C a a ⋅⋅-=-， 当34t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()3433444C C a a ⋅⋅-=-， 因为5x 的系数为56-，所以312456a a --=-，即33140a a +-=，即()()22270a a a -++=，所以2,a =故选B .【点睛】本题考查二项式展开式中的特定项的系数，本题关键在于将底数的三项式，组合成二项，运用二项式展开式的通项，建立方程求解，属于中档题.7.现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（ ） A.2764B.916C.81256D.716【答案】B 【解析】 【分析】四名学生随意选择共256种选法，恰有一个地方未被选中共144种，所以其概率为916. 【详解】四名学生从四个地方任选一个共有4444256⨯⨯⨯=种选法，恰有一个地方未被选中，即有两位学生选了同一个地方，另外两名学生各去一个地方，考虑先分堆在排序共有23446432144C A ⨯=⨯⨯⨯=种， 所以恰有一个地方未被选中的概率为144925616=. 故选：B【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数，其本质是利用排列组合知识解决计数问题.8.已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a >>B. b c a >>C. a b c >>D.c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 5,log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小.【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log 5lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.9.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计）A. 36πB. 40πC. 41πD. 44π【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，当该球为底面边长分别为2、1，高为6的长方体的外接球时，球的半径取最小值，然后利用公式可计算出球体的表面积.【详解】由题意知，当该球为底面边长分别为2、1，高为6的长方体的外接球时，球的半径取最小值，所以，该球形容器的半径的最小值为141364122++=， 因此，该球形容器的表面积的最小值为414414ππ⋅=.故选C.【点睛】本题考查长方体的外接球，解题的关键就是要弄清楚球为长方体的外接球时，球的半径最小，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.10.已知定义在R 上的偶函数()()()()()3sin cos 0,,0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+∈>对任意x ∈R 都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，当ω取最小值时，6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A. 1 3 C.123【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简()()()3cos 2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭由函数为偶函数求出ϕ，再由()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，求出ω，将6π代入表达式即可求解.【详解】()()()cos 2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭， 因为函数()f x 为偶函数，0ϕπ<< 所以23ϕπ=，即()2cos f x x ω=， 又因为x ∈R 都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 可得：()002f f π⎛⎫+=⎪⎝⎭所以2cos 02cos02πω+=，解得()22k k Z πωππ=+∈ 所以42k ω=+，0>ω且ω取最小值， 所以2ω=综上可得()2cos2f x x =，∴2cos 163f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选：A【点睛】本题考查了辅助角公式、诱导公式以及三角函数的奇偶性，属于中档题11.不等式()22ln 40ax a x x a ->-->解集中有且仅含有两个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()ln3,2B. [)2ln3,2-C. (]0,2ln3-D.()0,2ln3-【答案】C 【解析】 【分析】设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-，通过导数判断()g x 的单调性，结合直线()2h x ax a =-恒过定点()2,0，得到两函数的图象，结合题意得不等式组()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，解出即可.【详解】由题意可知，22ln 4ax a x x ->--， 设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-. 由()1212x g x x x='-=-. 可知()2ln 4g x x x =--在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数， ()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()g x ，()h x 的图象如下，若有且只有两个整数1x ，2x ，使得()10f x >，且()20f x >，则()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即022ln 3a a a >⎧⎪->-⎨⎪≤-⎩，解得02ln3a <≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了不等式与函数图象的关系，利用导数判断函数单调性，考查了学生的计算能力，属于中档题．12.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 平面1D AE ，则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合是（ ）A. 25|235t t B. 25|25t t C. |223t t D. |222t t【答案】D 【解析】 【分析】为确定F 点位置，先找过1A 与平面1D AE 平行且与平面11B BCC 相交的平面，分别取111,B B B C 的中点,M N ，连接11,,A M MN A N ，可知平面1//A MN 平面1D AE ，故F 在线段MN 上，可知线面角为11A FB ∠，分析其正切值即可求出.【详解】设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接,AG EG ，则G 为BC 的中点. 分别取111,B B B C 的中点,M N ，连接11,,A M MN A N ，则11//A M D E ， ∵1A M平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，∴1//A M 平面1D AE ，同理可得//MN 平面1D AE . ∵1,A M MN 是平面1A MN 内的两条相交直线， ∴平面1//A MN 平面1D AE ，且1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上的动点.设直线1A F 与平面11BCC B 所成角为θ，运动点F 并加以观察，可得：当点F 与点M （或N ）重合时，1A F 与平面11BCC B 所成角等于11A MB ，此时所成角θ达到最小值，满足111tan 2A B B Mθ；当点F 与MN 中点重合时，1A F 与平面11BCC B 所成角达到最大值，此时11111tan 222A B B FB M θ，∴1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合为|222t t ，故选D.【点睛】本题主要考查了面面平行的判定与性质，线面角，及线面角正切的最值问题，属于难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量(1,3),3a b ==，向量a 与向量b 的夹角为120︒，则()a ab -=________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积公式可得.【详解】因为(1,3)a =,所以||1(2a =+=, 所以||||cos120a b a b ⋅=123()32=⨯⨯-=-, 所以()a ab -=222(3)437a a b -⋅=--=+=. 故答案为:7【点睛】本题考查了平面向量数量积,属于基础题.14.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，过A 点作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，有下面三个结论：①点H 是1A BD ∆的中心；②AH 垂直于平面11CB D ；③直线1AC 与直线1B C 所成的角是90°.其中正确结论的序号是_______.【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①，先利用线面垂直的性质，结合已知条件，得到1HB HD HA ==，进而可判断①； 对于②，由已知条件，根据面面平行的判定定理，得到平面11//CB D 平面1A BD ，再由AH 垂直于平面1A BD ，即可判断②；对于③，连接111,,AC BC AD ，根据线面垂直的判定定理，得到1B C ⊥平面11ABC D ，即可得出11AC B C ⊥，从而可判断③【详解】对于①，因为AH ⊥平面1A BD ，1AB AD AA ==， 所以1Rt Rt Rt ∆≅∆≅∆ABH ADH AA H ， 所以1HB HD HA ==，所以H 是1A BD ∆的外心；又因为1A BD ∆是等边三角形，所以点H 是△1A BD 的中心.故①正确； 对于②，因为1111//,=A B AB A B AB ，//,=CD AB CD AB ，所以11//A B CD ，且11A B CD =，所以四边形11A B CD 是平行四边形，所以11//B C A D . 又因为1A D ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD . 同理可证11//B D 平面1A BD .又因为1111B C B D B ⋂=，所以平面11//CB D 平面1A BD ；又因为AH 垂直于平面1A BD ，所以AH 垂直于平面11CB D .故②正确； 对于③，连接111,,AC BC AD .因为四边形11BCC B 是正方形，所以11B C BC ⊥.因为AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，所以1B C AB ⊥. 又因为1BC ABB ，所以1BC ⊥平面11ABCD .又因为1AC ⊂平面11ABC D ，所以11AC B C ⊥， 所以直线1AC 与1B C 所成的角是90°.故答案为①②③【点睛】本题主要考查棱柱相关结构特征的判断，熟记棱柱的结构特征，以及线面、面面平行与垂直的判定定理即可，属于常考题型.15.已知F 为抛物线2C y x ：＝的焦点，点A 、B 在抛物线上位于x 轴的两侧，且OA OB ⋅＝12(其中O 为坐标原点)，若AFO 的面积是18，则BFO 的面积是______ 【答案】12【解析】 【分析】 根据三角形AFO面积求得A 点的纵坐标，代入抛物线方程求得A 点的坐标，根据12OA OB ⋅=及B 点在抛物线上，求得B 点的纵坐标，由此求得三角形BFO 的面积.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且120y y ⋅<.由抛物线2y x =得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，而111111,1,1248AFO S y y x ∆=⨯⨯===.由121221212OA OB x x y y x y y ⋅=+=+=①，由于B在抛物线上，故222y x =②，由①②解得24y =，所以2111242BFO S y ∆=⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查抛物线上点的坐标的求法，考查向量数量积的坐标运算，考查三角形的面积公式，考查方程的思想，属于中档题.16.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足sin (23cos )b A a B =-，则B =__________．若D 为边AB 上的一点，且满足2CD =，4AC =，锐角三角形ACD 的面积为15，则BC =_________． 【答案】 (1). 6π(2). 15 【解析】 【分析】①利用正弦定理sin sin sin (23cos )B A A B =-，得sin 23cos B B =-，即可求解； ②根据三角形ACD 的面积求出15sin 4ACD ∠=，得出余弦值根据余弦定理求出AD ，利用正弦定理求15sin A =，再求BC . 【详解】①ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin 0A >由题：sin (23cos )b A a B =-，由正弦定理可得：sin sin sin (23cos )B A A B =-， 所以sin 23cos B B =-，sin 3cos 2B B +=，2sin 23B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,B π∈，所以6B π=，②锐角三角形ACD 152CD =，4AC =， 所以1sin 152CD AC ACD ⨯⨯⨯∠=所以sin ACD ∠=1cos 4ACD ∠=，锐角三角形ACD 中，由余弦定理：4AD ==，由正弦定理sin sin ACD A AD CD ∠=，sin 8A =，在ABC ∆中由正弦定理可得：sin sin BC ACA B=， 解得：15BC .故答案为：①6π【点睛】此题考查利用正余弦定理和面积公式解三角形，关键在于熟练掌握定理公式，合理使用.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在2021、2021每高考数学全国Ⅰ卷中，第22题考查坐标系和参数方程，第23题考查不等式选讲.2021年髙考结束后，某校经统计发现:选择第22题的考生较多并且得分率也较高.为研究2021年选做题得分情况，该校高三质量检测的命题完全采用2021年高考选做题模式，在测试结束后，该校数学教师对全校高三学生的选做题得分进行抽样统计，得到两题得分的统计表如下(已知每名学生只选做—道题): 第22题的得分统计表第23题的得分统计表(1)完成如下2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；(2)若以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，如果你是考生，根据上面统计数据，你会选做哪道题，并说明理由.附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】(1) 列联表见解析；有99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；(2) 选做第23题，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由已知数据可填好列联表，计算出2K 观测值10.828k >，从而可知有99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；（2）分别计算全体学生两道题的平均得分，选做平均得分较大的题.【详解】（1）由数据表可得22⨯列联表如下：理科人数 500 400 900 文科人数 200 100 300总计 7005001200则2K 的观测值()212002004005001008011.4210.8287005003009007k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关.(2)全体高三学生第22,23题的平均得分分别为:()1144757507532005125822510 6.4700700x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈； ()213746350623685658270107.5500500x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈； 21x x > ∴以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，应选做第23题.【点睛】本题考查独立性检验解决实际问题、利用平均数估计总体的数据特征等知识；考查学生的计算和求解能力，属于较易题.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11160,,2BAC A AC A AB AA AB AC ∠=∠=∠===,点O 是BC 的中点.（1）求证:BC ⊥ 平面1A AO ；（2）若11A O =，求直线1BB 与平面11A C B 所成角的正弦值. 【答案】(1) 见解析;(2) 21sin 7θ=. 【解析】试题分析:（1）利用11A AB A AC ∆≅∆可得11A B A C =,而AB AC =，O 是BC 中点，所以1,AO BC AO BC ⊥⊥，由此可证得BC ⊥平面1A AO .（2）以1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算线面角的正弦值为217. 试题解析:(1)11111111,,A AC A AB AB AC AA AA A AB A AC A B AC ∠=∠===∴∆≅∆∴=.又O 为BC 中点，1,AO BC A O BC ∴⊥⊥.又11,,AO AO O AO AO ⋂=⊂平面1,A AO BC ∴⊥平面1A AO .(2)60,2,BAC AB AC O ∠===为BC 中点，2,1,3BC BO CO AO ∴====又222111112,1,,AA A O AO A O AA AO A O ==∴+=∴⊥.又由（1）知，1,BO AO BO AO ⊥⊥，则以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()()()()13,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1AB C A -.()()1113,1,0,0,1,1C A CA A B ∴===-.设平面11A C B 的一个法向量为(),,n x y z =，则30{x y y z +=-=，令1x =，得(()111,3,3,3,0,1n BB AA =--==-.设1BB 与平面11A C B 的所成角为θ，则11·2321sin 727·BB n BB nθ===.19.已知单调等比数列{}n a 中，首项为12，其前n 项和是n S ，且335441,,2a S S a S ++成等差数列,数列{}n b 满足条件(nb 123n12.a a a a =(Ⅰ) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(Ⅱ) 设 1n n nc a b =-,记数列{}n c 的前n 项和 n T . ①求 n T ;②求正整数k ，使得对任意*n N ∈，均有 k n T T ≥. 【答案】(Ⅰ) 1()2n na ；(1)nb n n =+； (Ⅱ)①见解析；②见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公比，据此即可确定数列{}n a 的通项公式，进一步利用递推关系可得数列{}n b 的通项公式；(Ⅱ)①.结合(Ⅰ)中求得的通项公式分组求和即可确定n T 的值； ②.利用作差法结合指数函数和一次函数增长速度的关系可得k 的值.【详解】(Ⅰ)设11n n a a q -=. 由已知得 53344122S a S a S =+++ 即 5341222S a S =+ 进而有()543122S S a -=. 所以53122a a =，即214q = ，则12q =±，由已知数列{}n a 是单调等比数列，且11.2a = 所以取12q =，数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵(12312nb na a a a =， ∴232222n ⨯⨯⨯⨯=()12222n n nb += 则()1n b n n =+.数列{}n b 的通项公式为()1n b n n =+. (Ⅱ)由(Ⅰ)得()11121n n n n c a b n n =-=-+ ①设n n p a =，{}n p 的前n 项和为n P .则2111112222n n n P =+++=-. 又设1111n n q b n n ==-+，{}n q 的前n 项和为n Q . 则1111111122311n Q n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以n n n T P Q =-= 112n -1111112n n n ⎛⎫--=- ⎪++⎝⎭ ②令1111112212n n n n T T n n ++-=--+=++ ()()()()11122212n n n n n n ++++-++.由于12n +比()()12n n ++变化快，所以令10n n T T +->得4n <. 即1234,,,T T T T 递增，而456,,n T T T T 递减.所以，4T 最大.即当4k =时，k n T T ≥【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和的方法，数列中最大项的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，AB AC =，,D E 分别为1AA 、1B C 的中点.（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知1B C 与平面BCD 所成的角为030，求二面角1D BC B --的余弦值. 【答案】（1）见证明（2）22【解析】 【分析】解法1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直； （2）设AD a =，利用1B C 与平面BCD 所成的角为030得到a 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法2：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，易证AF ⊥平面11BCC B ，再证明DE AF ,可得DE ⊥平面11BCC B（2）设AD a =，利用1B C 与平面BCD 所成的角为030得到a 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值. 解法3：（1）同解法2（2）设12AA a =，利用三棱锥1B BDC -等体积转化，得到1B 到面BCD 的距离，利用1B C 与平面BCD 所成的角为30︒得到1B C 与d 的关系，解出a ，在两个平面分别找出,DF EF 垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值. 【详解】解法1：（1）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设1AB =，AD a =，则()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B a ， ()0,0,D a ，()11,0,2B a ，11,,22E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,0BC =-，()11,1,2B C a =--． 因为0DE BC ⋅=，10DE BC ⋅=，所以DE BC ⊥，1DE B C ⊥，BC ⊂面11BCC B ，1B C ⊂面11BCC B ，1BC B C B ⋂= 于是DE ⊥平面11BCC B ．（2）设平面BCD 的法向量()000,,n x y z =， 则0n BC ⋅=，0n BD ⋅=，又()1,1,0BC =-，()1,0,BD a =-，故000000x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =，得11,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，()11,1,2B C a =--，所以1cos ,sin30n B C =︒，11n B C n B C⋅∴=⋅(122=+，解得22a =，(1,1,2n =． 由（1）知平面1BCB 的法向量11,,022AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2112cos ,21nAF n AF n AF+⋅==⋅，所以二面角1D BC B --的余弦值为 解法2：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ,AB AC = ∴ AF BC ⊥，1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC∴ 1BB AF ⊥，而BC ⊂平面11BCC B ,1B B ⊂平面11BCC B ,1BC B B B ⋂=∴ AF ⊥平面11BCC B ．E 为1B C 中点，∴ 1EF BB ，112EF BB =， ∴ EF DA ，EF DA ＝，∴四边形ADEF 为平行四边形， ∴ AF DE ．∴ DE ⊥平面11BCC B ．（2）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B a ，则()0,0,D a ，()11,0,2B a ，11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设平面BCD 的法向量()000,,n x y z =， 则0n BC ⋅=，0n BD ⋅=，又()1,1,0BC =-，()1,0,BD a =-，故000000x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =，得11,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，()11,1,2B C a =--，所以1|cos ,)|sin30n BC <>=︒，11n B C n B C⋅∴=⋅()22121242a a =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，解得2a =，(1,1,2n =． 由（1）知平面1BCB 的法向量11,,022AF ⎛⎫=⎪⎝⎭，211cos ,1n AF n AF n AF+⋅==⋅所以二面角1D BCB --的余弦值为解法3： （1）同解法2．（2）设1AB AC ==，12AA a =，则BC =2AF =,BD DC ==DF ∴==12BDCSBC DF ∴=⋅=，1112BCB SBB BC =⋅=， D 到平面1BCB距离DE=，设1B 到面BCD 距离为d ，由11B BDC D BCB V V --=得11133BCB BDC S DE Sd ⋅=⋅，即11323d ⋅= d =．因为1BC 与平面BCD 所成的角为30︒， 所以12sin30d B C d===︒，而在直角三角形1B BC中1B C ===，解得2a =．因为AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ,所以AF BC ⊥，EF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B 所以EF BC ⊥，所以BC ⊥平面DEFA ， DF ⊂平面DBC ,EF ⊂平面1B BC所以EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角， 而22DA AF ==,可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒， 所以二面角1D BC B --的余弦值为22．【点睛】本题考查线面垂直的证明，利用几何关系构造方程求出边的大小，利用空间向量证明线面垂直，求二面角的大小，属于中档题.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,13（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过原点直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:260l x y -+=上存在点M ，使得MPQ 为等边三角形，求直线1l 的方程．【答案】（Ⅰ）22182x y +=（Ⅱ）y=0或y=23x 【解析】 【分析】（Ⅰ）列a,b,c 的方程组求解即可求得方程；（Ⅱ）当1l 的斜率k=0时符合题意；当1l 的斜率k ≠0时，设直线1:,l y kx =与椭圆联立，求得P ，Q 坐标，进而求得PO ，设直线1l 的中垂线方程：1y x k=-,求其与2l 的交点M,由 MPQ 为等边三角形,得到MO =解方程求得k 值即可【详解】（Ⅰ）由题222224112a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩解得a=,∴椭圆C 的方程为22182x y +=（Ⅱ）由题，当1l 的斜率k=0时，此时直线2l :x y 0-+=与y 轴的交点（0，满足题意； 当1l 的斜率k ≠0时，设直线1:,l y kx =与椭圆联立22182y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2214k x+=8,22814x k=+,设P （00x y ，）,则Q （00x y --，）,222002288 ,,1414k x y PO k k ∴==∴==++又PQ 的垂直平分线方程为1y x k =-，由10y x k x y ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, M ⎛∴ ⎝⎭,MO ∴=, ∵MPQ 为等边三角形,MO ∴==解得k=0(舍去)，k=23,∴直线1l 的方程为y=23x 综上可知，直线1l 的方程为y=0或y=23x 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查方程求法，弦长公式，等边三角形的应用，准确转化与化归，熟练计算是关键，是中档题22.已知函数()ln(1)1xf x e x ax x =--+-． （1）若0a =，证明：()0f x ≥．（2）若函数()f x 在0x =处有极大值，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）12a > 【解析】 【分析】（1）求出导函数，()1xf x e =-'，讨论单调性得最值，即可证明； （2）分析极大值点左右两侧导数值的符号，分类讨论即可得解. 【详解】（1）若0a =，()1xf x e x =--，()1x f x e =-'，由()0f x '>得0x >，由由()0f x '<得0x <，所以()1xf x e x =--在,0单调递减，在0,单调递增，所以()()100x f x e x f =--≥=恒成立；（2）()ln(1)1xf x e x ax x =--+-，()1,x ∈-+∞，()1ln(1)1x x f x e a x x ⎛⎫'=-++ ⎪+⎝⎭-，0(0)100f e a -'=-⨯=，函数()f x 在0x =处有极大值， 即1()1ln(1)1ln(1)111xxx f x e a x e a x x x ⎛⎫⎛⎫'=-++=-++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝-⎭-， 在0x =处左正右负，且在0x =处连续， 必存在0ε>，(),x εε∈-，必有(),0x ε∈-，()0f x '>，()0,,()0x f x ε'∈<，记()2l 1()11xf x e a x x ⎛⎫''=-+⎪ ⎪++⎝⎭， 若()2l 10,()011xa f x e a x x ⎛⎫''≤=-+>⎪ ⎪++⎝⎭恒成立，则()1ln(1)1xx f x e a x x ⎛⎫'=-++⎪+⎝⎭-在定义域单调递增， 0,()(0)0x f x f ''>>=，不合题意，舍去；若()()221l 1l 10,0,2,2211111,xa x e a a x x x x ⎛⎫<≤>+<-+>- ⎪ ⎪++++⎝⎭> ()2l 1()12011xf x e a a x x ⎛⎫''=-+>-≥ ⎪ ⎪++⎝⎭，()f x '在()0,x ∈+∞上单调递增， 即()0,,()(0)0x f x f ''∈+∞>=，不合题意，舍去；当()21l 1,()211xa f x e a x x ⎛⎫''>=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭单调递增， (0)120f a ''=-<，必存在0ε>，使得当(),x εε∈-时，()0f x ''<，此时()f x '在(),x εε∈-单调递减，0(0)100f e a -'=-⨯=必有(),0x ε∈-，()0f x '>，()0,,()0x f x ε'∈<，即函数()f x 在(),0x ε∈-递增，在()0,x ε∈递减，即函数()f x 在0x =处有极大值， 综上所述：12a >【点睛】此题考查利用导函数证明不等式，通过导函数讨论单调性分析函数极值最值问题，涉及分类讨论，第二问若能利用极大值点二阶导性质分析，只需解一个不等式即可得解，可以减少计算量，但是需要再去证明.。
2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科数学试卷-学生用卷
2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第1题5分已知集合U ={0,1,2,3,4,5}，A ={2,4,5}，B ={0,2,4}，则A ∩∁U B =（ ）．A. {5}B. {2,4}C. {0,2,5}D. {0,2,4,5}2、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第2题5分已知sinα>0，cosα<0，则（ ）．A. sin2α>0B. cos2α<0C. tanα2>0D. sinα2<03、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第3题5分已知复数z =a +(a −1)i(a ∈R)，则|z |的最小值为（ ）．A. 12B. √22C. √32D. 14、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第4题5分直线y =2x −1被过点(0,1)和(2,1)，且半径为√5的圆截得的弦长为（）．A. √1055B.2√1055 C.2√1455 D. 2√1055或2√14555、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第5题5分已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（ ）．A. √52B. √53C. √104D. 126、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第6题5分已知双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1（a >0，b >0）的焦点F (c,0)到渐近线的距离为 √32c ，且点(2,√3)在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）．A. x 29−y 23=1 B. x 212−y 23=1 C. x 23−y 212=1D. x 23−y 29=17、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第7题5分异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10=1×23+0×22+1×21+0×20，9=1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9=1010∧1001=0011，现有运算12∧m =1100∧n =0001，则m 的值为（ ）．A. 7B. 9C. 11D. 138、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第8题5分已知奇函数f(x)的定义域为R ，且满足f (2+x )=f (2−x )，以下关于函数f(x)的说法： ①f(x)满足f (8−x )+f (x )=0；②8为f(x)的一个周期；③f(x)=sinπx 4是满足条件的一个函数；④f(x)有无数个零点．其中正确说法的个数为（ ）．A. 1B. 2C. 3D. 49、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第9题5分已知三棱锥P −ABC 的高为1，底面△ABC 为等边三角形，PA =PB =PC ，且P ，A ，B ，C 都在体积为32π3的球O 的表面上，则该三棱锥的底面△ABC 的边长为（ ）． A. 2√33B. √3C. 3D. 2√310、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第10题5分2020~2021学年广东深圳盐田区深圳外国语学校高三上学期开学考试理科第8题5分甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）．A. 5111024B. 12C. 5131024D. 25751211、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第11题5分若P(n)表示正整数n的个位数字，a n=P(n2)−P(2n)，数列{a n}的前n项和为S n，则S2021=（）．A. −1B. 0C. 1009D. 101112、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第12题5分已知函数f(x)=e x ln|x|，a=f(−ln3)，b=f(ln3)，c=f(3e)，d=f(e3)，则a，b，c，d的大小顺序为（）．A. a>b>c>dB. d>c>b>aC. c>d>b>aD. c>d>a>b二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第13题5分若向量a →，b →满足a →=(cosθ,sinθ)(θ∈R )，|b →|=2，则|2a →−b →|的取值范围为 ．14、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第14题5分在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为 ．15、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第15题5分已知等差数列{a n }满足a 2=3，a 3是a 1与a 9的等比中项，则∑n i=1a 2i 的值为 ．16、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第16题5分在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，AD +AA 1=2，E 为棱C 1D 1上任意一点，给出下列四个结论：①BD 1与AC 不垂直；②长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1外接球的表面积最小为3π；③E 到平面A 1B 1D 的距离的最大值为√22；④长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第17题12分2020~2021学年3月江苏无锡滨湖区辅仁高级中学高一下学期月考第19题在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，△ABD 为等边三角形，BD =2，AC =√7，BC =1．(1) 求∠CBD的大小．(2) 求△ADE的面积．18、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第18题12分2020~2021学年江苏南京秦淮区南京市第一中学高二下学期期末第19题为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人，为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理．根据选课数据得到，选择A组合的概率为35，选择B组合的概率为15，选择C组合的概率为15，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．(1) 求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率．(2) 记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．19、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第19题12分如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD//BC，AB=AD，BC=2AD，P为CF的中点．(1) 证明：DP//平面ABFE．(2) 求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．20、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第20题12分已知曲线C的方程为√(x+1)2+y2+√(x−1)2+y2=4．(1) 求曲线C的离心率．(2) 设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：|PF||AB|为定值．21、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第21题12分已知函数f(x)=x+alnx，g(x)=x2e x，a∈R．(1) 求函数f(x)的单调区间．(2) 当a=2时，方程g(x)=mf(x)有两个实根，求实数m的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）【选修4-4：坐标系与参数方程】22、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第22题10分在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+2cosαy=1−2sinα（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22b(ρ⩾0,0⩽θ<2π,b∈R)．(1) 求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程．(2) 若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2021年河北衡水桃城区衡水中学高三二模理科第23题10分已知函数f(x)=|2x−a|+|x+b|，a，b∈R．(1) 当a=4，b=1时，求不等式f(x)⩽9的解集．(2) 当ab>0时，f(x)的最小值为1，证明|1a +2b|⩾92．1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 B;4 、【答案】 B;5 、【答案】 C;6 、【答案】 D;7 、【答案】 D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 C;10 、【答案】 A;11 、【答案】 C;12 、【答案】 B;13 、【答案】[0,4];14 、【答案】48;n(n+1);15 、【答案】3n或3216 、【答案】②③④;17 、【答案】 (1) π．3;(2) 2√3．3;18 、【答案】 (1) 18．125;(2) 分布列为．数学期望为65;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √6．6;20 、【答案】 (1) 1．2;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) 当a⩾0时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(−a,+∞)，单调递减区间为(0,−a)．;(2) (e,+∞)．;22 、【答案】 (1) 曲线C1的普通方程为(x−1)2+(y−1)2=4，C2的直角坐标方程x−y−b=0．;(2) [−3√2,3√2]．;23 、【答案】 (1) [−2,4]．;(2) 证明见解析．;。
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷(二十)数学(理)试题
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷（二十）数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若2z i =+，则z zz z-=（ ） A.85i B.2455i - C. 85i -D.2455i + 【答案】A 【解析】 【分析】求出共轭复数2z i =-，根据复数运算法则()()2222222224i i z z i i z z i i i +--+--=-=-+-即可得解.【详解】2z i =+，2z i =-，()()222222282245i i z z i i i z z i i i +--+--=-==-+-.故选：A【点睛】此题考查复数的概念辨析和基本运算，关键在于熟练掌握复数的运算法则，根据法则求解. 2.已知集合(){}2lg 10A x x x =-->，{}03B x x =<<，则A B =（ ）A. {}01x x << B. {}{}10x x x x <-⋃> C. {}23x x << D. {}{}0123x x x x <<⋃<<【答案】C 【解析】 【分析】根据对数不等式解法求出解集得到A ，根据交集运算即可得解. 【详解】(){}{}22lg 1011A x x x x x x =-->=-->()(){}()()210,12,x x x =-+>=-∞-+∞，{}03B x x =<<所以A B ={}23x x <<.故选：C【点睛】此题考查集合的交集运算，关键在于准确求解对数型不等式和一元二次不等式. 3.设非零向量a ，b 满足3a b =，1cos ,3a b =，()16a a b ⋅-=，则b =（ ）A.B.C. 2D.【答案】A 【解析】 【分析】由()16a a b ⋅-=可得()0⋅-=a a b ，利用数量积的运算性质结合条件可得答案. 【详解】||3||a b =，1cos ,3a b 〈〉=. 2222()9||||8||16a a b a a b b b b ∴⋅-=-⋅=-==，||2b ∴=.故选：A【点睛】本题考查利用向量垂直其数量积为零求向量的模长，属于中档题.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，几何体1ABCDEC 的侧视图与俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据侧视图和俯视图特征判定几何体，找出正投影，即可得解. 【详解】结合俯视图和侧视图，根据几何体特征，该几何体图中1AED BCC -，正投影为1EDCC ，ABE 与1EBC 不在同一平面， 所以正视图为A 选项的图形. 故选：A【点睛】此题考查三视图的识别，关键在于根据俯视图侧视图结合几何体辨析正视图，易错点在于对几何体的棱BE 考虑不准确.5.设双曲线2213y x -=，22125x y -=，22127y x -=的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（ ）A. 321e e e <<B. 312e e e <<C. 123e e e <<D. 213e e e <<【答案】D 【解析】 【分析】已知双曲线标准方程，根据离心率的公式，直接分别算出1e ，2e ，3e ，即可得出结论.【详解】对于双曲线2213y x -=，可得222221,3,4a b c a b ===+=，则22124c e a==，对于双曲线22125x y -=，得222222,5,7a b c a b ===+=，则222272c e a ==，对于双曲线22271x y -=，得222222,7,9a b c a b ===+=，则223292c e a ==，可得出，221322e e e <<，所以213e e e <<. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的标准方程和离心率，属于基础题. 6.若24log log 1x y +=，则2x y +的最小值为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件有24(0,0)xy x y =>>，利用均值不等式有2224x y x y +=可得到答案.【详解】因为()2224444log log log log log 1+=+==x y x y x y ， 所以24(0,0)xy x y =>>，则2224x y x y +=，当且仅当22x y ==时，等号成立，故2x y +的最小值为4. 故选：C【点睛】本题考查对数的运算性质和利用均值不等式求最值，属于中档题.7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即10CD=尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设BACθ=∠，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③2 tan23θ=；④17tan47πθ⎛⎫+=-⎪⎝⎭.其中所有正确结论的编号是（）A. ①③B. ①③④C. ①④D. ②③④【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理求出BC的值，可得tanBCABθ=，再利用二倍角的正切公式求得tan2θ，利用两角和的正切公式求得tan4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【详解】设BC x=，则1AC x=+，∵5AB=，∴2225(1)x x+=+，∴12x=.即水深为12尺，芦苇长为12尺；∴12tan5BCABθ==，由2θ2tan2tanθθ1tan2，解得2tan23θ=（负根舍去）.∵12tan5θ=，∴1tan17tan41tan7πθθθ+⎛⎫+==-⎪-⎝⎭.故正确结论的编号为①③④.故选：B.【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题.8.在外国人学唱中文歌曲的大赛中，有白皮肤选手6人，黑皮肤选手6人，黄皮肤选手8人，一等奖规定至少2个至多3个名额，且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤色，则一等奖人选的所有可能的种数为（ ） A. 420 B. 766 C. 1080 D. 1176【答案】D 【解析】 【分析】分别计算一等奖两个名额和三个名额的情况即可得解.【详解】一等奖两个名额，一共222220668132C C C C ---=种， 一等奖三个名额，一共3333206681044C C C C ---=种，所以一等奖人选的所有可能的种数为1176. 故选：D【点睛】此题考查计数原理的综合应用，需要熟练掌握利用组合知识解决实际问题，准确分类，结合对立事件求解.9.已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. 曲线()y f x =关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. ()f x 的最大值为2 D. 曲线()y f x =关于6x π=对称【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得()26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据三角函数的性质逐一判断.【详解】()1sin 2sin 222226f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，则T π=. ()f x当6x π=时，2666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故曲线()y f x =关于6x π=对称，当3x π=时，23306f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故曲线()y f x =不关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称.【点睛】本题考查三角函数的性质，其中对称轴和对称中心可代入判断，是基础题. 10.函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】将原题转化为求方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，根据函数奇偶性，考虑当0x >时方程的根的个数，根据对称性即可得解.【详解】函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点个数，即方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，考虑()()22lg ,2||g x x h x x x ==-+，定义在()(),00,-∞+∞的偶函数，当0x >时，()()22lg ,2g x x h x x x ==-+，作出函数图象：两个函数一共两个交点，即当0x >时22lg 2||x x x =-+有两根， 根据对称性可得：当0x <时22lg 2||x x x =-+有两根， 所以22lg 2||x x x =-+一共4个根，即函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为4.故选：C【点睛】此题考查函数零点问题，转化为方程的根的问题，根据奇偶性数形结合求解.11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 上一点，且2AB =，若二面角11B BC E --为45︒，则四面体11BB C E 的外接球的表面积为（ ） A.172π B. 12π C. 9πD. 10π【解析】 【分析】连接11B C 交1BC 于O ，可证1B OE ∠为二面角11B BC E --的平面角，即可求得11,B E B O 的长度，即可求出外接球的表面积.【详解】解：连接11B C 交1BC 于O ，则11B O BC ⊥， 易知111A B BC ⊥，则1BC ⊥平面1B OE ， 所以1BC EO ⊥，从而1B OE ∠为二面角11B BC E --的平面角，则145B OE ︒∠=.因为2AB =，所以112B E BO ==， 故四面体11BB C E 的外接球的表面积为22444102ππ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题考查二面角的计算，三棱锥的外接球的表面积计算问题，属于中档题. 12.若曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围为（ ） A. 427,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 427,0e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 427,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 4271,e ⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】 曲线()11xm y xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线⇔函数()11xm y xe x x =+<-+存在两个极值点⇔()()'2101x my x e x =+-=+在(),1-∞-上有两个解，即()31x m x e =+在(),1-∞-上有两异根，令()()()311x f x x e x =+<-，利用导数法可求得()f x 的值域，从而可得m 的取值范围.【详解】解：∵曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线， ∴函数()11xmy xe x x =+<-+的导函数存在两个不同的零点， 又()()'2101x my x e x =+-=+，即()31x m x e =+在(),1-∞-上有两个不同的解，设()()()311x f x x e x =+<-，()()()2'14x f x x e x =++， 当4x <-时，()'0fx <；当41x -≤<-时，()'0f x >，所以()()4min 274f x f e=-=-， 又当x →-∞时，()0f x →，当1x →-时，()0f x →， 故427,0m e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查推理与运算能力，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.若x ，y 满足约束条件212x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，则yz x =的取值范围为________．【答案】1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】 作出可行域，yz x=几何意义为可行域内的点(),x y 与点()0,0连线的斜率，根据图形观察计算可得答案. 【详解】作出可行域，如图所示，则1 31232OAz kyx≥===，故z的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查分式型目标函数的最值问题，关键是画出可行域，是基础题.14.某工厂共有50位工人组装某种零件.下面的散点图反映了工人们组装每个零件所用的工时（单位：分钟）与人数的分布情况.由散点图可得，这50位工人组装每个零件所用工时的中位数为___________.若将500个要组装的零件分给每个工人，让他们同时开始组装，则至少要过_________分钟后，所有工人都完成组装任务.（本题第一空2分，第二空3分）【答案】(1). 3.3；(2). 33.14【解析】【分析】①根据工时从小到大依次分析得出工时3.4人数16，工时3.5人数8，工时3.3人数12，即可得到中位数；②计算出工时平均数即可得解.【详解】①根据散点图：工时3.0人数3，工时3.1人数5，工时3.2人数6，工时3.3人数12，工时3.4人数16，工时3.5人数8，所以工时的中位数为3.3；②将500个要组装的零件分给每个工人，让他们同时开始组装，至少需要时间：3561216810 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.533.14505050505050⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⎪⎝⎭故答案为：①3.3；②33.14【点睛】此题考查求平均数和中位数，关键在于准确读懂题意，根据公式计算求解. 15.设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知3A π=，1b =，且()()22222sin4sin 8sin sin sin A B c B C A +=+-，则a =______.【答案】2 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边公式化简()()22222sin 4sin 8sin sin sin A B c B C A +=+-，再运用余弦定理得出2248cos 2a b A +=，即可求出a . 【详解】因为()()22222sin 4sin 8sin sin sin A B c B C A +=+-， 所以()()2222248a b c bc a +=+-，又3A π=，1b =，所以()()2222248a bbc bc a +=+-，所以22222488cos 422a b b c a A bc ++-=⨯==，则2442a +=，解得2a =.故答案为：2.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题.16.设()()2,02,0A B -，，若直线()0y ax a =>上存在一点P 满足||||6PA PB +=，且PAB △的内心到x，则a =___________.【解析】 【分析】由题意可得点P 为直线(0)y ax a =>与椭圆22195x y +=的交点,直线方程与椭圆方程联立可得2224595a y a =+，由PAB △的内心到x ，即PAB △的内切圆的半径20r =，由等面积法可求出参数a 的值.【详解】点P 满足||||6PA PB +=,则点P 在椭圆22195x y+=上.由题意可得点P 为直线(0)y ax a =>与椭圆22195x y +=的交点.联立y ax =与22195x y +=，消去y 得224595x a =+，则2224595a y a =+. 因为APB △的内心到x，所以PAB △的内切圆的半径r =. 所以APB △的面积为11||||(||||||)22AB y r AB PA PB ⨯⨯=⨯⨯++，即222254552527||,2954440a y r y r a ====⨯+，解得23a =，又0a >，则a =【点睛】本题考查考查直线与椭圆的位置关系，根据椭圆的焦点三角形的相关性质求参数，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设等差数列{}n n a b -的公差为2，等比数列{}n n a b +的公比为2，且12a =，11b =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}22nn a +的前n 项和nS．【答案】（1）121322n n n a --+⨯=（2）n S =2525n n ⨯+- 【解析】 【分析】（1）根据题意可得21nna b n ，132n n n a b -+=⨯，联立解方程可得数列{}n a 的通项公式；（2）通过分组求和法可得数列{}22nn a +的前n 项和nS.【详解】解：（1）因为12a =，11b =，所以111a b -=，113a b +=，依题意可得，()12121n n a b n n -=+-=-， 132n n n a b -+=⨯，故121322n n n a --+⨯=；（2）由（1）可知，1222152n n n a n -+=-+⨯，故()()113215122n n S n -=+++-+⨯+++()()21215215252n n n n n +-=+⨯-=⨯+-.【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，考查分组法求和，是基础题.18.某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验.已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元. （1）设1箱零件人工检验总费用为X 元，求X 的分布列；（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元.现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由.【答案】（1）详见解析（2）应该选择人工检验，详见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，工人抽查的4个零件中，分别计算出4个都是正品或者都是次品，4个不全是次品的人工费用，得出X 的可能值，利用二项分布分别求出概率，即可列出X 的分布列；（2）由（1）求出X数学期望EX ，根据条件分别算出1000箱零件的人工检验和机器检验总费用的数学期望，比较即可得出结论.【详解】解：（1）由题可知，工人抽查的4个零件中，当4个都是正品或者都是次品，则人工检验总费用为：248⨯=元， 当4个不全次品时，人工检验总费用都为：426220⨯+⨯=元， 所以X 的可能取值为8，20，44(8)0.80.20.4112P X ==+=，(20)10.41120.5888P X ==-=，则X的分布列为X8 20 P0.41120.5888（2）由（1）知，80.4112200.588815.0656EX =⨯+⨯=，所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为100015065.6EX =元， 因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.610100016000⨯⨯=元， 且1600015065.6>，所以应该选择人工检验.【点睛】本题考查离散型随机变量的实际应用，求离散型随机变量概率、分布列和数学期望，属于基础题. 19.如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .（1）证明：PO ⊥平面ABCD .（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）2211【解析】 【分析】（1）通过证明BE ⊥平面APC ，得到BE PO ⊥，再证PO AC ⊥即可证得PO ⊥平面ABCD .（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、直线的方向向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AP CD ∴⊥，//,AD BC 12BC AD =，E 为AD 的中点，则//BC DE 且BC DE =. ∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，AP BE ∴⊥.又,AB BC ⊥12AB BC AD ==，且E 为AD 的中点，∴四边形ABCE 为正方形，BE AC ∴⊥，又,APAC A =BE ∴⊥平面APC ，PO ⊂平面APC ，则BE PO ⊥.AP ⊥平面,PCD PC ⊂平面PCD ，AP PC ∴⊥，又22AC AB AP ==，PAC ∴∆为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，PO AC ∴⊥且,ACBE O =PO ∴⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示不妨设1OB =，则(1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),P (2,1,0)D -, 则(1,1,0),BC =-(1,0,1),PB =-(2,1,1)PD =--. 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PB n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,20,x z x y z -=⎧⎨-+-=⎩即,3,x z y z =⎧⎨=⎩令1z =，得(1,3,1)n =. 设BC 与平面PBD 所成角为θ， 则()2222211310122sin cos ,1113111BC n θ-⨯+⨯+⨯=<>==++-+. 【点睛】本题考查线面垂直，线面角的计算，属于中档题. 20.已知函数3()f x x ax =+.（1）讨论()f x 在(),a +∞上的单调性；（2）若3a ≥-，求不等式()()2624224361282f x x x x x a x -+<+++++的解集.【答案】（1）当0a ≥时，()0f x '，则()f x 在(),a +∞上单调递增; 当13a =-时,()f x 的单调递减区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭;当13a <-时()f x 的单调递减区间为⎛ ⎝，单调递增区间为,a ⎛ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭;当103-<<a 时()f x 的单调递减区间为a ⎛ ⎝，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭；（2）(22-+. 【解析】 【分析】（1）2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <讨论得出函数()f x 的单调性.(2) 原不等式等价于()()222432f x x f x -+<+,又222432(1)11x x x -+=-+≥，221x +>，当3a ≥-时，22()333f x x a x '=+≥-，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，从而可得出答案.【详解】（1）2()3f x x a '=+.当0a ≥时，()0f x '，则()f x 在(),a +∞上单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得x =.（i ）当13a =-时，a =， 令()0f x '<，得1133x -<<；令()0f x '>，得13x >.所以()f x 的单调递减区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭.（ii ）当13a <-时，a >， 令()0f x '<，得33a a x；令()0f x '>，得a x <<3a x .所以()f x的单调递减区间为⎛ ⎝，单调递增区间为,a ⎛ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭. （iii ）当103-<<a时，a <， 令()0f x '<，得a x <<()0f x '>，得3a x . 所以()f x的单调递减区间为a ⎛ ⎝，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭. （2）因为3a ≥-，所以22()333f x x a x '=+≥-，当1x ≥时，()0f x '≥，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增.因为()()()()3642222261282222x x x a x x a x f x +++++=+++=+，所以原不等式等价于()()222432f x x f x -+<+.因为222432(1)11x x x -+=-+≥，221x +>，所以222432x x x -+<+，解得22x <<+(22-+.【点睛】本题考查讨论函数的单调性和根据函数的单调性解不等式，属于中档题. 21.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于P Q ，两点.（1）若l 过点F ，抛物线C 在点P 处的切线与在点Q 处的切线交于点G .证明：点G 在定直线上. （2）若2p =，点M在曲线y =MP MQ ，的中点均在抛物线C 上，求MPQ 面积的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）4⎡⎢⎣. 【解析】 【分析】(1) 设211,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x Q x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设直线l 的方程为2p y kx =+，与抛物线方程联立可得212x x p =-，求出抛物线在点P 处的切线方程，和在Q 点处的切线方程，联立可得答案.(2) 设()00,M x y ，,MP MQ 的中点分别为21014,22x y x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，220204,22x y x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,可得1202x x x +=，212008x x y x =-，MN x ⊥轴，||MN =200334x y =-，12x x -=MPQ的面积)32212001||424S MN x x x y =⋅-=-，从而可求出三角形的面积的范围.【详解】（1）证明：易知0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设211,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x Q x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由题意可知直线l 的斜率存在，故设其方程为2py kx =+. 由222p y kx x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220x pkx p --=，所以212x x p =-.由22x py =，得22x y p =，x y p '=，则1PG x k p=，直线PG 的方程为()21112y x x p x x p -=-，即21102x x x y p p--=，① 同理可得直线QG 的方程为22202x x x y p p--=，② 联立①②，可得()()1212122x x x x x x y p--=.因为12x x ≠，所以1222x x py p ==-，故点G 在定直线2p y =-上.（2）解：设()00,M x y ，,MP MQ 的中点分别为210104,22x y x x⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，220204,22x y x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.因为, MP MQ 得中点均在抛物线C 上，所以12,x x 为方程22004422x y x x ++⎛⎫=⨯⎪⎝⎭的解， 即方程22000280xx x y x -+-=的两个不同的实根，则1202x x x +=，212008x x y x =-，()()220002480x y x ∆=-->，即204x y >，所以PQ 的中点N 的横坐标为0x ，则MN x ⊥轴. 则()()2221201212011||288MN x x y x x x x y ⎡⎤=+-=+--⎣⎦ 200334x y =-，12x x -==所以MPQ的面积)32212001||424S MN x x x y =⋅-=-. 由0y =()2200110x y y =--，所以()2220000044125x y y y y -=--+=-++，因为010y -，所以()201254y -++，所以MPQ面积的取值范围为4⎡⎢⎣. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的切线的相关问题，抛物线中三角形的面积的范围问题，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为21x y θθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若点P 的极坐标为()1,π，过P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB+的最大值． 【答案】（1）4cos 2sin ρθθ=-（2【解析】 【分析】（1）先将21x y θθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩中的θ消去得普通方程，再利用cos sin x y ρθρθ==，可得极坐标方程；（2）先求出AB 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得11PA PB+的最大值.【详解】解：（1）由21x y θθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，得()()22215x y -++=，即2242x y x y +=-，所以24cos 2sin ρρθρθ=-，即4cos 2sin ρθθ=-，故曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-. （2）因为P 的极坐标为()1,π，所以P 的直角坐标为()1,0-，故可设AB 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）.将1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入()()22215x y -++=，得()22sin 6cos 50t t αα+-+=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122sin 6cos t t αα+=-+，1250t t =>， 所以1112122sin 6cos 11115t t PA PB t t t t αα+-+=+=== 故11PA PB +. 【点睛】本题考查普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()32f x x kx =--.（1）若1k =，求不等式()31f x x ≤-的解集；（2）设函数()f x 的图象与x 轴围成的封闭区域为Ω，证明：当23k <<时，Ω的面积大于1615.【答案】（1）{}1x x ≥-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对不等式进行零点分段讨论求解；（2）求出函数与x 轴交点坐标，表示出三角形面积，根据23k <<求得面积即可得证.【详解】（1）若1k =，不等式()31f x x ≤-即：3231x x x --≤- 32310x x x ----≤， 当23x <时，23330,1x x x x -+--≤≥-，得213x -≤<， 当213x ≤≤时，32330,1x x x x -+--≤≤，得213x ≤≤， 当1x >时，32330,1x x x x --+-≤≥，得1x >，综上所述：1x ≥-即：不等式()31f x x ≤-的解集为{}1x x ≥-； （2）()()()232,332232,3k x x f x x kx k x x ⎧-->⎪⎪=--=⎨⎪--+≤⎪⎩， 该函数图象与x 轴围成的封闭区域为三角形， 其三个顶点为2222,,,0,,03333k A B C k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 23k <<，249k <<该三角形面积：12222333k S k k ⎛⎫=-⋅ ⎪-+⎝⎭ 22439k k=⨯- 2249939k k-+=⨯- 2494916113939415k ⎛⎫⎛⎫=-+>⨯-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 所以原命题得证.【点睛】此题考查求解绝对值不等式，利用零点分段讨论，根据三角形的面积证明不等式，关键在于准确求解顶点坐标，利用不等关系证明.。
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷(十六)数学(理)试题
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷（十六）数学（理科）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题：本题共12小题，每题5分，共60分1.已知集合(){}2log 5M x y x ==-，1,0N y y x x x ⎧⎫==+>⎨⎬⎩⎭，则M N ⋃（ ）. A. (),5-∞ B. [)2,+∞ C. [)2,5 D. ()5,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的含义可得{}5M x x =>，求出函数()1,0y x x x=+>的值域，可得{}2N y y =≥，再根据并集运算，即可求出结果.【详解】令-50x >，即5x >，故{}5M x x =>；当0x >时，12y x x=+≥，当且仅当1x =时等号成立，故{}2N y y =≥；故[)2,M N =+∞.故选:B.【点睛】本题主要考查了集合并集的运算，同时考查了对数的含义和函数值域的求法，属于基础题. 2.设232015z i i i i =++++，则2zi =+（ ） A.1255i + B. 2155i -C. 2155i -+ D. 1255i -+ 【答案】C 【解析】 【分析】 利用1230()n n nn i ii i n N *++++++=∈得到1z =-，再利用复数的除法求解即可.【详解】由题得234110i i i i i i +++=--+=，1230()n n nn i i i i n N *++++++=∈,因为2015=45033⨯+ 所以2320152311z i i i i i i i i i ==-=+++++-+=-，所以1222122(2)(2)555z i i i i i i i --=-=-=-=-++++- 故选：C【点睛】本题主要考查复数的除法和n i 的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()22log 43f x x x a =+++(a 为常数)，则()2f -＝（ ） A. -5 B. -7C. 5D. 7【答案】B 【解析】 【分析】首先根据()f x 在R 上的奇函数，得到2a =-，再由奇函数的性质(2)(2)f f -=-计算即可. 【详解】因为()f x 在R 上的奇函数，所以2(0)log 40f a =+=，即2a =-， 则2(2)(2)(log 862)7f f -=-=-+-=-. 故选：B【点睛】本题主要考查奇函数的性质，熟练掌握奇函数的性质为解题的关键，属于简单题. 4.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则42S S ( )A. 3B. 9C. 10D. 13【答案】C 【解析】 【分析】设{}n a 的公比为0q >，由645,3,a a a -成等差数列，可得260,0q q q --=>，解得q ，再利用求和公式即可得结果.【详解】设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >， 满足645,3,a a a -成等差数列，()2465446,6,0a a a a a q q q ∴=-∴=->， 260,0q q q ∴--=>，解得3q =，则()()4124221313131103131a S S a --==+=--，故选C. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.5.已知函数()22cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择. 【详解】()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥因此当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，()()00f x f ''<=； 故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题. 6.设(3)n x x +的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若17480M N -=，则展开式中含3x 项的系数为（ ） A. 40 B. 30C. 20D. 15【答案】D 【解析】 由，得．，令，得．故展开式中含项的系数为,选D.点睛：二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者是指组合数，而后者是字母外的部分.前者只与n 和k 有关，恒为正，后者还与,a b 有关，可正可负.通项是第1r +项，不是第r 项. 7.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种【答案】D 【解析】4项工作分成3组,可得：24C=6， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：36363A ⨯=种．故选D.8.某几何体的三视图如图所示，则它的最长棱长是（ ）A. 2B.6 C. 22D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，则问题得解. 【详解】由三视图还原几何体如下所示：容易知：2,2,2,2,22,6AB BD BC CD AD AC ======故最长棱长是22AD =故选：C .【点睛】本题考查由三视图还原几何体，属基础题. 9.4tan10tan 202tan 40tan 70︒︒︒︒++-的值为（ ） A. 0 B. 1C. 1-D.3【答案】A 【解析】 【分析】先求出2cos 40tan 20tan 70sin 40-=-，再求出tan 202tan 40tan 70︒︒︒+-4tan10=-，即得解.【详解】由题得sin 20sin 70sin 20cos 20cos 402cos 40tan 20tan 70cos 20cos 70cos 20sin 20sin 20cos 20sin 40--=-=-==-所以2cos 402sin 404cos804sin10=sin 40co tan 202tan 40tan 7s 40sin80c s100o ︒︒︒++=----=. 4tan10=-，所以4tan10tan 202tan 40tan 70︒︒︒︒++-=0. 故选：A【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查二倍角的正弦余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.10.已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左、右焦点1F 、2F ，两曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若18PF =，椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则1221e e +的取值范围是（ ） A. ()4,+∞ B. ()4,7C. ()2,4D. ()4【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c ，则22PF c =，利用双曲线的定义和三角形三边关系求得24c <<，然后利用【详解】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c ，则22PF c =，由椭圆和双曲线的定义可得12822822c a c a +=⎧⎨-=⎩，解得12440a c a c =+⎧⎨=->⎩，又因为2121PF F F PF +>，即48c >，解得2>c ，即24c <<，所以()12122218241214,7a a c c e e c c c+++-+===+∈， 故选：B ．【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线离心率倒数和取值范围的计算，根据题意得出半焦距的取值范围是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 11.已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A.2πB. 23π C. πD.43π【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，知当7π3x ω=时，π5π62x ω+=，由对称轴的性质可知122π3x x ω+=和238π3x x ω+=，即可求出w ，即可求出()f x 的最小正周期. 【详解】解：由于()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ， 当7π3x ω=时，π5π62x ω+=， ∴由对称轴可知1x ，2x 满足12πππ2662x x ωω+++=⨯， 即122π3x x ω+=. 同理2x ，3x 满足23ππ3π2662x x ωω+++=⨯，即238π3x x ω+=， ∴12310π5π233x x x ω++==，2ω=， 所以最小正周期为：2ππ2T ==. 故选：C .【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.12.存在两个正实数x ，y ，使得等式(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-，其中e 为自然对数的底数，则a 的范围为（ ）A. (,0)-∞B. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1(,0),e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．【详解】由(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-得(2)ln 0yx a y ex x+-=， 即1(2)ln 0y ya e x x+-=，即设yt x=，则0t >， 则条件等价为1(2)ln 0a t e t +-=， 即1(2)ln t e t a-=-有解，设()(2)ln g t t e t =-， 2()ln 1eg t t t'=+-为增函数， ()g e '2ln 11120ee e=+-=+-=， ∴当t e >时，()0g t '>，当0t e <<时，()0g t '<，即当t e =时，函数()g t 取得极小值，为()g e (2)ln e e e e =-=-， 即()g t g （e ）e =-，当0t →时，()(2)ln +g t t e t =-→∞，当x →+∞时，()(2)ln +g t t e t =-→∞. 若1(2)ln t e t a-=-有解，则1e a--，即1e a， 则0a <或1a e， 故选：D【点睛】本题主要考查方程有解问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键，综合性较强．二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分13.函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则12m n+的最小值为 【答案】8 【解析】∵函数log 11a y x =-+（）（0a ＞，且1a ≠）的图象恒过定点A ， ∴当2x =时，1y =，∴()21A ，，又点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0mn >，∴21m n +=，又0mn >， ∴0m >，0n >，∴()12124 248n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥（），（当且仅当122n m ==时取“=”），故答案为8.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 14.已知平面向量a ，b ，c 模长分别为1，2，4，且两两所成角相等，则||a b c ++=________【答案】7【解析】 【分析】设向量所成的角为α，由题意可知0α=︒或120α=︒，再利用2(||)a b c ++=222||||||2(a b c +++)a b a c b c ++求解.【详解】由向量a ，b ，c 两两所成的角相等，设向量所成的角为α， 由题意可知0α=︒或120α=︒.则2222(||)||||||2(a b c a b c ++=+++)a b a c b c ⋅+⋅+⋅212(||||cos ||||cos ||||cos )2128cos a b a c b c αααα=+⋅+⋅+⋅=+所以当0α=︒时，原式49=，此时||7a b c ++=. 当120α=︒时，原式7=，此时||7a b c ++=.故答案为：7【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠=，BA BC =，球心O 到平面ABC 的距离是32，则B 、C 两点的球面距离是______．【答案】π 【解析】试题分析：由已知，AC 是小圆的直径．所以过球心O 作小圆的垂线，垂足O'是AC 的中点．223232O'C (3)()2=-=2， ∴BC=3，即BC=OB=OC ．∴∠BOC=3π， 则B 、C 两点的球面距离=3π×3=π． 考点：球的几何特征，球面距离．点评：中档题，解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系．16.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为__________．【答案】1 【解析】 【分析】设|AF|=a ，|BF|=b ，连接AF 、BF ．由抛物线定义得2|MN|=a+b ，由余弦定理可得|AB|2=（a+b ）2﹣3ab ，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案． 【详解】设|AF|=a ，|BF|=b ，由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP| 在梯形ABPQ 中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b ． 由余弦定理得，|AB|2=a 2+b 2﹣2abcos60°=a 2+b 2﹣ab 配方得，|AB|2=（a+b ）2﹣3ab ， 又∵ab≤（2a b +）2， ∴（a+b ）2﹣3ab≥（a+b ）2﹣34（a+b ）2=14（a+b ）2得到|AB|≥12（a+b ）． ∴MN AB≤1，即MN AB的最大值为1．故答案为：1．【点睛】本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．三、解答题：本题共7小题，共70分 （一）必考题：共60分17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.(1)求n a 和n b 的通项公式； (2)求数列{n n a b ⋅}的前n 项和n T .【答案】（1）21n b n =-；（2）(45)25nn T n =-+【解析】试题分析：（1）求数列{}n a 的通项公式主要利用()()111{2n n n S n a S S n -==-≥求解，分情况求解后要验证1n =是否满足2n ≥的通项公式，将求得的{}n a 代入24log 3,n n a b =+整理即可得到n b 的通项公式；（2）整理数列{}n n a b ⋅的通项公式得()141?2n n n a b n -=-，依据特点采用错位相减法求和试题解析：（1）∵2*2,n S n n n N =+∈，∴当1n =时，113a S ==. 当2n ≥时，2212[2(1)(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-. ∵1n =时，13a =满足上式，∴*41,n a n n N =-∈.又∵*24log 3,n n a b n N =+∈，∴2414log 3n n b -=+，解得：12n n b -=. 故41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈. （2）∵41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈∴1122n n n T a b a b a b =+++01213272(45)2(41)2n n n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯①12123272(45)2(41)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯②由①-②得：1213424242(41)2n n n T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯12(12)34(41)2(54)2512n n n n n --=+⨯--⨯=-⨯--∴(45)25nn T n =-⨯+，*n N ∈.考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列{}n a 的通项公式主要利用11a S =，()12n n n a S S n -=-≥分情况求解后，验证1a 的值是否满足()12n n n a S S n -=-≥关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中()141?2n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和18.如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ππ∠=∠=，平面CDE ⊥平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DE EF BD ===.（1）证明：//DM 平面CEF .（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（210【解析】 【分析】（1）设AC 与BD的交点为O ，连接MO ，则有,,ODEF OM CE OD平面CEF ，OM平面CEF ，进而可证平面OMD ∥平面CEF ，即可证明结论；（2）由已知DE CD ⊥，平面CDE ⊥平面ABCD ，可得ED ⊥平面ABCD ，连接OF ，可证OF ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，确定,,,A B E F 坐标，求出平面AEF 的法向量，进而求出直线与平面所成角的正弦，再由三角函数关系，即可求出结论. 【详解】（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO . 因为OD EF ，OD ⊄平面,CEF EF ⊂平面CEF ，所以OD平面CEF .又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM ⊄平面,CEF CE ⊂平面CEF ，所以OM 平面CEF .又OMOD O =，所以平面OMD ∥平面CEF .又MD ⊂平面OMD ，故MD平面CEF .（2）因为DE DC ⊥，平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE ⋂平面,ABCD CD DE =⊂平面CDE ， 所以ED ⊥平面ABCD . 连接OF ，则,EFOD EF OD =，故四边形ODEF 是平行四边形， 故ED OF ∥，从而OF ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(3,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E-，(0,1,0),(3,0,1),(0,1,1)EF AF BF ==-=-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则030n EF y n AF x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则3z =，平面AEF 的一个法向量为(1,0,3)n =， 设直线BF 与平面AEF 所成角为θ，sin θ=||6|cos ,|||||n BF n BF n BF ⋅<>==⋅，210cos 1sin θθ=-=， 所以直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值为10.【点睛】本题考查空间线面位置关系，证明直线与平面平行、用向量法求直线与平面所成的角，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：等级不合格合格得分[20,40][40,60][60,80][80,100]频数 6 a 24 b（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；（2）其他条件不变在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的数学期望()Eξ.【答案】（1）64，65；（2）2335；（3）()12Eξ=.【解析】【分析】（1）先求出,,a b c的值，再利用频率分布直方图平均数和中位数的公式求解；（2）“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件A，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件B，再利用条件概率求解；（3）由题意可得ξ的所有可能取值为0，5，10，15，20，再求出其对应的概率，即得ξ的分布列和数学期望()Eξ.【详解】由题意知，样本容量为6600.00520=⨯，60(0.0120)12b=⨯⨯=，606122418a =---=，180.0156020c ==⨯.（1）平均数为(300.005500.015700.02900.01)2064⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，设中位数为x ，因为0.005200.01520⨯+⨯=0.40.5<，0.005200.015200.02200.80.5⨯+⨯+⨯=>， 所以(60,80)x ∈，则0.005200.01520(60)0.020.5x ⨯+⨯+-⨯=， 解得65x =.（2）由题意可知，分数在[60,80)内的学生有24人，分数在[80,100]内的学生有12人.设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件A ，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件B ，则242()363P A ==，242346()3635105P AB ⨯==⨯，所以()23(|)()35P AB P B A P A ==. （3）在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取10人，则“不合格”的学生人数为2410460⨯=，“合格”的学生人数为1046-=. 由题意可得ξ的所有可能取值为0，5，10，15，20444101(0)210C P C ξ===，314641024(5)210C C P C ξ===，224641090(10)210C C P C ξ===， 134641080(15)210C C P C ξ===，4641015(20)210C P C ξ===.所以ξ的分布列为24908015()0510152012210210210210E ξ=+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图计算平均数和中位数，考查条件概率计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知点P 在圆:O 229x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ =. （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设()()3,0,3,0G H -,过点()1,0F 的动直线l 与曲线 E 交于,A B (不同于,G H )两点.问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.【答案】(1)22198x y ;(2)是定值为12. 【解析】 【分析】(1)设()()00,,,M x y P x y ,根据432PQ MQ =,用,x y 表示00,x y ,代入229x y +=即可求出轨迹E 的方程.(2)设出直线方程,与轨迹E 的方程联立,由韦达定理求出交点坐标的关系,对斜率之比进行化简即可判断. 【详解】(1)解:设()()00,,,M x y P x y ,则()0,0Q x .()()000,,,PQ y MQ x x y ∴=-=--.432PQ MQ=)0004x x y ⎧=-⎪∴⎨-=-⎪⎩解得004x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩()00,P x y 在229x y +=上,229x ∴+=⎝⎭,整理得22198x y故动点M 的轨迹E 的方程为22198x y .(2)解:由题意知, l 的斜率不为0,则设:1l x my =+,()()1122,,,A x y B x y ,与曲线 E 方程联立得221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,整理得()228916640m y my ++-=则1212221664,8989m y y y y m m +=-=-++ ()12124my y y y ∴=+ 直线AG 的斜率1113y k x =+,直线BH 的斜率2223y k x =- 此时()()()()121211211212212112212232244213444442y x y my k my y y y y y k y x y my my y y y y y ---+-=====+++++ 所以直线AG 与BH 的斜率之比是定值,为12. 【点睛】本题考查了轨迹方程,考查了直线与椭圆的位置关系.对于过定点的直线问题,一般在设的时候,如果可以确定斜率存在,则可用点斜式;若可以确定斜率不为0,但不确定斜率存在与否,则可设直线方程为x ay b =+.本题难点是,有韦达定理找出()12124my y y y =+.21.已知函数()ln f x x x =. （1）若函数2()1()f x g x x x=-，求()g x 的极值； （2）证明：2()1x f x e x +<-.（参考数据：ln 20.69≈ ln3 1.10≈ 32 4.48e ≈ 27.39e ≈） 【答案】（1）见解析；（2）见证明 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （2）问题转化为证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，根据xlnx ≤x （x ﹣1），问题转化为只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立，令k （x ）＝e x ﹣2x 2+x ﹣1，（x ≥0），根据函数的单调性证明即可． 【详解】（1）()()21ln 1(0)f x x g x x x x x x=-=->，()22ln 'x g x x -=，当()20,x e ∈，()'0g x >， 当()2,x e ∈+∞，()'0g x <，()g x ∴在()20,e 上递增，在()2,e +∞上递减，()g x ∴在2x e=取得极大值，极大值为21e，无极大值. （2）要证f （x ）+1＜e x ﹣x 2． 即证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，先证明lnx ≤x ﹣1，取h （x ）＝lnx ﹣x+1，则h ′（x ）＝，易知h （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故h （x ）≤h （1）＝0，即lnx ≤x ﹣1，当且仅当x ＝1时取“＝”， 故xlnx ≤x （x ﹣1），e x ﹣x 2﹣xlnx ≥e x ﹣2x 2+x ﹣1， 故只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立，令k （x ）＝e x ﹣2x 2+x ﹣1，（x ≥0），则k ′（x ）＝e x ﹣4x+1，令F （x ）＝k ′（x ），则F ′（x ）＝e x ﹣4，令F ′（x ）＝0，解得：x ＝2ln2， ∵F ′（x ）递增，故x ∈（0，2ln2]时，F ′（x ）≤0，F （x ）递减，即k ′（x ）递减， x ∈（2ln2，+∞）时，F ′（x ）＞0，F （x ）递增，即k ′（x ）递增， 且k ′（2ln2）＝5﹣8ln2＜0，k ′（0）＝2＞0，k ′（2）＝e 2﹣8+1＞0，由零点存在定理，可知∃x 1∈（0，2ln2），∃x 2∈（2ln2，2），使得k ′（x 1）＝k ′（x 2）＝0，故0＜x ＜x 1或x ＞x 2时，k ′（x ）＞0，k （x ）递增，当x 1＜x ＜x 2时，k ′（x ）＜0，k （x ）递减，故k （x ）的最小值是k （0）＝0或k （x 2），由k ′（x 2）＝0，得＝4x 2﹣1，k （x 2）＝﹣2+x 2﹣1＝﹣（x 2﹣2）（2x 2﹣1），∵x 2∈（2ln2，2），∴k （x 2）＞0，故x ＞0时，k （x ）＞0，原不等式成立．【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题．（二）选考题：共10分 选修4-4：坐标系与参数方程22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,11,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为43sin 12cos ρθθρ=--，定点()6,0M ，点N 是曲线1C 上的动点，Q 为MN 的中点.（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与x 轴的交点为P ，与曲线2C 的交点为,A B ，若AB 的中点为D ，求PD 的长. 【答案】(1) (2233x y +-= (2) 332PD =【解析】试题分析：（1）求出曲线C 1的直角坐标方程为221243360x y x ++-+=，设点N （x′，y′），Q （x ，y ），由中点坐标公式得262x x y y''=-⎧⎨=⎩，由此能求出点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程．（2）P 的坐标为)3,0，设l 的参数方程为33,21,2x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）代入曲线2C 的直角坐标方程得(23330t t -++=，根据韦达定理，利用t 的参数意义得122t t PD +=即可得解. 试题解析：（1）由题意知，曲线1C的直角坐标方程为2212360x y x ++-+=.设点(),N x y ''，(),Q x y ，由中点坐标公式得262x x y y ''=-⎧⎨=⎩，代入2212360x y x ++-+=中，得点Q 的轨迹2C的直角坐标方程为(223x y +-=.（2）P的坐标为)，设l的参数方程为,1,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）代入曲线2C的直角坐标方程得：(2330t t -+=，设点,,A B D 对应的参数分别为123,,t t t ，则123t t +=123t t =，1232t t PD t +===23.已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=. （1（2）证明：1111118⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b c . 【答案】（1（2）见解析 【解析】 【分析】（12≤（12+12+12）（a +b +c ）＝3，即可得出结论． （2）将1a b c ++=代入所证等式的左边，利用基本不等式，证得结论. 【详解】（1）2≤（12+12+12）（a +b +c ）＝3，当且仅当13a b c ===取“=”.（2）111111111++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b c a b c a b c a b c a b c28+++=⋅⋅⋅⋅=b c a c a b bc a b c a b c当且仅当13a b c ===取“=” 【点睛】本题考查了基本不等式与柯西不等式的应用，利用柯西不等式时，关键是如何凑成能利用一般形式的柯西不等式的形式，属于中档题．。
2021届河北衡水中学新高三原创预测试卷(二十九)理科数学
2021届河北衡水中学新高三原创预测试卷（二十九）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集U ＝R ，A ＝{x|y ＝lg(x 2－x －6)}，B ＝{y|y ＝2x ，x<0}，则A ∪(UB)＝( )A.{x|x<－2或x ≥1}B.{x|x ≤0或x ≥1}C.{x|x<－2或x>3}D.{x|－2<x<3} 2．已知a 是实数，1a iz i-=+是纯虚数，则z 的虚部为 ( ) A ．1 B ．1- C ．i D ．i -3．“ln ln x y >”是“1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…，在数学上，斐波拉契数列{}n a 定义如下：121a a==，()123,n n na a a n n N--=+≥∈，随着n的增大，1nnaa+越来越逼近黄金分割510.618-≈，故此数列也称黄金分割数列，而以1na+、na为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是( ) A．20厘米B．19厘米C．18厘米D．17厘米5．设n S是等差数列{}n a的前n项和，若2413SS=，则36SS等于( )A．316B．13C．516D．7166.函数y＝e x sinx的大致图像为( )7．(错题再现）已知函数()()sin0f x x x=≥，方程()f x kx=恰有三个根，记最大的根为θ，则()21sin2θθθ+=( )A．2-B．12C．1 D．28．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为( ) A．27B．37C．821D．10219．(错题再现）设抛物线24y x=的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于,A B，点A 在第一象限，且32AF BF-=，则AFBF=( )A ．32B ．2C ．3D ．4 10．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边 长为1，则该几何体的外接球的表面积为( ) A ．16π B ．12π C ．9π D ．8π11.(错题再现）关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x的最小值为；②()f x 在[,2]ππ上单调递增；③函数()1y f x =-在[,]-ππ上有3个零点；④曲线()y f x =关于直线x π=对称.其中所有正确结论的编号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④12．已知梯形ABCD 满足,45AB CD BAD ∠=︒∥，以,A D 为焦点的双曲线Γ经过,B C 两点． 若7CD AB =，则双曲线Γ的离心率为( ) ABCD第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.）13.若某班40名同学某次考试数学成绩X(满分150分)近似服从正态分布N(90，σ2)，已知P(60<X<90)＝0.35，则可估计该班120分以上的人数约为 。
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2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十五）理科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}240P x x x =->，(){}2log 12Q x x =-<，则()RP Q =（ ）A. []0,4B. [)0,5C. (]1,4 D. [)1,5【答案】C 【解析】 【分析】先由二次不等式及对数不等式的解法求出集合P 、Q ，然后结合集合交、并、补的混合运算求解即可. 【详解】解：解不等式240x x ->，得4x >或0x <，即{4P x x =或}0x <， 即R C P ={}04x x ≤≤,解不等式2log (1)2x -<，得014x <-<，即15x <<，即{}15Q x x =<<，即()RP Q ={}14x x <≤=(]1,4，故选：C.【点睛】本题考查了二次不等式及对数不等式的解法，重点考查了集合交、并、补的混合运算，属基础题. 2.若复数z 满足()()2212z -=+i i ，则z =（ ）A. 3B.C. 2D.【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法及除法运算可得2z i =-+，然后求其模即可. 【详解】解：由()()2212z -=+i i ，则2(12)(34)(2)10522(2)(2)5i i i iz i i i i +-++-+====-+--+，所以z == 故选：B.【点睛】本题考查了复数的乘法及除法运算，重点考查了复数模的运算，属基础题. 3.在ABC 中，“·0AB BC ＞” 是“ABC 为钝角三角形”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由向量数量积和两向量夹角的定义，结合充分必要条件的定义，即可判断出结论；【详解】在△ABC 中，若·0AB BC ＞，则cos （π﹣B ）＞0，即cos B ＜0，B 为钝角，则△ABC 是钝角△；若△ABC 是钝角△，不一定B 角为钝角，则·0AB BC ＞不成立，所以“·0AB BC ＞” 是“ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：C.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法:1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 4.已知函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则该函数图象是由cos 2y x =的图象经过怎样的变换得到?（ ）A. 向左平移3π个单位长度 B. 向左平移6π个单位长度 C. 向右平移3π个单位长度D. 向右平移6π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式及三角函数图像的性质可得2sin 2cos(2)cos 2()633y x x x πππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，然后结合函数图像的平移变换求解即可.【详解】解：由函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则22T π=，即T π=， 则2ππω=，即2ω=，则sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 又2sin 2cos(2)cos 2()633y x x x πππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭， 又函数cos 2()3y x π=-的图象是由cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到，即函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是由cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到， 故选：C.【点睛】本题考查了诱导公式及三角函数图像的性质，重点考查了函数图像的平移变换，属基础题. 5.七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是（ ）A.38B.516C.716D.13【答案】C 【解析】 【分析】设大正方形的边长为4，阴影部分可看做一个等腰直角三角形和梯形，然后分别求出其面积，代入几何概型的概率公式求解.【详解】设大正方形的边长为4，则面积为4416⨯=，阴影部分：一部分可看做一个等腰直角三角形，直角边边长为221222242⨯=， 2，下底为222，面积为(1222232⨯=， 所以此点取自阴影部分的概率是4371616p +==. 故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，以及数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 6.已知sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ） A . 0B. 1C.22D.3【答案】A 【解析】 【分析】利用和差角公式可求得tan α的值，再利用二倍角的余弦公式结合弦化切的思想可求得cos2α的值.【详解】sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3113cos sin cos 2222αααα+=+，可得tan 1α=，222 22222cos sin1tancos2cos sin0cos sin1tanααααααααα--∴=-===++.故选：A.【点睛】本题考查三角求值，考查和差角公式、二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.142π+B.510122π++C.5101224π+++D.1244π++【答案】D【解析】【分析】根据三视图知几何体是一个四分子一圆锥与一个三棱锥的组合体，分别计算其表面积得解. 【详解】四分子一圆锥表面积1111212211442242Sππ+=+⨯+⨯⨯=+12112ABD BCDS S∆∆==⨯⨯=,13322222ACDS∆==所以组合体表面积为1131+1+1+=4+4224+++ 故选：D【点睛】本题考查三视图还原几何体求表面积问题.几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．8.在12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为（ ）A. 56B. 448C. 408D. 1792【答案】B 【解析】 【分析】由12n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，可得8n =，再结合812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为882182r r rr T C x --+=求解即可.【详解】解:由12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则26n n C C =,即268n =+=,则812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为88821881(2)()2r r r r r rr T C x C xx ---+==, 令822r -=-, 则=5r , 则该展开式中21x的系数为85582448C -=, 故选:B.【点睛】本题考查了二项式系数，重点考查了二项式展开式通项公式及指定项系数，属基础题.9.孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（ ）A. 132B. 133C. 134D. 135【答案】D 【解析】 【分析】列举出该数列的前几项，可知该数列{}n a 为等差数列，求出等差数列的首项和公差，进而可得出数列{}n a 的通项公式，然后求解满足不等式22021n a ≤≤的正整数n 的个数，即可得解. 【详解】设所求数列为{}n a ，该数列为11、26、41、56、，所以，数列{}n a 为等差数列，且首项为111a =，公差为261115d =-=， 所以，()()1111151154n a a n d n n =+-=+-=-， 解不等式22021n a ≤≤，即21542021n ≤-≤，解得21355n ≤≤， 则满足21355n ≤≤的正整数n 的个数为135， 因此，该数列共有135项. 故选：D.【点睛】本题考查数列项数的计算，求出数列的通项公式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 10.已知点()(),n n a n *∈N在函数ln y x =图象上，若满足12n a a a nSe e e m =+++≥的n 的最小值为5，则m 的取值范围是（ ） A. (]10,15 B. (],15-∞C. (]15,21D. (],21-∞ 【答案】A 【解析】 【分析】求得ln n a n =，进而可得出()1122n n n S n +=+++=，由题意可得出45S m S <≤，由此可得实数m 的取值范围.【详解】由于点()(),n n a n *∈N 在函数ln y x =图象上，则ln nan =，则n a e n =，所以，()121122n a a a n n n S e e e n +=+++=+++=， 由于满足12n a aan S e e e m =+++≥的n 的最小值为5，则45S m S <≤，所以，1015m <≤.因此，实数m 的取值范围是(]10,15. 故选：A.【点睛】本题考查参数取值范围的计算，考查了等差数列求和公式的应用，根据题意得出45S m S <≤是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.11.已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左、右焦点，过()1,0F c -作x 轴的垂线交双曲线于A 、B 两点，若12F AF ∠的平分线过点1,03M c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B.2 C. 3D.3【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，设1AF m =，可得22AF m a =+，根据角平分线定理可得1122AF MF AF MF =，可得出m 与a 的等量关系，再利用勾股定理可得出a 、c 的关系式，进而可求得双曲线的离心率. 【详解】设1AF m =，可得22AF m a =+，如下图所示：由于12F AF ∠的平分线过点1,03M c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则121122213423AMF AMF c S AF MF SAF MF c ====，即122m m a =+，12AF m a ∴==，224AF m a a =+=，在12Rt AF F △中，由勾股定理可得2222112AF AF F F =+，即()()()222422a a c =+，c ∴=，因此，椭圆的离心率为==ce a. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查了利用双曲线的定义求解焦点三角形问题，考查计算能力，属于中等题. 12.已知方程()2111x x x e ex x ae---+=-有三个不同的根，则实数a 的取值范围为（ ） A. ()1,e -B. 1,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. ()1,1-D. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 将等式变形为1111x x x xe ae--+=-，换元()1x x u x e -=，可得出()2110u a u a +---=，利用导数分析得出函数()1x xu x e-=的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】将等式()2111x x x e e x x ae---+=-变形1111x x x xe a e--+=-，令()1x xu x e -=，则11u u a+=-即()2110u a u a +---=， ()11x xu x--'=，令()0u x '=，得1x =，列表如下：所以，函数()1x x u x e-=的单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，函数()1x x u x e -=的极大值为()11u =，作出函数()y u x =的图象如下图所示：由于方程()2111x x x e ex x ae---+=-有三个不同的根，则()10,1u ∈，{}(]210,u ∈+∞，①当20u =时，则10a --=，得1a =-，关于u 的方程为220u u +=，解得12u =-，不合乎题意； ②当21u =时，则120a -=，得12a =，关于u 的方程为2230u u +-=，解得132u =-，不合乎题意； ③当()10,1u ∈，()2,0u ∈-∞时，由二次方程根的分布得()101110a a a --<⎧⎨+--->⎩，解得11,2a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.综上所述，实数a 的取值范围是11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究复合函数的零点问题，一般要将复合函数分解为内层函数和外层函数来进行分析，同时也考查了二次方程根的分布，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a 、b 满足：2a =，3b =，a 与b 夹角为120，则2a b +=_______. 【答案】7 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2a b +的值. 【详解】()22222244a b a ba ab b +=+=+⋅+224cos1204a a b b=+⋅+ 221242343282⎛⎫=+⨯⨯⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，因此，227a b +=. 故答案为：27.【点睛】本题考查平面向量模的计算，考查平面向量数量积的运算律和定义，考查计算能力，属于基础题. 14.已知正三棱锥P ABC -，23AB =，25PA =，则此三棱锥外接球的半径为_______. 【答案】52【解析】 【分析】作出图形，找出外接球球心的位置，根据几何体的结构特征列等式可求三棱锥P ABC -外接球的半径. 【详解】如下图所示：设点G 为ABC 的外心，则PG ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的外接球球心O 在直线PG 上，设其外接球的半径为R ， 由正弦定理得22sin3AB AG π==，224PG PA AG ∴-=，在Rt OAG 中，4OG PG R R =-=-，由勾股定理得222OA OG AG =+，即22224R R =+-，解得52R =. 故答案为：52. 【点睛】本题考查三棱锥外接球半径的计算，解题时要充分分析几何体的结构特征，找出球心的位置，通过几何体的结构特征列等式求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.15.已知定义域为R 的函数()2222020sin 2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为4，则λμ-=_______. 【答案】2- 【解析】 【分析】计算出()22020sin 2xxf x e xμλ=+++，利用函数()y f x =有最小值和最大值推导出0λ=，进而得出()()2f x f x μ+-=，可得出函数()y f x =的图象关于点()0,μ对称，进而可求得μ的值，由此可计算出λμ-的值.【详解】()22222020sin 2020sin 22x x xe e x x xf x e x xλλμμλ++=+=++++， 若0λ<，则函数()y f x =无最小值，不合乎题意； 若0λ>，则函数()y f x =无最大值，不合乎题意. 所以，0λ=，则()22020sin 2xf x xμ=++， 则()()()()222020sin 2020sin 222x x f x f x x x μμμ-+-=+++=++-， 所以，函数()y f x =的图象关于点()0,μ对称，则()()max min 42f x f x μ+==，则2μ=， 因此，2λμ-=-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查利用函数的最值求参数的值，解答的关键在于推导出0λ=，并求出函数()y f x =的对称中心，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16.已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222sin a b c ab C +-=，cos sin a B b A c +=，a =b =_______【答案】【解析】利用余弦定理可求得tan C 的值，利用正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式可求得4A π=，进而可求得sin B 的值，利用正弦定理可求得b 的值. 【详解】222sin a b c ab C +-=，即2cos sin ab C ab C =，tan 2C ∴=，由22sin tan 2cos sin cos 1sin 0C C C C C C ⎧==⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得sin cos 5C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，cos sin a B b A c +=，由正弦定理得()sin cos sin sin sin sin sin cos cos sin A B A B C A B A B A B +==+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=.0B π<<，sin 0B ∴>，则tan 1A =，0A π<<，4A π∴=，())sin sin sin cos sin 4210B A C C C C π⎛⎫∴=+=+=+=⎪⎝⎭. 由正弦定理得sin sin b aB A=，得sin sin a B b A ===.故答案为：【点睛】本题考查三角形边长的计算，涉及余弦定理和正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()20n n S a n n N *+-=∈.（1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）求数列{}n a n -的前n 项和n T .【答案】（1）详见解析；（2）2111432n n nT ⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭．【分析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥由20n n S a n +-=可得()11210n n S a n --+--=，两式相减可得131n n a a -=+，利用等比数列的定义可证明出数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）由（1）求得数列{}n a n -的通项公式，然后利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）当1n =时，11210S a +-=，解得113a =； 因为()20n n S a n n N*+-=∈，①当2n ≥时，()11210n n S a n --+--=，②①-②得131n n a a -=+即11133n n a a -=+，当2n ≥时，11111111332211322n n n n a a a a ---+--==--， 又11126a -=-，所以12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以16-为首项，以13为公比的等比数列；（2）由第一问可得111232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，111232nn a n n ⎛⎫-=-⋅-+ ⎪⎝⎭，根据等比数列前n 项和公式和分组求和得：()1113311122213nn n n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⋅-+-，化简得：2111432n n n T ⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了分组求和法，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 18.我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能常见的口罩有90KN 和95KN （分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒）两种，某口罩厂两条独立的生产线分别生产90KN 和95KN 两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品，现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下：（1）试分别估计两种口罩的合格率；（2）假设生产一个90KN 口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品，则亏损1元；生产一个95KN 口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，①设X 为生产一个90KN 口罩和生产一个95KN 口罩所得利润的和，求随机变量X 的分布列和数学期望； ②求生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元的概率【答案】（1）90KN 口罩合格率为80%；95KN 合格率为90%（2）①分布列详见解析，数学期望为9.2；②512625． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合表中数据即可求解.（2）①随机变量X 的所有可能取值为3-，1，7，11，利用相互独立事件的概率乘法公式求出各随机变量的概率即可列出分布列，利用期望公式即可求解；②根据题意可知事件包括“生产4个90KN 口罩全合格”和“生产4个90KN 口罩只三个合格”，由二项分布的概率求法4334441555P C ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】解（1）由题意知生产90KN 口罩合格率为142317480%1005P ++===，生产口罩95KN 合格率为247358990%10010P ++===；（2）①随机变量X 的所有可能取值为3-，1，7，11()111351050P X =-=⨯=()414215105025P X ==⨯==()199751050P X ==⨯=()493618115105025P X ==⨯==因此，X 的分布列如下：P150 225 950 1825∴()469.25E X ==（元） ②设“生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元”事件为A ，事件A 包括“生产4个90KN 口罩全合格”和“生产4个90KN 口罩只三个合格”所以()4334441512555625P A C ⎛⎫⎛⎫=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元的概率为512625. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望、二项分布，属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，17PA PD ==，E 为PA 中点，点F 在PD 上且EF ⊥平面PCD ，M 在DC 延长线上，//FH DM ，交PM 于H ，且1FH =(1)证明：//EF 平面PBM ；(2)设点N 在线段BC 上，若二面角E DN A --为60︒，求BN 的长度． 【答案】(1)详见解析；(2)1122-． 【解析】 【分析】(1) 要证//EF 平面PBM ，只需证明EF 平行于平面PBM 内一条直线即可，取PB 的中点G ，连结EG ，HG ，可证四边形EFHG 为平行四边形，从而可得//EF GH ，根据线面平行的判定定理即可证出；(2) 取AD 的中点O ，连结PO ，可证PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OD 为y 轴，OP 为z 轴建系，设()2,,0N a ()11a -≤≤，求出平面EDN 的法向量n 及平面ABCD 的法向量m ，根据二面角E DN A--为60︒，利用夹角公式列出方程即可求出a ,进而可求出BN 的长度．【详解】(1)证明：取PB 的中点G ，连结EG ，HG ，则//EG AB ，且112EG AB ==，因为//FH DM ，交PM 于H ，且1FH =， 又因为//AB DM ，所以//EG FH ，EG FH =， 所以四边形EFHG 为平行四边形，所以//EF GH ，又EF ⊄平面PBM ，GH ⊂平面PBM ， 所以//EF 平面PBM .(2)由EF ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以EF CD ⊥，又AD CD ⊥，EF 和AD 在平面PAD 内显然相交， 所以CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD ⊥平面PAD ，取AD 的中点O ，连结PO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥， 又平面ABCD平面PAD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，在等腰PAD △中，221714PO PA AO =-=-=，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,则()0,0,0O，()0,1,0A -，()0,1,0D ，()0,0,4P ，因为E 为PA 的中点，所以10,,22E ⎛⎫-⎪⎝⎭， 设()2,,0N a ()11a -≤≤，设平面EDN 的一个法向量(),,n x y z =，30,,22DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2,1,0DN a =-，由00n DE n DN ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得()3202210y z x a y ⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩，令2y =，得32z =，1x a =-，所以31,2,2n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面ABCD 的一个法向量()0,0,1m =，所以()232cos ,9144n m n m n ma ⋅〈〉==-++，因为二面角E DN A --为60︒，所以()232cos 609144a =-++即312=，解得12a =-，所以()122BN a =--=-. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，已知二面角的大小逆向探求点的位置，关键是求出二面角的两半平面的法向量，根据夹角公式列出方程，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）经过定点()(),02Q m m >的直线l 交椭圆C 于不同的两点M 、N ，点M 关于x 轴的对称点为M '，试证明：直线M N '与x 轴的交点S 为一个定点，且4OQ OS ⋅=（O 为原点）． 【答案】（1）22143x y +=；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 的值，进而可求得椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为()y k x m =-，设点()11,M x y 、()22,N x y ，可得点()11,M x y '-，设点(),0S n ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由M '、S 、N 三点共线可得出M S NS k k '=【详解】（1）由题意得22212122c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率一定存在，设为k ，设()11,M x y 、()22,N x y ，则()11,M x y '-，设(),0S n ，联立()22143y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()222223484120k x k mx k m +-+-=，由>0∆得()22430mk -+>，即2234k m <-时，M ，N 一定存在， 2122843k m x x k ∴+=+，2212241243k m x x k -⋅=+. 当斜率k 不为0时：因为M '、N 、S 三点共线，M S NS k k '=，1212y y x n x n-=--，即()()21120y x n y x n -+-=， 即()()()()21120k x m x n k x m x n --+--= 化简()()2112220x x n m x x mn -+⋅++=， 代入韦达定理化简得24043mn k -=+，即4mn =，4n m =， 4,0S m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，且4OQ OS mn ⋅==，当斜率0k =时，直线M N '与x 轴重合，满足结论． 综上，直线M N '与x 轴的交点S 为一个定点4,0m ⎛⎫⎪⎝⎭，且4OQ OS ⋅= 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点问题的求解，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题. 21.已知函数()()22ln af x a x x x=++-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()2ln h x f x x =-有两个不同的极值点1x 、()212x x x <，求证：()()()121285ln 22f x f x x x +->-；（3）设1a =-，函数()2f x x x++的反函数为()k x ，令()x i n i k x k ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，n *∈N 且2n ≥，若[]1,1x ∈-时，对任意的n *∈N 且2n ≥，()()()1211n ni k x k x k x e-≥恒成立，求m 的最小值. 【答案】（1）具体详见解析；（2）证明见解析；（3）12-．【解析】 【分析】（1）求得函数()y f x =的定义域和导数()()()22x x a f x x--'=-，对a 与2的大小进行分类讨论，分析导数的符号变化，进而可得出函数()y f x =的单调区间；（2）求得()222x ax ah x x-+'=-，由题意可知方程220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x ，可求得a 的取值范围，并列出韦达定理，进而可得出()()()()12122ln 22f x f x x x a a a +-=+-，然后构造函数()()()2ln 22u a a a a =+-，利用导数证明出()()85ln 22u a >-即可；（3）根据题意得出x k x e =，进而可得()xi n i k x k⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，n *∈N 且2n ≥，由已知条件得出121x xxn m n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分析出函数121xxxn y n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在[]1,1-上的单调性，可得出12n m --≤，进而可求得m 的最小值. 【详解】（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()()()222221x x a a af x x x x--+'=--=- ①当0a ≤时，由()0f x '>得02x <<；由()0f x '<，得2x >.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； ②当02a <<时，由()0f x '>得2a x <<；由()0f x '<得0x a <<或2x >. 此时，函数()y f x =的单调递增区间为(),2a ，单调递减区间为()0,a 和()2,+∞；③当2a =时，()0f x '≤对任意的0x >恒成立，此时，函数()y f x =在()0,∞+单调递减； ④当2a >时，由()0f x '>得2x a <<；由()0f x '<得02x <<或x a >. 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()2,a ，单调递减区间为()0,2和(),a +∞. 综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； 当02a <<时，函数()y f x =的单调递增区间为(),2a ，单调递减区间为()0,a 和()2,+∞； 当2a =时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；当2a >时，函数()y f x =的单调递增区间为()2,a ，单调递减区间为()0,2和(),a +∞；（2）证明：()()22ln ln ah x f x x a x x x=-=+-，0x > ()222221a a x ax ah x x x x-+'=--=- 由已知函数有两个不同的极值点1x 、2x ，知()0h x '=有两个不等的正实数根，即220x ax a -+=有两个不等正实数根，即12120020x x a x x a ∆>⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩，解得8a >，()()()()121211221212222ln 2ln a a f x f x x x a x x a x x x x x x +-=++-+++--()()()()121212121222ln a x x a x x x x x x x x +=++-+-()()()()22ln 222ln 222a aa a a a a a a a⋅=++--=+-，令()()()2ln 22u a a a a =+-，8a >，()()()()12ln 222ln 21u a a a a a a'=++-=+-，因为8a >，所以()ln 210a ->，()0u a '>，所以()y u a =在()8,+∞单调递增，()()()810ln161685ln 22u a u ∴>=-=-，结论得证； （3）当1a =-时，()2ln f x x x x++=，则x k x e =， 所以()xi n i k x e⎛⎫⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，*n N ∈且2n ≥，对[]1,1x ∈-，()()()121121xxxn m n n n n k x k xk x eeee -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=≥恒成立，即121xxxn m n n n ee -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，即121xxxn m n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为xi y n ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,1x ∈-单调递减，所以121xxxn y n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭也递减， 当1x =时，min 12112112x xxn n n n n n n nn ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即对任意n *∈N 且2n ≥，12n m --≤恒成立， 显然当2n =时，min 1122n -⎛⎫=⎪⎝⎭，即12m -≤，即12m ≥-，所以m 的最小值为12-． 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式以及求解函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．22.已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）在（1）中，设曲线C经过伸缩变换,x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到曲线1C ，设曲线1C 上任意一点为()00,M x y ，当点M 到直线l 的距离取最大值时，求此时点M 的直角坐标．【答案】（1）22:4C x y +=，10l y +-=；（2）(M ．【解析】 【分析】（1）由222x y ρ=+可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，在直线l 的参数方程中消去参数t 可将直线l 的参数方程化为普通方程；（2）利用伸缩变换求得曲线1C 的普通方程，进而可得出曲线1C 的参数方程，设点()2cos ,M θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式、正弦函数的有界性可求得点M 到直线l 的距离的最大值，并求出对应的点M 的坐标.【详解】（1）将曲线C 的极坐标方程化为24ρ=，由222x y ρ=+，所以，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=.在直线l 的参数方程中消去参数t10y +-=，所以，直线l10y +-=；（2）由伸缩变换,,x x y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得,,3x x y y =⎧=''⎪⎨⎪⎩带入圆的方程C 得2243y x ''+=， 化简得曲线221:1412x y C +=，其参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，且[)0,2θ∈π），设点()2cos ,M θθ，点M到直线10l y +-=距离为：d ==02θπ≤<，则9444πππθ≤+<，所以，当342ππθ+=时，即当54πθ=时，d取最大值，即max d =，此时，点M的坐标为(.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程求解椭圆上的点到直线距离的最值，考查计算能力，属于中等题. 23.已知2()2|1|.f x x x =+- （1）求不等式|2|()x f x x>的解集； （2）若f (x )的最小值为M ，且a +b +c =M (a ，b ，c ∈R )≥ 【答案】（1）{|0x x <或}1x > （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据绝对值不等式性质，进行分类讨论即可；（2）由题知f (x )的最小值为M =1，再根据基本不等式推理论证即可证明.【详解】（1）由题可知，()22224,122,0124,0x x x x f x x x x x x x x ⎧+-≥⎪-=-≤<⎨⎪-+<⎩则()20x f x x->的解集为{|0x x <或}1x >综上，不等式|2|()x f x x>的解集为{|0x x <或}1x > （2）由题可知，f (x )的最小值为M =1（1x =时取得）， 即1a b c ++=， 由柯西不等式，得，()()()2222211a b ab +≥≥+⇒+≥2a b c ++≥=得证（等号成立条件==a b c ）【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用柯西不等式的简单证明，难度一般，利用基本、柯西不等式证明结论时，注意等号成立条件.。