齐次线性微分方程。
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$其中，$P(x)$和$Q(x)$是给定函数。
下面我们将对一阶线性非齐次微分方程的求解方法进行分类。
1. 齐次线性微分方程求解：当$Q(x)=0$时，微分方程可以化简为一阶齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = 0$。
这类微分方程可以直接求解，通常使用分离变量法将方程分离并积分。
2.直接求解法：当$P(x)$和$Q(x)$是已知函数时，可以直接求解一阶线性非齐次微分方程。
可以通过求解齐次线性微分方程得到其通解，然后使用常数变易法得到非齐次微分方程的特解。
3. 变量分离法：对于一些特殊的一阶线性非齐次微分方程，可以通过变量变化或分离变量法将方程化为可直接积分的形式。
例如，当$Q(x)$是$y$的函数时，可以使用分离变量法将方程化为$\frac{{dy}}{{Q(y) - P(x)y}} = dx$，然后积分得到解。
4. 求导数法：对于一些特殊的一阶线性非齐次微分方程，可以通过求导数的方式求解。
例如，当方程可以写成$\frac{{dy}}{{dx}} = f(ax + by + c)$的形式时，可以通过求导数来化简方程，并使用变量分离法进行求解。
5.积分因子法：当$P(x)$是一个可导函数时，可以使用积分因子法来求解一阶线性非齐次微分方程。
积分因子是一个乘法因子，可以使得原方程变成一个恰当微分方程，从而可以直接进行积分得到解。
积分因子的计算可以通过乘以一个合适的因子来使得原方程的左边满足恰当微分方程的条件。
综上所述，一阶线性非齐次微分方程的求解方法主要有齐次线性微分方程求解、直接求解法、变量分离法、求导数法和积分因子法等方法。
根据具体的微分方程形式和条件，选择合适的方法进行求解。
特别是对于一些特殊的一阶线性非齐次微分方程，如可线性化的方程和恰当方程，还可以使用对应的特殊方法进行求解。
高数第十二章 常系数齐次线性微分方程
即 r (r 2r 5) 0
2 2
得特征根 r1 r2 0, r3 1 2i , r4 1 2i
故所给方程的通解为
y C1 C2 x e x (C3 cos 2 x C4 sin 2 x).
21
d4w 例6 求方程 4 4 w 0的通解, 其中 0. dx
9
y1 , y2 仍是微分方程的解. 且
y1 e x cos x x cot x y2 e sin x
不是常数. 于是微分方程的通解为
y e (C1 cos x C2 sin x)
x
C1 , C2是任意常数.
由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通 解的方法称为特征根法.
定理 y e 是微分方程(2)的解 r是代数
rx
方程 r p1 r
n
n
n 1
pn1 r pn 0的根.
pn1 r pn 0为微分
称方程 r p1 r
n 1
方程(2)的特征方程.其根为(2)的特征根.
n阶常系数齐次线性微分方程的解的情况见 下表 :
解 特征方程为
r4 4 0
因 r 4 4 r 4 2r 2 2 4 2r 2 2
(r 2 2 )2 2r 2 2
(r 2 2r 2 )(r 2 2r 2 )
所以特征方程可写成 ( r 2 2r 2 )( r 2 2r 2 ) 0
p2 4q 特征根 r1,2 2 2 (1) p 4q 0; 分三种情形 : 2 (2) p 4q 0;
(3) p 2 4q 0.
微分方程的齐次与非齐次解
微分方程的齐次与非齐次解微分方程是数学中重要的一个分支，它研究的是描述变化率的方程。
在微分方程的求解中，我们常常遇到齐次解和非齐次解的概念。
本文将介绍微分方程的齐次解和非齐次解的概念及其求解方法。
一、齐次微分方程的定义和解法齐次微分方程指的是形如$\frac{{dy}}{{dx}}=f\left( \frac{{y}}{{x}} \right)$的微分方程。
其中，$f\left( \frac{{y}}{{x}} \right)$为关于$\frac{{y}}{{x}}$的函数。
要求齐次微分方程的解，可以通过变量代换$u=\frac{{y}}{{x}}$来进行求解。
将$\frac{{dy}}{{dx}}$用$\frac{{du}}{{dx}}$来表示，然后将方程转化为关于$u$和$x$的方程。
求解得到的结果可以表示为$u$和$x$的函数，即$y$和$x$的关系。
这就是齐次微分方程的齐次解。
二、非齐次微分方程的定义和解法非齐次微分方程指的是形如$\frac{{dy}}{{dx}}=f\left( x\right)g\left( \frac{{y}}{{x}} \right)$的微分方程。
其中，$f\left( x\right)$和$g\left( \frac{{y}}{{x}} \right)$分别为$x$和$\frac{{y}}{{x}}$的函数。
要求非齐次微分方程的解，首先需要求得对应的齐次解。
然后，通过待定系数法，假设非齐次解能够表示为特解和齐次解的线性叠加形式。
将这个形式代入非齐次微分方程，利用待定系数法求解出特解。
最后将特解和齐次解相加即可得到非齐次微分方程的解。
三、齐次与非齐次解的关系齐次解和非齐次解在数学上具有一定的关系。
具体而言，非齐次解等于齐次解加上一个特解。
这个关系的推导可以通过将非齐次解代入原方程进行验证。
四、示例分析下面通过一个具体的例子来说明齐次与非齐次解的求解方法。
例题：求解微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{2x+y}}{{x+2y}}$解：首先对方程进行整理，得到$\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{2+\frac{{y}}{{x}}}}{{1+2\frac{{y}}{{x}}}}$令$u=\frac{{y}}{{x}}$，即$y=ux$，然后将$y$和$x$的表达式代入原方程中，得到$\frac{{d(ux)}}{{dx}}=\frac{{2+u}}{{1+2u}}$对方程进行变量分离，再进行积分运算，得到$\int\frac{{1+2u}}{{2+u}}du=\int dx$解上述积分，可以得到$3\ln |2+u|=\ln |x|+C$，其中$C$为积分常数。
521齐次线性微分方程组【精选】
xnn
(t
)
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
由这n个向量函数构成的行列式，
x11(t) x12 (t) x1n (t)
W
[
x1
(t
),
x2
(t
),,
xn
(t
)]
W
(t
)
det
x21(t
)
x22 (t)
x2n (t)
A(t)u(t) A(t) v(t) A(t)[ u(t) v(t)]
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
如果 x1(t), x2 (t),, xn (t) 是(5.15)的解，则
c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t)
x Ax
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
5.2.1 齐线性微分Байду номын сангаас程组
x A(t)x
(5.15)
定理2（叠加原理） 如果 u(t)和 v(t)是(5.15)的解，
则它们的线性组合 u(t) v(t) 也是(5.15)的解。 证明：[ u(t) v(t)] u(t) v(t)
成立；否则，x1(t), x2 (t),, xm (t) 为线性无关的。
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
1 0
0
例
0,
t
,
,
0
常系数高阶齐次线性微分方程
总结词
通过幂级数展开来求解高阶线性微分方 程的一种方法。
VS
详细描述
幂级数法的基本思想是将未知函数表示为 一个幂级数，然后利用微分方程的性质， 将原方程转化为一个递推关系式，求解这 个递推关系式可以得到幂级数的系数，从 而得到原方程的解。这种方法适用于具有 特定形式的未知函数的高阶线性微分方程 。
积分因子法
计算
根据求解方法，通过计算得到通解的具体形 式。
05 方程的应用实例
在物理问题中的应用
量子力学
常系数高阶齐次线性微分方程在 量子力学中用于描述粒子的波函 数随时间的变化。例如，在求解 氢原子能级问题时，需要用到此 类方程。
波动问题
在研究波动问题，如声波、电磁 波等时，常系数高阶齐次线性微 分方程可以用来描述波的传播和 演化。
热传导问题
在求解热传导问题时，常系数高 阶齐次线性微分方程可以用来描 述温度随时间和空间的变化。
在工程问题中的应用
控制系统
在控制系统的分析和设计中，常系数高阶齐次线性微分方程用于描述系统的动态特性。例如，在航空航天、化工等领 域中，此类方程被广泛应用于各种控制系统的建模和仿真。
信号处理
在信号处理中，常系数高阶齐次线性微分方程用于描述信号的滤波、预测和补偿等过程。例如，在通信、雷达和图像 处理等领域中，此类方程被广泛应用于信号处理算法的设计和实现。
02 方程的解法
特征方程法
总结词
通过解特征方程来求解高阶线性微分方程的一种方法。
详细描述
特征方程法的基本思想是将高阶线性微分方程转化为多个一阶线性微分方程来求解。首先，我们对方程进行整理， 得到一个关于未知函数和其导数的多项式方程，然后令其为0，得到一个关于未知函数的多项式方程，即特征方 程。求解特征方程，可以得到一组根，对应于原方程的一组解。
二阶线性常系数齐次微分方程的解
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解
解 微分方程的特征方பைடு நூலகம்为
r22r50
特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x)
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
•第一步 写出微分方程的特征方程
r2prq0 •第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的 通解
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铃
❖特征方程的根与通解的关系
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例2 求方程y2yy0的通解
中p、q均为常数 ❖特征方程及其根
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的求根公式为
r1, 2
p
p2 4q 2
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
二阶常系数齐次线性微分方程
第七章常微分方程7.10 二阶常系数齐次线性微分方程数学与统计学院赵小艳1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法1 二阶常系数齐次线性微分方程的形式 )(1)1(1)(t F x a x a x a x n n n n =++++-- n 阶常系数线性微分方程的标准形式21=++x a x a x 二阶常系数齐次线性方程的标准形式.,,,,121均为实常数其中n n a a a a - )1()()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- ,2211x C x C x +=则其通解为,,21解是其线性无关的两个特若x x .,21为任意常数其中C C 解的结构1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法,t e x λ=设则 ()0212=++t e a a λλλ得 0212=++a a λλ特征方程 ,2422111a a a -+-=λ,11t e x λ=,22t e x λ=且它们线性无关，通解为 .,)(212121为任意常数其中C C e C e C t x tt ,λλ+=特征根为: ,2422112a a a ---=λ情形1 有两个不相等的实根 )0(>∆,021=++x a x a x 对于对应特解 ,,21解是其线性无关的两个特若x x ,2211x C x C x +=则其通解为.,21为任意常数其中C C 待定系数法2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法,11t e x λ=,2121a -==λλ情形2 有两个相等的实根 )0(=∆故一特解为 ,,,222代入原方程并化简得将x x x ()(),022112111=+++'++''u a a u a u λλλ,)(12t e t u x λ=设另一特解为特征根为 2121,)()('1112t t e t u e t u x λλλ+= ,)()('2)("1112112tt t e t u e t u e t u x λλλλλ++=,11t e x λ=情形2 有两个相等的实根 )0(=∆故一特解为 通解为 (),te t C C t x 121)(λ+=,,,222代入原方程并化简得将x x x ()(),022112111=+++'++''u a a u a u λλλ,0=''u 得(),t t u =取,12t te x λ=则特征根为 2121(),21C t C t u +=,)(12t e t u x λ=设另一特解为0=0=.,21为任意常数其中C C ,2121a -==λλ,1βαλi +=,2βαλi -=,)(1t i e x βα+=t i e x )(2βα-=情形3 有一对共轭复根 )0(<∆由解的性质 ()21121x x x +=,cos t e t βα=()21221x x ix -=.sin t e t βα=通解为 (),sin cos 21t βC t βC e x t α+=特征根为 2121对应特解为 t e i t e t t ββααsin cos -=.,21为任意常数其中C C .,21线性无关且x x.044的通解求方程=++x x x解 特征方程为 ,0442=++λλ,221-==⇒λλ故所求通解为 ().221te t C C x -+=例1 解 特征方程为 ,0522=++λλ,2121i ±-=⇒，λ故所求通解为 ().2sin 2cos 21x C x C e y x +=-.052的通解求方程=+'+''y y y 例2 021=++x a x a x 0212=++a a λλ特征方程为,)1(21时λλ≠;)(2121t t e C e C t x λλ+=通解为,)2(21时λλλ==;)()(21te t C C t x λ+=通解为,)3(2,1时βαλi ±=().sin cos )(21t βC t βC e t x t α+=通解为()().00,2004422的解满足初始条件求='==++y y y x y x y d d d d 解 特征方程为 ,01442=++λλ.212,1-=⇒λ故所求通解为 x e x C C y 2121)(-+=例3 ()()得由00,20='=y y ,21=C .12=C 为方程满足初始条件的解.22121x x xe e y --+=021=++x a x a x 0212=++a a λλ特征方程为,)1(21时λλ≠;)(2121t t e C e C t x λλ+=通解为,)2(21时λλλ==;)()(21te t C C t x λ+=通解为,)3(2,1时βαλi ±=().sin cos )(21t βC t βC e t x t α+=通解为1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法01)1(1)(=+'+++--x a x a xa x n n n n 特征方程为 0111=++++--n n n n a a a λλλ 特征方程的根 相对应的线性无关的特解 重根是若k λt k t t et te e λλλ1,,,- 重是若共轭复根k i βα±.sin ,,sin ,sin ,cos ,,cos ,cos 11t βe t t βte t βe t βe tt βte t βe t αk t αt αt αk t αt α-- 注意： n次代数方程有n 个根, 而特征方程的每个根都对应着一个特解. 3 高阶常系数齐次线性微分方程的解法.2211n n x C x C x C x +++= 通解为特征根为.2,1321-===λλλ故所求通解为 ()t e t C C x 21+=解 ,0233=+-λλ特征方程为 ()(),0212=+-λλ().0233的通解求方程=+-x x x 例4 特征根为 .,,154321i i -====-=λλλλλ故所求通解为 ()()t.t C C t t C C sin cos 5432++++解 ,01222345=+++++λλλλλ特征方程为 ()(),01122=++λλ()()().022345的通解求方程=+++++x x x x x x 例5 .e C t 23-+t e C x -=1。
二阶常系数齐次线性微分方程
例3 求方程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 3 0 ,
解得 r1 1 , r2 3 故所求通解为
y C1e x C2e3 x .
例4 求微分方程 y 4 y 4 y 0 满足初始条件
y x 0 1, y x 0 4的特解
有一对共轭复根 特征根为
( 0)
r2 i ,
rx
,
重新组合
1 y1 ( y1 y2 ) ex cos x, 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x , 2i
y2 e( i ) x ,
( D1 D2 x Dk x k 1 )sin x].
例 求微分方程 y (4) 2 y ''' 5 y '' 0 的通解 解 特征方程为
r 4 2r 3 5r 2 0 ,
r 2 (r 2 2r 5) 0 ,
解得 r1 r2 0, r3,4 1 2i. 故所求通解为
作业(P103)：28(2)(3)
n阶常系数齐次线性微分方程解法： y ( n ) p1 y ( n1) pn1 y pn y 0.
其特征方程为
r n p1r n1 pn1r pn 0,
在复数范围内它有 n 个根。 方程通解分三种情况： （1）有 n 个不同实特征根时，通解为 y C1er1x C2er2 x Cnern x ; （2）若 r 为 k 重实特征根时，通解中包含 (C1 C2 x Ck x k 1 )e rx ; （3）若 r i 为 k 重共轭复特征根时，通 解中包含 e x [(C1 C2 x Ck x k 1 )cos x
齐次线性微分方程
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推广:
y ( n) a1 y ( n 1) an 1 y an y 0 ( ak 均为常数 )
特征方程:
r n a1 r n 1 an 1r an 0
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
e
r1 x
2 r1u r12u ) p(u r1u ) q u 0 [ (u ( 2 r1 p ) u ( r12 p r1 q ) u 0 u
是特征方程的重根
u 0
取 u = x , 则得 y2 x e
, 因此原方程的通解为 y 2 ( C1 C2 x ) e r1 x 特征方程 r p r q 0
d x
O x
x
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1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )
d2 x 方程: k2 x 0 2 dt 特征方程: r 2 k 2 0, 特征根: r1 , 2 i k
方程通解: x C1 cos k t C2 sin k t v0 利用初始条件得: C1 x0 , C2 k 故所求特解: v0 x x0 cos k t sin k t k
第七节 常系数 齐次线性微分方程
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
转化
第七章
求特征方程(代数方程)之根
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二阶常系数齐次线性微分方程:
① 和它的导数只差常数因子,
y e r x ( r 为待定常数 ), 代入①得 所以令①的解为 (r 2 pr q ) e r x 0 r 2 pr q 0
微分方程解法的十种求法(非常经典)
微分方程解法的十种求法(非常经典)本文将介绍微分方程的十种经典求解方法。
微分方程是数学中重要的概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。
通过研究这十种求解方法，读者将更好地理解和应用微分方程。
1. 变量可分离法变量可分离法是最常见和简单的微分方程求解方法之一。
该方法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。
通过将方程两边分离变量，即把f(x)和g(y)分别移到不同的方程一边，然后进行积分，最后得到y的表达式。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)的微分方程。
通过令v=y/x，将微分方程转化为dv/dx=g(v)，其中g(v)=F(v)/v。
然后再使用变量可分离法求解。
3. 线性微分方程法线性微分方程法适用于形如dy/dx+a(x)y=b(x)的微分方程。
通过乘以一个积分因子，将该方程转化为可以进行积分的形式。
4. 恰当微分方程法恰当微分方程法适用于形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的微分方程。
通过判断M(x,y)和N(x,y)的偏导数关系，如果满足一定条件，则可以找到一个函数u(x,y)，使得u满足偏导数形式的方程，并且通过积分得到原方程的解。
5. 一阶线性常微分方程法一阶线性常微分方程法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的微分方程。
通过先求齐次线性方程的通解，然后再利用待定系数法找到特解，最后求得原方程的通解。
6. 二阶常系数齐次线性微分方程法二阶常系数齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=0的微分方程。
通过设y=e^(mx)，将微分方程转化为特征方程，然后求解特征方程得到特征根，利用特征根找到原方程的通解。
7. 二阶非齐次线性微分方程法二阶非齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=F(x)的微分方程。
通过先求齐次线性方程的通解，再利用待定系数法找到非齐次线性方程的特解，最后求得原方程的通解。
二阶常系数齐次线性微分方程解读
t
于是所求初值问题的解为
例3 求微分方程 y 2 y 5 y 0的通解.
2 解： 所给方程的特征方程为 r 2r 5 0
其根为 r1,2 1 2i , 故所求通解为
y e (C1 cos2 x C2 sin2 x )
x
习题6-5 (p358) 全部做于书上, 1(5), 2(5)交作业.
2
设r1, r2是特征方程的两个根. 2 (1) 当 p 4 q 0 时, 方程有两个相异实根 则微分方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 y C1 e
2பைடு நூலகம்
r1 x
C2 e
r2 x
(2) 当 p 4 q 0 时, 特征方程有两相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解为
例2 求解初值问题
d s ds 2 s0 2 dt dt
2
s t 0 4 ,
ds 2 dt t 0
解: 特征方程 r 2 r 1 0 , 特征根为 r1 r2 1 , 因此原方程的通解为
2
s (C1 C2 t ) e 由初始条件得 C1 4, C 2 2
(3) 根据特征方程根的不同情况, 写出微分方 程的通解. 特征根 通 解 实根
y C1e
r1 x
C 2e
r2 x
r1 x
y ( C1 C 2 x ) e x y e (C1 cos x C2 sin x )
例1 求微分方程y2y3y0的通解
解: 微分方程的特征方程为 r22r30 即(r1)(r3)0 特征方程有两个不等的实根r11 r23 因此微分方程的通解为yC1exC2e3x
二阶常系数齐次线性微分方程通解
二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，特解
1、当p^2-4q大于等于0时，r和k都是实数，y*=y1是方程的特解。
2、当p^2-4q小于0时，r=a+ib,k=a-ib(b≠0)是一对共轭复根，y*=1/2（y1+y2）是方程的实函数解。
扩展资料：
一阶非齐次线性微分方程的表达式为y'+p(x)y=Q(x)；二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)。
研究非齐次线性微分方程其实就是研究其解的问题，通解是由其对应的齐次方程的通解加上其一个特解组成。
一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为
y'+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为
y'+p(x)y=Q(x)。
齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。
对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。
就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。
第四讲 常系数线性齐次微分方程
考虑方程
L[ y]
dny dxn
a1
d n1 y dxn1
L
an y 0
(4.19)
其中a1, a2 , , an为常数, 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.
我们知道,一阶常系数齐线性方程
dy ax 0 dx
有解 y ceax ,
受此启发,对(4.19)尝试求指数函数形式的解
y ex , (4.20)
dy 1 dy , dx x dt
把上式入原方程得
d 2 y 1 d 2 y dy
dx2
x2 ( dt2
), dt
d 2 y dy
dt 2
2 dt
y0
上述方程的通解为: y(t) (c1 c2t)et ;
故原方程的通解为:
y(x) (c1 c2 ln x )x; 这里c1, c2为任常数;
2
en x
n en x
L
e n1 nx n
1 1 1
e (1 2 L n ) x 1
2 n
n1 1
n1
2
n1 n
e(12 L n ) x
(i j ) 0
1 jin
故解组(4.22)线性无关.
若i (i 1,2, , n)均为实数,
则(4.22)是方程(4.19)的基本解组 ,从而(4.19)的通解为
把方程 (4.19 )的2k个复值解 , 换成2k个实值解.
et cos t, tet cos t, , t k1et cos t; et sin t, tet sin t, , t k1et sin t.
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2, , k ,
线性齐次微分方程
线性齐次微分方程一、线性齐次微分方程的定义与性质1. 定义：线性齐次微分方程是指具有形式为dy/dx + p(x)y = 0的微分方程，其中p(x)是给定的函数。
2.性质：（1）线性：方程中只包含y及其导数的线性组合。
（2）齐次：方程右端项为零，不含有常数项。
（3）解的叠加原理：如果y1和y2是齐次线性微分方程的解，那么y=c1y1+c2y2也是其解，其中c1和c2为任意常数。
二、一维线性齐次微分方程的解法1. 分离变量法：将dy/dx分离到等式的一边，y及其相关的变量分离到等式的另一边，然后积分得到结果。
例如，考虑方程dy/dx + py = 0，可以将其变形为dy/y = -pdx，然后积分得到ln，y， = -∫pdx + C，再求指数得到y = Ce^(-∫pdx)。
这就是一维线性齐次微分方程的通解。
2.特殊函数法：对于特殊的函数形式，可以使用特殊函数来求解微分方程。
例如，对于方程dy/dx + 2xy = 0，可以将其变形为dy/y = -2xdx，然后积分得到ln，y， = -x^2 + C，再求指数得到y = Ce^(-x^2)。
这就是一维线性齐次微分方程的通解。
三、二维线性齐次微分方程的解法对于二维线性齐次微分方程dy/dx = B/A，其中A和B是关于x和y 的函数，我们可以使用恰当积分的方法求解。
1.乘法因子法：通过将方程乘以一个恰当的因子，使得方程变为一个恰当微分方程，从而可以直接求解。
具体方法为：令μ(x,y) = 1/A(x,y)，则方程可变形为(μy)dx - (μx)dy = 0。
如果上述方程是一个恰当微分方程，则存在一个函数u(x,y)满足du = (μy)dx - (μx)dy，然后可以通过积分得到u(x,y) = C，其中C为任意常数。
然后再通过u(x,y) = C得到y = g(x)。
这就是二维线性齐次微分方程的通解。
2. 变量分离法：对于二维线性齐次微分方程dy/dx = B/A，可以将dy/B = dx/A，然后可以分别对y和x进行积分得到通解。
二阶齐次线性微分方程的求解
二阶齐次线性微分方程的求解二阶齐次线性微分方程的求解________________________________________________________________在数学中，二阶齐次线性微分方程是一种重要的数学工具，它可以用来解决许多有关物理学、工程学、生物学和经济学等问题。
它可以用来描述物理系统中的运动及其影响，也可以用来描述生物系统中的发展及其影响，还可以用来描述经济系统中的变化及其影响。
本文将介绍二阶齐次线性微分方程的求解，以及它在不同领域中的应用。
一、二阶齐次线性微分方程的求解1.1 定义二阶齐次线性微分方程是一个常微分方程，它的形式为：$$ay''+by'+cy=0$$其中，a、b、c为常数，y为未知函数，y'为y的一阶导数，y''为y的二阶导数。
1.2 解法由于二阶齐次线性微分方程具有特殊的形式，所以它的解法也很特殊。
一般来说，它的解法可以分为两步：（1）将原方程转化为一般形式：$$r^2+pr+q=0$$其中，r、p、q是常数，r为公因子，p、q为不定因子。
（2）解一般形式：$$r=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$$根据上式可以得到原方程的两个根。
然后根据两个根求出原方程的解。
二、二阶齐次线性微分方程在不同领域中的应用2.1 物理学中的应用在物理学中，二阶齐次线性微分方程可以用来描述物体在受外力作用时的运动。
例如，它可以用来描述一个物体在受重力影响时的运动；也可以用来描述一个物体在受弹力影响时的运动。
2.2 生物学中的应用在生物学中，二阶齐次线性微分方程可以用来描述生物体在受外界因素影响时的发展。
例如，它可以用来描述一个生物体在受光强度影响时的生长情况；也可以用来描述一个生物体在受水分影响时的生长情况。
2.3 经济学中的应用在经济学中，二阶齐次线性微分方程也有重要应用。
例如，它可以用来描述一个国家在受外部影响时的贸易情况；也可以用来描述一个国家在受外部影响时的通货膨胀情况。
一阶线性齐次微分方程
一阶线性齐次微分方程
一阶线性齐次微分方程是一种常见的微分方程，它用于描述一个系统如何随分物理变量而变化的特性。
它的一般形式为y'+py=q，其中 P 和 Q 都是常数。
一阶线性齐次微分方程能够用于模拟许多自然界中的现象，如声音和谐波的传播、水的流动、热的传递等，在普通的微积分课程中也会经常用到。
解决一阶线性齐次微分方程的方法很多，最基本的方法是通过特征方程求解。
特征方程是由 P 和 Q 组成的，它指定了特定方程的解。
一旦我们确定了特征方程的解，就可以推出解的类型和个数，然后就可以根据不同情况计算出特定方程的解。
此外，也可以使用变分法来求解一阶线性齐次微分方程，它主要是利用特定条件来确定方程的解，并采用数值方法对方程进行近似求解。
这种方法可以用来解决一些复杂的微分方程，从而为其他应用提供有助服务。
总的来说，一阶线性齐次微分方程是一种常用的方程，它可以在物理及其它多领域模拟许多现象，并且可以利用特征方程或变分法求解。
它的应用实在太多，例如在机械、电子、声学、地质和其它工程学方面都有着广泛的应用。
二阶常系数齐次微分方程的通解
二阶常系数齐次微分方程的通解
二阶常系数齐次微分方程的通解是：
Y=E^(X)(C1COS(X)+C2XSIN(BX))。
二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为：Y+PY+QY=0，其中P，Q为常数。
以R^K代替上式中的Y（K）(K=0,1,2)，得到一代数方程：R²+PR+Q=0，这方程称为微分方程的特征方程，按特征根的情况，可直接写出方程的通解。
特征方程的几种情况：
1、特征方程有两个不相等的实数根，R1≠R2，则1-1的通解为：Y=C1E(R1X)+C2XE(R2X)。
2、特征方程有两个相等的实数根，R1=R2=R，方程1-1的通解为：Y=(C1+C2X)E^(RX)。
3、特征方程有一对共轭复根，通解为：Y=E^(AX)(C1COS(β
X)+C2XSIN(BX))。
扩展资料：
微分方程：含有参数、未知函数和未知函数导数的方程。
常微分方程：未知函数是一元函数的方程。
偏微分方程：未知函数是多元函数的方程。
微分方程的阶：式中出现的未知函数最高阶导数的阶数。
二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式：Y+PY+QY=0，其中P，Q为常数。
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11
与特征方程的根对应的微分方程的解为
特征方程的根
微分方程通解中的对应项
单实根 r
给出一项 Ce rx
一对单复根 r1,2 i
给出两项 ex C1 cos x C2 sin x
k 重实根 r
一对k 重复根 r1,2 i
给出k 项
C1 C 2 x C k x k1 e rx .
讨论：
（i）如果 2 p q 0, 即λ不是特 征根。 要使(3)成立，
Q(x)应是一 个m 次多项式，不妨设
Q x Qm ( x) b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定bi i 0,1,2,m,
y C1 C2 xe rx . y ex C1 cos x C2 sinx
9
例 1 求下列微分方程的通解
1y"2 y'3 y 0; 2y"2 y' y 0;
解 （1）所给微分方程的特征方程为 r 2 2r 3 0
特征根为： r1 1,r2 3 因此所求通解为 y C1e x C2e 3x .
x
e
2
x
C3 cos
2
x C4 sin
2
x.
13
四、二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程一般式是
y" py'qy f x
(1)
其中p、q是常数。
由定理3，只要求出(1)的一个特解 y*及(1)对应的齐次方程
y" py'qy 0
的通解Y， 即可求得(1)的通解 : y Y y* .
y = Y ( x ) + y*( x ) 是二阶非齐次线性微分方程（1）的通解。
4
例 2 解方程 y" y x 2 . 解 容易验证 y* x 2 2是所给方程的一个特解；
由例 1知： Y C1 cos x C2 sin x 是对应齐次方程的通解。
所以所给方程的通解为：y C1 cos x C2 sin x x 2 2.
y C1 y1 x C2 y2 x
（3）
也是（2）的解，其中C1 、C2 是任意常数。
1
说明：（1）齐次方程的解符合叠加原理;
（2）叠加解（3）不一定是方程（2）的通解。 只有当 C1与 C 2 相互独立， 即 C1与 C 2 无法合并时， （3）才是（2）的通解。
定理 2 若 y1 x与 y2 x是方程（2）的 两个线性无关的特解，
3
分析: 一阶线性微分方程 dy Pxy Qx
dx
其通解为 y e Pxdx Q x e Pxdx dx C
改写为
y e P x dx Q x e P x dx dx Ce P x dx
对 f(x) 的下面两种最常见形式，采用待定系数法来求出 y*。
(一) f ( x) pm ( x)e x型
其中 为常数，Pm x是x 的一个m 次多项式：
Pm x a0 x m a1 x m1 am1 x am .
14
推测： y* Q( x)eQx 可( x)能e是x 方程Q(1x)的e特x 解(Q其x中eQx(x)是某个多项式).
的n 个线性无关的特解， 则
y C1 y1x C2 y2 x Cn yn x
就是方程（5）的通解。
（4） （5）
例 1 解方程 y" y 0. 解 容易验证: y1 cos x 与 y2 sin x是方程的两个特解，
并且这两个解线性无关，
所以方程的通解为：y C1 cos x C2 sin x.
为了确定Q(x)，将 Qy*xQQxexxe,x y*' ex Qx Qx
y* ex 2Qx 2Qx Qx
代入方程(1)并消去e x , 得
Q"( x) (20 p)Q'( x) ( 2 0p q)Q( x) Pm ( x) (3)
成立，则称这n个函数在区间I上线性相关； 否则称线性无关。
2
推广： n 阶线性微分方程
y n a1 x y n1 an1 xy'an xy f x.
若 y1 x, y2 x,, yn x 是 n 阶齐次线性微分方程
y n a1 x y n1 an1 xy'an xy 0
5
三、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程
y" py'qy 0
（1）
其中p、q为常数。
指数函数 y e rx（适当地选取 r ）最有可能是方程（1）
的一个解。
把 y e rx 代入方程（1），整理得
r 2 pr q e rx 0
（1）的特征方程: r 2 pr q 0
给出2k 项
ex C1 C 2 x C k x k1 cos x D1 D2 x Dk x k1 sin x
n 阶常系数齐次线性微分方程的通解为
y C1 y1 C2 y2 Cn yn
其中 y1 , y2 ,, yn 齐次方程 n 个线性无关的解. 12
例 2 求下列方程的通解
1y 4 2 y 5 y 0; y 4 4 y 0.
解 （1）所给微分方程的特征方程为
r 4 2r 3 5r 2 0
r 2 r 2 2r 5 0
特征根为 r1 r2 0; r3,4 1 2i
y* e Pxdx Q x e Pxdxdx 是该方程的一个特解；
Y
Ce Pxdx 是对应齐次方程
dy Pxy 0
dx
的通解。
定理 3 设 y*(x) 是二阶非齐次线性微分方程（1）的一个特解，
Y(x)是与（1）对应的齐次方程（2）的通解，那末
y2 e ix ex e ix e x cos x i sin x
8
由定理1：
y1 y2 ex cos x 为方程（1）的一个特解。
2
y1 y2 ex sin x 也是方程（1）的一个特解。
2i
于是得实数函数形式的通解为
y ex C1 cos x C2 sin x.
所求通解为 y C1 C2 x e x C3 cos 2x C4 sin2x.
（2）特征方程为 r 4 4 0
特征根为
r1,2
1 i ;
2
r3,4
1 i
2
因此所求通解为
x
ye 2
C1 cos
2
x C2 sin
2
10
n 阶常系数齐次线性微分方程
y n p1 y n1 pn1 y' pn y 0
（3）
其中 p1 , p2 , , pn1 , pn 为常数。
设 y e rx , 则 y re rx , y r 2e rx , , y n r ne rx .
3y"2 y'5 y 0.
（2）特征方程为
r 2 2r 1 0 r1 r2 1
所求通解为 y C1 C2 xe x .
（3）特征方程为 r 2 2r 5 0
r1,2 1 2i
所求通解为 y e x C1 cos 2x C2 sin2x.
二、二阶线性微分方程的解的结构
d 2 y Px dy Qxy f x
dx 2
dx
（1）
及
d 2 y Px dy Qxy 0
dx 2
dx
（2）
方程（1）叫做二阶线性微分方程。 方程（2）叫做对应于(1)的
齐次线性微分方程。
定理 1 如果函数 y1 x与 y2 x是方程（2）的两个解，则
从而微分方程（1）通解为
y C1e rx C 2 xe rx
即
y C1 C2 xe rx .
（iii）特征方程有一对共轭复根
r1 i, r2 i 0
可得方程（1）的两个复数形式的解
y1 e ix e x e ix e x cos x i sin x
e r1 x e r1 r2 x 常数. e r2 x
（ii）当特征方程有两个相等的实根： r1= e rx 还需求出另一解 y2，并且要求 y2 y1 不是常数。
设 y2 y1 ux, 即 y2 e rx ux.
将 y2、y2 和 y2 代入微分方程（1），得
二阶常系数齐次线性微分方程的通解如下表所示
特征方程 r 2 pr q 0 的两个根 微分方程 y" py'qy 0的通解
两个不相等的实根 r1 r2 两个相等的实根 r1 r2 r
一对共轭复根 r1,2 i
y C1e r1 x C 2 e r2 x .
将 y 及其各阶导数代入方程（3）中得
e rx r n p1r n1 pn1r pn 0
（3）的特征方程: r n p1r n1 pn1r pn 0 （4）
若 r 是（4）的根， 函数 y e rx 就是（3）的一个特解。
n 次代数方程有n 个根, 特征方程中的每一个根对应着通解中 的一项, 且每一项中都含有一个任意常数.
定理 4 设非齐次线性方程（1）右端是几个函数之和，如