河北专接本工程力学复习资料
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21
剪力、弯矩与外力间的关系 外 力
P q=0 q>0 q<0 C
外力
力
m
力
C
Q
Q
Q
Q
Q x x
Q
Q1 C x
Q C x
x
Q>0 Q<0
x
Q2 Q1– Q2=P
M
x M M x M x M x M x
与 m
M2
x
与P
M1 M M1 − M 222 m =
变形的应用： 变形的应用： 求位移和解决超静定问题
1、许用应力 :
[σ ] =
σu
n
三个弹性常数
E G= 2 (1+ µ )
2、极限应力 : σ u = {σ s , σ 0.2 , σ b }
σ E= ε
3、安全系数：n 3 n
τ G= γ
ε′ µ = ε
泊松比（或横向变形系数） 泊松比（或横向变形系数）
25
剪切与挤压的实用计算 Q （合力） P n n n P （合力） 矩形截面杆约束扭转 Pc n
Biblioteka Baidu
∑ X = 0 X C − S FG ⋅cos45° = 0
∴ X C =10000(N)
由∑m A = 0 S DE sin45°×1−Q ×2 = 0 ∴S DE =14140(N)
8
[例3] 已知：AB=2a , 重为P，BC重为Q，∠ABC=α 例 求：A、C两点的反力。 解：先研究BC，受力如图
C
解：一次静不定梁. q0 A EI B L
f B = f Bq + f BN BC =∆ BC
N A = ∑ Pi (← ) − ∑ Pj (→ )
M An = ∑ m i (
QA =
) −∑ m j (
)
平 面 弯 曲
(∑P ↑)−(∑P ↓)
i j
M A = (∑mA ( P ) i
) −(∑m
A
( Pj )
)
20
弯曲剪力、 弯曲剪力、弯矩与外力间的关系
dQ(x) = q(x) dx
dM(x) = Q(x) dx
=−
60 × 0.3 3 × 12 3 × 210 × 5 × 10 3
× 10 3 −
fB2
A MA=PLAB
60×0.3×0.5×32 3 0.3× ×10 4 0.4×210×20 π
= −8.22mm
28
P=60N B
M nmax τ = max WP
18×16 = =11 .46 MPa 3 π ×0.02
变形能的应用： 变形能的应用： 求位移和解决动载问题
超静定问题的方法步骤： 超静定问题的方法步骤： ①平衡方程 ②几何方程——变形协调方程 几何方程 变形协调方程 ③物理方程——变形与力的关系 物理方程 变形与力的关系
(1) 自由落体 : 2h K =1+ 1+ d ∆j
△j:冲击物落点的静位移
④补充方程
( 2 ) 水平冲击 :
⑤解由平衡方程和补充方程组
K
d
=
v2 g∆
j
23
材
料
试
验
σ(MPa)
450 400 350 300 s 250 e 200 p 150 σp σe σ s 100 50 0 ε 0.05 b a f
σb
στ
ε εe0.10
0.15 0.20 g h 0.25
24
εt
p
低碳钢σ−ε曲线上特征点
C
A
18Nm
M max σ max = Wz
= 18 × 6 = 216 MPa 2 0 . 005 × 0.01
σ max > [σ
]
强度不足
29
例2 结构如图，E=210Gpa，σs=240MPa，LBC=1m，ABC=1cm2, AB为矩形截面梁,b=10cm,h=30cm,L=2m，q0=20 kN/m,求结构的安 全系数。
6
四、例题： 例题： [例1] 画受力图 例
7
[例2] 已知 Q=5000N，杆重不计。求SDE，SFG和C点的反力。 例 已知: 点的反力。 ，杆重不计。 点的反力 ， 解：研究整体，受力如图
由∑mC = 0, S FG ⋅sin45°×1−Q ×2 = 0 ∴S FG =14140(N) 由∑mG = 0 YC ×1+ Q ×1= 0 ∴YC = −5000(N)
5
(二). 解题技巧：①先找二力杆 二 解题技巧： ②选坐标轴⊥未知力 选坐标轴⊥ ③选取矩点（轴）与未知力相交或平行 选取矩点（ ④从已知力下手，物系问题由整体-->局部 从已知力下手，物系问题由整体 局部 (三). 注意问题：①力偶在坐标轴投影不出现 三 注意问题： ②摩擦力的方向一般不能假设 ③附加方程中的≥或≤号别最后忘记 附加方程中的 或 号别最后忘记 ④受力图中力要画全
Q Q 由∑ mB = 0, - N C ⋅ 2atgα + Q ⋅ a = 0 ∴ N C = = ctgα 2 tgα 2 再研究整体：由 Q ∑ X =0 X A + N C =0 ∴ X A = − N C = − ctgα
∑Y =0 Y A −(Q + P) =0 Y A =(Q + P) ∑m A =0 ∴M A = ( 2Q + P )a M A − N C ⋅2atgα −( P +Q)⋅a =0
4
(二) 基本方程 二 平面
∑X =0 ∑Y = 0 ∑ mA = 0
空间
∑X =0 ∑Y = 0 ∑Z =0
∑m ∑m ∑m
x y
=0 =0
z
=0
解题步骤，解题技巧， 三. 解题步骤，解题技巧，解题注意问题 (一)解题步骤：①选研究对象 一 解题步骤 解题步骤： ②作受力图（有用，没有用的力均画上 ） 作受力图（有用， ③选坐标列方程 ④解方程，求出未知数 解方程，
Mn ϕAB=∫ dx LAB GI p
18
拉 强 度 条 件
（压）
扭
转
平 面 弯 曲
σmax ≤[σ ]
Nmax Amin ≥ [σ ] Nmax ≤A[σ ]
τ max ≤[τ ]
|Mn|max W≥ t [τ ] Mn max ≤ Wt [τ ]
σmax ≤[σ ] τ max ≤[τ ]
Mmax Wz ≥ [σ ] Mmax ≤Wz [σ ]
2
③平面任意力系向某点简化的不变量, 平面任意力系向某点简化的不变量 ' 空间任意力系向某点简化的不变量 平面中：
R'
空间中：R' ; M//
M ⊥ = (R ,R ′′)
④摩擦力的方向判定 摩擦力是一种约束反力,方向总是与物体相对运动方向(趋势 方向)相反
3
⑤ 摩擦问题中对不等号的处理 ∵Nf≥F，但一般的情况下是选临界状态代入( 即Nf=F ) 计 算，得出结果后再加上不等号，或判断出平衡区间，以减少不 等式运算所带来的麻烦和由此出现的误算。
（压） A N
扭
转 A M n
平 面 弯 曲 M M>0 Q>0 x—平行于杆轴 A Q
内 力
N>0 x—杆轴 x
Mn > 0 x—杆轴
τρ
O
σ τ
My σx= Iz
应 力
σ=
N(x) A
σ
x
Mn ρ τ (ρ)= Ip
∗ QSz yτ = y bI z
L 变 形
A
B
N(x) dL=∫ dx L EA x) (
Q τ = ≤[τ ] A
Pc σ c = ≤[σ c ] Ac
b
τ max
h
τ max =
Mn max WP
其 : 中
W =αhb2 p
I P = β hb 3
Mn θ= GI P
, 其中:
τ 1=ντ
max
τ1
注意: h≥ b
T
26
例1 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能 上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E， [σ]=160MPa，[τ]=80MPa ，试校核此杆的强度并求B点的垂直位移。
15
∴ X A = F =100( N ) ∑ X = 0 X A − F =100 ∑Y = 0 Y A + YB + N E ⋅sinα = 0 ∴Y A = 23.4(N) ∴Z A =1.1(N) ∑Z = 0 Z A + Z B + N E cosα − P = 0
16
工程力学
17
拉
工程力学
1
静力学复习
一. 基本概念及概念的区分 合力R ① 合力 和主矢 R' 的区别 合力R : 是主矢的移动效果和主矩转动效果之和 (主矢,主矩可 简化为合力)。 (与作用点有关) 主矢R': 只代表移动效果，且有主矩存在(与作用点无关) 力矩和力偶矩的区别： ② 力矩和力偶矩的区别 力矩:是力对那一点的转矩, 与取矩点有关, 且不能在平面内 任意移动。 力偶矩: 它是在平面内和平行它自身平面内可任意移动,与取矩 点无关。
11
[例7] 匀质杆AB和BC在B端铰接，A端铰接在墙上， 例 C端则由墙阻挡，墙与C端接触处的摩擦系数f=0.5， 试求平衡时最大角度θ，已知两杆长相等、重量相同。
12
解：由整体
∑m A =0
2 2 2 再分析BC , 由∑m B =0 θ θ l θ N C ⋅l ⋅sin − F ⋅l ⋅cos + P cos = 0 ---(2)
P=60N B
L A B
P
fB = −
PL3 3EI
C
500
A
f x 解：B点的垂直位移由两部
10
x1
20
分组成，即：BA弯曲和CA杆 扭转，A截面转动而引起。
27
5
P=60N B
PL3 AB =− + ϕ A L AB 3EI
C
A
P B fB1
A B P
f B = f B1 + f B 2
PL AB L AC PL3 AB =− − L AB 3EI GI P
2 2 2 2
θ − 2 P ⋅ l ⋅cosθ = 0 -------(1) 2 N C ⋅l ⋅sin
F = f ⋅ N C − − − (3) P θ θ 由(1)得: N C = ctg , 由(2)得 F = P,∴ 代入(3)得 ctg = 4 ∴θ = 28.1°
2 2 2
13
[例8]已知板ABCD重P=50N，每边长a=30cm，A为球 例 铰，B为蝶铰，AB边是水平的，板的E点搁在一尖端 E点上，H点作用F=100N，且：CE=ED, BH=10cm, α =30o 求：A、B、E的 反力？
9
2
[例4] 已知桁架，不计各杆自重，求下列指定杆的内力。 例 由零杆判断方法： S1=P1 S2=0 S3=P2 [例5] 判断下列静定与静不定问题。 例
静不定
静定
静不定
10
[例6] 直角曲杆OABC的O端为固定端, C端受到力F的作用, 如图。 例 已知：F=100N，a=200mm, b=150mm, c=125mm 求：力F对固定端O点的矩？（力F平行于x轴） 解：由: m x ( F ) = 0
dM2(x) = q(x) 2 dx
对称性与反对称性的应用： 对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下， 图反对称 图反对称， 图对称 图对称； 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称 结构在反对称载荷作用下， 图对称 图对称， 图反对称 图反对称。 结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
m y ( F ) = F ⋅c =12.5( N ⋅m) m z ( F ) = F ⋅a = 20(N⋅m) 又Q m y ( F ) =[mO ( F )] y m z ( F ) =[mO ( F )] z
mO ( F ) = [m y ( F )]2 +[m z ( F )]2 = 23.6( N ⋅m) mz ( F ) tgθ = =1.6 my (F ) ∴θ =58°
二、基本方程和基本定理 (一). 基本定理 常用的 一 基本定理(常用的 常用的) 用于确定未知力的方向) ①三力平衡必汇交，必共面(用于确定未知力的方向 三力平衡必汇交，必共面 用于确定未知力的方向 ②合力投影定理：RX=∑ X 合力投影定理： ③合力矩定理：m ( R ) = ∑m ( F ) 合力矩定理： O O i 投影式： 投影式： m z ( R ) = ∑m z ( Fi )
| fmax | f ≤ L L
刚 度 条 件
θmax ≤[θ ]
θmax ≤[θ ]
N (x) U=∫ dx L 2EA
2
变 形 能
M (x) dx U=∫ L 2GI
2 n
M 2 (x) U=∫ dx L 2EI 19
内
力
计
算
以A点左侧部分为对象，A点的内力由下式计算： (其中“Pi、Pj”均为A 点左侧部分的所有外力) 拉 压 扭 转
14
解：研究整体
由 a ∑ mx = 0, N E ⋅ a − P 2 cos α = 0 ∴ N E = 21.7(N)
a mz = 0 , YB ⋅ a + N E ⋅ sinα ⋅ ⋅ + F ⋅ BH ⋅ cosα = 0 , ∴YB = −34.2(N) ∑ 2
a a ∑ my = 0 , -ZB ⋅ a + F ⋅ BH ⋅ sinα + P ⋅ 2 − NE ⋅ cosα ⋅ 2 = 0, ∴Z B = 32.3(N)
剪力、弯矩与外力间的关系 外 力
P q=0 q>0 q<0 C
外力
力
m
力
C
Q
Q
Q
Q
Q x x
Q
Q1 C x
Q C x
x
Q>0 Q<0
x
Q2 Q1– Q2=P
M
x M M x M x M x M x
与 m
M2
x
与P
M1 M M1 − M 222 m =
变形的应用： 变形的应用： 求位移和解决超静定问题
1、许用应力 :
[σ ] =
σu
n
三个弹性常数
E G= 2 (1+ µ )
2、极限应力 : σ u = {σ s , σ 0.2 , σ b }
σ E= ε
3、安全系数：n 3 n
τ G= γ
ε′ µ = ε
泊松比（或横向变形系数） 泊松比（或横向变形系数）
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剪切与挤压的实用计算 Q （合力） P n n n P （合力） 矩形截面杆约束扭转 Pc n
Biblioteka Baidu
∑ X = 0 X C − S FG ⋅cos45° = 0
∴ X C =10000(N)
由∑m A = 0 S DE sin45°×1−Q ×2 = 0 ∴S DE =14140(N)
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[例3] 已知：AB=2a , 重为P，BC重为Q，∠ABC=α 例 求：A、C两点的反力。 解：先研究BC，受力如图
C
解：一次静不定梁. q0 A EI B L
f B = f Bq + f BN BC =∆ BC
N A = ∑ Pi (← ) − ∑ Pj (→ )
M An = ∑ m i (
QA =
) −∑ m j (
)
平 面 弯 曲
(∑P ↑)−(∑P ↓)
i j
M A = (∑mA ( P ) i
) −(∑m
A
( Pj )
)
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弯曲剪力、 弯曲剪力、弯矩与外力间的关系
dQ(x) = q(x) dx
dM(x) = Q(x) dx
=−
60 × 0.3 3 × 12 3 × 210 × 5 × 10 3
× 10 3 −
fB2
A MA=PLAB
60×0.3×0.5×32 3 0.3× ×10 4 0.4×210×20 π
= −8.22mm
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P=60N B
M nmax τ = max WP
18×16 = =11 .46 MPa 3 π ×0.02
变形能的应用： 变形能的应用： 求位移和解决动载问题
超静定问题的方法步骤： 超静定问题的方法步骤： ①平衡方程 ②几何方程——变形协调方程 几何方程 变形协调方程 ③物理方程——变形与力的关系 物理方程 变形与力的关系
(1) 自由落体 : 2h K =1+ 1+ d ∆j
△j:冲击物落点的静位移
④补充方程
( 2 ) 水平冲击 :
⑤解由平衡方程和补充方程组
K
d
=
v2 g∆
j
23
材
料
试
验
σ(MPa)
450 400 350 300 s 250 e 200 p 150 σp σe σ s 100 50 0 ε 0.05 b a f
σb
στ
ε εe0.10
0.15 0.20 g h 0.25
24
εt
p
低碳钢σ−ε曲线上特征点
C
A
18Nm
M max σ max = Wz
= 18 × 6 = 216 MPa 2 0 . 005 × 0.01
σ max > [σ
]
强度不足
29
例2 结构如图，E=210Gpa，σs=240MPa，LBC=1m，ABC=1cm2, AB为矩形截面梁,b=10cm,h=30cm,L=2m，q0=20 kN/m,求结构的安 全系数。
6
四、例题： 例题： [例1] 画受力图 例
7
[例2] 已知 Q=5000N，杆重不计。求SDE，SFG和C点的反力。 例 已知: 点的反力。 ，杆重不计。 点的反力 ， 解：研究整体，受力如图
由∑mC = 0, S FG ⋅sin45°×1−Q ×2 = 0 ∴S FG =14140(N) 由∑mG = 0 YC ×1+ Q ×1= 0 ∴YC = −5000(N)
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(二). 解题技巧：①先找二力杆 二 解题技巧： ②选坐标轴⊥未知力 选坐标轴⊥ ③选取矩点（轴）与未知力相交或平行 选取矩点（ ④从已知力下手，物系问题由整体-->局部 从已知力下手，物系问题由整体 局部 (三). 注意问题：①力偶在坐标轴投影不出现 三 注意问题： ②摩擦力的方向一般不能假设 ③附加方程中的≥或≤号别最后忘记 附加方程中的 或 号别最后忘记 ④受力图中力要画全
Q Q 由∑ mB = 0, - N C ⋅ 2atgα + Q ⋅ a = 0 ∴ N C = = ctgα 2 tgα 2 再研究整体：由 Q ∑ X =0 X A + N C =0 ∴ X A = − N C = − ctgα
∑Y =0 Y A −(Q + P) =0 Y A =(Q + P) ∑m A =0 ∴M A = ( 2Q + P )a M A − N C ⋅2atgα −( P +Q)⋅a =0
4
(二) 基本方程 二 平面
∑X =0 ∑Y = 0 ∑ mA = 0
空间
∑X =0 ∑Y = 0 ∑Z =0
∑m ∑m ∑m
x y
=0 =0
z
=0
解题步骤，解题技巧， 三. 解题步骤，解题技巧，解题注意问题 (一)解题步骤：①选研究对象 一 解题步骤 解题步骤： ②作受力图（有用，没有用的力均画上 ） 作受力图（有用， ③选坐标列方程 ④解方程，求出未知数 解方程，
Mn ϕAB=∫ dx LAB GI p
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拉 强 度 条 件
（压）
扭
转
平 面 弯 曲
σmax ≤[σ ]
Nmax Amin ≥ [σ ] Nmax ≤A[σ ]
τ max ≤[τ ]
|Mn|max W≥ t [τ ] Mn max ≤ Wt [τ ]
σmax ≤[σ ] τ max ≤[τ ]
Mmax Wz ≥ [σ ] Mmax ≤Wz [σ ]
2
③平面任意力系向某点简化的不变量, 平面任意力系向某点简化的不变量 ' 空间任意力系向某点简化的不变量 平面中：
R'
空间中：R' ; M//
M ⊥ = (R ,R ′′)
④摩擦力的方向判定 摩擦力是一种约束反力,方向总是与物体相对运动方向(趋势 方向)相反
3
⑤ 摩擦问题中对不等号的处理 ∵Nf≥F，但一般的情况下是选临界状态代入( 即Nf=F ) 计 算，得出结果后再加上不等号，或判断出平衡区间，以减少不 等式运算所带来的麻烦和由此出现的误算。
（压） A N
扭
转 A M n
平 面 弯 曲 M M>0 Q>0 x—平行于杆轴 A Q
内 力
N>0 x—杆轴 x
Mn > 0 x—杆轴
τρ
O
σ τ
My σx= Iz
应 力
σ=
N(x) A
σ
x
Mn ρ τ (ρ)= Ip
∗ QSz yτ = y bI z
L 变 形
A
B
N(x) dL=∫ dx L EA x) (
Q τ = ≤[τ ] A
Pc σ c = ≤[σ c ] Ac
b
τ max
h
τ max =
Mn max WP
其 : 中
W =αhb2 p
I P = β hb 3
Mn θ= GI P
, 其中:
τ 1=ντ
max
τ1
注意: h≥ b
T
26
例1 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能 上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E， [σ]=160MPa，[τ]=80MPa ，试校核此杆的强度并求B点的垂直位移。
15
∴ X A = F =100( N ) ∑ X = 0 X A − F =100 ∑Y = 0 Y A + YB + N E ⋅sinα = 0 ∴Y A = 23.4(N) ∴Z A =1.1(N) ∑Z = 0 Z A + Z B + N E cosα − P = 0
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工程力学
17
拉
工程力学
1
静力学复习
一. 基本概念及概念的区分 合力R ① 合力 和主矢 R' 的区别 合力R : 是主矢的移动效果和主矩转动效果之和 (主矢,主矩可 简化为合力)。 (与作用点有关) 主矢R': 只代表移动效果，且有主矩存在(与作用点无关) 力矩和力偶矩的区别： ② 力矩和力偶矩的区别 力矩:是力对那一点的转矩, 与取矩点有关, 且不能在平面内 任意移动。 力偶矩: 它是在平面内和平行它自身平面内可任意移动,与取矩 点无关。
11
[例7] 匀质杆AB和BC在B端铰接，A端铰接在墙上， 例 C端则由墙阻挡，墙与C端接触处的摩擦系数f=0.5， 试求平衡时最大角度θ，已知两杆长相等、重量相同。
12
解：由整体
∑m A =0
2 2 2 再分析BC , 由∑m B =0 θ θ l θ N C ⋅l ⋅sin − F ⋅l ⋅cos + P cos = 0 ---(2)
P=60N B
L A B
P
fB = −
PL3 3EI
C
500
A
f x 解：B点的垂直位移由两部
10
x1
20
分组成，即：BA弯曲和CA杆 扭转，A截面转动而引起。
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5
P=60N B
PL3 AB =− + ϕ A L AB 3EI
C
A
P B fB1
A B P
f B = f B1 + f B 2
PL AB L AC PL3 AB =− − L AB 3EI GI P
2 2 2 2
θ − 2 P ⋅ l ⋅cosθ = 0 -------(1) 2 N C ⋅l ⋅sin
F = f ⋅ N C − − − (3) P θ θ 由(1)得: N C = ctg , 由(2)得 F = P,∴ 代入(3)得 ctg = 4 ∴θ = 28.1°
2 2 2
13
[例8]已知板ABCD重P=50N，每边长a=30cm，A为球 例 铰，B为蝶铰，AB边是水平的，板的E点搁在一尖端 E点上，H点作用F=100N，且：CE=ED, BH=10cm, α =30o 求：A、B、E的 反力？
9
2
[例4] 已知桁架，不计各杆自重，求下列指定杆的内力。 例 由零杆判断方法： S1=P1 S2=0 S3=P2 [例5] 判断下列静定与静不定问题。 例
静不定
静定
静不定
10
[例6] 直角曲杆OABC的O端为固定端, C端受到力F的作用, 如图。 例 已知：F=100N，a=200mm, b=150mm, c=125mm 求：力F对固定端O点的矩？（力F平行于x轴） 解：由: m x ( F ) = 0
dM2(x) = q(x) 2 dx
对称性与反对称性的应用： 对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下， 图反对称 图反对称， 图对称 图对称； 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称 结构在反对称载荷作用下， 图对称 图对称， 图反对称 图反对称。 结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
m y ( F ) = F ⋅c =12.5( N ⋅m) m z ( F ) = F ⋅a = 20(N⋅m) 又Q m y ( F ) =[mO ( F )] y m z ( F ) =[mO ( F )] z
mO ( F ) = [m y ( F )]2 +[m z ( F )]2 = 23.6( N ⋅m) mz ( F ) tgθ = =1.6 my (F ) ∴θ =58°
二、基本方程和基本定理 (一). 基本定理 常用的 一 基本定理(常用的 常用的) 用于确定未知力的方向) ①三力平衡必汇交，必共面(用于确定未知力的方向 三力平衡必汇交，必共面 用于确定未知力的方向 ②合力投影定理：RX=∑ X 合力投影定理： ③合力矩定理：m ( R ) = ∑m ( F ) 合力矩定理： O O i 投影式： 投影式： m z ( R ) = ∑m z ( Fi )
| fmax | f ≤ L L
刚 度 条 件
θmax ≤[θ ]
θmax ≤[θ ]
N (x) U=∫ dx L 2EA
2
变 形 能
M (x) dx U=∫ L 2GI
2 n
M 2 (x) U=∫ dx L 2EI 19
内
力
计
算
以A点左侧部分为对象，A点的内力由下式计算： (其中“Pi、Pj”均为A 点左侧部分的所有外力) 拉 压 扭 转
14
解：研究整体
由 a ∑ mx = 0, N E ⋅ a − P 2 cos α = 0 ∴ N E = 21.7(N)
a mz = 0 , YB ⋅ a + N E ⋅ sinα ⋅ ⋅ + F ⋅ BH ⋅ cosα = 0 , ∴YB = −34.2(N) ∑ 2
a a ∑ my = 0 , -ZB ⋅ a + F ⋅ BH ⋅ sinα + P ⋅ 2 − NE ⋅ cosα ⋅ 2 = 0, ∴Z B = 32.3(N)