自主招生讲义(一)
自主招生讲义
那么两个切点的连线方程为
1 k1k2
3. 根轴：到两个圆（不是同心圆）的幂相等的点恰好 构成一条直线，这条直线称为这两个圆的根轴. 根轴 垂直于两圆连心线.
解析几何
一、直线和圆锥曲线
4. 根轴的主要性质： 两圆相交，根轴就是公共弦所在直线； 两圆相切，根轴就是公切线； 三个圆之间每两个圆有一条根轴，那么三条根轴三线共点.
切线就是两圆的根轴，其方程由两圆方程相减得
(D 2 x0 ) x (E 2 y0 ) y F x02 y02 0
因为P点在圆上，所以 x02 y02 Dx0 Ey0 F，
代入得切线方程为
x0 x
y0 y
D(x0 2
x)
E( y0 2
y)
F
0.
二、圆锥曲线的参数方程
解析几何
分析B选项
1
1 2 sin
1
2 1 sin
ep
1 e cos(
)
2
2
与直角坐标系的“左加右减”类似，这里的
说明这个图形
2
是由 ep 向负方向(即顺时针方向)旋转四分之一圈得到，因
1 e cos
此还是椭圆.
同理D选项是双曲线.
解析几何
四、圆锥曲线的切线
1. 标准圆锥曲线切线方程：设 P( x0 , y0 )是圆锥曲线上一点， 那么以P为切点的切线方程如下：
2
3
2，
所以三角形的最小面积为
1 2 2 ( 3 1) 3 2
2
2
解析几何
例2 已知等腰三角形的底边过点P(2,1)，两腰所在直线分别为x+y-2=0和
7x-y+4=0，求底边所在直线方程.
初中物理竞赛及自主招生专题讲义第一讲物体的运动第四节相对运动含解析
第四节 相对运动研究一个物体的运动时，总要选择一个参照物作为标准。
很多问题中的参照物就是我们认为静止的地面.在一些问题中，我们也需要选择其他运动着的物体作为参照物，这样会使得解决问题更加方便快捷。
一、共线的两个物体的相对运动在同一直线上运动的A ，B 两个物体，其相对运动又分为两种情况：（1）如图3。
51所示,若两者同向运动，其中B 物体相对于A 物体的运动速度B A B A v v v =-对，若B A v 对为正，则B 离A 越来越远，反之，B 离A 越来越近.（2）如图3.52所示,若两者反向运动，其中B 物体相对于A 物体的运动速度B A B A v v v =+对。
上述相对速度的计算也可以将表示A ，B 两物体速度的有向线段的起点画在同一点，则从A v 的末端指向Bv 末端的有向线段就表示B Av 对,如图3.53所示例子.例1 一条船逆流而上航行，已知河水流速为0v ，船在静水中的速度为1v .船行至靠近岸边的A 处时一只木箱子掉入水中，直至0t 时间后被船员发现，于是船立即掉头寻找箱子,并于靠近岸边B 处将箱子捞起。
不计船掉头所需的时间，河道笔直，求A ，B 之间的距离。
分析与解 船在静水中的速度1v 并不是船相对于地面的速度,而是指船相对于河水的速度，下面我们分别以地面和河水为参照物，来求解这个问题。
(1)以地面为参照物。
船逆流而上时对地速度为10v v -，掉头后顺流而下对地的速度为10v v +，木箱顺水漂流对地速度为0v ，画出船及木箱的运动示意图如图3。
54所示。
从木箱掉落的O 处到A 处,船向上游前进了()100OA sv v t =-的距离，设从船掉头到追上木箱用时1t ，则船追赶箱子向下游前进了距离()101AB sv v t =+.从木箱掉落到被捞起,木箱向下游移动的距离为()001OB sv t t =+，则有()()()100001101v v t v t t v v t -++=+，解得10t t =，因此A ，B 之间的距离为()()101100AB s v v t v v t =+=+。
自主招生数学讲义
(2) 以集合 A ∪ B 的元素作为二次方程 x2 + px + q = 0 的两个根，试在 f (x) = x2 + px + q 的最小值
中求出它的最大值和最小值.
{ } { } 【例 19】如果集合 A =
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6
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2014 年自主招生数学讲义
【例 33】下列有关命题的说法正确的是( )．
A．命题“若 x2 = 1 ，则 x = 1”的否命题为：“若 x2 = 1 ，则 x ≠ 1 ” B．“ x = −1 ”是“ x2 − 5x − 6 = 0 ”的必要不充分条件 C．命题“ ∃x ∈ R ，使得 x2 + x +1 < 0 ”的否定是：“ ∀x ∈ R ，均有 x2 + x +1 < 0 ” D．命题“若 x = y ，则 sin x = sin y ”的逆否命题为真命题
{ } 【例 03】(2012 年西城区第一次模拟考试试题)已知集合 A = x | x = a0 + a1 × 3 + a2 × 32 + a3 × 33 ，其
中 ak ∈{0 ，1， 2}(k = 0 ，1， 2 ， 3) 且 a3 ≠ 0 ，则 A 中所有元素之和等于
.
【例 04】(2011 年北大附中高三适应性训练试题)从 A = {a1 ，a2 ，a3 ，a4} 到 B = {b1 ，b2 ，b3 ，b4} 的
B． (a ∗ (b ∗ a)) ∗ (a ∗ b) = a
C． b ∗ (b ∗ b) = b
D． (a ∗ b) ∗ (b ∗ (a ∗ b)) = b
南师附中2016届高三自主招生辅导讲义1-电场
静电场一、库仑定律和电场强度【例1】如图所示，带电量分别为4q 和－q 的小球A 、B 固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，相距为d 。
若杆上套一带电小环C ，带电体A 、B 和C 均可视为点电荷。
（1）求小环C 的平衡位置。
（2）若小环C 带电量为q ，将小环拉离平衡位置一小位移x (∣x ∣<<d )后静止释放，试判断小环C 能否回到平衡位置。
（回答“能”或“不能”即可）（3）若小环C 带电量为－q ，将小环拉离平衡位置一小位移x (∣x ∣<<d )后静止释放，试证明小环C 将作简谐运动。
（提示：当α<<1时，则ααn n-≈+1)1(1）几种场源的电场：决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体的形状）和空间位置。
这可以从不同电场的场强决定式看出—— （1）点电荷：E = k2r Q 结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电场的场强，如——（2）均匀带电环，垂直环面轴线上的某点P ：E =2322)(R r kQr +，其中r 和R 的意义见右图。
（3）均匀带电球壳内部：E 内= 0外部：E 外 = k2r Q，其中r 指考察点到球心的距离 如果球壳是有厚度的的（内径R 1 、外径R 2），在壳体中（R 1＜r ＜R 2）：E = 231334rR r k -πρ ，其中ρ为电荷体密度。
这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条件部分）的“剥皮法则”理解〔)(3433R r -πρ即为图中虚线以内部分的总电量…〕。
（4）无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）：E = rk λ2因此,无限长均匀带电直线外的电场强度大小为aE λπε∙=21,这个变换式已利用41πε=k .其中a 为P 点距直线MN 的距离,λ为电荷线密度（5）无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）：E = 2πk σ（6）电偶极子激发的电场真空中一对相距为l 的带等量异号电荷的点电荷系统()q q -+,，且l 远小于讨论中所涉及的距离，这样的电荷体系称为电偶极子，并且把连接两电荷的直线称为电偶极子的轴线，将电量q 与两点电荷间距l 的乘积定义为电偶极矩。
2021年初中物理竞赛及自主招生专题讲义第一讲物体的运动第二节简单的变速直线运动含解析
初中物理竞赛及自主招生专题讲义：第二节简单的变速直线运动如果物体沿着一条直线运动，并且速度的大小不恒定，那么物体的运动就是变速直线运动。
折返运动实际上也是变速直线运动，因为速度的方向发生了变化。
一、变速直线运动的平均速度如果某物体在一段时间内运动的路程恰与一个匀速直线运动在相等时间内通过的路程相等，我们就说这个匀速直线运动的速度是该物体在这段时间内的平均速度，这里实际是用匀速直线运动的速度来表示该物体在某段时间内运动的平均快慢程度，体现了一种等效代替的思想。
平均速度用符号v来表示，其定义式为svt=，应注意的是：（1）在任何时间段，匀速直线运动的平均速度均为定值。
（2）变速运动的平均速度往往与选取的时间段有关，选取的时间段不同，平均速度可能不同。
例1 小明的家与学校之间有一座山，每天上学的过程中，有五分之二的路程是上坡路，其余是下坡路。
小明从家到学校要走36min，如果小明上坡行走速度不变，下坡行走速度也不变，而且上坡行走速度是下坡行走速度的三分之二，求：（1）小明上学过程与放学过程平均速度之比；（2）小明放学回家所需的时间。
分析与解（1）由题意，设小明上学过程中上坡路为2s，则下坡路为3s；再设上坡速为2v，则下坡速度为3v。
于是小明上学的平均速度为5523223sv vs sv v==+上学；放学时，原来的下坡路变为上坡路，原来的上坡路变为下坡路，因此放学时的平均速度为530321323svs sv v=+，因此上学、放学的平均速度之比为13=12vv上学放学。
（2）由于上学、放学所行走的路程相同，根据stv=可知，行走时间与平均速度成反比，因此有13=12t vt v=上学放学放学上学，可知放学行走时间为39mint=放学。
二、匀变速直线运动1．匀变速直线运动的概念表3.1中给出了做直线运动的3个物体的速度与时间的关系，由表可知甲、乙两物体加速，丙物体减速。
每经过2s时间，甲物体速度都增加2m/s；每经过2s时间，乙物体速度都增加4m/s；每经过2s 时间，丙物体速度都减小5m /s ，直至速度减为零最后静止。
【专题81】自主招生讲义【几何1】
精锐教育学科教师辅导讲义
（自主招生讲义01）
讲义编号_10sh6sx00 学员编号： 年 级：初三 班主任： 课时数：3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 上课次数：
课 题
自主招生讲义01
授课日期及时段 2012.4.
教学内容 第一部分、自主招生向量部分
1、已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C,D 两点的坐标分别是（4,0），（0,3），现有两个动点P,Q 分别从A,C 同时出发，点P 沿着线段AD 向终点D 运动，点Q 沿着折现CBA 向终点A 运动，设运动的时间为t 秒。
（1）、求菱形ABCD 的边长以及BE 的长。
（2）、探究下列问题：
①设点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的速度为每秒2个单位长度，当点Q 在线段BA 上时，求APQ ∆的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值；
②设点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的速度变为每秒K 个单位长度，在运动过程中，任何时刻都有相应的k 值，使得APQ ∆沿着它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，求当4=t 秒时，并求出k 的值。
（提示：即为讨论APQ ∆当t 为什么值的时候，是等腰三角形）
2、在ABC Rt ∆中， 90=∠C ,点D 是AB 的中点，点E 在边AC 上，连接ED ，过D 作DE DF ⊥，交边BC 于点F ，
已知3,4==BC AC
(1)、求FD
ED 的值； (2)、设y DF x AE ==,，求y 关于x 的函数解析式以及x 的取值范围。
物理自主招生辅导讲义一
自主招生考试物理讲座讲义一、自主招生简介从2003年开始，为了弥补高考“一考定终身”的不足，教育部比准在部分高等院校实行“自主选拔录取改革试点”，考生通过自主招生考试后获得不同档次的加分录取优惠。
到2011年，自主招生试点院校已增至80所。
自主招生考试联盟。
“华约”，由清华大学、上海交通大学、中国人民大学、西安交通大学、中国科技大学、南京大学、浙江大学等7所院校组成。
除人大外，为工科类大学，目的招收“综合性、研究型人才”。
联盟考试称为“高水平大学自主选拔学业能力测试”（AAA测试）。
“北约”，由北京大学（含医学部）、北京航空航天大学、北京师范大学、南开大学、复旦大学、厦门大学、香港大学等13所大学组成的联盟，文理综合类大学，联盟考试称为“综合性大学自主选拔录取联合考试”。
“卓越联盟”，由天津大学、哈尔滨工业大学、同济大学、东南大学等10所院校组成的联盟。
多为具有鲜明工科特色的高校，打造中国的“常青藤”联盟，培养具有综合性眼光的高素质人才。
各联盟自主招生考试物理试题分析。
所有联盟都包含有物理学科的考试。
“华约”的物理和化学考试和并在一张试卷内，称为“自然科学”测试，不考生物。
90分钟，100分。
题目包括①选择题（多选），10个题，物理7题，②实验题，一题，为物理实验题。
③推理、论证题，共3题，其中一个为物理题，④计算题，共2个，全为物理测试题。
物理试题分值占70%。
考点包含力学、热学、电磁学、光学和近代物理“卓越联盟”2011年物理学科也是单独设卷。
试题类型与“华约”相似。
①选择题，10个题，②实验题，2题。
③计算题，共3个。
包含力学、热学、电磁学、光学和近代物理。
难度低于“华约”。
要通过也并不容易。
2011“华约”“北约”自主招生考试物理试题评析2月19日举行的“华约”考试和20日举行的北约考试中，物理都是重头戏。
无论从难度上，区分度上，都在本次自主招生笔试中占有重要地位。
从这次考试也可以看出，对于理科生而言，抓住物理，自主招生笔试就赢了一半。
高一高二自主招生介绍课件
减轻高考压力
参加自主招生可以让学生提前获得高校的录取机会，从而减轻高考前的焦虑和压 力。
对于一些在高考中可能发挥不佳的学生，自主招生提供了一个额外的机会，让他 们有机会进入心仪的高校。
03
自主招生的要求与条件
创新精神与实践能力
在科技创新、发明创造等方面有突出表现， 有一定的创新和实践能力。
学术研究
对某一领域有深入的研究或探索，有一定的 学术成果或发表过相关论文。
领导能力与团队合作精神
具有一定的领导才能和团队合作精神，能够 组织和协调团队工作。
04
自主招生的准备与策略
了解招生政策与信息
招生政策
关注教育部门和高校发布的自主 招生政策，了解报名条件、时间 、流程等信息。
书。
02
自主招生的优势
提前录取机会
01
参加自主招生，学生有机会在高 考前获得高校的提前录取机会， 从而减轻高考压力。
02
提前录取的学生可以更早地确定 自己的未来方向，有更多的时间 来规划自己的学业和职业发展。
多样化的人才选拔
自主招生不仅关注学生的学术成绩， 还重视学生的综合素质、特长和潜力 ，为有特殊才能的学生提供了更多展 示自己的机会。
成功案例一：张同学
01
申请学校：清华大学
02
申请专业：物理学
03
申请条件：全国物理竞赛一等奖，数学竞赛二等奖，英语托福95分以 上
04
成功原因：张同学在物理和数学方面有极高的天赋和扎实的学科基础 ，同时英语水平也非常高，这使得他在众多申请者中脱颖而出。
成功案例二：李同学
学而思自主招生讲义第一章
Ge eneral Course es for Univers sity Autonom mous Enrollm ment（2013）
数学第一 一讲
【本讲概要 要】
函数 数与方程
函 函数问题是高 高中代数的重中 中之重，从高 高中所学习的 的函数性质等 等问题出发，可以引申出 出很多很有趣 趣 的问题，往 往往需要一定 定的代数恒等变 变形能力和分 分析能力才能 能够解决。 而 而方程则和函 数问题密切相 相关，方程解 解的形式，解 解的多少，解 解所在的区间 间是方程问题 题中的三个核 核 心问题。 在 在解决函数问 题时， 形象化 化的分析和具 具体的代数演 演算二者缺一 一不可， 对学生 生往往具有较 较高的要求。
【例 15】已 已知方程 f ( x) x 的根叫做函数 f ( x) 的不动点，求证： (1) ) 若 x0 是 f ( x) 的不动点， ，则 x0 也是 f ( f ( x)) 的不 不动点； (2) ) 若 f ( x) 没有 有不动点，则 则 f ( f ( x)) 若存在不动点 若 数个. ，必然为偶数
2 B. 2,0
C. 0,
D. ,0
（2） （2011 北约）求 f x x 1 2 x 1 ... 2011x 1 的最小值 的
【例 2】试构 构造函数 f x ，其定义 义域为 0,1 ，值域为 0,1 （1） 对于 于 a 0,1 , f ( x) a 只有 有一解； （2） 对于 于 a 0,1 , f ( x) a 有无 无穷多个解
2
【例 5】 （20 012 卓越）已 已知函数 f x （Ⅰ Ⅰ）求 f x 的单调区间 （Ⅱ Ⅱ）若 a 0 ，设 ， | xi | f x1 f x2 f x3 1 a
语文自主招生讲义(新)
2014年自主招生考前辅导 2014.7.17第一节基础知识一、汉字（一）六书象形“象形者，画成其物，随体诘诎，日、月是也。
”象形字来源久远，成为汉字构形的基础。
象形字大多用来表示具体的有形可象的事物，如：日、月、山、川、牛、羊、鱼、鸟、人、口、手、目、眉、木、石等等都是。
指事“指事者，视而可识，察而见义，上、下是也。
”这是用象征性的符号，或在象形字上加上符号，来表示某个词的造字方法。
如本、末、刃、亦。
会意“会意者，比类合谊，以见指撝，武、信是也。
”这是用两个或几个字组成一个字，把这几个字的意义合成一个字的意义的造字方法，如采、从、苗、林、休、炎、祭、降、陟、弄、宗、舁、益、集、寇、冠等。
根据其构成成分的差异，会意字主要分为两类：（1）同体会意，这类字是由两个或两个以上相同的表意符号组合而成的。
如（从），象一人跟在另一人后面，以此表示从义。
（北）像两人相背，以此表示乖离义。
（众），象众人聚集，以此表示众多义。
（2）异体会意字，这类字由两个或两个以上不同的表意符号组合而成的。
如（即），像人走近成盛食物的器皿前就餐，以此表示走近、接近义。
（既）像人用完餐转身离开，以表示动作或过程的完结。
（盥），用手在器皿里弄水，洗手义。
形声“形声者，以事为名，取譬相成。
江、河是也。
”这类字《说文》都用“从某，某声”来表达其结构，如“江”字的结构表述为“从水，工声。
”形声字的结构共有八种：左形右声铜洋硝右形左声攻颈削上形下声管爸晨下形上声案贡凳外形内声固匾衷内形外声问闷闻形在一角哉腾颖声在一角旗座房由以上的分析我们可以看到，实际上象形、指事字多是独体字，字形比较简单，而会意、形声字都是合体字，字形逐渐趋于复杂。
转注“转注者，建类一首，同意相受，考、老是也。
”这里说的转注，实际就是互训，就是用某些意义相同或相近的字互相解释。
假借“假借者，本无其字，依声托事，令、长是也。
”意思是说文献中的某一个词，本来没有为它造过专用字，就依据读音而把这个意义寄托给另一个音同或音近的文字。
初中物理竞赛及自主招生专题讲义第一讲物体的运动第一节匀速直线运动与图像问题
第一讲物体的运动运动学是物理的重点内容,学习物理离不开对各种各样的运动形式的研究。
本讲将重点介绍匀速直线运动、相对运动和速度的分解等知识。
第一节匀速直线运动与图像问题一、匀速直线运动的特点匀速直线运动是指物体沿着一条直线做速度的大小和方向都不改变的运动。
匀速直线运动具有以下特点：（1）速度恒为定值,可用公式s v t=计算,也可表示为路程与时间成正比：s vt =。
（2）只要我们证明了某种直线运动,其路程与时间成正比,就可以得出该运动为匀速直线运动的结论,且可以求得运动速度的大小。
例1如图3.1所示,身高为h 的人由路灯正下方开始向右以速度0v 匀速走动,路灯高为H ,问：（1）人头部的影子做什么运动？速度是多少？（2）人影子的长度增长速度是多少？分析与解 （1）人在路灯正下方时,人头部的影子恰处于人脚底,在人逐渐远离路灯的过程中,人影子的长度也越来越大。
经时间t ,人前进的距离为0v t ,设此时人影子的长度为l ,人头部的影子移动的距离为L ,如图3.2所示。
根据相似三角形知识,可得0v t L H H h =-,即0Hv L t H h=-可见,头部影子运动的距离与时间成正比,做匀速直线运动,其速度00L H V v t H h ==-,因为1H H h >-,可知0V v >,即头部的影子运动速度大于人行走的速度。
（2）同样结合相似三角形知识,可得0v t l h H h =-,即0hv l t H h=-,即人影子的长度l 随时间均匀变长,其长度的增长速度即为单位时间内长度的变化量,0hv l l v t t H h ∆'===∆-。
二、匀速直线运动的图像（一）位置-时间图像（s t -图像）物体做匀速直线运动时,可以沿运动方向所在直线建立直线坐标系,从而利用s t -图像描述出物体的运动情况。
如图3.3所示为甲、乙、丙三个物体在同一直线上的运动的位置—时间()s t -图像,对它们的运动分析如下：甲物体：在0t =时刻,从纵坐标为2m s =-处向规定坐标系的正方向运动,s t -图像为倾斜的直线,即每经过相同的时间,运动距离相等,甲做匀速直线运动,在0t =到1s t =的时间内,甲物体从2m s =-的位置运动到2m s =的位置,故s v t∆==∆甲()22m /s 10---。
初中物理竞赛及自主招生专题讲义第一讲物体的运动第五节小船过河问题初探含解析
第五节小船过河问题初探一、船速与船相对于水的速度小船过河问题,涉及三个速度:河水的流速v水、船相对于水的速度v船、船相对地面的速度v，现对三个速度理解如下：（1）船在静止的河水中,如果船关闭发动机或者人不划桨,则船没有动力,船将静止在水中，相对于水静止,对地也静止。
(2)船在流动的河水中,如果船关闭发动机或者人不划桨,则船没有动力，船将顺水漂流,相对于水静止，对地速度等于水速。
(3）船在流动的河水中，如果船开动发动机或者人划桨，则船将相对于水运动，船对地速度v与水速v 水、船相对于水的速度v船的关系如图3。
83所示。
其中，船相对于水的速度v船也就是船在静水中的速度,只与船本身有关，v船的方向总是沿着船头所指的方向。
例1 如图3.84所示，河两岸相互平行,水流速度恒定不变,船行驶时相对水的速度大小始终不变。
一开始船从岸边A点出发,船身始终垂直河岸，船恰好沿AB航线到达对岸B点耗时为1t，AB与河岸的夹角为60 。
调整船速方向，从B点出发沿直线BA返航回到A点耗时2t，则12:t t为( ）。
A ．1：1B ．1：2C ．1：3D ．1：4分析与解 由A 点出发时，船身始终垂直河岸，即船相对水的速度v 船垂直于河岸，船相对地面的速度1v 沿着AB 方向，画出v 水,v 船，1v 所围成的三角形如图3.85所示，可知v=船水，12v v =水,则112AB ABs s t v v ==水.当船由B 点返回时，其对地速度2v 沿着BA 方向，v 水，v 船，2v 围成的三角形如图3.85所示，因为v 水与2v 夹角为120︒，且v=船水，可知这一个等腰三角形，即2v v =水，因此22AB ABs s t v v ==水，可得12:1:2t t=，本题正确选项为B.实际上，我们也可以将船在静水中的速度v 船沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解.如图3.86所示,设船与河岸夹角为θ，v 水为水流速度，则cos v v θ-船水为船实际上沿水流方向的运动速度，sin v θ船为船垂直于河岸方向的运动速度.二、小船过河的两个典型问题 1．过河时间最短问题渡河时间只取决于在垂直河岸方向上的船速，即sin d t vθ=船，当90θ=︒时，渡河时间最短，mind tv =船,此时船头应正对着对岸前进,如图3。
自招必备——华师大二附中高中物理自主招生内部讲义
实用大全
标准文档
的重物，两滑轮的悬挂点在同一高度，不计摩擦.求当整个系统处于平衡状态时，三个重物 质量之间的关系.
3．如图所示，重为 G 的均匀链条。两端用等长的细线连接，挂在等高的地方，绳与水平方 向成 θ 角。试求：⑴绳子的张力。⑵链条最低点的张力。
4．一球重为 G，固定的竖直大圆环半径为 R，轻弹簧原长为 L(L＜2R)，其劲度系数为 k ，
一端固定在圆环最高点，另一端与小球相连，小球套在环上，所有接触面均光滑，则小球静 止时，弹簧与竖直方向的夹角 θ 为多少？
滑轮绳子
1．如图所示，物体的质量为 2kg，两根轻绳 AB 和 AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于 物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成 θ=600 的拉力 F，若要使两绳都能伸直，求 拉力 F 的大小范围。
标准文档
第一讲 平衡问题 （一）
这部分内容虽然是第一章，但变化多端，不可轻视！
【高考部分】
1．如图，两长度均为 5m 的轻杆 AB、BC，处在同一竖直平面内，A、B、C 三处均用
铰链连接，其中 A、C 两点在同一水平面上且相距 6m。现在 BC 杆的中点处施加一水平作
用力 F＝36N，整个装置仍保持静止不动，则 AB 杆对 B 处铰
成反比的斥力作用，方向沿 a、b 连线。当力 F 水平向左作用于 b 时，a、
b 处于静止状态。现若稍增大力 F，且使 b 稍有移动，则当则 a、b 重新处 O
于静止状态时重新（
）
（A）a 对 b 的作用力大小增大，
（B）a 对 b 的作用力大小减小
（C）OQ 面板对 b 的支持力大小不变
江西省临川一中高考自主招生考试物理讲义第一讲关联速度
第一讲关联速度所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．常用的结论有：1，杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．2，接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．34，如果杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相同·类型1质量分别为ｍ1、ｍ2和ｍ3的三个质点Ａ、Ｂ、Ｃ位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳ＡＢ和ＢＣ连接，∠ＡＢＣ＝π－α，α为锐角，如图５-１所示．今有一冲量Ｉ沿ＢＣ方向作用于质点Ｃ，求质点Ａ开始运动时的速度．图5-1 图5-２类型2绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为Ｒ，放在与水平面成α角的光滑斜面上，如图５-２所示．当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω（此时绳未松弛），试求此刻圆筒轴Ｏ的速度、圆筒与斜面切点Ｃ的速度。
类型3直线ＡＢ以大小为ｖ1的速度沿垂直于AB的方向向上移动，而直线CD以大小为ｖ2的速度沿垂直于ＣＤ的方向向左上方移动，两条直线交角为α，如图5-３所示．求它们的交点Ｐ的速度大小与方向．（全国中学生力学竞赛试题）图5-３图5-４以上三例展示了三类物系相关速度问题．类型1求的是由杆或绳约束物系的各点速度；类型2求接触物系接触点速度；类型3则是求相交物系交叉点速度．三类问题既有共同遵从的一般规律，又有由各自相关特点所决定的特殊规律，我们若能抓住它们的共性与个性，解决物系相关速度问题便有章可循．首先应当明确，我们讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图5-４所示，三角板从位置ＡＢＣ移动到位置Ａ′Ｂ′Ｃ′，我们可以认为整个板一方面做平动，使板上点Ｂ移到点Ｂ′，另一方面又以点Ｂ′为轴转动，使点Ａ到达点Ａ′、点Ｃ到达点Ｃ′．由于前述刚体的力学性质所致，点Ａ、Ｃ及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点Ｂ′为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度ｖ＝ｒω，ｒ是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）．因此，我们可以得到下面的结论．结论1杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．我们再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论．结论2接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线ａ、ｂ，如图5-５所示，设直线ａ不动，当直线ｂ沿自身方向移动时，交点Ｐ并不移动，而当直线ｂ沿直线ａ的方向移动时，交点Ｐ便沿直线ａ移动，因交点Ｐ亦是直线ｂ上一点，故与直线ｂ具有相同的沿直线ａ方向的平移速度．同理，若直线ｂ固定，直线ａ移动，交点Ｐ的移动速度与直线ａ沿直线ｂ方向平动的速度相同．根据运动合成原理，当两直线ａ、ｂ各自运动，交点Ｐ的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．图5-５结论3线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．这样，我们将刚体的力学性质、刚体运动的速度法则运用于三类相关速度问题，得到了这三类相关速度特征，依据这些特征，并运用速度问题中普遍适用的合成法则、相对运动法则，解题便有了操作的章法．下面我们对每一类问题各给出3道例题，展示每一条原则在不同情景中的应用．例1如图5-６所示，杆ＡＢ的Ａ端以速度ｖ做匀速运动，在杆运动时恒与一静止的半圆周相切，半圆周的半径为Ｒ，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点Ｃ的速度．图5-6点，将杆上点Ａ速度ｖ分解成沿杆方向分量ｖ1和垂直于杆方向分量ｖ2（如图5-７所示），则ｖ1是点Ａ与点Ｃ相同的沿杆方向平动速度，ｖ2是点Ａ对点Ｃ的转动速度，故可求得点Ｃ的速度为图5-7ｖＣ＝ｖ1＝ｖ·ｃｏｓθ2＝ｖ·ｓｉｎθ＝ω·ＡＣ．由题给几何关系知，Ａ点对Ｃ点的转动半径为：ＡＣ＝Ｒ·ｃｏｔθ，代入前式中即可解得：ω＝(ｖｓｉｎ2θ)/(Ｒｃｏｓθ)．例2如图5-8所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，顶点Ａ3以速度ｖ沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点Ｂ2的速度ｖB2．图5-8作为Ｂ2Ａ1杆上的一点，其速度是沿Ｂ2Ａ1杆方向的速度ｖ1及垂直于Ｂ2Ａ1杆方向速度ｖ1′的合成；2同时作为杆Ｂ2Ａ2上的一点，其速度又是沿Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2及垂直于Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2′的合成．由于两杆互成直角的特定条件，由图5-９显见，ｖ2＝ｖ1′，ｖ1＝ｖ2′．故顶点Ｂ2的速度可通过ｖ1、ｖ2速度的矢量和求得，而根据杆的约束的特征，得图5-9ｖ1＝(/２)ｖＡ1；ｖ2＝(/２)ｖＡ2，于是可得由几何关系可知ｖＡ1∶ｖＡ2∶ｖＡ3＝Ａ0Ａ1∶Ａ0Ａ2∶Ａ0Ａ3＝３∶５∶６，＝ｖ/２，ｖＡ2＝(５/６)ｖ，Ａ1＝(/６)ｖ．B2图5-10上述解析，我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点Ｂ2的速度的．当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析．如图5-１０所示，若以Ａ1、Ａ2点为基点，则Ｂ2点作为Ｂ2Ａ1杆上的点，其速度是与Ａ1点相同的平动速度ｖＡ1和对Ａ1点的转动速度ｖｎ1之合成，同时Ｂ2点作为Ｂ2Ａ2杆上的点，其速度是与Ａ2点相同的平动速度ｖＡ2和对Ａ2点的转动速度ｖｎ2之合成，再注意到题给的几何条件，从矢量三角形中由余弦定理得而由矢量图可知ｖn1＝(/２)（ｖA2－ｖA1），＝(/６)ｖ．B2两解殊途同归．例3如图5-11所示，物体Ａ置于水平面上，物体Ａ上固定有动滑轮Ｂ,Ｄ为定滑轮，一根轻绳绕过滑轮Ｄ、Ｂ后固定在Ｃ点，ＢＣ段水平．当以速度ｖ拉绳头时，物体Ａ沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体Ａ运动的速度是多大?图5-11个速度与物体Ａ移动速度的关系：设物体Ａ右移速度为ｖx，则相对于物体Ａ(或动滑轮B的轴心)，绳上Ｂ点的速度为ｖx，即ｖBA＝ｖx，方向沿绳BD方向；而根据运动合成法则，在沿绳BD方向上，绳上B点速度是相对于参照系Ａ(或动滑轮B的轴心)的速度ｖx与参照系Ａ对静止参照系速度ｖxｃｏｓα的合成，即ｖ＝ｖBA＋ｖxｃｏｓα；由上述两方面可得ｖx＝ｖ/(１＋ｃｏｓα)．例4如图5-上升，Ｏ为凸轮圆心，Ｐ为其顶点．求当∠ＡＯＰ＝α时，ＡＢ杆的速度．图5-12 图5-13Ａ是竖直向上的，轮上Ａ点的速度ｖ0是水平向右的，根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，如图5-13所示，即ｖＡｃｏｓα＝ｖ0ｓｉｎα，Ａ＝ｖ0ｔａｎα．故ＡＢ杆的速度为ｖ0ｔａｎα．例5如图5-14所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子Ａ上，以恒定的速度ｖ拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线轴中心Ｏ的运动速度ｖO．设线轴的外径为Ｒ，内径为ｒ，线轴沿水平面做无滑动的滚动．v拉绳时，线轴沿顺时针方向运动．从绳端速度ｖ到轴心速度ｖO，是通过绳、轴相切接触相关的．考察切点Ｂ的速度：本题中绳与线轴间无滑动，故绳上Ｂ点与轴上Ｂ点速度完全相同，即无论沿切点法向或切向，两者均有相同的分速度．图5-１５是轴上Ｂ点与绳上Ｂ点速度矢量图：轴上Ｂ点具有与轴心相同的平动速度ｖO及对轴心的转动速度ｒω（ω为轴的角速度），那么沿切向轴上Ｂ点的速度为ｒω－ｖO sinα；而绳上Ｂ点速度的切向分量正是沿绳方向、大小为速度ｖ，于是有关系式，即图5-14 图5-15ｓｉｎαｒω－ｖ＝Ｒω＝(Ｒｖ)/(ｒ－Ｒｓｉｎα)．O若绳拉线轴使线轴逆时针转动，ｖO＝(Ｒｖ)/(ｒ－Ｒｓｉｎα)，自行证明．例6如图5-１６所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端Ａ点速度为ｖ，方向水平．以铰链固定于点Ｂ的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为ｒ和Ｒ．试确定木板的角速度ω与角α的关系．图5-16 图5-17n ，而板上Ｃ点的这个法向速度正是Ｃ点关于Ｂ轴的转动速度，如图５-17所示，即ｖn ＝ω·ＢＣ＝ω·Ｒｃｏｔ(α/２)现在再来考察线轴上Ｃ点的速度：它应是Ｃ点对轴心Ｏ的转动速度ｖＣn 和与轴心相同的平动速度ｖO 的矢量和，而ｖＣn 是沿Ｃ点切向的，则Ｃ点法向速度ｖn n ＝ｖO ｓｉｎα又由于线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有ｖ/(Ｒ＋ｒ)＝ｖO/ω＝(１－ｃｏｓα)/(Ｒ＋ｒ)ｖ．例7如图5-18所示，水平直杆ＡＢ在圆心为Ｏ、半径为ｒ的固定圆圈上以匀速ｕ竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环Ｍ的速度，设ＯＭ与竖直方向的夹角为φ．图5-18φ的一段弧时，据交叉点速度相关特征，将杆的速度ｕ沿杆方向与圆圈切线方向分解，则Ｍ的速度为ｖ＝ｕ/ｓｉｎφ．例8如图5-１９所示，直角曲杆ＯＢＣ绕Ｏ轴在如图5-19所示的平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆ＯＡ滑动．已知ＯＢ＝10ｃｍ，曲杆的角速度ω＝０.５ｒａｄ／ｓ，求φ＝６０°时，小环Ｍ的速度．图5-19 图5-20方向的分量即为小环速度．由于刚性曲杆ＯＢＣ以Ｏ为轴转动，故其上与ＯＡ直杆交叉点的速度方向垂直于转动半径ＯＭ、大小是ｖ＝ω·Ｍ＝10ｃｍ／ｓ．将其沿ＭＡ、ＭＢ方向分解成两个分速度，如图5-20所示，即得小环Ｍ的速度为：ｖＭ＝ｖＭＡ＝ｖ·ｔａｎφ＝10cm ／s．例9如图5-21所示，一个半径为Ｒ的轴环Ｏ1立在水平面上，另一个同样的轴环Ｏ2以速度ｖ从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点Ａ的速度ｖＡ与两环中心之距离ｄ之间的关系．轴环很薄且第二个轴环图5-21 图5-22速度为ｖ，将此速度沿轴环Ｏ1、Ｏ2的交叉点Ａ处的切线方向分解成ｖ1、ｖ2两个分量，如图5-22，2由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点Ａ的速度即为沿对方速度分量ｖ1．注意到图5-22中显示的几何关系便可得。
2022年 《自主招生考试物理辅导讲义》优秀教案
A A 3自主招生考试辅导讲义第一局部：磁场类型一：有确定的磁场边界和确定的单一入射方向1．一个质量为m 电荷量为q 的带电粒子从x 轴上的P (a ，0)点以速度v ，沿与x 正方向成60º的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y 轴射出第一象限。
求匀强磁场的磁感应强度B 和射出点S 的坐标。
2．如图直线MN 上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O 以与MN 成30°角的同样速度v 射入磁场〔电子质量为m ，电荷为e 〕，它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？〔不考虑正、负电子间的相互作用〕3．如下图，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A 2A 4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A 2A 4与A 1A 3的夹角为60º。
一质量为m 、带电量为+q 的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A 1处沿与A 1A 3成30º角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A 2A 4的方向经过圆心O 进入Ⅱ区，最后再从A 4处射出磁场。
该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t ，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小〔忽略粒子重力〕。
xPOMN B4. 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如下图。
一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场，飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60º角，求该带电粒子的荷质比。
5．如下图，在x<0与x>0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B1>B2。
一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？类型二：有确定的磁场边界，但入射速度不单一确定6．如下图，MN是一荧光屏，当带电粒子打到荧光屏上时，荧光屏能够发光。
huaxue自主招生讲义
第一讲化学反应与能量变化一、化学反应的本质化学反应的本质是能量驱动。
此处的能量是一个广义概念：△G=△H-T△S。
当△G<0 正向自发；△G>0正向非自发（逆向自发）；△G=0反应处于平衡状态。
一个物质系统的能量高低可以通过△H、物质的结构是否对称来判断。
结构对称性问题还可以用于判断共价分子的极性。
从化合价升降及电子的是的观点看，化学反应可分为氧化还原反应和非氧化还原反应。
二、氧化还原反应1、氧化还原反应的基本概念及其关系（1）氧化还原反应的基本概念氧化剂具有氧化性发生还原反应即被还原表现为化合价实质是得电子生成了还原产物还原剂具有还原性发生氧化反应即被氧化表现为化合价实质是失电子生成了氧化产物（2）氧化剂还原产物还原剂氧化产物（概念的形象化整体性）ne-（3）氧化还原反应的基本原则化合价上降总数相等电子得失总数相等2、氧化还原反应的表示方法（1）双线桥法MnO2+4HCl(浓)== MnCl2+Cl2+2H2O （2）单线桥法2KClO3=2KCl+3O2（MnO2催化）3、常见氧化剂与还原剂（1）常见氧化剂a 最高价：KMnO4、K2Cr2O7、HNO3、H2SO4(浓) Fe 3+ PbO2b 活泼非金属O3>O2>Cl2>Br2>I2c Na2O2(H2O2) HClO(及其盐) MnO2（中间价态氧化性为主）*含氧酸价态越低氧化性越强HClO>HClO3>HClO4 H2SO3>H2SO4（2）常见还原剂 a 最低价S(-2) I(-1)b 金属单质（活动性顺序）c S(+4) (SO2 H2SO3及盐) Fe2+4、氧化还原能力强弱的判断（自发的氧化还原反应中）（1）据反应判断氧化性：氧化剂>氧化产物还原性：还原剂>还原产物（2）金属+ 非金属金属阳离子+ 非金属阴离子还原剂氧化剂氧化产物还原产物氧化性：非金属>金属阳离子还原性：金属>非金属阴离子O2>Cl2>Br2>I2>Ag+ Cu2+ H+ Fe2+ Zn2+….(氧化性)K…(H)Cu…Ag>I->Br->Cl->OH-…(还原性)*注意Fe3+的氧化性：Br2>Fe3+ >I25、氧化还原反应的应用（1）氧化还原方程式的配平①氧化还原方程式配平的一般步骤标变价列变化求总数配系数配系数时：一得失二金属三酸根（非金属）四H OKMnO4+HCl=KCl+MnCl2+Cl2+H2OH2S+H2SO4(浓）——S+SO2+H2OKClO3+HCl——Cl2+KCl+H2O②整体法：若反应物或生成物中有两种元素化合价同时升高或同时降低，配平时，把反应物或生成物中同升或同降的元素看作一个整体，然后在加以配平。
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第一节 函数与方程
函数求值域
求函数最值方法：直接法·换元法·配方法·均值不等式法·判别式法·单调性法·导数法·数形结合
目标1：换元法（二次函数换元，三角换元，分式型等）
例1：求函数22()421f x x x x =-+-的最大值与最小值．
例2：已知19
4)4(2
2=+-y x ，则9422y x +的最大值为____________．
例3：设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为
25
2
，则a = ．
例4：己知4350x y --=，那么()()2
2
13x y -+-的最小值为_______________
例5：已知对任意x 均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b 的最大值
例6：函数的最值为_________。
目标2：数型结合型
例8：求x
x
y cos 2sin 1++=
的最大值是__________________．
例9：求函数f (x )=11363242
4
+--+--x x x x x 的最大值。
例10：设(0,)2
x π
∈，则函数(22
2211sin )(cos )sin cos x x x x
+
+的最小值是__________． :
例11：求函数y =4
34
322+++-x x x x 的值域。
例12：求函数y =(x +1+x -1+2)(21x -+1),x ∈[0,1]的值域。
例13：A 、B 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最
小值．
例14. y =1
11
++-+
x x x
x ;已知1y ≤且21x y +=，则222163x x y ++的最小值为 A. 192 B. 3 C. 27
7 D.13
例15：函数y =x +232+-x x 的值域为________.
绝对值函数
例1 （2011北大）求 f(x)=|x-1|+|2x-1|…+|2011x-1|的最小值
例2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2
对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]3
1,31[- B. ]21,21[-
C. ]3
1,41[- D. [−3，3]
例3、设21≤≤-x ，则22
1
2++--x x x 的最大值与最小值之差为 1
例4、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；
函数的零点个数例题1：
例题2：
例题3：
例题4：
例题5
例题6：
例题7：
例题8、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；
（无实数根）
直通自主考试：清华大学联盟2011年自主招生部分笔试真题
1、复数Z Z < 1 , 21
+
Z =2
5,求Z = 2、正四棱锥P-ABCD, M 、N 分别是AP ,BP 中点线DM , AN 夹角余弦值( ) 3、f (x)= 3x ―2x ―2x +1 , 点(―1 ，1) 而切点不是(―1 ，1)，切线斜率( )
4、角A+B=3
2
π , cos 2A+cos 2B 的最值。
5、异面直线1l , 2l 的夹角60°，过定点M 有几个平面与1l , 2l 都成45°
6、a =(1 , 0) , b =(―23 , ―21) , c =(23 , ―2
1
) , x a +y b +z c =(1 , 1).求
x 2 +y 2 +z 2 的最小值。
7、抛物线y 2=4x 焦点F ,线AB 过F 点，原点O,抛物线准线与X 轴交点C,∠OFA=130°,求 tan ∠ACB
8、三角线ABC 不是直角三角形，试证明：tanA+ tanB+ tanC= tanA tanB tanC
9、一个圆柱杯其瓶底以及瓶壁厚度忽略不计，质量为a, 重心在圆柱中辅线中点上，向杯中倒入质量为b 的水，恰好倒满此时杯和水整体的重心，还在圆柱中轴线中点上；
(1)b=3a ,倒入2
b
的水，重心距杯底高度与杯高度的比值；
(2)倒入多少水时，整体重心最低？
10、()b ax x x f +=
2 ，()11=f ，3
2
21=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，{}a x ，数列{}n x ，()n n x f x =+1，
求其通项公式。
11,双曲线()0,,122
22>=-b a b y a x 左右焦点F1、F2 ，右交上一点P ， ∠F 1PF 2=3
π , S △PF 1F 2
= a 33 求其离心率。
12，掷n 次硬币，记不连续出现n 次正面向上概率为P n （1）求P 1、P 2、P 3、P 4
（2）求P n 递推公式，n n p lim ∞
-和它的统计意义；
直通高考：
1．方程x ln e
x
=-的两个根为21x ,x ，则
A ．021<x x
B ．121=x x
C ．121>x x
D ．1021<<x x
2.函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x
⎧-⎪
=⎨⎪⎩
0;0.x x >= （1）当0a b <<时，若()()f a f b =，则ab 的取值范围 .
（2）.若关于x 的方程0)()(2
=++c x bf x f 有7个不同实数解，则,b c 满足的条件 . 3.已知10<<a ，则方程|log ||
|x a
a x =的实根个数为n ，且11(1)(1)n x x +++
210110121011(2)(2)(2)(2)a a x a x a x a x =+++++
++++，则=1a （ ▲ ）
A ．9
B ．10-
C ．11 D. 12-
4．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．1
8
m ≤
B ．m >-3
C ．m >-1
D ．138
m -≤≤
5．（本题20分）解三角方程：sin()sin 29,4
a x x a π
+
=+为一实常数．
6．设函数()f x 满足2(3)(23)61f x f x x +-=+，则()f x = ．
7．设,,a b c 均为实数，且364a b
==，则11
a b
-= ．
8．设0a >且1a ≠，则方程2
122x
a x x a +=-++的解的个数为 ． 9．复数||1z =,若存在负数a 使得2
2
20z az a a -+-=，则________a =． 10．（本题满分12分）
设函数1ln )(+-=px x x f （1）求函数)(x f 的极值；
（2）当0>p 时，若对任意的0>x ，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围；
（3）求证： )1(21
2ln 33ln 22ln 2222222+--<+++n n n n
n
11. 已知函数5
55)(+=
x
x f ，m 为正整数．
（Ⅰ）求)0()1(f f +和)1()(x f x f -+的值； （Ⅱ）若数列}{n a 的通项公式为)(m
n
f a n =（m n ,,2,1 =）
，求数列}{n a 的前m 项和m S ； （Ⅲ）设数列}{n b 满足：2
11=
b ，n n n b b b +=+2
1，
设11111121++++++=n n b b b T ，若（Ⅱ）中的m S 满足对任意不小于3的正整数n ，57774+<n m T S 恒成立，试求m 的最大值.
12．设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在[]0,2π内的图像．。