20172018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理(C卷02)

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2017_2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题文C卷02201807130174

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题文（C 卷 02）学校:___________ 班级：___________姓名：___________考号：___________得分：第 I 卷评卷人得分一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．z 1．若 z=4+3i,则= ( )z4 3 4 3A ． 1B ． -1C ．+ i D ．- i5 55 5【答案】Dz 4 3i 4 3z22ziz 5 5 5【解析】由题意得，所以，故选 D ．435,4 3 i2．已知一个四棱柱的侧棱垂直于底面，条件 p : “该棱柱是正四棱柱”，条件 q : “该棱柱底面是菱形”，那么 p 是 q 的（）条件A ．既不充分也不必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．充要【答案】B3．下列求导运算正确的是（）11A ． (2x )'=x2x1B ．2'C ． (3e x )'3e x D ．(x) 2x x x2x cos x x sin x ()'cos xcos x2【答案】Cx xx x 2 ' 2 ln2 3 ' 3x x 2 ' 2 e ex x x x'，，，．x x cos x cos x2 2本题选择C选项．14．观察如图图形规律，在其中间的空格内画上合适的图形为（）A．B．C．D．【答案】D点睛：本题通过观察图形，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题．归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质．二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）．5．已知命题p:x＞0 ，有e x1成立，则p为（）0 0 0 0 ex xe0＜1 x0 1xA．，有成立B．，有成立C．，有成立D．，有成立＞x0 1x0 1 0 00 0 ＞e xe＜x【答案】C【解析】特称命题的否定为全称命题，则：若命题p:x＞0 ，有e x1成立，则p为x0＞0 ，有成立．e0＜1xA．B．C．D．【答案】B2【解析】，焦点到渐近线的距离为，说明，则，∴双曲线的方程为，故选:B 7．下列说法：①残差可用来判断模型拟合的效果；②设有一个回归方程：，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归直线：必过点；④在一个列联表中，由计算得，则有的把握确认这两个变量间有关系（其中）；其中错误的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】分析：根据题意，依次对题目中的命题进行分析，判断真假性即可．详解：对于①，残差可用来判断模型拟合的效果，残差越小，拟合效果越好，∴①正确；对于②，回归方程=3﹣5x中，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，∴②错误；对于③，线性回归方程= x+ 必过样本中心点（，），∴③正确；对于④，在2×2列联表中，由计算得k2=13．079，对照临界值得，有99%的把握确认这两个变量间有关系，④正确；综上，其中错误的命题是②，共1个．故选：B．点睛：本题考查了命题的真假判断，考查了统计的有关知识，属于中档题．8．已知点为双曲线的右焦点，直线与交于两点，若,设,且，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D点睛：由双曲线的对称性知M，N关于原点对称，且，由于涉及到M，N到焦点的距离，所以从双曲线的定义入手，利用可建立一个关系式，其中，这样就把离心率与之间的函数式表示出来，最后根据三角函数的性质可得其范围．9．设集合，，现有下面四个命题：；若，则；：若，则；：若，则．其中所有的真命题为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题设可得，，则当时，有，所以命题正确；若时，，则，所以命题错误；若，则，所以命题正确；若时，成立．故正确答案为B．点睛：此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算，以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能，属于中低档题型，也是常考题型．在二次不等式的求解过程中，首先要算出其相应二次方程的根，当时，则有“大于号取两边，即，小于号取中间，即”．10．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最大值为（）A．B．9 C．D．10【答案】A点睛：这个题目考查了椭圆的几何意义和椭圆定义的应用；椭圆上的点到两焦点的距离之和是定值，一般题目中出现点到其中一个焦点的距离，都会将点和另一个焦点连接起来，利用定义将两者转化．11．设过抛物线y2 4x的焦点F的直线l交抛物线于点A, B，若以AB为直径的圆过点P1, 2，且与x轴交于M m,0，N n,0两点，则mn（）A．3 B．2 C．-3 D．-2【答案】C【解析】抛物线焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=﹣1y2 2y1 2设直线MN的方程为x=ty+1，A、B的坐标分别为（，y1），（，y2）4 4联立直线和抛物线得到方程：y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4，x x y yx1+x2=ty1+1+ty2+1=t（y1+y2）+2=4t2+2， 1 2 =2t2+1， 1 2 =2t，2 2则圆心D（2t2+1，2t），由抛物线的性质可知：丨AB丨=x1+x2+p=4（t2+1），由P到圆心的距离d= ，由题意可知：d= 丨AB丨，5则当 y=0，求得与 x 轴的交点坐标，假设 m ＞n ，则 m=3﹣2 3 ，n=3+2 3 ， ∴mn=（3﹣2 3 ）（3+2 3 ）=﹣3，故选：C ．点睛：这个题目考查了圆锥曲线中的定点、定值问题，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力．求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向．f xax 3 bx 2 x (a 0)f 'x,1ab12．已知函数的导函数在区间内单调递减，且实数，满足不等式ba 22a 2 0 ，则3 的取值范围为（）ba21 33 3 A ．B ．C ．D ． ,6 ,,6222 21 3 ,2 2【答案】C 【解析】由 fx ax bx x 可得 fx ax bx 因为 a>0，所以由 f 'x在区间,1内单调递322321,b减，可知1,3a b 0, 又实数 a,b 满足不等式 b a 2 2a 2 0 ，故实数满足不等式组3a3a b0 {b a 2a 2 0 ,2a 0在直角坐标系中作出上述不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，aObb3又的几何意义是表示平面区域内的动点 Q(a,b)与定点 P(2,3)连线的斜率，数形结合易知最大，最kkPOa 2PB30 3 3a b小，由方程组{,B 1, 3 ，k6, b a2a 2 0 1 22PBkPO3 3 b33. ,6 所以的取值范围为，故选 C ．2 2a 22点睛：本题的难点在于能够数形结合，看到不等式3a b 0 要联想到二元一次不等式对应的平面区域，看到不6等式b a 2 2a 2 0 要联想到二次不等式对应的曲线区域．如果这个地方不能想到数形结合，本题突破就不容易．数学的观察想象是数学能力的一个重要部分,在平时的学习中,要有意识的培养和运用．第II卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）～（23）题为选考题，考生根据要求作答．评卷人得分二、填空题：本题共4小题，每小题5分．1x R,sin x213．命题：“”的否定是__________．1【答案】x R,sin x2【解析】命题：“”的否定是“”．1 , sin 1x R,sin x x R x2 21故答案为：x R,sin x214．已知抛物线C: y 2 4x的焦点为F,M x, y, N x, y是抛物线C上的两个动点，若1 12 2x xMN，1 2 2 2则MFN的最大值为__________．【答案】3（或60°）点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用．抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．15．某校为保证学生夜晚安全，实行教师值夜班制度，已知A, B,C, D, E共5名教师每周一到周五都要值一次夜7班，每周如此，且没有两人同时值夜班，周六和周日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起B,C至少连续4天不值夜班，D周四值夜班，则今天是周___________．【答案】四【解析】因为A昨天值夜班，所以今天不是周一，也不是周日若今天为周二，则A周一值夜班，D周四值夜班，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与B，C至少连续4 天不值夜班矛盾若今天为周三，则A周二值夜班，D周四值夜班，则周三与周五B，C至少有一人值夜班，与B，C至少连续4 天不值夜班矛盾若今天为周五，则A周四值夜班，与D周四值夜班矛盾若今天为周六，则A周五值夜班，D周四值夜班，则下周一与周二B，C至少有一人值夜班，与B，C至少连续4 天不值夜班矛盾，综上所述，今天是周四x y2 216．已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的两焦点的对称点分别为，线段C: 1 M C M C P,Q MN16 12的中点在C上，则PN QN__________．【答案】16x y2 2【解析】设椭圆C的长轴长为2a，则由，得a=4，116 12又设F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，K为线段MN的中点，如图所示，由已知条件，易得F1，F2分别是线段MB，MA的中点，则在△NBM和△NAM中，有|NB|=2|KF1|，|NA|=2|KF2|，又由椭圆定义，得|KF1|+|KF2|=2a=8，故|AN|+|BN|=2（|KF1|+|KF2|）=16．故答案为：16．8点睛：本题解题关键是利用好椭圆定义，|PF1|+|PF2|为定值，结合平面几何性质，问题迎刃而解．评卷人得分三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个实体考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知命题p：函数f x x a x在上单调递增；命题：关于的方程有2 2,x2 4x8a0aq x解．若p q为真命题，p q为假命题，求实数a的取值范围．2【答案】．a1, 2,3【解析】试题分析：命题p：函数f x=x a+x在上单调递增，利用一次函数的单调性可得a1或a2 2,a x2 4x8a0 42 48a0 22 a；命题q：关于x的方程有实根，可得，解得；若“p或q”为3真，“p且q”为假，可得p与q必然一真一假．分类讨论解出即可．2x a, x af x{ f xa, x a试题解析：由已知得，在a,上单调递增．若p为真命题，则，，或；2 2,a,a2 2 a a 1 a 2a若q为真命题，42 48a0 ，8a 4 ， 2 ．a3p q p q p q为真命题，为假命题，、一真一假，a 1当p真q假时，或a 2 ，即a 2 ；2a391 a 22当p假q真时， 2 ，即．1aa 33综上所述：．a21, 2,3【名师点睛】本题考查了一次函数的单调性、一元二次方程由实数根与判别式的关系、复合命题的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．18．（本小题满分12分）某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：数据表明与之间有较强的线性关系．（1）求关于的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为和，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误概率不超过0．01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数，．，．【答案】（1）（2）82（3）可以认为试题解析：（1）由题意可知，10故．，故回归方程为．（2）将代入上述方程，得．（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36．抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人．于是可以得到列联表为：于是，因此在犯错误概率不超过0．01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关．点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题．求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势．19．（本小题满分12分）宜昌市拟在2020年点军奥体中心落成后申办2022年湖北省省运会，据了解，目前武汉，襄阳，黄石等申办城市因市民担心赛事费用超支而准备相继退出，某机构为调查宜昌市市民对申办省运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：支持不支持合计年龄不大于50岁80年龄大于50岁1011合计70 100（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办省运会无关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3 人，求至多有1位教师的概率．22 n ad bc附：, ．Kn a b c da b c d a c b dP(K k) 0．100 0．050 0．025 0．0102k2．706 3．841 5．024 6．6357【答案】（1）见解析（2）能（3）10【解析】试题分析：（1）根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表．（2）根据列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．（3）列举法确定基本事件，即可求出概率．试题解析：支持不支持合计年龄不大于50岁20 60 80年龄大于50岁10 10 20合计30 70 1001220．（本小题满分12分）x y22的焦距为2 3 ，且C过点3, 1已知椭圆．a b2C:1(a b0)2 2(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设B、B分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于1 2B、B的任意一点，过点P作PM y轴于1 2M, N为线段PM的中点，直线B N与直线y 1交于点D, E为线段2B D的中点，O为坐标原点，求证：1ON EN.【答案】（Ⅰ）x24y 21．（Ⅱ）证明见解析．【试题解析】（Ⅰ）由题设知焦距为2 3 ，所以c 3 ．1又因为椭圆过点，所以代入椭圆方程得3,213 4 1a b2 2因为a 2 b 2 c2 ，解得a 2，b 1，故所求椭圆C的方程是x24y 21．（Ⅱ）设P x0 ,y0 ，0 , 0xx ，则M0, y，0 ,N yx．0 00 02因为点P在椭圆C上，所以x242 ．即x 2y2 ．y0 10 4 4 013又B 2 0,1 ，所以直线2 0,1B N 的方程为22 y 1y 1x ．xx令 y1，得 x1 y 0x，所以 D, 1．1 y又B 1 0, 1 ， E 为线段B D 的中点，所以1xE,12 1 y．所以EN yO Nyxxx,, 1，22 2 1 y．x xxxx222因ON ENy y 1yy2 2 2 1 y44 1 y0 04 4y211100 y y y4 1y 00 00 0 0，所以ON EN,即ON EN．【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和圆锥曲线的位置关系,考查利用向量的数量积证明两条直线垂直的方法．要求椭圆的标准方程,即求得a,b的值,需要两个条件,题目给定椭圆的焦距和椭圆上一点的坐标,由此可以建立方程,解a 2 b 2 c2 ,联立方程组可求得a,b的值．21．（本小题满分12分）1af x x a ln x,g xa R 已知函数．x (1)若a 1，求函数f x的极值；(2)设函数hx f x g x，求函数h x的单调区间；(3)若在区间1,e e2.71828上不存在x，使得成立，求实数的取值范围．f xg xa 0 0 0【答案】（1）极小值为f 11；（2）见解析（3）2 a e 21 e 1【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，最后根据符号变化规律确定极值（2）先求导数，再因式分解，根据因子符号确定函数单调区间（3）先求命题的否定：区间1,e上min 0存在一点,使得成立，转化为对应函数最值当时，，再根据函数单调性x f x g xx1,eh x0 0 0确定函数最值，即得实数a的取值范围．最后根据补集得满足条件的实数a的取值范围．14x 1试题解析：（I ）当 a1时，，列极值分布表f xx ln x f ' x0 x1x（1，）fxf 1 1f x在（0,1）上递减，在上递增，∴的极小值为；1a （II ）h ' xh x x a ln xxx 1 x 1 ax 1 x 1 ax2①当 a1时， h 'x 0,h x 在（0，）上递增；②当 a1时， h 'x0 x 1a ，∴ hx 在（0,1 a ）上递减，在1a,上递增；（III ）先解区间1,e上存在一点x ,使得成立f xgx 01,ex 1,eh x f xg xminh x在上有解当时，由（II ）知 ①当 a1时， h x在1,e上递增，∴h minh 1 2 a0 a2a2②当 a1时， h x 在（0,1 a ）上递减，在1a,上递增当1a0时， hx在1,e上递增，无解h minh 12 a0 a2a当 ae 1时， hx 在1,e上递减1a e1 2e 21，∴；ae 1hh e e aa mine e 1当 0 a e 1时， h x在1,1 a上递减，在1a ,e上递增hh aa aamin12ln 1令 F a 2 a a ln 1 a2 1 ln 1 a，则F ' a2 1aaaa 210,e 112 0F aF a 0在递减，，无解，F aF ee 1即 ha aa 无解；min2 ln 1e 21综上：存在一点 ,使得成立，实数的取值范围为：或．xf xgxaa 2ae 115所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为．x f x g x a0 0 0点睛：不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立，而不等式的解集的对立面（如f x m的解集是空集，则f x m恒成立）)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f x a恒成立⇔a f x，f x a 恒成立⇔maxa fxmin．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4 4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）若直线与相切，求的直角坐标方程；（2）若，设与的交点为，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先根据直线与C相切得到k的值，再写出直线的直角坐标方程．(2)先求AB的长，再求点C到直线AB的距离，最后求的面积．（2）因为，所以直线方程为，16原点到直线的距离,联立解得或,所以，所以．点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标方程的互化，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力．(2)解答坐标系和参数方程的题目，可以选择极坐标解答，也可以选择参数方程解答，也可以选择直角坐标解答，要看具体的情况，具体分析．23．【选修4 5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若函数的图像最低点为，正数，满足，求的取值范围．【答案】（1）．(2) ．【解析】分析：第一问首先利用零点分段法去掉绝对值符号，将不等式转化为三个不等式组，接着对三个不等式组分别求解，之后将其求并集得到不等式的解集；第二问写出函数的解析式，得到函数图像的最低点的坐标，从而求得，这样问题就转化为已知两个正数的整式形式和为定值，求其分式形式和的最小值问题，相乘除以4，即可求得结果．17（2）由的图像最低点为，即，所以，因为，，所以当且仅当时等号成立，所以的取值范围为．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，一是有关绝对值不等式的解法，那就是应用零点分段法，将其化为三个不等式组求解，其中对应的思想就是去掉绝对值符号，再者就是会找函数图像的最低点，之后借助于有关两个正数的整式形式和分式形式的和，其中一个是定值，求另一个的最小值的时候，方法就是相乘，之后应用基本不等式求解，注意的一点就是必须坚持乘1才是不变量．18。

20172018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理(A卷02)

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理（A 卷02）学校:___________ 班级：___________姓名：___________考号：___________得分：第I 卷评卷人得分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数()()134i i i++等于( )A ． 7i +B ． 7i -C ． 77i +D ． 77i -+ 【答案】A 【解析】复数()()()134********i i i i i i iii++-+++-===+-．故选A ． 2．可表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】，故选．3．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（） A ．710 B ． 58 C ． 38 D ． 310【答案】B【解析】至少等待15秒的对立事件为等待不超过15秒，由几何概型知1551408P =-=，故选B ． 4．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是84，乙班学生成绩的中位数是85．则2x y +的值为（）A ． 10B ． 12C ． 13D ． 15 【答案】B5．1+ii= A ． 2- B ． 2 C ． 1- D ． 1 【答案】B【解析】将式子化简为()1111i i i i i ++==--， 1+ii = 1 2.i -=故答案为：B ．6．记A ， B 分别为事件A ， B 的对立事件，如果事件A ， B 互斥，那么（） A ． A B ⋃是必然事件 B ． A B ⋃是必然事件 C ． A 与B 一定互斥 D ． A 与B 一定互斥【答案】B【解析】由题意事件A ， B 互斥，则A B ⊆，∴A B ⋃为必然事件，故选B ． 7．已知f(x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ． e 2B ． eC ．ln22D ． ln 2 【答案】B【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e ．选B ．8．在下列命题中，正确命题的个数是（） ①若是虚数，则；②若复数满足，则；③若复数，，且对应的复数位于第四象限，则实数的取值范围是；④若，则．A． 0 B． 1 C． 2 D． 3【答案】B【解析】分析：利用复数的知识对每一个命题逐一分析判断．详解：对于①,举例z=1+i ,但是，但是不能说2i≥0，因为虚数和实数不能比较大小．所以①不正确．对于②，举例z=i，所以但是,所以②不正确．对于③，=所以所以③正确．对于④，若，举例但是不成立．所以④不正确．故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的基础知识，意在考查学生对复数的基础知识的掌握能力．(2)判断命题的真假时，要灵活，可以证明，也可以举反例．9．在区间上任取一个实数，则的概率是( )A． B． C． D．【答案】C10．已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B点睛：本题的难点在于解题的思路．已知条件和探究的问题看起来好像没有分析联系，这里主要利用了分析法，通过分析构造函数，利用导数的知识解答． 11．函数的单调减区间为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由函数，可得，又由，解得，所以函数的递减区间为，故选B ． 11．已知()()2212ln 22f x x ax x x ax =+--在()0,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ． {}1 B ． {}1- C ． (]0,1 D ． [)1,0- 【答案】B【解析】()()221222f x x ax lnx x ax =+--，()()2f x x a lnx ='+． ()f x 在()0+∞，上是增函数，()0f x ∴'≥在()0+∞，上恒成立．当1x =时， ()0f x '=满足题意，当1x >时， 0lnx >，要使()0f x '≥恒成立，则0x a +≥恒成立1x a a +>+， 10a ∴+≥，解得1a ≥-，当01x <<时， 0lnx <，要使()0f x '≥恒成立，则0x a +≤恒成立，1x a a +<+， 10a ∴+≤，解得1a ≤-，综上所述， 1a =-，故选B ．点睛：本题主要考查的知识点是运用导数来求函数的单调性以及参量的取值范围．求导的含有参量，为满足题意，对其进行分类讨论，并且要满足同时成立，要注意本题的解题关键是分类，属于中档题．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）～（23）题为选考题，考生根据要求作答．评卷人得分二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若复数z 的共轭复数z 满足()13i z i -=+，则z =__________．【答案】5【解析】由题意可得： 3=1iz i +-，则33105112i i z z i i ++=====--． 14．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K 2的观测值k ＝27．63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(填“有关”或“无关”) 【答案】有关【解析】计算的观测值27.6310.828k =>，则我们有有99．9%的把握认为打鼾与患心脏病是有关的． 15．一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为__________．【答案】6π【解析】设正方体箱子棱长为2，由已知条件可知，蜂蜜只能在一个半径为1的球内飞行，结合几何概型知识可得蜂蜜“安全飞行”的概率4386p ππ==，故答案为6π．【方法点睛】本题題主要考查“体积型”的几何概型，属于中档题．解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总体积（总空间) 以及事件的体积(事件空间)；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误． 16．在区间上随机取一个实数，则使函数无零点的概率为__________．【答案】【解析】∵函数无零点，∴，即．∵在区间上随机取一个实数，且区间的长度为，∴概率为，故答案为．评卷人得分三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个实体考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：（1）求m的值及这50名同学数学成绩的平均数x；（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在[]130,140的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知成在[]130,140的同学中男女比例为2：1，求至少有一名女生参加座谈的概率．【答案】(1) 0.008m=，121．8(2) ()45P A=【解析】试题分析：（1）先根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率，所以小长方形面积和为1，因此求得m;根据组中值与对应区间概率乘积的和等于平均值得x；（2）先根据比例得男生4人，女生2人，再利用枚举法得从6名同学中选出3人的所有事件数，确定其中不含女生的事件数，得至少有一名女生事件数，最后根据古典概型概率公式求概率试题解析：（Ⅰ）由题()0.0040.0120.0240.040.012101m+++++⨯=解得0.008m=950.004101050.012101150.024101250.04101350.012101450.00810x=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯121.8=18．盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．【答案】（1）518；（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．试题解析：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝＝＝．(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4．{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝＝；{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝＝＝；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝．所以随机变量X的概率分布如下表：X 2 3 4P因此随机变量X 的数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＝．19．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人． ①记X 表示选取4人的成绩的平均数，求()87P X ≥；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布和数学期望．【答案】（1）2000；（2）①235，②2．【解析】试题分析：（1）众数为76，中位数为76，抽取的12人中， 70分以下的有4人，不低于70分的有8人，从而求出从该校学生中任选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率，由此能求出该校这次测试成绩在70分以上的人数；（2）①由题意知70分以上的有72， 76， 76， 76， 82， 88， 93， 94，当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类：一类是： 82， 88， 93， 94，共1种；另一类是： 76， 88，93， 94，共3种．由此能求出()87P X ≥；②由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E ξ（）．试题解析：(1)众数为76，中位数为76．抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为82123=，故该校这次测试成绩在70分以上的约有2300020003⨯=（人）②由题意可得， ξ的可能取值为0，1，2，3，4()0444481070C C P C ξ===, ()13444816817035C C P C ξ====,()224448361827035C C P C ξ====,()31444816837035C C P C ξ====,()4044481470C C P C ξ===． ξ的分别列为 ξ1234P170 835 1835 835 170()0123427035353570E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．设()()2ln ,1x xf xg x a x x ==+- ．（1）证明： ()f x 在()0,1上单调递减；（2）若01a x <<<，证明： ()1g x >．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导,证明0＜x＜1时,f(x)＜0 ．(2)第（2）问，分0＜a≤1e和1e＜a＜1两种情况证明，每一种情况都是先通过求单调性再求函数的最小值大于1．（2）g(x)＝a x ln a＋ax a－1＝a(a x－1ln a＋x a－1)，当0＜a≤1e时，ln a≤－1，所以a x－1ln a＋x a－1≤x a－1－a x－1．由（Ⅰ）得ln lna11xx a<--，所以(a－1)ln x＜(x－1)ln a，即x a－1＜a x－1，所以g(x)＜0，g(x)在(a，1)上单调递减，即g(x)＞g(1)＝a＋1＞1．当1e＜a＜1时，－1＜ln a＜0．点睛：本题的难点在第（2）问，当0＜a≤1e时求导之后，怎么证明g(x)＝a x ln a＋ax a－1＝a(a x－1ln a＋x a－1)＜0，其中用到了第一问的结论ln lna11xx a<--，不然不是很好判断导数的正负．21．已知()()()3231ln ,2x f x x e e x g x x x a =--=-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =，求a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞;(2) a 的取值范围是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．【解析】试题分析：（1）求出函数()f x 的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性．（2）由题意得函数()f x 在()0,+∞上的值域为[)0,+∞．结合题意可将问题转化为当()x 0,∈+∞时，满足()0g x ≥的正整数解只有1个．通过讨论()g x 的单调性可得只需满足()()10{20g g ≥<，由此可得所求范围．试题解析：（1）由题意知函数的定义域为()0,+∞．因为()()1ln x f x x e e x =--，所以()x e f x xe x '=-，令x e y xe x =-，则20x x e y e xe x+'=+>，所以当0x >时， ()x e f x xe x'=-是增函数，又()10f e e '=-=，故当()0,1x ∈时， ()()0,f x f x '<单调递减，当()1,x ∈+∞时， ()()0,f x f x '>单调递增．所以()()0,1f x 在上单调递减，在()1,+∞上单调递增．（2）由（1）知当1x =时， ()f x 取得最小值，又()10f =，所以()f x 在()0,+∞上的值域为[)0,+∞．因为存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =，所以满足()0g x ≥的正整数解只有1个．因为()3232g x x x a =-++，所以()()23331g x x x x x =-+'=--，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()10{ 20g g ≥<，即10{ 220a a +≥-+<，解得122a -≤<．所以实数a 的取值范围是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．点睛：本题中研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修44：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点0为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为24pcos sin θθ=, P 点的极坐标为3,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P 3． (1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11PA PB+的值．【答案】(1) 24x y = 直线l 的参数方程为12{ 33x t y ==+(t 参数)． (2) 116PA PB +=．【解析】分析：(1)根据{x cos y sin ρθρθ== （θ 是参数），将24pcos sin θθ=左右两边同时乘以ρ，得24x y =．将点P的极坐标化为直角坐标，根据斜率写出直线的参数方程．(2)将A、B设成参数方程，联立曲线C得2134342t t⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，整理化简利用韦达定理求11PA PB+的值．详解：(1)曲线C的方程为24x y=点P的直角坐标为(0,3)直线l的参数方程为12{33x ty t==+(t参数)．点睛：本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标间的关系．通过联立参数方程和直角坐标方程，建立1t与2t关系的方法是解决参数方程的重点，关键是在联立是保证直线的方程为标准参数方程．23．【选修45：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1);(2)．【解析】试题分析：（1）由题意，可将含绝对值的函数转化为分段函数，再逐段进行求解，汇总所得解，从而问题可得解；（2）由题意，可构造函数，将其转化为分段函数，并作出其图象，结合其图象，对参数的取值范围，进行分段讨论，汇总所有解，从而问题可得解．（2）由，得．令作出的图象如图所示，由题意知的图象恒在函数的图象的下方．由图象可知，当经过点时，解得或．当时，的图象经过点，显然不成立；当时，的图象经过点，成立，所以，即实数的取值范围为．。

20172018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理(C卷01)江苏版

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理（C 卷01）江苏版一、填空题 1．设函数()()21xf x ex ax a =--+，其中1a <，若仅存在两个的整数12,x x 使得()()120,0f x f x <<，则实数a 的取值范围是______．【答案】253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】分析：设g （x ）=e x（2x ﹣1），y=ax ﹣a ，则存在两个整数x 1，x 2，使得g （x ）在直线y=ax ﹣a 的下方，由此利用导数性质能求出a 的取值范围．使得g （x ）在直线y=ax ﹣a 的下方， ∵g′（x ）=e x（2x+1）， ∴当x ＜﹣12时，g′（x ）＜0， ∴当x=﹣12时，[g （x ）]min =g （﹣12）=﹣212e -．当x=0时，g （0）=﹣1，g （1）=e ＞0，直线y=ax ﹣a 恒过（1，0），斜率为a ，故﹣a ＞g （0）=﹣1，且g （﹣1）=﹣3e ﹣1＜﹣a ﹣a ，解得a ＜32e ．g （﹣2）≥﹣2a ﹣a ，解得a ≥253e， ∴a 的取值范围是[253e ， 32e）．故答案为： 253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭点睛：：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 2．已知a 为常数，函数()221f x a x x =---的最小值为23-，则a 的所有值为____．【答案】144，令()0f x '=221a x x =--，则21a x a =+. ∵函数()f x 的最小值为23- ∴0a >∴()0f x '>，得()()2110a a a x ⎡⎤--+>⎣⎦.①当01a <<时，函数()f x 的定义域为,a a ⎡-⎣，由()0f x '>得1aa x a <+ 1a x a a <≤+，由()0f x '<得11a a x a a -<<++()f x 在,1a a a ⎡⎢+⎣， ,1aa a +上为增函数，在,11a a a a ⎛++⎝上为减函数.∵()1af a a-=-， 11a af a a ⎛⎫= ⎪ ⎪+-⎝⎭， ∴()min 2113a a f x f a a ⎛⎫===-⎪⎪+-⎝⎭，则14a = ②当1a >时，函数()f x 的定义域为[]1,1-，由()0f x '>得11a ax a a -<<++， ()0f x '<得 11ax a -≤<-+或11a x a <≤+，函数()f x 在,11a a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭上为增函数，在1,1a a ⎡⎫--⎪⎢⎪+⎣⎭， ,11aa ⎛⎤ ⎥ +⎝⎦为减函数. ∵11a af a a ⎛⎫-=- ⎪⎪+-⎝⎭， ()11f a =- ∴()min213a a f x f a ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，则4a =. 综上所述， 14a =或4a =. 故答案为4，14. 3．设函数()33,,{ 2,.x x x a f x x x a -≤=->（1）若0a =，则()f x 的最大值__________．（2）若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是__________．【答案】 2 (),1-∞4．已知函数f(x)＝x|x2－3|．若存在实数m，m∈(0，5]，使得当x∈[0，m] 时，f(x)的取值范围是[0，am]，则实数a的取值范围是______．【答案】[1，3)【解析】f(x)＝x|x2－3|()()223,3{3,3x x xx x-≥=-<，作出函数图像如图所示：当m∈(2，5]时，此时f(x)的取值范围是()0,f m⎡⎤⎣⎦.所以()f m am=，即()23m m am-=，得(]231,2a m=-∈.综上：实数a的取值范围是[1，3).故答案为：[1，3).5．斜率为13直线l经过椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左顶点A，且与椭圆交于另一个点B，若在y轴上存在点C使得ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为________．【答案】63【解析】设经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点(),0A a -且斜率为13的直线方程为3x y a =+，联立2222223{ 0x y a b x a y a b =-+-=，得()2222960a b y ab y +-=，解得22269ab y a b =+，则232222296,99ab a ab B a b a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， AB 的中点为3222223,99a ab M a b a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， AB 的中垂线方程为2322223399ab a y x a b a b ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，令0x =，得2322330,9C ab a x a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，则322233,9a ab CA a a b ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭， 23232222966,99ab a ab a CB a b a b ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，则0CA CB ⋅=，即233223222222933660999ab a a ab ab a a a b a b a b----⨯+⨯=+++，化简，得223a b =，则222c b =，即该椭圆的离心率为2633c e a ===. 6．已知函数()23f x x x a =-在[]0,2x ∈的值域为[]0,4m ，则实数m 的最小值为_____．【答案】12（2）当0a >时，函数()g t 在[]0,a 单调递增，在[],3a a 上单调递减，在[)3,a +∞上单调递增，且 ()()344g a g a a ==， ()()300g a g ==，①若4a ≥时，则()g t 在[]0,2单调递增，则()()22444316g a m =-=，即3242m a =->； ②若44a a ≤<，即14a ≤<时， ()()32max 416g t g a a m ===，即2a a m =≥ 12；③若44a>，即01a<<时，()()()32max444316g t g a m==-=，即31222m a=-≥；综上所述，12m≥，即实数m的最小值为12.7．已知函数()31243f x x ax=-+在[]1,2上单调递增，则a的取值范围为______．【答案】312,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性；已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；（2）将函数()f x在某区间上单调递增转化为()0f x'≥（但不恒为0）在该区间上恒成立.8．已知椭圆Γ：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点,A B在椭圆Γ上，112AF F F⋅=且22AF F Bλ=，则当[]2,3λ∈时，椭圆的离心率的取值范围为______．【答案】53,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为112AF F F⋅=，所以可设()()2,,,0,,bA c F cB x ya⎛⎫- ⎪⎝⎭，由22AF F Bλ=，得()22,,bc x c yaλ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即221,bB caλλ⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为221,bB caλλ⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭在椭圆22221x ya b+=上，所以222222211bcaa bλλ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=，即()222222c b aλλ++=，即()222222c b aλλ++=，即()()2222431c a λλλ++=-，即2211414333c a λλλλλλ--===-++++在区间[]2,3上为增函数，所以53,53c a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即椭圆的离心率的取值范围为53,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点睛：本题考查椭圆的几何性质、平面向量的共线和垂直的判定；在研究椭圆中过焦点的弦时，要注意与对称轴垂直的情形，即椭圆和双曲线的通径，如过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点(),0F c -与对称轴垂直的弦称为椭圆的通径，长度为22b a，记住结论可减少运算量.9．已知函数()sin f x x =，若存在12,,,n x x x 满足1206n x x x π≤<<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()112n n f x f x -+-=（2m ≥， *N m ∈），则m 的最小值为__________．【答案】8【方法点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质及数形结合思想，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln (0)f x x x =>图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交x 轴于点E ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点F ，设线段EF 的中点T 的横坐标为t ，则t 的最大值是________．【答案】112e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()2211ln 112ln 11ln 1022m t m m m m -⎛⎫⎛⎫=--+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭' m e ∴=当0m e <≤时112t e e ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭当m e >时112t e e ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，所以t 的最大值是112e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 点睛：求函数最值的五种常用方法方法步骤单调性法先确定函数的单调性，再由单调性求最值图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值11．根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有___ 种不同的考试安排方法．【答案】114【解析】分析：先确定分配方案为2211或2220，再确定排列数.详解：分配方案为2211时，排列数为,分配方案为2220时，排列数为,因此安排方法为点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”；（5）“在”与“不在”问题——“分类法”.12．已知直线，分别与直线和曲线交于点M,N两点，则线段MN长度的最小值是______．【答案】点睛：本题主要考查导数的几何意义以及转化与划归思想，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.13．已知为常数，函数，若关于的方程有且只有四个不同的解，则实数的取值所构成的集合为______．【答案】【解析】分析：关于的方程有且只有四个不同的解等价于等价于直线与有四个不同的交点，画出，画出与的图象，利用数形结合可得结果.详解：关于的方程有且只有四个不同的解，等价于直线与有四个不同的交点，直线过定点，斜率为，当直线与相切时，由，令可得斜率；当直线相切时，，由可得斜率；同理，当直线相切时，斜率，画出与的图象，如图，由图知，或时，与有四个交点，此时关于的方程有且只有四个不同的解，故答案为.点睛：本题主要考查导数的几何意义、函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．14．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．【答案】【解析】分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 二、解答题 15．已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++， *n N ∈．记()021nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈， n T 都能被42n +整除．【答案】(1)30；(2)证明见解析.【解析】试题分析：由二项式定理，得21Cii n a +=（i 0，1，2，…，2n +1），（1）根据()021nn n k k T k a -==+∑，得221035T a a a =++，即可得解；（2）先根据组合数的性质可得出()()12121C 21C n k n kn n n k n ++++++=+，再将()021nn n k k T k a -==+∑化简得()21221C n n n T n -=+，即可证明.试题解析：由二项式定理，得21C ii n a +=（i0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；（2）∵()()()()()()()()()()121221!212!1C121C 1!!!!n k n kn n n n n n k n k n n k n k n k n k ++++++⋅++=++⋅==+++-+-∴()()()12121002121C21C nnnn k n kn n kn n k k k T k ak k -++-++====+=+=+∑∑∑()()()()11121212102121C21C21C nnnn kn k n kn n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()()122122122011221C21C 2212C 21221C 22nnn kn k n nn n nn n n k k n n n n n +++++===+-+=+⋅⋅+-+⋅⋅=+∑∑．∴()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+．∵*21C n n N -∈∴n T 能被42n +整除．16．设函数()()212ln f x m x x mx =--+，其中m 是实数．(l ）若()12f = ，求函数()f x 的单调区间；(2）当()210f '=时，若(),P s t 为函数()y f x =图像上一点，且直线OP 与()y f x =相切于点P ，其中O 为坐标原点，求S 的值；(3) 设定义在I 上的函数()y g x =在点()00,M x y 处的切线方程为():l y h x =，若()()()()00·0g x h x x x x x ⎡⎤--<≠⎣⎦在定义域I 内恒成立，则称函数()y g x =具有某种性质T ，简称“T 函数”．当34m =时，试问函数()y f x =是否为“T 函数”？若是，请求出此时切点M 的横坐标；若不是，清说明理由．【答案】（1）增区间为341,4-++∞（），减区间为3410,4-+（）；（2）1s =；（3）是“T 函数”， 2 . 【解析】试题分析：（1）求出()'f x ，分别令()'0f x >和()'0f x <可以得到函数的增区间和减区间．（2）由题设，曲线在P 243s s -+=222ln 3s s s s -+2ln 10s s +-=，根据函数2ln 1y s s =+-为增函数以及21ln110+-=得到1s =．（3）函数在()00,M x y 处的切线方程为：()2000000132132ln 2444y x x x x x x x ⎛⎫=-+---+- ⎪⎝⎭，构造函数()()()2000000132132ln 2444F x f x x x x x x x x ⎛⎫=--+--+-+ ⎪⎝⎭其导数为()()014'2F x x x xx x⎛⎫=---⎪⎝⎭分别讨论02x<<和2x>时()'F x的符号以及进一步讨论()F x 的单调性可知()y f x=在()0,2和()2,+∞上不是“T函数”，故2x=，经检验符合．（2）由()'210f=，得3m=，()222ln3f x x x x∴=-+．()2'43(0)f x x xx∴=-+>，所以切线的斜243k ss=-+OM222ln3s s sks-+=243ss-+=222ln3s s ss-+2ln10s s+-=，设2ln1y s s=+-，1'20y ss∴=+>，所以，函数2ln1y s s=+-在(0,＋∞)上为递增函数，且1s=是方程的一个解，即是唯一解，所以，．（3）当14m=-时，由函数在其图象上一点处的切线方程为()200000132132ln2444y x x x x x xx⎛⎫=-+---+-⎪⎝⎭，令()()200000132132ln2444h x x x x x x xx⎛⎫=-+---+-⎪⎝⎭设()()()F x f x h x=-，则()00F x=．且()()()0132132'''2424F x f x h x x xx x⎛⎫⎛⎫=-=-+---+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭()142x x xx x⎛⎫=---⎪⎝⎭当02x<<时，4xx>，则在4,xx⎛⎫⎪⎝⎭上有()'0F x>，故在4,xx⎛⎫⎪⎝⎭上()F x单调递增，故当4,x xx⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有()()00F x F x>=，所以在4,xx⎛⎫⎪⎝⎭有()()00F x x x->；当02x =时， ()()22'02x F x x-=-≤，所以函数()F x 在()0,+∞上单调递减．所以， 2x > 时， ()()20F x F <= ， ()()20F x x -<；02x <<时， ()()20F x F >=， ()()20F x x -<．因此，切点为点()()2,2f ，其横坐标为2．点睛：曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率．对于满足某些特殊性质的切线，我们同样是设出切点的横坐标后，把问题归结横坐标应该满足的性质，（3）中横坐标0x 取值不容易求得，我们是先讨论了002x <<和02x >时()f x 不是“T ”从而得到02x =．17．已知椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且与椭圆:E 2212x y +=有相同的焦点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2）若动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =交于点Q ，问：以线段PQ 为直径的圆是否经过一定点M ？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在点()1,0M . 【解析】试题分析：（1）先求出椭圆E 的焦点为()1,0±，则由题设有22229141,{ 1,a b a b +=-=，从中解出22,a b 可得椭圆C 的标准方程为22143x y +=．(2)因为动直线l 与椭圆相切，故联立直线方程和椭圆方程后利用判别式为零得到2234m k =+43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭又()4,4Q k m +，设(),M s t ，则0MP MQ ⋅=对任意的,k m 恒成立，但()()22431443kMP MQ s m k t s s tm m⎛⎫⋅=--+++-++⎪⎝⎭，因此2210,{0,430sts s t-==-++=，从而1,{0.st==也就是点()1,0M符合题意．（2）联立22,{3412,y kx mx y=++=消去y，得()2223484120k x kmx m+++-=，所以()()2222644344120k m k m∆=-+-=，即2234m k=+．设(),P PP x y，则24434Pkm kxk m=-=-+，243P Pky kx m mm m=+=-+=，即43,kPm m⎛⎫-⎪⎝⎭．假设存在定点(),M s t满足题意，因为()4,4Q k m+，则43,kMP s tm m=---（），()4,4MQ s k m t=-+-，所以()()4344kMP MQ s s t k m tm m⎛⎫⎛⎫⋅=---+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()224314430ks m k t s s tm m⎛⎫=--+++-++=⎪⎝⎭恒成立，故2210,{0,430sts s t-==-++=解得1,{0.st==所以存在点()1,0M符合题意．点睛：动圆过定点，一般是找出动圆的一般式方程，它含有一个参数．而对于含多个参数的圆的一般方程，考虑其过定点时，可先设出定点的坐标，代入圆的一般方程得到一个恒等式，从而得到定点坐标满足的方程组，解这个方程组即可．18．已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为()13,0F-，且过点313P⎝⎭.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知1A，2A分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线1x=上任意一点，直线1A Q，2A Q分别交椭圆C 于不同的两点M，N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）2214xy+=；（2）见解析.(2)设()()()11221,,,,,Q t M x y N x y，则直线()1:23tAQ y x=+，与2214xy+=联立，解得22281812,4949t tMt t⎛⎫-+⎪++⎝⎭同理222824,4141t tNt t⎛⎫-⎪++⎝⎭所以直线MN的斜率为2222221244941818824941t tt tt tt t-++-+--++=2243tt-+所以直线2222122818:494349t t tMN y xt t t⎛⎫-+-=--⎪+++⎝⎭()22443txt=--+所以直线MN恒过定点，且定点坐标为()4,0点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.19．设函数f(x)＝12ax2－1－ln x，其中a∈R．（1）若a＝0，求过点(0，－1)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；（2）若函数f(x)有两个零点x1，x2，①求a的取值范围；②求证：f ′(x1)＋f ′(x2)＜0．【答案】(1) y＝－1ex－1 (2) ① (0，e)．②见解析②由x1，x2是函数f(x)的两个零点(不妨设x1＜x2)，得2112221102{1102ax lnxax lnx==－－－－，两式作差得a(x1＋x2)＝12122xlnxx x-，代入要证得式子得2ln12xx＋21xx－12xx＞0，令h(x)＝2ln x＋－x，x∈(0，1)，求导利用单调性求最值即可证得. 试题解析：（1）当a＝0时，f(x)＝－1－ln x，f ′(x)＝－．设切点为T(x0，－1－ln x0)，则切线方程为：y＋1＋ln x0＝－ ( x－x0)．因为切线过点(0，－1)，所以－1＋1＋ln x0＝－(0－x0)，解得x0＝e．所以所求切线方程为y＝－x－1．当0＜x＜时， f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞时， f ′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f()＝－ln－1＝－－ln．要使函数f(x)有两个零点，首先－－ln＜0，解得0＜a＜e．当0＜a＜e时，＞＞．因为f()＝＞0，故f()·f()＜0．又函数f(x)在(0，)上单调递减，且其图像在(0，)上不间断，所以函数f(x)在区间(0，)内恰有1个零点．考察函数g(x)＝x－1－ln x，则g′(x)＝1－＝．当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，函数g(x)在(0，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝0，故f()＝－1－ln≥0．因为－＝＞0，故＞．因为f ()·f ()≤0，且f (x )在(，＋∞)上单调递增，其图像在(，＋∞)上不间断，所以函数f (x )在区间(，] 上恰有1个零点，即在(，＋∞)上恰有1个零点．综上所述，a 的取值范围是(0，e)．f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0等价于ax 1－＋ax 2－＜0，即a (x 1＋x 2)－－＜0，即－－＜0，即2ln ＋－＞0．设h (x )＝2ln x ＋－x ，x ∈(0，1)．则h′(x )＝－－1＝＝－＜0，所以函数h (x )在(0，1)单调递减，所以h (x )＞h (1)＝0．因为∈(0，1)，所以2ln ＋－＞0，即f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0成立．点睛：导数背景下的零点问题，需结合函数的极值符号、函数的单调性及零点存在定理去考虑．而零点满足的不等式则需要通过构建新的不等式去证明，新的不等式对应的函数是一元函数，我们可以用导数去证明这个新的不等式．20．已知函数()214ln 22f x x a x x =---,其中a 为正实数． (1)若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值； (2)求函数()y f x =的单调区间；(3)若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证： ()()126ln f x f x a +<-．【答案】(1)1(2) 单调减区间为()0,24a --,()24,a +-+∞,单调减区间为()24,24a a --+-．（3）见解析试题解析：(1)因为()214ln 22f x x a x x =---，所以()4af x x x=--'，则()132f a ='-=,所以a 的值为1．(2) ()244a x x af x x x x-+=--=-'，函数()y f x =的定义域为()0,+∞，1若1640a -≤,即4a ≥,则()0f x '≤,此时()f x 的单调减区间为()0,+∞; 2若1640a ->,即04a <<,则()0f x '=的两根为24a ±-此时()f x 的单调减区间为()0,24a --,()24,a +-+∞, 单调减区间为()24,24a a --+-．(3)由(2)知，当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点12,x x ,且12124,x x x x a +==．因为()()2212111222114ln 24ln 222f x f x x a x x x a x x +=---+--- ()()()2212121214ln 42x x a x x x x =+--+- ()2116ln 4244ln 2a a a a a a =----=+- 要证()()126ln f x f x a +<-,只需证ln ln 20a a a a --+>．构造函数()ln ln 2g x x x x x =--+，则()111ln 1ln g x x x x x+-='=--， ()g x '在()0,4上单调递增,又()()1110,2ln202g g ='-'=-,且()g x '在定义域上不间断,百度文库 - 让每个人平等地提升自我 21 由零点存在定理，可知()0g x '=在()1,2上唯一实根0x , 且001ln x x =．则()g x 在()00,x 上递减, ()0,4x 上递增,所以()g x 的最小值为()0g x ．因为()00000000011ln ln 2123g x x x x x x x x x ⎛⎫=--+=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭, 当()01,2x ∈时, 00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则()00g x >,所以()()00g x g x ≥>恒成立．所以ln ln 20a a a a --+>,所以()()126ln f x f x a +<-，得证．。

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题(C卷02)浙江版

2017_2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题文C卷01201807130172

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题文（C 卷01）第I 卷评卷人得分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足，则的虚部是（） z ()1+243i z i =+z A ． -1 B ． 1 C ． -2 D ． 2 【答案】B【解析】由题意得：()()()()431243105i2i 12121214i i i z i i i +-+-====-++-+∴ 2i z =+∴的虚部是1 z 故选：B2．若，则“”是“”的x R ∈220x x -≥5x ≥A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由得x ⩽2或x ⩽0，则“”是“”的必要不充分条件，故选：B ．220x x -≥220x x -≥5x ≥3．设命题：“， ”，则为（） p 1a ∃≥-()1ln e 12n +>p ⌝A ．， B ．，1a ∀≥-()1ln e 12n +≤1a ∀<-()1ln e 12n +≤C ．， D ．，1a ∃≥-()1ln e 12n +≤1a ∃<-()1ln e 12n +≤【答案】A【解析】由题意得，命题：“， ”，则为，，故选A ． p 1a ∃≥-()1ln e 12n +>p ⌝1a ∀≥-()1ln e 12n +≤4．设抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，，线段的中点到抛物线21:4C y x =F l C ,A B AB C的准线的距离为4，则（） BF =A ．B ． 5C ． 4D ． 3 72【答案】B【解析】抛物线方程可化为，线段的中点到抛物线的准线的距离为4，则，故24x y =AB C 8AF BF +=，故B 项正确．5BF =故选：B5．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为：，化()3,4A -()1,2n =-()()()13240x y ⨯++-⨯-=简得．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平2110x y -+=()1,2,3A ()1,2,1m =--面的方程为（）A ．B ．C ．D ． 220x y z ++-=220x y z ---=220x y z +--=220x y z +++=【答案】C【解析】类比方法：， ()()()()()1122130x y z -⨯-+-⨯-+⨯-=即，故选C ．220x y z +--=点睛：本题考查证明与推理中的类比推理．模仿题设中的方法应用，找到其方法特点，得到问题的求解方法．类比推理主要考查学生的数学应用能力，对学生的能力要求较高．6．已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的离心率为，则双曲线的渐近()2222:1,0x y C a b a b-=>()2,0C C 线方程为（）A ．B ．C ．D ． 2y x =±y x =y x =y =【答案】D7．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀学习成绩不优秀合计经计算，则下列选项正确的是（） K 2=10A ．有的把握认为使用智能手机对学习有影响 99．5%B ．有的把握认为使用智能手机对学习无影响 99．5%C ．有的把握认为使用智能手机对学习有影响 99．9%D ．有的把握认为使用智能手机对学习无影响 99．9%【答案】A【解析】由题意，因为，K 2=107．879<K 2<10．828 对照数表可知，由的把握认为使用智能手机对学习有影响，故选A ． 99．5%8．下列说法：①残差可用来判断模型拟合的效果;②设有一个回归方程，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； y =3―5x ③线性回归方程必过；y =bx +a (x ,y )④在一个2×2列联表中，由计算得=13．079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系（其中k 2）； P (k 2≥10．828)=0．001其中错误的个数是（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3．【答案】B【解析】对于①，根据方差是表示一组数据波动大小的量，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，①正确；对于②，有一个回归方程,变量增加一个单位时,平均减少个单位，②错误；对y =3―5x x y 5于③，根据线性回归方程的性质可得必过样本中心点，③正确；对于④，在列联表中，计算y =bx +a (x ,y )2×2得，对照临界值表知，有的把握确认这两个变量间有关系，④正确，故选B ． K 2=13．079>10．82899．9009．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取3 000人，计算发现k 2＝6．023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是( )P (K 2≥k ) … 0．25 0．15 0．10 0．025 0．010 0．005 …k…1．323 2．072 2．706 5．024 6．635 7．879 …A ． 90%B ． 95%C ． 97．5%D ． 99．5% 【答案】C10．设函数在区间上是减函数，则的取值范围是（） ()()322311f x ax a x a =+--+()04，a A ． B ． C ． D ． 13a <103a <≤103a ≤≤13a ≤【答案】D【解析】，()()2'361f x kx k x =+-∵函数在区间(0,4)上是减函数，()()322311f x kx k x k =+--+∴⩽0在区间(0,4)上恒成立，即在区间(0,4)上恒成立，()()2'361f x kx k x =+-()3610kx k +-≤当k =0时，成立k >0时,f ′(4)=48k +6(k −1)×4⩽0,即0<k ⩽13k <0时,f ′(0)= ⩽0,f ′(0)⩽0，k <1，即k <0．()61k -综上：k 的取值范围是k ⩽ 13故选D ．点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性；已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；（2）将函数在某区间上单调递减转化为（但不恒为0）在该区间上恒成立．()f x ()0f x '≤11．已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线C:x 2a 2―4y 2=1(a >0)34E:y 2=2px C 的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为（） E M l 1:4x ―3y +6=0l 2:x =―1A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 【答案】B【解析】分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到a 2=34抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M 到直线的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂l 2线段最短”求解．详解：由双曲线方程可得，x 2a 2―4y 2=1(a >0)双曲线的右顶点为，渐近线方程为，即． (a,0)y =±12a x x ±2ay =0∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于， 34∴，解得，a 1+4a2=34a 2=34∴双曲线的方程为，4x 23―4y 2=1∴双曲线的焦点为．(1,0)又抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合， E:y 2=2px C ∴，p =2∴抛物线的方程为，焦点坐标为．如图，y 2=4x F(1,0)点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．12．设函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（）()2ln f x x ax bx =++1x =()f x aA ．B ．C ．D ． 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(),1-∞[)1,+∞1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】分析：先求出，根据在处取极大值得到有零点()221'ax bx f x x++=()f x 1x =221y ax bx =++1x =且在的左侧附近为，在的右侧附近．分三种情况讨论即可得到的取值1x =0y >1x =0y <0,0,0a a a =><a 范围．详解：，()2121'2ax bx f x ax b x x++=++=因为在处取极大值，故且在的左侧附近为正，在的右侧附近为负． ()f x 1x =()'10f =()'f x 1x =1x =当时，，此时，当时，，当时， 0a =1b =-()1'xf x x-=()0,1x ∈()'0f x >()1,x ∈+∞()'0f x <故在处取极大值．()f x 1x =当时，应为的较小的正根，故，故； 0a >1x =2210ax bx ++=112a >102a <<当时，有一个正根和负根，因对应的二次函数开口向下，故正跟为即可，故0a <2210ax bx ++=1x =0a <时，总存在使得为的极大值点．b 1x =()f x 综上，的取值范围为，故选A ． a 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭点睛：对于上的可导函数，(),a b ()y f x =（1）若在处取极大值，则且在的左侧附近为正，在的右侧附()()00,x x x a b =∈()0'0f x =()'f x 0x x =0x x =近为负；（2）若在处取极小值，则且在的左侧附近为负，在的右侧附()()00,x x x a b =∈()0'0f x =()'f x 0x x =0x x =近为正．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）～（23）题为选考题，考生根据要求作答．评卷人得分二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：理科文科总计男 13 10 23 女 7 20 27 总计203050已知P (K 2≥3．841)≈0．05，P (K 2≥5．024)≈0．025．根据表中数据，得到K 2≈4．844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为________．【答案】5%【解析】∵4．844>3．841，且P (K 2≥3．841)≈0．05．∴可认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%．答案：5%14．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为___ x 2―y 2=4F 105∘P,Q |FP|⋅|FQ|【答案】833∴．|FP |⋅|FQ |=(1+k 2)|x 1⋅x 2―22(x 1+x 2)+8|=(8+43)|60+3236+43―16(7+43)6+43+8|=4(8+43)6+43=833故答案为：．83315．设函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________．()()2ln 1f x x m x =++m【答案】 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由题意，1+x ＞0，f′（x ）==，∵f （x ）=mx 3+x 恰有有两个极值点，21m x x++2221x x mx +++∴方程f′（x ）=0必有两个不等根，即2x 2+2x+m=0在（﹣1，+∞）有两个不等根∴480{220m m =--+ ＞＞解得0＜m ＜，故答案为：． 1210,2⎛⎫ ⎪⎝⎭点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 16．给出下列命题： ①已知都是正数，且，则； ,a b 11a ab b+>+a b <②已知是的导函数，若，则一定成立； ()f x '()f x (),0x R f x '∀∈≥()()12f f '<③命题“使得”的否定是真命题； ,x R ∃∈2210x x -+<④且是“”的充要条件；1x ≤1y ≤2x y +≤⑤若实数，，则满足的概率为，x []1,1y ∈-221x y +≥14π-其中正确的命题的序号是______________（把你认为正确的序号都填上）【答案】①③⑤评卷人得分三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个实体考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）命题p : ；命题q : ；()()222log 612log 32x x x +≥++22342ax ax x +--<（Ⅰ）若p 为真命题，求x 的取值范围；（Ⅱ）若p 为真命题是q 为真命题的充分条件，求的取值范围． a 【答案】（I ）；（II ） 15x -<≤2a ≤-【解析】试题分析：（I ）根据对数函数单调性得，解不等式可得p 为真命题时x 的取值范围；2612320x x x +≥++>（II ）根据指数函数单调性得由题意将充分性转化为()()()2113,a x x x +<+-，再等价转化为函数最值问题：最小值，即． 315,2x x a --<≤<当时恒成立32x a -<2a ≤-试题解析：（I ）若p 为真则得即()()222log 612log 32;x x x +≥++226120, 320,61232,x x x x x x +>⎧⎪++>⎨⎪+≥++⎩解得: ． 22320,61232,x x x x x ⎧++>⎪⎨+≥++⎪⎩15x -<≤（II ）若为真命题，则，即，又为真命题，q ()2212322a x x x ++-<()()()2113a x x x+<+-p ，依题意得，当315,10,2x x x a -∴-<≤∴+>∴<15x -<≤18．（本小题满分12分）《赢在博物馆》是中央电视台于2018 春节期间推出的全国首档大型益智类博物馆文物知识节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位:千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．(1)若将被污损的数字视为0-9中10 个数字的随机一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率． (2)该节目的播出极大激发了观众学习中国历史知识的热情，现在随机统计了4位观众每周学习中国历史知识的平均时间y (单位:小时)与年龄x (单位:岁)，并制作了对照表(如下表所示):年龄x20304050每周学习中国历史知识平均时间y2．5344．5由表中数据分析， ,x y 呈线性相关关系，试求线性同归方程ˆybx a =+,并预测年龄为60岁观众每周学习中国历史知识的平均时间．参考公式： ()1221b ,ni ii n i i x y nxy a y bx x n x ==-==--∑∑．【答案】（1）45（2）72110020y x ∧=+，5．25（2）由题意可知35, 3.5x y ==，44211525,5400i ii i i x yx ====∑∑．所以721,10020b a ∧∧== 所以72110020y x ∧=+．当60x =时， 721105601002020y =⨯+=5.25=小时．预测60岁观众的学习中国历史的时间为5．25小时． 19．（本小题满分12分）某校为了解该校多媒体教学普及情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该校50名教师，他们的年龄频数及使用多媒体教学情况的人数分布如下表：（1）由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异？附：，．（2）若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用多媒体的教师中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人年龄在30-39岁的概率．【答案】（1）见解析；（2）（2）由题意，抽取6人，岁有2人，分别记为；岁有4人，分别记为；则抽取的结果共有15种：,设“至少有1人年龄在岁”记为事件，则事件包含的基本事件有14种[∴，即至少有1人年龄在岁的概率．20．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，直线．2:4C y x =F ():2l y k x =+（1）若抛物线和直线没有公共点，求的取值范围；C l k （2）若，且抛物线和直线只有一个公共点时，求的值． 0k <C l M MF 【答案】(1) 或．(2)2． 1k <-12k >【解析】试题分析：（1）联立方程，整理得，由抛物线和直线()24{21y xy k x ==++()244210ky y k -++=C l 没有公共点，则，即可求得的取值范围；0∆<k （2）当抛物线和直线只有一个公共点时，记公共点坐标为，由，即，C l ()00,M x y 0∆=()216210k k -+-=解得或，因为，故，将代入得，求得的值即得点1k =-12k =0k <1k =-1y x =--24y x =2210x x -+=x 的坐标，可求的值．M MF21．（本小题满分12分）已知函数．()22f x ae x =-(1)证明：当，时，；1a =x e >()0f x >(2)若关于的方程有两个不相等的实根，求的取值范围．x ()20f x x x +-=a【答案】(1)证明见解析；(2) ． 10a e<<【解析】试题分析：(1)函数的解析式，，，据此讨论可得在定义域内单调递()2xf x e x =-()'2xf x e x =-()'2xf x e =-'()f x 增，则；()()20ef x f e e e >=->(2)否则函数，原问题等价于有两个零点，且，据此分类()()2xg x f x x x ae x =+-=-()g x ()'1xg x ae =-讨论：若，单调递减，至多有一个零点， 0a ≤()g x ()g x 若，在上单调递减，在上单调递增， 0a >()g x 1,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,ln a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭则， ()110min g x g lnlna a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭则时，在上必有一个零点， 0x <()g x 1,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭结合(1)的结论在上必有一个零点， ()g x 1,ln a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭综上，时，关于的方程有两个不相等的实根． 10a e<<x ()20f x x x +-=试题解析：(1) ，，，()2xf x e x =-()'2xf x e x =-()'2xf x e =-'∵，∴，∴在定义域内单调递增，∴，x e >()''0f x >()'f x ()()''20ef x f e e e >=->∴在定义域内单调递增，∴；()f x ()()20ef x f e e e >=->(2)设，即有两个零点，，()()2xg x f x x x ae x =+-=-()g x ()'1xg x ae =-若，，得单调递减，∴至多有一个零点， 0a ≤()0g x '<()g x ()g x 若，，得，，得， 0a >()'0g x <1x ln a <()'0g x >1x ln a>∴在上单调递减，在上单调递增， ()g x 1,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,ln a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故，即，∴，此时，即， ()110min g x g lnlna a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭1a e <10a e <<1e a >11ln a >当时，，∴在上必有一个零点， 0x <()0g x >()g x 1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭由(1)知当时，，即， 1x a>2x e x >()()210g x ax x x ax =-=->而，得，∴，故在上必有一个零点， 2x e x x >>x lnx >11ln a a >()g x 1,ln a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭综上，时，关于的方程有两个不相等的实根． 10a e<<x ()20f x x x +-=25．已知动点E 到点A 与点B 的直线斜率之积为，点E 的轨迹为曲线C ．()2,0()2,0-14-（1）求C 的方程；（2）过点D 作直线l 与曲线C 交于，两点，求的最大值．()1,0P Q OP OQ ⋅【答案】（1）（2）．()22124x y x +=≠±14试题解析：（1）设，则．因为E 到点A ，与点B 的斜率之积为，所以，(),E x y 2x ≠±()2,0()2,0-14-122y yx x ⋅=-+-整理得C 的方程为．()22124x y x +=≠±（2）当l 垂直于轴时，l 的方程为，代入得，． 1x =2214x y +=P ⎛ ⎝1,Q ⎛ ⎝．11,4OP OQ ⎛⎛⋅=⋅= ⎝⎝当l 不垂直于轴时，依题意可设，代入得x ()()10y k x k =-≠2214x y +=．因为，设，．()2222148440k xk x k +-+-=()216130k ∆=+>()11,P x y ()22,Q x y 则，．2122814k x x k +=+21224414k x x k -=+()()21212121211OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+--()()22212121k x x k x x k =+-++ ()242222244811414k k kk k k -=+-+++21174416k =-+14<综上，当l 垂直于轴时等号成立，故的最大值是．OP OQ ⋅ 14≤x OP OQ ⋅ 14（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修44：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）-在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为xOy O x l ，曲线的极坐标方程为． ρcos θ+ρsin θ=1C ρsin 2θ=8cos θ（1）求直线与曲线的直角坐标方程；l C （2）设点，直线与曲线交于不同的两点，求的值． M (0,1)l C P,Q |MP |+|MQ |【答案】(1)见解析;(2)．102【解析】分析：第一问应用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，求得直线与曲线的直角坐标方程；第二问结合题中所给的直线方程，发现其过点，且倾斜角为，写出直线的参数方程，将直线的参数方程代入曲线M(0,1)3π4方程，得到关于t 的一元二次方程，利用韦达定理，结合直线方程中参数的几何意义，求得结果．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标与平面直角坐标的转换关系，再者就是需要正确理解直线的参数方程中参数t的几何意义，并能应用其几何意义来解决有关问题，再者就是对韦达定理要熟练掌握．23．【选修45：不等式选讲】（本小题满分10分）-已知函数f(x)=|2x―4|+|x+1|,x∈Rf(x)≤9（1）解不等式；f(x)=―x2+a[0,2]a（2）若方程在区间有解，求实数的取值范围．【答案】(1)[-2,4];(2)．【解析】分析：第一问解绝对值不等式，首先应用零点分段法去掉绝对值符号，将其转化为三个不等式组，最后将不等式组的解集取并集求得结果；第二问将函数的图像画出，之后在同一坐标系中画抛物线，上下移动抛物线，使得函数图像与抛物线在上有交点，从而求得的范围．（2）由题意：故方程在区间有解函数和函数图象在区间上有交点当时，，．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，一是涉及到绝对值不等式的求解问题，利用零点分段法求解，二是关于方程有解求参数范围的问题，在求解的过程中，可以转化为函数图像有交点，观察图像求得其范围，此处数形结合思想就显得尤为重要．。

20172018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理(C卷01)

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理（C卷01）学校:___________ 班级：___________姓名：___________考号：___________得分：第I卷评卷人得分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数a i2i+-为纯虚数,则实数a= ( )A． -2 B． -12C． 2 D．12【答案】D【解析】因为复数()()()()()22122225a i i a a ia ii i i++-+++==--+为纯虚数，所以210,20a a-=+≠，解得12a=，故选D．2．湖南卫视《爸爸去哪儿》节目组为热心观众给予奖励，要从2 014名小观众中抽取50名幸运小观众．先用简单随机抽样从2 014人中剔除14人，剩下的2 000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2 014人中，每个人被抽取的可能性 ( )A．均不相等 B．不全相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为【答案】C3．近10年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)数据如下:工资总额x/亿元23．8 27．6 31．6 32．4 33．7 34．9 43．2 52．8 63．8 73．4 社会商品零售总额y/亿元41．4 51．8 61．7 67．9 68．7 77．5 95．9 137．4 155．0 175．0 建立社会商品零售总额y与职工工资总额x的线性回归方程是( )A．=2．799 1x-27．248 5 B．=2．799 1x-23．549 3C ． =2．699 2x-23．749 3D ． =2．899 2x-23．749 4 【答案】B 【解析】代入验证可知选项正确．4．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：经计算2K 的观测值7.8k ≈．参照附表，得到的正确结论是附表：A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A【解析】由列联表中的数据可得()22110403020207.820 6.63560505060K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．选A ． 5．由抛物线和直线所围成的封闭图形的面积等于（）A ． 1B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析：由定积分的几何意义可求封闭图形的面积．详解：联立，解得和．所以抛物线和直线所围成的封闭图形的面积等于．故选B ．点睛：定积分的计算一般有三个方法：（1）利用微积分基本定理求原函数；（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为06．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )A． B． C． D．【答案】B7．对具有线性相关关系的两个变量和，测得一组数据如下表所示：根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为，则（）A． 85．5 B． 80 C． 85 D． 90【答案】B【解析】分析：计算，代入线性回归方程，求出纵标的平均数，解方程求出m．详解：∵=5，回归直线方程为y=10．5x+1．5，∴=54，∴55×4=20+40+60+70+m，∴m=80，故选：B．点睛：回归直线中样本中心一定在回归直线上，可以利用这一条件结合回归直线方程求出另一个未知量．8．将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有种不同的方案；若每项比赛至少要安排一人时，则共有种不同的方案，其中的值为（）A． 543 B． 425 C． 393 D． 275【答案】C点睛：排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．9．若,,，的平均数为3，方差为4,且,，则新数据,的平均数和标准差分别为（）A． -4 -4 B． -4 16 C． 2 8 D． -2 4【答案】D【解析】分析：根据样本的平均数、方差的定义计算即可．详解：∵,,，的平均数为3，方差为4，∴，．又，∴，， ∴新数据,的平均数和标准差分别为．故选D ．点睛：与平均数和方差有关的结论（1）若x 1，x 2，…，x n 的平均数为，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数为；（2）数据x 1，x 2，…，x n 与数据x ′1＝x 1＋a ，x ′2＝x 2＋a ，…，x ′n ＝x n ＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；（3）若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2．10．设曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cosg x ax x=+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是（） A ． []1,2- B ． ()3,+∞ C ． 21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ． 12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由()xf x e x =--,得()'1xf x e =--，∵11x e +>,∴11xe +∈(0,1)，由()32cos g x ax x =+,得()'32g x a sinx =-，又−2sin x ∈[−2,2]， ∴a −2sin x ∈[−2+3a ,2+3a ]，要使过曲线()xf x e x =--上任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )=3ax +2cos x 上一点处的切线2l ,使得12l l ⊥，则230{231a a -++,解得13-⩽a ⩽23．故选D ．点睛：解决本题的关键是处理好任意和存在的关系，对于121k k =-，可变形为121k k =-．若1k 的值域为A ， 2k 的值域为B ．由任意的1k ，存在2k 使得方程成立，则A B ⊆；由存在的1k ，任意2k 使得方程成立，则B A ⊆．11．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：根据正态曲线的对称性求解即可．详解：根据正态曲线的对称性，每个收费口超过辆的概率，这三个收费口每天至少有一个超过辆的概率，故选C ．点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题．有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系．12．已知函数()22ln xe f x k x kx x=+-，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（）A ． 2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ． ,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ． (]0,2 D ． [)2,+∞【答案】A【点睛】函数有唯一极值点x=2,即导函数只有唯一零点x=2,且在x=2两侧导号．由于导函数可以因式分解，只需()2,x g x e kx =- ()g x 在区间()0,+∞恒大于等于0，或恒小于等于零，转化为恒成立问题，分离参数求得k 范围．注意参数范围端点值是否可取．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）～（23）题为选考题，考生根据要求作答．评卷人得分二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．的展开式中的常数项是__________．【答案】60【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为，从而可求出展开式的常数项．详解：展开式的通项为，令得，所以展开式的常数项为，故答案为．点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用． 14．设()f x 是可导函数，且()()00lim 23x f x x f x x∆→∞+∆-=∆，则()0f x '=__________．【答案】6【解析】()()()000lim x f x x f x f x x∆→∞+∆-'=∆=3 ()()00lim3x f x x f x x∆→∞+∆-∆=326⨯=．故答案为6．15．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为__________．（用数字作答）【答案】14点睛：本题考查简单的排列组合，建议如果分类讨论太复杂的题目最好用间接法即排除法，以避免直接的分类不全情况出现．16．设函数在上是增函数，则实数的取值范围是__________．【答案】．点睛：本题考查导数的综合应用，属于中档题．处理这类问题一般步骤是：1、先求导数，根据条件确定导函数的正负；2、分离参量构造函数，求构造新函数的最大，最小值；3、根据条件得出参量的取值范围．评卷人得分三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个实体考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持保留不支持50岁以下 8000 4000 200050岁以上（含50岁） 1000 2000 3000（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n 的值；（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求50岁以下人数ξ的分布列和期望；（3）在接受调查的人中，有10人给这项活动打出的分数如下： 9.4， 8.6， 9.2， 9.6， 8.7， 9.3， 9.0，8.2， 8.3， 9.7，把这10个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6概率．【答案】（1）120；（2）分布列见解析， 1.2；（3）310．试题解析：（1）参与调查的总人数为80004000200010002000300020000+++++=，其中从持“不支持”态度的人数200030005000+=中抽取了30人，所以30200001205000n =⨯=．（2）在持“不支持”态度的人中， 50岁以下及50岁以上人数之比为2:3，因此抽取的10人中， 50岁以下与50岁以上人数分别为4人， 6人， 0123ξ=，，，，()36310106C p C ξ===， ()1246310112C C p C ξ===，()21463103210C C p C ξ===， ()343101330C p C ξ===，ξ12 3p16123101300123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．（3）总体的平均数为1(9.48.69.29.68.710x =++++ 9.39.08.28.39.7)9+++++=，那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2， 8.3， 9.7，所以任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为310． 18．（本小题满分12分）某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位： mm ）进行测量，得出这批钢管的直径X 服从正态分布()65,4.84N ．(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73mm ,他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径X 满足60.6mm 69.4mm -为合格品（合格品的概率精确到0．01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y 的分布列和数学期望．（参考数据：若()2,X N μσ-,则()P 0.6826X μσμσ-<≤+=；()()P 220.9544;330.9974X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=．【答案】（1）有道理；（2）分布列见解析， 0.15．试题解析：(1)()μ65σ 2.2μ3σ58.4μ3σ71.6733μσ==-=+=∈++∞，，，，，, ()()158.471.610.9974P71.60.001322P XX-<≤-∴>===．此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理．则次品数Y的分布列列为：Y0 1 2 3P03357360C CC12357360C CC21357360C CC30357360C CC得：()03122130357357357357333360606060E Y01230.15C C C C C C C CC C C C=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分）已知函数()2xf x e x=-．(Ⅰ)求曲线()f x在1x=处的切线方程；(Ⅱ)求证：当0x>时，()21ln1xe e xxx+--≥+．【答案】（Ⅰ）()2 1.y e x=-+；(Ⅱ)见解析．【解析】试题分析：（1）则导数的几何意义可求得曲线()f x在1x=处的切线方程．（2）由（1）当0x>时，()()21,f x e x≥-+，即()221xe x e x-≥-+，x e+()221e x x--≥,只需证,()21x e e x x+--≥x ln 1x ≥+试题解析：（Ⅰ） ()'2xf x e x =-，由题设得()'12f e =-， ()11f e =-，()f x 在1x =处的切线方程为()2 1.y e x =-+下证：当0x >时， ()()21,f x e x ≥-+设()()()21,0g x f x e x x =--->，则()()()'22,''2xxg x e x e g x e =---=-，()'g x 在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增，又 ()()'030,'10,0ln21g e g =->=<<，∴()'ln20g <，所以，存在()00,12x n ∈，使得()0'0g x =，所以，当()()00,1,x x ∈⋃+∞时， ()'0g x >；当()0,1x x ∈时， ()'0g x <，故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增，又()()010g g ==，∴()()2210xg x e x e x =----≥，当且仅当1x =时取等号，故()21,0x e e x x x x+--≥>．又ln 1x x ≥+，即()21ln 1x e e x x x+--≥+，当1x =时，等号成立．【点睛】解本题的关键是第（1）结论对第（2）问的证明铺平了路，只需证明()21x e e x x+--≥x ln 1x ≥+．所以利用导数证明不等式时，要进行适当的变形，特别是变形成第（1）问相似或相同形式时，将有利于快速证明． 20．（本小题满分12分）第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时）收看人数14 30 16 28 20 12（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：男女合计体育达人40非体育达人30合计并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座．记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望．附表及公式：0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．0012．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828．【答案】（1）见解析；（2）见解析．试题解析：（1）由题意得下表：男女合计体育达人 40 20 60 非体育达人 30 30 60 合计 7050120的观测值为．所以有的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关．21．（本小题满分12分）已知函数()1x f x e ax=+（0,0a x ≠≠）在1x =处的切线与直线 ()120180e x y --+=平行．（1）求a 的值并讨论函数()y f x =在(),0x ∈-∞上的单调性；（2）若函数()()11g x f x x m x=--++（m 为常数）有两个零点12,x x （12x x <） ①求实数m 的取值范围； ②求证： 120x x +<【答案】（1）见解析；（2）①2m <-；②见解析．试题解析：（1）()21x f x e ax='-， ()111f e e a'=-=-，∴1a =． ∴()22211x xx e f x e x x-=-=' 令()21xh x x e =-，则()()22x h x x x e +'=∴(),2x ∈-∞-时， ()0h x '>； ()2,0x ∈-时， ()0h x '<．则()h x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,0-上单调递减． ∴在(),0x ∈-∞时， ()()24210h x h e≤-=-<，即(),0x ∈-∞时， ()0f x '<， ∴函数()f x 在(),0x ∈-∞上单调递减．点睛：一般涉及导数问题中的证明，可考虑构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性，极值，最值等问题，往往可解决此类证明题，本题就是构造函数后，利用导数确定其单调性，再根据()()12g x g x >-，确定自变量的大小关系，从而求证不等式成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修44：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．（1）求直线与曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于不同的两点，求的值．【答案】(1)见解析;(2)．【解析】分析：第一问应用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，求得直线与曲线的直角坐标方程；第二问结合题中所给的直线方程，发现其过点，且倾斜角为，写出直线的参数方程，将直线的参数方程代入曲线方程，得到关于t 的一元二次方程，利用韦达定理，结合直线方程中参数的几何意义，求得结果．详解：（1）；（2）考虑直线方程，则其参数方程为（为参数），代入曲线方程有：，则有．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标与平面直角坐标的转换关系，再者就是需要正确理解直线的参数方程中参数t的几何意义，并能应用其几何意义来解决有关问题，再者就是对韦达定理要熟练掌握．23．【选修45：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数（1）解不等式；（2）若方程在区间有解，求实数的取值范围．【答案】(1)[-2,4];(2)．（2）由题意：故方程在区间有解函数和函数图象在区间上有交点当时，．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，一是涉及到绝对值不等式的求解问题，利用零点分段法求解，二是关于方程有解求参数范围的问题，在求解的过程中，可以转化为函数图像有交点，观察图像求得其范围，此处数形结合思想就显得尤为重要．。

2017_2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理A卷02(2)

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理（A 卷02）学校:___________ 班级：___________姓名：___________考号：___________得分：第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数()()134i i i++等于( )A ． 7i +B ． 7i -C ． 77i +D ． 77i -+ 【答案】A 【解析】复数()()()134********i i i i ii iii++-+++-===+-．故选A ．2．可表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】，故选．3．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（） A ．710 B ． 58 C ． 38 D ． 310【答案】B【解析】至少等待15秒的对立事件为等待不超过15秒，由几何概型知1551408P =-=，故选B ． 4．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是84，乙班学生成绩的中位数是85．则2x y +的值为（）A ． 10B ． 12C ． 13D ． 15 【答案】B5．1+ii=A ．． C ． 1- D ． 1 【答案】B【解析】将式子化简为()1111i i i i i ++==--， 1+ii= 1i -= 故答案为：B ．6．记A ， B 分别为事件A ， B 的对立事件，如果事件A ， B 互斥，那么（） A ． A B ⋃是必然事件 B ． A B ⋃是必然事件 C ． A 与B 一定互斥 D ． A 与B 一定互斥【答案】B【解析】由题意事件A ， B 互斥，则A B ⊆，∴A B ⋃为必然事件，故选B ． 7．已知f(x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ． e 2B ． eC ．ln22D ． ln 2 【答案】B【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e ．选B ．8．在下列命题中，正确命题的个数是（） ①若是虚数，则；②若复数满足，则；③若复数，，且对应的复数位于第四象限，则实数的取值范围是；④若，则．A． 0 B． 1 C． 2 D． 3【答案】B【解析】分析：利用复数的知识对每一个命题逐一分析判断．详解：对于①,举例z=1+i ,但是，但是不能说2i≥0，因为虚数和实数不能比较大小．所以①不正确．对于②，举例z=i，所以但是,所以②不正确．对于③，=所以所以③正确．对于④，若，举例但是不成立．所以④不正确．故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的基础知识，意在考查学生对复数的基础知识的掌握能力．(2)判断命题的真假时，要灵活，可以证明，也可以举反例．9．在区间上任取一个实数，则的概率是( )A． B． C． D．【答案】C10．已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B点睛：本题的难点在于解题的思路．已知条件和探究的问题看起来好像没有分析联系，这里主要利用了分析法，通过分析构造函数，利用导数的知识解答． 11．函数的单调减区间为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由函数，可得，又由，解得，所以函数的递减区间为，故选B ． 11．已知()()2212ln 22f x x ax x x ax =+--在()0,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ． {}1 B ． {}1- C ． (]0,1 D ． [)1,0- 【答案】B【解析】()()221222f x x ax lnx x ax =+--，()()2f x x a lnx ='+． ()f x 在()0+∞，上是增函数，()0f x ∴'≥在()0+∞，上恒成立．当1x =时， ()0f x '=满足题意，当1x >时， 0lnx >，要使()0f x '≥恒成立，则0x a +≥恒成立1x a a +>+， 10a ∴+≥，解得1a ≥-，当01x <<时， 0lnx <，要使()0f x '≥恒成立，则0x a +≤恒成立，1x a a +<+， 10a ∴+≤，解得1a ≤-，综上所述， 1a =-，故选B ．点睛：本题主要考查的知识点是运用导数来求函数的单调性以及参量的取值范围．求导的含有参量，为满足题意，对其进行分类讨论，并且要满足同时成立，要注意本题的解题关键是分类，属于中档题．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）～（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若复数z 的共轭复数z 满足()13i z i -=+，则z =__________．【解析】由题意可得：3=1izi +-，则3311i i z z i i ++=====--14．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K 2的观测值k ＝27．63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(填“有关”或“无关”) 【答案】有关【解析】计算的观测值27.6310.828k =>，则我们有有99．9%的把握认为打鼾与患心脏病是有关的． 15．一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为__________．【答案】6π【解析】设正方体箱子棱长为2，由已知条件可知，蜂蜜只能在一个半径为1的球内飞行，结合几何概型知识可得蜂蜜“安全飞行”的概率4386p ππ==，故答案为6π．【方法点睛】本题題主要考查“体积型”的几何概型，属于中档题．解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总体积（总空间) 以及事件的体积(事件空间)；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误． 16．在区间上随机取一个实数，则使函数无零点的概率为__________．【答案】【解析】∵函数无零点，∴，即．∵在区间上随机取一个实数，且区间的长度为，∴概率为，故答案为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个实体考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：（1）求m 的值及这50名同学数学成绩的平均数x ；（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在[]130,140的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知成在[]130,140的同学中男女比例为2：1，求至少有一名女生参加座谈的概率．【答案】(1) 0.008m =，121．8(2) ()45P A =【解析】试题分析：（1）先根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率，所以小长方形面积和为1，因此求得m;根据组中值与对应区间概率乘积的和等于平均值得x ；（2）先根据比例得男生4人，女生2人，再利用枚举法得从6名同学中选出3人的所有事件数，确定其中不含女生的事件数，得至少有一名女生事件数，最后根据古典概型概率公式求概率试题解析：（Ⅰ）由题()0.0040.0120.0240.040.012101m +++++⨯= 解得 0.008m =950.004101050.012101150.024101250.04101350.012101450.00810x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 121.8=18．盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．【答案】（1）518；（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．试题解析：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝＝＝．(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4．{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝＝；{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝＝＝；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝．所以随机变量X的概率分布如下表：因此随机变量X 的数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＝．19．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人． ①记X 表示选取4人的成绩的平均数，求()87P X ≥；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布和数学期望．【答案】（1）2000；（2）①235，②2．【解析】试题分析：（1）众数为76，中位数为76，抽取的12人中， 70分以下的有4人，不低于70分的有8人，从而求出从该校学生中任选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率，由此能求出该校这次测试成绩在70分以上的人数；（2）①由题意知70分以上的有72， 76， 76， 76， 82， 88， 93， 94，当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类：一类是： 82， 88， 93， 94，共1种；另一类是： 76， 88，93， 94，共3种．由此能求出()87P X ≥；②由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E ξ（）．试题解析：(1)众数为76，中位数为76．抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为82123=，故该校这次测试成绩在70分以上的约有2300020003⨯=（人）②由题意可得， ξ的可能取值为0，1，2，3，4()0444481070C C P C ξ===, ()13444816817035C C P C ξ====,()224448361827035C C P C ξ====,()31444816837035C C P C ξ====, ()4044481470C C P C ξ===． ξ的分别列为()0123427035353570E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．设()()2ln ,1x xf xg x a x x ==+- ．（1）证明： ()f x 在()0,1上单调递减；（2）若01a x <<<，证明： ()1g x >．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导,证明0＜x＜1时,f(x)＜0 ．(2)第（2）问，分0＜a≤1e和1e＜a＜1两种情况证明，每一种情况都是先通过求单调性再求函数的最小值大于1．（2）g(x)＝a x ln a＋ax a－1＝a(a x－1ln a＋x a－1)，当0＜a≤1e时，ln a≤－1，所以a x－1ln a＋x a－1≤x a－1－a x－1．由（Ⅰ）得ln lna11xx a<--，所以(a－1)ln x＜(x－1)ln a，即x a－1＜a x－1，所以g(x)＜0，g(x)在(a，1)上单调递减，即g(x)＞g(1)＝a＋1＞1．当1e＜a＜1时，－1＜ln a＜0．点睛：本题的难点在第（2）问，当0＜a≤1e时求导之后，怎么证明g(x)＝a x ln a＋ax a－1＝a(a x－1ln a＋x a－1)＜0，其中用到了第一问的结论ln lna11xx a<--，不然不是很好判断导数的正负．21．已知()()()3231ln ,2x f x x e e x g x x x a =--=-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =，求a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞;(2) a 的取值范围是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．【解析】试题分析：（1）求出函数()f x 的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性．（2）由题意得函数()f x 在()0,+∞上的值域为[)0,+∞．结合题意可将问题转化为当()x 0,∈+∞时，满足()0g x ≥的正整数解只有1个．通过讨论()g x 的单调性可得只需满足()()10{20g g ≥<，由此可得所求范围．试题解析：（1）由题意知函数的定义域为()0,+∞．因为()()1ln xf x x e e x =--，所以()x e f x xe x '=-，令x e y xe x =-，则20x x e y e xe x+'=+>，所以当0x >时， ()x e f x xe x'=-是增函数，又()10f e e '=-=，故当()0,1x ∈时， ()()0,f x f x '<单调递减，当()1,x ∈+∞时， ()()0,f x f x '>单调递增．所以()()0,1f x 在上单调递减，在()1,+∞上单调递增．（2）由（1）知当1x =时， ()f x 取得最小值，又()10f =，所以()f x 在()0,+∞上的值域为[)0,+∞．因为存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =，所以满足()0g x ≥的正整数解只有1个．因为()3232g x x x a =-++，所以()()23331g x x x x x =-+'=--，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()10{ 20g g ≥<，即10{ 220a a +≥-+<，解得122a -≤<．所以实数a 的取值范围是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．点睛：本题中研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点0为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为24pcos sin θθ=, P 点的极坐标为3,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11PA PB+的值．【答案】(1) 24x y = 直线l的参数方程为12{ 32x t y ==+(t 参数)．(2) 116PA PB +=．【解析】分析：(1)根据{ x cos y sin ρθρθ== （θ 是参数），将24pcos sin θθ=左右两边同时乘以ρ，得24x y =．将点P 的极坐标化为直角坐标，根据斜率写出直线的参数方程．(2)将A 、B 设成参数方程，联立曲线C得21434t ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，整理化简利用韦达定理求11PA PB +的值．详解：(1)曲线C 的方程为24x y =点P 的直角坐标为(0,3) 直线l的参数方程为12{ 3x t y ==+(t 参数)．点睛：本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标间的关系．通过联立参数方程和直角坐标方程，建立1t 与2t 关系的方法是解决参数方程的重点，关键是在联立是保证直线的方程为标准参数方程．23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1);(2)．【解析】试题分析：（1）由题意，可将含绝对值的函数转化为分段函数，再逐段进行求解，汇总所得解，从而问题可得解；（2）由题意，可构造函数，将其转化为分段函数，并作出其图象，结合其图象，对参数的取值范围，进行分段讨论，汇总所有解，从而问题可得解．（2）由，得．令作出的图象如图所示，由题意知的图象恒在函数的图象的下方．由图象可知，当经过点时，解得或．当时，的图象经过点，显然不成立；当时，的图象经过点，成立，所以，即实数的取值范围为．。

【研】2017-2018学年第二学期期末考模拟卷(高二理)答案

【研】星火教育2017-2018学年度第二学期期末考模拟卷参考答案高二数学（理数）一．选择题（共12小题）1．复数，，，，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．2【分析】复数方程两边同乘1+2i，利用复数相等求出A、B，利用A+B=0，求出m的值．【解答】解：因为，所以2﹣mi=（A+Bi）（1+2i），可得A﹣2B=2，2A+B=﹣m 解得5（A+B）=﹣3m﹣2=0所以m=故选C．【点评】本题考查复数相等的充要条件，考查计算能力，是基础题．2．下列说法错误的是（）A．回归直线过样本点的中心（，）B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小D．在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时预报变量平均增加0.2个单位【分析】利用线性回归的有关知识即可判断出．【解答】解：A．回归直线过样本点的中心（，），正确；B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；C．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确；D．在线性回归方程=0.2x+0.8中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确．综上可知：只有C不正确．故选：C．【点评】本题考查了线性回归的有关知识，考查了推理能力，属于中档题．3．直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．【分析】此类题目需先求出两曲线的交点，进而确定积分区间，再依据函数图象的上下位置确定出被积函数，最后依据微积分基本定理求出面积即可．【解答】解：由已知，联立直线与曲线方程得到解得或则围成图形的面积为====故答案为．【点评】本题主要考查了微积分基本定理，属于基础题．4.设x，y，z＞0，则三个数+，+，+（）A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2【分析】假设：中都小于2，则，但由于=≥2+2+2=6，出现矛盾，从而得出正确答案：中至少有一个不小于2．【解答】解：由于=≥2+2+2=6，∴中至少有一个不小于2，故选：C．【点评】分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．5．5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是（）A．40 B．36 C．32 D．24【分析】分类讨论，对甲乙优先考虑，即可得出结论．【解答】解：分类讨论，甲站第2个位置，则乙站1，3中的一个位置，不同的排法有C21A33=12种；甲站第3个位置，则乙站2，4中的一个位置，不同的排法有C21A33=12种；甲站第4个位置，则乙站3，5中的一个位置，不同的排法有C21A33=12种，故共有12+12+12=36．故选：B．【点评】本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，比较基础．6．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【分析】根据对称性，由P（x≤4）=0.84的概率可求出P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，即可求出P（2＜x＜4）．【解答】解：∵P（x≤4）=0.84，∴P（x＞4）=1﹣0.84=0.16∴P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，∴P（2＜x＜4）=P（x≤4）﹣P（x＜2）=0.84﹣0.16=0.68故选B．【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．7．若质点P的运动方程为S（t）=2t2+t（S的单位为米，t的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（）A．2米/秒B．3米/秒C．4米/秒D．5米/秒【分析】对S（t）=2t2+t进行求导，然后令t=1代入即可得到答案．【解答】解：∵S（t）=2t2+t，∴S'（t）=4t+1，当t=1，v=S'（1=4×1+1=5，故选D．【点评】本题考查了导数在物理中的应用，路程关于时间的导数就是物体的瞬时速度关系式．8．已知p＞0，q＞0，随机变量ξ的分布列如下：若E（ξ）=．则p2+q2=（）A．B．C．D．1【分析】由随机变量ξ的分布列的性质列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵p＞0，q＞0，E（ξ）=．∴由随机变量ξ的分布列的性质得：，∴p2+q2=（q+p）2﹣2pq=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查两数的平方和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列的性质的合理运用．9．曲线y=sinx+e x（其中e=2.71828…是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线的斜率为（）A．2 B．3 C．D．【分析】先求导，根据导数的几何意义，斜率k=k=y′|x=0，解得即可．【解答】解：∵y′=cosx+e x，k=y′|x=0=cos0+e0=2，故选：A．【点评】本题考查了导数的几何意义，属于基础题．10.函数f（x）=ax3﹣3x+1 对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a 的取值范围为（）A．[2，+∞） B．[4，+∞） C．{4} D．[2，4]【分析】对x分﹣1≤x＜0，x=0，0＜x≤1三种情况分别求出a的取值范围，然后求其交集即可．【解答】解：①当x=0时，f（x）=1≥0，对于a∈R皆成立．②当0＜x≤1时，若总有f（x）≥0，则ax3﹣3x+1≥0，∴，令g（x）=，g′（x）==，令g′（x）=0，解得x=．当0＜＜时，g′（x）＞0；当＜时，g′（x）＜0．∴g（x）在x=时取得最大值，g（）=4，∴a≥4．③当﹣1≤x＜0时，若总有f（x）=0，则ax3﹣3x+1≥0，∴a≤．令h（x）=，则h′（x）=≥0，∴h（x）在[﹣1，0）上单调递增，∴当x=﹣1时，h（x）取得最小值，h（﹣1）=4，∴a≤4．由①②③可知：若函数f（x）=ax3﹣3x+1 对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a必须满足，解得a=4．∴a 的取值范围为{4}．故选C．【点评】本题考查了含参数的函数在闭区间（含0）上恒成立问题，即可以对自变量x进行分类讨论，也可对参数a分类讨论，求出答案．11．P为椭圆＞上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则直线PA1与PA2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线＞上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则（）A．直线PA1与PA2的斜率之和为定值B．直线PA1与PA2的斜率之和为定值2C．直线PA1与PA2的斜率之积为定值D．直线PA1与PA2的斜率之积为定值2【分析】验证直线PA1与PA2的斜率之积为定值即可．【解答】解：设P（x0，y0），则，即，∵，、，，∴，为定值．故选C．【点评】本题考查类比思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12．若函数f（x）在区间A上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）=xlnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（）A．，B．，C．，D．，【分析】若f（x）为“三角形函数”．则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，利用导数法求出函数的最值，可得实数m的取值范围．【解答】解：若f（x）为“区域D上的三角形函数”．则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，∵函数f（x）=xlnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，f′（x）=lnx+1，当x∈[，）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减；当x∈（，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）递增；故当x=时，函数f（x）取最小值﹣+m，又由f（e）=e+m，f（）=﹣+m，故当x=e时，函数f（x）取最大值e+m，∴0＜e+m＜2（﹣+m），解得：m∈，，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的最值，能正确理解f（x）为“三角形函数”的概念，是解答的关键．二．填空题（共4小题）13．有下列各式：＞，＞，＞，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：＞（n∈N*）．【分析】观察各式左边为的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子中应有2n+1﹣1项，不等式右侧分别写成，，故猜想第n个式子中应为，由此可写出一般的式子．【解答】解：观察各式左边为的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子中应有2n+1﹣1项，不等式右侧分别写成，，故猜想第n个式子中应为，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：＞故答案为：＞【点评】本题考查归纳推理、考查观察、分析、解决问题的能力．14．已知（2x﹣）n展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是60．【分析】根据题意，（2x﹣）n的展开式的二项式系数之和为64，由二项式系数的性质，可得2n=64，解可得，n=6；进而可得二项展开式，令6﹣r=0，可得r=4，代入二项展开式，可得答案．【解答】解：由二项式系数的性质，可得2n=64，解可得，n=6；（2x﹣）6的展开式为为T r+1=C66﹣r•（2x）6﹣r•（﹣）r=（﹣1）r•26﹣r•C66﹣r•，令6﹣r=0，可得r=4，则展开式中常数项为60．故答案为：60．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．15．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则P（B）=（1﹣）（1﹣）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=，故至少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．【点评】本题主要考查了对立事件的概率，考查学生的计算能力，比较基础．16．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是[1，e2﹣2]．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），故方程﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．故答案为：[1，e2﹣2]【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解．三．解答题（共7小题）17．实数m分别取什么数值时，复数z=（m+2）+（3﹣2m）i（1）与复数12+17i互为共轭；（2）复数的模取得最小值，求出此时的最小值．【分析】（1）根据共轭复数的定义得到关于m的方程组，解出即可；（2）根据二次函数的性质求出|z|的最小值即可．【解答】解：（1）根据共轭复数的定义得：，解得：m=10；（2）|z|==，当m=时，复数的模取最小值．【点评】本题考查了复数求模问题，考查共轭复数的定义，是一道基础题．18．某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x（百元）与日销售量y（件）之间有如下关系：（1）求y关于x的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：，．【分析】（1）求求出回归系数，即可y关于x的回归直线方程；（2）销售价为x时的利润为（x﹣4）（﹣2x+20.8）=﹣2x2+28.8x﹣83.2，即可得出结论．【解答】解：（1）因为=7，=6.8，所以，==﹣2，=20.8．于是得到y关于x的回归直线方程y=﹣2x+20.8．（2）销售价为x时的利润为（x﹣4）（﹣2x+20.8）=﹣2x2+28.8x﹣83.2，当x=≈7时，日利润最大．【点评】本题考查回归直线方程的求法和应用，考查最大利润的求法，属于中档题．19．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．【分析】（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率P1的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率P2的值，再把P1和P2相加，即得所求．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），求得P（X=100ξ）=P（ξ=k）的值，可得X的分布列，从而求得X的期望．【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）=++×=．所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X=100ξ，P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．X的分布列为：∴EX=0×+100×+200×=．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的分布列，属于中档题．20．已知函数f（x）=e x﹣1，，其中e是自然对数的底，e=2.71828…．（1）证明：函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（1，2）上有零点；（2）求方程f（x）=g（x）根的个数，并说明理由；（3）若数列{a n}（n∈N*）满足a1=a（a＞0）（a为常数），a n+13=g（a n），证明：存在常数M，使得对于任意n∈N*，都有a n≤M．【分析】（1）直接利用零点存在定理证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（1，2）上有零点即可；（2）通过方程f（x）=g（x）构造函数h（x）=e x﹣1﹣，利用函数的导数以及函数的单调性，结合零点存在定理说明方程根的个数；（3）直接利用数学归纳法的证明步骤，证明存在常数M=max{x0，a}，使得对于任意的n ∈N*，都有a n≤M．【解答】解：（1）证明：由h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣1﹣，得：h（1）=e﹣3＜0，h（2）=e2﹣2﹣＞0，所以函数h（x）在区间（1，2）上有零点．（2）由（1）得：h（x）=e x﹣1﹣，由知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，因此h（x）至少有两个零点．所以﹣1，记φ（x）=﹣1，则．当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，因此φ（x）在（0，+∞）上单调递增，则φ（x）在（0，+∞）内至多只有一个零点．h（x）有且只有两个零点．所以，方程f（x）=g（x）根的个数为2．（3）记h（x）的正零点为x0，即．（1）当a＜x0时，由a1=a，即a1＜x0．而＜=，因此a2＜x0，由此猜测：a n＜x0．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1＜x0显然成立；②假设当n=k（k≥1）时，有a k＜x0成立，则当n=k+1时，由＜=知，a k+1＜x0，因此，当n=k+1时，a k+1＜x0成立．故对任意的n∈N*，a n＜x0成立．（2）当a≥x0时，由（1）知，h（x）在（x0，+∞）上单调递增．则h（a）≥h（x0）=0，即．从而，即a2≤a，由此猜测：a n≤a．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1≤a显然成立；②假设当n=k（k≥1）时，有a k≤a成立，则当n=k+1时，由知，a k+1≤a，因此，当n=k+1时，a k+1≤a成立．故对任意的n∈N*，a n≤a成立．综上所述，存在常数M=max{x0，a}，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．【点评】本题考查函数的零点存在定理的应用，数学归纳法的证明方法以及函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（Ⅱ）f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，，由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则由f′（x）=0，得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（Ⅱ）f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，，①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）上递增，g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．②若0＜a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，∴g′（x）在（1，）上递增，从而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．③若a，F′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，∴g′（x）在[1，+∞）上递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，从而g（x）在[1，+∞）上递减，∴g（x）≤g（1）=0，f（x）﹣≤0，综上所述，a的取值范围是[，）．【点评】本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要注意导数性质的合理运用．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）判断直线l与圆C的交点个数；（Ⅱ）若圆C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，能求出圆C的直角坐标方程，由此得到圆心（0，1）在直线l上，从而能求出直线l与圆C的交点个数．（Ⅱ）由AB为圆C的直径，能求出|AB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴消去参数t得直线l的普通方程为，∵圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，∴由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，得圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．∵圆心（0，1）在直线l上，∴直线l与圆C的交点个数为2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心（0，1）在直线l上，∴AB为圆C的直径，∵圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．∴圆C的半径r==1，∴圆C的直径为2，∴|AB|=2．【点评】本题考查直线与圆的交点个数的判断，考查弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化公式的合理运用．23．已知函数f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（1）求a的值；（2）如函数g（x）=f（x）﹣|x+1|，求g（x）的最小值．【分析】（1）由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．（2）写出分段函数，即可求g（x）的最小值．【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a=2；（2）g（x）=，，＜＜，，∴时，g（x）min=﹣．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．。

2017_2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理C卷02(3)

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理（C 卷02）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知()()i 125a b i +-=（i 为虚数单位， ,R a b ∈），则a b +的值为（） A ． -1 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】D2．若随机变()2,N ξμσ~，且3,1E D ξξ==, 则11)P ξ-<≤（等于（）A ． ()211Φ-B ． ()()42Φ-ΦC ． ()()42Φ--Φ-D ． ()()24Φ-Φ【答案】B 【解析】随机变量()2,N ξμσ~，对正态分布， 23,1E D μξσξ====，故()()()111313P ξ-<≤=Φ--Φ--= ()()()()2442Φ--Φ-=Φ-Φ，故选B ．3．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是（） A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D ．四部话剧都有可能在周二上演【答案】C【解析】由题目可知，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选C ．4．如图，矩形OABC 的四个顶点依次为()0,0O ， ,02A π⎛⎫⎪⎝⎭， ,12B π⎛⎫⎪⎝⎭， ()0,1C ，记线段OC ， CB 以及sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭的图象围成的区域（图中阴影部分）为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，则点M 落在区域Ω内的概率为（）A ．12π- B ． 22π- C ． 2π D ． 21π- 【答案】D5．已知：，则等于（）A ．－1400B ． 1400C ． 840D ．－840 【答案】A 【解析】分析：由题，由此可求的值．详解：，故故选A ．点睛：本题考查二项式定理，解题的关键是对所要展开的式子进行适当变形．6．某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试．现随机调查了24名笔试者的成绩,如下表所示: 分数段 [60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90]人数 234951据此估计允许参加面试的分数线是( ) A ． 75 B ． 80 C ． 85 D ． 90 【答案】B7．设m ，n ，t 都是正数，则m ＋4n ，n ＋4t ，t ＋4m三个数( ) A ．都大于4 B ．都小于4C ．至少有一个大于4D ．至少有一个不小于4 【答案】D【解析】依题意，令m ＝n ＝t ＝2，则三个数为4,4,4，排除A ，B ，C 选项，故选D ． 8．已知函数()y f x =，其导函数()y f x ='的图象如图所示，则()y f x =A ．至少有两个零点B ．在3x =处取极小值C ．在()2,4上为减函数D ．在1x =处切线斜率为0【答案】C【解析】根据导函数的图像只能得到原函数的单调性，和单调区间，得不到函数值，故得到A 是错的，在x=3处，左右两端都是减的，股不是极值；故B 是错的；C ，在()2,4上是单调递减的，故答案为C ；D 在1出的导数值大于0，故得到切线的斜率大于0，D 不对．故答案为C ．9．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，由古典概型公式，满足题意的概率值为．本题选择C 选项．考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些．10．过函数sin y x =图象上点O （0，0），作切线，则切线方程为（） A ． y x = B ． 0y = C ． 1y x =+ D ． 1y x =-+ 【答案】A 【解析】函数sin y x =， ∴导函数'cos y x =， 0x =时， 'cos01y ==，所求切线斜率为1， ∴所求切线方程为y x =，故选A ．【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于难题．求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P ()()00,x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程()()00•y y f x x x '-=-． 11．已知函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，则()f x （）A ．既有极小值，也有极大值B ．有极小值，但无极大值C ．有极大值，但无极小值D ．既无极小值，也无极大值【答案】B【解析】由导函数图象可知， ()y f x ='在()0,x -∞上为负， ()y f x ='在()0,x +∞上非负， ()y f x ∴=在()0,x -∞上递减，在()0,x +∞递增， ()y f x ∴=在0x x =处有极小值，无极大值，故选B ．12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足： ()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x x R =∈,()()()10,2ln g x x h x e x x=<=,有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-4；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，；④()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =．其中真命题的个数有( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【答案】C2424,1664,40b k k b k k ≤-≤≤--≤≤，同理421664,b k b ≤≤-可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(y e k x -=-，即y kx e =-，由()()f x kx e x R ≥-∈，可得20x kx e -+-≥，当x R ∈恒成立，则(20k ∆=-≤，只有k =，此时直线方程为y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()()G x e h x =--2ln e e x =--， ()'x G x x-=，当x =()'0G x =；当0x << ()'0G x <；当x >()'0G x >；当x = ()'G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值，()()0G x e h x ∴=--≥，则()h x e ≤-， ∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线y e =-，故④正确，真命题的个数有三个，故选C ．【方法点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题、以及新定义问题，属于难题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．本题定义“隔离直线”达到考查导数在研究函数性质的应用的目的．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）～（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．某灾情过后志愿者纷纷前往灾区救援,现从四男三女共7名志愿者中任选2名(每名志愿者被选中的机会相等),则2名都是女志愿者的概率为_____．【答案】【解析】从7人中选2人有21种情况,选出2名女志愿者的情况有3种,所以概率为故答案为：14．已知（1）正方形的对角线相等；（2）平行四边形的对角线相等；（3）正方形是平行四边形．由（1）、（2）、（3）组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是________【答案】正方形的对角线相等点睛：该题考查的是有关演绎推理的概念问题，要明确三段论中三段之间的关系，分析得到大前提、小前提以及结论是谁，从而得到结果．15．已知函数在上不单调，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】已知函数定义域为，，，令，图像如图，∵函数在上不单调，∴区间在零点1或3的两侧，或，解得或．即实数的取值范围是．点睛：利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想 16．给出下列四个结论：(1)相关系数r 的取值范围是1r <；(2)用相关系数r 来刻画回归效果， r 的值越大，说明模型的拟合效果越差；(3)一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，则其中所含白球个数的期望是2； (4) 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ,且(),,0,1a b c ∈，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则213a b +的最小值为163．其中正确结论的序号为______________．【答案】(3)(4)【解析】分析：（1）相关系数的范围；（2）由相关指数r 的含有知，|r|的值越大，说明模型的拟合效果越好；（3）离散型随机变量的期望；（4）根据期望公式得到3a+2b=2，进而利用均值不等式求最值．详解：（1）相关系数r 的取值范围是1r ≤，故（1）错误；（2）用相关指数r 来刻画回归效果，|r|的值越大，说明模型的拟合效果越好，故（2）错误；（3）含零个白球的概率为5210，含一个白球的概率为50210，含二个白球的概率为100210，含三个白球的概率为50210，含四个白球的概率为5210，白球个数的期望为： 550100505012342210210210210210⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故（3）正确；点睛：本题考查相关系数的有关概念，考查离散型随机变量的期望及概率统计与基本不等式的综合应用，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个实体考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“1元/公里+0．2元/分钟”．刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他：“上下班往返总路程虽然只有10公里，但偶尔开车上下班总共也需花费大约1小时”，并将自己近50天的往返开车的花费时间情况统计如表：将老李统计的各时间段频率视为相应概率，假定往返的路程不变，而且每次路上开车花费时间视为用车时间．（1）试估计小刘每天平均支付的租车费用（每个时间段以中点时间计算）；（2）小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟，租用“共享吉利博瑞车”为他该日的“最优选择”，小刘拟租用该车上下班2天，设其中有ξ天为“最优选择”，求ξ的分布列和数学期望．【答案】(1)16．96，(2) () 1.6E ξ=试题解析：（1）由题可得如下用车花费与相应频率的数表：估计小刘平均每天用车费用为140.2160.36180.24200.16220.0416.96⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）ξ可能的取值为0,1,2，用时不超过45分钟的概率为0．8， ()~2,0.8B ξ，()002200.80.20.04P C ξ==⋅=， ()111210.80.20.32P C ξ==⋅=， ()220220.80.20.64P C ξ==⋅=，()20.8 1.6E ξ=⨯=．18．（本小题满分12分）2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程．某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：（Ⅰ）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．【答案】(1)见解析;(2) ()611P A =;(3)见解析． =0ξ对应的事件为从该班11名调查对象中抽取2人，（Ⅱ）设该生持满意态度为事件A ，则基本事件的总数有11种，事件A 中包含的基本事件有6种，所以()611P A = （Ⅲ）ξ的可能取值有0，1，2 2人中恰好有0人持满意态度基本事件的总数为211C =55，其中包含的基本事件数有2510C =种所以()10205511P ξ=== 同理： ()116521*********C C P C ξ⋅====， ()26211C 1532=C 5511P ξ=== 所以分布列为：所以期望E =0+1+2=11111111ξ⨯⨯⨯19．（本小题满分12分）已知函数()()22ln ,0x f x x a R a a=-∈≠．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点1x ， 2x 12()x x <，且2a e =，证明： 122x x e +>．【答案】（1）当0a <时，知()f x 在()0,+∞上递减；当0a >时， ()f x在(上递减，在)+∞上递增；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由函数的解析式了的()22'x f x a x=-， (0)x >，分类讨论有：当0a <时，知()f x 在()0,+∞上递减；当0a >时， ()f x在(上递减，在)+∞上递增；试题解析：（1）()22'x f x a x=-， (0)x >，当0a <时， ()'0f x <，知()f x 在()0,+∞上是递减的；当0a >时， ()(2'x x f x ax+=，知()f x在(上是递减的，在)+∞上递增的．（2）由（1）知， 0a >， ()1min f x f lna ==-，依题意10lna -<，即a e >，由2a e =得， ()222(0)x f x lnx x e=->， ()10,x e ∈， ()2,x e ∈+∞，由()22220f e ln =->及()20f x =得， 22x e <，即()2,2x e e ∈，欲证122x x e +>，只要122x e x >-，注意到()f x 在()0,e 上是递减的，且()10f x =，只要证明()220f e x ->即可，由()222220x f x lnx e=-=得22222x e lnx =，所以()()()222222222e x f e x ln e x e --=-- ()2222224422e ex x ln e x e -+=-- ()22222244222e ex e lnx ln e x e -+=-- ()22244222x lnx ln e x e =-+--， ()2,2x e e ∈，令()()44222tg t lnt ln e t e=-+--， (),2t e e ∈，则()()()24422'022e t g t e t e t et e t -=-++=>--，知()g t 在(),2e e 上是递增的，于是()()g t g e >，即 ()220f e x ->，综上， 122x x e +>．20．（本小题满分12分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于0的常数)．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望．附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，先对，两边取自然对数得，再换元将非线性转化成线性问题，求线性回归方程，再利用最小二乘法公式和参考数据求解． (2)第（2）问，先写出随机变量的值，再写出随机变量的分布列和期望．其分布列为∴．点睛：本题的难点在于将非线性转化成线性后如何求最小二乘法公式中的各基本量，所以这里要理解公式中各字母的含义，再利用参考数据解答． 21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =， ()2g x ax bx =+（0a ≠， b R ∈）．（1）若2a =， 3b =，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点()()11,x f x ， ()()22,x f x ，记1202x x x +=，记()'f x ， ()'g x 分别是()f x ， ()g x 的导函数，证明： ()()00''f x g x <．【答案】(1) ()F x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减(2)见解析【解析】试题分析：（1）由题意，得到()F x ，求得()'F x ，利用导数即可判定函数单调性，求解单调区间；试题解析：（1）()2ln 23F x x x x =--， ()()()4111'43x x F x x x x-+=--=-，()F x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）()()()20000000121''2ax bx f x g x ax b x x ---=-+=， ()()221212212120021212222a x x b x x x x x x ax bx a b-+-+++⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭， 2111ln ax bx x +=， 2222ln ax bx x +=， ()()()11212122lnx a x x x x b x x x +-+-=，即()1121221ln x a x x b x x x ++=-，()()121212112121122221ln ln 1x x x x x x a x x b x x x x x x x x +++++==⋅--，不妨设12x x >，令()1ln 1x h x x x +=-（1x >），下证()1ln 21x h x x x +=>-,即()214ln 211x x x x ->=-++，即4ln 21x x +>+， ()4ln 1u x x x =++， ()()()()222114'11x u x x x x x -=-=++，所以()()12u x u >=，∴()()212122a x x b x x +++>， ()()00''f x g x <．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）若直线与相切，求的直角坐标方程；（2）若，设与的交点为，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先根据直线与C 相切得到k 的值，再写出直线的直角坐标方程．(2)先求AB 的长，再求点C 到直线AB 的距离，最后求的面积．详解：（1）由可得的直角坐标方程为，即，消去参数，可得，设，则直线的方程为，由题意，圆心到直线的距离，解得，所以直线的直角坐标方程为．点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标方程的互化，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力．(2)解答坐标系和参数方程的题目，可以选择极坐标解答，也可以选择参数方程解答，也可以选择直角坐标解答，要看具体的情况，具体分析．23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若函数的图像最低点为，正数，满足，求的取值范围．【答案】（1）．(2) ．【解析】分析：第一问首先利用零点分段法去掉绝对值符号，将不等式转化为三个不等式组，接着对三个不等式组分别求解，之后将其求并集得到不等式的解集；第二问写出函数的解析式，得到函数图像的最低点的坐标，从而求得，这样问题就转化为已知两个正数的整式形式和为定值，求其分式形式和的最小值问题，相乘除以4，即可求得结果．详解：（1）当时，，得，所以当时，，得，所以当时，，得，所以综上，不等式的解集为点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，一是有关绝对值不等式的解法，那就是应用零点分段法，将其化为三个不等式组求解，其中对应的思想就是去掉绝对值符号，再者就是会找函数图像的最低点，之后借助于有关两个正数的整式形式和分式形式的和，其中一个是定值，求另一个的最小值的时候，方法就是相乘，之后应用基本不等式求解，注意的一点就是必须坚持乘1才是不变量．。

2017-2018学年第二学期期末考试高二理数答案

清远市2017—2018学年度第二学期期末教学质量检测高二理科数学答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B ADDCABBDACC【解析】9．根据题意，有39151860{ 18239153x y y x +++++=+=+++，解得96x y ==，，从中选取10人，则其中“微信达人”有21045⨯=人，“非微信达人”有31065⨯=人， ξ∴的可能取值为0123，，，，()0346310106C C P C ξ===, ()1246310112C C P C ξ===; ()21463103210C C P C ξ===, ()30463101330C C P C ξ===，1131601236210305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=10. 73142524152415=+C C C C C C ;11.奇数数列201912=-=n b n 1010=∴n ，即2019为第1010个奇数.每行的项数记为m c ，则m c m =，其前i 项和为()1122i i i ++++=个奇数,则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1035个奇数；则2019位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2019位于第45行，从右到左第20个，则71,26,45=+==j i j i12. 【解析】由图可知，当0≥x 时，导函数0)(≥'x f ，函数)(x f 单调递增，∵两非负数b a ,满足1)2(<+b a f ，又由1)4(=f ，即)4()2(f b a f <+，即42<+b a ，又由[][]4,0,2,0∈∈b a ,点),(b a 的区域为图中阴影部分，不包括边界，故选择C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上） 13. 答案：5 14. 【答案】615.【答案】同一个平面；真16. 【答案】)11,(-∞或}11|{<a a 【解析】当1≤x 时，a e x x f 2)(++-=是减函数，所以函数)(x f 的最小值是)1(f =a e 21-++；当x>1时，10ln )(++=a xxx f ，xx x f 2ln 1ln )('-=，令0)('=x f ，得，当),1(e x ∈时， )(x f '<0,函数)(x f 单调递减; 当)(∞+∈，e x 时，)(x f '>0,函数)(x f 单调递增，所以当时，函数)(x f 取得最小值，又)1(f 是函数的最小值，则需满足a e a e 2110++->++ ，解得：11<a .三、必答题（本大题共4小题，共50分。

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题B卷02浙江版精品

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题（B 卷02）浙江版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________得分：一、单选题1．已知集合2{|20},{|11}A x x x B x x =--<=-<<，则 ( ) A. A B ⊆ B. B A ⊆ C. A B = D. A B ⋂=∅ 【答案】B2．已知点()12P ，与直线l : 10x y ++=，则点P 关于直线l 的对称点坐标为 A. ()3,2-- B. ()3,1-- C. ()2,4 D. ()5,3-- 【答案】A【解析】可以设对称点的坐标为(),x y ，得到2121,103, 2.122y x y x y x -++=++=⇒=-=-- 故答案为：A.3．设数列{}n a 的通项公式为()*2n a kn n N =+∈则“2k >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当2k >时12n n a a k --=>，则数列{}n a 为单调递增数列若数列{}n a 为单调递增数列，则10n n a a k --=>即可，所以“2k >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的充分不必要条件故选A .4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有邹亮，下广三丈，茅四仗，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽仗长仗；上棱长仗，高一丈，问它的体积是多少？”已知丈为尺，现将该锲体的三视图给出右图所示，齐总网格纸小正方形的边长1丈，则该锲体的体积为（）A. 立方尺B. 立方尺C. 立方尺D. 立方尺【答案】A【解析】该契体的直观图如右图中的几何体，取的中点，的中点为，连接，则该几何体的体积为四棱锥与三棱柱的体积之和，而三棱柱可以通过割补法得到一个高为，底面积平方丈的一个直棱柱，故该契体的体积立方丈立方尺.故选A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.5．已知复数满足，则的最小值A. B. 2 C. 4 D.【答案】B【解析】根据不等号式组画出可行域，得到可行域是一个封闭的三角形区域，z表示的是区域内的点到原点的距离的平方，根据图像知道最小值就是原点到直线x+y-2=0的距离的平方.根据点到直线的距离得到结果为：2.故答案为：B.6．(2018浙江卷）设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.详解：，，，∴先增后减,因此选D.点睛：7．中，的对边分别为.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先化简得到，再化简得解.所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化能力. （2）三角恒等变换方法：三看（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）. 8．将函数()π2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移π4ω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为 A. 3 B. 32 C. 2 D. 54【答案】B【解析】由题意得()()ππ2sin 2sin 44g x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以][ππππ,,6322ωω⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦ ，因此302ω<≤，即ω的最大值为32，选B. 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()πk k Z ϕ⇔=∈；函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()πk k Z ϕ⇔=∈.9．记数列的前项和为.已知，，则（）A. B.C.D.【答案】A【解析】分析：由题可得由此可得又，可得数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，首项分别为1,2，由此可求.详解：由题数列满足，，又，由此可得数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，首项分别为1,2，则故选A.点睛：本题考查等比数列的通项公式及其前项和公式，属中档题.10．已知为椭圆上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为（） A.B.C. D.【答案】C【解析】分析：由题意设PA 与PB 的夹角为，通过解直角三角形求出PA ，PB 的长，由向量的数量积公式表示出，利用三角函数的二倍角公式化简，然后换元后利用基本不等式求出最值．详解：如图，由题意设，则，∴，设，则，当且仅当，即时等号成立，此时．又当点P在椭圆的右顶点时，，∴，此时最大，且最大值．∴的取值范围是故选C．点睛：圆锥曲线中的最值或范围问题将几何问题和函数、不等式的问题综合在一起，考查学生的综合应用能力，此类题目具有一定的难度．解题时首先要根据题意设出相关的参数，把所求的最值表示为该参数的函数，然后根据目标函数的特征选用函数或不等式的知识求解最值即可．二、填空题11．复数在复平面上对应的点位于第____象限，且____.【答案】四，【解析】∵复数∴复数在复平面上对应的点位于第四象限，且.故答案为（1）四；（2）2.12．多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的系数是__________；常数项是__________．【答案】 200 144【解析】分析：根据题意，由二项式定理分析可得()52x +的展开式的通项为5152r rr r T C x -+=⋅，进而令2r =、3、0、1，求出对应1r T +的值，分析可得答案．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 13．已知向量a ，b 满足，，则的最小值是_______________，最大值是_______________．【答案】 ..【解析】设向量a ，b 的夹角为，则，，则，令，则，据此可得，，故的最小值是，最大值是．【名师点睛】本题通过模长公式、三角函数的有界性求出最大值与最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．14．已知椭圆，双曲线．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．【答案】 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M 的离心率为双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.15．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加厦门市华侨博物院志愿者服务活动，每人从事礼仪、导游、翻译、讲解四项工作之一，每项工作至少有一人参加. 甲、乙不会导游但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是____________．（用数字作答）【答案】126.【解析】分析：根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了导游的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．16．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．17．已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到四面体，如图所示，给出下列结论：①四面体体积的最大值为；②四面体外接球的表面积恒为定值；③若分别为棱的中点，则恒有且；④当二面角的大小为时，棱的长为；⑤当二面角为直二面角时，直线所成角的余弦值为．其中正确的结论有_____________________(请写出所有正确结论的序号)．【答案】②③⑤【解析】分析：将矩形折叠后得到三棱锥：①四面体体积最大值为两个面互相垂直求三棱锥的底面积和高即可；②求出三棱锥的外接球半径，即可计算表面积；③连接，则，连接，得到，利用等腰三角形的三线合一即可；④当二面角为直二面角时，以为原点所在直线分别为轴建立坐标系，借助于向量的数量积解答；⑤找到二面角的平面角计算即可.详解：由题意，①中，四面体体积最大值为两个面互相垂直，四面体体积的最大值，所以不正确；②中，三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，所以是正确的.③中，若分别为棱的中点，连接，则，根据等腰三角形三线合一得到，连接，可得，所以，所以是正确的；④中，由二面角的大小为时，棱的长为，在直角中，，作，则，同理直角中，则,在平面内，过作，连接，易得四边形为矩形，则，又，即为二面角的平面角，即，则，由平面，得到，即有，则，所以是错误的，⑤中，当二面角为直二面角时，以为原点所在直线分别为轴建立坐标系，则由向量的数量积可得到直线所成的角的余弦值为，所以是正确的；综上可知正确命题的序号为②③⑤.点睛：本题考查了平面与立体几何的综合应用，解答中涉及到两条直线的位置关系的判定，二面角以及三棱锥的外接球的表面积，以及直线与平面垂直的判定等知识点的综合应用，试题综合性强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力. 其中线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，或是根据面面垂直.三、解答题18．函数．（1）求的值；（2）求函数的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）；（2），的单调递增区间为.【解析】分析：（1）将代入解析式直接求解即可．（2）将函数解析式化为，然后再根据要求求解．详解：（1）由题意得．（2）∵．∴函数的最小正周期为．由，得，所以的单调递增区间为．点睛：求函数的单调区间时，应先将解析式先化简为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，然后把“ωx＋φ”作为一个整体，通过解不等式可得单调区间，但解题时要注意复合函数单调性的规律“同增异减”．19．如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，，四边形是矩形，和分别是和的中点.（1）求证：平面平面；（2）若平面平面，，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】分析：（1）连接交于点，由三角形中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得平面，同理平面，从而可得结论；（2）过点在平面中作轴，以为轴，建立空间直角坐标系，分别利用向量垂直数量积为零列方程组，求出. 平面与平面法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）连接交于点，显然，平面，平面，可得平面，同理平面，，又平面，可得：平面平面. （2）过点在平面中作轴，显然轴、、两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系.，，，，，，.设平面与平面法向量分别为，.，设；，设.，综上：面与平面所成角的余弦值为.点睛：本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且满足11a = ， ()11n n na S n n +=++ . （1）求数列{}n a 通项公式；（2）设n T 为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证： 1n T < . 【答案】(1) 21n a n =- (2)见解析【解析】试题分析：（1）根据题意得到()11n n na S n n +=++， ()()111n n n a S n n --=+-，两式做差得到21n a n =-；（2）根据第一问得到2133n n n a n -=，由错位相减法得到前n 项和，进而可证和小于1. 解析：（1）∵()11n n na S n n +=++当2n ≥ 时， ()()111n n n a S n n --=+- 当1n =时， 212a a =+ ，即212a a -=∴数列{}n a 时以11a = 为首项， 2 为公差的等差数列.∴()11221n a n n =+-⨯=- .（2）∵2133n n n a n -= ∴12313523333n n n T -=++++ ①231113232133333n n n n n T +--=++++ ② 由①- ②得12312122221333333n n n n T +-=++++- 1212113312113313n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=+--122233n n ++=- ∴1113n n n T +=-<点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F 抛物线C 上存在一点()2,E t 到焦点F 的距离等于3.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()1,0K -的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点（,A B 两点在x 轴上方），点A 关于x 轴的对称点为D ，且FA FB ⊥，求ABD ∆的外接圆的方程.【答案】(1) 24y x = (2) ()22524x y -+=【解析】试题分析：（1）抛物线的准线方程为2p x =-，所以点E ()2t ，到焦点的距离为232p+=．,解得2p =,从而可得抛物线C 的方程；（2）设直线l 的方程为()10x my m =->．将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+=，设()11,A x y ， ()22,B x y ， ()11,D x y -，根据韦达定理以及平面向量数量积公式可得m AB 与AD 的中垂线方程，联立可得圆心坐标，根据点到直线距离公式以及勾股定理可得圆的半径，从而可得外接圆的方程.（2）设直线l 的方程为()10x my m =->．将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+=，由()24160m ∆=->，解得1m >．设()11,A x y ， ()22,B x y ， ()11,D x y -，则124y y m +=， 124y y =，因为()()()()2212121212·1112484FA FB x x y y m y y m y y m =--+=+-++=- 因为FA FB ⊥，所以·0FA FB =．即2840m -=，又0m >，解得m =．所以直线l 的方程为10x +=．设AB 的中点为()00,x y ,则12022y y y m +=== 0013x my =-=，所以直线AB 的中垂线方程为)3y x --．因为AD 的中垂线方程为0y =，所以△ABD 的外接圆圆心坐标为()5,0．因为圆心()5,0到直线l 的距离为d =且AB ==所以圆的半径r ==所以△ABD 的外接圆的方程为()22524x y -+=．22．已知函数，其中.（Ⅰ）若是的极值点，求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）.；【解析】分析：（1）令'20f =（），解得a ，再验证是否符合函数取得极值的充分条件即可；（2）对a 分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出；（3）通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合题意求出a 的范围即可．详解：（Ⅰ）解：.依题意，令，解得.经检验，时，符合题意.（Ⅱ）解：① 当时，.故的单调增区间是；单调减区间是.② 当时，令，得，或.当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和. …6分当时，的单调减区间是当时，，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和.（Ⅲ）由（Ⅱ）知时，在上单调递增，由，知不合题意.当时，在的最大值是，由，知不合题意.当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意.所以，在上的最大值是时，的取值范围是点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，充分利用分类讨论的思想方法等是解题的关键．属于难题．。

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理(A卷02)江苏版

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理（A 卷02）江苏版一、填空题1．若函数f (x )＝x 3－3x 2＋mx 在区间 (0，3) 内有极值，则实数m 的取值范围是______．【答案】(－9，3)【解析】函数f (x )＝x 3－3x 2＋mx 求导得： ()236m f x x x '=-+,有对称轴为1x =.若函数f (x )＝x 3－3x 2＋mx 在区间 (0，3) 内有极值，则()()21360{333630f m f m =-+<=⨯-⨯+>''，解得93m -<<.故答案为：(－9，3).点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 求函数()f x 极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数()f x '；③解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；④检验()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号,如果左正右负,那么()f x 在0x 处取极大值,如果左负右正,那么()f x 在0x 处取极小值．2．已知函数()f x 的定义域为R ， ()'f x 是()f x 的导函数，且()23f =， ()'1f x <，则不等式()1f x x >+的解集为_______．【答案】(),2-∞点睛：本题考查利用导数研究不等式的解集.解决本题的关键是合理根据条件（()'1f x <且()23f =）构造函数()()()1g x f x x =-+和()()0g x g >，再利用单调性进行求解.3．已知椭圆22:143x y C +=上的点M 到右焦点的距离为2，则点M 到左准线的距离为____．【答案】4【解析】因为椭圆22:143x y C +=上的点M 到右焦点的距离为2，所以M 到左焦点的距离为422-=，即M 的横坐标为0，即点M 到左准线:4l x =-的距离为4.点睛：本题考查椭圆的定义的应用.在处理与圆锥曲线的两焦点问题时，往往利用圆锥曲线的定义合理进行转化，如遇到椭圆或双曲线上的点到准线问题，要考虑两者的第二定义进行合理转化.4．已知函数()ln 4y x =-的定义域为A ，集合{}B x x a =，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为___________．【答案】(),4-∞【解析】函数()ln 4y x =-的定义域为()4,A ∞=+， {}()|,B x x a a ∞=>=+，因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，则4a <，即实数a 的取值范围为(),4-∞.点睛：本题以数集为载体考查充分条件和必要条件的判定.在处理与数集有关的充分条件和必要条件的判定时，往往转化为数集之间的包含关系的判定，已知命题： :,:p x A q x B ∈∈，若A B ⊆，则p 是q 的充分条件， q 是p 的必要条件.5．已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且过点()1,2，则双曲线的标准方程为_______．【答案】221y x -=点睛：本题考查双曲线标准方程的求法.已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程时，要注意巧妙设法，可避免讨论，如：以0mx ny ±=为渐近线的双曲线方程可设为()22220m x n y λλ-=≠.6．P 为椭圆221164x y +=上一点， 2,0Q （），则线段PQ 长度的最小值为______．【答案】263【解析】设(),P x y ，则()224444x y x =--≤≤， ()22232484PQ x y x x =-+=-+ 23824264393x ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，即线段PQ 长度的最小值为263. 7．已知双曲线22125144x y -=左支上一点P 到左焦点的距离为16，则点P 到右准线的距离为______．【答案】10点睛：本题考查双曲线的第一定义和第二定义的应用；椭圆和双曲线均有两个定义，第一定义是到两个定点的和（或差的绝对值）为定值的动点的轨迹，但要注意定值和两个定点间的距离的大小关系，第二定义是圆锥曲线的统一定义，是到定点到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹，但要注意定点不在定直线上.8．若“11x -≤≤”是“不等式2x m -≤” 成立的充分条件，则实数m 的取值范围是______．【答案】[]1,1-【解析】因为222x m m x m -≤-≤≤+，且“11x -≤≤”是“不等式2x m -≤” 成立的充分条件，所以][1,12,2m m ⎡⎤-⊆-+⎣⎦，则21{21m m -≤-+≥，解得11m -≤≤，即实数m 的取值范围是[]1,1-.点睛：本题考查充分条件和必要条件的判定；在处理涉及数集的充分条件或必要条件的判定时，往往将问题转化为集合间的包含关系处理，已知命题:,:p x A q x B ∈∈，若A B ⊆，则p 是q 的充分条件， q 是p 的必要条件.9．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为，敌机被击中的概率为__________ . 【答案】【解析】分析：根据互相独立事件的概率乘法公式，求得甲乙都没有击中敌机的概率，然后利用对立事件的概率公式求解即可.详解：根据独立事件与独立事件的概率公式可得，甲乙都没有击中敌机的概率为，由对立事件的概率公式可得，敌机被击中的概率为，故答案为.点睛：本题主要考查对立事件及独立事件的概率公式，属于中档题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.10．若，则__________ .【答案】2或3点睛：本题主要考查组合数公式的应用，意在考查分类讨论的数学思想以及灵活运用基本公式的能力.11．为虚数单位，复数的共轭．．复数对应的点位于第__________象限 .【答案】四【解析】分析：先利用复数的运算法则化简，由共轭复数的定义求出共轭复数，利用复数的几何意义即可得结果.详解：因为，所以数的共轭复数，对应坐标为，复数的共轭复数对应的点位于第四象限，故答案为四.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12．随机变量的分布列为，1，2，3，4，则__________ .【答案】点睛：本题主要考查分布列的性质以及互斥事件的概率公式，属于简单题.13．已知命题,那么命题为___________.【答案】【解析】分析：根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论.详解：全称命题的否定是特称命题，命题“”的否定为“”，故答案为.点睛：本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.14．若，则___________.【答案】【解析】分析：利用共轭复数的定义求得，代入，再由复数的乘除运算法则化简可得结果.详解：，于是可得，故答案为. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.二、解答题15．已知实数0m >， p ： ()()230x x +-≤， q ： 22m x m -≤≤+．（1）若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若2m =，“p q ⌝∧”为真命题，求实数x 的取值范围．【答案】(1) 01m <<（2）][()3,44,2x ∈⋃--【解析】试题分析：（1）q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，转化为p 是q 的必要不充分条件，进而转化为集合的包含关系即可；（2）“p q ⌝∧”为真命题，则p ⌝为真， q 为真，分别求出满足条件的参数值，取交集即可。

2017_2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题(C卷01)浙江版

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题（C卷01）浙江版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________得分：一、单选题1．【2018年天津卷】设全集为R，集合，，则A. B. C. D.【答案】B点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得m的值，然后求解渐近线方程即可.详解：由题意结合双曲线的标准方程可知：，则：，双曲线的标准方程为：，双曲线的渐近线方程满足，整理可得渐近线方程为：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线的渐近线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.4．【2018年全国3卷理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题.5．已知平面平面,且,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先证充分性，再证必要性.详解：平面平面且，故为充分条件由可知，故为必要条件综上：“”是“”的充要条件选C.点睛：本题主要考查平面与平面之间的位置关系、以及平面与直线、直线与直线之间的位置关系，考查充分必要条件相关知识，考查了学生的空间想象能力、推理论证能力、逻辑思维能力，属于基础题. 6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据已知条件，设等差数列的公差为，将已知条件转化为等式，求出等差数列的首项和公差，再得出答案.详解：设等差数列的公差为，由已知有，解得，故最小一份是，选C.点睛：本题主要考查了等差数列的基本量的计算，属于容易题.注意从已知的条件中找出数学等式.7．已知点O为坐标原点,A(-1,1),若点为平面区域上的一个动点,则的取值范围为A. B.C. D.【答案】C【解析】画出可行域,如图中阴影部分所示.易知,.由题意得,,所以=.当过点时,取得最小值，为; 当过点时,取得最大值，为.故,即的取值范围为.选C ．8．【2018年全国2卷理】若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质：(1). (2)周期(3)由求对称轴， (4)由求增区间;由求减区间.9．若随机变量X 的分布列如右表，则22a b 的最小值为（）A.19 B. 29 C. 39 D. 49【答案】B【解析】分析：由随机变量X 的分布列得到0{0 12133a b a b ≥≥+=-=，由此利用均值不等式能求出a 2+b 2的最小值．详解：由随机变量X 的分布列知：0{0 12133a b a b ≥≥+=-=，∴ab ≤（2a b +）2=19，当且仅当a=b=13时，取等号，此时a 2+b 2≥2ab=29．∴a 2+b 2的最小值为29．故选：B ．点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.10．已知是△内的一点，且，∠，若△，△和△的面积分别为，则的最小值是（）A. 16B. 18C. 20D. 22【答案】B【解析】分析：先根据向量数量积定义解得,再根据三角形面积公式得△面积，即得值，最后根据基本不等式求最值. 详解：因为因此，因为△，△和△的面积和为从而因此当且仅当时取等号，即的最小值是18，选B.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、填空题11．若复数z 满足32i z i ⋅=-+（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为__________； z = _________．【答案】点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(),,,.a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(),a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (),a b 、共轭为.a bi -12．【2018年浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a=，b=2，A=60°，则sinB=___________，c=___________．【答案】 3【解析】分析:根据正弦定理得sinB,根据余弦定理解出c.详解：由正弦定理得,所以由余弦定理得（负值舍去）.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.13．已知直线．若直线与直线平行，则的值为____；动直线被圆截得弦长的最小值为______．【答案】 -1. .【解析】分析：（1）利用平行线的斜率关系得到m值.(2)利用数形结合求出弦长的最小值.详解：由题得当m=1时，两直线重合，所以m=1舍去，故m=-1.因为圆的方程为，所以，所以它表示圆心为C（-1,0）半径为5的圆.由于直线l：mx+y-1=0过定点P(0，-1),所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短.且最短弦长为故答案为：-1，.点睛：本题的第一空是道易错题，学生有容易得到实际上是错误的.因为是两直线平行的非充分非必要条件，所以根据求出m的值后，要注意检验，本题代入检验，两直线重合了，所以要舍去m=1.14．，与的夹角为，则的最小值是______,的最小值是_______．【答案】【解析】分析：先对平方，利用向量数量积定义将式子转化为关于二次函数，再根据二次函数性质求最小值，同样对平方，利用向量数量积定义将式子转化为关于二次函数，再根据二次函数性质求最小值.详解：,即的最小值是.,,即的最小值是.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题. 关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题.15．【2018年浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为因此一共有个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.16．【2018年天津卷理】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.【答案】【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．17．四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是______.【答案】.【解析】四棱锥中，可得：平面平面平面，过作于，则平面，设，故，所以，，在中，，则有，,所以的外接圆半径，将该四棱锥补成一个以为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径，所以．故答案为：点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．三、解答题18．【2018年北京卷文】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.详解：（Ⅰ），所以的最小正周期为.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.19．【2018年浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通过计算，根据勾股定理得,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）找出直线AC1与平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（Ⅰ）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）根据方程组解出平面的一个法向量，然后利用与平面法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.详解：方法一：（Ⅰ）由得，所以.故.由，得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20．已知数列的前项和（其中为常数），且（1）求；（2）若是递增数列，求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由题意，求得公比或，分类讨论，即可得到数列的通项公式；（2）法一：由（1）知，得，即可利用乘公比错位相减法求解数列的和；法二：由（1）知，得，利用并项法求解数列的和.详解：（1）由得：或，时，，，时，，．（2）法一：由题，，，，，相减得：，∴．法二：由题，，，所以．点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”与“并项求和”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.21．【2018年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】分析: （Ⅰ）设P,A,B的纵坐标为，根据中点坐标公式得PA,PB的中点坐标，代入抛物线方程，可得，即得结论，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△PAB面积为，利用根与系数的关系可表示为的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围.详解：（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.22．已知函数，其中．（1）若在区间上为增函数，求的取值范围；（2）当时，证明：；（3）当时，试判断方程是否有实数解，并说明理由．【答案】（1）；（2）见解析；（3）无解【解析】分析：（1）解不等式得到a的范围. (2)证明的最大值小于等于零.(3) 设，，再，最后判断方程没有实数解．详解：（1）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则．（3）由（2）知，，所以．设，，所以．令，得，令，得，所以函数在单调递增；令，得，所以函数在单调递减，所以，即，所以，即．所以方程没有实数解．点睛：（1）本题主要考查利用导数解决函数单调性问题、最值和零点问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是利用导数研究零点问题，把零点问题转化为最值问题，，，所以方程没有实数解．。

2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题含答案

2015*2016学年度第二学期期末考试慕高二数学一、填空题1. 函数f (x) =cos( .X )( ■ • 0)的最小正周期为，则.=•6 52. 已知z=(2-i)2(i为虚数单位)，则复数z的虚部为•3.若sin ：• =2cos_：＞，贝y sin2二亠6cos2〉的值为.4. 某班有学生60人，现将所有学生按1, 2, 3, , , 60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为4, a, 28, b , 52的学生在抽取的样本中，则a • b =.5. 从1, 2, 3, 4, 5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是.6. 某老师星期一到星期五收到信件数分别是10, 6, 8, 5, 6,该组数据的标准差为./ Z/1L *ci9.观察下列各式：55-3125 , 56=15625 , 57=78125，…，则52011的末四位数字为.10.在长为12cm的线段AB上任取一点C ,现作一矩形，邻边长分别等于线段AC , CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为.7.已知函数隈三(0,二),cos.：:5’8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为4,则输出S的值为.t| £ = $#2*七上|/Z/11. 已知函数f(x) =sin(• x；；'：：「:)(八0,-…：：：：：：：：…)图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半后再向右平移 --个单位长度得到函数y二sin x的图象，贝U f (；) = •12. 若cos ) 3，则cos(5)-sin1 2)=.6 3 6 6113. 函数f(x)=3x3—3x，若方程f(x)=x2F在(U上两个解，则实数m的取值范围为•14. 若对任意的X・D，均有£(X)乞f(X)空f2(X)成立，则称函数f (x)为函数f1(x)到函数f2 (x)在区间f(x)上的“折中函数” •已知函数f (x) =(k -1)) x -1, g(x) =0,h(x) =(x T)ln x，且f (x)是g(x)到h(x)在区间[1,2e] 上的“折中函数”，则实数k的取值范围为.二、解答题15. 设复数z = -3cosv is in v . ( i为虚数单位)4(1 )当时，求| z |的值；3(2)当—[$,二]时，复数吕二COST - isi，且z,z为纯虚数，求二的值.16. 某校为调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：1求频率分布表中①、②位置相应的数据；2为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2组和第5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2组和第5组分别抽取的学生数？(3)在(2)的前提下，学校决定从7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？17. 已知函数f(x) = 2sin(x ) cosx.6IT(1 )若0 _ x _㊁，求函数f (x)的值域；(2)设：ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A为锐角且f(A) =1,b =2,c =3，求cos(A-B)的值.18. 某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆，在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连，经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[(1024 x 20)x■ 2]k元，假设座位等距离分布，且至少100有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元.(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)当k -100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？19. 已知函数f (x)二e x -mx k(m,k • R)定义域为(0, •：：).(1 )若k=2时，曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行，求实数m的值；(2 )若k =1时，函数f(x)在(1/：：)上有最小值，求实数m的取值范围；(3)若m =1时，函数f(x)在(1,=)上单调递增，求整数k的最大值.20. 已知函数f(x)=2x3 -3(k 1)x2 6kx t，其中k,t 为实数.(1)若函数f (x)在x=2处有极小值0,求k,t的值；(2)已知k _1且t =1-3k，如果存在(1,2]，使得「(冷)乞f(x。

2017-2018学年下学期期末复习备考之精准复习模拟题高二数学(理)(C卷02)(原卷版)

2017-2018学年度下学期高中期末备考【通用版】高二【精准复习模拟题】理科数学【拔高卷02】学校:___________ 班级：___________姓名：___________考号：___________得分：第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知()()i 125a b i +-=（i 为虚数单位， ,R a b ∈），则a b +的值为（） A ． -1 B ． 1 C ． 2 D ． 32．若随机变()2,N ξμσ~，且3,1E D ξξ==, 则11)P ξ-<≤（等于（） A ． ()211Φ- B ． ()()42Φ-ΦC ． ()()42Φ--Φ-D ． ()()24Φ-Φ3．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是（） A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D ．四部话剧都有可能在周二上演 4．如图，矩形OABC 的四个顶点依次为()0,0O ， ,02A π⎛⎫⎪⎝⎭， ,12B π⎛⎫⎪⎝⎭， ()0,1C ，记线段OC ， CB 以及sin02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭的图象围成的区域（图中阴影部分）为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，则点M 落在区域Ω内的概率为（）A ．12π- B ． 22π-C ．2πD ． 21π-5．已知：，则等于（）A ．－1400B ． 1400C ． 840D ．－8406．某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试．现随机调查了24名笔试者的成绩,如下表所示: 分数段 [60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90]人数234951据此估计允许参加面试的分数线是( ) A ． 75 B ． 80 C ． 85 D ． 90 7．设m ，n ，t 都是正数，则m ＋4n ，n ＋4t ，t ＋4m三个数( ) A ．都大于4 B ．都小于4C ．至少有一个大于4D ．至少有一个不小于48．已知函数()y f x =，其导函数()y f x ='的图象如图所示，则()y f x =A ．至少有两个零点B ．在3x =处取极小值C ．在()2,4上为减函数D ．在1x =处切线斜率为09．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．B ．C ．D ．10．过函数sin y x =图象上点O （0，0），作切线，则切线方程为（） A ． y x = B ． 0y = C ． 1y x =+ D ． 1y x =-+11．已知函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，则()f x （）A ．既有极小值，也有极大值B ．有极小值，但无极大值C ．有极大值，但无极小值D ．既无极小值，也无极大值12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足： ()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x x R =∈, ()()()10,2ln g x x h x e x x=<=,有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-4；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，；④()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =．其中真命题的个数有( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）～（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．某灾情过后志愿者纷纷前往灾区救援,现从四男三女共7名志愿者中任选2名(每名志愿者被选中的机会相等),则2名都是女志愿者的概率为_____．14．已知（1）正方形的对角线相等；（2）平行四边形的对角线相等；（3）正方形是平行四边形．由（1）、（2）、（3）组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是________ 15．已知函数在上不单调，则实数的取值范围是__________．16．给出下列四个结论：(1)相关系数r 的取值范围是1r <；(2)用相关系数r 来刻画回归效果， r 的值越大，说明模型的拟合效果越差；(3)一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，则其中所含白球个数的期望是2； (4) 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ,且(),,0,1a b c ∈，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则213a b +的最小值为163．其中正确结论的序号为______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个实体考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“1元/公里+0．2元/分钟”．刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他：“上下班往返总路程虽然只有10公里，但偶尔开车上下班总共也需花费大约1小时”，并将自己近50天的往返开车的花费时间情况统计如表：将老李统计的各时间段频率视为相应概率，假定往返的路程不变，而且每次路上开车花费时间视为用车时间．（1）试估计小刘每天平均支付的租车费用（每个时间段以中点时间计算）；（2）小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟，租用“共享吉利博瑞车”为他该日的“最优选择”，小刘拟租用该车上下班2天，设其中有ξ天为“最优选择”，求ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程．某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：（Ⅰ）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．19．（本小题满分12分）已知函数()()22ln ,0x f x x a R a a=-∈≠．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点1x ， 2x 12()x x <，且2a e =，证明： 122x x e +>．20．（本小题满分12分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于0的常数)．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望．附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =， ()2g x ax bx =+（0a ≠， b R ∈）．（1）若2a =， 3b =，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点()()11,x f x ， ()()22,x f x ，记1202x x x +=，记()'f x ， ()'g x 分别是()f x ， ()g x 的导函数，证明： ()()00''f x g x <．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）若直线与相切，求的直角坐标方程；（2）若，设与的交点为，求的面积．23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若函数的图像最低点为，正数，满足，求的取值范围．。

高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题(C卷02)浙江版

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题（C 卷02）浙江版一、单选题1．设集合,集合,则集合（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：解指数不等式可得集合A ，求出函数的定义域可得集合B ，然后再求出即可．点睛：本题考查指数函数单调性的应用，对数函数的定义域及集合的运算，考查学生的运算能力及应用所学知识解决问题的能力，属基础题．2．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>24y x =的焦点到双曲线的距离是（）A.105 C. 5 D. 5【答案】B【解析】由题意得，抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0F ，又双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，即ca=，又由222c a b =+，则224b a =，即双曲线的方程为222214x y a a -=，在双曲线的一条渐近线的方程为20x y +=，则其焦点到双曲线的渐近线的距离为5d ==，故选C. 3．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，当时，该几何体的表面积为( )A. B.C.， D.【答案】D点睛：本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题；常见的解题步骤为（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）；（2）选对应公式；（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）；（4）代公式计算.该题中通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可. 4．()()4511x x -+的展开式中3x 的系数为（） A. 4 B. -4 C. 6 D. -6 【答案】B【解析】()()()()4512233441223344554444455555511x x C C x C x C x C xCC x C x C x C x C x -+=-+-++++++()()234234514641510105x xx x x x x x x -+-++++++，所以3x 的项为3223311041065414x x x x x x x ⨯-⨯+⨯-⨯=-，故3x 的系数为4-，故选B.5．设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<< 1sin 2θ⇒< ，但10,sin 2θθ=<，不满足 ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件，选A.6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，（）【答案】C 【解析】试题分析：80,0,S S a a >而1291289,S S S a a a a <<<>>>>，8S S a a <<< C. 考点：等差数列的性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.7．设不等式组3100{360x y x y +-≥+-≤表示的平面区域为D ,若函数log (1)a y x a =>的图象上存在区域上的点,则实数a 的取值范围是A. (]1,3B. [)3,+∞C. (]1,2D. [)2,+∞ 【答案】B【解析】作出不等式组3100{360x y x y +-≥+-≤对应的平面区域如图由1a >，对数函数的图象经过可行域的点，满足条件由3100{360x y x y +-=+-=，解得()31A ，此时满足31a log ≤，解得3a ≥∴实数a 的取值范围是)[3 +∞，故选B .8．将函数的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（） A.B.C.D.【答案】A 【解析】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，可得再往上平移个单位，得函数的图象，令,解得：，当时，为，故选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握．无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言的．研究函数的单调性时，利用整体换元法即可求解.9．若离散型随机变量的分布列为，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：由题则由可求的值，进而求得.详解：由题，则由离散型随机变量分布列的性质可得故故选A.点睛：本题考查离散型随机变量分布列的性质，属基础题.10．已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为（）A. B. C. D. 9【答案】A故的最小值等于.故选A．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和基本不等式的应用，解题的关键是常量代换的技巧，所谓常量代换，就是把一个常数用代数式来代替，如，再把常数6代换成已知中的m+n,即.常量代换是基本不等式里常用的一个技巧，可以优化解题，提高解题效率.二、填空题11．设i 为虚数单位，则复数23ii+的虚部为__________，模为__________．【答案】【解析】()()2i 323i 32i i i i z ⨯-++===-⨯-， z ∴的虚部为2,z -==1）2-；（212．设内切圆与外接圆的半径分别为与.且则=_________；当时，的面积等于__________．【答案】 -【解析】令，，则，13．某校高三共有三个班，各班人数如下表：（1）从三个班中选1名学生任学生会主席，有___________种不同的选法；（2）从高三（1）班、（2）班的男生中或从高三（3）班的女生中选1名学生任学生会生活部部长，有___________种不同的选法．【答案】【解析】（1）从三个班中选1名学生任学生会主席，共有三类不同的方案：第1类，从高三（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有种不同的选法．（2）从高三（1）班、（2）班的男生中或从高三（3）班的女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有三类不同的方案：第1类，从高三（1）班男生中选出1名学生，有28种不同的选法；第2类，从高三（2）班男生中选出1名学生，有35种不同的选法；第3类，从高三（3）班女生中选出1名学生，有23种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三（1）班、（2）班的男生中或从高三（3）班的女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有种不同的选法．14．如图，圆O与离心率为的椭圆相切于点M(0,1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)．若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则的最大值是_________；此时P点坐标为_________．【答案】；【解析】分析：由题意首先求得椭圆方程，然后结合勾股定理可得的数学表达式，结合纵坐标的取值范围和二次函数的性质即可求得最终结果.详解：由题意知：解得，可知：椭圆C的方程为，圆O的方程为.设，因为,则,因为，所以,因为，所以当时，取得最大值为,此时点.点睛：本题主要考查椭圆的方程的求解，椭圆中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．已知是两个非零向量，且，则的最大值为__________．【答案】详解：根据题意，设设，则，若，则变形可得：则又由即；则|的最大值为.故答案为．点睛：本题考查向量数量积的计算以及基本不等式的应用，解题的关键是构造关于的模的函数．16．已知函数()231,11{ 364,12xx f x x x x --≤≤=-+->，实数[),,,1,a b c d ∈-+∞且a b c d <<<，满足()()()()f a f b f c f d ===，则()6lg lg 42c d a b ---++的取值范围是_________．【答案】()12,32【解析】画出函数()f x 的图象（如图所示），∵()()()()f a f b f c f d ===，且a b c d <<<，∴10,01,12,23a b c d -<<<<<<<<，且0,4a b c d +=+=, ∴6622lg()lg 42=lg()42lg14242c d c d c c c c aa b b--++--++-++=++=+, ∵12c <<, ∴24416,8216cc +<<<<，∴2124232c c +<+<. 故所求范围为()12,32. 答案： ()12,32点睛：本题借助于函数的图象进行解题，体现了数形结合在数学中的应用，解题时要注意画图时要准确，另外利用图形时要注意观察图象的特征，由此得到函数的性质，如在本题中由图象的对称性得到的0,4a b c d +=+=， 12c <<等，都成了解题的关键.17．如图，在矩形ABCD 中，点,G H 分别在,AD CD 上， 285AG GD DH DC ====，沿直线GH 将DGH ∆翻折成1D GH ∆，使二面角1D GH D --为直角，点,E F 分别为线段,AB CH 上，沿直线EF 将四边形EFCB 向上折起，使B 与1D 重合，则CF =_______.【答案】32【解析】分析：可设CF x =，由题意得翻折后， B 与'D 重合，可得'BF D F =，根据余弦定理，二面角的平面角，面面垂直构造关于x 的方程，解方程即可得到CF 的长. 详解：可设CF x =，由题意得翻折后， B 与'D 重合，∴'BF D F =，∵25AG GD DH ===， 8DC =， 90D ∠=︒，∴GH = 20DC =， 12HC =，如图所示：取GH 的中点O ，连接OF ，∵二面角1D GH D --为直角， ''D H D G =，∴'D O GH ⊥，∴'D O ⊥平面ABCD ，在FHO 中， 135OHF ∠=︒， 12FH x =-， OH =，由余弦定理可得()()222222135321281232272OF OH FH OH FH cos x x x x =+-⋅⋅︒=+-+-=-+，∴22222''322723232304D F OF D O x x x x =+=-++=-+，∵22222216256BF BC CF x x =+=+=+，∴2232304256x x x -+=+， ∴3248x =，解得32x =，故答案为32. 点睛：本题考查了二面角的平面角角，面面垂直，点与面的距离，余弦定理，解三角形，考查了空间想象能力及计算能力属于中档题.三、解答题18．已知函数（I）求函数f (x)的最小正周期；（II）当x∈[0，]时，求函数f (x)的最大值和最小值.【答案】(1);(2).【解析】分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期；（II）利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的单调区间，由的范围结合函数的单调性，求得函数的最大值和最小值.详解：（Ⅰ）∵∴（Ⅱ）∵∴∵当，即时，函数单调递增，当，即时，函数单调递减且∴.点睛：本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.19．如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析.(2) .详解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又，所以BF⊥平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.可得.则为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为，则.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.20．在已知数列中，，．（1）若数列是等比数列，求常数和数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）若数列是等比数列，故构造，可得数列是以为首项，以2为公比的等比数列；（2）由（1）可得，，分离参数，求的最大值即可.（1）∵，∴，∵，∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，由题意得，，∴，即数列的通项公式为．（2）由（1）可得，，∵，∴，由不等式组得，∴数列的最大项是第2项和第3项，值为．∴，所以实数的取值范围是．点睛：考查数列的通项求法，此题用的是数列通项的构造法，构造为等比数列求解是解通项的关键，对于第二问则转化为函数的最值问题分析是关键.属于中档题.21．已知抛物线的焦点与椭圆：的一个顶点重合，且这个顶点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的上顶点为，过作斜率为的直线交椭圆于另一点，线段的中点为，为坐标原点，连接并延长交椭圆于点，的面积为，求的值.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）根据抛物线的性质可得椭圆中的，再根据三角形的面积求出，根据，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）过点的直线方程为，代入到由得，可求出点的坐标，再求出的坐标和的坐标，以及|和点到直线的距离，根据三角形的面积求出的值．（2）由题意设直线的方程为，设点由得解得∴，∴直线斜率，直线的方程为，由得点到直线：的距离为∵，∴，又，∴令，则，解得，∴，解得或（舍）∴的值为.点睛：本题考查椭圆方程、椭圆性质、直线方程、理、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．22．已知函数，(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)当时，若在区间上的最小值为-2，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围；【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）求出，由的值可得切点坐标，由的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性求得函数最小值，令所求最小值等于，排除不合题意的的取值，即可求得到符合题意实数的取值范围.详解：(Ⅰ)当时，，因为，所以切线方程是(Ⅱ)函数的定义域是当时，令得或当时，所以在上的最小值是，满足条件，于是综上所述有，.点睛：求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.。

2017_2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理C卷01(2)

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理（C 卷01）学校:___________ 班级：___________姓名：___________考号：___________得分：第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数2i-为纯虚数,则实数a = ( ) A ． -2 B ． -12 C ． 2 D ． 12【答案】D 【解析】因为复数()()()()()22122225a i i a a ia i i i i ++-+++==--+为纯虚数，所以210,20a a -=+≠，解得12a =，故选D ． 2．湖南卫视《爸爸去哪儿》节目组为热心观众给予奖励，要从 2 014名小观众中抽取50名幸运小观众．先用简单随机抽样从2 014人中剔除14人，剩下的2 000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2 014人中，每个人被抽取的可能性 ( )A ．均不相等B ．不全相等C ．都相等，且为D ．都相等，且为【答案】C3．近10年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)数据如下: 工资总额x/亿元 23．8 27．6 31．6 32．4 33．734．9 43．2 52．863．873．4社会商品零售总额y/亿元41．4 51．8 61．7 67．9 68．7 77．5 95．9 137．4 155．0 175．0建立社会商品零售总额y 与职工工资总额x 的线性回归方程是( ) A ． =2．799 1x-27．248 5 B ． =2．799 1x-23．549 3C ． =2．699 2x-23．749 3D ． =2．899 2x-23．749 4 【答案】B 【解析】代入验证可知选项正确．4．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：经计算2K 的观测值7.8k ≈．参照附表，得到的正确结论是附表：A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A【解析】由列联表中的数据可得()22110403020207.820 6.63560505060K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．选A ． 5．由抛物线和直线所围成的封闭图形的面积等于（）A ． 1B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析：由定积分的几何意义可求封闭图形的面积．详解：联立，解得和．所以抛物线和直线所围成的封闭图形的面积等于．故选B．点睛：定积分的计算一般有三个方法：（1）利用微积分基本定理求原函数；（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为06．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )A． B． C． D．【答案】B7．对具有线性相关关系的两个变量和，测得一组数据如下表所示：根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为，则（）A． 85．5 B． 80 C． 85 D． 90【答案】B【解析】分析：计算，代入线性回归方程，求出纵标的平均数，解方程求出m．详解：∵=5，回归直线方程为y=10．5x+1．5，∴=54，∴55×4=20+40+60+70+m，∴m=80，故选：B．点睛：回归直线中样本中心一定在回归直线上，可以利用这一条件结合回归直线方程求出另一个未知量．8．将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有种不同的方案；若每项比赛至少要安排一人时，则共有种不同的方案，其中的值为（）A． 543 B． 425 C． 393 D． 275【答案】C点睛：排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．9．若,,，的平均数为3，方差为4,且,，则新数据,的平均数和标准差分别为（）A． -4 -4 B． -4 16 C． 2 8 D． -2 4【答案】D【解析】分析：根据样本的平均数、方差的定义计算即可．详解：∵,,，的平均数为3，方差为4，∴，．又，∴，， ∴新数据,的平均数和标准差分别为．故选D ．点睛：与平均数和方差有关的结论（1）若x 1，x 2，…，x n 的平均数为，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数为；（2）数据x 1，x 2，…，x n 与数据x ′1＝x 1＋a ，x ′2＝x 2＋a ，…，x ′n ＝x n ＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；（3）若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2．10．设曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cosg x ax x=+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是（） A ． []1,2- B ． ()3,+∞ C ． 21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ． 12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由()xf x e x =--,得()'1xf x e =--，∵11xe +>,∴11x e +∈(0,1)，由()32cos g x ax x =+,得()'32g x a sinx =-，又−2sin x ∈[−2,2]， ∴a −2sin x ∈[−2+3a ,2+3a ]，要使过曲线()xf x e x =--上任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )=3ax +2cos x 上一点处的切线2l ,使得12l l ⊥，则230{231a a -++……,解得13-⩽a ⩽23．故选D ．点睛：解决本题的关键是处理好任意和存在的关系，对于121k k =-，可变形为121k k =-．若1k 的值域为A ， 2k 的值域为B ．由任意的1k ，存在2k 使得方程成立，则A B ⊆；由存在的1k ，任意2k 使得方程成立，则B A ⊆．11．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：根据正态曲线的对称性求解即可．详解：根据正态曲线的对称性，每个收费口超过辆的概率，这三个收费口每天至少有一个超过辆的概率，故选C ．点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题．有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系．12．已知函数()22ln xe f x k x kx x=+-，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（）A ． 2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ． ,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ． (]0,2 D ． [)2,+∞【答案】A【点睛】函数有唯一极值点x=2,即导函数只有唯一零点x=2,且在x=2两侧导号．由于导函数可以因式分解，只需()2,x g x e kx =- ()g x 在区间()0,+∞恒大于等于0，或恒小于等于零，转化为恒成立问题，分离参数求得k 范围．注意参数范围端点值是否可取．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）～（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．的展开式中的常数项是__________．【答案】60【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为，从而可求出展开式的常数项．详解：展开式的通项为，令得，所以展开式的常数项为，故答案为．点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用． 14．设()f x 是可导函数，且()()00lim 23x f x x f x x∆→∞+∆-=∆，则()0f x '=__________．【答案】6【解析】()()()000lim x f x x f x f x x∆→∞+∆-'=∆=3 ()()00lim3x f x x f x x∆→∞+∆-∆=326⨯=．故答案为6．15．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为__________．（用数字作答）【答案】14点睛：本题考查简单的排列组合，建议如果分类讨论太复杂的题目最好用间接法即排除法，以避免直接的分类不全情况出现．16．设函数在上是增函数，则实数的取值范围是__________．【答案】．点睛：本题考查导数的综合应用，属于中档题．处理这类问题一般步骤是：1、先求导数，根据条件确定导函数的正负；2、分离参量构造函数，求构造新函数的最大，最小值；3、根据条件得出参量的取值范围．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个实体考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n 的值；（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求50岁以下人数ξ的分布列和期望；（3）在接受调查的人中，有10人给这项活动打出的分数如下： 9.4， 8.6， 9.2， 9.6， 8.7， 9.3， 9.0，8.2， 8.3， 9.7，把这10个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6概率．【答案】（1）120；（2）分布列见解析， 1.2；（3）310．试题解析：（1）参与调查的总人数为80004000200010002000300020000+++++=，其中从持“不支持”态度的人数200030005000+=中抽取了30人，所以30200001205000n =⨯=．（2）在持“不支持”态度的人中， 50岁以下及50岁以上人数之比为2:3，因此抽取的10人中， 50岁以下与50岁以上人数分别为4人， 6人， 0123ξ=，，，，()36310106C p C ξ===， ()1246310112C C p C ξ===，()21463103210C C p C ξ===， ()343101330C p C ξ===，0123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．（3）总体的平均数为1(9.48.69.29.68.710x =++++ 9.39.08.28.39.7)9+++++=，那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2， 8.3， 9.7，所以任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为310． 18．（本小题满分12分）某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位： m m ）进行测量，得出这批钢管的直径X 服从正态分布()65,4.84N ．(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73mm ,他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径X 满足60.6mm 69.4mm -为合格品（合格品的概率精确到0．01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y 的分布列和数学期望．（参考数据：若()2,X N μσ-,则()P 0.6826X μσμσ-<≤+=；()()P 220.9544;330.9974X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=．【答案】（1）有道理；（2）分布列见解析， 0.15．试题解析：(1)()μ65σ 2.2μ3σ58.4μ3σ71.6733μσ==-=+=∈++∞，，，，，,()()158.471.610.9974P 71.60.001322P X X -<≤-∴>===．此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理．则次品数Y 的分布列列为：得： ()03122130357357357357333360606060E Y 01230.15C C C C C C C C C C C C =⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）已知函数()2xf x e x =-．(Ⅰ)求曲线()f x 在1x =处的切线方程；(Ⅱ)求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+．【答案】（Ⅰ）()2 1.y e x =-+；(Ⅱ)见解析．【解析】试题分析：（1）则导数的几何意义可求得曲线()f x 在1x =处的切线方程．（2）由（1）当0x >时，()()21,f x e x ≥-+，即()221x e x e x -≥-+， x e +()221e x x --≥,只需证,()21x e e x x+--≥x ln 1x ≥+试题解析：（Ⅰ） ()'2xf x e x =-，由题设得()'12f e =-， ()11f e =-，()f x 在1x =处的切线方程为()2 1.y e x =-+下证：当0x >时， ()()21,f x e x ≥-+设()()()21,0g x f x e x x =--->，则()()()'22,''2xxg x e x e g x e =---=-，()'g x 在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增，又 ()()'030,'10,0ln21g e g =->=<<，∴()'ln20g <，所以，存在()00,12x n ∈，使得()0'0g x =，所以，当()()00,1,x x ∈⋃+∞时， ()'0g x >；当()0,1x x ∈时， ()'0g x <，故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增，又()()010g g ==，∴()()2210xg x e x e x =----≥，当且仅当1x =时取等号，故()21,0x e e x x x x+--≥>．又ln 1x x ≥+，即()21ln 1x e e x x x+--≥+，当1x =时，等号成立．【点睛】解本题的关键是第（1）结论对第（2）问的证明铺平了路，只需证明()21x e e x x+--≥x ln 1x ≥+．所以利用导数证明不等式时，要进行适当的变形，特别是变形成第（1）问相似或相同形式时，将有利于快速证明． 20．（本小题满分12分）第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座．记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望．附表及公式：．【答案】（1）见解析；（2）见解析．试题解析：（1）由题意得下表：的观测值为．所以有的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关．21．（本小题满分12分）已知函数()1x f x e ax=+（0,0a x ≠≠）在1x =处的切线与直线 ()120180e x y --+=平行．（1）求a 的值并讨论函数()y f x =在(),0x ∈-∞上的单调性；（2）若函数()()11g x f x x m x=--++（m 为常数）有两个零点12,x x （12x x <） ①求实数m 的取值范围； ②求证： 120x x +<【答案】（1）见解析；（2）①2m <-；②见解析．试题解析：（1）()21x f x e ax='-， ()111f e e a'=-=-，∴1a =． ∴()22211x xx e f x e x x-=-=' 令()21xh x x e =-，则()()22xh x x x e +'=∴(),2x ∈-∞-时， ()0h x '>； ()2,0x ∈-时， ()0h x '<．则()h x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,0-上单调递减． ∴在(),0x ∈-∞时， ()()24210h x h e ≤-=-<，即(),0x ∈-∞时， ()0f x '<， ∴函数()f x 在(),0x ∈-∞上单调递减．点睛：一般涉及导数问题中的证明，可考虑构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性，极值，最值等问题，往往可解决此类证明题，本题就是构造函数后，利用导数确定其单调性，再根据()()12g x g x >-，确定自变量的大小关系，从而求证不等式成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．（1）求直线与曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于不同的两点，求的值．【答案】(1)见解析;(2)．【解析】分析：第一问应用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，求得直线与曲线的直角坐标方程；第二问结合题中所给的直线方程，发现其过点，且倾斜角为，写出直线的参数方程，将直线的参数方程代入曲线方程，得到关于t的一元二次方程，利用韦达定理，结合直线方程中参数的几何意义，求得结果．详解：（1）；（2）考虑直线方程，则其参数方程为（为参数），代入曲线方程有：，则有．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标与平面直角坐标的转换关系，再者就是需要正确理解直线的参数方程中参数t的几何意义，并能应用其几何意义来解决有关问题，再者就是对韦达定理要熟练掌握．23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数（1）解不等式；（2）若方程在区间有解，求实数的取值范围．【答案】(1)[-2,4];(2)．（2）由题意：故方程在区间有解函数和函数图象在区间上有交点当时，．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，一是涉及到绝对值不等式的求解问题，利用零点分段法求解，二是关于方程有解求参数范围的问题，在求解的过程中，可以转化为函数图像有交点，观察图像求得其范围，此处数形结合思想就显得尤为重要．。

2017-2018学年下学期期末复习备考之精准复习模拟题高二数学(理)(江苏版)(C卷01)含解析

一、填空题1．设函数()()21xf x ex ax a =--+，其中1a <，若仅存在两个的整数12,x x 使得()()120,0f x f x <<，则实数a 的取值范围是______．【答案】【解析】分析：设g （x ）=e x （2x ﹣1），y=ax ﹣a ，则存在两个整数x 1，x 2，使得g （x ）在直线y=ax ﹣a 的下方，由此利用导数性质能求出a 的取值范围．使得g （x ）在直线y=ax ﹣a 的下方， ∵g′（x ）=e x （2x+1），∴当x x ）＜0，∴当x=[g （x ）]min =g =﹣当x=0时，g （0）=﹣1，g （1）=e ＞0，直线y=ax ﹣a 恒过（1，0），斜率为a ，故﹣a ＞g （0）=﹣1，且g （﹣1）=﹣3e ﹣1＜﹣a ﹣a ，解得a g （﹣2）≥﹣2a ﹣a ，解得a∴a 的取值范围是．故答案为：点睛：：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 2．已知a 为常数，函数()f x =23-，则a 的所有值为____．【答案】144，令()0f x '==，则21a x a =+. ∵函数()f x 的最小值为23- ∴0a >∴()0f x '>，得()()2110a a a x ⎡⎤--+>⎣⎦.①当01a <<时，函数()f x 的定义域为⎡⎣，由()0f x '>得x ≤<或x <≤，由()0f x '<得x <<()f x 在⎡⎢⎣，上为增函数，在⎛⎝上为减函数.∵(f =，1f a =-，∴()min 23f x f ===-，则14a =②当1a >时，函数()f x 的定义域为[]1,1-，由()0f x '>得x << ()0f x '<得1x -≤<或1x <≤，函数()f x 在⎛ ⎝上为增函数，在1,⎡-⎢⎣，⎤⎥⎦为减函数.∵1f a ⎛=- -⎝， ()1f =∴()min 23f x f ===-，则4a =. 综上所述， 14a =或4a =. 故答案为4，14. 3．设函数()33,,{ 2,.x x x a f x x x a -≤=->（1）若0a =，则()f x 的最大值__________．（2）若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是__________．【答案】 2 (),1-∞4．已知函数f (x )＝x |x 2－3|．若存在实数m ，m ∈(0，，使得当x ∈[0，m ] 时，f (x )的取值范围是[0，am ]，则实数a 的取值范围是______．【答案】[1，3)【解析】f (x )＝x |x 2－当m ∈(2，时，此时f (x )的取值范围是()0,f m ⎡⎤⎣⎦. 所以()f m am =，即()23m m am -=，得(]231,2a m =-∈.综上：实数a 的取值范围是[1，3). 故答案为：[1，3).5直线l 经过椭圆的左顶点A ，且与椭圆交于另一个点B ，若在y 轴上存在点C 使得ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为________．的左顶点(),0A a -3x y a =+，联立2222223{ 0x y a b x a y a b =-+-=，得()2222960a b y ab y +-=，解得AB 的中点为 AB 的中垂线方程为，令0x =，，则CA a ⎛=- 9ab CB ⎛= ，则0CA CB ⋅=，即226ab ab 化简，得223a b =，则222c b =，即该椭圆的离心率为6在[]0,2x ∈的值域为[]0,4m ，则实数m 的最小值为_____．（2）当0a >时，函数()g t 在[]0,a 单调递增，在[],3a a 上单调递减，在[)3,a +∞上单调递增，且 ()()344g a g a a ==， ()()300g a g ==，①若4a ≥时，则()g t 在[]0,2单调递增，则()()22444316g a m =-=，即②若44a a ≤<，即14a ≤<时， ()()32max 416g t g a a m ===，即 ③若44a >，即01a <<时， ()()()32max 444316g t g a m ==-=，即综上所述，的最小值7在[]1,2上单调递增，则a 的取值范围为______．点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性；已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；（2）将函数()f x 在某区间上单调递增转化为()0f x '≥（但不恒为0）在该区间上恒成立.8．已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为12,F F ，点,A B 在椭圆Γ上， 1120AF F F ⋅=且22AF F B λ=，则当[]2,3λ∈时，椭圆的离心率的取值范围为______．【解析】因为1120AF F F ⋅=，所以可设，由22AF F B λ=，得，即()222222c b a λλ++=，即()222222c b a λλ++=，即()()2222431c a λλλ++=-在区间[]2,3上为增函数，所以点睛：本题考查椭圆的几何性质、平面向量的共线和垂直的判定；在研究椭圆中过焦点的弦时，要注意与对称轴的左焦点(),0F c -与对称轴垂直的弦称.9．已知函数()sin f x x =，若存在12,,,n x x x 满足1206n x x x π≤<<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()112n n f x f x -+-=（2m ≥， *N m ∈），则m 的最小值为__________．【答案】8【方法点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质及数形结合思想，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln (0)f x x x =>图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交x 轴于点E，过点P作l的垂线交x轴于点F，设线段EF的中点T的横坐标为t，则t的最大值是________．<≤时当0m e>时，所以t的最大值是当m e点睛：求函数最值的五种常用方法端点值，求出最值11．根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有___ 种不同的考试安排方法．【答案】114【解析】分析：先确定分配方案为2211或2220，再确定排列数.详解：分配方案为2211分配方案为2220因此安排方法为点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”；（5）“在”与“不在”问题——“分类法”.12．M,N两点，则线段MN长度的最小值是______．点睛：本题主要考查导数的几何意义以及转化与划归思想，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出时，在；（213取值所构成的集合为______．【解析】分析：关于的方程.详解：四个交点，此时关方且只有四个不同的解，故答案为点睛：本题主要考查导数的几何意义、函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．14．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．【解析】分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.二、解答题15．已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++， *n N ∈．记()021nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈， n T 都能被42n +整除．【答案】(1)30；(2)证明见解析.【解析】试题分析：由二项式定理，得21Cii n a +=（i =0，1，2，…，2n +1），（1）根据()021nn n k k T k a -==+∑，得221035T a a a =++，即可得解；（2）先根据组合数的性质可得出()()12121C 21C n k n kn n n k n ++++++=+，再将()021nn n k k T k a -==+∑化简得()21221C n n n T n -=+，即可证明.试题解析：由二项式定理，得21C ii n a +=（i =0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；（2∴()()()12121002121C21C nnnn k n kn n kn n k k k T k ak k -++-++====+=+=+∑∑∑∴()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+．∵*21C n n N -∈∴n T 能被42n +整除．16．设函数()()212ln f x m x x mx =--+，其中m 是实数．(l ）若()12f = ，求函数()f x 的单调区间；(2）当()210f '=时，若(),P s t 为函数()y f x =图像上一点，且直线OP 与()y f x =相切于点P ，其中O 为坐标原点，求S 的值；(3) 设定义在I 上的函数()y g x =在点()00,M x y 处的切线方程为():l y h x =，若()()()()00·0g x h x x x x x ⎡⎤--<≠⎣⎦在定义域I 内恒成立，则称函数()y g x =具有某种性质T ，简称“T 函时，试问函数()y fx =是否为“T 函数”？若是，请求出此时切点M 的横坐标；若不是，清说明理由．【答案】（1（2）1s =；（3）是“T 函数”， 2 . 【解析】试题分析：（1）求出()'f x ，分别令()'0f x >和()'0f x <可以得到函数的增区间和减区间．（2）由题设，曲线在P ，整理得到2ln 10s s +-=，根据函数2ln 1y s s =+-为增函数以及21ln110+-=得到1s =．（3）函数在()00,M x y 处的切线方程为：分别讨论002x <<和02x >时()'F x 的符号以及进一步讨论()F x 的单调性可知()y f x =在()0,2和()2,+∞上不是“T 函数”，故02x =，经检验符合．（2）由()'210f =，得3m =， ()222ln 3f x x x x ∴=-+．所以切线的斜．又切线OM2ln 10s s +-=，设2ln 1y s s =+-，，所以，函数2ln 1y s s =+-在(0,＋∞)上为递增函数，且1s =是方程的一个解，即是唯一解，所以，．（3，令设()()()F x f x h x =- ，则()00F x =．当002x << 时，上有()'0F x > 上()F x 单调递增，故当有()()00F x F x >=，所以在有()()00F x x x ->；当02x =时，，所以函数()F x 在()0,+∞上单调递减．所以， 2x > 时， ()()20F x F <= ， ()()20F x x -<；02x <<时， ()()20F x F >=， ()()20F x x -<．因此，切点为点()()2,2f ，其横坐标为2．点睛：曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率．对于满足某些特殊性质的切线，我们同样是设出切点的横坐标后，把问题归结横坐标应该满足的性质，（3）中横坐标0x 取值不容易求得，我们是先讨论了002x <<和02x >时()f x 不是“T ”从而得到02x =．17．已知椭圆C 经过点，且与椭圆:E(1)求椭圆C 的标准方程；(2）若动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =交于点Q ，问：以线段PQ 为直径的圆是否经过一定点M ？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1（2）存在点()1,0M . 【解析】试题分析：（1）先求出椭圆E 的焦点为()1,0±，则由题设有，从中解出22,a b 可得椭圆C 的标准方程为(2)因为动直线l 与椭圆相切，故联立直线方程和椭圆方程后利用判别式为零得到2234m k =+()4,4Q k m +，设(),M s t ，则0MP MQ ⋅=对任意的,k m 恒成立，但(4k MP MQ ⋅=，因此2210,{0, 430s t s s t -==-++=，从而1,{ 0.s t ==也就是点()1,0M 符合题意．（2）联立22,{3412,y kx m x y =++=消去y ，得()2223484120k x kmx m +++-=，所以()()2222644344120k m k m ∆=-+-=，即2234m k =+．设(),P P P x y ，则假设存在定点(),M s t 满足题意，因为()4,4Q k m +，则4MP =-（ ()4,4MQ s k m t =-+-，所以)434MP MQ s ⎛⎛⋅=--+恒成立，故2210,{0,430s t s s t -==-++=解得1,{0.s t == 所以存在点()1,0M 符合题意．点睛：动圆过定点，一般是找出动圆的一般式方程，它含有一个参数．而对于含多个参数的圆的一般方程，考虑其过定点时，可先设出定点的坐标，代入圆的一般方程得到一个恒等式，从而得到定点坐标满足的方程组，解这个方程组即可．18．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为()1F，且过点P ⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知1A ， 2A 分别为椭圆C 的左、右顶点， Q 为直线1x =上任意一点，直线1A Q ， 2A Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ， N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析. (2)设()()()11221,,,,,Q t M x y N x y ，则直线()1:23t AQ y x =+，与2214x y +=联立，解得22281812,4949t t M t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭ 同理222824,4141t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 所以直线MN 的斜率为2222221244941818824941t tt t t t t t -++-+--++=2243t t -+ 所以直线2222122818:494349t t t MN y x t t t ⎛⎫-+-=-- ⎪+++⎝⎭ ()22443t x t =--+所以直线MN恒过定点，且定点坐标为()4,0点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.19．设函数f(x)2－1－ln x，其中a∈R．（1）若a＝0，求过点(0，－1)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；（2）若函数f(x)有两个零点x1，x2，①求a的取值范围；②求证：f ′(x1)＋f ′(x2)＜0．【答案】(1) y－1 (2) ① (0，e)．②见解析②由x1，x2是函数f(x)的两个零点(不妨设x1＜x2)，，两式作差得a(x1＋x2)代入要证得式子得0，令h(x)＝2ln x ＋－x，x∈(0，1)，求导利用单调性求最值即可证得.试题解析：（1）当a＝0时，f(x)＝－1－ln x，f ′(x)＝－．设切点为T(x0，－1－ln x0)，则切线方程为：y＋1＋ln x0＝－ ( x－x0)．因为切线过点(0，－1)，所以－1＋1＋ln x0＝－(0－x0)，解得x0＝e．所以所求切线方程为y ＝－x－1．当0＜x ＜时， f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x ＞时， f ′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f ()＝－ln－1＝－－ln．要使函数f(x)有两个零点，首先－－ln＜0，解得0＜a＜e．当0＜a＜e时，＞＞．因为f()＝＞0，故f()·f()＜0．又函数f(x)在(0，)上单调递减，且其图像在(0，)上不间断，所以函数f(x)在区间(0，)内恰有1个零点．考察函数g(x)＝x－1－ln x，则g′(x)＝1－＝．当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，函数g(x)在(0，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝0，故f()＝－1－ln≥0．因为－＝＞0，故＞．因为f()·f()≤0，且f(x)在(，＋∞)上单调递增，其图像在(，＋∞)上不间断，所以函数f(x)在区间(，] 上恰有1个零点，即在(，＋∞)上恰有1个零点．综上所述，a的取值范围是(0，e)．f ′(x1)＋f ′(x2)＜0等价于ax1－＋ax2－＜0，即a(x1＋x2)－－＜0，即－－＜0，即2ln＋－＞0．设h(x)＝2ln x＋－x，x∈(0，1)．则h′(x)＝－－1＝＝－＜0，所以函数h(x)在(0，1)单调递减，所以h(x)＞h(1)＝0．因为∈(0，1)，所以2ln＋－＞0，即f ′(x1)＋f ′(x2)＜0成立．点睛：导数背景下的零点问题，需结合函数的极值符号、函数的单调性及零点存在定理去考虑．而零点满足的不等式则需要通过构建新的不等式去证明，新的不等式对应的函数是一元函数，我们可以用导数去证明这个新的不等式．20其中a 为正实数． (1)若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值； (2)求函数()y f x =的单调区间；(3)若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证： ()()126ln f x f x a +<-．【答案】(1)1(2) 单调减区间为（3）见解析试题解析：(1) 则()132f a ='-=,所以a 的值为1．，函数()y f x =的定义域为()0,+∞，1若1640a -≤,即4a ≥,则()0f x '≤,此时()f x 的单调减区间为()0,+∞; 2若1640a ->,即04a <<,则()0f x '=的两根为此时()f x 的单调减区间为(3)由(2)知，当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点12,x x ,且12124,x x x x a +==．要证()()126ln f x f x a +<-,只需证ln ln 20a a a a --+>．构造函数()ln ln 2g x x x x x =--+，则()g x '在()0,4上单调递增,且()g x '在定义域上不间断,由零点存在定理，可知()0g x '=在()1,2上唯一实根0x ,则()g x 在()00,x 上递减, ()0,4x 上递增,所以()g x 的最小值为()0g x ．当()01,2x∈时则()00g x >,所以()()00g x g x ≥>恒成立．所以ln ln 20a a a a --+>,所以()()126ln f x f x a +<-，得证．。