高二数学 3.2.2复数的基本运算

课后练习题 1.复数2＋i 1－2i 的共轭复数是( ) A ．－35i B.35

i C ．－i D ．i

解析：选C.2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ） ＝2－2＋5i 5

＝i ， ∴2＋i 1－2i

的共轭复数是－i. 2.已知a ∈R ，若(1－a i)(3＋2i)为纯虚数，则a 的值为( )

A ．－32 B.32

C ．－23 D.23

解析：选A.∵(1－a i)(3＋2i)＝(3＋2a )＋(2－3a )i 为纯虚数，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧3＋2a ＝0，2－3a ≠0，解得a ＝－32. 3.若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________．

解析：∵z ＝i(2－z )，

∴z ＝2i －i z ，

∴(1＋i)z ＝2i ，

∴z ＝2i 1＋i

＝1＋i. 答案：1＋i

4.若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2

为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝（a ＋2i ）（3＋4i ）25＝3a －8＋（4a ＋6）i 25

＝3a －825＋4a ＋625

i. 因为z 1z 2

为纯虚数，所以3a －8＝0且4a ＋6≠0， 所以a ＝83

. 答案：83

[A 级 基础达标]

1.已知复数z ＝1－2i ，那么1z

＝( ) A.55＋255i B.55－255

i C.15＋25i D.15－25

i 解析：选D.1z ＝11＋2i ＝1－2i （1＋2i ）（1－2i ）＝1－2i 5

＝15－25

i. 2.若复数z 满足方程z 2＋2＝0，则z 3等于( )

A ．±2 2

B ．－2 2

C ．－22i

D ．±22i

解析：选D.∵z 2＋2＝0，∴z ＝±2i ，

∴z 3＝±22i. 3.复数z ＝2－i 2＋i

(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：选D.z ＝2－i 2＋i ＝（2－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ） ＝3－4i 5＝35－45

i ， 所以z 在第四象限．

4.若复数(1＋a i)(2－i)的实部与虚部相等，则实数a ＝__________．

解析：∵(1＋a i)(2－i)＝(2＋a )＋(2a －1)i 的实部与虚部相等，∴2＋a ＝2a －1.∴a ＝3. 答案：3

5.已知z 1＝（1＋2i ）4（3－i ）3，z 2＝z 12－i

，则|z 2|＝________． 解析：|z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（1＋2i ）4（3－i ）3（2－i ）＝|（1＋2i ）4||（3－i ）3|·|2－i|

＝（5）4（10）3×5＝122＝24

. 答案：

24

6.已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b ＝(a ＋2z )2.

解：因为z ＝1＋i ，

所以az ＋2b ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，

(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i

＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.

因为a ，b 都是实数，

所以由az ＋2bz －＝(a ＋2z )2，得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2）. 两式相加，整理得a 2＋6a ＋8＝0，解得a 1＝－2，a 2＝－4.对应求得b 1＝－1，b 2＝2.

所以所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.

[B 级 能力提升] 7.已知 ＝2＋i ，则复数z ＝( )

A ．－1＋3i

B ．1－3i

C ．3＋i

D ．3－i

解析：选B.由题意知 ＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.

8.已知z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i （2＋i ）2

，则z 1z 2＝( ) A ．－4＋3i B ．3＋4i

C ．3－4i

D ．4－3i

解析：选D.∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i （2＋i ）2

， ∴z 1z 2＝（－2－3i ）（2＋i ）23－2i ＝－i （3－2i ）（2＋i ）2

3－2i z z z 2z 2z 1z

i +

＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i.

9.已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 2的共轭复数与z 1的积是实数，则实数t 的值为________． 解析：由题意知 ＝t －i(t ∈R)， z 1＝(t －i)(3＋4i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.

∵ z 1∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34

. 答案：34

10.已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．

(1)求b ，c 的值；

(2)试说明1－i 也是方程的根吗？

解：(1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，

∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，

即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.

∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩

⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2. ∴b 、c 的值为b ＝－2、c ＝2.

(2)方程为x 2－2x ＋2＝0.

把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根． 11.(创新题)设复数z 满足|z |＝5，且(3＋4i)z 在复平面上对应的点在第二、四象限的平分线上，|2z －m |＝52，求复数z 和实数m 的值．

解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)．

∵|z |＝5，∴x 2＋y 2＝25.

又(3＋4i)z ＝(3＋4i)(x ＋y i)＝(3x －4y )＋(4x ＋3y )i ，

且对应的点在第二、四象限平分线上，

∴3x －4y ＝－(4x ＋3y )，化简得y ＝7x .

将它代入x 2＋y 2＝25得，

x ＝±22，y ＝±722

， ∴z ＝±(22＋722

i)． 当z ＝22＋722

i 时，|2z －m |＝|1＋7i －m |＝52，解得m ＝0或2； 当z ＝－(22＋722

i)时，同理解得 m ＝0或－2.

2z 2z 2z