欧式看涨期权二叉树定价
期权定价公式的二叉树推导与分析
期权定价公式的二叉树推导与分析期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。
期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。
期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。
本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。
期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。
该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。
具体公式如下：C = SₐN(d1) - XₐN(d2)其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2 = d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率；σ为标的资产的年波动率。
二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。
二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。
基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。
假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。
在每个时间段Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0 × u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。
假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。
那么在 t0时，该期权的预期价格为：C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ ×Δt其中， N(d1, d2, u, d)为风险中性概率； (u × S0 - X)^+表示当标的资产价格上涨时，取 u × S0 - X，否则取 0；Δt为每个时间段的时间长度。
二叉树期权定价模型
二叉树期权定价模型
二叉树期权定价模型是指基于二叉树构建的期权定价模型，该模型结合了终值定理（Binomial Option Pricing Model；BOPM）和二叉树的理论。
该模型的精确性比一般的期权定价模型（即欧式期权定价模型）要高，为投资者提供了更多的信息和选择。
二叉树期权定价模型以股票价格移动变量来构建定价模型，而欧式期权定价模型只考虑股票价格固定。
该模型使用二叉树，其中每个分支都对应一定的定价模型，以确定期权价格。
该方法有三个基本步骤：1）构建二叉树；2）确定期权执行价值；3）通过使用backward卷积，利用当前价格和当前的期权价值，来决定每个分支的期权价格。
二叉树期权定价模型具有不同的算法变种，它们能够捕获市场（股价）的单向和双向变化，以及波动性。
它比欧式期权模型更精确，也更灵活，可以捕获一系列特殊事件，比如空头期权，复合期权，多元期权，多档次期权。
此外，二叉树期权定价模型还能够用来估算期权的损失或收益，并对复杂的期权进行定价。
总的来说，二叉树期权定价模型是一种简单的，有效的，能够捕获市场变化的定价模型，为投资者提供了更多的信息和选择。
该模型比较早出现于二十世纪九十年代，自此后逐渐普及，并得到广泛应用。
欧式与美式期权二叉树定价及程序实现.doc
姓名：卢众专业：数学与应用数学学号： 08101116指导老师：许志军2011 年 6 月 3 日目录一、期权二叉树定价简介 (3)二、假设 (3)三、符号说明 (3)四、欧式二叉树模型 (4)1、一步二叉树模型 (4)2、风险中性定价原理 (5)3、两步二叉树模型 (6)4、多步二叉树模型 (6)五、美式二叉树模型 (7)1、单步二叉树 (7)2、多步二叉树 (8)六、对于其他标的资产的期权的定价 (9)1、支付连续股息收益率股票期权的定价 (9)2、股指期权期权的定价 (10)3、货币期权 (10)4、期货期权 (10)七、实例解析 (10)八、程序 (11)一、期权二叉树定价简介期权定价领域中一个有用并常见的工具是所谓的二叉树方法，这里的二叉树是指代表在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形，这里股票价格被假定为服从随机漫步，在树形的每一步，股票价格具有一定的概率会向上移动一定的比率，同时股票价格也具有一定的概率会向下移动一定的比率。
在极限状况，即步长足够小时，二叉树中的股票价格趋于对数正态分布，而对数正态分布正式布莱克-斯科尔斯模型关于股票价格的假设。
二、假设1、市场上无套利机会存在；2、所有的数据来源可靠；三、符号说明编号 符号 意义1 r 无风险利率2 u 股票上涨比率3 d 股票下跌比率4 0S股票初始价格 5 Λ,,,d u f f f 期权价值 6 t 时间步长 7 ∆ 股票数量8 p 股票上涨的概率 9 δ 股票的波动大小 10 1H 股票在初始时刻价格 112H期权的执行价格四、欧式二叉树模型100.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.91生的分枝一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step ）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是0S ，基于该股票的欧式期权价格为f 。
金融工程第十三章 期权定价模型
金融工程课程
p
S 0u
S0
1 p
S0 d
图13-1 △t时间内基础资产价格和对应的期权价格的变动
4
二、看涨期权单步二叉树模型
（一）资产组合复制定价法
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Vu max(S 0 u K ,0)
Vd max(S0 d K ,0)
V0 hS0 k
假定投资者在t0卖出一份股票 的看涨期权，价格为V0，以得 到的货币同时买入h股股票和利 率为r的k货币单位的债券
rt 0.05 e d e 0.8 1.0513 0.8 * p 0.6283 ud 1.2 0.8 0.4
11
第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用 二、美式期权的二叉树定价模型
金融工程课程
144
100
172 .8 115 .2
76.8
120
96
64
80
51.2
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即刻执行值＝Max[K－该节点的股价，0] 向后递推值＝
e 0.05 0.6283 23.2 0.3717* 48.8) 31.1191
即刻执行值＝100－64＝36
14
第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用 二、美式期权的二叉树定价模型
0 0 0 8.2026 4 8.2026 31.1191 36 36
美式期权与欧式期权的区别是美式期权可以在期权合约到期前的任何时点执行 权利，而欧式期权则仅可在到期日执行权利。 事实上，在运用二叉树方法求当前的期权价格时，前提假设条件是期权的定价者 ，对于二叉树上所有节点上的信息是知道的。求美式期权的当前价格时，在每个 二叉树的节点上，期权持有者可以有两个价格选择，一个是立刻执行期权获得收 益，另一个选择是持有期权继续等待，继续等待相当于选择了与欧式期权一样的 期望价值。这样，美式期权的价格计算与欧式期权的价格计算的路径基本相同， 都是由期末的期权价值向后递推而来的。不同之处是在每一个节点处，期权的持 有者可以选择上述两种收益中的较大者作为向后递推的价格依据。 例13-3: 已知股票的信息：S0=100美元, u＝1.2，d＝0.8，K=100美元，r ＝0.05，n＝3；求解看跌美式期权的价格。
期权二叉树定价模型
期权二叉树定价模型期权二叉树定价模型是一种常用的金融衍生品定价模型，用于计算期权合约的公平价格。
该模型基于二叉树的数据结构，将时间分为离散的步长，在每个步长上模拟期权的价格变化。
在期权二叉树定价模型中，二叉树的每个节点表示期权的一个可能价格，树的每一层表示时间的一个步长。
从根节点开始，根据期权的流动性和到期前可执行的次数，构建二叉树模型。
在每个节点上，计算期权的价值，以确定其合理价格。
在构建二叉树模型时，需要考虑期权的标的价格、波动率、到期时间和无风险利率等因素。
这些因素将被用来计算每个节点上的期权价格。
在每个步长上，通过向上或向下移动树的节点，模拟标的价格的波动，从而更新节点上的期权价格。
在二叉树的叶子节点上，期权的价值是已知的，可以直接计算。
在其他节点上，通过对未来价格的概率分布进行加权，计算期权的合理价格。
树的最后一层即为到期时间，即期权到期时的状态。
根据到期状态计算出期权的现值，并通过向根节点回溯，确定期权的公平价格。
期权二叉树定价模型的优点在于能够在离散时间步长上快速确定期权的价格，并且可以灵活地应用于不同类型的期权合约。
此外，该模型对于包含多个期权合约的复杂结构，如欧洲期权、美式期权和亚洲期权等，也具有较高的适用性。
然而，期权二叉树定价模型也存在一些局限性。
首先，该模型假设标的价格的波动服从几何布朗运动，这在实际市场中并不成立，因此模型的有效性有一定的限制。
其次，通过选择适当的步长数和树的深度来平衡精确度和计算效率是一个挑战。
总的来说，期权二叉树定价模型是一个常用且有效的金融工具，可以用于估计期权合约的公平价格。
该模型基于二叉树的数据结构，通过离散时间步长模拟期权的价格变化，并通过回溯计算确定期权的公平价格。
虽然该模型存在一定的局限性，但在实际应用中仍被广泛应用。
期权二叉树定价模型是一种基于离散时间步长和二叉树结构的金融衍生品定价模型。
它是Black-Scholes模型的一种改进方法，通过模拟期权价格的变化来计算期权的公平价格。
欧式看涨期权二叉树定价
阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——培根欧式看涨期权二叉树定价（含matlab代码和结果图）实验概述本实验首先介绍了二叉树方法的来源和主要理论基础，然后给出期权的二叉树定价方法的基本过程和MATLAB7. 0实现的过程。
19. 2 实验目的(1)了解二叉树的定价机理;(2)掌握用MATLAB7. 0生成股票价格的二叉树格子方法;(3)掌握欧式期权和美式期权的二叉树定价方法。
19. 3 实验工具MATLAB 7. 0。
19. 4 理论要点构造二叉树图(Binomial Tree)是期权定价方法中最为常见的一种。
这个树图表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径。
二叉树定价方法与风险中性定价理论是紧密联系的。
Cox, Ross & Rubinstein (1979)首次提出了构造离散的风险中性概率可以给期权定价，在此基础上他们给出了二叉树定价方法。
1)一个简单的例子假设当前(3月份)股票的价格So =50元，月利率是25%。
4月份股票价格有两种可能:S=100元，S=25元。
有一份看涨期权合约，合约约定在4月份低高可以以50元价格买进一股股票。
现在考虑一个投资组合，进行几项操作:以价格C卖出3份看涨期权合约;以50元购入2股股票;以25%的月利率借人40元现金，法拉兹·日·阿卜——学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。
．培根阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——借期为一个月。
所示。
根据上述组合，我们可以得到以下到期收益分布表，如表19. 1 投资组合的到期收益分布表表19.1四月份三月份元S=100 S=25元高低-150 0 卖出3份看涨期权合约3C200 50 -100 买人两股股票-5040 -50 借人现金总计00 0这个例子说明，元，即为期权的价格。
由一价定律3C-100+40=0，可得C= 20唯一需要做的是假设对投资者而言不存可以用一个相当简单的方法为期权定价，月份使得在4在套利机会。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
Excel计算欧式看涨期权的价格二叉树
中 国的证券 市 场 ．欧式 看涨 期权 作为 基本 的衍生 证 券 Ｋ ２中键 入 公 式 “ Ｊ ＊ Ａ ８ ． ＝ Ｉ ￥ ￥ ” 然后 选 择 Ｉ 元 格 的 左 ２单 也 进入 中国的 证券 市场 ．欧式看 涨期 权 的定 价 主要 由 下对 角单元 格 复制 Ｉ ２中公 式 即可 ． 到 Ｅ 在 Ｋ 直 ６ ２右 标 的 的股 票决 定 的 ， 】 票 的二叉 树 、 式 看涨 期 权二 下单元 格 中复制 Ｋ 【股 － 欧 ２公式 直到 Ｑ ，依次类 推填 满所需 ６ 叉 树是 其 中重 要 的一种 分析方 法 ． 文 利用 ｅ ｃｌ 本 ｘｅ 工具 要 的单 元格 ． 从而 得到 股票 的二又 树
ｔ— Ｏ １
股票 价格二 叉树图
期 权 ＝ 叉 树 图
应 用 【 式法 则计 算欧式 看涨 期权 二： ｌ 链 疋树 三、 利用 ｅ ｃ ｌ 算 欧式看 涨期权 ｘｅ计
“
五 期欧 氏看 涨期 权 二叉树 的顶点 为 Ｊ １所 以欧 氏 １．
看涨期权的最后一期在第 ｌ ６行 Ｋ ６键 入 公 式 １ 打 开 ｅｃｌ Ｊ 单 元格 为 顶 点建 立 股 票 的二 叉 树 ＝ Ｘ（ ６ ￥ ２Ｏ， 此 公 式 复 制 到 Ｅ 。６Ｉ，６ ｘｅ 以 １ ＭＡ Ｋ１一 Ａ￥ ，）把 ６Ｇ ， Ｍ ， ６ 模 型 ，１ 为顶 点 建立 欧 氏看 涨期 权 的二叉 树模 型 。Ａｌ ０ Ｊ１ ６利 用 链 式 法 则 在 Ｊ ５处 键 入 公 式 “ Ａ￥ １ ｆＡ １ ￥ １ 半￥ 键 入 １ ０． １键 入 股价 ． ０ Ｂ Ｂ列 键 人 为解 释 Ａ列 数 值 代 ￥ ３ Ｉ６ ￥ ￥ ２： ６ ，复 制此 公式 到 欧氏看 涨期权 的 ｌ １＋ Ａ ｌ ： １ ｌ Ｋｌ 表 的意 义 ， 以下 同理 。 ２单元 格键 入 １ ５ Ｂ Ａ ０ ， ２键入 执 行 所 有节 点 。 算 出欧 氏看涨 期权 的二叉 树 。 该表单 建 计 价 格 ， ３单 元 格 键 入 ５ Ｂ Ａ ，３键 入期 数 ， ７键 入 ０９ Ｂ 立 后 只需 改 变参 数 值 ｕｄｒ 股票 的二 叉 树 和欧 氏看 Ａ ．． ７ ，．则 键 人 ｄ值 ， Ａ８键 入 １１Ｂ ．，８键 入 Ｕ值 ， １键 入 ０９ ， 涨 期权 二叉树 都会 生成 新 的二 叉树 ．可以作 为计算 欧 Ａ１ ．５
第八讲期权二叉树定价模型
22Δ—1=18Δ 得
Δ=0.25
是否一定为正?
因此，一个无风险的组合由0.25股股票和一个期权空头 构成。通过计算可知，无论股票价格是上升还是下降，在期
权有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。 第八讲期权二叉树定价模型
在无套利假设下，无风险证券组合的盈利必定为无风险 利率。
假设无风险利率为年率12％。则该组合的现值应为：
第八讲期权二叉树定价模型
第八讲期权二叉树定价模型
最后股票的可能价格为$72、$48和$32。在这种情况下， fuu=0,fud=4,fdd=20,Δt=1，利用公式（9.8），得到看跌期权的 价格
f=e-2×0.05×1(0.62822×0+ 2×0.6282×0.3718×4+0.37182×20)=4.1923
构造一个证券组合，该组合包含一个Δ股股票多头头寸 和一个看涨期权的空头头寸。是否可有多种构造方法?
第八讲期权二叉树定价模型
第八讲期权二叉树定价模型
由图8-1可知，当股票价格从$20上升到$22时，该证券组 合的总价值为22Δ-1；当股票价格从$20下降到$18时，该证 券组合的总价值为18Δ。
完全可以选取某个Δ值，使得该组合的终值对在上述两 种情况下是相等的。这样，该组合就是一个无风险组合。 由
¡ 式（9.4）说明，当设定上升运动的概率为p时，我们就在假设一个风险 中性世界 。
¡ 式（9.2）说明，衍生证券的价值是其预期收益在风险中性世界中按无 风险利率贴现的值。
¡ 以上过程表明，当为期权和其它衍生证券估值时，完全可以假设世界 是风险中性的。这就是所谓风险中性（risk-neutral valuation）原理。 在风险中性世界中得到的价格，在现实世界中也是正确的。
关于欧式看涨期权的模糊二叉树模型
ｒｅｔＴ ｉ ａｎ ． ｈｓｍｏ ｅ ａ ｉ ｌｔ ｈｅｕ ｃｒ ｉｔ ｆｓ ｃ ｒｃ ｄｌｃ ｎｓｍｕａｅｔ ｎ ｅｔ ｎ ｏ ｏｋｐ ｅｍｏ ｅ ｎ ｎ ｅ 印 ｒｔ ｔｂ ａｃ ｌ Ｉ ｘｅ ｔ ａｕ ｏ ｅ ｉｏ —ｍａ ｉｇ Ｗｅｃｎ ｇｔ ａ ｙ ｔ ｉ ｖｍｅ ｔ ｄｇｔ ａ ｅ ｙｃ１ｕ ｌ ｅｐｃｅ ｖ ｅｆｒｄｃｓ ｍ］ ｇ ｄ ｌ ｉ ｎ ｋｎ ． ａ ｅ
基本 方法 之一 。
然而 ， 现 实 生 活 中 ， 于 信 息 不 对 称 等 原 在 由 因 ， 们对 未来 状况 的估 计 总是 带 有不 确 定 因素 人 的 ， 而基 于个人 主观 判 断或 个 人 风 险偏 好 的决 从 策制 定 、 目评 估 的结果 就 会 存在 差 异 。尤其 在 项 为股票 期权 定价 时 ， 票 价格 运 动 的不 确 定性 使 股
得决策的制定显得较为困难。在二叉树定价模型 的发展过 程 中 ， 们 虽然 已在 其 中加 入许 多现 实 人 因素 ， 股价 发生 崩 盘 或股 票 在期 权 执行 期 间发 如
放 红利等 ， 但对 股 价 运 动 的不 确定 性 却 没 有很 好 的方法来 进 行描述 。 带有 隶属 函数 的模 糊 集 的概 念 是 在 １６ ９５年 由 Ｚｄｈ 一 次 提 出 的 ， 个 理论 至 今 已被 广 ａｅ 第 Ｊ这 泛 地应用 并发 展 。为 了计 量 一个模 糊 事 件 ，ａｅ Ｚｄｈ 在 １７ 年提 出可能性测 度 ｌ ， 形 成 了可 能性 理 ９８ ３并 Ｊ
Ｃｉ ９ Ｓ ｆ ｌ ｏ．７ ａＮ
［ 金融理 论与 实务 ］
关 于 欧 式 看 涨 期 权 的 模 糊 二 叉 树 模 型
陈 怡
（ 天津大学 管理学 院， 天津 ３０７ ） ００２
期权定价的二叉树模型学习笔记（I）
期权定价的二叉树模型学习笔记（I）编者按:二叉树模型是金融衍生产品期权定价的离散模型.人们可以借助二叉树模型分别对欧式看涨看跌期权、美式看涨看跌期权进行期权金定价.抛开金融意义不谈,单从数学角度出发,这部分运用的数学知识仅是微积分的基本知识点.额外需要注意的是,在二叉树章节中反向归纳法(倒向归纳法)是特别重要的一种方法,其在涉及到有关期权问题的证明中显得尤为重要.之所以运用反向归纳法,是因为期权定价中我们已知未来某一时刻的期权状态,由此出发逐步倒向递推在时刻的价格.本系列是笔者学习二叉树模型所做的课堂笔记一部分,仅供参考!Hedging Concept（套期保值概念）Firstly,we should learn the definition of One-Period & Two-State.Definition1.1(One-Period): Assets are traded at & only, hence the term one period.Definition1.2(Two-State): At the risky asset has two possible values(states):& ,with their probabilities satisfying Question:If risky asset and risk free asset ,known ,when two possibilities,.(for strike price ,expired time .) If known at ,how to find out whenDefinition1.3(Hedging Definition):For a given option ,trade shares of the underlying asset in the opposite direction so that the portfoliois risk-free.We can solve Meanwhile,we can getDefine a new Probability MeasureNotice that期权价的期望表示和风险中性测度Notice that denotes that the expectation of the random variable under the probability measure .Let be a certain risky asset, and is a risk-free asset, then iscalled the discounted price(also known as the relative price) of the risky asset at time .Theorem2.1:Under the probability measure ,an option's discounted price is its expectation on the expiration date.i.e Remark:In order to examine the meaning of the probability measure ,consider is an underlying risky asset.It is easy to calculateRisk-Neutral World(风险中性世界)Definition3.1(Risk-Neutral World):Under the probability measure ,the expected return of a risky asset at is the same as the return of a risk-free bond.A financial market possessing this property is called a Risk-Neutral World.Definition3.2(Risk-neutral measure):The probability measure defined byis called by risk-neutral measure.Definiton3.3(The risk-neutral price):The option price given under the risk-neutral measure is called the risk-neural price. Replication(复制),等价性定理In a market consisted of a risky asset and a risk-free asset ,if there exists a portfoliosuch that the value of the portfolio is equal to the value of the option at ,then is called a replicating portfolio of the option ,then option priceTheorem4.1:In a market consisted of•a risky asset ;•a risk-free asset .Then is true if and only if the market is arbitrage-free.In fact, if the market is arbitrage-free, then there exists a risk-neutral measure defined bysuch that二叉树的构造This means that if at the initial time the price of the underlying asset is , then at , will have possible values Denote未完待续......。
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型期权定价是金融领域中的重要问题之一，而二叉树模型是一种经典的期权定价工具。
二叉树模型的主要思想是将期权到期日之间的时间划分为多个等长的时间段，并根据每个时间段内的股价变动情况来计算期权的价值。
下面将介绍二叉树模型的构建过程以及期权定价的基本原理。
首先，我们需要确定二叉树模型的参数。
主要包括股票价格的初始值、期权到期日、无风险利率、每个时间段的长度等。
其中，股票价格的初始值可以通过市场价格获取，期权到期日通常由合约确定，无风险利率可以参考国债收益率，而每个时间段的长度可以根据需要自行设置。
接下来，根据二叉树模型的思想，我们构建一个二叉树。
树的每个节点表示一个时间段，而每个节点下方的两个子节点分别表示股票价格在该时间段内上涨和下跌的情况。
具体构建二叉树的方式有很多种，常见的有Cox-Ross-Rubinstein模型和Jarrow-Rudd模型。
其中，Cox-Ross-Rubinstein模型是一种离散时间模型，每个时间段内股价上涨或下跌的幅度是固定的；而Jarrow-Rudd模型是一种连续时间模型，股价的变动是连续的。
在构建好二叉树之后，我们需要从期权到期日开始反向计算每个节点的期权价值。
通过回溯法，我们可以计算出每个节点的期权价值。
具体计算的方式是，对于期权到期日的节点，其价值等于股价与行权价格的差值（对于欧式期权而言）或者最大值（对于美式期权而言）。
而对于其他节点，其价值等于期权在上涨和下跌情况下的期望值，即其左右子节点的价值经过贴现后得到的值。
通过不断回溯，最终我们可以得到二叉树的根节点即为期权的实际价值。
需要注意的是，期权定价的准确性与二叉树模型的参数设定和树的构建方法有关。
参数的选择需基于市场数据和合理的假设，而构建二叉树的方法应能很好地反映实际股价的变动规律。
此外，二叉树模型也有一定的局限性，特别是在处理股价波动较为剧烈的情况下，可能无法准确地定价。
总之，二叉树模型是一种常用的期权定价工具，可以通过构建二叉树和回溯计算的方式来估计期权的价值。
期权定价-二叉树模型
期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。
二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。
在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。
通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。
期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。
首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。
然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。
在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。
这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。
然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。
通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。
这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。
需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。
首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。
其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。
因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。
总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。
通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。
然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。
期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。
期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。
很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。
因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。
Black-Scholes期权定价公式与希腊值
内）看跌期权的Delta趋近-1，平值看跌期权的 Delta为-0.5，深虚值（价外）看跌 期权的Delta趋近于0。
Delta又称为每轮对冲值或对冲比率。它表示的是期权价格变化对标的价格变化 的敏感度，也就是说，当标的价格变动1元时理论上期权价格的变动量。比如 说，一个期权的Delta值如果是0.5，那么正股每上涨一元，期权的价格理论上会 上涨0.5元。 Delta（及其他希腊字母）具有可加性。（用仓位加权优于用权重加权）如果投 资者持有以下投资组合：表2 投资组合的delta值可以将所有部位的Delta值相加 即：1+2×0.47-3×0.53=0.35。可见，该交易者的总体持仓的Delta值为0.35，也就 是说这是一个偏多头的持仓，（在delta上看）相当于持有0.35的现货。
标的资产不同或到期期限不同则隐含波动率不同。 那么不同的期权，只要标的资产一样，到期期限一样，那么隐含波动率应该一样， 与行权价格k无关。但是实际情况下货币市场有波动率微笑（K很大和很小的隐含波 动率更高）和股票市场的波动率倾斜（K很小的情况下隐含波动率更大）。 “波动率微笑”即具有相同到期日和标的资产而执行价格不同的期权，其执行价格偏 离标的资产现货价格越远，隐含波动率越大。在实证研究中，通过传统BS期权定价 模型计算出来的隐含波动率呈现出一种被称为“波动率微笑”的现象。即价外期权和 价内期权（out of money和 in the money）的隐含波动率高于在价期权（at the money）的隐含波动率，使得波动率曲线呈现出中间低两边高的向上的半月形，也 就是微笑的嘴形，叫波动率微笑。
3，可见期权价格只受以上五个变量的影响。 其中σ不可直接观测，称之为“隐含波动率”，即其他参数给定，结合当前期权价 格，使用BS formula反推出来的波动率参数值。
第八章 期权及其二叉树模型
8. 叠做期权（Straps）： 购进两个看涨期权和一个看跌期权，它们的执行价与 到期日都相同。
9. 逆叠做期权（Strip）： 购买两份看跌期权 和一份看涨期权，具有相同的执行价 和到期日。 10. 三明治买卖（sandwich ）期权：买两份执行价格为 中间的Xm看涨期权,卖一份执行价为XL的较低价格的看 涨期权,卖一份执行价高Xu的看涨期权，即
t 期债券价格:
pBdt 1 1 p But 1 票息 Bt rt 1 2
例 [8-8] 设初始利率为r=10%,在第二期以q=0.5的概 率上升到12%,以0.5的概率下降到d=8.5%。同时假设债 券的面值D=100在一年期半内每半年支付的红利10, 而 每期初债券的价值是期末支付的期望值的折现,求债券 的价格。如图 8-47
二、以债券为标的资产的期权定价 设以例[8-8]中的债券 为标的资产、执行价X=100的
看涨期权, 在t时期市场上价格为Ct，它的收益如下：
图 8-48
Cd ,1 max( Bd ,1 票息-X,0) =13.77
？
Cu ,1 max( Bu ,1 票息-X,0) =15.22
为了达到期权定价 u mCu m 1 r
将m的值代入时,有 (m称为套期保值率hedge ratio)
1 r d u (1 r ) Cu u d Cd u d C 1 r
u,t+1
Bdt 1 But 1 m= Cdt 1 Cut 1
由于是无风险债券组合，故有 （Bt- mCt ）（1+rt/2）= Bd
t+1
+票息- mCdt+1
期权定价的二叉树模型学习笔记（II）
期权定价的二叉树模型学习笔记（II）编者按:二叉树模型的第二部分学习笔记中涉及到欧式看涨看跌期权的定价公式和所谓的平价公式,从形式上来看,该公式还不算特别复杂的.由于欧式期权是在到期日时实施期权,因此它相比美式期权(在到期日之前皆可实施)来说还是较为简单的.关于欧式看涨和看跌期权的平价公式,其刻画了两个期权之间的等量关系,往后所要学习到的美式期权则没有类似的平价公式.因此可以说,平价公式是欧式期权所独有的,这也是欧式期权相比美式期权多的一个差异点.笔记后半部分涉及到的鞍和鞍测度等概念,严格来说其实涉及到测度论的知识,因此首先需要了解的是测度的基本概念.引进鞍的一大目的是为了阐述这样一个核心结论:在二叉树模型下,市场的无套利性质与鞍测度之间具有等价性(if and noly if).尽管我们假设市场是无套利的(动态的无套利),然而要想从数学这个视角精细地刻画这点就不得不寻找等价条件.毫无疑问的是,资产定价基本定理为我们揭示了鞍测度与市场无套利之间的微妙联系.二叉树模型的期权价计算Denote .,We consider possible values of option at :.Question:If are given, how can we determineIn particular,Answer:We can determine by us-ing backward induction in the one period and two-state model.Notice that.Meanwhile, we can calculateThen we want to find二叉树模型欧式期权定价公式Define a risk-neural measure :Then,we will getSo that for any ,When ,=0.折现价二叉树模型的平价公式Denote Then the European call option valuation formula isEspecially,when ,,For the binomial tree method,the call-put parity(in discrete form) becomes鞅（Martingale）的概念the bet at game,the next bet.If under the condition that complete information of all previous game are available,the expectation of equals the previous stake i.e.then we say the gamble is fair.In Mathematics, is called -algebra in stochastic theory.Definition1(Martingale):The best sequence that satisfies conditionas a discrete random process,is called a Martingale.Remark:Martingle is often used to refer to a fair gamble.Then，we give mathematical definition of Martingale.Definition1'(Martingale ):A sequence is a Martingale with respect to sequence if for all :••鞅测度Under the risk-neutral measure ,the discount prices of an underlying asset ,as a discrete random process,satisfy the equation:Remark:Hence the discount price sequence of an underlying asset is a martingale.Definition2(Martingale measure):The risk-neutral measure is called the martingale measure.概率测度等价定义Definition3(Equivvalent measure):Probability measure and Probability measure are said to be equivalent if and only if for any probability event (set) there isi.e. the Probability measure and have the same null set.The European option valuation formula under the sense of equivalent Martingale measure ,can be written asEspecially,鞅测度和无套利等价性;用倒向归纳法证明期权不等式Theorem1(The fundamental theorem of asset pricing):If an underlying asset price moves as a binomial tree, there exists an equivalent Martingale measure if and only if the market is arbitrage-free.Dividend-Paying(股息支付):An underlying asset pays dividends in t-wo ways:•Pay dividends discretely at certain times in a year;•Pay dividends continuously at a certain rate.We only consider the continuous model. For studying the continuous Model, there are two reasons.Meanwhile,we meet the example:A company needs to buy Euro at time to pay a German company. To avoid any loss if Euro goes up, the company buys a call option of Euro with Expiration date at rate .How much premium should the company pay?[上文链接]: 期权定价的二叉树模型学习笔记（I）预知后事如何,请听下回分解......。
欧式看涨期权二叉树定价说课讲解
欧式看涨期权二叉树定价（含matlab代码和结果图）实验概述本实验首先介绍了二叉树方法的来源和主要理论基础，然后给出期权的二叉树定价方法的基本过程和MATLAB7. 0实现的过程。
19. 2 实验目的(1)了解二叉树的定价机理;(2)掌握用MATLAB7. 0生成股票价格的二叉树格子方法;(3)掌握欧式期权和美式期权的二叉树定价方法。
19. 3 实验工具MATLAB 7. 0。
19. 4 理论要点构造二叉树图(Binomial Tree)是期权定价方法中最为常见的一种。
这个树图表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径。
二叉树定价方法与风险中性定价理论是紧密联系的。
Cox, Ross & Rubinstein (1979)首次提出了构造离散的风险中性概率可以给期权定价，在此基础上他们给出了二叉树定价方法。
1)一个简单的例子假设当前(3月份)股票的价格So =50元，月利率是25%。
4月份股票价格有两种可能:S高=100元，S低=25元。
有一份看涨期权合约，合约约定在4月份可以以50元价格买进一股股票。
现在考虑一个投资组合，进行几项操作:以价格C卖出3份看涨期权合约;以50元购入2股股票;以25%的月利率借人40元现金，借期为一个月。
根据上述组合，我们可以得到以下到期收益分布表，如表19. 1所示。
表19.1 投资组合的到期收益分布表四月份三月份S低=25元S高=100元卖出3份看涨期权合约3C 0 -150买人两股股票-100 50 200借人现金40 -50 -50总计0 0 0由一价定律3C-100+40=0，可得C= 20元，即为期权的价格。
这个例子说明，可以用一个相当简单的方法为期权定价，唯一需要做的是假设对投资者而言不存在套利机会。
我们可以通过某种方式构造一个股票和期权的组合，使得在4月份该组合的价值是确定的。
于是我们可以说该组合无风险，它的收益率一定等于无风险收益率。
二叉树方法正是基于上述思想构造了二项分布下的风险中性概率。
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欧式看涨期权二叉树定价（含m a t l a b代码和结果图）实验概述本实验首先介绍了二叉树方法的来源和主要理论基础，然后给出期权的二叉树定价方法的基本过程和MATLAB7. 0实现的过程。
19. 2 实验目的(1)了解二叉树的定价机理;(2)掌握用MATLAB7. 0生成股票价格的二叉树格子方法;(3)掌握欧式期权和美式期权的二叉树定价方法。
19. 3 实验工具MATLAB 7. 0。
19. 4 理论要点构造二叉树图(Binomial Tree)是期权定价方法中最为常见的一种。
这个树图表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径。
二叉树定价方法与风险中性定价理论是紧密联系的。
Cox, Ross & Rubinstein (1979)首次提出了构造离散的风险中性概率可以给期权定价，在此基础上他们给出了二叉树定价方法。
1)一个简单的例子假设当前(3月份)股票的价格So =50元，月利率是25%。
4月份股票价格有两种可能:S高=100元，S低=25元。
有一份看涨期权合约，合约约定在4月份可以以50元价格买进一股股票。
现在考虑一个投资组合，进行几项操作:以价格C卖出3份看涨期权合约;以50元购入2股股票;以25%的月利率借人40元现金，借期为一个月。
根据上述组合，我们可以得到以下到期收益分布表，如表19. 1所示。
表19.1 投资组合的到期收益分布表四月份三月份S低=25元S高=100元卖出3份看涨期权合约3C 0 -150买人两股股票-100 50 200借人现金40 -50 -50总计0 0 0由一价定律3C-100+40=0，可得C= 20元，即为期权的价格。
这个例子说明，可以用一个相当简单的方法为期权定价，唯一需要做的是假设对投资者而言不存在套利机会。
我们可以通过某种方式构造一个股票和期权的组合，使得在4月份该组合的价值是确定的。
于是我们可以说该组合无风险，它的收益率一定等于无风险收益率。
二叉树方法正是基于上述思想构造了二项分布下的风险中性概率。
2)二叉树模型考虑一个不支付红利的股票期权价格估值。
我们把期权的有效期分为很多很小的时间间隔Δt。
假设在每一个时间段内股票价格从开始的价格S以概率p上升到Su,以概率1-p下降到Sd，其中，u>1,O<d<l。
也就是说在任何一个时期，股票都有两个可能的价值，如图19. 1所示。
Su4Su Su3p Su2 Su2Su SuS S S SSd Sd1-p Sd2 Sd2Sd Sd3 Sd4图19. 1股票价值变化的可能性图19. 2 二叉树模型例如，我们假定将期权的有效期分成4个时期，在任何一个时期，股票都有两种可能的价值，即每个时间段都假定是一个两状态过程。
当N=4时，我们有以下结点图19. 2。
在风险中性概率Q 下，P=du d e t r --∆- 且有，f 0=t r e ∆-[pf u +(1-p)f d ]其中fu 和fd 是在△t 期后的期权可能的价格分布，分别为期权价格高点和低点。
令u=1/d ，根据股票回报率的方差t ∆2σ，我们有u=t e ∆σ和d=t e ∆-σ若每个股票价格路径的样本点个数为N+1，那么欧式看涨期权的到期收益的样本路径为：f N,= max [0，Su j d N-j -X]， j=0，1，…，N向后递归可得：f ij =t e ∆-σ[pf i+1,j+1+(1-p)f i+1,j ]相应欧式看跌期权的到期收益表示:f N,j =max[0,X-Su j d N-j ]， j=0，1，…，N美式看涨期权的到期收益与欧式看涨期权是一致的，因此我们下面仅考虑美式看跌期权的格子(Lattice): f N,j =max[0,X-Su j d N-j ]， j=0，1，…，N向后递归可得: max{X-Su j d i-j ,t e ∆-σ[pf i+1,j+1+(1-p)f i+1,j ]}。
i=N-1，N-2，…，0；j=0,1,…i 19. 5 实验过程我们首先给出欧式期权的二叉树定价的MATLAB 代码，然后给出美式期权的二叉树定价的代码。
19. 5. 1 欧式看涨期权1)欧式看涨期权的二叉树定价下面的函数LatticeEurCall( )给出了利用二叉树的方法给欧式看涨期权定%欧式看涨期权的二叉树定价价:%LatticeEurCall.mfunction [price, lattice]=LattceEurCall(SO,E,r,T,sigma, N)%S0:股票现价,E：执行价格,r：利率,T:期权的有效期限,sigma：波动率，N：结点数deltaT=T/N；%日期步长u=exp(sigma*sqrt(deltaT);d=1/u;p=(exp(r*deltaT)/(u-d); %凤险中性概率lattice=zeros(N+ 1, N+1)for j=0,Nlattice(N+1,j+1)=max(0,S0*(u^j)*(d^(N-j))-E);endfor i=N-1:-1:0for j=0:ilattice(i+1,j+1)=exp(-r*deltaT)*…(p* lattice(i+2,j+2)+(1-p)* lattice(i+2,j+1));endendprice= lattice1,1);假设存在有效期为1年的欧式看涨期权，股票初始价格为50，利率为0. 03，波动率为0. 2，执行价格为40，且令结点数N为10，在命令窗口中输人:[price, lattice]=LatticeEurCall(50,40，0. 03，1，0. 2，10)就可以得到一个以下三角矩阵表示二叉树的格子以及欧式看涨期权的价格11. 614 5，如图19. 3所示。
2)欧式看涨期权的二叉树的收敛性质Gox, Ross & Rubinstein (1979)证明了二叉树收敛于Black-Scholes期权定价公式。
取当前时刻为t一△t，在给定参数p, u和d的条件下将二叉树公式:f(S,t一△t)=[pf(Su,t)+(1-p)f(Sd,t)]t r e∆-在(S, t)处进行泰勒展开，可以得到:当△t→0时，二叉树模型收敛于Black-Scholes偏微分方程。
下面给出一个二叉树收敛的直观结果，给出代码CompLatticeBls. m。
%二叉树期权定价的收敛性质%CompLatticeBls. mS0=50;E=50; %执行价格r=0.1; %年利率sigma=0.4; %波动率T=5/12；%有效期限为5个月N=50；BlasC=blsprice(S0,E,r,T,sigma);LatticeC=zeros)1,N);for i=1:NLatticeC(i)=LatticeEurCall(S0,E,r,T,sigma,i); endplot(1:N,ones(1,N)*BlsC);hold on;plot(1:N,LatticeC);xlabel('N')ylabel('二叉树价格'）运行CompLatticeBls.m，可以得到图19. 4。
从图19. 4可以看出，随着区间长度的缩小，二叉树定价收敛于B一S公式确定的价格。
19. 5. 2 欧式看跌期权与欧式看涨期权类似，我们只需将欧式看涨期权的代码稍做改动即可。
%欧式看跌期权的二叉树定价%LatticeEurPut.mfunction[price,lattice]=LatticeEurPut(S0,E,r,T,sigma,N)%S0：股票现价，E：执行价格，r：年率，T：期权的有效期限，sigma：波动率，N：结点数deltaT=T/N；%日期步长u=exp(sigma*sqrt(deltaT));d=1/u;p=(exp(r*deltaT)-d)/(u-d);Lattice=zeros(N+1,N+1）；for j= 0:Nlattice(N+1,j+1)=max(0,E-S0*(u^j)*(d^(N-j)));endfor i=N-1:-1:0for j =0:ilattice (i+1,j+1)=exp(-r*deltaT)*…(p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1));endendprice=lattice(1,1);19. 5. 3 美式看跌期权的二叉树定价根据美式看跌期权的递归公式:f ij = max{X-Su j d i-j,t r e∆-[pf i+1,j+1+(1-p)f i+1,j]}i= N-1,N-2,…,0；j=0，1，…，i可以编写一下代码：%美式看跌期权的二叉树定价%LatticeAmPut.mFunction[price,lattice]=LatticeAmPut(S0,E,r,T,sigma,N0%S0股票现价，E：执行价格，r：利率期权的有效期限，sigma：波动率，N：结点数deltaT=T/N; %日期步长u=exp(sigma*sqrt(deltaT));d=1/u;p=(exp(r*deltaT)-d)/(u-d);lattice=zeros(N+1,N+1);for j= 0;N;Lattice(N+1,j+1)= max(0,E-S0*u^j)*(d^(N-j)));endfor i=N-1:-1:0for j =0:ilattice (i+1,j+1)=max(E-S0*u^j*d^(i-j),exp(-r*deltaT)*…(p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1));endendPrice=lattice(1,1);假设存在有效期为1年的美式看跌期权，股票初始价格为50，利率为0. 03,波动率为0. 2，执行价格为60，且令结点数N为100，在命令窗口中输人:LatticeAmPut ( 50，60,0. 03，1,0. 2，100)，得到美式看跌期权的价格为10. 3056。
比较标准Black-Scholes欧式期权定价公式的结果9. 610 0，显然美式期权的价格要大。
此外，MATLAB7.0金融工具箱还提供了为美式期权二叉树定价的binprice()函数:[Stockprice, Optionprice]=binprice(S0，E, r, T, dt, sigma, FLAG, q) 其中，FLAG取1时为看涨期权，取0时为看跌期权。
q为红利率，可缺省。
运行binprice，返回的是股票和期权在每个节点的价值的矩阵。
在命令窗口输人:[Stockprice, Optionprice]= binprice( 50，60，0. 03，1,0.01,0.2,0);和Optionprice(-1，1)得到美式看跌期权的价格为10. 305 6。