梅涅劳斯定理入门篇

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梅涅劳斯定理（入门篇）

雷雨田（广西师范大学附属外国语学校高50班 541004）

梅涅劳斯定理

这个定理怎么记最好呢？个人感觉“顶到分、分到顶、顶到分、分到顶、顶到分、分到顶”这样记忆来得非常容易

不过找了很多资料，感觉仅仅是把这个定理（或者后面附一个逆定理）陈述然后证明完了之后，就直接给例题（或者直接讲赛瓦定理），看上去不怎么舒服，所以我把其他的一些东西附在这里，以供参考。

第一角元形式的梅涅劳斯定理

（就是把线段比改为正弦值比）其表达式为：

1=∠∠∙∠∠∙∠∠BA

'B sin 'CBB sin CB 'C sin 'ACC sin AC 'A sin 'BAA sin 证明如下：

如图所示，由三角形面积公式（正弦定理）可得：

AC 'A sin AC 'BAA sin AB AC 'A sin AC 'AA 'BAA sin 'AA AB S S C 'A 'BA C 'AA 'ABA ∠⋅∠⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅==∆∆2

121 同理可得CB

'C sin BC 'ACC sin AC B 'C 'AC ,BA 'B sin AB 'CBB sin BC A 'B 'CB ∠⋅∠⋅=∠⋅∠⋅=

把这三个式子相乘，运用梅氏定理，就可得到

这个式子怎么记最好呢？

个人感觉根据梅涅劳斯定理中线段所对应的角来记忆最好。

第二角元形式的梅涅劳斯定理

设O 是不在三角形ABC 三边所在直线上的任意一点，其他条件不变，则表达式为： 1=∠∠∙∠∠∙∠∠OA

'B sin 'COB sin OB 'C sin 'AOC sin OC 'A sin 'BOA sin 现证明如下：

B C A’

如图，由C

'A 'BA S S OC 'A 'BOA =∆∆ 可得A

'B 'BA OB OC OC 'A sin 'OA B sin ⋅=∠∠

同理得到另外两个对称式，相乘，运用梅氏定理即得证

这个式子就这样记吧：

先记住原来的梅涅劳斯定理形式，然后在每条线段表达式中间插一个O ，然后再在前面加上∠sin （比如BA'就变成'BOA sin ∠）

梅氏定理的用处

这个定理是平面几何的一个重要定理（好像所有竞赛书都把他与赛瓦定理放在第一节，不知是惯性还是怎么地），它大概有如下用处：

可以用来证明三点共线；

可以用来导出线段比例式；

可以用来寻求一条线段是另一条线段的几分之几或几倍（即线段倍分）；

怎么用梅氏定理

知道了这个定理，还要会用才行。问题是怎么用？

观察可以发现，用这个的关键是选好三角形，并找到它的截线（或作出截线）。在题目中，经常会出现三点共线的情况，把这个看成是某个三角形的截线，然后导出一个式子加以运用。

另外要注意灵活应用这个定理（有时要用几次）及其逆定理。在一些题目中可以找到不少三角形及其截线（不过个人感觉很不好找= =`````），这时就可以多次运用往要证明的东西靠近。