第二章 线性离散系统的Z变换分析法
数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
2.2 z变换
定义： X ( z ) = ΖT [ x (n) ]
注意符号：时域小写 x 变换域大写 X
＝ ∑ x(n)z − n
n =−∞ ∞
∞
=
n =−∞
∑ x(n)r
− n − jω n
e
复变量： z = re jω ，复平面上的点 r = z 幅度，到原点的距离 ω 数字角频率, 与水平轴之间的夹角
重叠区域。一般缩小，个别扩大
十一、时域乘积定理 x(n) ⋅ h(n) ←⎯ → X ( z) ∗ H ( z) Rx − Rh− < z < Rx + Rh + 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ X (ν )H ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠ 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ H (ν )X ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠
Rx − < z < Rx +
Rx − < z < Rx +
2.4 z变换的基本性质和定理
若
ZT x(n) ←⎯→ X ( z)
Rx − < z < Rx +
五、共轭序列 x *(n) ←⎯ → X * ( z *)
Rx − < z < Rx +
六、翻摺序列
⎛1⎞ → X ⎜ ⎟, x(− n) ←⎯ ⎝z⎠ 1 1 < z < Rx + Rx −
实用公式——根据极点的阶，用相应的公式求留数
若zr 是X ( z )z n -1 的多重极点（l 阶极点），则该点处的留数
n -1 ⎤ X z Res ⎡ ( )z ⎣ ⎦ z = zr
1 d l −1 ⎡ l = ⋅ l −1 ( z − zr ) X ( z )z n -1 ⎤ ⎦ z = zr ( l－1)! dz ⎣
第2章-Z变换与离散系统的频域分析PPT课件
-
19
第2章 Z变换与离散系统的频域分析
2) z a
当n0时F (z)在 围 线 c 内 无 极 点
故x(n) 0
j Im[z]
当n0时F ( z ) 在 c 内 有 - n 阶 极 点 z 0
a 1
C
在 c外 有 一 阶 极 点 za,a1,
且 分 母 阶 次 比 分 子 高 两 阶 以 上 0
变换的方法：
令F(z)X(z)zn，1 F(z)在围线c内的极点用 z k 表示，
假设有M个极点。根据留数定理
式中，Res[Fx((zn )), zk2 ]1 表j示cF 被(z积)d 函 z 数k M F1(R z)在se F 极(点z)z z,k k 的留数。求
逆Z变换就是求围线c内所有极点的留数之和。
c为 X (z)收 敛 域 内 闭 合 围 线 而 题 中 未 给 出 收 敛 域 ， 根 据 X ( z ) 的 极 点 z a ,a 1
有 三 种 可 能 的 收 敛 域 ：
1) z a 1
2) z a
3) a z a 1
-
18
第2章 Z变换与离散系统的频域分析
1) z a1
j Im[z]
如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，可以根据留 数辅助定理(2.5.9)改求c外的所有极点留数之和，使问题简化。
-
9
第2章 Z变换与离散系统的频域分析
[例 2.5.6] 已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|>a，求其逆Z变换x(n)。
解：
用留数定理求解， 要先找出F(z)的极点，
极点有：（1）z=a
1. 用留数定理求逆Z变换
2. 幂级数法(长除法)
2012 第2章 Z变换分析法v5解析
• 采样定理： s>2max
• 保持过程：零阶保持器
1 e sT Gh ( s) L[u (t ) u (t T )] s
2
2.1~2.4 离散系统时域描述——差分方程 Z变换 Z变换的性质和定理 Z反变换 Z变换求解差分方程
3
2.1.1 差分的定义
9
2.2.1 z变换定义
1. z变换
采样信号
超越函数
采样信号的z变换
注意：z变换中，z-1代表信号滞后一个采样周期，可称为单位延迟因子。
10
•在Z变换的过程中，由于仅仅考虑的是f(t) 在采样瞬间的状态，所以上式只能表征连 续时间函数f(t)在采样时刻上的特性，而不 能反映两个采样时刻之间的特性，从这个 意义上来说，连续时间函数f(t)与相应的离 散时间函数f *(t)具有相同的Z变换。即
•对上式取拉氏变换，得
F ( z) F * (s) f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (kT ) z k
13
例题
• 例2-2. 求单位阶跃函数的z变换：
1(t ) t 0 u(t ) 0 t<0
• 解： Z (1(t )) 1(t ) * z k 1 z 1 z 2 ...
k 0
1 z , 1 1 z z 1
z 1
14
1 类似的：f(t)=e , 其拉氏变换：F ( s ) ， sa 1 z * - akT 采样序列f (kT)=e , 其Z 变换：F ( z ) aT 1 1 e z z e aT
- at
例2-3 求指数函数 解：
• z-1的有理分式:
数字信号处理,第二章 Z变换讲解
二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
离散系统Z变换分析法02
3.闭环 Z 传递函数的结构图1
闭环 Z 传递函数的结构图2
2.5.4 过渡过程特性
与连续系统用传递函数分析过渡过程类 似，可以用 Z传递函数来分析离散系统的过 渡过程特性。 • 分析离散系统的过渡过程特性的步骤： • • 1）Y（Z）=GC（Z）R（Z）
•
•
2）由Y(Z)求出y(kT)
例题12 例题12
2. 开环 Z 传递函数 • 线件离散系统的开环 Z传递函数 跟连续系统的开环传递函数具有类似 的特性。
串联环节的Z传递函数
例题9
z az , G2 ( z ) = , 设图2 − 10 a）中G1 ( z ) = （ − aT z −1 z −e 试求开环Z传递函数G ( z )。 z az 解：G ( z ) = G1 ( z )G2 ( z ) = z − 1 z − e − aT az 2 = ( z − 1)( z − e − aT )
（1）离散系统稳定的充要条件（时域） 设：系统差分方程
c(k ) + a1c(k − 1) + a2 c(k − 2) + L + an c(k − n) = b0 r (k ) + b1r (k − 1) + L + b0 r (k − m)
系统齐次方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c(k ) + a1c(k − 1) + a2 c(k − 2) + L + an c(k − n) = 0
−1 −1 −Ts
1 1 )( − )] s s+a
= 1(t ) − 1(t − T ) − e − at + e − a ( t −T ) 对y (t )采样，离散化后，得 y (kT ) = 1(kT ) − 1(kT − T ) − e −akT + e − a ( kT −T ) 则 HG ( z ) = Z [ y (kT )] z 1 z 1 1 − e − aT = − − − = − aT − aT z −1 z −1 z − e z−e z − e −aT
基于Matlab语言的线性离散系统的Z变换分析法
基于Matlab语言的线性离散系统的Z变换分析法实验一基于Matlab语言的线性离散系统的Z变换分析法班级: 姓名: 学号: 日期:一、实验目的:1、学习并掌握Matlab语言离散时间系统模型建立方法;2.学习离散传递函数的留数分析与编程实现的方法;3.学习并掌握脉冲与阶跃的编程方法;4.理解与分析离散传递函数不同极点的时间响应特点。
二、实验工具:1MATLAB软件(6、5以上版本);2每人计算机一台。
三、实验内容:1在Matlab语言平台上,通过给定的离散时间系统差分方程,理解课程中Z变换定义,掌握信号与线性系统模型之间Z传递函数的几种形式表示方法;2学习语言编程中的Z变换传递函数如何计算与显示相应的离散点序列的操作与实现的方法,深刻理解课程中Z变换的逆变换;3通过编程,掌握传递函数的极点与留数的计算方法,加深理解G(z)/z的分式方法实现过程;4通过系统的脉冲响应编程实现,理解输出响应的离散点序列的本质,即逆变换的实现过程;5通过编程分析,理解系统单位阶跃响应的Z变换就是系统的传递函数与单位阶跃函数Z变换,并完成响应的脉冲离散序列点的计算;6通过程序设计,理解课程中的不同的传递函数极点对系统动态行为的影响,如单独极点、复极点对响应的影响。
四、实验步骤:(一)传递函数的零极点程序: 结果:numg=[0、1 0、03 -0、07];deng=[1 -2、7 2、42 -0、72];g=tf(numg,deng,-1)get(g);[nn dd]=tfdata(g,'v')[zz,pp,kk]=zpkdata(g,'v')hold onpzmap(g), hold offaxis equal(二)留数法程序:numg=[2 -2、2 0、65];deng=[1 -0、6728 0、0463 0、4860];[rGoz, pGoz,other]=residue(numg,[deng 0])G=tf(numg,deng,-1)impulse(G)[y,k]=impulse(G);stem(k,y,'filled');impulse(G)结果:rGoz = 0、4905 + 0、0122i0、4905 - 0、0122i-2、31851、3374pGoz = 0、6364 + 0、6364i0、6364 - 0、6364i-0、6000other = []Transfer function:2 z^2 - 2、2 z + 0、65-----------------------------------z^3 - 0、6728 z^2 + 0、0463 z + 0、486Sampling time: unspecified(三)不同位置的根对系统的影响1)2个共轭极点(左圆内)+1实极点(圆内)P1 =0、6364 + 0、6364iP2=0、6364 - 0、6364iP3=-0、6000程序: 结果:zz3=[-0、2 0、4];pp3=[-0、6 0、6364+0、6364i 0、6364-0、6364i];kk3=2;tts3=-1;eg3zpk=zpk(zz3,pp3,kk3,tts3);eg3=tf(eg3zpk);[y,k]=impulse(eg3,50);stem(k,y,'filled'),grid2)2个共轭极点(右圆内)+1实极点(圆内)P1= -0、8592 P2= -0、0932 + 0、4558i P3= -0、0932 - 0、4558i 程序: 结果:zz3=[-0、2 0、4];pp3=[-0、8592 -0、0932+0、4558i -0、0932-0、4558i]; kk3=2;tts3=-1;eg3zpk=zpk(zz3,pp3,kk3,tts3);eg3=tf(eg3zpk);[y,k]=impulse(eg3,50);stem(k,y,'filled'),grid3)2个共轭极点(圆上)+1实极点(圆内)p1=0、6+0、8i p2=0、6-0、8i p3=-0、6程序: 结果:zz3=[-0、2 0、4];pp3=[-0、8592 -0、6+0、8i -0、6-0、8i];kk3=2;tts3=-1;eg3zpk=zpk(zz3,pp3,kk3,tts3);eg3=tf(eg3zpk);[y,k]=impulse(eg3,100);stem(k,y,'filled'),grid4、2个共轭极点(虚轴上)+1实极点(圆内)p1=i p2= -i p3= -0、6程序: 结果:zz3=[-0、2 0、4];pp3=[-0、6 i -i];kk3=2;tts3=-1;eg3zpk=zpk(zz3,pp3,kk3,tts3);eg3=tf(eg3zpk);[y,k]=impulse(eg3,100);stem(k,y,'filled'),grid5、2个实极点(圆内)+1个实极点(圆外)p1=2 p2=0、8 p3=-0、6程序: 结果:zz3=[-0、2 0、4];pp3=[2 0、8 -0、6];kk3=2;tts3=-1;eg3zpk=zpk(zz3,pp3,kk3,tts3);eg3=tf(eg3zpk);[y,k]=impulse(eg3,100);stem(k,y,'filled'),grid6、2个实极点(圆内)+1个实极点(圆上)p1=1 p2=0、8 p3=-0、6程序: 结果:zz3=[-0、2 0、4];pp3=[1 0、8 -0、6];kk3=2;tts3=-1;eg3zpk=zpk(zz3,pp3,kk3,tts3);eg3=tf(eg3zpk);[y,k]=impulse(eg3,100);stem(k,y,'filled'),gridp1=1 p2=-0、8 p3=-0、6程序: 结果:zz3=[-0、2 0、4];pp3=[1 0、8 -0、6];kk3=2;tts3=-1;eg3zpk=zpk(zz3,pp3,kk3,tts3);eg3=tf(eg3zpk);[y,k]=impulse(eg3,100);stem(k,y,'filled'),grid五、实验报告要求1、根据实验结果,分析离散传递函数不同极点的时间响应特点2、通过程序设计,分析不同的传递函数极点如:单极点、复极点、重根极点对系统动态行为的影响3、分析留数法的意义,根据系统的阶跃响应判别系统的稳定性4、对Z变换的进一步思考六、实验结果:1、根据实验结果,分析离散传递函数不同极点的时间响应特点。
第二章Z变换
2n－
1 3
(0.5)n
u
(
n
)
由已知的收敛域 知道是因果序列
n0 n0
16
２、长除法
x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即
X (z )x ( n )z n x ( 1 )z x ( 0 ) x ( 1 )z 1 x ( 2 )z 2 n
因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数， 则级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是 一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接 用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式， 从而得到x(n)。
[ x ( n ) ] X ( z ) R x |z | R x
[y (n ) ] Y (z ) R y |z| R y
则 [ a ( n ) b x ( n ) y a ] ( z ) b X ( z )Y R |z | R 其中RmaRx x,[Ry]，RmiR nx,[Ry]，即线性组合后的
zb
| z||b|
如果a=b，则此例与上例中右边序列的Z变换表达式 完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的， 不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围， 才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的
重要性。
10
４、双边序列
一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边 序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这 两个序列Z变换的公共收敛区间。
0 |z| , n 20
ROC
0
Re[z]
有限长序列的收敛域
5
例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=RＮ(n)，求其 X(z)。
解：
X(z)n x(n)znN n 0 1zn1 1 zz N 1
第二章Z变换
左边序列的n Z 变 换的收敛域n 一 定位于最内n 部 1 极点的内部，
其收敛域为：
0 z Rx
左边序列 的收敛域
4.双边序列
双边序列可看作左边序列和右边序列之和，其Z变换为：
1
X (z ) x (n )z nx (n )z n x (n )z n
n
n 0
n
双边序列 的收敛域
X(ej)1a1ej
za
此时，ROC包括了单位圆。
例2: x(n)anu(n1)
1
X(z) anzn anzn
n
n1
1aa1z1z 11az1
za
例3. x(n)(1)nu(n)2nu(n1)
2
X (z) (1)n zn 1 2n zn
n0 2
n
1
1 1
z 1
1
1 2 z 1
2
ROC: 1 z 2 2
定包括 z 点。
因果序列的收敛域为： Rx z
例1．考虑一系统，其中 H(z)11 1z112 1z1
判断其是否为因果系统？
2
z2
解： 因为H(z)的ROC是最外边极点的圆的外边，所以它的 单位脉冲响应h(n)是右边序列。为了确定是否是因果的， 我们可以利用因果性所要求的其它条件来检验。
把H(z)表示成两个多项式之比
数形式 的反变X换( z。)
3. 留数法：
由留数定理有：
x (n )1 2j
cX (z)zn 1 d zR e s[X (z)zn 1 ,zi] i
x ( n ) 等 于 X ( z ) Z n 1 在 围 线 积 分 C 内 所 有 极 点 Z i 上 的 留 数 的 总 和
离散系统Z变换分析法01PPT课件
Z eTs
s 1 ln Z T
式中Z是用复数 Z平面来定义的
一个复变量
E(Z ) e(kT ) z k k 0
(7 18)
E(z)为e*(t)的z变换，记作
Z[e*(t)]=E(z)
因为z变换只对采样点上的信号起作用， 所以也可写作：
Z[e(t)]=E(z)
将式（7-18）展开 E(z)=e(0)z0 + e(T)z-1 + e(2T)z-2 +……
分析的方法有： 古典法 拉氏变换分忻法 状态空间分析法
线性离散系统的数学描述
与线性连续系统类似，线性离散系 统的输入与输出之间用线性常系数差分 方程描述，即
y(kT )a1y(kT T)a2y(kT 2T) an1y(kT nT T)any(kT nT )
b0r(kT )b1r(kT T) bmr(kT m)T
一般项e(kT).z-k的物理意义：
e(kT)----采样脉冲的幅值 z-k ----采样脉冲的时间
采样函数的z变换是变量z的幂级数 （或称罗朗级数）
2.典型信号的z变换
（1）单位脉冲函数 （2）单位阶跃函数 （3）单位斜坡函数 （4）单位加速度函数 （5）单位理想脉冲序列
(1)单位脉冲函数
设e(t) (t) 因为(t)只有在t 0处存在，其余均0， 为
(| z | 1)
(3)单位理想脉冲序列
设e(t) T (t) (t k T)，则 k0
E(Z) T (k T) zk 1 z1 z2 z3 k0
1 z 1z1 z 1
(| z |1)
(4)设e(t)=sint，因为
sin t 1 ( e jT e jT )
所以
2.z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
z 变换与离散时间Fourier 1、z 变换2、离散时间3、序列的z Fourier 变换的关系4、离散系统的系统函数，系统的频率响应信号与系统的分析方法：时域分析方法 变换域分析方法连续时间信号与系统： Fourier Laplace离散时间信号与系统： z 变换离散时间信号与系统的分析方法2.1.1 z 变换的定义2.1 z 变换：z X )(其中成一个复平面，称为ωj e r z ⋅=(x z 反变换：其中，积分路径是在逆时针旋转的闭合围线。
在数字信号处理中，不需要用围线积分来求2.1.2 z 变换的收敛域对任意给定序列的所有z 值的集合称为z 变换公式的级数收敛的充要条件是满足绝对可和，对某一具体的使该不等式成立，这个域，收敛域内不能有极点。
n ∞=−∞∑2.1.3 4 种典型序列的除0 和∞两点是否收敛与n 1和n 2取值情况有关外，整个z 平面均收敛。
1. 有限长序列x (n ) 只在n 1≤n ()()z X z x n 其变换：即要求： ROC 至少为：1()()X z x n z −=0(0)x z +如果n 2 ≤0 n 1<0，n 2≤如果n 1≥0 n 1≥0，n 2> 0如果n 1< 0 <n 1<0，n 2 > 0 1100n n Roc ∴≥<当时， 当时， 因果序列的处收敛在∞处收敛的变换，其序列必为因果序列在工程中，人们感兴趣的主要是因果序列。
1()()n n X z x n ∞==∑2. 右边序列x (n ) 在n ≥n 1时有值，在2200n n Roc ∴≤>当时， 当时，2()()()n n n X z x n x n =−∞=−∞==∑∑3. 左边序列x (n ) 在n ≤n 2 时有值，在x x x x x R R R R z R −+−++∴≥<<<当时， 当时，0()()()nn n X z x n x n z ∞−=−∞==∑ Roc: 0≤前式 Roc: x R −后式4. 双边序列n 为任意值时x 例1：x (n )=δ(变换及收敛域。
传递函数
第2章 线性离散系统的Z变换分析法
—计算机控制技术—
2-4-2 用Z变换求解差分方程
平移定理
差分方程
代数方程
用Z变换求解差分方程的步骤：
（1）对差分方程作Z变换； （2）利用已知初始条件代入Z变换式，求出Y(z)表达式； （3）对Y(z)求Z反变换，求出差分方程的解:
y(kT )
1
[Y ( z )]
x(0)=0, x(1)=1，求其时间响应式。
解： 根据超前定理，其差分方程的Z
z X ( z) - z x(0) - zx(1) 3zX ( z) - 3zx(0) 2 X ( z) 0
2 2
整理后得
( z 2 3z ) x(0) z x(1) X ( z) 2 z 3z 2
Z传递函数的推导：
设n阶定常离散系统的差分方程为：
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n) b0 u(k ) b1u(k 1) bm u(k m)
在零初始条件下，取Z变换
(1 a1 z 1 an z n )Y ( z ) (b0 b1 z 1 bm z m )U ( z )
i 0
k 1
通解 + 特解
第2章 线性离散系统的Z变换分析法
—计算机控制技术—
2．古典解法（解析法）
通解求法：
与式（2-1）对应的齐次方程为
y(kT ) a1 y(kT T ) a2 y(kT 2T ) an y(kT nT ) 0
（2-3）
k A 通解具有 的形式，代入式（2-3），有
第2章 线性离散系统的Z变换分析法
—计算机控制技术—
第二章_Z变换
− ∑ x( m)z −m ]
m =0
n
在单位圆上无极点， 因为 ( z − 1) X ( z ) 在单位圆上无极点，上式两端对 z = 1 取极限
lim( z − 1) X ( z ) = lim[ ∑ x(m + 1) − ∑ x(m)]
z →1 n →∞ m = −1 m =0 n n
Z变换总结
X ( z) =
n=−∞
x(n)z−n = ∑ x(n)z−n + ∑ x(n)z−n ∑
n=0 n=−∞
∞
∞
−1
= 右边序列 + 左边序列
1） 的模决定， （1）由于收敛条件由 |z| 的模决定，所以收敛于一个 圆的边界 收敛， 大的Z的模一定 （2）对右边序列：z > r1 收敛，则比 r1 大的 的模一定 ）对右边序列： 收敛， r1 是右边序列的极点 收敛， 收敛， 小的数一定收敛， （3）对左边序列：z < r2 收敛，比 r2 小的数一定收敛， ）对左边序列： r2 是左边序列的极点
Z [ x ( n + n 0 )] = x ( m ) z − m + n0 ∑
∞
m = −∞
∞ n0 −m = z ∑ x ( m ) z = z n0 X ( z ) m = −∞
20
时移后收敛域一般不发生变化（单边序列0和 有例外 有例外） 时移后收敛域一般不发生变化（单边序列 和∞有例外）
∑
x(n) z − n
要使上式收敛，只要求 n1 ≤ n ≤ n2 时， x(n) < ∞ ，且 且 如果 n1 < 0 ，则收敛域不包括 z = ∞ 点 如果 n 2 > 0 ，则收敛域不包括 z = 0 点 也就是说收敛域至少是除了 z = 0 及 z = ∞ 外的开域
第2章_3 线性离散系统的Z变换分析方法
试判断系统的稳定性。
解： 由特征方程可得特征根为
z1 = −0.5, z2 = 0.6, z3 = −0.7, z4 = 0.8, z5 = 0.9
Q
zi < 1, i=1, 2,L ,5
特征 −1 n−2 w wn − 3 n−4 w M
an an −1 b1 c1 d1 M
an − 2 an −3 b2 c2 d2 M
an − 4 an −5 b3 c3 d3 M
an −6 L an −7 L b4 L c4 d4 M L L L
第2章 线性离散系统的Z变换分析法
—计算机控制技术—
第2章 线性离散系统的Z变换分析法
—计算机控制技术—
2-6-1 离散系统的稳定性分析
S平面与Z平面的映射关系: 回顾：在定义Z变换时，令 z = eTs ，s, z 均为复数变
量，T是采样周期。 设 则
s = σ + jω
σ －实部
jωT
z=e
T (σ + jω )
=e
σT
⋅e
ω －虚部
模 ： | z |= e σ T 相 角 ： ∠ z = ωT
设有n个闭环极点 zi 互异，m＜n，输入为单位阶跃 函数， 则
b0 z m + b1 z m −1 + L + bm Y ( z) = n ⋅ R( z) n −1 z + a1 z + L + an = b0 z m + b1 z m −1 + L + bm
∏ (z − z )
信号与系统复习资料 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT
Z变换与DTFT
以下假设
n1<n2
•如果n2 ≤0 ，则收敛域不包括∞点
• 如果n1≥0 ，则收敛域不包括0点
• 如果n1<0<n2，收敛域不包括0 、∞点
1) n2 0( n1 0), 0 z
2) n1 0( n2 0)， 0 z
3) n1 0, n2 0， 0 z
Rx
当Rx Rx 时，Roc :
-10-
0
当Rx Rx 时，Roc : Rx z Rx
Z变换与DTFT
例1
[n]1, 0 z
ZT
[n]z
n
n
[0]z 1
0
收敛域应是整个z 的闭平面
-11-
Z变换与DTFT
Z变换与DTFT
第二章 z变换和DTFT
-1-
Z变换与DTFT
本章主要内容：
1. z变换：定义及收敛域，z变换的反变换
z变换的基本性质和定理 2. ZT 与连续信号LT、FT的关系
（信号）
3. 离散时间信号的DTFT（序列的傅立叶变换）
4. z变换与DTFT的关系 5. DTFT的一些性质 6. 周期性序列的DTFT 7. DTFT变换的对称性质
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n ) z = RN (n ) z
n n n
N Z=1处零 z 1 极对消 z N 1 ( z 1)
1 z = z 1 z 1 n 0
N 1 n
n N
q n1 q n2 1 n q 1 q n n1
2第二章-z变换
调用： num [ p0 , p1 , p2 , , pM ]
den [d 0 , d1 , d 2 , , d N ] H freqz(num, den, )
ˆ X a ( s)
X (z )
思考练习
?
X a (s)
2. Z变换与傅里叶变换
s j 的拉普拉斯变换即为傅里叶变换，
ze e
sT
jT
映射为z平面的单位圆
jT
X ( z ) z e jT X (e
ˆ ) X a ( j)
抽样序列在单位圆上的z变换，等于其理想抽 样信号的傅里叶变换。
c
c
| H (e j ) |2 d
c
Parseval定理
序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系
统进行分析。它是用{ 变换用{
jt
e
j n
}作为基函数对序
列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶
e
}对模拟信号进行展开相似。
4. 序列傅立叶变换的对称性
• 序列的共轭对称性质
xe (n) xe (n) 若序列 xe (n)满足
则称 xe (n)为共轭对称序列
若序列xo (n)满足 xo (n) x
o
( n)
则称 xo (n)为共轭反对称序列
任何序列 x(n)均可表示成上述两种序列之和，
即x(n) xe (n) xo (n) 1 xe ( n) {x( n) x ( n)} 2 其中 1 xo ( n) {x( n) x ( n)} 2
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F(z) f (kT )zk f (0) f (1T )z1 f (2T )z2 f (kT )zk k 0
因为z-k 代表时序变量，所以由上式直接求得f*(t)为
f (t) f (0) f (1T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) f (kT ) (t kT )
1. 幂级数展开法（长除法）
例z 1 z2
，用长除法求其对应的时间序列f(kT)。
解：用F(z)的分子除以分母
第二章 线性离散系统的Z变换分析法
黑龙江科技大学
本章内容
Part one
采样信号变换 原理
Part four
线性离散系统 的稳定性
Part two
Z变换与Z反变换
Part three
脉冲传递函数
Part one
2.1 采样信号变换原理
计算机控制系统及信号形式
采样：利用采样开关，将模拟信号按照一定的时
2.2.1 Z变换定义
连续函数f(t)是可以进行拉氏变换的，它的拉式变换定义为
F(s) L{ f (t)} f (t)estdt 0
连续信号f(t)经采样后得到采样函数f*(t)
f (t) f (kT) (t kT) k 0
2.2.1 Z变换定义
F (s) L{ f *(t)} f (kT) (t kT) estdt 0 k 0
1、采样过程
理想脉冲采样过程的数学表达
y*(t) y(t) (t kT ) k 0
y* (t) y(kT ) (t kT ) k 0
2、采样定理
T (t)
0
t
e(t )
e* (t )
调制器
e(t )
e* (t )
0
t
0
t
2、采样定理
在计算机控制系统中，一个连续信号经过采样开关得到的采样信号， 能否反映出原连续信号的特性，能否精确地复现出原来的连续信号，就是 采样定理要解决的问题。
F (Z ) Z 1F (Z ) 1
F(Z)
1 1 Z 1
Z Z 1
2. 部分分式法
n
G(s)
ai ,
i1 s pi
ai s pi
aie pit
ai z z e- piT
则相应地：
G(z)
Z[ f
(t)]
n i 1
ai z z e piT
解：F(z)在z1=z2=1时为二重极点，在z3=2处为单极点。
F1 ( z )
F(z) z
(z
A1 1)2
A2 (z 1)
A3 (z 2)
式中 A1 (z 1)2 F1(z) z1 1,
z
3、滞后定理 Z[ f (t nT )] znF(z)
4、超前定理
n1
Z[ f (t nT )] zn[F(z) f ( jT)z j ] j0
5、终值定理
2.2.3 Z变换的基
本性质和定理 lim f t lim f (kT) lim (1 z1)F(z) lim z 1 F(z)
2. 部分分式法
由于经常遇到的z变换式F(z)大都是z的有理分式，因此可将F(z)展 开成部分分式之和。再通过查z变换表来获得各个简单部分分式所对 应的时间序列，进而获得F(z)的z逆变换表达式。
（1）所有极点是互不相同的单极点
F(z) n Ai
z
i1 z pi
F(z) Ai (z pi ) z z pi
F(z) z
(z
A1 p1)2
z
A2 p1
z
A3 p3
z
An pn
n
f (kT ) Z 1[F (z)] A1kp1k1 A2 p1k Ai pik , k 0 i3
2. 部分分式法
例：求 F ( z)
z3
-
z 4z2
5z
，
2
的z反变换。
e3T ) )(z e3T
)
3. 留数法
例：求 F (s) (s 的2s)Z2 (3变s 换1) 。
解：F ( z)
(2
1 1)!
d [(s ds
2)2
(s
s3 2)2 (s
1)
z
z esT
]s2
[(s
1)
(s
s3 2)2 (s
1)
z
z esT
X (z) (1 z 1 ) 2
1. 级数求和法（亦称定义法）
例：求单位阶跃函数 f (t) 1(t) 的Z变换。
解： F (Z ) f (kT )Z k 1Z 0 1Z 1 1Z 2 k 0
F (Z )Z 1 Z 1 Z 2 Z k
间间隔T重复开闭得到采样信号的过程。
量化：用一组二进制代码来逼近采样信号的幅值 G G G
并将其转换成数字信号，即把采样信号转变成数 O
字序列的过程。
O
O
保持：它是离散信号转换成模拟信号的过程，是 采样过程的逆过程，又称信号重构。实现保持作 用的电路称为保持器。
计算机控制系统结构
2.1.1 信号采样与采样定理
外推
2.1.2 采样信号复现与保持器 2、零阶保持器
gh0 (t) 1(t) 1(t T )
Gh0 (s)
L[gh0 (t)]
1 s
1 s
eTs
1 eTs s
Gh
0
(
j
)
2 s
sin (
/ s)
j (
e s
)
( / s )
2、零阶保持器
3、一阶保持器
通常无重极点的可分解为
n
F(s)
Ai ,
i1 s ai
Ai (s ai )F (s) sai
2. 部分分式法
例：求 F(s) 的Za变换。
s(s a)
解： F (s) a 1 1
s(s a) s s a
查表2-2可知
F(z)
1 1 z 1
1
F ( j ) f (t)e jtdt
f ( j ) 1
F ( j )d
2
f (t) F( j )
2、采样定理
F*( j )
F( j ) T ( j )
1 T
F( j
jk s )
2、采样定理
频率混叠
2、采样定理
F(z) (3) (5)z1 (7)z2 (9)z3 (11)z4
因此，F(z)对应的时间序列为 { f (k)} {3,5,7,9,}
若给定F(z)对应的采样周期T，则F(z)对应的采样信号为
f (t) (-3) (kT ) (5) (kT T ) (7) (kT 2T ) (9) (kT 3T )
e
1
aT
z
1
(1 eaT )z 1 (1 z 1)(1 eaT z 1)
3. 留数法（柯西留数定理）
已知连续时间函数f(t) F(S),及全部极点Si (i 1,2,, m),则
m
m
F(z)
Res[F(Si
)
Z
Z e SiT
]
Ri
i 1
i 1
fi
(kT
)
z 1[
z
Ai
z pi
]
Ai
pik
,
k
0, i
1,2,,
n
2. 部分分式法
例：求 F (z) 0.5z1 ，的z反变换。
(z 1)(z 0.5)
解：
F(z) z
1 z 1
z
1 0.5
,
A1
1,
A2
1,
p1
1,
p2
0.5
f (kT ) f1(kT ) f2 (kT ) A1 p1k A2 p2k 1 0.5k
2.2.1 Z变换定义
引入 z eTs
z{ f *(t)} F (z) f (kT)zk k 0
上述两个公式均表示为采样信号f*(t)的L变换，不同之处就在于 定义域s和z；
将z变换公式和L变换公式比较可知，二者一致，说明z变换在采 样系统中的作用等价与L变换在连续系统中的作用.
t
k
z1
z1 z
2.2.4 Z反变换
由Z变换F(z)求出相应的采样函数f*(t)，称为Z反变换，表示为
Z 1[F (z)] f (t) Z 1[F (z)] f (t)
1. 幂级数展开法（长除法）
由z变换的定义式 F (z) f (kT)zk k 0
解：两个单极点 s 1, s 3
F(z)
(s
1)
(s
1 1)( s
3)
z
z esT
s1
(s
3)
(s
1 1)( s